Trường Đại học sư phạm Hà Nội Khoá luận tốt nghiệp Lời cảm ơn Sau thời gian say mê nghiên cứu với cố gắng thân đặc biệt hướng dẫn bảo tận tình Thầy Nguyễn Văn Vạn giúp đỡ em suốt trình nghiên cứu hoàn thành khoá luận Qua em xin bày lòng biết ơn tới Thầy bảo quan tâm, đóng góp ý kiến Thầy, Cô giáo tổ Hình học, Thấy, Cô giáo khoa Toán giúp đỡ em hoàn thành khoá luận tốt nghiệp Do điều kiện thời gian khả thân nhiều hạn chế nên luận văn tránh khỏi thiếu sót Kính mong Thầy, Cô bạn nhận xét góp ý kiến để em rút đựơc kinh nghiệm có hướng hoàn thiện phát triển khoá luận sau Một lần em xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc lời chúc sức khoẻ đến Thầy, Cô toàn thể bạn Hà Nội, ngày 10 tháng 05 năm 2007 Sinh viên Dương Trọng Luyện Dương Trọng Luyện K29b toán Trường Đại học sư phạm Hà Nội Khoá luận tốt nghiệp Lời cam đoan Qua trình nghiên cứu khoá luận: “ứng dụng định hướng hình học phẳng” giúp em tìm hiểu sâu môn Hình học đặc biệt khái niệm quan trọng hình học sơ cấp Qua giúp em bước đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học Em xin cam đoan khoá luận hoàn thành cố gắng nỗ lực tìm hiểu, nghiên cứu thân với hướng dẫn, bảo thầy Nguyễn Văn Vạn Thầy, Cô tổ Hình học khoa Toán trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội Rất mong nhận đóng góp ý kiến Thầy, Cô bạn để khoá luận hoàn thiện Hà Nội, ngày 10 tháng 05 năm 2007 Sinh viên Dương Trọng Luyện Dương Trọng Luyện K29b toán Trường Đại học sư phạm Hà Nội Khoá luận tốt nghiệp Mục lục Trang Mở đầu Phần Các hệ tiên đề hình học Euclid Phần Vấn đề định hướng mặt phẳng A Định hướng đường thẳng Định nghĩa Độ dài đại số đoạn thẳng 10 Hệ thức Sa- lơ 10 Các ví dụ minh hoạ 11 B Định hướng mặt phẳng 16 B0 Hệ toạ độ trực chuẩn thuận nghịch 16 B1 Góc định hướng 16 B2 Góc định hướng hai đường thẳng 24 B3 Cung định hướng đường tròn định hướng 31 B4 ứng dụng góc định hướng mặt phẳng 39 Phần Một số khái niệm định hướng không gian 58 Hệ toạ độ trực chuẩn thuận nghịch 58 Định hướng cho nhị diện, tam diện 58 Phân loại phép dời hình loại I loại II 61 Ví dụ 62 Kết luận 64 Tài liệu tham khảo Dương Trọng Luyện K29b toán 65 Trường Đại học sư phạm Hà Nội Khoá luận tốt nghiệp Mở đầu Lý chọn đề tài Hình học môn có tính chất hệ thống chặt chẽ, có tính logic tình trừu tượng cao Rất nhiều toán hình học phẳng mà việc tìm lời giải khó có tìm đựơc lời giải lời giải toán thể phạm vi kiến thức học thiết phải vẽ hình để tìm hướng giải Trong lời giải toán nhiều phải xét nhiều trường hợp thứ tự vị trí điểm toán… Với nhiều toán vân dụng định hướng mặt phẳng có nhiều thuận lợi Mặt khác thấy tiện lợi việc định hướng đường thẳng mặt phẳng Chính mà em chọn đề tài: “ứng dụng định hướng hình học phẳng” Để làm rõ hướng việc sử dụng định hướng mặt phẳng làm rõ tình ưu việt việc định hướng Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu 2.1 Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu số ứng dụng tính chất định hướng mặt phẳng vào giải toán chứng minh quỹ tích mặt phẳng 2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu Làm bật tính ưu việt ứng dụng định hướng Đối tượng nghiên cứu Một số toán chứng minh quỹ tích hình học sơ cấp Phạm vi nghiên cứu Dương Trọng Luyện K29b toán Trường Đại học sư phạm Hà Nội Khoá luận tốt nghiệp Nghiên cứu sách giáo khoa, sách chuyên khảo, sách tham khảo giảng có đề cập đến phép biến hình ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài 5.1 ý nghĩa khoa học Tìm hiểu sâu ứng dụng định hướng giải toán 5.2 ý nghĩa thực tiễn Là tài liệu tham khảo hữu ích cho Thầy, Cô giáo bạn yêu thích toán PHần Các hệ tiên đề hình học Euclid Dương Trọng Luyện K29b toán Trường Đại học sư phạm Hà Nội Khoá luận tốt nghiệp Một số yêu cầu việc xây dựng hình học phương pháp tiên đề Khi xây dựng số lý thuyết hình học người ta cần phải có khái niệm (là khái niệm không định nghĩa) tiên đề (là mệnh đề xuất phát thừa nhận đúng).Tuy nhiên hệ thống tiên đề cần phải đựơc đảm bảo điều kiện sau: 1.1 Điều kiện phi mâu thuận: Điều kiện có nghĩa điều nói tiên đề kết suy từ chúng hai trái ngược 1.2 Điều kện độc lập: Mỗi tiên đề hệ phải độc lập (đối với tiên đề khác), nghĩa suy từ tiên đề lại 1.3 Điều kiện đầy đủ: Hệ tiên đề phải đầy đủ để xây dựng môn học suy diễn lôgic Hệ tiên đề Hinbe hình học Euclid Hệ tiên đề Hinbe gồm 20 tiên đề với khái niệm *Sáu khái niệm gồm: “Điểm”, “Đường thẳng”, “mặt phẳng” (gọi chung “đối tượng bản”) “Thuộc”, “ở giữa”, “bằng” (gọi chung “tương quan bản”) *Các tiên đề Hinbe chia làm nhóm: Nhóm I chứa tám tiên đề “liên thuộc” Nhóm II chứa bốn tiên đề “thứ tự” Nhóm III chứa năm tiên đề “bằng nhau” Nhóm IV chứa hai tiên đề liên tục Nhóm V chứa tiên đề song song 2.1 Nhóm I - tiên đề liên thuộc Dương Trọng Luyện K29b toán Trường Đại học sư phạm Hà Nội Khoá luận tốt nghiệp Tương quan nhóm tương quan “thuộc” có gọi qua Các tiên đề nhóm là: 2.1.1 Với hai điểm tồn đường thẳng qua 2.1.2 Với hai điểm phân biệt có không đường thẳng qua 2.1.3 Mỗi đường thẳng có hai điểm Có ba điểm không thuộc đường thẳng 2.1.4 Cho ba điểm A, B, C không thuộc đường thẳng, mặt phẳng thuộc điểm 2.1.5 Cho ba điểm A, B, C không thuộc đường thẳng, mặt phẳng thuộc điểm 2.1.6 Nếu hai điểm A, B thuộc đường thẳng a, đồng thời thuộc mặt phẳng  điểm khác thuộc đường thẳng a thuộc mặt phẳng  2.1.7 Nếu hai mặt phẳng thuộc điểm A chúng thuộc điểm thứ hai B 2.1.8 Có bốn điểm không thuộc mặt phẳng 2.2 Nhóm II- Các tiên đề thứ tự có thêm khái niệm tương quan “ở giữa” Các tiên đề nhóm là: 2.2.1 Nếu điểm B điểm A điểm C A, B, C ba điểm khac thuộc đường thẳng điểm B C A 2.2.2 Cho hai điểm A, C bao có điểm B đường thẳng AC cho C A cà B 2.2.3 Trong ba điểm thuộc đường thẳng điểm hai điểm 2.2.4 Tiên đề Pát Cho ba điểm A, B, C không thuộc đường thẳng đường thẳng a thuộc mặt phẳng (ABC) không thuộc điểm ba điểm A, B, C Nếu đường thẳng a có điểm chung với đoạn AB điểm chung với AC với đoạn BC 2.3 Nhóm III - Các tiên đề Tương quan nhóm tương quan “bằng” đoạn thẳng với đoạn thẳng khác góc với góc khác Các tiên đề nhóm là: Dương Trọng Luyện K29b toán Trường Đại học sư phạm Hà Nội Khoá luận tốt nghiệp 2.3.1 Nếu cho đoạn thẳng AB nửa đường thẳng có gốc A‟ có điểm B‟ cho đoạn thẳng A‟B‟ đoạn thẳng AB ký hiệu: A‟B‟  AB Đối với đoạn thẳng AB ta có: AB  BA 2.3.2 Nếu A‟B‟  AB A”B”  AB A‟B‟  AB 2.3.3 Cho ba điểm A, B, C thẳng với B A C ba điểm A‟, B‟, C‟ thẳng hàng với B‟ A‟ C‟ Nếu AB  A‟B‟, BC  B‟C‟ AC  A‟C‟ 2.3.4 Cho góc ( x, y ) nửa mặt phẳng xác định đường thẳng chứa tia x‟ Khi nửa mặt phẳng nói có tia y‟ gốc với tia x‟ cho (x‟,y‟) góc (x, y) ký hiệu là: (x, y) = (x‟,y‟) Đối với góc (x,y) ta có (x,y)=(y,x) (x,y)=(x,y) 2.3.5 Cho tam giác ABC tam giác A‟B‟C‟ Nếu AB  A‟B‟, AC  A‟C‟ ' A ' C ' ta có   =B A ' B ' C '  A 'C ' B ' ABC =  ACB =  BAC 2.4 Nhóm IV – tiên đề liên tục 2.4.1 Tiên đề Đơ kin hay tiên đề IV Nếu tất điểm đường thẳng chia thành hai lớp không rỗng cho: - Mỗi điểm đường thẳng thuộc lớp mà - Mỗi điểm lớp thứ trước điểm lớp thứ hai Khi có điểm luôn hai điểm thuộc hai lớp coi điểm điểm cuồi lớp thứ điểm đầu lớp thứ hai 2.4.2 Tiên đề Acsimét Cho hai đoạn thẳng AB CD Khi có số hữu hạn điểm A1 , A2 , , An thuộc đường thẳng AB xếp cho A1 A A2 , A2 A1 , A3 , …., An1 A n2 A n , B An1 A n cho đoạn AA1 , A1 A2 , , A n1 A n đoạn CD 2.5 Nhóm V – tiên đề song song Định nghĩa: Hai đường thẳng phân biệt nằm mặt phẳng điểm chung gọi hai đường thẳng song song với Nếu a b hai đường thẳng song song với ký hiệu là: a // b Nội dung tiên đề: Cho đường thẳng a điểm A không thuộc đường thẳng a Khi mặt phẳng xác định điểm A đường thẳng a có nhiều đường thẳng qua A không cắt a 2.6 Đo độ dài, diện tích, thể tích 2.6.1 Độ dài Dương Trọng Luyện K29b toán Trường Đại học sư phạm Hà Nội Khoá luận tốt nghiệp Định nghĩa 2.6.1 Với đoạn thẳng AB cho trước tồn hàm f (AB) thoả mãn điều kiện sau: Với đoạn thẳng AB ta có f(ab) > Nếu hai đoạn thẳng AB A‟B‟ f(AB) = f(A‟B‟) Nếu có điểm C hai điểm A B : f(AC) + f(CB) = f(AB) Có đoạn OE cho f(OE) = Hàm số f(AB) gọi độ dài đoạn thẳng AB Đoạn OE gọi đơn vị dài đoạn thẳng đơn vị 2.6.2 Đo góc Độ lớn góc xác định tương tự độ dài đoạn thẳng, nghĩa ta có: Định nghĩa2.6.4: Số đo góc (x, y) hàm số  ( x, y ) thoả mãn điều kiện sau: Với góc (x,y) ta có  ( x, y ) >0 Nếu hai góc (x,y) (x‟,y‟)  ( x, y)   ( x ', y ') Nếu có tia z hai tia x,y góc (x,y)  ( x, z )   ( z, y)   ( x, y) Có góc ( x0 , y0 ) cho  ( x0 , y0 )  2.6.5 Diện tích đa giác đơn mặt phẳng Định nghĩa 2.6.5: Giả sử có hàm số f xác định tập hợp tất đa giác đơn mặt phẳng cho điều kiện sau thoả mãn Giá trị hàm f dương Nếu hai đa giác giá trị f ứng với chúng Nếu P, P1 , P2 đa giác mà P  P1  P2 f ( P)  f ( P1 )  f ( P2 ) ứng với hình vuông có cạnh đơn vị đo độ dài đoạn thẳng giá trị hàm f Khi giá trị hàm f đa giác (đơn) P, tức số f(P) gọi diện tích P theo đơn vị diện tích hình vuông nói điều kiện 2.6.3 Thể tích hình đa diện đơn Theo sơ đồ xây dựng lí thuyết diện tích đa giác đơn mặt phẳng, người ta xây dựng lí thuyết thể tích hình đa diện đơn không gian Dương Trọng Luyện K29b toán Trường Đại học sư phạm Hà Nội Khoá luận tốt nghiệp Phần 2: Vấn đề định hướng mặt phẳng A Định hướng đường thẳng Định nghĩa  Trên đường thẳng  , cho điểm 0, gọi gốc vectơ đơn vị e   tưc e  Tia 0x hướng với e gọi tia dương xác định hướng dương trục  tia 0x‟ tia  đối tia 0x ngược hướng với e , gọi tia âm xác định âm (hay hướng nghịch trục  )    Với vectơ u trục  tồn m  R để u  m.e m  gọi toạ độ vectơ u trục    Với X  X  x.e x gọi hoành độ điểm X trục  Độ dài đại số đoạn thẳng Độ dài đại số vectơ trục  số (số đại số) mà nhân  với vectơ đơn vị e trục cho ta vectơ vectơ    ( AB  AB.e ,AB gọi độ dài đại số AB trục  ) Hay cho đoạn thẳng AB đường thẳng định hướng  Ta có độ dài đại số đoạn thẳng AB số có giá trị tuyệt đối độ dài đoạn thẳng AB, kí hiệu: AB   Nếu AB hướng với e AB mang dấu dương   Nếu AB ngược hướng với e AB mang dấu âm   Nếu A, B có toạ độ a, b ta có: AB = (b- a) e AB = b-a Dương Trọng Luyện K29b toán 10 Trường Đại học sư phạm Hà Nội Khoá luận tốt nghiệp Ví dụ 9: Cho tam giác ABC đường thẳng x, y, z qua trung điểm BC, CA, AB song song với nhau.Chứng