ũề ề é ề ỉ ỉ ề ề ừề ì ề í ỉệểề ỉ ể ắ ỉ ễ ỉừ èệ ú ễ ì ề ỉệểề ẩ ừẹ ủ ặ ỉá ễ ềủí éủ ể ể ừí ễ ỉểủề ỉ ũểá ỉệí ề ỉ ủ ẹ ĩ ề èểụề ề ú ũẹ ề ề ề ỉ ủề ụ ỉ ừỉ ề ề ũẹ í ềỉ ẹ éủẹ ế ề ụ ỉ ể í ề ì ỉệểề ề ễ èệ ẹ ỉệểề ề ủ ụ ụ ậ ì ỉ ỉ ề ề ẹ ĩ ề ủí ỉ ẹ ỉ ề ỉ ề é ề ề ỉ ề ề ì ìỳ ỉ ẹ ỉ ủ ặ èậ èừ ặ èệ ề ểủề ỉ ủề ỉ ụề ậ ề é ề ềủí ề ẹ ắẳẵ ặ í ề è ề ẩ ề ì ũề ỉ ềá ủ ỉ ũể ề ẹ ụ ỉụ ẹá ỉểủề ỉệụ ểủề ỉ ủề ề ẹ ĩ ề ẹ ề ề èậ èừ ặ èệ ề ú ẹ ể ề ủ é ề é ề ỉ ỉ ề ũ ú ể ề ề ỉệ ề ễá ề ỉệểề ề ề ẹ ỉụ ì ỳề ẹ ề èệểề ỉ ẹ ẹ èủ é ỉ ếũ ỉệểề ỉ ếũ ẹ é ề éủ ũ ếụ ỉệ ề ũể ẹ ỉ ì ỉ ề ỉủ é ỉ ếũ ề ẹ ĩ ề ẹ ỉ ụề ậ ề ề ẹ ắẳẵ ặ í ề è ề ỉ ề ẹ ũể ụ ặ ì ủ ặ é ề ẩ ề ề ểủề  é èệ ề ẵ ềè ẵẵ ỉ ủ ủ ụ ẵẵẵ ỉ ủ ẵẵắ ỉ ủ ụ ề ụ ủẹ ỉ ẵắ ắ ề ề ề ề ụ ề ề ẹ ủẹ ìí ệ ề ề ụ ủẹ ìí ệ ắắ ề ề ụ ủẹ ẵ ề ũẹ ề D () ề ủ ề ề ụ ủẹ ìí ệ ề ểệ ề ệ ểệ ẵ ỉ ề ẹ ề ẵ D () ề ắẵ ẹ ẵ ắẵ ệ ỉệểề L1 (R) ắẵ ắ ẩ ễ ề ểệ ệ ỉệểề L2 (R) ắ ẩ ễ ề ểệ ệ ỉệểề S (Rn ) ắ ễ ề ểệ ệ ỉệểề S (Rn ) ẩ ỉ é ề èủ é ỉ ẹ ũể ẵ ể ề ỉủ ủẹ ìí ệ ề ừể ễễ ề ế ề ỉệ ề ủẹ ệ ề ủẹ ìí ệ ề ủẹ ì ủẹ ể ẹủ ẹ ỉ ề éủ ủẹ ề ỉ ẹ ỉ ẹ èừ ặ èệ ệ ủẹ ìí ệ ề ụ ề ề ề ụ ễ ẹ ẹ ủẹ ỉ ề ẩ ễ ẹ ủ ụ ề ỉủ ểệ ệ ề ề L1 , L2 ụ ề ụ ủẹ ũỉ ỉ ỉệ ề ẹ ề áề ỉ ẹ ề ỉ ề ì ề ỉ ụ (x) ề ề ề ụ ề ủẹ ỉ ụĩ éừ ủẹ ìí ệ ề ú ệ ề ỉ ì í ề ễ ễ ề ụ ủẹ ìí ệ ề ậ ệỉị ề ĩ í ề ì ẹủ ề ề ề ề èậ ểệ ệ ỉệểề ỉệ ề ề ề ề ề ụ ề ỉệểề ủẹ ề ủẹ ìí ệ ề  é ề ề ẵ ềỉ ề ễ éỉ ề ụ ề ề ểủ é ễ ụ ũ ỉ ỉ ủể éủ ẹ ỉ ề ỉệểề ủể ụ ặ ềủí ỉ ẹ ề ề ẹ ỉì ủ ụ ề ẹ ềỉ ỉ ểề ề é ề ề ặ ụ ề ặ ề ẹ ủ ề ề ủ ỉ ề ụ ễ ễ ỉểụềá ỉ ề ềủí ỉ áỉ ề ỉ ỉ ề ắ ề ề ề ỉ ề ề ụ ề ề ụ ủẹ ỉ ủẹ ìí ệ ề D () D () ủẹ ìí ệ ề ề ụ ủẹ ìí ệ ề ề ề ủẹ ìí ệ ề ề ề ụ ủẹ ìí ệ ề ặ ủ ề ề ề ủ ỉ ề ề ụ ề ủẹ ỉ ề ề ỉ ề ẹ ểệ ệ S (Rn ) ề ụ ủẹ ũẹ ề ề S (RRn ) ề ềủí ề ì ủể ễ ễ ắ  ề ểệ ề ề ặ ề ề ặ ề ặ ễ ễ ề ặ ề ễ ễ ẩ ề ễ ề ụễ ề ỉệ ểệ ề L1 ệ ỉệểề ề ụ ủ L2 ỉ ủẹ ìí ệ ề ểệ ề ề ụ ậ ệỉị ểệ ề ệ ề ỉ ìể ìụề áỉ ề ệ ỉệểề ủẹ ìí ệ ề ễ ụễ ễ ỉủ é ệ ỉệểề ề ề ặ ề ề ủẹ ìí ệ ề ẹ  ề ẩ ụ ễ ễ ễ ề ỉ ủẹ ìí ệ ề ề ẵ ềỉ ẵẵ ề ỉ ủ ủ ẵẵẵ ỉ ủ ụ ề ẹ Zn+ = {x = (x1, x2, , xn) : xi Z+} Rn = {x = (x1, x2, , xn) : xi R} C () è ễ ụ C k () è ễ C () ủ ỉ Lp () ủẹ é ễ ụ ễ è ễ ủẹ é ễ ụ ễ ụ ề ỉ ỉệểề ề ỉ ủẹ ủẹ ũ ể ỉ f = Lploc () è ễ í ỉ ễ ụ f ũ ỉ ễ ụ ủẹ ỉệểề ỉ  ỉ éủ ẹ ỉ f ĩụ ủẹ ề ừể ủẹ ệ ừềá é ể ề ề é ề ỉ ỉ ề ỉ ỉệ ề ỉệểề