Khóa luận tốt nghiệp Trƣờng đại học sƣ phạm hà nội Khoa Toán Dƣơng Văn Cƣờng Khai thác tập toán phần công thức biến đổi lƣợng giác tang cotang KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên Ngành: Phương pháp dạy học toán Người hướng dẫn khoa học ThS Nguyễn Văn Hà hà nội - 2010 GVHD: Thạc sĩ Nguyễn Văn Hà SV: Dương Văn Cường Khóa luận tốt nghiệp LỜI CẢM ƠN Em xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo Trƣờng Đại học Sƣ phạm Hà Nội 2, thầy cô giáo khoa Toán thầy cô giáo tổ môn phƣơng pháp tận tình giúp đỡ em trình học tập trƣờng tạo điều kiện cho em thực khoá luận tốt nghiệp Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo Nguyễn Văn Hà, ngƣời tận tình hƣớng dẫn, bảo em trình học tập, nghiên cứu hoàn thành khoá luận Trong trình nghiên cứu, không tránh khỏi thiếu sót hạn chế Kính mong nhận đƣợc đóng góp ý kiến thầy cô giáo bạn để đề tài đƣợc hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2010 Sinh viên Dƣơng Văn Cƣờng GVHD: Thạc sĩ Nguyễn Văn Hà SV: Dương Văn Cường Khóa luận tốt nghiệp LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu riêng Những số liệu kết khoá luận hoàn toàn trung thực Đề tài chƣa đƣợc công bố công trình khoa học Hà Nội, tháng năm 2010 Sinh viên Dƣơng Văn Cƣờng GVHD: Thạc sĩ Nguyễn Văn Hà SV: Dương Văn Cường Khóa luận tốt nghiệp MỤC LỤC trang MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài……………………………………………… …….4 Mục đích nghiên cứu……………………………….………… …….4 Nhiệm vụ nghiên cứu………………………… ………… ….…… Phƣơng pháp nghiên cứu…………………………………… …….…5 Cấu trúc khoá luận……………………………………… …… … NỘI DUNG CHƢƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN A Bài toán lời giải toán Khái niệm…………………………………… …….……… Vại trò, ý nghĩa tập toán học…………… …6 Phân loại toán…………………………………… .8 Phƣơng pháp giải toán…………………………… ….9 B Nội dung chƣơng trình lƣợng giác trung học phổ thông……… …12 CHƢƠNG 2: ỨNG DỤNG TRONG DẠY HỌC A Các kiến thức bản………………………………………… … 13 B Các dạng tập………………………………………………… 20 Dạng 1: Tính giá trị lƣợng giác góc biết giá trị giá trị lƣợng giác góc liên quan tới góc đó…… ….….20 Dạng 2: Chứng minh đẳng thức………………………….…… … 29 Dạng 3: Rút gọn biểu thức tính giá trị biểu thức…………… 36 Dạng 4: Phƣơng trình lƣợng giác………………………………… 40 Dạng 5: Nhận dạng tam giác……………………………… …… 57 Dạng 6: Tích phân……………………………………… …………63 C Bài tập luyện tập………………………………………… …………71 KẾT LUẬN ………………………………………………….… … ….89 TÀI LIỆU THAM KHẢO……………………………………….………90 GVHD: Thạc sĩ Nguyễn Văn Hà SV: Dương Văn Cường Khóa luận tốt nghiệp PHẦN I: MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Nhƣ khoa học khác, lƣợng giác xuất phát từ nhu cầu đời sống Trong nhà trƣờng phổ thông, lƣợng giác chiếm thời lƣợng tƣơng đối lớn việc giảng dạy học tập môn toán, có lƣợng kiến thức lớn, có tính hệ thống, chặt chẽ, logic cao Đặc biệt phần công thức lƣợng giác Nó có mặt hầu hết phân môn toán: Hình học, đại số, giải tích,… Và đƣợc coi nội dung trọng tâm môn Toán nhà trƣờng phổ thông Thực tế thời gian học tập nhà trƣờng phổ thông nhƣ đại học, cho thấy: làm tập liên quan tới hàm số lƣợng giác có đƣợc lời giải cho toán, nhiên lời giải nhiều quanh co, vòng Nguyên nhân ngƣời làm toán không nắm vững công thức biến đổi lƣợng giác, nhìn nhận vấn đề không đƣợc thoáng Với toán nói chung toán lƣợng giác nói riêng có nhiều cách giải khác nhau, phƣơng pháp tổng hợp, phƣơng pháp vectơ Trong có phần lớn toán đại số giải tích giải cách lƣợng giác hoá, ta đƣợc cách giải ngắn gọn, dễ hiểu cho toán Vì vậy, kì thi toán liên quan tới lƣợng giác, công thức biến đổi lƣợng giác Xuất phát từ say mê thân, ham