BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH PHAN VĂN DO PHÁT HIỆN VÀ SỬA CHỮA SAI LẦM CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC PHƯƠNG TRÌNH, BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC NGHỆ AN – 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH PHAN VĂN DO PHÁT HIỆN VÀ SỬA CHỮA SAI LẦM CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC PHƯƠNG TRÌNH, BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG Chuyên ngành: Lí luận phương pháp dạy học môn Toán Mã số: 60.14.10 LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN VĂN THUẬN NGHỆ AN – 2013 LỜI CẢM ƠN Trước hết, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Tiến sĩ Nguyễn Văn Thuận, người thầy nhiệt tình hướng dẫn hoàn thành luận văn thời gian qua Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến Ban giám hiệu, Ban chủ nhiệm khoa Sau đại học trường Đại học Vinh, tất thầy cô giáo tham gia giảng dạy suốt trình học tập hoàn thành chuyên đề thạc sĩ khoá 19, ngành Lí luận Phương pháp dạy học môn Toán trường Đại học Vinh Tôi xin cảm ơn thầy cô giáo Ban giám hiệu, tổ Toán trường THPT Mỹ Quí – Tháp Mười – Đồng Tháp, nơi công tác giảng dạy, giúp đỡ tạo điều kiện cho trình tiến hành thực nghiệm sư phạm Luận văn có giúp đỡ tài liệu ý kiến góp ý quý báu thầy cô giáo thuộc chuyên ngành Lí luận Phương pháp dạy học môn Toán Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp người cổ vũ động viên để hoàn thành tốt luận văn Tuy có nhiều cố gắng, luận văn chắn không tránh khỏi thiếu sót cần góp ý, sửa chữa Rất mong nhận ý kiến đóng góp thầy cô giáo bạn đọc Nghệ An, tháng 10 năm 2013 Tác giả MỤC LỤC MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đồi tượng và phạm vi nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Giả thuyết khoa học Đóng góp luận văn Cấu trúc luận văn Chương Một số sai lầm của học sinh quá trình học chủ đề Trang 1 3 4 phương trình, bất đẳng thức và bất phương trình 1.1 Sự cần thiết của việc phát hiện và khắc phục sai lầm cho học sinh giài toán 1.2 Một số sai lầm thường gặp quá trình giải toán phương trình, bất đẳng thức và bất phương trình 1.2.1 Sai lầm liên quan đến phân chia trường hợp riêng 1.2.2 Sai lầm liên quan đến ngôn ngữ diễn đạt 1.2.3 Sai lầm liên quan đến nắm nội hàm khái niệm hoặc điều kiện áp 8 19 dụng định lí 1.2.4 Sai lầm liên quan đến các thao tác tư 1.2.5 Sai lầm liên quan đến nhận thức sự tương ứng 1.2.6 Sai lầm liên quan đến “chủ nghĩa hình thức” 1.2.7 Sai lầm liên quan đến chuyển đổi bài toán 1.2.8 Sai lầm liên quan đến suy luận 20 25 33 35 38 60 1.2.9 Sai lầm liên quan đến việc không hiểu bản chất đối tượng 65 1.3 Kết luận chương Chương Một số biện pháp sư phạm nhằm khắc phục các sai lầm 67 cho học sinh THPT dạy