Trường đại học sư phạm hà nội Khoa toán ****o0o**** đinh thị len ứng dụng phép biến hình để giải toán quỹ tích Khóa luận tốt nghiệp đại học Chuyên ngành : Hình học Người hướng dẫn khoa học T.S nguyễn tâm Hà nội - 2008 -1- Trường đại học sư phạm hà nội Khoa toán ****o0o**** đinh thị len ứng dụng phép biến hình để giải toán quỹ tích Khóa luận tốt nghiệp đại học Chuyên ngành : Hình học Người hướng dẫn khoa học T.S Nguyễn Năng Tâm Hà nội – 2008 -2- Lời cảm ơn Khoá luận trình bày việc sử dụng phép biến hình để giải toán quỹ tích Ngoài việc làm rõ tính ưu việt phép biến hình, khoá luận cố gắng khai thác, mở rộng số toán Để hoàn thành khoá luận em xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo tổ Hình học, đặc biệt em xin chân thành cảm ơn thầy Nguyễn Năng Tâm tạo điều kiện, giúp đỡ em trình nghiên cứu Tuy có nhiều cố gắng, song lực thân có hạn điều kiện tài liệu thời gian hạn chế nên khoá luận chắn nhiều thiếu sót Em mong nhận bảo thầy cô bạn để khoá luận em hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2008 Sinh viên Đinh Thị Len -3- Lời cam đoan Em xin cam đoan khoá luận hoàn thành cố gắng, nỗ lực tìm hiểu nghiên cứu thân giúp đỡ nhiệt tình thầy cô giáo tổ Hình học, đặc biệt giúp đỡ thầy Nguyễn Năng Tâm Các kết khoá luận không trùng với kết tác giả khác kết chân thực Hà Nội, tháng năm 2008 Sinh viên Đinh Thị Len -4- Mục lục Nội dung Trang Lời cảm ơn Lời cam đoan Mở đầu Chương Hệ thống kiến thức 1.1 Phép biến hình 1.2 Mặt phẳng định hướng, góc định hướng 1.3 Phép dời hình mặt phẳng 1.4 Một số phép biến hình đặc biệt 1.5 Bài toán quỹ tích Chương ứng dụng phép biến hình để giải toán quỹ tích 2.1 Giải toán quỹ tích nhờ phép biến hình 2.2 Phép đối xứng tâm với toán quỹ tích 2.3 Phép đối xứng trục với toán quỹ tích 13 2.4 Phép tịnh tiến với toán quỹ tích 17 2.5 Phép quay với toán quỹ tích 23 2.6 Phép vị tự với toán quỹ tích 29 2.7 Phép đồng dạng với toán quỹ tích 36 Kết luận 42 Bài tập luyện tập 43 Tài liệu tham khảo 48 -5- Mở đầu Lý chọn đề tài Trong nhà trường phổ thông, hình học môn học khó học sinh Bởi hình học có tính chặt chẽ, tính logíc tính trừu tượng cao môn học khác toán học Các phép biến hình sơ cấp phần quan trọng hình học công cụ hữu ích toán hình học phẳng Tính ưu việt phép biến hình mặt phẳng thể rõ ta vận dụng để giải toán dựng hình, quỹ tích, chứng minh tính toán Tuy nhiên, việc giải toán hình học phép biến hình dễ dàng, thực tế phần khó giáo viên học sinh Trong khuôn khổ khoá luận tốt nghiệp, em trình bày kiến thức phép biến hình ứng dụng để giải toán quỹ tích Đó lý em chọn đề tài : “ứng dụng phép biến hình để giải toán quỹ tích” Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu 2.1 Nghiên cứu kiến thức phép biến hình việc giải toán quỹ tích 2.2 Xây dựng hệ thống ví dụ minh hoạ tập luyện tập thể phương pháp sử dụng phép biến hình vào giải toán quỹ tích Đối tượng, phạm vi nghiên cứu 3.1 Đối tượng nghiên cứu Kiến thức phép biến hình mặt phẳng 3.2 Phạm vi nghiên cứu -6- Các toán quỹ tích mặt