Lời nói đầu Toán học bắt nguồn từ nhu cầu giải toán có nguồn gốc thực tiễn Cùng với thời gian, toán học ngày phát triển chia thành hai lĩnh vực là: Toán học lý thuyết toán học ứng dụng Trong lĩnh vực toán học ứng dụng thường gặp nhiều toán có liên quan đến việc giải phương trình vi phân, việc nghiên cứu phương trình vi phân thường đóng vai trò quan trọng lý thuyết toán học Chúng ta biết số phương trình vi phân thường tìm nghiệm xác Trong dó phần lớn phương trình vi phân nảy sinh từ toán thực tiễn không tìm nghiệm xác Do phải nhờ tới phương pháp xấp xỉ để tìm nghiệm gần Xuất phát từ nhu cầu đó, nhà khoa học nghiên cứu tìm nhiều phương pháp để giải gần phương trình vi phân thường Là sinh viên chuyên nghành toán em may mắn có hội nghiên cứu đề tài: “Giải gần phương trình vi phân thường” Dưới giúp đỡ tận tình, bảo ân cần thầy giáo: TS Nguyễn Văn Hùng Với say mê toán, tích cực tìm tòi nghiên cứu em hoàn thành đề tài nghiên cứu Đề tài em gồm phần: Lời nói đầu, nội dung, kết luận Nội dung gồm: Chương 1: Các kiến thức bổ trợ Chương 2: Giải gần phương trình vi phân thường Nhân dịp em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo: TS Nguyễn Văn Hùng tận tình hướng dẫn em hoàn thành đề tài Em xin cảm ơn giúp đỡ thầy cô giáo khoa toán, thầy cô tổ môn giải tích, bạn sinh viên khoa toán tập thể bạn sinh viên lớp k32 cử nhân toán, giúp đỡ, đóng góp ý kiến cho em suốt trình hoàn thành khóa luận Do lần tiếp xúc với nghiên cứu khoa học thời gian có hạn nên đề tài em chắn tránh khỏi thiếu sót Em mong thông cản thầy cô giáo bạn sinh viên Hà nội ngày tháng năm 2010 Chương 1: Các kiến thức bổ trợ 1.1: Sai phân 1.1.1 Dãy số Gọi A tập hợp m số tự nhiên khác không A  1,2 , k Một hàm số x xác định tập A gọi dãy số hữu hạn Tập giá trị dãy số hữu hạn  x 1 ; x   ; ; x  k  Người ta thường kí hiệu giá trị x 1  x1; x  2  x2 ; ; x  k   xk viết dãy số dạng x1, x2 , , xk Một hàm số x xác định tập N  số tự nhiên khác không gọi dãy số vô hạn (hay gọi dãy số Tập giá trị dãy số x gồm vô số phần tử x 1  x1; x    x2 ; ; x  n   xn Người ta thường viết dãy số dạng x1 , x2 , , xn, Dãy số x1, x2 , , xn , gọi dãy dừng tồn số nguyên dương N cho xn  c với n  N0 Ở c số (và gọi số dừng) Dãy số x1, x2 , , xn gọi là: Bị chặn tồn số M cho xn  M với n  1,2, Bị chặn tồn số m cho xn  m với n  1,2, Dãy bị chặn vừa bị chặn vừa bị chặn 1.1.2 Giới hạn dãy số Ta nói dãy số  xn  có gới hạn a với số dương  cho trước (nhỏ tùy ý), tồn số tự nhiên N cho với n  N xn  a   Ta viết lim xn  a hay viết lim xn  a n  1.1.3 Tổng n số hạng dãy số: Cho dãy số  xn  tổng n số hạng dãy số kí hiệu sn  x1  x2   xn  i n xi 1.1.4 Công thức Moarvơ Cho