Khóa luận tốt nghiệp GVHD: GVC Vương Thông Lời cảm ơn! Trong trình làm khóa luận, em nhận giúp đỡ bảo tận tình thầy Vương Thông Em xin chân thành cảm ơn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Em xin cảm ơn giúp đỡ thầy cô giáo khoa Toán, thầy cô tổ Đại số Thư viện trường Đại học sư phạm Hà Nội tạo điều kiện tốt giúp em hoàn thành khóa luận Hà Nội, tháng năm 2010 Sinh viên Đỗ Hồng Thắm Đỗ Hồng Thắm K32B- Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: GVC Vương Thông Lời cam đoan Khóa luận em hoàn thành hướng dẫn thầy Vương Thông với cố gắng thân Trong suốt trình nghiên cứu thực khóa luận em có tham khảo số tài liệu số tác giả (đã nêu mục tài liệu tham khảo) Em xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp kết nghiên cứu thân em, không trùng với kết tác giả khác Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Sinh viên Đỗ Hồng Thắm Đỗ Hồng Thắm K32B- Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: GVC Vương Thông Mục lục Trang Mở đầu Chương Những kiến thức liên quan đến đề tài Phần Đa thức ẩn Xây dựng vành đa thức ẩn 1.1 Xây dựng vành đa thức ẩn 1.2 Bậc đa thức ẩn Phép chia với dư 3 Nghiệm đa thức 3.1 Định nghĩa 3.2 Nghiệm bội 3.3 Định lý Bezout 3.4 Công thức Viéte 3.5 Lược đồ Horner Phần tử đại số, phần tử siêu việt 5 Đại số đa thức Phần Đa thức nhiều ẩn Xây dựng vành đa thức nhiều ẩn 1.1 Xây dựng vành đa thức nhiều ẩn 1.2 Bậc đa thức nhiều ẩn Đa thức đối xứng 2.1 Định nghĩa 2.2 Tính chất Chương Những toán đại số sơ cấp có liên quan đến đa thức 11 Phần Đối với đa thức ẩn 11 Bài toán Trục thức mẫu 11 Đỗ Hồng Thắm K32B- Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: GVC Vương Thông Bài toán Nhận biết đa thức không phân tích 15 Bài toán Chứng minh đa thức chia hết cho 17 Bài toán Sử dụng định lý Viéte 21 4.1 Dạng 1: Tính giá trị biểu thức đối xứng K nghiệm 21 4.2 Dạng 2: Tìm mối quan hệ hệ số số phương trình bậc ba, bậc bốn biết mối quan hệ nghiệm 24 4.3 Dạng 3: Tìm miền giá trị tham số để nghiệm phương trình f  x, m   thỏa mãn K điều kiện 30 Bài toán Chứng minh đẳng thức 34 Bài toán Tìm điểm cố định họ đồ thị hàm số 36 Bài toán Phân tích đa thức thành nhân tử 40 Phần Đối với đa thức nhiều ẩn 45 Bài toán Trục thức mẫu 45 Bài toán Phân tích đa thức thành nhân tử 47 Bài toán Chứng minh đẳng thức trường hợp có điều kiện điều kiện 50 Bài toán Chứng minh bất đẳng thức 52 Bài toán Xác định phương trình bậc hai 56 Bài toán Giải hệ phương trình 59 Bài toán Giải phương trình thức 62 Bài toán Tìm nghiệm nguyên phương trình 65 Chương Kết luận 69 Tài liệu tham khảo 70 Đỗ Hồng Thắm K32B- Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: GVC Vương Thông Mở đầu Lý chọn đề tài Trong nhà trường phổ thông, môn toán giữ vị trí quan trọng Nó giúp học sinh học tốt môn học khác, công cụ nhiều ngành khoa học công cụ để hoạt động đời sống thực tế Môn toán có tiềm to lớn việc khai thác phát triển lực trí tuệ chung, rèn luyện thao tác phẩm chất tư Đại số phận lớn Toán học, đa thức khái niệm quan trọng sử dụng nhiều đại số mà Giải tích, toán cao cấp toán ứng dụng Tuy nhiên nay, vấn đề đa thức trình bày sơ lược, chưa phân loại hệ thống cách chi tiết