MỤC LỤC LỜI MỞ ĐẦU Chương Các kiến thức chuẩn bị 1.1 Khái niệm không gian định chuẩn 1.2 Không gian Hillbert 1.2.1 Tích vô hướng 1.2.2 Bất đẳng thức Schwarz 1.2.3 Định nghĩa không gian Hilbert ví dụ 1.3 Tập lồi 10 1.3.1 Định nghĩa tính chất 10 1.3.2 Bao lồi bao lồi đóng 11 1.3.3 Các định lý tách 12 1.4 Hàm lồi 13 1.4.1 Hàm lồi 13 1.4.2 Các phép toán hàm lồi 16 1.4.3 Tính liên tục hàm lồi 18 1.5 Tập mở tập đóng 18 1.6 Tập compact 18 Chương Định lý minimax không lồi 20 2.1 Đa thức tách được; Tính lồi miền giá trị ghép 20 2.2 Định lý minimax không lồi 23 2.3 Ứng dụng định lý minimax không lồi 28 KẾT LUẬN 31 TÀI LIỆU THAM KHẢO 32 LỜI MỞ ĐẦU Định lý minimax cho hàm tách lồi - lõm định lý lý thuyết tối ưu giải tích lồi, có nhiều ứng dụng kinh tế Mở rộng định lý minimax cổ điển cho trường hợp không lồi nghiên cứu suốt hai thập kỉ qua (xem [4,5,7]), cách thêm giả thiết lồi tổng quát Tháng năm 2011, G Y Li công bố báo “A Note on Nonconvex Minimax Theorem with Separable Homogenous Polynomials” cho cách nhìn định lý minimax không lồi đa thức tách cách đầy đủ xác Đặc biệt, áp dụng tính lồi ẩn (tính lồi miền giá trị ghép) đa thức tách được, ông chứng minh định lý minimax không lồi áp dụng cho đa thức tách Với ý tưởng tương tự, có số công trình công bố với hệ toàn phương không lồi, xem [8,9] Các kết thu báo [12] cung cấp cho thêm cách nghiên cứu định lý minimax không lồi, cách lấy số điều kiện kiểm tra dễ dàng Là sinh viên Sư phạm, chuyên ngành Sư phạm Toán, mong muốn tìm hiểu sâu lý thuyết tối ưu giải tích lồi nói chung định lý minimax nói riêng Đặc biệt, gợi mở, hướng dẫn, bảo tận tình thầy ThS Nguyễn Quốc Tuấn chọn đề tài “Định lý minimax không lồi đa thức tách được” Khoá luận tập trung làm rõ số nội dung liên quan đến định lý minimax không lồi đa thức tách được, số bổ đề hệ có liên quan Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, khoá luận gồm hai chương: Chương Các kiến thức chuẩn bị Trong chương này, tác giả hệ thông lại số kiến thức chuẩn bị cho định lý minimax không lồi đa thức tách Chương Định lý minimax không lồi Chương trình bày khái niệm đa thức tách được; Tính lồi miền giá trị ghép Phát biểu, làm rõ chứng minh định lý minimax không lồi ứng dụng Do thời gian nghiên cứu có hạn khả thân hạn chế nên khoá luận dừng lại việc tìm hiểu, trình bày nội dung theo chủ đề đặt Trong trình viết khoá luận trình xử lý văn bản, khoá luận không tránh thiếu sót định Vì vậy, mong đóng góp ý kiến quý thầy cô bạn đọc để khoá luận hoàn thiện Chương Các kiến thức chuẩn bị 1.1 Khái niệm không gian định chuẩn Định nghĩa 1.1 Ta gọi không gian định chuẩn (hay không gian tuyến tính định chuẩn) không gian tuyến tính X thực với ánh xạ từ X vào tập số , ký hiệu  đọc chuẩn, thỏa mãn tiên đề sau đây: 1) x  ; x =  x  , x  X ; 2)  x   x , x  X ,   , (tính nhất); 3) x  y  x  y , x, y  X (bất đẳng thức tam giác) Số x gọi chuẩn vector x Ta ký hiệu không gian định chuẩn X Các tiên đề 1) 2) 3) gọi hệ tiên đề chuẩn Ví dụ 1.1 Đối với số thực x  , ta đặt x  x (1.1) Nhờ tính chất giá trị tuyệt đối số thực, công