muốn học hỏi, tìm tòi, nghiên cứu sâu lƣợng giác, với mong muốn có đƣợc kiến thức vững lƣợng giác để chuẩn bị cho việc giảng dạy sau trƣờng, với động viên khích lệ thầy giáo Nguyễn Văn Hà mà em chọn đề tài : “Khai thác tập toán phần công thức lƣợng giác tang cotang” Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu chủ yếu đề tài là: - Giúp cho học sinh hệ thống tốt dạng tập lƣợng giác, đặc biệt dạng tập liên quan tới hai công thức biến đổi lƣợng giác tang cotang - Nghiên cứu sâu lƣợng giác để có đƣợc kiến thức tốt lƣợng giác, đồng thời làm tài liệu tham khảo cho học sinh giáo viên GVHD: Thạc sĩ Nguyễn Văn Hà SV: Dương Văn Cường Khóa luận tốt nghiệp Nhiệm vụ nghiên cứu Đề tài nghiên cứu với nhiệm vụ: - Nghiên cứu lý luận chung + Bài toán lời giải toán + Nội dung chƣơng trình lƣợng giác trƣờng phổ thông - Hệ thống hóa phƣơng pháp giải dạng tập liên quan tới hai công thức biến đổi lƣợng giác tang cotang, dƣới dạng nâng cao nhằm phục vụ cho việc giảng dạy: “Lƣợng giác cho học sinh phổ thông” Phƣơng pháp nghiên cứu - Phƣơng pháp nghiên cứu lý luận: Dựa vào tài liệu sẵn có, thành tựu nhân loại lĩnh vực khác để vận dụng vào phƣơng pháp dạy học môn Toán - Phƣơng pháp quan sát điều tra: Là phƣơng pháp quan sát vật tƣợng để thu lƣợm số liệu, cụ thể đặc trƣng cho trình diễn biến tƣợng - Phƣơng pháp tổng kết kinh nghiệm: Thực chất đánh giá khái quát kinh nghiệm, từ phát vấn đề cần nghiên cứu, khám phá mối liên hệ có tính quy luật tƣợng giáo dục - Phƣơng pháp thực nghiệm giáo dục: Cho phép ta tạo nên tác động giáo dục, từ xác định đánh giá kết tác động Cấu trúc khoá luận Phần 1: Mở đầu Phần 2: Nội dung, bao gồm chƣơng: Chƣơng 1: Cơ sở lý luận Chƣơng 2: Ứng dụng dạy học Phần 3: Kết luận GVHD: Thạc sĩ Nguyễn Văn Hà SV: Dương Văn Cường Khóa luận tốt nghiệp PHẦN II: NỘI DUNG CHƢƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN A BÀI TOÁN VÀ LỜI GIẢI CỦA BÀI TOÁN Khái niệm Theo G.POLYA: Bài toán việc đặt cần thiết tìm kiếm môt cách có ý thức phƣơng tiện thích hợp để đạt đến mục đích định trông thấy rõ ràng, nhƣng đạt đƣơc Từ định nghĩa khái quát G.POLYA cho ta thấy: Bài toán đòi hỏi phải đạt tới mục đích Nhƣ toán đồng với số quan niệm khác toán nhƣ: đề toán, tập… Bài tập toán có yêu cầu đặt cho ngƣời học nhằm đạt đƣợc mục đích dạy học Vai trò, ý nghĩa tập toán học a Củng cố kiến thức cho học sinh Trong thực tế toán chứa đựng nhiều kiến thức khái niệm toán học kết luận toán học Khi giải toán đòi hỏi ta phải phân tích kiện toán, huy động kiến thức cho đề toán kiến thức biết khác có liên quan đến toán, tổng hợp lại để đề kiến thức nữa… Cuối cùng, đến đƣợc lời giải toán Nhƣ giải toán kiến thức có toán mà hệ thống kiến thức liên quan tới toán đƣợc củng cố qua lại nhiều b Rèn luyện phát triển tƣ cho học sinh Đặc điểm bật môn toán môn khoa học suy diễn, đƣợc xây dựng phƣơng pháp tiên đề Do lời giải toán hệ thống hữu hạn thao tác có thứ tự chặt chẽ để đến mục đích rõ rệt Vì giải toán có tác dụng trực tiếp rèn luyện cho ta lực sử dụng phép suy luận hợp logic: suy luận có đúng, suy luận tuân theo quy tắc suy diễn… Chúng ta biết có phƣơng pháp chung để giải đƣợc toán GVHD: Thạc sĩ Nguyễn Văn Hà SV: Dương Văn Cường Khóa luận tốt nghiệp Mỗi toán có hình, vẻ khác nhau, muốn tìm đƣợc lời giải toán phải biết phân tích: phải biết cách dự đoán kết quả, kiểm tra kết quả, biết cách liên hệ tới vấn đề tƣơng tự gần giống nhau, biết cách suy luận tổng hợp khái quát hoá… Nhƣ qua việc giải toán lực tƣ sáng tạo đƣợc rèn luyện phát triển c Rèn luyện kĩ vận dụng kiến thức toán học cho học sinh Một yêu cầu việc nắm vững kiến thức