BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI TRẦN THỊ PHƯƠNG MỘT SỐ MỐI LIÊN QUAN GIỮA BIẾN ĐỔI LAPLACE VỚI HÀM GAMMA KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chun ngành: Tốn Giải tích Người hướng dẫn khoa học TS NGUYỄN VĂN HÀO Hà Nội - 2013 LỜI CẢM ƠN Nhân dịp luận văn hoàn thành tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Văn Hào tận tình hướng dẫn tác giả trình thực luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, thầy cô khoa Toán Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội động viên giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi để tác giả có điều kiện tốt suốt trình học tập, thực đề tài nghiên cứu khoa học Do thời gian kiến thức có hạn nên luận văn không tránh khỏi hạn chế thiếu sót định Tác giả xin chân thành cảm ơn ý kiến đóng góp thầy giáo, cô giáo bạn học viên để luận văn hoàn thành Hà Nội, tháng 05 năm 2013 Tác giả Trần Thị Phương LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan hướng dẫn TS Nguyễn Văn Hào khóa luận tốt nghiệp “Một số mối liên quan biến đổi Laplace với hàm Gamma” hồn thành nhận thức thân tác giả khơng trùng với khóa luận khác Trong q trình làm khóa luận tơi kế thừa thành tựu nhà khoa học với tôn trọng biết ơn Hà Nội, tháng 05 năm 2013 Tác giả Trần Thị Phương Mục lục Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Số phức mặt phảng phức 1.2 Hàm chỉnh hình 1.3 Lý thuyết tích phân phức Chương Biến đổi Laplace 11 2.1 Định nghĩa ví dụ 11 2.2 Tính chất biến đổi Laplace 18 2.3 Biến đổi Laplace ngược 20 2.3.1 Một số khái niệm 20 2.3.2 Một số phương pháp tìm hàm gốc 21 2.4 Tích chập biến đổi Laplace 25 2.4.1 Định nghĩa ví dụ 25 2.4.2 Ảnh tích chập qua biến đổi Laplace 26 iii Chương Một số mối liên quan biến đổi Laplace với hàm Gamma 30 3.1 Khái niệm hàm Gamma số tính chất 30 3.2 Một số mối liên quan biến đổi Laplace với hàm Gamma 35 3.2.1 Biến đổi Laplace số hàm nhận qua hàm Gamma 35 3.2.2 Mối liên quan hàm gamma với biến đổi Laplace chuỗi 37 Kết luận 41 Tài liệu tham khảo 42 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Biến đổi Laplace biến đổi tích phân với biến đổi Fourier hai biến đổi hữu ích thường sử dụng việc giải toán lĩnh vực vật lý Qua biến đổi Laplace, phép tốn giải tích phức tạp đạo hàm, tích phân đơn giản hóa thành phép toán đại số (giống cách mà hàm logarit chuyển phép toán nhân số thành phép cộng logarit chúng) Hàm Gamma hàm có nhiều tính chất đăc biệt đem lại nhiều ứng dụng nghành khoa học khác Qua tiếp cận với lý thuyết biến đổi Laplace hàm Gamma, định hướng người hướng dẫn chọn đề tài “Một số mối liên quan biến đổi Laplace với hàm Gamma” để hồn thành khóa luận tốt nghiệp Khóa luận cấu trúc thành chương Chương Chúng tơi trình bày số kiến thức lý thuyết hàm biến phức, cần thiết cho mục đích nghiên cứu biến đổi Laplace nghiên cứu mối quan hệ phép biến đổi với hàm Gamma Chương Trong chương này, chúng tơi trình bày cách hệ thống khái niệm biến đổi Laplace, tính chất phép biến đổi số phép tốn giải tích liên quan đến