số phức:   x  iy  r  cos  i sin   i  1; r    x  y y x   arctg ; số phức liên hợp   x  iy  r  cos -isin  Ta có:  n  r n  cos -isin   r n  cosn -isinn  (công thức Moarvơ) n 1.1.5 Sai phân a Khái niệm sai phân: Giả sử f : R  R hàm số cho trước h số khác ta gọi  f  x   f  x  sai phân cấp hàm số y  f  x  1 f  x   f  x  h   f  x  sai phân cấp hàm số y  f  x   f  x     1 f  x    f  x  h   f  x   f  x  2h   f  x  h   f  x  sai phân cấp hai hàm số y  f  x  Quy nạp: n f  x      n1 f  x   n  N   sai phân cấp n hàm số y  f  x  xi f  xi  f  xi  x4 f 4 x3 f 3 f 4 x2 f 2 f 3  f 4 x1 f 1 f 2  f 3 3 f 4 x0 f0 f 1 2 f2 3 f 3  f 4 x1 f1 f  f 1 3 f 2  f 3 5 f 4 x2 f2 f1  f0 3 f 1  f 2 5 f 3  f 4 x3 f3 f  f1 3 f  f 1 5 f 2  f 3 x4 f4 f3 2 f2 3 f1  f0 5 f 1  f 2  f  xi   f  xi   f  xi   f  xi   f  xi  Nhận xét: Bắt đầu từ cột phần tử hiệu phần tử dòng dòng cột liền trước Ví dụ: f4  f3  f 4 1.1.6 Tính chất sai phân a Sai phân  toán tử tuyến tính xác định không gian X hàm số xác định R , nghĩa với  ,   R , với hàm số f , g thì:   f   g   f  g Chứng minh: Ta có:   f   g  x    f   g  x  h    f   g  x    f  x  h   g  x  h   f  x    g  x     f  x  h   f  x     g  x  h   g  x   f  x   g  x  b Nếu c  f c  Chứng minh: c  c  c    c  c  n  x n   n!hn m  xn    m>n  Chứng minh:   xn    x  h   xn n  xn  Cn1hxn1  Cn 2h2 xn2   hn  x n  Cn1hxn1  Cn 2h2 xn2   h2  n  n  1 n2    x n     x n     nhx n1    h x      h n    Do đó:  n  x n   n!hn rõ ràng n  x n   n!hn  const Ta được:  m  x n    mn n  xn     m>n    d Nếu p  x  đa thức bậc n thì: hi i p  x   p  x  h   p  x    p  x  i 1 i ! n Chứng minh: Áp dụng khai triển Taylor cho đa thức p  x  h  ta được: h 1 h  2 hn  n p  x  h  p  x  p  x  p  x    p  x i! 2! n! (do p  x  đa thức bậc n nên m  n ta có p    ) m Khi đó: p  x   p  x  h   p  x  h 1 h  2 hn  n  p  x  p  x    p  x 1! 2! n! n  i 1 hi i p  x i! n e f  x  nh    C i n i f  x  i 0 Chứng minh: f  x   f  x  h   f  x  f  x  h   f  x   f  x   1    f  x  Suy f  x  2h   f  x  h  h   1    f  x  h   1    f  x    C i 2i f  x  i 0 f  x  nh   f  x  h   n  1 h  Quy nạp với n:  1    f  x  n n   C i n i f  x  i 0 f sai phân biểu diễn qua giá trị hàm số n  f  x     1 C i n f  x   n  i  h  n i i 0 Chứng minh: Ta có:  n f  x   1     1 f  x  n    1 C i n 1    i n i f  x i 0 n  ni  i    1 C i n   C k ni  k f  x   i 0  k 0  n =   1 C i n f  x   n  i  h  i i 0 g Giả sử f  x   C n  a, b   x, x  nh   a, b , đó: f  x   f n  x   nh  với    0,1 h Chứng minh: Ta chứng minh quy nạp: Với n  ta có: f  x   f '  x   h  công thức số gia hữu hạn h Vậy mệnh đề với n  Giả sử mệnh đề với n  k  k  1 k f  x  Tức  f k  x   kh  k h Ta chứng minh mệnh đề