Tài liệu đa thức ít, chưa hệ thống theo dạng toán phương pháp giải, việc nghiên cứu đa thức gặp nhiều khó khăn Với lý trên, với lòng say mê nghiên cứu giúp đỡ, bảo tận tình thầy Vương Thông em mạnh dạn chọn đề tài: “Những toán đại số sơ cấp có liên quan đến đa thức” để làm khóa luận tốt nghiệp, nhằm phân loại ,hệ thống số toán đa thức Bên cạnh đó, thấy rõ vai trò đa thức môn toán nhà trường phổ thông Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu toán Đại số sơ cấp có liên quan đến đa thức ẩn đa thức nhiều ẩn Đối tượng nghiên cứu Các dạng toán Đại số sơ cấp có liên quan đến đa thức Phương pháp nghiên cứu Tham khảo tài liệu, phân tích, so sánh, hệ thống hóa Đỗ Hồng Thắm K32B- Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: GVC Vương Thông Chương Những kiến thức liên quan đến đề tài Phần Đa thức ẩn Xây dựng vành đa thức ẩn 1.1 Xây dựng vành đa thức ẩn Cho A vành giao hoán có đơn vị ( kí hiệu ) Khi đó, ta có tập hợp: p   a0 , a1 , , an ,  /  A,  hầu hết, i    , với hai phép toán: - Phép cộng: (a0 , a1 , , an , )  (b0 , b1, , bn , )  ( a0  b0, a1  b1, , an  bn, ) - Phép nhân: (a0 , a1 , , an , ).(b0 , b1, , bn, )  ( c0, c1, , cn, ) với ck   a b , k  0,1, , n, i  j k i j lập thành vành giao hoán có đơn vị  (1, 0, 0, , 0, ) Ta gọi P vành đa thức, phần tử thuộc P gọi đa thức Ta chuyển cách viết đa thức dạng sau: Xét ánh xạ f: A P a  (a,0, ,0, ) đơn cấu vành Do vậy, ta đồng a   với phần tử f (a)  (a, 0, , 0, )  Khi đó, A vành P Kí hiệu: x  (0,1, 0, , 0, ), Ta có: x  (0, 0,1, 0, , 0, ), x3  (0, 0, 0,1, 0, , 0, ), Đỗ Hồng Thắm K32B- Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: GVC Vương Thông … x n  (0, ,0,1,0, ,0, )  n Khi đó, phần tử  , biểu diễn dạng:   a0  a1 x   an x n    x  Thay cho P viết   x  gọi vành đa thức ẩn x , lấy hệ tử A.Mỗi phần tử thuộc   x  gọi đa thức ẩn x kí hiệu là: f  x  , g  x  , 1.2 Bậc đa thức Cho f  x   a0  a1 x   an x n    x  - Nếu an  n gọi bậc đa thức f  x  Kí hiệu: deg f  x   n - Nếu f  x   (đa thức không), ta nói f  x  bậc có bậc  Phép chia với dư Cho   x vành đa thức, A trường Khi đó, f  x  , g  x     x  với g  x   , tồn q  x  , r  x     x  cho: f  x   g  x  q  x   r  x  Trong đó: - Nếu r  x   ta nói f  x  g  x    x  - Nếu r  x   ta có: deg r  x   deg g  x  ta gọi q  x  thương, r  x  dư phép chia f  x  cho g  x    x  Nghiệm đa thức 3.1 Định nghĩa Cho K trường đó, A trường K Một phần tử   gọi nghiệm đa thức f  x     x  f    Đỗ Hồng Thắm K32B- Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: GVC Vương Thông Ta nói  nghiệm phương trình đại số f  x   K Nếu deg f  x   n phương trình f  x   gọi phương trình đại số bậc n  n  1 3.2 Nghiệm bội Giả sử k số tự nhiên khác Một phần tử    gọi nghiệm bội k đa thức f  x     x  f  x   x    không chia k hết cho  x    , k    k 1 3.3 Định lý Bezout - Định lý Bezout: Cho vành đa thức   x  , f  x     x  ,    Khi đó, dư phép chia f  x  cho  x    f   - Hệ quả: Phần tử    nghiệm đa thức f  x     x  , A trường, f  x   x      x  3.4 Công thức Viéte f  x   a0 x n  a1 x n 1   an 1 x  an    x  , deg f  x   n Cho Giả sử f  x  có n nghiệm 1 ,  , ,  n   với    f  x   a0  x  1  x     x   n  Khi ta nhân thừa