ì ễ ỉệ ề ì ể ể 1p |f (x)|p < ũ ỉ ỉệ ề ễ ề ì ể ể ẹ p, p ỉệ ề ẻ ểẹễ ỉ ỉệểề ỉ ẻ ừề ì = (1 , 2, , n) , j Z+, j = 1, 2, , n í ềạ ì ủ í ễ || = + + + n éủ èểụề ỉ ễ ề é ề ỉ ì éủ D = D11 D22 .Dnn ỉệểề j , j = 1, 2, , n, i = Dj = ixj j ể ẻ = 11 22 nn ẵẵ  ể xj j = (x, y, z) = x3 + y + z , = (1; 2; 3) Z+3 ủẹ = x1 y2 z3 = x1y2z3 = 108x2y ể éủ ẹ f (x)á ề ỉ ỉ ỉểụề ỉ ụ ệ ề ễ ũ ủ é ụ ẹ ỉ ủẹ é í ỉ ề ề f :C ề  ỉ ề ẹ E tV ặ éủ ỉ ễ ỉệ ề ỉệ ủ éủ Zn+ ì f C () f ề éủ éủ ể ề ỉệểề ỉ ễ ễ suppf X ỉệ ề ỉệ ề K (, y) y ề ỉ ỉ ễ é ề ề ẻ ầ é ỉệ ề ẹ ỉ ỉ ễ ể K = Cà éủ ì ể ể ụ ụề ề ỉ ẹ ỉ ỉ ễ ầá ẹ ỉ é ề ề K=R K ề ễ ẹ ỉ ì E X s > ề ỉ ề éủ ỉ ễ ì ể ể ề t > s éủ ề ỉ ề ề ỉ ỉ ễ ễ E X x X, t = t(x) = ề ẹ ễ ề ỉ ề  ỉ èệểề ễ ề ỉ f : C, x ủẹ ì ụ ề ẹ (x, y) x + y ề ỉ ề ỉừ ủ é ỉ Supp f = cl {x : f (x) = 0} ẵẵắ ỉ ủ ẹ ỉ Rn ỉệểề ềủí ề ề ỉ ẹ {x : f (x) = 0} ĩừ f ề f C () ề ủẹ ỉỉ ễ ẹ E E ỉ ề ề ỉ ỉ ễ x tE ặ éủ ỉ ễ ểề ề ì ể ể C éủ ỉ ễ ẹủ ỉ ề || ỉ ỉ ẹ ỉ ề ì é ề ề ỉ ề ề ẹ ề ễ ễ ỉ ề ễ ề ề ề ề ỉ ệ ẹúề ỉ ề ề éủ ẹ ỉ d(x + z, y + z) = ềà éủ ỉ ề ỉ ề ểệ é ề ẹ éủ ỉ ễ ểẹễ ỉ ề ụ ể ể ỉ ề é ỉ ễ é éủ ỉ ễ D () ủẹ ỉ ặ éủ ỉ ễ ểẹễ ỉ ỉệểề f C (Rn ) ì ề ề ề ề ề ẹ ỉệ ũẹ ì ề ề ỉ ủ éủ ễ ề ề ề ẵắ ề é ỉ ỉ ỉ ễ ầ ề ẹ ỉệ d(x, y) ỉ ễ ề ỉ Rn ỉ ỉ supp f K ặ Dk éủ ề ề ụ ỉ ủề ẹ ỉ ủẹ Kỉ Dk = {f C () : supp f K} ĩ í ề ủ ệ ề ỉ ỉ ề K ỉ ẹ = j kj ỉệ ề C () ì ỉ ề ểệ é ủ ẹ ỉỉ ễ ủ ề ề ụ ỉ ễ ểẹễ ỉ ề ẹ ỉ ề C () ỉệ ể ể Dk éủ ẹ ỉ ỉ ễ ểề kj (j = 1, ) ì ề pN ỉệ ề ề ể ể ề C () kj int kj+1 C (), N = 1, pN (f ) = max {|D f (x)| : x kN , || N } ẻ ẹ pN VN = ặ ề x ể ề ỉ ĩụ ì ẹ ỉ ỉ ễ ễ ề ủẹ ụ ẳ ỉừ ề f C () : pN (f ) < {fi} éủ ễ x f (x) ủẹ ì ề ụ é úí í ỉệ ề N ề ũ ẹ ỉệ ỉệ ề éủ é ề ỉ ỉ xề ề Dk ể ỉ ễ éủ ề ềủí ể |D fi D fj | < C ()á ặ N ỉệ ề Dk ềủí ẻ ỉệểề éủ C () ụ ỉ ễ ễ , (N = 1, ) ề ỉ é ề ể ề C () kN ề || N fi fj VN i, j ẵẳ ềủí D fi ỉ fi(x) go (x) ỉ ỉ ề ề C () ẹ ề MN < ì ể ể ứề ỉ ẻ í ũềà ỉệ ề ề ề è ề ề ề kN ỉ ỉ ỉ ũ éủ ề ụ ủẹ ẻ ề ề ẻ ể éủ ỉ ễ ểẹễ ỉ Dk á f i go ềủí ề f E ẹ || N ề || N ề ẹ ỉ ỉ ề ề ề ỉ ề ỉừ è éủ é ể ề ỉ ề úí ểề ề é {fi } ì ì ểé ể ể éủ ỉ ễ ểẹễ ỉ ề Dk ừí ỉệ ề ỉ ễ ỉ ỉ ũ ụ ủẹ ỉ í ề ề ụ ủẹ ề ỉ ủẹ ề D() ề ẹ ễ ễ ề ề ụ ủ ụ ỉệ ễ ề ủ ễ ễ ề ề C () ủ Supp C () ủ Supp éủ ỉ ễ ểẹễ ỉ ỉệểề = Max {|D (x)| : x , || N } , N = 1, ẵắ ẹ ủ D () ỉ N ề ẻ kN ề ụ ề í ệữề ỉ g ểệ é ề ề ỉ ệ ỉệ ề ề éủ ẹ ỉ éủ ỉ ễ ểẹễ ỉ ỉệểề ề D () ỉ ủ ề g = D go ỉ úí ỉệểề éủ ỉ ỉệ ề ễ ề Dk ề C () ỉ ề ẵẵ ỉ ễ ểẹễ ỉ ề éủ ỉ ễ ẹ ể ỉ ễ C () ề ề ề C () éủ |D f | MN ỉ ỉ ể ể pN (f ) MN , N = 1, 2, ủ ề í ề é ềỉểệ ỉ {fi} go C () ì ề ểề D (f ) : f E ề ể E C () ũ ì ỉ ề ề ểỉ ễ ỉ ỉệ ề ụ ỉ ễ ểẹễ ỉ ỉ ễ ểẹễ ỉ éủ ỉ ỉ ũ ụ +W ệ ề ủ ẹ éủ ỉ ễ W D() ề K ễ ề K , k éủ ỉ ễ ỉ ỉ ũ ụ ỉ ễ é ẹ ẹ ỉ ỉ ễ ừề ỉệểề ì ể ể Rn ề ề ệ Dk W k D() ủ W ỉ ẵẵ ề é ẵẵ éủ ẹ ỉ ỉ D () ề è ễ ề ẹ ề ề è éủ ẹ ề ề D () ủ ỉ ề ẹ ề ỉ ề ề ỉ ễ éủ ẹ ỉ ỉ ễ ì ễ é ễ ề ề ề ẹ ỉ ũ ì V1 , V2 , V1 V2 ề ẹ ề àá ỉ ề ề ẹ ề + W V1 V2, W è ể ề ề ỉ ỉ ề ỉừ i + Wi Vi , (i = 1, 2) ề ì ể ể Dk ụ i D() , , ẻ ể ỉ ề i (1 i )Wi, i > ẵẵà é Dk Wi Wi Wi ủ éủ ẹ ì ể ể Dk ỉệểề ề ề ề ề i + i Wi (1 i)Wi + i Wi = Wi + iWi i + Wi Vi (i = 1, 2) ể ẵẵà ề W = (1 W1) (2W2) ẻ , D() ũ ì = Max |(x)| ỉ éủ ỉ ễ x ề ỉ ề ẩ ễ ề éủ é W ỉệểề ề ỉ á ỉ ễ ễ ề ề ểỉ ề ủ ề ề ì ể ể ẹ ề ề ềữẹ ỉệểề + W ể é ẹ ỉ ễ ề ẹ ỉ = ( ) + ( )0 12 W ề < 0} + 12 W = (1 + 2) + W, , D() ẻ ỉ W = { D() : í ề ặ 2c(|0 | + ) = W ề ề ủ ẹ ỉ W ỉ + 21 W + D() > ẻ ẽ éủ ỉ ễ é ề ì ể ể ề ề ắ ắ ẩ ễ ề ề ề ụ ề ề ểệ ủẹ ủẹ ũẹ ề ũẹ ề L2 (R) ệ ỉệểề S (R) éủ ỉệ ề ề f : R C, f C , sup xm S (R) = xR í éủ ụ ẹ ề ề ẵ ề ểệ ề ệ f () = (2) ể ễ Ff ỉệểề n L2 (R) ẹ ỉ ỉệểề dl f (x) < , m, l dxl ề ềủí S (R) ĩụ ề ề ỉ eix f (x) dx, R R ỉ ụ ỉệ ề é ề ẹ ề ề ỉ è ỉ ễ ũ éủ ẹ ỉ í ề ẹ ề ề ỉ ứề L2 (R) L2 (R) S (R) éủ ẹ í ệữề ề ỉ ỉ ề ề í ề ề ẹ ỉệ ẹ ỉ ề ỉệ ề ề ề ề = k f ề ề ề ề S dp sup x dxq xR p p+qk S (R) ề ề f ẻ íá ỉ k éủ ẹ ỉ ề ề ề ề ỉ ề ề ề d (f, g) = k=1 ề ẹ ề ắ ẵà ỉ ặ f k ễ ũ éủ ẹ ỉ ềà ẹủ éủ ẹ ỉ ẹ ỉệ f g k 2k , [0, ) 1+ f g k ẹúề éủ ẹ ỉ ỉ ỉ ểũề ụ ỉ ỉ ẹ ềá d (f, g) = éủ ẹ ứề f g 1+ f g ụ ỉ ẵà ì ắ ề ề ắ ủẹ ìí ệ ề éủ ẹ ỉ ủẹ ỉí ề ỉ ề ề df du (f ) = u dx dx u : S (R) C è ỉ í V L2 (R)á ĩụ u, f =  f (x) u (x) dx, R L (R) S (R) = {u : S (R) C} ẻ ề : S (R) Cá ắ H= ủ (f ) = f (0) 1, x 0, x < H (f ) = y S (R) èệểề d df H (f ) = H dx dx F ỉ ỉ f (x) dx, f S (R) f Hdà = R ỉ ẹ ệ ề ỉ ẹ ỉỉ ễ = ễ ỉệ df = f (0) = (f ) dx ẹ ỉ ỉệểề L2 ủể L2 í ề í ệữề ặ fn S (R) , fn f ỉệểề L2 (R) ỉ fn fm ẻ íá ễ ễ F ề = fn fm L2 