với n  k  Tức ta phải chứng minh:  k 1 f  x   f k 1  x    k  1 h  k 1 h Hay  k 1 f  x   h k 1  f  x    k  1   n 1 h  Thật vậy: k 1 f  x    k f  x     hk f k  x   ' kh   (trong  '   0,1 ) Áp dụng công thức tính số gia hữu hạn cho f  k  x   ' kh  Ta có: k 1 f  x   hk f  k  x   ' kh  (vì  toán tử tuyến tính)  hk  f k  x   ' kh  h   f k  x   ' kh    hkh f  k 1  x   ' kh   '' h  (do mệnh đề với n  ) Trong  ', ''   0,1 Đặt    ' k   '' k 1 ,   0,1 k 1 f  x   hk 1 f k 1  x    k  1 h  Ta : Hệ quả: n f  x  Nếu f  x   C  a, b  h đủ nhỏ ta có f  x   hn n n Nhận xét:Với hàm f  x  xác định tập số nguyên Z coi h 1 kí hiệu yk  f  x  ; k  0,1,2 Ta có: n  y   y i 1 i  y1    y3  y2     yn1  yn    yn1  y1  Với yi  yi 1  yi  f  i  1  f i   f i  h   f i   h  1 n Vậy :  yi  yn1  y1 i 1 Sai phân cấp i đa thức bậc n là: Hằng số, i  n ( theo tính chất b ) Đa thức bậc n  i i[...]...  N  y .M  x   0 1 2 b Phương trình vi phân cấp 1 thuần nhất: dy  f  x, y  ; f  tx, ty   t k f  x y  ;  t  0  dx Để giải phương trình dạng này ta đặt u  y sau đó đưa về vi c giải x phương trình vi phân có biến số phân li c Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 dx  p  x  y  Q  x  dy Dạng tổng quát: (1.3.1.2) Q  x   0 thì (1.3.1.2)gọi là phương trình tuyến tính không thuần... là nghiệm tổng quát của phương trình n(1.3.1.1) Nếu:  x, y   D (D là miền xác định của phương trình) ta có thể giải ra đối với c; c    x, y  Hàm y    x, c  thỏa mãn k(1.3.1.1) Thì  x, y  chạy khắp D với c  R 16 1.3.2 Một số phương trình vi phân đã biết cách giải a Phương trình vi phân có biến số phân li: dy  f  x  suy ra y   f  x  dx  C dx dy  f  y  suy ra dx  dy  xC f ... Công thức nghiệm tổng quát của phương trình: ye  sp x .dx   s.Q  x  e s p x .dx C  d Phương trình vi phân đưa được về dạng phương trình thuần nhất cấp 1  ax  by  c  dy  f  dx  a1 x  b1 y  c1  17 (1.3.1.3) Nếu c  c1  0 thì (3) là phương trình thuần nhất cấp 1 Nếu c  0; c1  0; ab 0 a1 b1  x  x1   Đặt:   y  y1   (  ,  là hằng số) e Phương trình Bernoulli Dạng tổng quát:... Phương pháp chuỗi số nguyên Để giải gần đúng phương trình vi phân trong một số trường hợp ta có thể sử dụng một số phương pháp khai triển nghiệm theo công thức Taylor Trong lân cận điểm  x0 , y0  và giữ lại một số các số hạng cần thiết Ta thấy các phương pháp này chỉ có lợi khi khoảng cần xác định nghiệm là một lân cận khá bé của điểm  x0 , y0  Giả thiết là hàm f  x, y  ở vế phải của phương trình. .. 