số vào với nhóm hệ số theo dạng đa thức chuẩn tắc so sánh hệ số đa thức f  x  , ta công thức Viéte sau: 1      n   a1 ; a0 1  1    n 1 n  Đỗ Hồng Thắm a2 ; a0 K32B- Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: GVC Vương Thông … 1  k    n k 1 n k   n   1 k ak ; a0 … 1  n   1 n an a0 3.5 Lược đồ Horner Cho f  x     x  đa thức bậc n f  x   a0 x n  a1 x n 1   an 1 x  an ,  trường,    Chia f  x  cho  x      x  , giả sử thương phép chia là: q  x   b0 xn1  b1 xn2   bn2 x  bn1 , bi  , i  0, n  nghĩa là: a0 x n  a1 x n 1   an 1 x  an   x    b0 x n 1  b1x n 2   bn 2 x  bn 1   f   Đồng hệ số ta lập bảng sau, gọi lược đồ Horner: a0  b0  a0 … a1 b1  a1   b0 … an f    an   bn 1 Phần tử đại số, phần tử siêu việt Giả sử A trường trường K Một phần tử c  K , c gọi phần tử đại số trường A tồn đa thức f  x   0, f  x   A  x  : Đỗ Hồng Thắm K32B- Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: GVC Vương Thông f  c   tồn a0 , a1 , , an  A không đồng thời không tất cả: a0  a1c1   an c n  , c  K phần tử đại số A gọi phần tử siêu việt A Đại số đa thức 5.1 Định nghĩa Cấu trúc đại số (tập X   , ,., nhân vô hướng) thỏa mãn: +,  X , ,. lập thành vành +,  X , , K  lập thành K _ môđun ( K vành giao hoán có đơn vị) Có A  x  vành giao hoán có đơn vị, ta xác định thêm phép nhân vô hướng sau: n a  A, f  x    x i  A  x  i 0 n a f  x     a.ai x i i 0 Ta có: A _ đại số đa thức A  x  Giả sử có K _ không gian vectơ X , hữu hạn chiều, giả sử e1 , e2 , , en  n sở  x  X , x   ei i 1 n n i 1 j 1 Khi với x, y  X , giả sử x   ei ; y   b j e j n   n  n  xy    ei    b j e j    b j ei e j  i 1   j 1  i , j 1 5.2 Phép hợp thành đa thức n m 10 j 0 Cho hai đa thức f  x    xi  A  x  ; g  x    b j x j  A  x  Đỗ Hồng Thắm 10 K32B- Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: GVC Vương Thông Gọi x1 , x2 nghiệm phương trình bậc hai cho Theo công thức Viéte ta có: 1  x1  x2  1;  x1 x2  2 Theo giả thiết: y1  x16  x22 ; y2  x26  2x12 Do đó:  S    y1  y2    x16  x2  x26  x12   x    x2  x12 x2   x1  x2   x1 x2    2 2      x1  x2   x1 x2    x1  x2   x1 x2  3x12 x2    x1  x2   x1 x2          12  2   12  2  3 2    12  2     x12  x2               4 12   2    2  6 14  9 12 2  2 12  2 23  4     1  12  36   16    55  P  y1 y2  x16  x2  x  x12   x16 x26   x18  x28   x12 x2   26   18  8 16  2014 2  1612 23  2   4 2  64  1  16  80  128  32   16  434 Vậy phương trình bậc hai cần tìm là: y  55 y  434  5.4 Bài tập áp dụng Bài tập 1: Với giá trị a tổng bình phương nghiệm phương trình x   a   x   a  1  nhận giá trị nhỏ Bài tập 2: Giả sử phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 khác Xác định phương trình bậc hai có nghiệm x1 x x2 x1 Bài tập 3: Lập phương trình bậc hai mà nghiệm lũy thừa bậc 10 nghiệm phương trình: x  x  Đỗ Hồng Thắm 64 K32B- Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: GVC Vương Thông Bài tập 4: Gọi x1 , x2 nghiệm phương trình x  x   Xác định phương trình bậc hai có nghiệm x12 x2 Bài tập 5: Giả sử phương trình x  px  q  có hai nghiệm x1 , x2 khác không Hãy xác định phương trình bậc hai có nghiệm 1 x1 x2 Bài toán 6: Giải hệ phương trình 6.1 Cơ sở lý luận Ta hay gặp hệ phương trình mà