thức (1.1) cho chuẩn Không gian định chuẩn tương ứng ký hiệu Banach Dễ thấy không gian k Ví dụ 1.2 Cho không gian vector k chiều k , k Đối với vector x  ( x1 , x2 , , xk )  k x x   {x  ( x1 , x2 , , xk ) : x j  ) ta đặt (1.2) j 1 Ta dễ thấy (1.2) xác định chuẩn không gian  k ,  k Hơn nữa,  không gian Banach  Ví dụ 1.3 Cho không gian vector l2   x   xn      :  xn    Đối với n 1  vector x   xn   l2 ta đặt  x   xn (1.3) n 1 Ta dễ thấy (1.3) xác định chuẩn không gian l2 Hơn nữa,  l2 ,   không gian Banach Ví dụ 1.4 Cho không gian  a ,b  gồm tất phiếm hàm tuyến tính liên tục  a, b  Đối với hàm số x  x  t    a ,b  ta đặt x  max x  t  (1.4) a t b Ta dễ thấy (1.4) xác định chuẩn không gian  a , b ,   a , b Hơn nữa,  không gian Banach Nhận xét 1.1 Các chuẩn thỏa mãn (1.1), (1.2), (1.3), (1.4) chuẩn Euclide 1.2 Không gian Hillbert 1.2.1 Tích vô hướng Định nghĩa 1.2 Cho X không gian tuyến tính Ta gọi tích vô hướng không gian X ánh xạ từ tích Descartes X  X vào , ký hiệu  ,  , thỏa mãn tiên đề: 1) x, y  y, x , x, y  X ; 2) x  y, z  x, z  y, z , x, y, z  X ; 3)  x, y   x, y , x, y  X ,   ; 4) x, x  , x  X x  ; x, x  x  Các phần tử x, y, z , gọi nhân tử tích vô hướng, tiên đề 1), 2), 3), 4) gọi hệ tiên đề tích vô hướng Định nghĩa 1.3 Cho m không gian Euclide m chiều, với x, y  vô hướng x y , kí hiệu x, y , xác định m x, y   xi yi , x   x1 , , xm  , y   y1 , , ym  i 1 Nhận xét 1.2 Một số tính chất đơn giản tích vô hướng 1) 0, x  0, x  X 0, x  0.x, x  x, x  ; 2) x, y   x, y , x, y  X ,   ; 3) x, y  z  x, z  y, z , x, y, z  X m , tích 1.2.2 Bất đẳng thức Schwarz Định lý 1.1 Đối với x  X ta đặt x  x, x , (1.5) đó, với x, y  X ta có bất đẳng thức Schwarz x, y  x y (1.6) Hệ 1.1 Tích vô hướng ,  hàm liên tục theo hai biến chuẩn xác định (1.5) Định nghĩa 1.4 Không gian tuyến tính trường số thực với tích vô hướng gọi không gian tiền Hilbert 1.2.3 Định nghĩa không gian Hilbert ví dụ Định nghĩa 1.5 Không gian tiền Hillbert  H ,  ,  với chuẩn x   không gian Hilbert H x, x , x  H không gian Banach Ta gọi không gian tuyến tính đóng không gian Hilbert H không gian Hilbert không gian H Ví dụ 1.5 Ký hiệu thuộc k k không gian vector thực k chiều Với x   xn  , y   yn  thuộc k ta đặt k x, y   xn yn (1.7) n 1 Dễ dàng thấy hệ thức (1.7) thỏa mãn hệ tiên đề tích vô hướng Chuẩn sinh tích vô hướng (1.7) k x  x, x  n x , x   xn   k , n 1 trùng với chuẩn (1.2) biết không gian k k nên không gian vector thực với tích vô hướng (1.7) không gian Hilbert 1.3 Tập lồi 1.3.1 Định nghĩa tính chất Giả sử X không gian tuyến tính, tập số thực Định nghĩa 1.6 Tập A  X gọi tập lồi, x1 , x2  A ,   ,     x1  (1   ) x2  A Nhận xét 1.3 Theo định nghĩa tập  xem tập lồi Giả sử A  X ; x1 , x2  A Định nghĩa 1.7 Giả sử A  X ; x1 , x2  A Đoạn nối x1 x2 , kí hiệu [ x1 , x2 ] định nghĩa [ x1 , x2 ]  {x  A : x   x1  (1   ) x2 ,0    1} Nhận xét 1.4 Tập A tập lồi x1 , x2  A kéo theo [ x1 , x2 ]  A Ví dụ 1.6 Các nửa không gian tập lồi; tam giác hình tròn mặt phẳng tập lồi; hình cầu đơn vị không gian Banach tập lồi; … Mệnh đề 1.1 Giả sử A  