minh đường thẳng x‟, y‟, z‟ đối xứng với BC qua x, CA qua y, AB qua z đòng qui với điểm Bài làm Gọi I1  x ' y ' I  y ' z ' I  z ' x ' Để chứng minh đường thẳng x‟, y‟, z‟ đồng qui điểm ta chứng minh I  I1  I  I Vì đường thẳng x‟, y‟ đối xứng BC qua x, CA qua y Nên ta có (BC,x)  (x,x') (mod  ) (y,AC)  (y,y') (mod  ) (1) (2) Vì x // y nên từ (1) (2) ta có: (BC,AC)  (x,x') + (y',y) (mod )  (PN,PM)  (x,x') + (y,y')  (y',x')  (I1 N,I1M) (mod ) Dương Trọng Luyện K29b toán 53 Trường Đại học sư phạm Hà Nội Khoá luận tốt nghiệp Vì PN // BC, PM // AC, PN, PM đường trung bình tam giác ABC Do M, N, P trung điểm cạnh AB, BC, CA  I1 nằm đương tròn ngoại tiếp tam giác PMN Chứng minh tương tự ta có đường tròn ngoại tiếp tam giác PMN qua I Ta chứng minh I  I1 Vì I , I1 nằm đường tròn ngoại tiếp tam giác PMN nên ta có ( MP, MN )  ( I1P, I P)  ( I P, I N ) (mod  )  ( I1 P, y ')  ( I P, y ') (mod  )  I1 P  I P  I1  I Chứng minh tương tự ta có I  I Vậy ba đường thẳng x‟, y‟, z‟ đồng quy điểm Ví dụ 10 Trên cạnh tam giác ABC dựng tam giác đồng dạng ABC1 , A1BC, AB1C cho  B= CA  AB C =   CAB = C1AB  BC = ABC  A 1 CMR: Các đường thẳng AA1 , BB1 , CC1 đồng quy Bài làm: Trước hết ta chứng minh đường tròn ( ABC1 ), (A1BC), (AB1C) cắt điểm Thật Gọi giao điểm thứ hai hai đường tròn ( ABC1 ) (A1BC) Khi ta có: (0B,0C)  (OB, A)  (0 A, 0C )  (C1B, C1 A)  ( B1 A, B1C ) (mod  ) ( A1 B, A1C )  ( A1 B, BC )  ( BC , CA1 )  ( B1 A, B1C )  (C1B, C1 A) (mod  ) Dương Trọng Luyện K29b toán 54 Trường Đại học sư phạm Hà Nội Khoá luận tốt nghiệp Do ta có: (0 B, 0C )  ( A1B, A1C ) (mod  ) Nên bốn điểm A1 , B, C, nằm đường tròn Vậy đường tròn ( ABC1 ), (A1BC), (AB1C) cắt điểm Ta chứng minh AA1 , BB1 , CC1 qua điểm Thật vậy: Ta có: (OA, OB)  (OA, OC1 )  (OC1, OB)  (OB, OA1) (mod  )  ( BA, BC1 )  ( AC1 , AC )  (CB, CA1 ) (mod  )  ( AC1 , BC1 )  (CB, CA1 ) (mod  )  (mod  ) Nên đường thẳng AA1 qua điểm O Chứng minh tượng tự BB1 , CC1 qua điểm O Vậy đường thẳng AA1 , BB1 , CC1 qua điểm O 4.2 ứng dụng định hướng mặt phẳng toán quĩ tích Dương Trọng Luyện K29b toán 55 Trường Đại học sư phạm Hà Nội Khoá luận tốt nghiệp Ví dụ 11: Cho tam giác ABC gọi M điểm H, K, L theo thứ tự hình chiếu M đường thẳng BC, CA, AB Tìm quĩ tích điểm M cho H, K, L thẳng hàng Bài làm Dễ thấy M trùng với điểm A, B, C thoả mãn đầu Khi M khác A, B, C ta thấy: H, K, L thẳng hàng  ( HK , HL)  (mod )  ( HK , HM )  ( HM , HL)  (mod ) (1) Do điểm K, C, M, H thuộc đường tròn nên: ( HK , HM )  (CK , CM ) (mod ) (2) Do điểm L, M, H, B thuộc đường tròn nên: ( HM , HL)  ( BM , BL) (mod ) (3) Từ (1), (2) (3) ta có: H, K, L thẳng hàng  (CK , CM )  ( BM , BL)  (mod )  (CA, CM )  ( BM , BA)  (mod )  (CA, CM )  ( BA, BM ) (mod ) Suy M, A, B, C thuộc đường tròn Vậy M thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC (không kể cá điểm A, B, C) Dương Trọng Luyện K29b toán 56 Trường Đại học sư phạm Hà Nội Khoá luận tốt nghiệp Tóm lại quĩ tích điểm M đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Ví dụ 12: Cho tam giác ABC với AA‟, BB‟, CC‟ đưòng phân giác Gọi M điểm không thuộc AB, CA, AB Các điểm X, Y, Z theo thứ tự điểm đối xứng M qua AA‟, BB‟, CC‟ Tìm quĩ tích điểm M để AX, BY, CZ đôi song song Bài làm Nhận xét: cho điểm A, B, C đường thẳng  Gọi A‟, B‟, C‟ theo thứ tự điểm đối xứng A, B, C qua  Khi     ( AB, AC )  ( A ' C ', A ' B ') (mod 2 ) Gọi A1 , B1 , C1 điểm M qua BC, AC, AB Khi AB1  AM  AC1 (1) Mặt khác theo nhận xét ta có:       ( AX , AB1 )  ( AX , AC )  (AC, AB1 ) (mod 2 )       ( AX , AB1 )  ( AB, AM )  ( AM , AC ) (mod 2 )      ( AX , AB1 )  ( AB, AC ) (mod 2 )     Tương tự nhưu ta có: ( AX , AC1 )  ( AC, AB) (mod 2 )     Từ suy ( AX , AB1 )  ( AX , AC1 )  (mod 2 ) Nên AX tia phân giác góc B1 AC1 Dương Trọng Luyện K29b toán 57 (2) Trường Đại học sư phạm Hà Nội Khoá luận tốt nghiệp Từ (1) (2) suy AX trung tực đoạn B1C1 Tương tự BY, CZ theo thứ tự trung trực C1 A1 , A1B1 mà AX // BY // CZ nên A1 , B1 , C1 thẳng hàng Theo ví dụ 11 suy M thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC PHần Một số kháI niệm định hướng không gian Hệ toạ độ trực chuẩn thuận nghịch    Trong không gian E3 ,cho hệ toạ độ trực chuẩn 0, e1 , e2 , e3  (I) hệ    toạ độ trực chuẩn 0 ', e '1 , e '2 , e '3  (II) Nếu định thức phép biển đổi từ (I) sang (II) có giá trị dương ta nói hệ toạ độ (I) hệ toạ độ (II) chiều Nếu định thức phép biển đổi từ (I) sang (II) có giá trị âm ta nói hệ toạ độ (I) hệ toạ độ (II) ngược chiều Vì ta quy ước hệ toạ độ (I) thuận Khi định thức phép biến đổi từ (I) sang (II) có giá trị âm ta nói hệ toạ độ (II) nghịch Dương Trọng Luyện K29b toán 58 Trường Đại học sư phạm Hà Nội Khoá luận tốt nghiệp Định hướng cho nhị diện, tam diện 2.1 Định hướng cho không gian xung quanh trục Xung quanh trục  (đường thẳng có định hướng) có hai chiều quay Khi người ta chọn hai chiều quay làm chiều dương người ta nói định hướng cho không gian xung quanh trục  Quy ước: Nếu ta đặt vặn nút chai lên trục  cho mũi phía dương trục hai chiều quay xung quanh trục  làm cho nút xoáy sâu theo hướng dương trục, chiều quay chọn làm chiều dương Thì chiều ngược lại gọi chiều âm 2.2 Góc nhị diện có hướng Định nghĩa: Giả sử (P) (Q) hai mặt phẳng cắt theo giao tuyến a Đường thẳng a phân chia mặt phẳng (P), (Q) thành hai nửa mặt phẳng Kí hiệu   hai nửa mặt phẳng tương ứng thuộc (P) (Q) (H.1) Hình tao hai nửa mặt phẳng   gọi làgóc nhị diện : Các nửa mặt phẳng  ,  gọi mặt góc nhị diện; đường thẳng a gọi cạnh góc nhị diện Mỗi mặt phẳng (R) vuông góc với a cắt  ,  theo nửa đường thẳng p, q tạo thành góc nhị diện phẳng Vì góc nhị diện có cạnh tương ứng song song cung chiều nên tất góc phẳng góc nhị diện băng Số đo góc nhị diện phẳng gọi số đo góc nhị diện Vì vậy,  nhận giá trị số đo góc hai tia mặt phẳng, nghĩa là:     Dương Trọng Luyện K29b toán 59 Trường Đại học sư phạm Hà Nội Khoá luận tốt nghiệp h.1 Một góc nhị diện gọi có hướng ta có phân biệt hai mặt làm mặt đầu mặt cuối Sau định hướng cho cạnh nhị diện để định hướng cho không gian xung quanh cạnh ta nói đến góc nhị diện âm hay góc nhị diện dương giống y với góc định hướng Rồi góc suy rộng độ lớn góc nhị diện suy rộng xác định sai khác k hay 2k Tuỳ theo ta xét nhị diện mặt phẳng hay hai nửa mặt phẳng Nếu ta cắt nhị diện mựt phẳng (R) vuông góc với cạnh nhị diện mặt phẳng chọn chiều quay dương xung quanh cạnh nhị diện làm chiều dương, độ lớn góc nhị diện suy rộng tạo tương giao (R) nhị diện cho 2.3 Tứ diện tam diện có hướng Khái niệm: Giả sử x, y, z ba nửa đường thẳng không nằm mặt phẳng xuất phát từ điểm O nửa đường thẳng x, y, z tạo thành ba góc (x,y); (y,z); (z,x) (h.2) Hình tạo ba góc (x,y); (y,z); (z,x) gọi góc tam diện nửa đường thẳng x, y, z gọi cạnh tam diện, góc phẳng (x,y); (y,z); (z,x) gọi