vế trái phương trình hệ đa thức đối xứng ẩn Trong trường hợp này, ta chuyển hệ phương trình thành hệ phương trình mà ẩn đa thức đối xứng Hệ phương trình thường hệ phương trình đơn giản nhiều, dễ giải Sau giải phương trình đại số bậc n 6.2 Thuật toán Bước 1: Biểu diễn vế trái phương trình qua đa thức đối xứng  i  i  1, n  Bước 2: Ta thu hệ ẩn  i  i  1, n  Giải hệ tìm  i Bước 3: Vận dụng công thức Viéte tìm nghiệm hệ ban đầu 6.3 Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau 3   x  y  65 I   2   x y  xy  20 Giải  x  y  1  xy   Đặt  Đỗ Hồng Thắm , điều kiện 12  4    65 K32B- Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: GVC Vương Thông Ta đưa vế trái phương trình hệ đa thức đa thức đối xứng bản:   x  y   3xy  x  y   65 Hệ  I      xy  x  y   20   3 1  65   1  20   3.20  65   1  20   125   1  20      Các giá trị tìm thỏa mãn điều kiện   Do x, y nghiệm phương trình: t  1t    ,nghĩa phương t  trình: t  5t     t  Vậy hệ cho có nghiệm hoán vị (2;1), là:  2,1 1,  Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau x  y  z   2  x  y  z  25  x3  y  z  27  Giải Đặt: 1  x  y  z   xy  yz  zx   xyz Ta đưa vế trái phương trình hệ đa thức đa thức đối xứng bản: Đỗ Hồng Thắm 66 K32B- Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: GVC Vương Thông x  y  z   12  2 x3  y  z   13  3 1  3 Do ta có hệ:      2  25    3 1  3  27     32  25       27   13  3 1    3        8   24  Từ công thức Viéte suy x, y, z nghiệm phương trình: t  1t   t    nghĩa phương trình: t  3t  8t  24      t  3 t        t  3 t  2 t  2  t    t  2  t  2  Vậy hệ cho có nghiệm hoán vị  3; 2; 2  , là: 3; 2; 2  , 3; 2 2; 2  ,  2;3; 2  ,  2 2;3; 2  ,  2; 2 2;3 ,  2 2; 2;3 6.4 Bài tập áp dụng Bài tập 1: Giải hệ phương trình sau Đỗ Hồng Thắm 67 K32B- Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: GVC Vương Thông  x3  y  35 a)  x  y   x  xy  y  b)   x  y  xy  Bài tập 2: Giải hệ phương trình sau x  y  z   a)  x  y  z  x3  y  z  xyz   13  x  y  z    1 13 b)     x y z  xyz    Bài tập 3: Giải hệ phương trình sau  x  y  z  113  a)  x3  y  z  27  x  y  z  3   x  y  z  2  xy  yz  zx   b)  x  y  z   xyz  2  Bài tập 4: Giải hệ phương trình sau x  y  z  a  a)  x  y  z  b  x3  y  z  a  x  y  z   b)  x  y  z  36  xyz   Đỗ Hồng Thắm 68 K32B- Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: GVC Vương Thông Bài toán 7: Giải phương trình thức 7.1 Cơ sở lý luận Một số phương trình thức mà việc giải chuyển việc giải hệ phương trình đối xứng thông qua việc đặt ẩn phụ 7.2 Thuật toán Bước 1: Đặt ẩn phụ đưa phương trình thức hệ phương trình đối xứng Bước 2: Giải hệ phương trình đối xứng tìm giá trị ẩn phụ Bước 3: Thay giá trị ẩn phụ vào tìm giá trị ẩn ban đầu 7.3 Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Giải phương trình x8  8 x  Giải Điều kiện: x    8  x   8  x    Đặt u  x  8, v   x ; u, v  Suy ra: u  x  8, v   x Ta có hệ: u  v   4 u  v  16 Đặt: u  v   ; uv   , hệ trở thành:  2        2  Đỗ Hồng Thắm   2 2  16 69 K32B- Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: GVC Vương Thông    2   2   2  16      8                   u , v nghiệm phương trình: t  2t  Phương trình   Với   u   t  v   x  8 có