X (  I ) tập lồi, với I tập số Khi đó, tập A   A tập lồi  I Từ định nghĩa 1.7 ta nhận mệnh đề 1.2, 1.3, 1.4 10 Mệnh đề 1.2 Giả sử tập Ai  X lồi, i  ( i  1,2, , m ) Khi đó, tập 1 A1   m Am tập lồi Mệnh đề 1.3 Giả sử X i không gian tuyến tính, tập Ai tập lồi, Ai  X i ( i  1,2, , m ) Khi đó, tích Descartes A1   Am tập lồi X   X m Mệnh đề 1.4 Giả sử X , Y không gian tuyến tính, T : X  Y toán tử tuyến tính Khi đó, 1) Nếu A tập lồi X T ( A) tập lồi Y ; 2) Nếu B tập lồi Y nghịch ảnh T 1 ( B ) B tập lồi Định nghĩa 1.8 Vector x  X gọi tổ hợp lồi vector x1 , x2 , , xm  X m m tồn i  (i  1, , m),  i  1, cho x   i xi i 1 i 1 Định lý 1.2 Giả sử A tập lồi, A  X , x1 , x2 , , xm  A Khi đó, tập A chứa tất tổ hợp lồi x1 , x2 , , xm 1.3.2 Bao lồi bao lồi đóng Định nghĩa 1.9 Giả sử A tập lồi, A  X Giao tất tập lồi chứa A gọi bao lồi tập A , ký hiệu conv A Định lý 1.3 Tập convA trùng với tập tất tổ hợp lồi A Hệ 1.2 Tập A lồi A chứa tất tổ hợp lồi A Định nghĩa 1.10 Giả sử A tập lồi, A  X Khi đó, giao tất tập lồi đóng chứa A gọi bao lồi đóng tập A , ký hiệu conv A Mệnh đề 1.5 Giả sử A tập lồi, A  X Khi 11 1) Phần int A bao đóng A A tập lồi 2) Nếu x1  int A , x2  A [ x1 , x2 )  {  x1  (1   ) x2 :    1}  int A Nhận xét 1.5 Nếu int A   A  int A int A  int A Định lý 1.4 Bao lồi đóng tập A trùng với bao đóng bao lồi A , hay conv A  conv A 1.3.3 Các định lý tách Định nghĩa 1.11 Không gian vector tôpô có sở gồm lân cận lồi điểm gốc gọi không gian vector lồi địa phương (không gian lồi địa phương) Định nghĩa 1.12 Cho tập A B nằm không gian lồi địa phương X Ta nói phiếm hàm tuyến tính liên tục x*  tách A B tồn số  cho x , y    x , x x  A, y  B (1.8) Nếu (1.8) có dạng x , y    x , x  x  A,  y  B , ta nói x tách ngặt A B Định lý 1.5 (Định lý tách thứ nhất) Giả sử A, B hai tập lồi không gian lồi địa phương X , A  B   , int A   Khi đó, tồn phiếm hàm tuyến tính x  X  , x  , tách hai tập A B 12 tương đối không gian X dãy vô hạn phần tử thuộc K chứa dãy hội tụ (tới phần tử thuộc X) Ví dụ 1.8 Trong không gian metric (tập số thực với metric tự nhiên) đoạn tập compact, khoảng tập compact tương đối Trong không gian Euclide n tập đóng bị chặn tập compact, tập bị chặn tập compact tương đối 19 Chương Định lý minimax không lồi 2.1 Đa thức tách được; Tính lồi miền giá trị ghép Định nghĩa 2.1 Hàm số f : m    gọi đa thức bậc q f đa thức f ( x)   q f ( x) , với   x  Định nghĩa 2.2 Hàm số f : m  m gọi đa thức tách m bậc q f ( x)   f j ( x j ), x  ( x1 , , xm ) f j đa thức j 1 bậc q Định nghĩa 2.3 Cho hàm fi  i  1, , p  (không lồi) đa thức tách m m  q   , tập  hộp compact, nghĩa  :   j ,  j đoạn Miền ghép giá trị  f1 , , f p   , bậc q j1 kí hiệu R  f1 , , f p  xác định R  f1 , , f p  :   f ( x), , f p  ( x)  : x   Dưới bổ đề quan trọng định lý minimax không lồi Bổ đề miền giá trị ghép R  f1 , , f p  tập lồi 20 Bổ đề 2.1 Cho  hộp compact m tách bậc q p (q m fi  i  1, , p  đa thức ) Khi đó, R ( f1 , , f p ) tập lồi m Chứng minh Khi  hộp compact m , ta đặt     j , j1  j  j  1, , p  đoạn Hơn nữa, với fi  i  1, , p  đa thức tách