của môn khoa học hiểu, nhớ vận dụng kiến thức môn khoa học vào việc giải nhiệm vụ đặt ra, tức giải đƣợc toán đặt lĩnh vực khoa học Trong việc giảng dạy toán toán lại tham gia vào tình trình dạy học môn toán Trong giảng dạy khái niệm toán học: Bài toán đƣợc sử dụng để tổ chức gây tình để dẫn dắt cho học sinh đến định nghĩa khái niệm Bài toán đƣợc sử dụng nêu làm ví dụ phản ví dụ minh hoạ cho khái niệm Bài toán đƣợc sử dụng để luyện tập, củng cố vận dụng khái niệm Trong giảng dạy định lý toán học: Bài toán đƣợc sử dụng để tổ chức gây tình dẫn dắt học sinh phát nội dung định lý toán học Bài toán đƣợc sử dụng học sinh tập vận dụng định lý, đặc biệt việc tổ chức hƣớng dẫn học sinh chứng minh định lý việc tổ chức hƣớng dẫn học sinh tập tìm lời giải chƣơng môn học Trong luyện tập toán học : Bài toán phƣơng tiện chủ yếu tiết luyện tập toán học Trong ngƣời giáo viên phải xây dựng đƣợc hệ thống tập có liên quan chặt chẽ với để nhằm giúp học sinh củng cố kiến thức hình thành số kĩ d Bồi dƣỡng phát triển nhân cách cho học sinh Đặc biệt tính cách ngƣời là: Mọi hoạt động có mục đích rõ ràng Khi giảng toán ta có định hƣớng mục đích rõ rệt, việc giải toán góp phần tích cực vào việc rèn luyện lực hoạt động ngƣời Để giải toán toán khó ta phải vƣợt qua nhiều khó khăn, phải kiên trì nhẫn nại nhiều ta phải có tâm lớn để giải toán GVHD: Thạc sĩ Nguyễn Văn Hà SV: Dương Văn Cường Khóa luận tốt nghiệp Nói theo cách G.POLYA thì: “Khát vọng tâm giải đƣợc toán nhân tố chủ yếu trình giải toán” Do ta thấy rằng: Hoạt động giải toán nhân tố chủ yếu trình hình thành phát triển nhân cách ngƣời Phân loại toán Ngƣời ta phân loại toán theo nhiều cách khác để đạt đƣợc mục đích định, thƣờng để sử dụng cách thuận lợi a Phân loại theo hình thức toán: Ngƣời ta vào kết luận toán: Kết luận toán cho hay chƣa để phân chia toán thành loại: - Bài toán chứng minh: Là toán mà kết luận đƣợc đƣa cách rõ ràng đề toán - Bài toán tìm tòi: Là toán kết luận chƣa sẵn sàng đề toán b Phân loại theo phƣơng pháp giải toán: Ngƣời ta vào phƣơng pháp giải toán: Bài toán có angôrit giải hay chƣa để chia toán thành hai loại: - Bài toán có angôrit giải: Là toán mà phƣơng pháp giải theo angôrit mang tính chất angôrit - Bài toán angôrit giải: Là toán mà phƣơng pháp giải không theo angôrit không mang tính chất angôrit c Phân loại theo nội dung toán: Ngƣời ta vào nội dung toán đƣợc phát biểu theo thuật ngữ hay vài lĩnh vực chuyên môn hẹp để chia toán thành loại khác nhƣ sau: + Bài toán số học + Bài toán đại số + Bài toán hình học d Phân loại theo ý nghĩa giải toán: Ngƣời ta dựa vào ý nghĩa việc giải toán để phân loại toán: Bài toán nhằm củng cố trực tiếp hay vài kiến thức kỹ đó, hay toán nhằm phát triển tƣ Ta có hai loại toán nhƣ sau: - Bài toán củng cố kỹ năng: Là toán nhằm củng cố trực tiếp sau học vài kiến thức hay kỹ GVHD: Thạc sĩ Nguyễn Văn Hà SV: Dương Văn Cường Khóa luận tốt nghiệp - Bài toán phát triển tƣ duy: Là toán nhằm củng cố hệ thống kiến thức nhƣ kỹ đòi hỏi phải có khả tƣ phân tích, tổng hợp vận dụng cách sáng tạo Phƣơng pháp giải toán Phƣơng pháp tìm lời giải toán: Dựa theo bƣớc G.POLYA a Bƣớc 1: Tìm hiểu đề Trƣớc giải toán ta phải phân tích đề toán, tìm hiểu thấu đáo nội dung toán câu hỏi sau: - Những biết? chƣa biết toán ? - Tìm yếu tố cố định, yếu tố không đổi, yếu tố thay đổi biến thiên toán - Xác định ẩn giá trị toán - Dữ kiện toán có đủ để xác định chƣa biết hay không ? b Bƣớc 2: Xây dựng chƣơng trình giải Để tìm lời giải cho toán cách có hiệu bƣớc xây dựng chƣơng trình giải bƣớc định, đồng thời bƣớc khó khăn Bƣớc đòi hỏi phải huy động kiến thức biết để nhận xét, so sánh, bác bỏ từ tiếp cận tới lời giải toán Chúng ta tiến hành xây dựng chƣơng trình giải theo phƣơng pháp sau: - Phƣơng pháp xuôi: Xuất phát từ giả thiết toán đƣợc lấy làm tiền đề, suy luận hợp logic tìm hệ logic tiền đề Tiếp tục chọn lọc để lấy hệ gần gũi với kết luận toán làm tiền đề Lại suy luận hợp logic tìm hệ logic gần gũi với kết luận Cứ tiếp tục trình ấy, tìm đƣợc hệ logic trùng với kết luận toán Khi ta tìm đƣợc lời giải toán Phƣơng pháp đƣợc mô tả theo sơ đồ sau: A  B   X (trong A,C giả thiết, X kết luận ) C  D - Phƣơng pháp ngƣợc : Đó trình xuất phát từ kết luận toán Bằng suy luận hợp logic ngƣợc lên để tìm tiền đề logic kết luận GVHD: Thạc sĩ Nguyễn Văn Hà SV: Dương Văn Cường 10 Khóa luận tốt nghiệp Bài Cho phƣơng trình: tan x  (2m  1)tan 3x  (m  2m)tan 2x  (m  m  1)tan x  m   (1) a Giải phƣơng trình với m  1; b Xác định m để phƣơng trình có nghiệm phân biệt thuộc khoảng  π π   ;   2 Lời giải: π  kπ, k  * Đặt tan x  t , phƣơng trình (1) trở thành: * Điều kiện: cos x   x  t  (2m  1)t  (m  2m)t  (m  m  1)t  m   (2) Ta có: (2)  (t  1)(t  2mt  m t  m  1)   (t  1)(t  2mt  m t  m  1)  t   (I) 2  t  2mt  m t  m   (3) + Để tiếp tục phân tích (3) ta viết lại (3) dƣới dạng: t m2  (2t  1)m  t   , coi m ẩn t tham số, ta đƣợc phƣơng trình bậc hai m từ ta suy : m   t  m   t  t  t  Do (3) đƣợc chuyển dạng: (t  m  1)[t  (m  1)t  1]  + Khi đó: t  (I)   t   m g(t)  t  (m  1)t   a Với m  1 (II) trở thành: (II) (4) GVHD: Thạc sĩ Nguyễn Văn Hà SV: Dương Văn Cường 78 Khóa luận tốt nghiệp t  t  t   t     t   + Do ta có: π  x   kπ  tant    , k   tant     x  arctan2  kπ - Vậy phƣơng trình (1) có hai họ nghiệm là: x  π  kπ x  arctan2  kπ , k  b Với cách đặt tan x  t ứng với số thực t cho ta họ nghiệm x Do phƣơng trình (1) có nghiệm phân biệt thuộc khoảng  π π   ;  (4) có nghiệm phân biệt t1 , t thoả mãn:  2 Δ'g  m  2m    t1   m, t   m     m   g(1)  m       t1  1, t    2m  g(1  m)  1  m     m  3  m  m  3 - Vậy với m(   ,  3)  (1,  )\   phƣơng trình có nghiệm phân 2 biệt Bài Cho phƣơng trình: (m  1)tan x  3m(1  tan x).tan x  4m 0 cos x (1) ; 37 b Tìm m để phƣơng trình có nghiệm khác kπ, k  a Giải phƣơng trình với m   Lời giải: - Điều kiện: cosx   x  π  kπ, k  (*) - Ta có: (1)  (m  1)tan x  3m(1  tan x).tan x  4m(1  tan x)  (2) + Chia hai vế phƣơng trình (2) cho (1  tan x)  ta đƣợc phƣơng GVHD: Thạc sĩ Nguyễn Văn Hà SV: Dương Văn Cường 79 Khóa luận tốt nghiệp trình: tan x  tan x  (m  1)    3m  tan x  4m    tan x  (3) tan x , với  t  Khi phƣơng trình (3) trở thành:  tan x (m  1)t  3mt  4m  (4) + Đặt t  phƣơng trình (4) trở thành: 37  t  28t  27t  36     t  nên t  , suy ra:  t   12  a Với m   tan x   tan x   tan x    tan x π  x    kπ, k   (thoả mãn điều kiện (*)) π - Vậy phƣơng trình (1) có họ nghiệm là: x   kπ π x    kπ, k   b Xét hai trƣờng hợp: * Trƣờng hợp 1: Nếu m   hay m  1 (4)  3t    t  (loại  t  1)  phƣơng trình (1) vô nghiệm * Trƣờng hợp 2: Nếu m  1 phƣơng trình (1) có nghiệm khác kπ, k  phƣơng trình (4) có nghiệm t   0;1  phƣơng trình (4) có nghiệm hai nghiệm thuộc khoảng  0;1 GVHD: Thạc sĩ Nguyễn Văn Hà SV: Dương Văn Cường 80 Khóa luận tốt nghiệp  4m(2m  1)  f(0).f(1)     m  16m³0  Δ   4m(m  1)   a.f(0)        m  (m  1)(2m  1)   a.f(1)    S 3m  1  0   0   2(m  1)    * Vậy với m   phƣơng trình có nghiệm khác kπ, k  π π   Bài 10 Giải phƣơng trình tan  3x    cot2x  tan  x   4 4   Lời giải: - Điều kiện:  π   π π  x  cos 3x   3x    kπ     4       2x  kπ  x  sin2x     π π π cos  x     x    kπ    x     π kπ  kπ , k  π  kπ (*) π  3x   3t  π  π - Đặt t  x    2x  2t  π  Khi phƣơng trình