ỉệểề ỉ F fn = f ỉ ẹúề 0, n ĩụ ề F f = lim fn ; f = lim fn , fn S (R) n n ẻ íá ậ ặ F : S (R) S (R) L2 (R) ể ỉệ ẹ ỉ ề ề ụ ẹ ề í ủẹ ề ụ ềủíá f n Sn ể ẹ fn f, n ề ủẹ ậ ệỉị ỉ ềễ ũ f L2 (R) ề ẹ ề ì ỉ ề ỉừ ẹ ỉ ắ ề é ặ fn f, fn S lim fn = lim fn = f n n ỉ Ff ề ĩụ ẹ ề ề í ề fn f, fn fn ỉệểề L2 (R)á ỉ f n f ề ẹ ề ẵ fN f è é ặ L2 (R) ỉ í = (2) f n f S (R) éủ ỉệ ệữề ề ỉệểề L2 (R) ỉ ỉệểề ẹ ỉ ỉệểề f L2 (R) ủ N ệữề L2 (R) ẹ ỉ ể ắ f (x) , |x| N fN (x) 0, |x| > N ìí ệ 0, |x| N ||f fN | | = f (x) , |x| > N ủ f fN |f (x)|2 dx = |x|N N f ắ ặ ể ề ỉ ỉ ề ề ễ ề ề ỉ ụ g (y) = f (2Ry)á ề ề ểủ ỉ ề ũ ỉ í ụ ỉ ỉ ếũ ỉệểề g= ỉ ỉệểề ủẹ ìỳễ ĩ ễá ỉệ ề [1; 1] , g L2 (R) ề ỉệ ề ỉệểề L2 (R) S (R) úí ỉệểề ề ủẹ ề ểệ éừ ụ ủẹ g ì ỉệ ệ Cneiny L2 C : gm (y) = L2 ([; ]) |n|m Cn einy C ([; ]) ỉ ề g ỉệểề ỉ ắ ề gm g è ỉ ứề ề ì ỉ ề ỉừ 1, |x| X (x) = 0, |x| L2 ([; ]) Xgm Xg ỉệểề ỉ í 2 ề |Xgm Xg| dx = ỉ ứề ề X |gm g| dx x 2R Xgm = ệữề ẹ ỉ fm C (R) ẹ ề ủ ủẹ ỉệ ề xl Cn,l éủ ẹ ỉ ữề ề ỉ ề é ề ề ỉệểề ẹ ề C ủề ề ễ ũ ĩ í ặ f L2 (R)á m ủ fm (x) ủ |x| 2R íá í éủ dp f cn,l dxp ì fm S (R)á ủ ẹ ề |gm g|2 dx x S (R) 2R fm = Xgm ề X ủ L2 ([; ]) ỉệểề X C (R)á ủẹ a, b R ủ ỉ í ề ề X > 0, ỉ ề ủẹ í ễ ũ éủ ểủề ỉ ủề ỉ X : R [0; 1] í e x 1, x > f (x) = 0, x < ề ủẹ ỉệ ề 1, x [a, b] X (x) = 0, x (, a ] [b + , ) ẵ è éủ C ĩụ ắ ề ỉ ề ẹ ề ềủí ẹ ề ữề ễ ề ễ ụễ ếí ềừễ è ề dk pk (x) x = ex e dxk x2k èệểề ề Pk éủ ẹ ỉ ỉ ềủí éủ ề ề ề ỉ éụí ẹ ỉ ề dk+1 x2pk 2kxpk + pk x ex e = dxk+1 x2k+2 è dk f pk (x) lim+ k = lim+ 2k e x xo dx xo x ắ X= ề ỉ ĩ í ề ẹ ỉ ụ  ỉ ề ì f (x a + ) f (x + b + ) f (x + a + ) + f (x a + ) + f (x + b + ) + f (x b + ) ề ỉ |x| N í L1 ỉ ẹủ ỉ ề íá ề ỉ ềủí ỉ ề ỉệểề ỉ ẹúề L2 (R) ề ữề ụ ì ề ề ẹ ề f = 0á ểệ 1 (2N ) f 2, f S (R) ủ f (x) eix dx, sup f () f () = |f | dx R R R n f ỉệểề ệ ỉệểề éủẹ L2 [N, N] L1 [N, N] , f n L1 ậí ệ sup f n f n R ắ ẩ ễ ề ề f ể ề Ff ểệ f S (Rn ) ũ ì ĩụ S (Rn) ệ ỉệểề ề ểệ ệ ủẹ f éủ ề f () = (2) n eix f (x) dx, Rn Rn ủ ề ểệ ệ ề ủẹ n f () = (2) fá éủ f ể Ff1 ĩụ ề eix f (x) dx, Rn Rn ẻ  è f (x) = e ể x 2 ỉ f = f ỉ í + n 21 ixk k (2) f () = k=1 e n 2k = ủẹ e z éủ ủẹ ũ ỉ ề ề R 21 z 0= e R 12 t2 dz = e R k 12 R2 + e k 12 eiR e Ck ỉệểề ụ éủ ề ểề e (t+ik ) dt dt R CR e (xk ik ) dxk (2) k=1 ẹủ dxk + 12 e x2 k ề ỉ ể d ề 1 2 e R eiR e d ẹ ề ểừề [R, R] , [R, R + ik ] , [R + ik , R + ik ] , [R + ik , R] ẹ ẳ R ẹủ lim R R k lim R 21 t2 e + dt = 12 t2 e R dtá lim R R 2 e R eiR e dt = = lim k R e (2) 1 2 e R eiR e d e f () = f () ề ắ ũ ì ề 21 í f = f ỉ ẩ ệì é f, g S (Rn ) ẹ ề Rn ẩ ễ ề ề ỉ ễ f (x) g (x) dx ề ểệ ệ ẹ ỉ ề ắà éủ ỉ ề ỉừ ủ Rn Rn n = (2) Rn = S (Rn ) éủ ề Rn eixy f (y)dy g (x) dx f (y) Rn eixy g (x)dx dy f (y) g (y) dy = Rn ũ ì ủẹ ỉ ề ề n ắà Rn f (x) g (x) dx = (2) ề Rn ỉệ ề ề ề e xk dxk = dxk = (2) f (x) g (x) dx = ề e (t+ik ) dtá + 21 (xk ik ) í dt = + 21 + 12 (t+ik ) f (x) g (x) dx Rn f, g S (Rn ) n (f g) () = (2) f () g () ề ẹ ề ậ ề ề ề ễ ễ ề ểệ ệ ủ ề é ề ỉ ẵ n (2) (f g) () = (2)n eix (f g) (x) dx Rn = (2)n Rn = (2)n Rn = (2)n Rn eix Rn Rn f (x y) g (y) dy dx ei(xy) f (x y) eiy g (y) dy dx eiy g (y) Rn n = f () (2) ei(xy) f (x y) dxdy eiy g (y) dy Rn = f () g () n ẻ í (f g) () = (2) f () g () ề ẻ ẹ ũ ì ì f S (Rn )á ỉ D f () = (i)|| (x f ) () D f () ẻ ẹ ì = i|| (x f ) () ỉ f () = (i)|| D f f () = i|| D f () () ắ ề ẹ ề è n D f () = D (2) n = (2) Rn eix f (x) dx (ix) eix f (x) dx Rn = (i)|| (x f ) () è ề ỉ è ỉ ề = i|| (x f ) () D f () n f () = (2) (iDx ) eix f (x) dx Rn n = (2) eix (iDx ) f (x) dx Rn = (i)|| D f è ề ỉ ề ề = i|| D f f S (Rn ) ẹ ề ũ ì ẻ Rn f, S (Rn )á n eix (2) R = Rn f () n () () (f ) = f ể eiy f (y) dy () d = n eix f () (2) Rn eix f () () d Rn eiy (y) dy d ặ ề ỉ ể ề é ề ỉ Rn n f (y) (2) = Rn ei(xy) () d dy Rn n (y) (2) ei(xy) f () d dy Rn í f (y) ( ) (x y) dy = Rn (y) (f ) (x y) dy Rn ề n (x) = (2) e ỉ x 2 x , > , (x) = n () = () = () ặ ề f (y) (x y) dy = Rn ể 0ỉ ẻ í ề (x y) dy Rn f (x) = f (f ) = f (y) f ũ ì ẹ (x) f S (Rn ) f, S (Rn )á n (f ) () = (2) f () () n (f ) () = (2) f () () n (2) (f ) () = f () () n (2) (f ) () = f () () ề ẹ ề è ể ề é n (f ) () = (2) Rn eix Rn = ề ỉ Rn f (y) (x y) dy dx n eiy f (y) (2) ei(xy) (x y) dx dy Rn eiy f (y) dy. () = Rn n = (2) f () () n è ề ỉ ỉ è ề f L1 (Rn ) ỉ ề ề ụ ề ề ỉệ ề ẩ ề ề éủ ẩé ề ề ỉ ề n () = (2) (f ) () ủ ụ ỉ ề ỉ ì ỉ ỉ ỉỉ ề ỉ ề ỉệ ề ẹ ỉ ỉểụề ỉ ệ é ụ ỉệ ề