nghiệm  , thỏa mãn điều kiện      u   x  t    v     u , v nghiệm phương trình: t  2t   Phương trình    Với  vô nghiệm  x  8 Vậy nghiệm phương trình cho là:  x  Ví dụ 2: Giải phương trình  8 x   x  27   8  x  x  27   Giải 8  x   27  x   x  27  Điều kiện    Đặt u   x , v  x  27; u, v  Suy ra: u   x; v3  x  27 2  u  v   3uv   u  v  uv   Ta có hệ:  3  u  v  35    u  v   3uv  u  v   35 Đỗ Hồng Thắm 70 K32B- Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: GVC Vương Thông Đặt   u  v;  uv , hệ trở thành: 12  3     1  31  35   12             35 1          u , v nghiệm phương trình t  1t    , nghĩa   Với  t t phương trình t  5t      u     v  x     u  3  x  15   v  x  Vậy nghiệm phương trình cho là:   x  15 7.4 Bài tập áp dụng Bài tập 1: Giải phương trình sau a) x    x  b) x    82  x Bài tập 2: Giải phương trình sau a) 18  x  64  x  b)  x2   x 3   53  x   x  3 Bài tập 3: Giải phương trình sau 1  x   x 1 2 Bài tập 4: Giải phương trình sau a) x   x   x b) x   x  Đỗ Hồng Thắm 71 K32B- Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: GVC Vương Thông Bài toán 8: Tìm nghiệm nguyên phương trình 8.1 Cơ sở lý luận Với dạng toán tìm nghiệm nguyên phương trình thuật toán chung mà tùy thuộc vào loại toán cụ thể ta lựa chọn giải pháp thích hợp 8.2 Thuật toán Bước 1: Biểu diễn phương trình ban đầu theo phương trình  ,  Rút  theo  (1) Cách 1: Từ (1) suy x, y nghiệm phương trình t  1t    với điều kiện   Từ suy điều kiện  Cách 2: Do x, y số nguyên nên x, y số thực Do vậy, cần điều kiện: 12  4  Kết hợp với (1) để tìm điều kiện  Bước 2: Tìm x, y theo  ,  8.3 Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình sau x  y  x  y  xy (1) Giải (1)   x  y   3xy   x  y   Đặt x  y   , xy   Khi đó, ta có phương trình sau: Đỗ Hồng Thắm 72 K32B- Toán Khóa luận tốt nghiệp  12  3        x  y  1    xy      GVHD: GVC Vương Thông  1  1    x, y nghiệm phương trình t   1t        Để phương trình có nghiệm    12  12  1     12    3   1  Do x, y nguyên   ,  nguyên x  y  x   1         xy  y   x   x  y  y 1          x   xy     y  1      loại     x   x  y  y           x   xy     y  x  y  x    xy  y         Vậy nghiệm nguyên phương trình là:  0;0  ,  0;1 , 1;0  , 1;  , 2;1, 2;  Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên phương trình sau x3  y   3xy (2) Đỗ Hồng Thắm 73 K32B- Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: GVC Vương Thông Giải (2)   x  y   3xy  x  y    3xy Đặt x  y   , xy   Khi ta có phương trình sau: 13  31   3       1  12    3   Vì x  0, y   1  x  y   1   Ta có 12  1   3       1  1   x  y  1 Do ta phải tìm số nguyên dương x, y cho   xy       Suy x, y nghiệm phương trình t  1t  Ta có:   12        1  1    1 1  1    12  41    1      3 x  y  x    xy  y 1 Vậy ta phải có   x  y  Khi ta có  Vậy nghiệm nguyên phương trình là: 1;1 8.4 Bài tập áp dụng Bài tập 1: Tìm nghiệm nguyên phương trình sau  a)7  x  y   x  xy  y  b) x  y  x  y  Bài tập 2: Tìm nghiệm nguyên phương trình sau a ) x y  x  xy  y b) x y  xy  y  x  y  Bài tập 3: Tìm nghiệm nguyên phương trình sau  a)39  x  y   x  xy  y  b) x3  y  xy  25 Đỗ Hồng Thắm 74 K32B- Toán Khóa luận tốt nghiệp Đỗ Hồng Thắm GVHD: GVC Vương Thông 75 