phẳng giải phép biến hình Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu SGK, sách tham khảo, tài liệu có liên quan đến nội dung -7- Chương : Hệ thống kiến thức 1.1 Phép biến hình 1.1.1 Định nghĩa Phép biến hình mặt phẳng song ánh từ mặt phẳng vào 1.1.2 Phép biến hình đảo ngược Cho phép biến hình f : E2  E2 Khi ánh xạ ngược f-1 f song ánh từ E2 vào E2 nên phép biến hình mặt phẳng Ta gọi phép biến hình phép biến hình đảo ngược phép biến hình f ( phép nghịch đảo phép biến hình f ) 1.1.3 Phép biến hình tích Cho f g hai phép biến hình mặt phẳng, dễ thấy ánh xạ tích f g song ánh mặt phẳng vào mặt phẳng nên tích phép biến hình mặt phẳng Ta nói phép biến hình phép biến hình tích f g Kí hiệu: g  f 1.1.4 Phép biến hình đối hợp Cho phép biến hình f : E2  E2 gọi phép biến hình đối hợp f2 = id E2 hay f = f-1 1.1.5 Phép biến hình đối Nếu phép biến hình f biến hình H thành hình G thỏa mãn điều kiện : tạo ảnh f 1 ( M ) điểm M thuộc hình G gồm có điểm M hình F ta gọi phép biến hình đối Như ứng với điểm M hình F ta có điểm M hình G mà ngược lại, ứng với điểm M hình G ta có điểm M hình F mà -8- 1.1.6 Các phần tử bất biến phép biến hình Cho phép biến hình f : E2  E2, với điểm M  E2 mà f(M) =M điểm M gọi điểm bất động (điểm kép) phép biến hình f Hình H gọi hình bất biến phép biến hình f E2 f(H)=H Hình H gọi hình bất động (cố định) f E với điểm M  H mà f(M)=M 1.2 Mặt phẳng định hướng, góc định hướng 1.2.1 Mặt phẳng định hướng Xung quanh điểm mặt phẳng có hai chiều quay: chiều quay theo chiều kim đồng hồ chiều ngược lại Nếu chọn hai chiều quay chiều dương chiều ngược lại gọi chiều âm ta bảo mặt phẳng định hướng Thông thường người ta chọn chiều quay ngược với chiều kim đồng hồ làm chiều dương 1.2.2 Góc định hướng hai đường thẳng Trong mặt phẳng P định hướng, xét hai đường thẳng a b cắt O Người ta gọi góc định hướng hai đường thẳng a b lấy theo thứ tự góc mà đường thẳng phải quay theo chiều xác định để đến trùng với vị trí đường thẳng b Góc định hướng kí hiệu (a,b), a cạnh đầu, b cạnh cuối góc Số đo góc dương âm tuỳ theo chiều quay a xung quanh O đến trùng với b theo chiều dương hay âm mặt phẳng Do (a,b)=  (b,a)=-  Góc định hướng hai đường thẳng a,b xác định sai khác góc k radian, (a,b)=  + k (  tính radian) Kí hiệu (a,b)=  ( mod  ) -9- 1.3 Phép dời hình mặt phẳng 1.3.1 Định nghĩa Phép biến hình mặt phẳng E2 bảo tồn khoảng cách hai điểm tuỳ ý gọi phép dời hình, nghĩa với M  E2 ; N  E2 có f(M) = M’, f(N)=N’ có M’N’=MN 1.3.2 Tính chất - Phép dời hình biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng không làm thay đổi thứ tự ba điểm Phép dời hình biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng Phép dời hình biến tam giác thành tam giác nó, biến góc thành góc nó, biến đường tròn thành đường tròn nó, tâm biến thành tâm - Phép dời hình f có ba điểm bất động không thẳng hàng f phép đồng 1.3.3 Một số phép dời hình 1.3.3.1 Phép đối xứng tâm a Định nghĩa N’ M’ M O N - 10 - CS CN  SM BM (1) Mặt khác, ABM có BM // CN M ⇒ N AC CN 2R