cho trở thành: π  tan  3t  π   cot  2t    tant  tan3t   tan2t  tant 2  3tant  tan t 2tant   tant  3tan t  tan t (1)  tant     tan t  tan t   0 (2) 1  3tan t  tan t  GVHD: Thạc sĩ Nguyễn Văn Hà SV: Dương Văn Cường 81 Khóa luận tốt nghiệp π π π + (1)  tan  x     x   kπ  x    kπ, k   (thoả mãn (*))  4 4 + (2)   4tan t  tan t   2tan t  3tan t   2tan t  6tan t   3  17  3+ 17 3+ 17  tant    t  arctan    2   tan t  3tan t    tan 2t     kπ, k      3  17  π   kπ  arctan       (thoả mãn (*)) x  π - Vậy phƣơng trình có họ nghiệm là: x    kπ ,   17  π   kπ, k   x    arctan       Bài 11 Giải phƣơng trình 4cos x  3tan x  3cos x  3tanx   (1) Lời giải: Ta có: (1)  (2cos x  3)  ( 3tan x  1)   π  x    k2π cos x      tan x    x   π  kπ   π  x    k2π, k   π Vậy phƣơng trình (1) có họ nghiệm x    k2π, k   Bài 12 Cho phƣơng trình tan 3x  cot 3x  3(tan 2x  cot 2x)  3(tan x  cot x)  m   GVHD: Thạc sĩ Nguyễn Văn Hà (1) SV: Dương Văn Cường 82 Khóa luận tốt nghiệp a Giải phƣơng trình với m  4;  π b Biện luận theo m số nghiệm thuộc khoảng  0;  phƣơng trình  2 Lời giải: sin x  kπ - Điều kiện:  (*)  sin2x   x  , k   cosx   - Đặt tan x  cot x  t , suy ra: tan x  cot x  t  tan 3x  cot 3x  (tan x  cot x)  3tan x cot x.(tan x cot x)  t  3t Khi phƣơng trình (1) trở thành: t  3t  3(t  2)  3t  m    t  3t  m  (2) a Với m = phƣơng trình (2) trở thành: t  3t    (t  1)(t  4t  4)   t  1  (t  1)(t  2)    t    tan x  cot x  1 cot 2x      tan x  cot x  cot 2x  1 1 kπ    x  arccot   2x  arccot  kπ    ,k   (đều thoả mãn π kπ π x     2x    kπ   điều kiện (*)) - Vậy, với m  phƣơng trình (1) có hai họ nghiệm là: 1 kπ x  arccot  2 π kπ x  , với k  b Với nghiệm t phƣơng trình (2) ta có phƣơng trình: tan x  cot x  t  cot2x   t0 (3)  π - Mặt khác, x   0;   2x   0; π  nên từ (3) ta có với nghiệm t  2 GVHD: Thạc sĩ Nguyễn Văn Hà SV: Dương Văn Cường 83 Khóa luận tốt nghiệp  π (2) ta có đƣợc nghiệm x   0;  (1) (**)  2 - Số nghiệm (2) số giao điểm đƣờng thẳng y  m (song song với trục hoành), với đồ thị hàm số y  t  3t -Xét hàm số y  t  3t  + Ta có: y'  3t  6t t  y'    t  + Bảng biến thiên: t  y’ +   +  y  4 * Từ bảng biến thiên từ nhận xét (**) ta có: Với m  m  4 phƣơng trình (1) có nghiệm  π thuộc  0;  ;  2  π Với m  m  4 phƣơng trình (1) có hai nghiệm thuộc  0;  ;  2  π Với 4  m  phƣơng trình (1) có ba nghiệm thuộc  0;   2 Bài 13 Chứng minh tam giác ABC có: C C acot  bcot  atanA  BtanB 2 ABC tam giác cân Lời giải: C C Ta có: acot  bcot  atanA  BtanB 2 GVHD: Thạc sĩ Nguyễn Văn Hà SV: Dương Văn Cường 84 Khóa luận tốt nghiệp  π AB  π AB  acot     bcot     atanA  btanB   2 2 AB AB  atan  btan  atanA  btanB  2 AB AB      a  tan  tanA   b  tan  tanB   2     BA AB sin sin 2  2RsinA  2RsinB 0 AB AB cos cosA cos cosB 2 AB sin  sinB  sinA    sin A  B  tanB  tanA    A  B  cosB cosB  cos  AB sin 0    tanB  tanA  AB A B π π A B π  thì: Vì  ,       nên ta có - Với sin 2 2 2 2 AB   A  B  tam giác ABC cân đỉnh C - Với tanB  tanA  thì:  A, B  π nên ta có B  A  tam giác ABC cân đỉnh C * Nhƣ vậy, tam giác ABC có: acot C C  bcot  atanA  BtanB 2 ABC tam giác cân Bài 14 Tính tích phân  x  1dx Lời giải:  π π Đặt x  tant , với t    ;  , suy ra:  2 dt dx   (1  tan t)dt cos t GVHD: Thạc sĩ Nguyễn Văn Hà SV: Dương Văn Cường 85 Khóa luận tốt nghiệp với x   t  0, x   t  π Khi đó, ta có π  x  1dx   tan t  0 π π π dt dt costdt d(sint)    cos t cos t cos t (1  sin t) Đặt u  sint , suy ra: với t   x  0, t  π x Khi đó:  x  1dx   2   2  1 du  2 (1  u ) 2  2      du 1 u 1 u     (1  u)2  (1  u)2  (1  u)(1  u)  du  2   1 d(1  u)  (1  u) 2  1 d(1  u)  (1  u) 2  1     u   u  du 2 1 1 u    