học phương trình, bất đẳng thức 68 và bất phương trình 2.1 Cơ sở lí luận và thực tiễn 2.1.1 Cơ sở lí luận 2.1.2 Thực trạng dạy học chủ đề phương trình, bất đẳng thức và bất 68 68 phương trình ở trường phổ thông hiện 2.1.2.1 Tình hình chung 2.1.2.2 Tình hình thực tế qua điều tra 2.2 Một số biện pháp nhằm khắc phục các sai lầm của học sinh 76 76 77 79 dạy học phương trình, bất đẳng thức và bất phương trình ở trường THPT 2.2.1 Biện pháp 1: Tăng cường các hoạt động sư phạm nhằm hình thành tốt cho học sinh các khái niệm, định lí về chủ đề phương trình, bất đẳng thức 79 và bất phương trình 2.2.1.1 Dạy học khái niệm 2.2.1.2 Dạy học định lí 2.2.2 Biện pháp 2: Khi hướng dẫn học sinh phát hiện và sửa chữa các sai 79 84 lầm, cần chú ý đến tính giáo dục, tính kịp thời và tính chính xác 2.2.2.1 Tính kịp thời 2.2.2.2 Tính xác 2.2.2.3 Tính giáo dục 2.2.3 Biện pháp 3: Khắc phục một số sai lầm cho học sinh hoạt động 90 90 92 94 giải bài tập về phương trình, bất đẳng thức và bất phương trình 2.2.3.1 Vấn đề rèn luyện hoạt động phân chia trường hợp 97 98 2.2.3.2 Vấn đề rèn luyện cho học sinh phát triển ngôn ngữ Toán học 2.2.3.3 Vấn đề rèn luyện thao tác tư cho học sinh 2.2.3.4 Vấn đề rèn luyện hoạt động nhằm khắc phục sai lầm 105 117 liên quan đến suy luận 2.2.4 Biện pháp 4: Giáo viên kiến tạo các tình huống dễ dẫn đến sai lầm để 124 học sinh được thử thách với những sai lầm đó 127 2.2.4.1 Tạo điều kiện để HS phát khắc phục sai lầm giải toán 127 2.2.4.2 Học sinh thử thách thường xuyên với toán dễ dẫn đến sai lầm lời giải 2.2.4.3 Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề thông qua tình huống sai 128 lầm 2.2.4.4 Thiết kế tình huống gợi vấn đề cho học sinh thảo luận hoạt 133 động tìm kiếm và sửa chữa sai lầm 2.3 Kết luận chương Chương Thực nghiệm sư phạm 3.1 Mục đích thực nghiệm 3.2 Tổ chức và nội dung thực nghiệm 3.2.1 Tổ chức thực nghiệm 3.2.2 Nội dung thực nghiệm 3.3 Đánh giá kết thực nghiệm 3.3.1 Đánh giá định tính 3.3.2 Đánh giá định lượng 3.4 Kết luận chương 137 140 141 141 141 141 142 143 143 143 145 146 147 151 KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO PHỤ LỤC QUY ƯỚC VỀ CÁC CHỮ VIẾT TẮT SỬ DỤNG TRONG LUẬN VĂN Viết tắt HS GV THPT PT BĐT TH THGVĐ GQVĐ H HĐ SGK Nxb Viết đầy đủ : : : : : : : : : : : : Học sinh Giáo viên Trung học phổ thông Phương trình Bất đẳng thức Tình huống Tình huống gợi vấn đề Giải quyết vấn đề Hỏi Hoạt động Sách giáo khoa Nhà xuất MỞ ĐẦU LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI 1.1 Nghị quyết Hội nghị lần thứ sáu Ban Chấp hành Trung ương Đảng Cộng sản Việt Nam (Khóa XI, 2012) nêu rõ: “Giáo dục đào tạo là vấn đề đặc biệt quan trọng, là quốc sách hàng đầu, là động lực phát triển kinh tế – xã hội”, “Đổi mới bản, toàn