R    AB BM 2R R S (2) B C CS R   Từ (1) (2) ⇒ SM R ⇒ hay O O A CS R  SM  CS R   R CS R  CM R   R  ⇒ CS  R  CM R  R Vậy tập hợp điểm S ảnh đường tròn tâm O qua phép vị tự tâm C, tỉ số vị tự k  R R  R Ví dụ Cho hai đường tròn đồng tâm (O,R) (O,R’) (R’ < R), A điểm cố định thuộc (O, R’) M điểm di động (O, R’) Kẻ dây BC (O, R) , BC vuông góc AM A cắt (O,R’) D Tìm tập hợp đỉnh thứ tư E hình chữ nhật MABE Lời giải M E O J G O’ B D I - 41 - A C Vì AD  MA nên MD đường kính đường tròn (O,R’) Trong MAD, AO trung tuyến, A O cố định nên trọng tâm G MAD cố định Gọi I giao điểm MG AD ⇒ I trung điểm AD Ta có OI  AD ⇒ OI  BC Trong đường tròn (O,R), OI  BC ⇒ I trung điểm BC ⇒ MI trung tuyến ứng với cạnh BC MBC Do G trọng tâm MBC Gọi J giao điểm CG MB ⇒ J trung điểm MB ⇒ J tâm hình chữ nhật MABE   Ta có GJ   GC ⇒ J ảnh C phép vị tự V(G,  ) 2 Khi M di động đường tròn (O,R’) C di động đường tròn (O,R), tập hợp điểm J đường tròn (  ), ảnh đường tròn (O,R) qua 1 phép vị tự (G,  ), (  ) có tâm O’, ảnh O qua phép vị tự V(G,  ) 2   Ta có : GO   GO  1    GO   ( GA)  GA 2       ⇒ OO  OG  GO  OG  OG  OG 2    ⇒ OO   OA  OA O’ trung điểm OA - 42 - ⇒ Đường tròn (  ) có bán kính r    Ta lại có : AE  2AJ R ⇒ E ảnh J phép vị tự V(A,2) tâm A, tỉ số k = Do tập hợp điểm E đường tròn (  ), ảnh đường tròn (  ) qua phép vị tự V(A,2)   Ta có AO  2AO ⇒ O ảnh O qua phép vị tự V(A,2) ⇒ (  ) có tâm O, bán kính r  2r  R Ta suy (  ) trùng với đường tròn (O,R) Vậy tập hợp điểm E đường tròn (O,R) 2.7 Phép đồng dạng với toán quỹ tích 2.7.1 Phương pháp chung Ta thực theo bước : Bước : Tìm phép đồng dạng biến điểm E di động thành điểm M Bước : Tìm tập hợp (H) điểm E Bước : Kết luận tập hợp điểm M ảnh (H) phép đồng dạng 2.7.2 Ví dụ Ví dụ Cho điểm M chuyển động nửa vòng tròn đường kính AB Dựng AMB hình vuông MBCD Tìm quỹ tích điểm D Lời giải Ta có BMD vuông cân, nên ta có : A” A’ BD   450  , MBD BM D I M C A - 43 - O B   Vậy D ảnh M phép đồng dạng Z  B, 2,   4  Mặt khác, M chạy nửa đường tròn đường kính AB nên D chạy nửa đường tròn đường kính BA đồng dạng với nửa đường tròn cho  '  450 ta dựng Cách dựng quỹ tích : Ta có BA  2BA , ABA BA sau:  Gọi I trung điểm cung AB Kẻ At tiếp tuyến nửa đường tròn tâm O, đường kính AB, At cắt BI A Khi BA đường kính nửa đường tròn phải tìm Nhận xét : Ta tìm quỹ tích điểm C điểm M chạy nửa đường tròn đường kính AB nửa đường tròn đường kính BA , ảnh đường tròn đường kính BA qua phép đồng dạng Z(B, 1, -90o) Thay đổi phần giả thiết ta đươc toán có cách giải tương tự với cách với toán đẫ cho “ Trên đường tròn (O.R), cho điểm cố định A điểm di động B Dựng hình vuông ABCD Tìm tập hợp điểm C” D A O C B O’ A O” D O B - 44 - C Khi ta tìm quỹ tích điểm C B chạy đường tròn  qua phép đồng dạng Z  A,    (O, R) đường tròn O,R O,R , ảnh đường tròn (O,R) 2,450    Z A, 2, 450 với O ' O ảnh  O qua phép đồng dạng Z A, 2,450   Z A, 2, 450  Ví dụ Cho hình vuông ABCD Một đường thẳng  qua A cắt đường thẳng CD E, Đường thẳng  qua A vuông góc với  cắt đường thẳng