bậc q m , ta có m fi ( x)   fij ( x j )  x  ( x1 , , xm ) , j 1 fij :  xác định fij ( x) :  aij x q với aij   i  1, , p   j  1, m  Tiếp theo, ta chứng minh m R ( f1 , , f p )    f 1j  ( x j ), , f pj ( x j )  : x j   j (2.1) j 1 Lấy (u1 , , u p )  R ( f1 , , f p ) hay  m  (u1 , , u p )  ( f1 ( x), , f p ( x)) : x    j j 1 m m j 1 j 1 Khi đó, tồn x  ( x1 , , xm )    j , cho ui  f i ( x)   f ij ( x j )  i  1, , p  m Vì  u1 , , u p     f 1j  ( x j ), , f pj ( x j )  : x j   j nên j 1 21 m R ( f1 , , f p )    f 1j  ( x j ), , f pj ( x j )  : x j   j j 1 Ta thấy rằng, để chứng minh điều ngược lại (2.1), ta cần chứng minh (2.2) Với j  1, , m ( f 1j ( z ), , f pj ( z )) : z   j  tập lồi (2.2) Vì tổng tập lồi tập lồi Từ (2.2), với j cố định, j  1, , m , , giả sử  j =  j ,  j   j tập lồi compact ( f 1j   ( z ), , f pj ( z )) : z   j    a1j z q , , a pj z q  : z   j ,  j  Do ánh xạ z  z q ánh xạ liên tục đóng   j ,  j  tập compact  nên C j  z q : z   j ,  j  tập compact đóng Vì vậy, tập C j  j  1, , m  đoạn compact  a z , , a z  : z   ,     t  a j q j q p j j j  , , a p j  tC j Suy  a z , , a z  : z   ,   tập lồi Do đó, với j q j q p j j j  j  1, , m  tập ( f 1j ( z ), , f pj ( z )) : z   j  tập lồi Vậy bổ đề 2.1 chứng minh  Định nghĩa 2.4 Tập hợp gồm tất đa thức tách (hoặc số), kí hiệu Sq ( q  ), xác định 22 m   Sq   f : f ( x)   a j x qj  b, a j , b  , j  1, , m  j 1   Vì phép tịnh tiến bảo toàn tính lồi nên hệ 2.1 suy trực tiếp từ bổ đề 2.1 Hệ 2.1 Nếu  hộp compact R  f1 , , f p  tập lồi p m , q fi  Sq , i  1, , p 2.2 Định lý minimax không lồi Bằng cách sử dụng tính lồi miền ghép giá trị đa thức tách có định lý minimax không lồi việc chứng minh dựa theo chứng minh cổ điển định lý minimax cho hàm tách lồi - lõm trình bày [16] Định lý 2.1 Cho  hộp compact A n Giả sử hàm tách f : m  n m , q A tập lồi,   thỏa mãn  1) Với y cố định, y  A, f  , y   Sq ; 2) Với x cố định, x  , f  x,  hàm lồi Khi đó, ta có inf max f ( x, y )  max inf f ( x, y ) yA x x yA Chứng minh Để chứng minh định lý 2.1, ta cần chứng minh inf max f ( x, y )  max inf f ( x, y ) yA x x yA Giả sử max inf f ( x, y )   Khi đó, với x   tồn y x  A cho x yA f  x, y x    Nếu hàm f (, y x ) liên tục tồn lân cận mở Vx x cho 23 f (u , y x )   , với u Vx (2.3) Do  hộp compact    x Vx nên tồn số x1 , , x p   cho p   Vxi i 1 Cho yi  y xi xét tập C1 , C2 xác định C1 :  conv  f ( x, y )   , , f ( x, y )    : x   C p  p  , conv P bao lồi tập P Dễ thấy hai tập C1 , C2 tập lồi int C2   Tiếp theo, chứng minh C1  int C2   Giả sử ngược lại, tồn  u1 , , u p   int p  với  u , , u   C : conv f ( x, y )   , f ( x, y p 1 p  )   : x q  j   j  1, , q  với Do đó, tồn x   , q   j  cho với j 1 i  1, , p q q j 1 j 1  ui    j  f ( x j , yi )       j f ( x j , yi )   (2.4) Cho fi ( x)  f  x, yi  , i  1, , p Với fi  Sq , i  1, , p từ hệ 2.1 ta có R  f1 , , f p  :  f ( x), , f ( x)  : x   tập lồi p p Hơn nữa, với j  1, , q ta có  f ( x , y ), f ( x , y ), , f ( x , y )    f ( x ), f ( x ), , f j j j p j 24 j p ( x j )   R ( f1 , , f p ) Do đó, tổ hợp lồi