K32B- Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: GVC Vương Thông Chương Kết luận Đa thức có vị trí quan trọng Toán học, đối tượng nghiên cứu chủ yếu Đại số mà công cụ đắc lực Giải tích Nó phần kiến thức quan trọng giới thiệu từ năm đầu bậc phổ thông dạng đơn giản mà ta thường gọi biểu thức chứa chữ đại diện cho số Ngoài ra, lý thuyết đa thức sử dụng nhiều toán cao cấp, toán ứng dụng Và thường xuyên gặp toán đa thức kỳ thi học sinh giỏi, thi Olympic toán học trường phổ thông Tuy khóa luận trình bày kiến thức đa thức toán đại số sơ cấp có liên quan đến đa thức nhỏ so với lượng kiến thức đa thức Khóa luận thực với mong muốn đóng góp kinh nghiệm việc nghiên cứu, giúp việc dạy học học tập môn toán trường phổ thông Từ khóa luận giúp bạn đọc nghiên cứu sâu hơn, rộng đa thức Do lần làm quen với công tác nghiên cứu, thời gian lực hạn chế nên tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô bạn sinh viên Em xin chân thành cảm ơn! ************************************** Đỗ Hồng Thắm 76 K32B- Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: GVC Vương Thông Tài liệu tham khảo Nguyễn Hữu Điển (2003), Đa thức ứng dụng, NXB Giáo dục Nguyễn Văn Mậu (2004), Đa thức đại số phân thức hữu tỉ, NXB Giáo dục Ngô Thúc Lanh (1987), Đại số số học tập 3, NXB Giáo dục Nguyễn Tiến Quang (1987), Bài tập đại số số học tập 3, NXB Giáo dục Hoàng Xuân Sính (1998), Đại số đại cương, NXB Giáo dục Trần Phương, Lê Hồng Đức (2002), Tuyển tập chuyên đề luyện thi đại học môn toán đại số sơ cấp, NXB Hà Nội Tạp chí toán học tuổi trẻ Đỗ Hồng Thắm 77 K32B- Toán Khóa luận tốt nghiệp Đỗ Hồng Thắm GVHD: GVC Vương Thông 78 K32B- Toán [...]... Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: GVC Vương Thông Chương 2 Những bài toán trong đại số sơ cấp có liên quan đến đa thức Phần 1 Đối với đa thức một ẩn 1 Bài toán 1: Trục căn thức ở mẫu Giả sử cần trục căn thức dạng 1    với    là đa thức của  với hệ số hữu tỉ,  có dạng n a , a   1.1 Cơ sở lý luận Dựa vào dạng viết chính tắc của các phần tử trong mở rộng đơn đại số   n a  1.2 Thuật toán. .. sở lý luận Đa thức bất khả quy là đa thức không phân tích được Một đa thức có hệ số thuộc trường số phức luôn phân tích được thành tích các nhân tử là các đa thức bậc nhất như cách biểu diễn đa thức qua các nghiệm Sau đây ta chỉ xét các đa thức với hệ tử là các số thuộc trường  ,  ,  2.2 Thuật toán Sử dụng tiêu chuẩn Eidenstein để chứng minh đa thức bất khả quy trong   x  : Cho đa thức f  x... là bậc của đa thức f  x1 , x2 , , xn  đối với ẩn xi số mũ cao nhất mà xi có được trong các hạng tử của đa thức Nếu trong đa thức f  x1 , x2 , , xn  ẩn xi không có mặt thì bậc của f  x1 , x2 , , xn  đối với nó là 0 Gọi ai1  ai 2   ain là bậc của hạng tử thứ i của f  x1 , x2 , , xn  Bậc của đa thức là số lớn nhất trong các bậc của các hạng tử của nó Đa thức 0 là đa thức không có bậc Nếu... đây là đa thức hợp thành i i 0 của đa thức f , g m  g  f  x    b j  f  x   j 0 j  A  x  , đây là đa thức hợp thành Bậc của đa thức hợp thành luôn nhỏ hơn hoặc bằng tích hai bậc 5.3 Phép đạo hàm đa thức n Cho một đa thức f  x    ai x i  A  x  i 0 n Ta xác định được f   x    iai xi 1 cũng