BC F Tìm tập hợp trung điểm I đoạn thẳng EF Lời giải    900  EAF Ta có DAB o Xét phép quay QA90 : AD  AB AE  AF Mà AD = AB nên ta có : AE = EF  AEF vuông cân  D  AI   EF AE  2 C E O AI  AE B A  AE AI  Ta có :  IAE   450  I Suy xét phép đồng dạng F Z(A, ,- 45o) : E  I - 45 -  Mặt khác, ta có E chạy đường thẳng CD nên I chạy ảnh đường thẳng CD qua phép đồng dạng Z(A, ,- 45o) Suy tập hợp trung điểm I đoạn thẳng EF ảnh đường thẳng CD qua phép đồng dạng Z(A, ,- 45o) Nhận xét : Khi E  D F  B ⇒ I  O , O tâm hình vuông ABCD Khi E  C I  B Do I chạy đường thẳng OB Vậy tập hợp trung điểm I đoạn thẳng EF đường thẳng BD Ví dụ Cho đường thẳng d điểm A cố định không thuộc   1v ) d Với điểm B  d , ta dựng tam giác vuông cân ABC ( B Tìm tập hợp điểm C B thay đổi Lời giải    ACB  45o Tam giác ABC vuông cân B nên ta có BAC Xét phép quay QA : B  B với 45o A B  AC d 45 B’ Khi ta có AB  AB mà AC C = 2AB ⇒ AC  2AB suy có phép vị tự VA : B  C Do tập hợp 45o d B B đường thẳng d , ảnh đường thẳng d phép quay Q 45o A d o d A d , phép vị tự VA : B  C , B’ 45o C tập hợp C đường thẳng 45o - 46 - B d ảnh đường thẳng d phép vị tự nói Vậy tập hợp điểm C hai đường thẳng, ảnh đường thẳng d qua phép đồng dạng Z(A, , 45o ) = VA QA45 o Nhận xét : Thay đổi phần giả thiết kết luận toán ta toán có lời giải tương tự với toán cho “ Cho đường thẳng d điểm A cố định không thuộc d Với điểm B  d ta dựng tam giác ABC Tìm tập hợp trọng tâm G tam giác B thay đổi d.” Ta xét phép đồng dạng A d (A, 3, 30 )  V(A, 3).Q(A, 30 ) biến điểm B thành trọng tâm G o o C ABC Do đường thẳng d biến G thành đường thẳng d qua G Vậy d tập hợp trọng tâm G ABC B hai đường thẳng, ảnh đường thẳng d qua phép đồng dạng nói Ví dụ Trong mặt phẳng định hướng,cho d đường thẳng cố định O điểm cố định không thuộc d, A điểm di động d    Dựng tam giác vuông cân OAA (tại A) cho ( OA,OA ) = a Tìm tập hợp điểm A b Gọi G trọng tâm  OAA Tìm tập hợp điểm G Lời giải   a Ta có ( OA,OA ) = OA  OA nên xét phép  đồng A’ d d dạng I H’ G A G0 - 47 O H d  Z( O, 2, ) : A  A Vậy tập hợp điểm A ảnh A qua phép đồng dạng nói Mặt khác tập hợp điểm A chạy d nên tập hợp điểm A  chạy đường thẳng d , ảnh d qua phép đồng dạng Z( O, 2, ) Cách dựng d : kẻ OH vuông góc với d H Dựng OH H đồng dạng với  OAA Khi đường thẳng d vuông góc với OH H   b Điểm G trọng tâm  OAA nên ta có OG  OI , với I trung điểm AA   Gọi   (OA,OG) , ta có tan   không đổi Do góc  không đổi OI OG Mặt khác mà cos      OA OA 3cos   tan  Do OG  OA Suy G ảnh A qua phép đồng dạng Z(O, không đổi thoả mãn tan   ,  ) với  góc Vậy tập hợp điểm G đường thẳng d , ảnh đường thẳng d qua phép đồng dạng Z(O, ,  ) Cách dựng d : Tìm diểm Go trọng tâm  OHH Đường thẳng d vuông góc OGo Go - 48 - Kết luận Phép biến hình công cụ hữu ích toán hình học phẳng Khoá luận trình bày ứng dụng phép biến hình để giải toán quỹ tích Khoá luận gồm hai phần: Chương Hệ thống kiến thức Chương ứng dụng phép biến hình để giải toán quỹ tích Trong trình nghiên cứu em rút số kết luận sau: Khi sử dụng