í ề ỉ ỉ f L2 (Rn ) ềủí ễ ể ề ề f é ề : S (Rn ) S (Rn ) ĩừ ề ề f f L2 (Rn ) ỉ ề ề n f () = (2) ẻ n () = (2) (f ) () f () n f () = (2) (f ) () = (2) f () () f ẹ ề ểệ ể Ff éủ ỉ ỉệểề ệ ỉệểề f S (Rn ) ể ỉ ề ủẹ ìí ệ ề ỉệ ề ẵ S (Rn) ểệ ỉ ề ệ f , = f, , S (Rn ) ẹ ủẹ ìí ệ ề ĩụ ề fá ủ ỉ ề ề ểệ ẹ ĩụ ệề éủ f ể f ể Ff1á éủ ủẹ ìí ệ ề ề f , = f, , S (Rn ) ề ẻ ẹ ũ ì ì f S (Rn ) ỉ D f () = (i)|| (x f ) () () = (i)|| (x f ) () D f ẻ ẹ ì ỉ f () = (i)|| D f f ề ũ ì () = i|| D f () () f S (Rn ) , S (Rn ) n (f ) () = (2) () f () n (f ) () = (2) () f () n (2) (f ) () = f () () n (2) (f ) () = f () () ề ề ẹ ề ểệ ẻ ệ f S (Rn ) , S (Rn ) (f g) éủ ủẹ ìí ệ ề ỉ ề f S (Rn ) ỉ ẹ ĩụ (f ) , = f , = (f ) ( ) = f, ( ) n = (0) f, ( ) n ề = f, (2) () = (2) f , è ề è ỉ n (f ) () = (2) () f () n (f ) () = (2) () f () S (Rn ) ề èệểề ề n f () = (2) ( ) (f ) n (f ) () = (2) ( ) (f ) ẻ è  ể ủẹ ệ ĩụ n () = (2) (f ) () n () = (2) (f ) () , = (0) ề n ỉ = (2) ỉ í n , = , = (0) = (2) (x) dx Rn n (2) (x) dx = Rn n = (2) , , S (Rn ) n ậí ệ = (2) ỉ é ề èệểề ẹ ú ừể ề ũ ỉ ề ủẹ ệ ẹ ề ề ì ề ỉ ẹ ề ề ìí ệ ề ễ ễ ì ỉ ề ẻ ề ễ ỉệểề ề ẹ ỉ ễ ỉ ề ề ỉệểề èểụề ụ ẹ ỉ ì ẹ ề ề í è ề ỉ ề ỉệ ề ụ D () ề ề ế ú ệ ẹ ỉ ì ề ủ ỉ í ề ề ẹ ể ỉ ề ẹ ề ể ỉ é ề ủẹ ề ĩ ỉá ệ ỉ ẹểề ừề ỉ ỉ ỉủ ề ẹ ỉ ụ ẹ ủẹ ìí ệ ề ỉ ếũ èí ề ỉ ủ ụ ề ỉ ủí ẹ ỉ é ề ềủí ẹ ề ề ủẹ ỉ S () ề ụ ỉệ ề ề ủ ẹ ủ ề ụ ể ề ề ề ỉ ệ ỉệểề ủí ề ụ ỉ ề ề ề ẹ ỉ ì S () ẹ ỉ ề ề ụ ễ ỉ ệ ẹ ề èệểề ụ ề ề ểệ ỉệ ề ủẹ ìí ệ ề ú ế ỉ ề ểệ é ề ụ ế ề ỉệ ề ễ ế ề ỉệ ề ỉ ừề ề ề ễ ú ụ ể ụ ễ ề ề é ề ềủí éủ ẹ ỉ ỉệểề ề ụ ễ ễ ỉệ ủẹ ìí ệ ề ẹ ủ ẹ ỉ ì é ề ềủí ỉí ề ỉ ề è ề ỉ ể ề ề ì ểủề ề ễ ừẹ ủ ỉ ề ỉ ì ỉ ểề ểủề ỉ ề ề ề ế ề ỉ ừềá ỳ ỳề é ề ề í ủ ụ ề ỉ ủề ũẹ ừề ề ề ề ễ ỉệụề é ề ề ỉủ é ỉ èủ é ỉ ề ẻ ẵ ặ í ề ẩ  í ẵ ặ ắ èủ ề é ệ ỉ ắàá ụể ỉệ ề è ề ắẳẳ àá ỉ ệ ề ũ ỉ ủẹá ậ ễ ừẹ ủ ẽ éỉ ệ ấ é ỉ í ỉ ủẹ ìí ệ ề ủ ề ề ậể ểé ỉểệìá ậễệ ề ề ắẳẳ àá ì ề ìì è ũể ắ ề ẹ ìỉệ ỉ ểềì ề ầễ ệ ệ ậ ề á ề ẵ ắẵàá ề ỉ ểề é ề éíì ìá è ỉ ệ ééá ề áặ ặ ể èệ ắẳẳ àá ẻ ềìỉ ỉỉ è ểéểẹ ỉéí ể ì ề ỉ ểệí ể ề ệì ỉí ể ề ệ ẹìỉ ệ é ị ề ỉ ểềìá ẹè ặ ỉ ệạ é ề ì ẽ é ẽẽểề ìỉệ ẵ ỉ ểề è ểệí ề ệ é ị àá ẽ íé èệ ềì ểệẹìá ậễệ ề ề ỉ ểềìà ặểỉ ì ệạ ẻ ệé ặ ểệ ề [...]