ln 4(1  u) 4(1  u) 1 u 0 Vậy   2  2u 1 u    2  ln(3  2)    ln 2   4 1  u 1 u 0   x  1dx   2  ln(3  2)  Bài 15 (ĐH Thái Nguyên_2001-2002) Tính tích phân I  1+  x2  dx x4  x  Lời giải: * Ta có GVHD: Thạc sĩ Nguyễn Văn Hà SV: Dương Văn Cường 86 Khóa luận tốt nghiệp I 1+  * Đặt t  x  x 1 dx  x4  x  1+  1 x2 x 1 x dx  1+ 2  1  d x   x  1   x   1 x  , suy x 1  t 1 dt * Khi đó, ta có: I   t 1 với x   t  0, x   π π + Đặt t  tanu, u    ;  , suy  2 π với t   u  0, t   u  π π π π d(tanu) 4 π cos u  du   du  u  Do I    tan u 0 cos u π * Vậy I  Bài 16 (ĐH Giao Thông Vận Tải _2001-2002) π 5cos x  4sinx dx (cos x  sinx) Tính I   Lời giải: π Đặt t   x  dx  dt; π π Với x   t  , x   t  2 Khi đó, ta có: π π 5cos x  4sinx 5sint  4cost 5sint  4cost dx  (  dt)  dt   3 (cos x  sinx) (cos t  sint) (cos t  sint) π 0 I GVHD: Thạc sĩ Nguyễn Văn Hà SV: Dương Văn Cường 87 Khóa luận tốt nghiệp π 5sinx  4cos x dt (cos x  sinx) Nhƣ ta có I   π π 5cos x  4sinx 5sinx  4cos x dx   dt 3 (cos x  sinx) (cos x  sinx) 0 Từ suy 2I   π 2 π 5cos x  4sinx 5sinx  4cos x  cos x  sinx    dx   dx 3 (cos x  sinx)   (cos x  sinx) (cos x  sinx) π π dx   (cos x  sinx)  π  cos x  sinx  cos x    cos x  dx   2 d(tanx  1) 1  tanx 2 π π cos x   1  tanx cos x  sinx 0 Vậy I  Bài 17 (HV Kĩ thuật Quân Sự_2001) a  x2 Tính tích phân I   dx ( a, b tham số dƣơng cho trƣớc) 2 (a  x ) b Lời giải:  π π Đặt x  a tant, t    ;  2 a  dt  , ta đƣợc dx  cos t  b  π  tanα, α   0;  ) Với x   t  0, x  b  t  α (tant  a  2 Khi đó, ta có: acos2t a  x  a(1  tan t)  cos t a a  x  a(1  tan t)  cos t GVHD: Thạc sĩ Nguyễn Văn Hà SV: Dương Văn Cường 88 Khóa luận tốt nghiệp acos2t ax a α cos t I dx   dt   cos2t dt 2 a cos t a0 (a  x ) cos t α 1  sin2t  sin2α a a b α b 2tanα a  2b a nên I  b Vì sin2α   b2 b  a a  b2  tan α 1 a Vậy với a, b tham số dƣơng cho trƣớc ta có I  GVHD: Thạc sĩ Nguyễn Văn Hà b a  b2 SV: Dương Văn Cường 89 Khóa luận tốt nghiệp PHẦN III: KẾT LUẬN Qua thời gian nghiên cứu toán liên quan tới phần công thức biến đổi lƣợng giác, đặc biệt toán liên quan tới phần công thức biến đổi lƣợng giác tang cotang hệ thống đƣợc dạng tập: Dạng 1: Tính giá trị lƣợng giác góc biết giá trị giá trị lƣợng giác góc liên quan tới góc Dạng 2: Chứng minh đẳng thức Dạng 3: Rút gọn biểu thức tính giá trị biểu thức Dạng 4: Phƣơng trình lƣợng giác Dạng 5: Nhận diện tam giác Dạng 6: Tích phân Các tập dạng đƣợc đƣa từ dễ khó theo phân phối chƣơng trình sách giáo khoa phổ thông Trong mối dạng tập đƣợc chia làm hai phần: phần tập phần nâng cao Phần tập giúp cho ngƣời đọc biết đƣợc loại tập dạng Phần tập nâng cao phần tập luyện tập giúp cho ngƣời đọc củng cố kiến thức dạng, đồng thời có khả tƣ phân tích, tổng hợp vận dụng cách sáng tạo Tôi mong muốn rằng, đề tài đem lại hiệu việc nâng cao chất lƣợng dạy học lƣợng giác nhà truờng phổ thông Cũng việc nghiên cứu đề tài giúp nắm vững kiến thức lƣợng giác Đó điều kiện để sau truyền thụ kiến thức cho học sinh đƣợc tốt Tôi mong muốn rằng, tài liệu tham khảo hữu ích cho nguời đọc, giúp cho ngƣời đọc hệ thống tốt dạng tập lƣợng giác, đặc biệt dạng tập liên quan tới hai công thức lƣợng giác tang cotang GVHD: Thạc sĩ Nguyễn Văn Hà SV: Dương Văn Cường 90 Khóa luận tốt nghiệp TÀI LIỆU THAM KHẢO Vũ Quốc Anh (2007), Nhận Diện Tam Giác, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội Vũ Quốc Anh (2007), Tuyển Tập 589 Bài Toán Lượng Giác, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội Doãn Minh Cƣờng (2004), Giới thiệu đề thi tuyển sinh vào đại học năm học 1997-1998 đến năm 2003-2004, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên) - Phạm