q    f ( x , y ), j j f ( x j , y2 ), , f ( x j , y p )   R ( f1 , f , , f p ) , j 1 nên tồn x0   cho q  j f ( x j , yi )  f i ( x0 )  f ( x0 , yi )  i  1, , p  j 1 Kết hợp với (2.4), ta có f  x0 , yi    với i  1, , p (2.5) p Mặt khác, x0      i 1Vxi nên tồn số i0  1, p cho x0 Vxi Cho yi0  y xi , kết hợp với (2.3) ta có 0   f x0 , yi0   Mâu thuẫn với (2.5), suy C1  int C2   Áp dụng định lý tách tập lồi 1.5, tồn p ui  , i  1, , p với  i  cho i 1 p n   ( f ( x, y )   )    u ,  u i i i i i 1 i  0, x i 1 Suy ra, với ui  0, i  1, , p , ta có p   ( f ( x, y )   i i với x   i 1 p Cho y0 :   i yi  A (theo tính lồi tập A ) Vì f  x ,. lồi với x   nên i 1 25 p f ( x, y0 )   i f ( x, yi )   ,  x   i 1 Do đó, inf max f ( x, y )  max f ( x, y0 )   y A x x  Vậy ta có điều phải chứng minh Ba hệ sau chứng minh dễ dàng nhờ định lý minimax Đặc biệt, hệ 2.4 định lý von-Neumann tiếng Hệ 2.2 Cho  hộp compact tập A  f2 : n n  m Cho hàm f1 : m , q A tập lồi, đa thức tách bậc q hàm  hàm afin Khi đó, ta có inf max f1 ( x) f ( y )  max inf f1 ( x) f ( y ) yA x x Chứng minh Xét hàm tách f : m  n yA  xác định f ( x, y )  f1 ( x) f ( y ) Với y cố định, y  với x cố định, x  m n , f ( , y ) đa thức tách bậc q , f ( x, ) hàm afin Do đó, từ định lý 2.1 ta có  điều phải chứng minh Hệ 2.3 Cho  hộp compact A n Cho hàm f1 : hàm f : n  m  m , q A tập lồi, đa thức tách không âm bậc q hàm lồi Khi đó, ta có 26 inf max f1 ( x) f ( y )  max inf f1 ( x) f ( y ) yA x x m Chứng minh Xét hàm tách f :  n yA  xác định f ( x, y )  f1 ( x) f ( y ) Với điểm y cố định, y  q với điểm x cố định, x  n m , f ( , y ) đa thức tách bậc , f ( x, ) hàm lồi (nếu f1 hàm không âm f hàm lồi) Do đó, từ định lý 2.1 ta có điều phải chứng minh m Hệ 2.4 Cho hai số m, n  ,    x  ( x1 , , xm )  U thuộc mn  : xi  1, i  1, , m Khi đó, ta có infn max x,U y  max infn x,U y y Chứng minh Cho A  n x x y Xét hàm tách f : m  n  xác định f ( x, y )  x,U y ; với y cố định, y  , f ( , y ) hàm số tuyến tính với x cố định, f ( x, ) hàm tuyến tính Do đó, từ định lý 2.1 ta có điều phải chứng minh, hàm tuyến tính lồi thuộc tập S1  Tiếp theo, ta trình bày ví dụ minh hoạ cho hệ 2.2 Ví dụ 2.1 Cho m  n  ,    1,1   1,1 A  f:   , f ( x, y ) :  ( x14  x24 )( y  1) 27 Xét hàm tách Khi đó, dễ thấy max ( x14  x24 )( y  1)   ( y  1) với y   1,1 ,  x1 , x2  nữa, ta có inf max f ( x, y )  Ngoài ra, y A x  , x14  x24  0, x1  1, x2  1,  inf ( x14  x24 )( y  1)  0, x14  x24  0, x1  1, x2  1, yA  4 , x1  x2  0, x1  1, x2  1, đó, max inf f ( x, y )  Vậy, ta có x yA inf max f ( x, y )  max inf f ( x, y ) yA x x yA Mặt khác, đẳng thức suy từ hệ 2.2, với y cố định, y  , f ( , y ) đa thức tách bậc với x cố định, x , f ( x, ) hàm afin 2.3 Ứng dụng định lý minimax không lồi Xét toán (P) với đa thức tách không lồi với hộp ràng buộc sau  P n minn p ( x) với x    1,1 , x i 1 p đa thức tách không lồi bậc 2q ( q  ) Phần 2.3 hướng vào ứng dụng định lý minimax thu khoảng không đối ngẫu cho toán  P  (Với phép tính gần xác minh kết khoảng không đối ngẫu, tham khảo tài liệu [6,10,11,13,14,15]) 