mặt (góc phẳng) tam diện Dương Trọng Luyện K29b toán 60 Trường Đại học sư phạm Hà Nội Khoá luận tốt nghiệp Các mặt góc (x.y) (x,z) cắt theo đường thẳng chứa x Các nửa mặt phẳng hai mặt phẳng tương ứng chứa y z tạo thành góc nhị diện Góc nhị diện đựơc gọi góc nhị diện góc tam diện có cạnh x (góc nhị diện đối diện với góc phẳng (y,z)) (h.2) 2.3.1 Chiều từ diện Định nghĩa chiều tam giác không gian phụ thuộc vào nửa không gian với biên mặt phẳng chứa tam giác, nghĩa xét nửa không gian với bờ tam giác ABC, chẳng hạn có chiều thuận nửa không gian khác tam giác lại có chiều nghịch Tứ diện ABCD gọi có chiều dương nửa không gian với biên mặt phẳng BCD chứa đỉnh A, tam giác BCD có chiều âm Nếu tam giác BCD xét nửa không gian có chiều dương tứ diện ABCD có chiều âm Trực quan mô tả sau: Nếu đỉnh A nhìn thấy tam giác BCD có chiều âm tứ diện ABCD có chiều dương, ngựơc lại ABCD có chiều âm 2.3.2 Tam diện có định hướng Cho tam diện Oxyz, tạo ba trục Ox, Oy, Oz theo thứ tự ba cạnh Ox, Oy, Oz theo thứ tự ta lấy ba điểm A, B, C khác O Nếu tứ diện Dương Trọng Luyện K29b toán 61 Trường Đại học sư phạm Hà Nội Khoá luận tốt nghiệp OABC có chiều dương ta có tam diện Oxyz có chiều dương ngược lại Chú ý: Nếu ta hoán vị vòng quanh ba tia Ox, Oy, Oz đồng thời ta hoán vị ba điểm A, B, C chiều quay A, B, C không đổi nghĩa tam diện giữ nguyên hướng Vậy tam diện Oxyz; Ozxy; Oyzx hướng Nếu ta hoán vị hai tia với tam diện ngược hướng Nếu ta lấy O‟ khác O mặt phẳng ABC tam diện O‟ABC hướng hay ngược hướng với tam diện Oxyz tuỳ theo O O‟ hướng hay ngược hướng mặt phẳng ABC Đặc biệt hai tam diên đối xứng với qua mặt phẳng khác hướng Phân loại phép dời hình loại I loại II 3.1 Định nghĩa: Phép dời hình không gian phép biến đổi điểm không gian biến đoạn thẳng AB thành đoạn thẳng A‟B‟ cho AB = A‟B‟ 3.2 Phân loại: * Phép dời hình loại I: Nếu phép dời hình không gian biến tứ diện thành tứ diện tương ứng chiều phép dời hình gọi phép dời hình loại I Ví dụ: Phép quay xung quanh trục phép dời hình loại I *Phép dời hình loại II Nếu phép dời hình không gian biến tứ diện thành tứ diện tương ứng ngược chiều phép dời hình gọi phép dời hình loại II Ví dụ: Phép đối xứng qua mặt phẳng, phép đối xứng tâm không gian phép dời hình loại II Ví dụ Dương Trọng Luyện K29b toán 62 Trường Đại học sư phạm Hà Nội Khoá luận tốt nghiệp Ví dụ 1: Cho hai đường thẳng a, b Dựng trục đối xứng hai đường thẳng Bài làm Để biến cặp đường thẳng (a,b) thành cặp đường thẳng (a,b) có khả sau: a) Các đường thẳng a, b biến thành nó: a  a b  b Khi (a,b)  (a,b) Vậy đường vuông góc chung hai đường thẳng a b trục đối xứng hai đường thẳng a b b) Đường thẳng a b b a Khi A B B  A suy trung điểm O đoạn thẳng AB điểm đối xứng A B Giả sử (  ,a) = ( i  i trục cần tìm khác trục AB Qua phép đối xứng  i i ta có i ,b) Dựng a‟ // a b‟ // b a‟, b‟ qua O đó: (   ,a‟) = ( ,b‟) suy i i phân giác góc (a‟,b‟) Do hai đường phân giác  góc a' Ob ' trục đối xứng Dương Trọng Luyện K29b toán 63  góc góc Trường Đại học sư phạm Hà Nội Khoá luận tốt nghiệp  , Vậy có tất trục đối xứng AB, Ví dụ Trong không gian xếp ba ngữ giác ABCDE, ALNMB AEKPL CMR đường thẳng AC, AN, AK cặp vuông góc với Bài làm Giả sử R mặt phẳng trung trực đoạn AE Đó mặt phẳng đối xứng hai ngũ giác ABCDE AEKPL Nên C, P thuộc mặt phẳng R K L đối xứng qua mặt phẳng R, D B đối xứng qua R nên BL = KD Vì ngũ giác có cạnh nhau, nên BL = DA, từ DA = KD Mặt khác EA = EK  D, E thuộc mặt phẳng trung trực AK, nghĩa DE  DK Vì AC // DE, nên AC  Tương tự chứng minh AC Dương Trọng Luyện K29b toán AK  64 AN Trường Đại học sư phạm Hà Nội Khoá luận tốt nghiệp Kết luận Tính ưu việt việc định hướng: *Việc định hướng mặt phẳng hình học sơ cấp mang ý nghĩa to lớn toán chứng minh toán quỹ tích * Việc định hướng giúp giải số tập hình hoc cách đơn giản ngắn gọn thể linh hoạt, sáng tạo giải toán Và phải quan tâm đến hình vẽ, đến vị trí thứ tự điểm, phân chia trường hợp toán Trong giải toán kiến thức sơ cấp khó tìm lời giải đẹp có có không giải được, khó vẽ hình mà chứng minh cách phổ thông thiết học sinh phải vẽ hình, phải xét trường hợp Việc định hướng mặt phẳng giúp nghiên cứu sâu nội dung kiến thức khác hình học phép quay, phép nghịc đảo, cung đinh hướng, ….Như điều cho ta thấy ưu việt vấn đề định hướng mặt phẳng Do kiến thức kinh nghiệm thân chưa nhiều nên chắn luận văn không tránh khỏi thiếu xót Em mong Thầy, Cô bạn sinh viên đóng góp ý kiến trao đổi để đề tài luận văn hoàn thiện Dương Trọng Luyện K29b toán 65 Trường Đại học sư phạm Hà Nội Khoá luận tốt nghiệp Tài liệu tham khảo Bùi Văn Bình – Nguyễn Văn Vạn Giáo trình hình học sơ cấp tập 1, - ĐHSPHN2 – 1993 Bùi Văn Bình Bài tập hình học sơ cấp - ĐHSPHN2 – 1993 Đinh Văn Thuỷ Các giảng hình học sơ cấp Phan Hồng Trường Các giảng chuyên đề “ứng dụng phép biến hình để giải toán phổ thông” Nguyễn Minh Chương – Lê Đình Phi – Nguyễn Công Quý Hình học sơ cấp – NXBGD – 1963 V.VPRAXOLOV Các toán hình học phẳng tập 1, – NXBĐHQGTPHCM Người dịch: Hoàng Đức Chính – Nguyễn Đễ Đỗ Thanh Sơn Phép biến hình mặt phẳng – NXBGD – 2004 Nguyễn Mộng Hy Các phép biến hình mặt phẳng – NXBGD – 2003 Đoàn Quỳnh (chủ biên) – Văn Như Cương – Hoàng Xuân Sính Đại số tuyến tình hình học – NXBGD – 1987 10 Nguyễn Đăng Phất Các phép biến hình mặt phẳng – NXBGD – 2005 11 Phan Huy Khải Toán nâng cao hình học 10 – NXBĐHQGHN – 1998 12 Đào Tam Hình sơ cấp – NXBĐHSP - 2005 Dương Trọng Luyện K29b toán 66 Trường Đại học sư phạm Hà Nội Dương Trọng Luyện K29b toán Khoá luận tốt nghiệp 67 [...]... hướng mặt phẳng (P) là chọn cùng một hướng đi trên tất cả các đường tròn của mặt phẳng, hướng này gọi là hướng thuận, thường người ta quy ước hướng thuận của phép quay trong mặt phẳng là hướng tương ứng với hướng ngược chiều quay của kim đồng hồ, hướng ngược lại gọi là hướng nghịch Hướng thuận cũng gọi là hướng dương hay hướng lượng giác, hướng nghịch còn lại gọi là hướng âm, và ký hiệu dương hay âm bởi... là mút cuối, hướng của cung  AmB là hướng chuyển động của điểm M nằm trên cung đó từ vị trí đầu đến vị trí trùng với điểm cuối Định hướng đường tròn (C) là chọn một trong hai hướng đi trên (C) Khi đã cho hai đường tròn định hướng (C) và (C‟) trên mặt phẳng P, chúng ta có khả năng nhận biết rằng ( C‟) được định hướng theo “ cùng hướng với (C) hay theo hướng ngược lại” Định hướng mặt phẳng (P) là chọn... rộng hệ thức Sa-lơ Trên đướng tròn định hướng cho n điểm A1 , A2 , , An Khi đó ta có hệ thức Sa-lơ về cung định hướng:  A1 A2 +  A2 A3    An1 An =  A1 An 3.4 Một số vấn đệ liên quan đến những đối tượng hình học có hướng 3.4.1.Chiều quay của tam giác Định nghĩa: (phép quay phẳng) Trong mặt phẳng P giả sử đã định hướng, cho một điểm 0 cố định và một góc định hướng ( góc lượng giác)  , ta gọi... phép