Thị Bạch Ngọc - Đoàn Quỳnh Đặng Hùng Thắng - Lƣu Xuân Tình (2009), Bài Tập Đại Số 10 Nâng Cao, NXB Giáo Dục Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên) - Nguyễn Xuân Liêm - Nguyễn Khắc Minh - Đoàn Quỳnh - Ngô Xuân Sơn - Đặng Hùng Thắng - Lƣu Xuân Tình (2009), Bài Tập Đại Số Và Giải Tích 11 Nâng Cao, NXB Giáo Dục Nguyễn Văn Hà (2009), Giáo Trình Dạy Học Toán Tìm Tập Hợp Và Toán Dựng Hình Ở Trƣờng Phổ Thông Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên) - Vũ Tuấn (Chủ biên) - Đào Ngọc Nam - Lê Văn Tiến - Vũ Viết Yên (2009), Đại Số 10, NXB Giáo Dục Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên) - Vũ tuấn (Chủ biên) – Doãn Minh Cƣờng - Đỗ Mạnh Hùng - Nguyễn Tiến Tài (2007), Đại Số 10 (Sách giáo viên), NXB Giáo Dục Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên) - Vũ Tuấn (Chủ biên) - Đào Ngọc Nam - Lê Văn Tiến - Vũ Viết Yên (2009), Đại Số Và Giải Tích 11, NXB Giáo Dục 10.Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên) - Vũ Tuấn (Chủ biên) - Đào Ngọc Nam - Lê Văn Tiến - Vũ Viết Yên (2009), Đại Số Và Giải Tích 11 (Sách giáo viên) NXB Giáo Dục 11.Phan Huy Khải (2009), Chuyên đề Lượng Giác, NXB Giáo Dục 12 Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên) - Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên) Nguyễn xuân Liêm - Nguyễn Khắc Minh - Đặng Hùng Thắng (2009), Đại Số 10 Nâng Cao , NXB Giáo Dục GVHD: Thạc sĩ Nguyễn Văn Hà SV: Dương Văn Cường 91 Khóa luận tốt nghiệp 13.Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên) - Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên) Thắng (2009), Đại - Nguyễn xuân Liêm - Nguyễn Khắc Minh - Đặng Hùng Số Và Giải Tích 11 Nâng Cao, NXB Giáo Dục 14 Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên) - Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên) Nguyễn xuân Liêm - Nguyễn Khắc Minh - Đặng Hùng Thắng (2009), Đại Số Và Giải Tích 11 Nâng Cao (Sách giáo viên), NXB Giáo Dục 15 Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên) - Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên) - Trần Phƣơng Dung - Nguyễn xuân Liêm - Đặng Hùng Thắng (2009), Giải Tích 12 Nâng Cao , NXB Giáo Dục 16.Vũ Tuấn (Chủ biên) - Doãn Minh Cƣờng - Trần Văn Hạo - Đỗ Mạnh Hùng - Phạm Phu - Nguyễn Tiến Tài (2009), Bài Tập Đại Số 10, NXB Giáo Dục 17 Vũ Tuấn (Chủ biên) - Trần Văn Hạo - Đào Ngọc Nam - Lê Văn Tiến Vũ Viết Yên (2009), Bài Tập Đại Số Và Giải Tích 11, NXB Giáo Dục GVHD: Thạc sĩ Nguyễn Văn Hà SV: Dương Văn Cường 92 [...]... TRÌNH LƢỢNG GIÁC Ở TRUNG HỌC PHỔ THÔNG Chƣơng 6 (ĐS10NC): Góc lƣợng giác và công thức lƣợng giác Bài 1: Góc và cung lƣợng giác Bài 2: Giá trị lƣợng giác của góc (cung) lƣợng giác Bài 3: Giá trị lƣợng giác của các góc (cung) có liên quan đặc biệt Bài 4: Một số công thức lƣợng giác Ôn tập chƣơng 6 Chƣơng 1 (ĐS>11NC): Hàm số lƣợng giác và phƣơng trình lƣợng giác Bài 1: Các hàm số lƣợng giác Bài 2: Phƣơng... thiết của bài toán, các mệnh đề toán học đã biết ta suy dần ra tới kết luận của bài toán Trong bƣớc thực hiện chƣơng trình giải một bài toán cần chú ý phân biệt sự khác nhau giữa những điều đã thấy đƣợc và những điều suy ra đƣợc chính là điều chứng minh đƣợc d Bƣớc 4: Nhận xét lời giải và khai thác bài toán Thử lại kết quả của bài toán, thử lại các lập luận trong lời giải đã tìm đƣợc của bài toán Tìm... thức liên hệ về góc, ta sẽ chứng minh tam giác đó có hai góc nào đó bằng nhau Hơn nữa ta thấy trong đẳng thức đã cho thì vai trò của góc A và C là nhƣ nhau Do đó ta sẽ chứng minh trong ΔABC có góc A = C Biến đổi đẳng thức đã cho bằng cách làm mất sự có mặt của góc B bằng