28 Không giảm tính tổng quát ta viết lại sau xi2 q   i  1, , n  Do đó, toán đối ngẫu Lagrange  P  toán n   p ( x)   yi ( xi2 q  1)   DP  supn xinf n  y    i 1  Đây hệ định lý 2.1 Bây giờ, ta chứng minh khoảng không đối ngẫu  P  đối ngẫu Lagrange  DP  Định lý 2.2 Cho cặp đối ngẫu  P   DP  , khoảng không đối ngẫu  P  đối ngẫu Lagrange  DP  hay n   p ( x )  sup inf p ( x )  yi ( xi2 q  1)   n n  xi 1 1,1 y n x  i 1  n  Chứng minh Cho A  tách f : n  n  n Với t  xác định  t    1,1 Xét hàm i1 xác định n f ( x, y )   p ( x)   yi  xi2 q  1 , i 1 x  ( x1 , , xm ) y  ( y1 , , ym ) Vậy với y cố định, f ( , y )  S2q với x cố định, f ( x, ) afin (do tính lồi) Khi đó, từ định lý 2.1 với t  ta có inf max f ( x, y )  max inf f ( x, y ) yA xt xt yA Hay inf max f  x, y    sup yA xt y n  n   2q p ( x )  y ( x  1)    i i xin1  t ,t  i 1   29 n Tiếp theo, với x   t    t , t  , i 1 n n    p ( x), x  i 1  1,1 , 2q inf f ( x, y )  infn  p ( x)   yi ( xi  1)  =  n yA y  i 1   , x  i1  1,1 Do đó, ta có max inf f ( x, y )  max  p( x) n xt yA x  1,1 i 1 Sau đây, với t  , ta có n   2q p ( x )  sup inf p ( x )  y ( x  1)    i i n xin1 1;1 y n xi 1  i 1  (2.6) n Cho p ( x)   a i xi2 q Tồn t0  cho với y  n  , yi  a i i 1 n     n  2q arg p ( x )  y x     t , t     n      ,    i i 0 x i    i 1    tồn số i0  1, , n thoả mãn yi0  a i0 n   infn  p ( x)   yi ( xi2 q  1)    y i 1   Do đó, n n     2q sup infn  p ( x)   yi ( xi  1)   sup p ( x)   yi ( xi2 q  1)  ,  n y n x  i 1 i 1  y n xi 1  t0 ,t0    Hơn nữa, từ (2.6) ta có n   sup infn  p ( x)   yi ( xi2 q  1)   p( x) n y n x  i 1  xi 1 1;1 30  KẾT LUẬN Khoá luận hoàn thành chủ yếu dựa theo [12] số tài liệu khác Trong khoá luận này, tác giả trình bày, làm rõ số nội dung liên quan đến định lý minimax không lồi, đa thức thức tách (tính lồi miền giá trị ghép), định lý minimax không lồi đa thức tách (định lý 2.1), ứng dụng định lý minimax không lồi Cụ thể, khoá luận đã:  Hệ thống lại số kiến thức chuẩn bị cho định lý minimax không lồi với đa thức tách được;  Đưa ví dụ làm rõ thêm kết quả;  Làm rõ nội dung đa thức tách được; tính lồi miền giá trị ghép), nội dung chứng minh định lý minimax đa thức tách (định lý 2.1) theo [12], ứng dụng định lý minimax không lồi Đề tài “Định lý minimax không lồi đa thức tách được” đề tài có tính thời nghiên cứu nhiều năm gần Tôi hi vọng tương lai có đóng góp có ý nghĩa cho hướng nghiên cứu 31 TÀI LIỆU THAM KHẢO [A] Tài liệu tiếng Việt [1] PGS TS Nguyễn Phụ Hy (2005), Giải tích hàm, NXB Khoa học Kỹ thuật Hà Nội [2] PGS TS Đỗ Đăng Lưu - PGS TS Phan Huy Khải (2000), Giải tích lồi, NXB Khoa học Kỹ thuật Hà Nội [3] Hoàng Tuỵ (2003), Lý thuyết tối ưu, Viện Toán học, Viện Khoa học Công nghệ Việt Nam [B] Tài liệu tiếng Anh [4] Craven, B D., Jeyakumar, V (1986), Equivalence of Ky Fan type minimax theorem and a Gordan type alternative, Oper Res Lett.,5, 99 - 102 [5] Frenk, J B., Kassay, G, (2007), Lagrangian duality and cone convex-like functions, J Optim Theory Appl., 134, 207 - 222 [6] Giannessi, F., Mastroeni, G (2008), Separation of sets