diện giáo dục và đào tạo là một yêu cầu khách quan và cấp bách của sự nghiệp đẩy mạnh công nghiệp hóa, hiện đại hóa, xây dựng và bảo vệ tổ quốc ở nước ta giai đoạn hiện nay” Điều 24, Luật Giáo dục quy định: “Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư sáng tạo học sinh, …; bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh” 1.2 “Dạy học toán dạy hoạt động toán học” [38, tr.12] luận điểm người thừa nhận Hoạt động toán học chủ yếu học sinh (HS) hoạt động giải tập toán Trong quá trình dạy học, có những học sinh tiếp thu kiến thức rất nhanh và biết vận dụng kiến thức đã học vào giải các bài tập toán, bên cạnh đó có những HS học lực yếu sẽ không đạt được kết quả vậy Trình độ học toán HS thể rõ nét qua chất lượng giải toán Các bài toán là phương tiện có hiệu quả việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy, phát triển kỹ và kỹ xảo Do đó, tổ chức có hiệu quả việc dạy giải Toán có vai trò quyết định đối với chất lượng dạy học Toán Tuy nhiên, thực tế ở trường phổ thông cho thấy chất lượng dạy học Toán còn chưa tốt, biểu hiện qua lực giải Toán của học sinh còn hạn chế học sinh còn mắc nhiều sai lầm Một những nguyên nhân quan trọng là giáo viên chưa chú ý một cách đúng mức việc phát hiện và sửa chữa các sai lầm cho học sinh các giờ học Toán 1.3 Nghiên cứu sai lầm HS giải toán vấn đề cấp thiết, bởi lẽ, thực tiễn sư phạm cho thấy HS mắc nhiều kiểu sai lầm Đã có nhiều quan điểm hoặc ý kiến được nêu xoay quanh vấn đề sai lầm cuộc sống cũng nghiên cứu khoa học G Polia đã phát biểu: “Con người phải biết học ở những sai lầm và những thiếu sót của mình” [25, tr.204], còn A A Stôliar thì nhấn mạnh rằng: “Không được tiếc thời gian để phân tích giờ học các sai lầm của học sinh” Viện sĩ A N Kôlmôgôrôv viết: “Năng lực bình thường của học sinh trung học đủ để các em nắm được Toán học nhà trường phổ thông nếu có sự hướng dẫn tốt của thầy giáo” Như vậy có thể khẳng định rằng: các sai lầm của học sinh giải Toán là cần và có thể khắc phục được 1.4 Các công trình nghiên cứu đã đề cập đến sai lầm học sinh giải Toán như: Luận án Tiến sĩ của Lê Thống Nhất: "Rèn luyện lực giải Toán cho học sinh phổ thông trung học thông qua việc phân tích sửa chữa sai lầm học sinh giải Toán" (1996); Luận văn Thạc sĩ của Nguyễn Hữu Hậu: “Nghiên cứu số sai lầm học sinh Trung học phổ thông giải Toán Đại số - Giải tích quan điểm khắc phục” (2006) Các tác giả Nguyễn Văn Thuận – Nguyễn Hữu Hậu Phát hiện và sửa chữa sai lầm cho học sinh dạy học Đại số – Giải tích ở trường phổ thông(2010); Trần Phương – Nguyễn Đức Tấn Sai lầm thường gặp sáng tạo giải Toán (2010),… Các công trình ở là các phát hiện về sai lầm và quan điểm khắc phục với đối tượng nghiên cứu rất rộng bao gồm các chủ đề của môn Đại