cách thay B  1800  (A  C) Sau đó sử dụng công thức biến đổi lƣợng giác, ta có đẳng thức sau: GVHD: Thạc sĩ Nguyễn Văn Hà SV:... nếu có của bài toán Nghiên cứu các bài toán có liên quan Ví dụ 1 Phân tích quá trình tìm lời giải bài toán sau: B Chứng minh rằng nếu ΔABC thỏa mãn điều kiện sinA.sinC  cos 2 thì 2 ΔABC là tam giác cân HD: Để chứng minh một tam giác là tam giác cân có nhiều cách: Hoặc chứng minh 2 cạnh nào đó bằng nhau, hoặc chứng minh 2 góc nào đó bằng nhau Ở đây ta thấy giả thiết của bài toán cho biết đẳng thức liên... cosα.cosβ  sinα.sinβ cos(α  β)  cosα.cosβ  sinα.sinβ b, Công thức nhân * Công thức góc nhân đôi sin2α = 2sinα.cosα cos2α = cos 2α - sin 2α 2tanα tan2α = 1 - tan 2α cot 2α - 1 cot2α = 2cotα * Công thức góc nhân ba sin3α  3sinα  4sin 3α cos3α  4cos3α  3cosα 3tanα  tan 3α tan3α  1  3tan 2α cot 3α  3cotα cot3α  3cot 2α  1 c, Công thức biến đổi tổng thành tích α β α β sinα  sinβ  2sin cos 2... tan 30.tan 310  tan10.tan 610.tan 590  tan 30.tan 310.tan 590 (1) Theo bài 4 (phần bài tập cơ bản) ta có VT(1)  tan(600  10 )tan10tan(60 0  10 )  tan30 (2) Mặt khác VP(1)  tan30.tan310.tan(90 0  310 )  tan3 0.tan310.cot310  tan30 (3) Từ (2) và (3) ta có đẳng thức (1) luôn đúng, do đó ta có đpcm b Theo bài 4 (phần bài tập cơ bản) ta có VT  tan30 tan17 0.tan230.tan37 0.tan43 0.tan57 0.tan630... A, B, C của ΔABC GVHD: Thạc sĩ Nguyễn Văn Hà SV: Dương Văn Cường 20 Khóa luận tốt nghiệp B CÁC DẠNG BÀI TẬP DẠNG 1: TÍNH GIÁ TRỊ LƢỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC KHI BIẾT GIÁ TRỊ LUỢNG GIÁC CỦA GÓC LIÊN QUAN TỚI GÓC ĐÓ I/ BÀI TẬP CƠ BẢN Bài 1 (SGKĐS10NC_BT20_T201) Tính các giá trị lƣợng giác của các góc lƣợng giác sau: 5π 10 2250 ,  2250 , 7500 ,  5100 , ,  3 3 Lời giải: * Với góc 2250 , ta có: sin 2250... Bài 2: Phƣơng trình lƣợng giác Bài 3: Một số dạng phƣơng trình lƣợng giác cơ bản Ôn tập chƣơng 1 GVHD: Thạc sĩ Nguyễn Văn Hà SV: Dương Văn Cường 13 Khóa luận tốt nghiệp CHƢƠNG II ỨNG DỤNG TRONG DẠY HỌC A CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN I Bảng xác định dấu của các giá trị lƣợng giác Phần tƣ I II Giá tri lƣợng giác III IV sinα + +   cosα +   + tanα +  +  cotα +  +  II Giá trị lƣợng giác của các cung đặc biệt...   2sin sin 2 2 sinα  sinβ  2cos d, Công thức biến đổi tích thành tổng 1 sinα.cosβ   sin(α  β)  sin(α  β)  2 1 sinα.sinβ   cos(α  β)  cos(α  β)  2 1 cosα.cosβ   cos(α  β)  cos(α  β)  2 4 Công thức hạ bậc 1  cos 2α sin 2α  2 3sinα  sin 3α sin 3α  4 1  cos 2α tan 2α  1  cos 2α 1  cos 2α 2 3cosα  cos3α cos3α  4 cos 2α  α α 5 Công thức tính sinα, cosα, tanα theo tan Nếu... 21tan21x  2 2tan2 2x  2 3cot 2 3x Khi đó với cách chứng minh tƣơng tự nhƣ phần c, và sử dụng phƣơng pháp GVHD: Thạc sĩ Nguyễn Văn Hà SV: Dương Văn Cường 35 Khóa luận tốt nghiệp quy nạp toán học thì ta có công thức tổng quát sau: cot x  tan x  21tan21x  22 tan22 x   2n 1tan2n 1x  2n cot2n x , với n  Bài 4 Chứng minh các đẳng thức: a tan10.tan 610  tan 30.tan 310 ; b tan30.tan170.tan 230.tan370.tan ... luận chung + Bài toán lời giải toán + Nội dung chƣơng trình lƣợng giác trƣờng phổ thông - Hệ thống hóa phƣơng pháp giải dạng tập liên quan tới hai công thức biến đổi lƣợng giác tang cotang, dƣới... theo hình thức toán: Ngƣời ta vào kết luận toán: Kết luận toán cho hay chƣa để phân chia toán thành loại: - Bài toán chứng minh: Là toán mà kết luận đƣợc đƣa cách rõ ràng đề toán - Bài toán tìm... giải toán: Ngƣời ta dựa vào ý nghĩa việc giải toán để phân loại toán: Bài toán nhằm củng cố trực tiếp hay vài kiến thức kỹ đó, hay toán nhằm phát triển tƣ Ta có hai loại toán nhƣ sau: - Bài toán