and Wolfe duality, J Global Optim.,42, 401 - 412 [7] Jeyakumar, V (1986), A generalization of a minimax theorem of Fan via a theorem of the alternative, J Optim Theory Appl., 48, 525 - 533 [8] Jeyakumar, V., Huy, N q., Li, G (2009), Necessary and sufficient conditions for S-lemma and nonconvex quadratic, Optim Eng., 10, 491 - 503 32 [9] Jeyakumar, V., Lee, G M., Li, G (2009), Alternative theorems for quadratic inequality systems and global quadratic optimization, SIAM J Optim., 20, 983 - 1001 [10] Jeyakumar, V., Li, G (2009), Stable zero duality gaps in convex programming: complete dual characterisations with applications to semidefinite programs, J Math Anal Appl., 360, 156 - 167 [11] Jeyakumar, V., Li, G (2009), New dual constraint qualifications characterizing zero duality gaps of convex programs, Nonlinear Anal., 71, 2239 - 2249 [12] G Y Li (2011), A Note on Nonconvex Minimax Theorem with Separable Homogenous Polynomials, Journal of Optimizacation theory and Applications, Volume 150, Issue 1, pp 194 - 203 [13] Li, G., Jeyakumar, V (2009), Qualification - free optimality conditions for convex programs with sepable inequality costraints, J Convex Anal 16, 845 - 856 [14] Li, G., Ng K F (2008), On extension of Fenchel duality and its application, SIAM J, Optim.,19, 1489 - 1509 [15] Mastroeni, G., Some applications of the image analysis to the duality theory for constrained extremum problems, to appear in J Global Optim [16] Zalinescu, C (2002), Convex Analysis in General Vector Spaces, World Scientific 33 [...]... kiến thức chuẩn bị cho định lý minimax không lồi với đa thức thuần nhất tách được;  Đưa ra ví dụ làm rõ thêm các kết quả;  Làm rõ hơn nội dung đa thức thuần nhất tách được; tính lồi của miền giá trị ghép), nội dung chứng minh định lý minimax đối với đa thức thuần nhất tách được (định lý 2.1) theo [12], ứng dụng của định lý minimax không lồi Đề tài Định lý minimax không lồi đối với đa thức thuần nhất. .. khác, đẳng thức này cũng có thể suy ra từ hệ quả 2.2, với mỗi y cố định, y  , f ( , y ) là đa thức thuần nhất tách được bậc 4 và với mỗi x cố định, x 2 , f ( x, ) là hàm afin 2.3 Ứng dụng của định lý minimax không lồi Xét bài toán (P) với đa thức thuần nhất tách được không lồi với hộp ràng buộc sau  P n minn p ( x) với x    1,1 , x i 1 trong đó p là đa thức thuần nhất tách được không lồi bậc... 1;1 30  KẾT LUẬN Khoá luận được hoàn thành chủ yếu dựa theo [12] và một số tài liệu khác Trong khoá luận này, tác giả đã trình bày, làm rõ một số nội dung liên quan đến định lý minimax không lồi, đa thức thức thuần nhất tách được (tính lồi của miền giá trị ghép), định lý minimax không lồi đối với đa thức thuần nhất tách được (định lý 2.1), ứng dụng của định lý minimax không lồi Cụ thể, khoá luận đã:... đối Trong không gian Euclide n tập bất kỳ đóng và bị chặn là tập compact, tập bất kỳ bị chặn là tập compact tương đối 19 Chương 2 Định lý minimax không lồi 2.1 Đa thức thuần nhất tách được; Tính lồi của miền giá trị ghép Định nghĩa 2.1 Hàm số f : m    được gọi là một đa thức thuần nhất bậc q nếu f là một đa thức và f ( x)   q f ( x) , với mọi   0 và x  Định nghĩa 2.2 Hàm số f : m  m được. .. 