biến đổi Chương Đây phần khóa luận, chúng tơi trình bày lý thuyết hàm Gamma mối liên quan biến đổi Laplace với hàm Gamma, cụ thể biến đổi Laplace số hàm nhận qua hàm Gamma mối liên qua hàm Gamma với biến đổi Laplace chuỗi Mục đích, đối tượng phạm vi nghiên cứu Luận văn nghiên cứu mối liên quan biến đổi Laplace với hàm Gamma Phương pháp nghiên cứu Đọc sách, nghiên cứu tài liệu Tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu Dự kiến đóng góp đề tài Trình bày cách hệ thống phép biến đổi Laplace, hàm Gamma mối liên quan chúng Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Số phức mặt phảng phức Số phức số có dạng z = x + iy; với x, y ∈ R i đơn vị ảo mà i2 = −1 Ta gọi x phần thực y phần ảo, ký hiệu x = Rez, y = Imz Tập hợp số phức ký hiệu C Tập hợp số phức C đồng với mặt phẳng R2 phép tương ứng C→R z = x + iy → (x, y) Một cách tự nhiên người ta gọi Ox trục thực, Oy trục ảo Phép cộng phép nhân số phức thực cách thông thường phép toán tập hợp số thực với lưu ý i2 = −1 Ta có z1 + z2 = (x1 + x2 ) + i (y1 + y2 ) z1 z2 = (x1 + iy1 ) (x2 + iy2 ) = (x1 x2 − y1 y2 ) + i (x1 y2 + x2 y1 ) Với số phức z = x + iy, ta xác định modul số phức z số xác định |z| = x2 + y2 Số phức liên hợp số phức z = x + iy ký hiệu z¯ = x − iy Khơng khó khăn ta kiểm tra Rez = z + z¯ z − z¯ , Imz = 2i z2 = z.¯z, z¯ = ; với z = z z Số phức khác biểu diễn dạng cực z = r.eiθ với r > θ ∈ R gọi argument số phức z (argument số phức z xác định cách với sai khác bội nguyên 2π) eiθ = cosθ + isinθ Bởi eiθ = nên r = |z| θ góc hợp chiều dương trục Ox nửa đường thẳng xuất phát từ gốc tọa độ qua điểm z Cuối ta lưu ý z = r.eiθ ω = s.eiϕ z.ω = r.s.ei(θ +ϕ) s2 (s − 1) Ví dụ 2.4.4 Tìm L−1 Ta viết 1 = s2 (s − 1) s2 s − Như biết L(t) = t) = ; L(e s2 s−1 Theo công thức biến đổi Laplace tích chập ta có 1 = L(t).L(et ) = L(t ∗ et ) s s−1 Và ta thu s2 (s − 1) L−1 = t ∗ et = et − t − Ví dụ 2.4.5 Ta có ω2 (s2 + ω )2 = ω ω = (sin ωt ∗ sin ωt) s2 + ω s2 + ω Vậy nên −1 L ω2 (s2 + ω )2 =(sin ωt ∗ sin ωt) t sin ωt sin ω(t − τ).dτ = = (sin ωt − ω.t cos ωt) 2ω 28 Hồn tồn tương tự ta có L−1 s (s + ω )2 = cos ωt ∗ sin ωt ω = ω = t cos ωt sin ω(t − τ).dτ t sin ωt 2ω 29 Chương Một số mối liên quan biến đổi Laplace với hàm Gamma 3.1 Khái niệm hàm Gamma số tính chất Định nghĩa 3.1.1 Hàm Gamma định nghĩa công thức τ e−t t z−1 dt; z > 0; τ > γ(z, τ) = 30 (3.1) Hàm Gamma khơng hồn chỉnh viết τ e−t t z−1 dt; z > 0; τ > γ(z, τ) = (3.2) Biểu thức tích phân Γ(z) Nếu đặt u = e−t (3.2) = et , loge u u = t, −1 du = dt u z−1 u loge = t z−1 Đổi cận t = 0, u = t = ∞, u = ta nhận ∞ e−t t z−1 dt Γ(z) = =− u loge z−1 u .du u = u loge z−1 du (3.3) Bắt đầu từ định nghĩa cách đặt t = m2 , dt = 2mdm thu ∞ e−t t z−1 dt Γ(z) = ∞ e−m m2.(x−1) 2mdm = ∞ m2z−1 e−m dm = 31 (3.4) Một số giá trị đặc biệt Γ(z) Đặt z + thay cho z ta ∞ ∞ t z+1−1 e−t dt = Γ(z + 1) = ∞ t z e−t dt = − t z d(e−t ) ∞ = t z e−t z.t z−1 e−t dt ∞ + 0 = z.Γ(z) (3.5) Từ mối quan hệ thu Γ(z + 1) z Γ(z) = (z − 1).Γ(z − 1) Γ(z − 1) Γ(−z) = − , z = 0, 1, 2, z Γ(z) = (3.6) (3.7) (3.8) Từ (3.1) với z = tìm Γ(1) = Sử dụng (3.5) ta thu Γ(2) = Γ(1 + 1) = 1.Γ(1) = 1.1 = Γ(3) = Γ(1 + 2) = 2.Γ(2) = 2.1 = Γ(4) = Γ(1 + 3) = 3.Γ(3) = 3.2.1 = Từ ta thu Γ(n + 1) = n.Γ(n) = n.(n − 1)!, n = 0, 1, 2, (3.9) Γ(n) = (n − 1)!, n = 1, 2, (3.10) 32 Đầu tiên đặt t = u2 Ví dụ 3.1.1 Tìm Γ Γ ∞ = t e−t dt = − 2 2.e−u du,t = u2  Γ2 ∞   ∞ 2 2.e−u du  =  ∞ 2.e−u du ∞ =  ∞ 2 e−y dy e−x dx   π = = π 2 Γ Tiếp theo tìm biểu thức Γ n + = √ π (3.11) cho giá trị nguyên dương n Từ (3.7) ta thu Γ n+ 2n + 2n + 2n + = − Γ −1 2 2n + 2n + = Γ 2 2n − 2n − 2n − = Γ 2 =Γ Tiếp tục áp dụng (3.7), cuối ta thu Γ n+ √ (2n − 1)(2n − 3)(2n − 5) 3.1 π = 2n 33 (3.12) Một cách tương tự √ (2n + 1)(2n − 1)(2n − 1) 3.1 π = 2n−1 √ (2n − 3)(2n − 5) 3.1 π = Γ n− 2n−1 Γ n+ (3.13) (3.14) Γ(z + n) n số nguyên dương z − n = Γ(z − n) 0, −1, −2, ta làm sau Ví dụ 3.1.2 Để tìm Γ(z + n) (z + n − 1).Γ(z + n − 1) = Γ(z − n) Γ(z − n) (z + n − 1)(z + n − 2).Γ(z + n − 2) = Γ(z − n) (z + n − 1)(z + n − 2) (z + n − 2n)Γ(z + n − 2n) = = Γ(z − n) = (z + n − 1)(z + n − 2) (z − n) (3.15) Ví dụ 3.1.3 Tìm 2n−1 Γ(n) 2n Γ(n + 1) = 2n n.Γ(n) = 2n n.(n − 1).Γ(n − 1) = = 2n n.(n − 1)(n − 1) 2.1 = 2n n! = (2.1)(2.2)(2.n) (2.n) = 2.4.6 2n (3.16) Nếu n − thay vào vị trí n ta 2.4.6 (2n − 2) = 2n−1 Γ(n) 34 (3.17) Ví dụ 3.1.4 Công thức nhân đôi Legendre Γ n+ Γ(2n) = √ 1−2n Γ(n) π.2 (3.18) Γ n+ Chúng ta tìm bán kính √ sau π.Γ(n + 1) Γ n+ Γ(2n).21−2n Γ(2n).21−2n 2n Γ(2n).21−n √ = = = π.Γ(n + 1) Γ(n).Γ(n + 1) Γ(n).2n Γ(n + 1) Γ(n).2.4.6 2n Nhưng 1.3.5 (2n − 1) = 1.2.3.4.5 (2n − 2)(2n − 1) Γ(2n) = n−1 2.4.6 (2n − 2) Γ(n) Γ n+ 1.3.5 (2n − 1) √ = 2.4.6 2n π.Γ(n + 1) (3.19) (3.20) 3.2 Một số mối liên quan biến đổi Laplace với hàm Gamma 3.2.1 Biến đổi Laplace số hàm nhận qua hàm Gamma Theo công thức (2.9) ta có L(t n ) = n! sn+1 , Re(s) > Mở rộng kết cho giá trị n không nguyên 35 ∞ L(t v ) = e−st t v dt, v > −1 Thực tế, với với −1 < v < hàm f (t) = t v không liên tục mảnh [0, ∞) từ trở nên vơ hạn t → 0+ τ Tuy nhiên tích phân t v dt tồn với v > −1 f (t) = tv hàm bị chặn cho tất giá trị mở rộng t, biến đổi Laplace L(t v ) tồn Bằng cách đổi biến z = st, s > ta ∞ x e s −x v L(t ) = v ∞ 1 dx = v+1 s s xv e−x dx (3.21) ∞ Đại lượng Γ(p) = x p−1 e−x dx, p > biết hàm Gamma tích phân khơng thực tồn hàm liên tục với p > Khi (3.21) trở thành L(t v ) = Γ(v + 1) , v > −1, s > sv+1 (3.22) So sánh (2.9) (3.22) v = n = 0, 1, sinh Γ(n + 1) = n! (3.23) Từ ta thấy hàm Gamma tổng quát hóa khái niệm giai thừa Trong thực tế, ta định nghĩa cho tất giá trị phức v, v = 0, −1, −2, có tính chất giai thừa Γ(v + 1) = v.