số – Giải tích ở trường THPT Chúng thấy rằng: phương trình, bất phương trình là nội dung quan trọng chương trình môn Toán ở THPT, riêng bất đẳng thức là một nội dung khó đối với học sinh Chủ đề phương trình, bất phương trình góp phần kiến thức quan trọng nội dung thi tốt nghiệp THPT, cùng với bất đẳng thức là các chủ đề thi vào các trường trung học chuyên nghiệp, cao đẳng và đại đề: GV cho HS rút cách giải bài toán tổng quát sau: Với số thực α cho trước, tìm điều kiện để PT: f ( x ) = ax + bx + c = có hai nghiệm x1 ; x thỏa mãn: α < x1 < x (hoặc x1 < x < α hoặc x1 < α < x ) Hoạt động 3: Giải PT chứa ẩn dấu thức bậc hai HĐ giáo viên Vận dụng phương pháp dạy HĐ học sinh học giải quyết vấn đề hướng Nội dung Bài 3: Giải phương trình: x + = x + (1) dẫn HS giải bài tập Giải 1) GV yêu cầu HS nêu cách * HS nêu cách giải PT: Điều kiện: x > −1 giải PT: x − = x + , sau x − = x + sau: PT(1) ⇔ đó GV yêu cầu HS tìm cách Áp dụng công thức biến x2 − x +1+ x +1 giải PT đã cho đổi tương đương ( ) ( x + 1) ( x − x + 1) =5 PT (1) ta sẽ được PT bậc B ≥ A=B⇔ A = B không có nghiệm hữu tỉ Vì * HS nêu cách giải vậy, bài toán cần giải theo PT(1): Bình phương vế =5 một hướng khác của PT (1) Đặt u = x − x + ; 3) Với điều kiện x > −1 , ta có * HS khác nhận xét: Khi thể viết lại PT đã cho thành: bình phương vế của PT 2) Nếu bình phương vế của ( ) x2 − x +1+ x +1 = ⇔ 2  (x không giải được vì không ) − x +1 + =5 ta sẽ được PT bậc ( x + 1) ( x − x (1) + 1) ( x + 1)  phải là PT trùng phương  ( x + 1) ( x − x + 1) Nếu đặt u = x − x + ; v = x + ta thu được một PT đã biết cách giải: ( ) u + v = 5uv u * HS giải PT ( 2u +v 2 ) v = 2u = 5uv ⇔  v = u  ⇔ 2  (x − x + 1) + ( x + 1)   ( x + 1) ( x − x + 1) (2) v = x +1 (2) ⇔ 2( u + v ) = 5uv (3) Vì u ≠ nên chia hai vế của (3) cho u ta được: v v 2  − + = u u  v v = 2u u = ⇔ ⇔ v = u v =   u 2 4) GV yêu cầu HS trình bày * HS trình bày lời giải lời giải PT(1) 5) HS có thể giải PT bằng cách phân tích: PT(1) ⇔ (2 (1) ⇔ x2 − x +1 − x +1 − x +1 )( x2 − x +1 )=0 (2 x2 − x +1 − x +1 − x +1 )( x2 − x +1 )=0 2 x − x + = x + ⇔  x − x + = x + 4 x − x + = (VN ) ⇔  x − x − = ⇔ x = ± 37 Vậy PT(1) có nghiệm: x= ± 37 2 x − x + = x + ⇔  x − x + = x + 4 x − x + = (VN ) ⇔  x − x − = ⇔ x = ± 37 6) GV yêu cầu HS rút nhận * HS rút nhận xét về xét về cách giải PT dạng: cách giải PT dạng: a.u ( x ) + b.v( x ) = c u ( x ).v( x ) a.u ( x ) + b.v( x ) = c u ( x ).v( x ) là: Sau đặt điều kiện a.u ( x ) + b.v( x ) ≥ thì đặt ẩn phụ m = u ( x ) , n = v( x ) , biến đổi PT đã cho thành PT đối xứng theo ẩn m và n Củng cố: - GV lưu ý cho học sinh cách giải PT chứa ẩn dấu thức bậc hai và PT chứa ẩn dưới mẫu thức - GV yêu cầu HS nhắc lại: Điều kiện cần và đủ để PT bậc hai có hai nghiệm x1 ; x