phép biến hình vào giải toán quỹ tích cho ta lời giải rõ ràng, ngắn gọn tiết kiệm thời gian Bất lời giải toán quỹ tích phải có hai phần bắt buộc thiếu (thuận đảo) Tuy nhiên việc chứng minh hai phần linh hoạt theo nhiều phương pháp khác Một phương pháp sử dụng phép biến hình Khi sử dụng phép biến hình vào giải toán quỹ tích lúc hai phần tiến hành song song tính chất đối phép biến hình Đó ưu điểm đáng kể phép biến hình giải toán quỹ tích Do kiến thức hạn chế với vốn kinh nghiệm ỏi thân, lại lần thực đề tài nghiên cứu khoa học nên khoá luận em không tránh khỏi thiếu sót hạn chế Em mong nhận góp ý, bảo thầy cô tổ hình học bạn - 49 - Bài tập luyện tập Bài Cho hình bình hành ABCD điểm M, N, P, Q trung điểm cạnh AB, CD, AD, BC Giả sử O điểm cố định nằm hình bình hành không thuộc MN PQ Tìn tập hợp điểm X Y thuộc cạnh hình bình hành cho O trung điểm đoạn XY Bài Cho đường tròn (O) ba điểm A, B, C phân biệt Với điểm P thuộc đường tròn ta xác định P1 ảnh P phép đối xứng ZA, P2 ảnh P1 phép đối xứng ZB, P’ ảnh P2 phép đối xứng ZC Tìm tập hợp P’ P biến thiên đường tròn (O) Bài Cho hai điểm cố định A B Với đường thẳng x qua B ta dựng điểm A’ đối xứng với A qua x Tìm tập hợp A’ x quay quanh B Bài Cho tam giác cân ABC (AB=AC) có cạnh BC[...]... thuộc hình (H) đều có tính chất  - 15 - Chương 2 : ứng dụng phép biến hình để giảI bài toán quỹ tích 2.1 Giải bài toán quỹ tích nhờ phép biến hình Giả sử f : E2  E2 là một phép biến hình của mặt phẳng M  M' Lúc đó, do tính chất 1-1 của phép biến hình ta suy ra được : Quỹ tích của điểm M là hình (H) thì ta có quỹ tích điểm M’ là hình f(H) Ngược lại, nếu quỹ tích của các điểm M’ là hình (H’) thì quỹ tích. .. là hình f -1(H’) Do đó, nếu sử dụng phép biến hình vào giải bài toán quỹ tích thì cùng lúc cả hai phần thuận và đảo đều được giải quyết Như vậy để giải các bài toán quỹ tích nhờ phép biến hình ta có thể chọn một phép biến hình thích hợp f biến điểm M thành điểm M’ sao cho quỹ tích những điểm M’ tìm được dễ dàng hơn để rồi từ đó suy ra quỹ tích điểm M Nguyên tắc chung áp dụng phép biến hình vào giải. .. O, phép biến hình của E2 biến mỗi điểm M thành   điểm M’ thoả mãn OM ' =- OM , được gọi là phép đối xứng qua tâm O Kí hiệu là Đo hoặc Xo b Tính chất - Trong mặt phẳng phép đối xứng tâm là phép dời hình nên nó có đầy đủ các tính chất của phép dời hình - Phép đối xứng qua tâm O có điểm bất động duy nhất là O - Tích của ba phép đối xứng tâm với ba tâm phân biệt là một phép đối xứng tâm - Tích. .. mặt phẳng phép đối xứng tâm là phép dời hình nên nó có đầy đủ các tính chất của phép dời hình - Phép đối xứng trục có duy nhất một đường thẳng bất động - Cho hai đường thẳng phân biệt a , b Gọi c là ảnh của b qua phép đối xứng trục Sa Khi đó phép biến hình S = Sa Sb Sa là phép đối xứng qua đường thẳng c  v 1.3.3.3 Phép tịnh tiến a Định nghĩa  Trong E2, cho vectơ v , phép biến M M’ hình của mặt... dạng khác phép đẳng cự có duy nhất một điểm bất động 1.5 Bài toán quỹ tích Bài toán quỹ tích là bài toán tìm