toán trên cung định hướng 3.3.1 Cộng hai cung định hướng Cho hai cung định hướng  và  (số đo không vượt quá 2 về giá trị tuyệt đối) Tổng của hai cung đó là một cung định hướng  (giá trị tuyệt đối của  không vượt qua 2 ) được xác định như sau: Trên đường tròn định hướng ta đặt liên tiếp hai cung AB   (mod 2 ) và cung  BC   (mod 2 ) , cung định hướng AC được xác định AC     (mod... là cung dương nếu hướng của cung đó là cùng hướng với hướng dương của mặt phẳng Cung được gọi là cung âm nếu hướng của cung đó là hướng âm của mặt phẳng AmB khi điểm M chuyển Ta gọi  là giá trị số đo của cung định hướng  AmB =  và ta động từ A đến trùng với B thì giá trị của cung định hướng là  AnB  (3600   )    3600 Ta gọi là cung định thấy   00 ;3600  ,và ta có  hướng không là cung... của góc định hướng giữa hai tia 0A và 0B bằng giá trị của cung định hướng AB (0 A, 0 B)  sđ  AB 3.2 Quan hệ của hai cung định hướng Hai cung định hướng  và  được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và cùng số đo Được kí hiệu là    (mod 2 ) Hai cung đinh hướng  và  là đối nhau nếu chúng ngược hướng và có cùng số đo kí hiệu là:    (mod 2 ) Quan hệ bằng nhau của hai cung định hướng có... góc định hướng đối đỉnh     (0 A,0 B)  (0 A, 0 B) (mod2 ) (6)     ( MN , PQ)  (MN ,  PQ) (mod2 ) 7) Hiệu hai góc định hướng chung tia đầu       (0 A,0 B)  (0C,0 B)  (0C, 0A) (mod2 ) (7)       ( MN , PQ)  ( ST , PQ)  (ST, MN ) (mod2 ) 1.3 Một số ứng dụng của góc định hướng Sử dụng biến đổi góc định hướng để chứng... thức về số đo cung định hướng trên cùng một đường tròn có tâm O, bán kính 0A = 0B = r ta suy ra được các hệ thức của số đo các góc định hướng chung gốc O, từ đó suy ra hệ thức của góc định hướng không chung gốc Người ta thường xét số đo góc định hướng theo môđun 2 để không phải quan tâm đến số k, cuối cùng khi chỉ xét những góc định hướng có số đo từ 0 đến 2 thì số đo góc đó xác định duy nhất Xét... quay k vòng theo hướng xác  định thì điểm X vẽ nên một cung định hướng, kí hiệu: AB Dương Trọng Luyện K29b toán 17 Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 Khoá luận tốt nghiệp h.2 Trong đó k  0 nếu quay theo hướng dương và k < 0 nếu quay theo hướng âm Ta có công thức về số đo cung định hướng:  = 0  k 3600 với k là số nguyên và  AOB   0 Sđ AB AOB   (rad) thì có công thức là: Nếu sử dụng số đo rađian... theo một hướng nhất định (âm hoặc dương) thì đường thẳng t quét nên một góc định hướng của hai đường thẳng m và p Ta gọi m là đường thẳng đầu, p là đường thẳng cuối và kí hiệu góc định hướng là (m,p) hay (MN,PQ) H.5 2.1.2 Công thức tính độ lớn góc định hướng của hai đường thẳng Dương Trọng Luyện K29b toán 25 Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2  =  0 với 0   0  1800 hướng từ OM tới OP là hướng dương ... lợi việc định hướng đường thẳng mặt phẳng Chính mà em chọn đề tài: ứng dụng định hướng hình học phẳng Để làm rõ hướng việc sử dụng định hướng mặt phẳng làm rõ tình ưu việt việc định hướng Mục... dời hình gọi phép dời hình loại II Ví dụ: Các phép đối xứng qua điểm, đối xứng qua đường thẳng phép dời hình loại II B4 ứng dụng định hướng mặt phẳng ứng dụng định hướng mặt phẳng 1.4 Chứng minh... B Định hướng mặt phẳng 16 B0 Hệ toạ độ trực chuẩn thuận nghịch 16 B1 Góc định hướng 16 B2 Góc định hướng hai đường thẳng 24 B3 Cung định hướng đường tròn định hướng 31 B4 ứng dụng góc định hướng