thỏa mãn: α < x1 < x là gì ? Bài tập về nhà: Bài 1: Giải các PT sau: 2x + = 1; x−2 a) ( x + ) x − = ; b) c) x − + x − = x − + x − 16 ; d) x − + x − = Bài 2: Tìm những giá trị của m để PT: ( − m ) x + 2mx + m + = có hai nghiệm nhỏ -o0o - Tiết 45 LUYỆN TẬP BẤT ĐẲNG THỨC – BẤT PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC HAI I Mục tiêu: Về kiến thức: - Tìm giá trị nhỏ biểu thức - Giải bất PT chứa ẩn ở mẫu thức, các bất PT dạng f ( x) ≤ g ( x) , f ( x) > g ( x) Về kĩ : - Rèn luyện kĩ tìm giá trị nhỏ biểu thức bằng cách xác định điểm rơi và áp dụng bất đẳng thức Côsi - Rèn luyện kĩ biến đổi tương đương giải bất PT chứa ẩn ở mẫu thức, bất PT dạng f ( x) ≤ g ( x) , f ( x) > g ( x) - Rèn luyện kĩ giải bất PT bậc hai và hệ bất PT bậc hai Về tư thái độ : - Cẩn thận, xác, biết qui lạ quen II Chuẩn bị: - GV: Giáo án, dụng cụ dạy học - HS: Phải nắm vững nội dung định lí về bất đẳng thức Cauchy, phải chuẩn bị kĩ giải bất PT bậc hai và hệ bất PT bậc hai III Phương pháp: Phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề (thiết kế tình huống gợi vấn đề cho học sinh thảo luận hoạt động tìm kiếm và sửa chữa sai lầm giải toán) IV Tiến trình dạy : Ổn định lớp: chia nhóm thảo luận Kiểm tra bài cũ: Câu hỏi 1: Phát biểu nội dung định lí về bất đẳng thức Cauchy Câu hỏi 2: Phát biểu nội dung định lí về dấu của tam thức bậc hai Bài mới: Hoạt động 1: Tìm giá trị nhỏ biểu thức HĐ giáo viên Bước 1: Chọn sai lầm: Sai HĐ học sinh Nội dung Bài Cho a ≥ Tìm giá trị lầm đánh giá từ trung nhỏ biểu thức bình cộng sang trung bình S=a+ nhân a2 Giải Bước 2: Chọn nội dung Sơ đồ điểm rơi: thảo luận: Tìm giá trị nhỏ biểu thức a α = α Bước 3: Thiết kế phiếu a=2 ⇒  =1 thảo luận chứa tình huống - HS chỉ nguyên  a thảo luận: nhân sai lầm ở bài giải ⇒ = ⇒ α = α Sơ đồ điểm rơi: của bạn Dũng là: Mặc dù ta biến đổi a α = α a=2 ⇒  =1  a ⇒ S theo điểm rơi a = S = a + cách giải mắc sai lầm Hệ số điểm rơi α = - Bạn Dũng giải sau: a S = a+ = ( + ) + a a 7a a + = 8 a 7a ≥ + 8a đáp số Min S = = ⇒α = α 7a ≥ 7.2 + 8 việc đánh giá mẫu số: “Nếu a ≥ 2 8a ≥ = đánh giá sai” Để điều chỉnh lời giải = Hệ số điểm rơi α = + = 4 Với a = Min S = sai thành lời giải ta cần biến đổi S cho sử dụng bất Bạn Dũng giải vậy là đẳng thức Côsi khử đúng hay sai? Nếu sai em hết biến số a mẫu số hãy sửa lại giúp bạn Bước 4: GV cho các nhóm - HS thảo luận, trình  a a  + + 2 + = a 8 a  a a 6a 6.2 ≥ 3 + = 8 a 8 Với a = Min S = f ( x) ≤ g ( x) , Hoạt động 2: Giải bất PT chứa ẩn ở mẫu thức, các bất PT dạng f ( x) > g ( x) HĐ giáo viên HĐ học sinh 2a) Nội dung Bài 2: Giải các bất phương Bước 1: Chọn sai lầm: sai trình: lầm phép biến đổi bất PT a) f ( x) a ≥ g ( x) b x +1 ≥− x + x − 12 (*) b) x − 16 ≤ x − c) x − x + − x + > g ( x) ≠ ⇔ b f ( x ) ≥ a.g ( x ) Giải Bước 2: Chọn nội dung a) (*) ⇔ thảo luận: Bất PT chứa ẩn x +1 + ≥0 x + x − 12 2 ( ) ở mẫu thức ⇔ Bước 3: Thiết kế phiếu - HS chỉ nguyên thảo luận chứa tình huống nhân sai lầm ở bài giải 2( x + 1) + x + x − 12 ≥0 x + x − 12 ⇔ x + x − 10 ≥0 x + x − 12 thảo luận: của bạn Bình là: Với Bạn Bình đã giải bất PT x ∈ ( − 4; 3) thì sau: x + x − 12 < và x +1 ≥− x + x − 12 nhân vế với biểu thức  x + x − 12 ≠ ⇔ 2( x + 1) ≥ − x + x − 12 (  x ≠ 3; x ≠ −4 ⇔  x + x − 10 ≥  x ≠ 3; x ≠ −4 ⇔  x ≥ ∨ x ≤ −5 này thì dấu bất PT nhận ) được đổi ngược lại - HS thảo luận, trình bày bài giải và nhận xét bài giải của các nhóm x ≥ ⇔ − < x ≤  x ≤ −5  x ≥ 2; x ≠ ⇔  x ≤ −5 Bạn Bình giải vậy là Giải bất PT: x + x − 10 ≥0 x + x − 12 đúng hay sai? Nếu sai em Cho x + 3x − 10 = hãy sửa lại giúp bạn GV dự kiến cách suy nghĩ  x = −5 ⇔ x =  x = −4 của HS và một số câu hỏi x + x − 12 = ⇔  x =  gợi vấn đề Sau lập bảng xét Bước 4: GV cho các dấu, xác định được nhóm cùng thảo luận, nghiệm của bất PT là: chia sẻ thông tin với x ≥ ; − < x ≤ ; x ≤ −5 nhau; mỗi nhóm sẽ trình bày trước lớp về vấn đề mà nhóm mình đã thảo luận GV đóng vai trò là người tổ chức và có sự hỗ trợ HS cần thiết Bước 5: Sau kết thúc thảo luận, GV cần lưu ý cho HS: Khi giải bất PT chứa ẩn ở mẫu không nên quy đồng mẫu thức rồi khử mẫu mà nên biến đổi đưa về bất PT thương Nếu khử mẫu thì phải biến đổi về bất PT tích sau: f ( x) a f ( x) a > ⇔ − >0 g ( x) b g ( x) b ⇔ bg ( x ) [ bf ( x ) − ag ( x ) ] > 1 > f ( x) g ( x) ⇔ f ( x ) g ( x )[ g ( x ) − f ( x ) ] > 2b) Bỏ qua các bước b) x − 16 ≤ x − khác, bài này chúng sẽ  x − 16 ≥  ⇔ 2 x − ≥  2  x − 16 ≤ ( x − ) trình bày các bước 1, và  x ≤ −4 ∨ x ≥   ⇔ x ≥   x − 16 ≤ x − 28 x + 49 Bước 1: (Chọn sai lầm) dạng sai lầm f ( x) ≤ g ( x)  f ( x) ≥ ⇔  f ( x) ≤ g ( x) x ≥ ⇔ 3 x − 28 x + 65 ≥ Bước 3: (Thiết kế phiếu thảo luận) - HS chỉ nguyên Hãy chỉ nguyên nhân nhân sai lầm ở bài 2b) sai lầm và sửa chữa lại sau: Với x ≤ −4 cho đúng đối với bài giải ⇒ x − 16 ≥ x − , nên sau: x − 16 ≤ x − x ≤ −4 là nghiệm ngoại  x − 16 ≥ ⇔  x − 16 ≤ ( x − ) lai  x ≤ −4 ∨ x ≥ ⇔ 2  x − 16 ≤ x − 28 x + 49 bày bài giải và nhận xét x ≥ ⇔  x ≤ −4 Bước 5: Sau kết thúc - HS thảo luận, trình bài giải của các nhóm x ≥  ⇔ ⇔ x≥5 13  x ≤ ∨ x ≥ thảo luận, GV cần lưu ý cho HS công thức biến đổi tương đương sau: f ( x) ≤ g ( x)  f ( x) ≥  ⇔ g ( x) ≥  f ( x) ≤ g ( x)  2c) Bỏ qua các bước c) x − x + − x + > khác, bài này chúng sẽ ⇔ trình bày các bước 1, và  x − <   2 x − x + ≥ ⇔ x−2≥0   2 x − x + > ( x − )  Bước 1: (Chọn sai lầm) dạng sai lầm f ( x) ≥ g ( x)  3− x≤  ⇔   x >  f ( x) ≥ ⇔  f ( x) ≥ g ( x) Bước 3: (Thiết kế phiếu thảo luận) Bạn Nam đã giải bất PT - HS chỉ nguyên nhân sai lầm ở bài 2b) sau: 2x − 6x + − x + > ⇔ 2x − 6x + > x − x − ≥ ⇔ 2 2 x − x + > ( x − ) x ≥ ⇔ x − 2x − > x ≥  ⇔  x > ⇔ x >   x < −1  Bước 5: Sau kết thúc thảo luận, GV cần lưu ý cho HS công thức biến đổi tương đương sau: 2x − 6x + > x − sau: Phép biến đổi đã xét thiếu trường hợp x − < - HS thảo luận, trình bày bài giải và nhận xét bài giải của các nhóm f ( x) ≥ g ( x)  f ( x ) ≥  g ( x) ≤ ⇔  g ( x) ≥   f ( x ) ≥ g ( x ) Củng cố: - GV lưu ý cho HS tìm giá trị nhỏ biểu thức bằng cách vận dụng bất đẳng thức Cauchy - GV yêu cầu HS nhắc lại công thức biến đổi tương đương giải các bất PT dạng f ( x) ≤ g ( x) , f ( x) ≥ g ( x) Bài tập về nhà: a , b > Tìm giá trị nhỏ biểu thức S = ab + ab a + b ≤ Bài 1:  Bài 2: Giải các bất PT sau: a) x − 10 x + 14 ≥ 1; x − 3x + b) x + x + ≤ x + ; c) x − x − 12 ≥ x − [...]... khó khăn và sai lầm của học sinh khi giải Toán là cấp thiết, bởi lẽ, thực tiễn sư phạm cho thấy học sinh còn mắc rất nhiều kiểu sai lầm Từ những sai lầm về tính toán đến những sai lầm về suy luận và 8 thậm chí là những kiểu sai lầm rất tinh vi Một nguyên nhân không nhỏ là giáo viên chưa chú trọng một cách đúng mức việc phát hiện, uốn nắn và sửa chữa các sai lầm cho học sinh ngay trong các giờ học Toán... này nên ở học sinh nhiều khi gặp phải tình trạng sai lầm nối tiếp sai lầm Rất nhiều nhà khoa học đã nhấn mạnh tới vai trò của việc sửa chữa sai lầm cho học sinh trong quá trình giảng dạy Toán, chẳng hạn G Polia cho rằng: "Con người phải biết học ở những sai lầm và thiếu sót của mình" [25, tr 204], A A Stôliar phát biểu: "Không được tiếc thời gian để phân tích trên giờ học các sai lầm của học sinh" [39,... Ecđơnnhiev trong [38]: "Bài tập được coi là một mắt xích chính của quá trình dạy học Toán" Tuy nhiên dạy học giải Toán không thể tách rời một cách cô lập với dạy học khái niệm toán học và dạy học định lí, do đó khi phát hiện thấy học sinh còn mắc phải nhiều khó khăn và sai lầm trong giải Toán thì điều này cũng có tác dụng khuyến cáo những điểm cần chú ý trong quá trình dạy khái niệm và định lí toán học Đặt...  g ( x) ≥ 0 Do đó, khi dạy học chủ đề bất phương trình, GV phải hình dung trước những sai lầm HS có thể mắc phải để khắc phục kịp thời cho các em Các sai lầm thường bắt nguồn từ việc vận dụng các bất đẳng thức cổ điển mà không để ý tới điều kiện để bất đẳng thức đúng, hoặc sử dụng sai sót các quy tắc suy luận khi từ bất đẳng thức này suy ra bất đẳng thức kia 1.2.4.3 Một số sai lầm khi giải toán... J A Komenxki thì: "Bất kì một sai lầm nào cũng có thể làm cho học sinh kém đi nếu như giáo viên không chú ý ngay đến sai lầm đó, và hướng dẫn học sinh nhận ra, sửa chữa khắc phục sai lầm" (dẫn theo Nguyễn Anh Tuấn 2003) Tâm lí học đã khẳng định rằng: "Mọi trẻ em bình thường không có bệnh tật gì đều có