2.1 được suy ra trực tiếp từ bổ đề 2.1 Hệ quả 2.1 Nếu  là một hộp compact trong thì R  f1 , , f p  là một tập lồi trong p m , q và fi  Sq , i  1, , p 2.2 Định lý minimax không lồi Bằng cách sử dụng tính lồi của miền ghép giá trị của đa thức thuần nhất tách được chúng ta có định lý minimax không lồi và việc chứng minh nó dựa theo các chứng minh cổ điển của định lý minimax cho hàm tách được lồi. .. m  m được gọi là đa thức thuần nhất tách được m bậc q nếu f ( x)   f j ( x j ), x  ( x1 , , xm ) trong đó mỗi f j là đa thức thuần nhất j 1 bậc q trên Định nghĩa 2.3 Cho hàm fi  i  1, , p  (không lồi) là đa thức thuần nhất tách m m  q   , tập  là một hộp compact, nghĩa là  :   j , trong đó mỗi  j là một đoạn trong Miền ghép giá trị của  f1 , , f p  trên  , được bậc q trên j1... ( y )  max inf f1 ( x) f 2 ( y ) yA x x m Chứng minh Xét hàm tách được f :  n yA  xác định bởi f ( x, y )  f1 ( x) f 2 ( y ) Với mỗi điểm y cố định, y  q và với mỗi điểm x cố định, x  n m , f ( , y ) là đa thức thuần nhất tách được bậc , f ( x, ) là hàm lồi (nếu f1 là hàm không âm và f 2 là hàm lồi) Do đó, từ định lý 2.1 ta có điều phải chứng minh m Hệ quả 2.4 Cho hai số m, n  , ... 2 ( y ) Với mỗi y cố định, y  và với mỗi x cố định, x  m n , f ( , y ) là đa thức thuần nhất tách được bậc q , f ( x, ) là hàm afin Do đó, từ định lý 2.1 ta có  điều phải chứng minh Hệ quả 2.3 Cho  là một hộp compact trong A n Cho hàm f1 : và hàm f 2 : n  m  m , q và A là một tập lồi, là đa thức thuần nhất tách được không âm bậc q là hàm lồi Khi đó, ta có 26 inf max f1 ( x) f 2 ( y ) ... Theo định lý tách thứ nhất thì A và B tách nhau nhưng không tách chặt Hình 1 1.4 Hàm lồi 1.4.1 Hàm lồi Trong mục này, ta giả sử X là không gian lồi địa phương, D là một tập con của X , hàm f : D    13 Định nghĩa 1.13 Trên đồ thị của hàm f , kí hiệu là epi f , được định nghĩa bởi epi f   x, r   D  : f  x   r Định nghĩa 1.14 Miền hữu hiệu của hàm f , kí hiệu là dom f , được định nghĩa... nghĩa bởi dom f   x  D : f  x    Định nghĩa 1.15 Hàm f được gọi là chính thường nếu dom f   và f  x    với mọi x thuộc D Định nghĩa 1.16 Hàm f được gọi là lồi trên D nếu epi f là tập lồi trong X  Hàm f được gọi là lõm trên D nếu  f là hàm lồi trên D Nhận xét 1.6 Hàm f là hàm lồi thì dom f cũng lồi Định lý 1.7 Hàm f :    được gọi là lồi khi và chỉ khi f   x  1    y  ... dung liên quan đến định lý minimax không lồi, đa thức thức tách (tính lồi miền giá trị ghép), định lý minimax không lồi đa thức tách (định lý 2.1), ứng dụng định lý minimax không lồi Cụ thể, khoá... ghép), nội dung chứng minh định lý minimax đa thức tách (định lý 2.1) theo [12], ứng dụng định lý minimax không lồi Đề tài Định lý minimax không lồi đa thức tách được đề tài có tính thời nghiên... đẳng thức suy từ hệ 2.2, với y cố định, y  , f ( , y ) đa thức tách bậc với x cố định, x , f ( x, ) hàm afin 2.3 Ứng dụng định lý minimax không lồi Xét toán (P) với đa thức tách không lồi với