1  La  sup   x    x   0 x 1  La   0 suy ra sup   x    x   0 x   x    x   0 ; x Suy ra    Vậy   x  duy nhất 21 Chương 2: Các phương pháp giải gần đúng phương trình vi phân thường 2.1: Một số phương pháp giải tích 2.1.1 Định nghĩa hàm số Lipsit: Hàm số f  x, y  được gọi là Lipsit theo biến y trên miền G nếu  k  0 sao cho: f  x, y1   f  x, y2   k y2  y1... với vi c tìm nghiệm của phương trình tích phân sau: 22 x y  x   y0   f  t , y  t   dt (2.1.2.3) x0 Nội dung của phương pháp xấp xỉ liên tiếp Picard là thay côh vi c tìmnghiệm đúng của (2.1.2.3) ta tìm nghiệm gần đúng thứ n theo công thức quy nạp: x y  y0   f  t , yn1  t  dt (2.1.2.4) x0 Trong đó để đơn giản ta có thể chọn nghiệm đúng đầu tiên là: y0  x   y0 Tốc độ hội tụ của phương. .. xác đến 0,1 m3 Giải: V   R 2h ; v  0,1 m3 ; h  3 m ; R  2 m, n  3 0,1 V  0,001  2 Rh  37,7 suy ra R  37,7 R 15 0,1 V  0,003  R 2 h  12 suy ra r  3,12 r 0,1 V  0,003   R 2  12,6 suy ra h  3.12,6 h Vậy R  0,001 chính xác tới 1 1000 h  0,003 chính xác tới 3 1000 1.3: Một số kiến thức về phương trình vi phân thường 1.3.1 Một số khái niệm Phương trình vi phân thường cấp n...  0   2 y 4  0  y5  0  y6  0  0 y 7  0   80 … 28 4 2 2.2: Phương pháp Euler và Euler cải tiến 2.2.1 Phương pháp Euler: Từ điểm ban đầu A x0 , y0  của đường cong tích phân, nhờ phương trình vi phân y '  f  x, y  ta có thể xác định gần đúng giá trị của y  x  ở các điểm tiếp theo: x0  x1   xn  x0  a bằng phương pháp đơn giản sau đây: Theo công thức Taylor ta có: y  xi1  ... lập, y là hàm phải tìm Cấp của phương trình là đạo hàm cấp cao nhất có mặt trong phương trình Hàm số y    x  được gọi là nghiệm của phương trình (1.3.1.1) nếu thay y    x  ; y '   '  x  , ; y      n n  x vào (1.3.1.1) thì ta được đồng nhất thức Hàm số y    x, c   c  R  có đạo hàm riêng theo biến x đến cấp n được gọi là nghiệm tổng quát của phương trình n(1.3.1.1) Nếu:  x,... trình Bernoulli Dạng tổng quát: dy  P  x  y  Q  x  y dx (1.3.1.4)   1: (1.3.1.4) trở thành phương trình tuyến tính cấp 1   0: (1.3.1.4) trở thành phương trinh phi tuyến tính không thuần nhất cấp 1   0;   1 , ta chia 2 vế của phương trình (1.3.1.4) cho y sau đó đặt z  y1 và đưa về phương trình tuyến tính không thuần nhất 1.3.3 Định lý Pica-Lindolov (định lý tồn tại và duy nhất nghiệm) ... 0 b Phương trình vi phân cấp nhất: dy  f  x, y  ; f  tx, ty   t k f  x y  ;  t   dx Để giải phương trình dạng ta đặt u  y sau đưa vi c giải x phương trình vi phân có biến số phân. .. thức phương trình vi phân thường 1.3.1 Một số khái niệm Phương trình vi phân thường cấp n có dạng tổng quát: F  x, y, y ', y '', , y n   (1.3.1.1) Trong x biến số độc lập, y hàm phải tìm Cấp phương. .. giá trị gần tìm là: y0  1; y  0,97528; y2  0,94978; y3  0,92428 2.3.2 Phương pháp Runge Kutta Phương pháp áp dụng để giải hệ phương trình vi phân cấp hay phương trình cấp cao Để giải hệ