là đa thức của ẩn x lấy hệ tử trong i 0 A và gọi là đa thức đạo hàm của đa thức f... 3 25  6 3 5  8 1.4 Bài tập áp dụng Bài tập 1: Trục căn thức ở mẫu phân số sau 4 Đỗ Hồng Thắm 7 1 7  7 1 18 K32B- Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: GVC Vương Thông Bài tập 2: Trục căn thức ở mẫu phân số sau 1 1 4 2  2 Bài tập 3: Trục căn thức ở mẫu phân số sau 3 2 3 5 1 25  3 5  2 Bài tập 4: Trục căn thức ở mẫu phân số sau 4 1 3  9  4 27  3 4 2 Bài toán 2: Nhận biết đa thức không phân tích... 1  x  2 3 Bài tập 6: Hãy tìm số tự nhiên n sao cho đa thức x 4 n  x3n  x 2 n  x n  1 chia hết cho đa thức x 4  x3  x 2  x  1 4 Bài toán 4: Sử dụng định lý Viéte 4.1 Dạng 1: Tính giá trị của biểu thức đối xứng K giữa các nghiệm 4.1.1 Cơ sở lý luận - Biểu thức K sẽ đưa được về biểu thức của các đa thức đối xứng cơ bản - Theo công thức Viéte ta tính được các giá trị của đa thức đối xứng cơ... K32B- Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: GVC Vương Thông cũng chia hết cho x 2  x  1 , vậy khẳng định được chứng minh đúng với mọi n 3.4 Bài tập áp dụng Bài tập 1: Trong   x  tìm điều kiện của các số tự nhiên khác không k , l , n để đa thức x3k  x3l 1  x3n  2 chia hết cho đa thức x 4  x 2  1 Bài tập 2: Trong   x  chứng minh rằng đa thức  x  1  x 2 n  2 x  1 2n chia hết cho các đa thức: ... xn 2.2 Tính chất Định lý 1 : Tập hợp các đa thức đối xứng lập thành một vành con của vành A  x1 , x2 , , xn  Định lý 2 : Mọi đa thức đối xứng f  x1 , x2, , xn   A  x1 , x2 , , xn  đều đưa được về dạng đa thức của các đa thức đối xứng cơ bản và cách biểu diễn đó là duy nhất Phương pháp đưa đa thức đối xứng về đa thức của các đa thức đối xứng cơ bản (có hai phương pháp): - Phương pháp với hạng... x3  18 x 2  42 x  12 Bài tập 3: Cho n   , n  2 thì đa thức x n  2 không phân tích được trên tập số hữu tỉ Bài tập 4: Chứng minh rằng những đa thức sau đây không phân tích được a) x p 1  x p 2   x  1 ( p là số nguyên tố) Đỗ Hồng Thắm 21 K32B- Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: GVC Vương Thông b) x p  px  2 p  1 ( p là số nguyên tố) Bài tập 5: Chứng minh rằng đa thức sau bất khả quy trên... nạp theo tham số đó + Chứng minh quy nạp theo tham số đã chọn + Kết luận 3.3 Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Trong   x  tìm điều kiện của các số tự nhiên khác không k , l , n để đa thức x3k  x3l 1  x3n2 chia hết cho đa thức x 2  x  1 (chọn k , l , n thích Đỗ Hồng Thắm 22 K32B- Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: GVC Vương Thông hợp ta thu được một số bài toán cụ thể hoặc có thể gán cho x những giá trị ... Thông Chương Những toán đại số sơ cấp có liên quan đến đa thức Phần Đối với đa thức ẩn Bài toán 1: Trục thức mẫu Giả sử cần trục thức dạng    với    đa thức  với hệ số hữu tỉ,  có dạng n... loại ,hệ thống số toán đa thức Bên cạnh đó, thấy rõ vai trò đa thức môn toán nhà trường phổ thông Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu toán Đại số sơ cấp có liên quan đến đa thức ẩn đa thức nhiều ẩn Đối... Đa thức đối xứng 2.1 Định nghĩa 2.2 Tính chất Chương Những toán đại số sơ cấp có liên quan đến đa thức 11 Phần Đối với đa thức ẩn 11 Bài toán Trục thức