tập hợp những điểm (hay còn gọi là một hình) có tính chất  cho trước với những điều kiện nhất định Việc khẳng định quỹ tích những điểm có tính chất  là hình ( H ) nào đó, ta phải thực hiện hai bước : Bước 1 : (Phần thuận) Chứng minh điểm M có tính chất  thuộc (H) Bước 2 : (Phần đảo) Chứng minh... biến hình vào giải toán tìm tập hợp điểm M thoả mãn tính chất  nào đó : nếu ta chứng minh được mỗi điểm M’ là ảnh của một điểm M qua một phép biến hình f xác định và nếu tập hợp các điểm M là hình ( H ) thì tập hợp các điểm M’ là hình ( H’) = f( H ) 2.2 Phép đối xứng tâm với bài toán quỹ tích 2.2.1 Phương pháp chung Ta thực hiện theo các bước: Bước 1 : Tìm một phép đối xứng tâm Đo biến mỗi điểm M di... của hai phép đối xứng tâm với hai tâm đối xứng phân biệt là một phép tịnh tiến, với hai tâm đối xứng trùng nhau là một phép đồng nhất 1.3.3.2 Phép đối xứng trục a Định nghĩa d M’ M Trong E2, cho đường thẳng d, phép biến hình của E2 biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho đường thẳng d là trung trực của MM’ được gọi là phép đối xứng qua d và kí hiệu Đd hoặc Sd Đường thẳng d được gọi là trục đối xứng b Tính... chất - Phép đồng dạng biến một đường thẳng thành một đường thẳng, biến tia thành tia, biến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng có độ dài gấp k lần đoạn thẳng đầu , biến đường tròn bán kính R thành đường tròn bán kính kR - Bảo tồn độ lớn của góc phẳng - Tích của một phép vị tự và một phép dời hình hoặc tích của một phép dời hình và một phép vị tự là một phép đồng dạng - Trong mặt phẳng mọi phép đồng... thấy các yếu tố đối xứng trục đã xuất hiện ngay trong dữ kiên của bài toán Vì vậy bài toán này đòi hỏi phải sử dụng tính chất của phép đối xứng trục và góc định hướng của hai đường thẳng (mod  ) để tìm quỹ tích - 22 - Ví dụ 3 Cho ABC nội tiếp đường tròn (O) , bán kính R cố định Tìm quỹ tích trực tâm H của ABC khi A di động trên (O) Lời giải Giả sử đường cao AH cắt (O,R) tại A  C  (  1 AB) ... của a và b Nếu  =k2  thì tích QO22  QO11 là một phép tịnh tiến 1.4 Một số phép biến hình đặc biệt - 13 - b O 1 2 O1 1.4.1 Phép vị tự a Định nghĩa Trong E2 cho điểm O cố định và M’ O M M’ O M một số thực k  0 , phép biến hình của E2 biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao   cho OM' = k OM được gọi là phép vị tự tâm O , tỉ số k Kí hiệu VOk hay V(O,k) b Tính chất - Phép vị tự V(O,k) với k  ... 2.1 Giải toán quỹ tích nhờ phép biến hình 2.2 Phép đối xứng tâm với toán quỹ tích 2.3 Phép đối xứng trục với toán quỹ tích 13 2.4 Phép tịnh tiến với toán quỹ tích 17 2.5 Phép quay với toán quỹ tích. .. thức phép biến hình ứng dụng để giải toán quỹ tích Đó lý em chọn đề tài : ứng dụng phép biến hình để giải toán quỹ tích Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu 2.1 Nghiên cứu kiến thức phép biến hình. .. E2 nên phép biến hình mặt phẳng Ta gọi phép biến hình phép biến hình đảo ngược phép biến hình f ( phép nghịch đảo phép biến hình f ) 1.1.3 Phép biến hình tích Cho f g hai phép biến hình mặt