... = + log |x| D (x) dx = 0 + = log |x| D (x) dx 0 ễ ề ỉ u = log |x|á dv = ỉ log |x| D (x) dx 0 = lim+ ỉ f (x) D (x) dx D (x) dx ủ ụễ = lim+ 0 + (x) dx + x ề 0 ỉ ề ề ỉệ ề ỉ D (R) \L1 l og (R) éủ ề ỉ ỉ ễ ề ỉ ề lim+ 0 ụ ỉệ ề ỉ ề ỉ ỉ ỉ (x) x dx ỉ ễ ề + + ề (x) dx + x ủẹ 1 x 1 x 1 x ừề D (R) (x) x dx + + í ề ề (x) dx x (x) dx x lim+ [ () ()] log = 0á ỉ ề 0 ặ ề log |x|... ề F f = lim fn ; f = lim fn , fn S (R) n n ẻ íá ậ ặ F : S (R) S (R) L2 (R) ể ỉệ ẹ ỉ ề ề ụ ẹ ề í ủẹ ề ụ ềủíá f n Sn ể ẹ fn f, n ề ủẹ ậ ệỉị ỉ ềễ ũ f L2 (R) ề ẹ ề ì ỉ ề ỉừ ẹ ỉ ắ ề é ặ fn f, fn S á lim fn = lim fn = f n n ỉ Ff ề ĩụ ẹ ề ề í ề fn f, fn fn 0 ỉệểề L2 (R)á ỉ f n f ề ẹ ề ẵ fN f è é ặ L2 (R) ỉ í 2 = (2) f n f S (R) éủ ỉệ ệữề ề ỉệểề L2 (R) ỉ ỉệểề ẹ ỉ ỉệểề f L2 (R)... i i i2 2 i2 2 eix dx i ắ ắ ẩ ễ ề ề ề ụ ề ề ểệ ủẹ ủẹ ũẹ ề ũẹ ề L2 (R) ệ ỉệểề S (R) éủ ỉệ ề ề f : R C, f C , sup xm S (R) = xR í éủ ụ ẹ ề ề ẵ ề ểệ ề ệ f () = (2) ể ễ Ff ỉệểề n 2 L2 (R) ẹ ỉ ỉệểề dl f (x) < , m, l dxl ề ềủí S (R) ĩụ ề ề ỉ eix f (x) dx, R R ỉ ụ ỉệ ề é ề ẹ ề ề ỉ è ỉ ễ ũ éủ ẹ ỉ í ề ẹ ề ề ỉ ứề L2 (R) L2 (R) S (R) éủ ẹ í ệữề ề ỉ ỉ ề ề í ề ề ẹ ỉệ ẹ ỉ ề ỉệ ề ề ề ề = k f... x2k+2 è dk f pk (x) 1 lim+ k = lim+ 2k e x 0 xo dx xo x ắ X= ề ỉ ĩ í ề ẹ ỉ ụ  ỉ ề ì f (x a + ) f (x + b + ) f (x + a + ) + f (x a + ) + f (x + b + ) + f (x b + ) ề ỉ |x| N í L1 ỉ ẹủ ỉ á ề íá ề ỉ ềủí ỉ ề ỉệểề ỉ ẹúề L2 (R) ề ữề ụ ì ề ề ẹ ề f = 0á ểệ 1 1 (2N ) 2 f 2, f S (R) ủ f (x) eix dx, sup f () f () = |f | dx R R R n f ỉệểề ệ ỉệểề éủẹ L2 [N, N] L1 [N, N] , f n L1 ậí ệ sup f n f... ễ ề + + ề (x) dx + x ủẹ 1 x 1 x 1 x ừề D (R) (x) x dx + + í ề ề (x) dx x (x) dx x lim+ [ () ()] log = 0á ỉ ề 0 ặ ề log |x| D (x) dx log |x| D (x) dx + Df, = lim+ [ () ()] log + èệểề + (x) x dx ề ỉ éủ ỉ ễ ề èí ề Dlog |x|á + L1 loc (R) ề ề ỉ (x) x dxá ẵ ắắ ề ề ụ ủẹ ìí ệ ề ề ĩụ ề ắ ề ỉ ề ề ủ ề ề ụ ẹ (Rn ) éủ f ủẹ ì ũẹ ề ềS ề ỉ ễ ụ ủẹ ỉệ ề Rn ề ề ỉí ề ỉ ề ì ể ể C0 (Rn )... ứề ề ì ỉ ề ỉừ 1, |x| 1 X (x) = 0, |x| L2 ([; ]) Xgm Xg ỉệểề ỉ í 2 2 ề |Xgm Xg| dx = ỉ ứề ề X 2 |gm g| dx x 2R Xgm = ệữề ẹ ỉ fm C (R) ẹ ề ủ ủẹ ỉệ ề xl Cn ,l éủ ẹ ỉ ữề á ề ỉ ề é ề ề ỉệểề ẹ ề C ủề ề ễ ũ ĩ í ặ f L2 (R)á m ủ fm (x) 0 ủ |x| 2R íá í éủ dp f cn ,l dxp ì fm S (R)á