khả năng đạt được học vấn toán học phổ thông, cơ bản dù cho chương trình toán đã hiện đại hóa" [12,... tài liệu về lí luận và phương pháp giảng dạy môn Toán, các tài liệu về Tâm lí học và Giáo dục học để làm điểm tựa đề xuất các quan điểm hạn chế và sửa chữa sai lầm của học sinh 5.2 Nghiên cứu thực tiễn giảng dạy: Qua thực tiễn sư phạm, qua các tài liệu để nắm bắt thêm những kiểu sai lầm của học sinh Trung học phổ thông khi học chủ đề phương trình, bất đẳng thức và bất phương trình 5.3 Thực... 3: Giải và biện luận bất phương trình m(x – m + 3) ≥ m(x - 2) + 6 (?): Bất phương trình ⇔ mx - m2 + 3m ≥ mx - 2m +6 ⇔ m2 – 5m + 6 ≤ 0 ⇔2 ≤ m ≤ 3 Vậy nghiệm của bất phương trình là: 2 ≤ m ≤ 3 10 (!): Thực ra 2 ≤ m ≤ 3 chỉ là điều kiện để bất phương trình có nghiệm chứ không phải là nghiệm của bất phương trình Khi m nằm ngoài [2; 3] thì bất phương trình sẽ vô nghiệm và ta vẫn phải đề cập đến trường hợp... bản chất của tham số, không hiểu nghĩa của cụm từ “giải và biện luận”, lẫn lộn giữa “biện luận theo m” và “tìm m” Khi giải biện luận phương trình (bất phương trình) có tham số m, nhiều học sinh quy về tìm m để phương trình (bất phương trình) có nghiệm Ví dụ 1: Giải và biện luận phương trình m(x + m) = x + 1 9 (?): Học sinh chuyển x về một vế và đưa về: (m - 1)x = 1 - m 2 từ đó rút ra 1 − m2 Để phép... mệnh đề toán học và nghĩa của những cách đặt vấn đề toán học Phương diện cú pháp của Toán học là mặt xem xét cấu trúc hình thức và sự biến đổi hình thức những biểu thức toán học, sự làm việc theo những quy tắc xác định và nói riêng là sự làm việc theo thuật giải” [16, tr 80] 20 Theo A A Stôliar, không ít học sinh còn yếu trong việc nắm cú pháp của ngôn ngữ toán học, chẳng hạn, học sinh cho rằng: (a... x = kπ , k ∈ Z 3 Trong đơn vị đo góc lượng giác là radian và độ, học sinh không hiểu đây là hai đơn vị đo khác nhau nên dẫn tới sai lầm viết nghiệm của các phương trình: sin ( 2x - 1) = sin (x + 3) là x = 4 + k3600 hoặc x = 600 - 2 + k360 0 , k ∈ Z 3 Không nắm vững khái niệm nghiệm của phương trình và bất phương trình nên khi giải phương trình x + 1 + x − 1 = 2 ⇔ −1 ≤ x ≤ 1 học sinh không thừa nhận ... Toán cho học sinh phổ thông trung học thông qua việc phân tích sửa chữa sai lầm học sinh giải Toán" (1996); Luận văn Thạc sĩ của Nguyễn Hữu Hậu: “Nghiên cứu số sai lầm học sinh Trung học phổ. .. việc phát hiện, uốn nắn sửa chữa sai lầm cho học sinh học Toán Vì điều nên học sinh nhiều gặp phải tình trạng sai lầm nối tiếp sai lầm Rất nhiều nhà khoa học nhấn mạnh tới vai trò việc sửa chữa sai. .. tích học sai lầm học sinh" [39, tr 105], theo J A Komenxki thì: "Bất kì sai lầm làm cho học sinh giáo viên không ý đến sai lầm đó, hướng dẫn học sinh nhận ra, sửa chữa khắc phục sai lầm" (dẫn