Γ(v), v = 0, −1, −2, Ví dụ 3.2.1 Với v = −1 2 Γ L(t ) = s ; với Γ 36 ∞ −1 = z e−z dz Đổi biến z = u2 ta nhận Γ ∞ = e−u du Tích phân biết lý thuyết xác suất có giá trị L(t −1 L(s −1 √ π Khi π ,s > s (3.24) ) = √ ,t > πt (3.25) )= Ví dụ 3.2.2 Xác định ∞ L(logt) = e−st logt.dt Đặt x = st, s > ta ∞ e−x log L(logt) = x dx s s  =  s ∞  ∞ e−x log x.dx − log s = e−x dx −1 (log s + γ) s (3.26) ∞ γ = − e−x log x.dx = 0, 577215 số Euler 3.2.2 Mối liên quan hàm gamma với biến đổi Laplace chuỗi Giả sử 37 ∞ f (t) = ∑ an t n+v ; v > −1 n=0 αn , K, α > với n đủ lớn Khi ta có n! hội tụ với t ≥ |an | ≤ K an Γ(n + v + 1) ; Re(s) > α sn+v+1 n=0 ∞ L ( f (t)) = ∑ Nếu ∞ F(s) = an ∑ sn+v+1 , v > −1 (3.27) n=0 chuỗi hội tụ với |s| > R, biến đổi ngược tính cơng thức −1 f (t) = L ∞ (F(s)) = an ∑ Γ(n + v + 1) t n+v ,t ≥ (3.28) n=0 Để thỏa mãn (3.28) ý chuỗi (3.27) hội tụ với |s| > R, an sn ≤ K, K số, n Khi với |s| = r > R ta có |an | ≤ K.rn (3.29) 2n n α n ; r < r = n n (3.30) n với α = 2r Từ Γ(n + v + 1) > Γ(n) với v ≥ −1, n ≥ từ công thức (3.29) (3.30) ta có an K.α n K.α n ≤ = Γ(n + v + 1) n.Γ(n) n! (3.31) Hơn nữa, (3.31) cho đánh giá an K.(αt)n n t ≤ ,t ≥ Γ(n + v + 1) n! ∞ ∑ an n+1 n=0 s = eαt hội tụ, (3.28) hội tụ Thế v = vào (3.27) ta thấy 38 ∞ F (s) = ∑ n=0 an sn+1 hội tụ với |s| > R, biến đổi ngược xác định an n t n=0 n! ∞ f (t) = L−1 (F(s)) = ∑ Ví dụ 3.2.3 Giả sử 1 s = √ 1+ F(s) = √ a s s+a − 12 , a ∈ R Sử dụng khai triển nhị thức (1 + x)α ta  2.2 a  a (−1)n 1.3.5 (2n − 1) a F(s) = √ 1 − + − + s 2! s 2n n! s s (−1)n 1.3.5 (2n − 1).an =∑ , |s| > |a| n=0 n+ 2n n!.s ∞ Theo (3.28) (−1)n 1.3.5 (2n − 1).an t f (t) = L (F(s)) = ∑ n=0 2n n!.Γ n + ∞ (−1)n 1.3.5 (2n − 1).an t n = √ ∑ t n=0 2n n!.Γ n + ∞ −1 Chúng ta sử dụng công thức v.Γ(v) = Γ(v + 1) để tìm Γ n+ 1.3.5 (2n − 1) 2n √ 1.3.5 (2n − 1) = π 2n =Γ 39 1−  n  +  Do ∞ (−1)n an t n f (t) = √ ∑ √ π.n! t n=0 = √ e−at πt 40 KẾT LUẬN Trong luận văn giải vấn đề Chương Giới thiệu khái quát số phức, mặt phẳng phức, hàm chỉnh hình, lý thuyết tích phân phức Chương Trong chương chúng tơi trình bày khái niệm biến đổi Laplace, ví dụ minh họa, biến đổi Laplace ngược tích chập biến đổi Laplace Chương Chúng tơi trình bày định nghĩa tích chất hàm Gamma mối liên quan hàm Gamma biến đổi Laplace, bao gồm biến đổi Laplace số hàm nhận qua hàm Gamma mối liên quan hàm Gamma với biến đổi Laplace chuỗi Em xin chân thành cảm ơn! 41 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải, 2001, Hàm biến phức NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội [2] E Artin, 1931, The Gamma function [3] G Doetsch, 1963, Guide to the Appications of Laplace Transfrom Van Nostrand Co [4] G Doetsch, 1974, Introduction to the Theory and Appications of Laplace Transformation Spinger [5] Joel L Schiff, 1988, The Laplace Transfrom Spinger - Verlag 42 ... qua biến đổi Laplace 26 iii Chương Một số mối liên quan biến đổi Laplace với hàm Gamma 30 3.1 Khái niệm hàm Gamma số tính chất 30 3.2 Một số mối liên quan biến đổi Laplace. .. đổi Laplace Chương Chúng tơi trình bày định nghĩa tích chất hàm Gamma mối liên quan hàm Gamma biến đổi Laplace, bao gồm biến đổi Laplace số hàm nhận qua hàm Gamma mối liên quan hàm Gamma với biến. .. hàm Gamma, cụ thể biến đổi Laplace số hàm nhận qua hàm Gamma mối liên qua hàm Gamma với biến đổi Laplace chuỗi Mục đích, đối tượng phạm vi nghiên cứu Luận văn nghiên cứu mối liên quan biến đổi Laplace