ủ ẹ ề |gm g|2 dx 0 x S (R) 2R fm = Xgm ề 0 X 1 ủ L2 ([; ]) ỉệểề X C (R)á ủẹ a, b R ủ... (R) C è ỉ í V L2 (R)á ĩụ u, f =  f (x) u (x) dx, R 2 L (R) S (R) = {u : S (R) C} ẻ ề 0 : S (R) Cá ắ H= ủ 0 (f ) = f (0) 1, x 0 0, x < 0 H (f ) = y S (R) èệểề d df H (f ) = H dx dx F ỉ ỉ f (x) dx, f S (R) f Hdà = R ỉ ẹ ệ ề ỉ ẹ ỉỉ ễ = ễ ỉệ df = f (0) = 0 (f ) dx 0 ẹ ỉ ỉệểề L2 ủể L2 á í á ề í ệữề ặ fn S (R) , fn f á ỉệểề L2 (R) ỉ fn fm ẻ íá ễ ễ 2 F ề = 2 fn fm L2 ỉệểề ỉ F fn... L2 (R) ủ N 2 ệữề 0 L2 (R) ẹ ỉ ể ắ f (x) , |x| N fN (x) 0, |x| > N ìí ệ 0, |x| N 2 ||f fN | | = f (x) , |x| > N ủ f fN 2 |f (x)|2 dx 0 = |x|N N f ắ ặ ể ề ỉ ỉ ề ề ễ ề ề ỉ ụ g (y) = f (2Ry)á ề ề ểủ á ỉ ề ũ ỉ í ụ ỉ ỉ ếũ ỉệểề g= ỉ ỉệểề ủẹ ìỳễ ĩ ễá ỉệ ề [1; 1] , g L2 (R) ề ỉệ ề ỉệểề L2 (R) S (R) úí ỉệểề ề ủẹ ề ểệ éừ ụ ủẹ g ì ỉệ ệ Cneiny L2 C : gm (y) = L2 ([; ]) |n|m Cn einy ... 1}, = R H D (R) ủ H (x) ệ ề è ỉ í ũ ỉ H (x) L1 loc (R) ễ ề H (x) (x) dx = H, = Rề ủẹ ìí ề (x) dx 0 D H, = (1)|| H, D , D (R) ề + + è ỉệ ề ĩụ í + DH, = (1)1 H, D = + 0 = H (x) D (x) dx 0.D (x) dx 0 + 1.D (x) dx = 1.D (x) dx 0 = (0) = , , D (R) = (x)|+ 0 DH = ẻ í ẻ  ắ f ủẹ éủ ủẹ f : R R ề ỉệ ề f (x) = log |x| è ũ ỉ ễ R ể f x log |x| éủ ẹ ỉ + f, = è ỉ ề Df ề ềủí ỉ f (x)... ề f L1 (R)á ủẹ ề 1 f () = 2 é L1 (R) ệ ỉệểề ỉệ ề f (tn ) f (t) ề tn t ỉ ẵà + |f (x)| eitx dx |f (x)| ủ ề ể ắẵ ề ề é ì ỉ ỉ ề ỉ ẹ ỉ ề ắắ ẻ ủẹ ì x h (x)á ỉ 2 f (t) = h éủ x h (x ) ủẹ ì + f (x) eit( x+ t ) dx + f t (x) eitx dx = ậí ệ 2 2 f (t) = + + f (x) f t (x) eitx dx f f t ậí ệ f 0 ẵ ặ 1 f (x) f t (x) dx , t R (t = 0) t f Lp (R) , 1 p < ỉ ẹ y R ụề ĩừ F :R Lp (R) ... (x) dx x (x) dx x lim+ [ () ()] log = 0á ỉ ề ặ ề log |x| D (x) dx log |x| D (x) dx + Df, = lim+ [ () ()] log + èệểề + (x) x dx ề ỉ éủ ỉ ễ ề èí ề Dlog |x|á + L1 loc (R) ề ề ỉ (x)... = log |x| D (x) dx ễ ề ỉ u = log |x|á dv = ỉ log |x| D (x) dx = lim+ ỉ f (x) D (x) dx D (x) dx ủ ụễ = lim+ + (x) dx + x ề ỉ ề ề ỉệ ề ỉ D (R) L1 l og (R) éủ ề ỉ ỉ ễ ề ỉ ề lim+... f (0) = (f ) dx ẹ ỉ ỉệểề L2 ủể L2 í ề í ệữề ặ fn S (R) , fn f ỉệểề L2 (R) ỉ fn fm ẻ íá ễ ễ F ề = fn fm L2 ỉệểề ỉ F fn = f ỉ ẹúề 0, n ĩụ ề F f = lim fn ; f = lim fn , fn S (R) n n