Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp: Đa thức nội suy LỜI CẢM ƠN Sau thời gian miệt mài vào nghiên cứu với giúp đỡ thầy cô giáo bạn sinh viên trường Đại học sư phạm Hà Nội đến khoá luận em hoàn thành Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Ts Nguyễn Văn Hùng giúp đỡ hướng dẫn em tận tình trình chuẩn bị hoàn thành khoá luận Em xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán tạo điều kiện cho em có hội để tập với việc nghiên cứu khoa học Đồng thời em xin chân thành cảm ơn giúp đỡ quý báu thầy cô tổ giải tích trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, động viên giúp đỡ đóng góp ý kiến bạn bè dành cho em trình học tập hoàn thành khoá luận tốt nghiệp Vì lần em làm quen với công việc nghiên cứu kiến thức thân hạn chế nên không tránh khỏi thiết sót Em mong đóng góp ý kiến thầy cô bạn sinh viên để khoá luận em hoàn thành Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2013 Sinh viên Phạm Thị Quỳnh Nga GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng SV: Phạm Thị Quỳnh Nga Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp: Đa thức nội suy LỜI CAM ĐOAN Em xin cam đoan kết khoá luận Đa thức nội suy kết nghiên cứu thân không trùng với kết nghiên cứu tác giả khác Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Sinh viên Phạm Thị Quỳnh Nga GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng SV: Phạm Thị Quỳnh Nga Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp: Đa thức nội suy MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN LỜI CAM ĐOAN MỞ ĐẦU 1.1 ĐA THỨC NỘI SUY LAGRANGE 1.1.1 Đa thức nội suy 1.1.2 Đa thức nội suy Lagrange với mốc 1.1.3 Đa thức nội suy với mốc cách 1.1.4 Ví dụ 1.1.5 Sử dụng lập trình Pascal để tính giá trị hàm số f  x  x theo đa thức nội suy Lagrange BÀI TẬP VẬN DỤNG HƯỚNG DẪN 10 1.2.SAI SỐ CỦA PHÉP NỘI SUY CHỌN MỐC NỘI SUY TỐI ƯU 13 1.2.1 Sai số phương pháp 13 1.2.2 Sai số tính toán 14 1.2.3 Chọn mốc nội suy tối ưu 15 BÀI TẬP VẬN DỤNG 17 HƯỚNG DẪN 17 1.3 ĐA THỨC NỘI SUY VỚI MỐC NỘI SUY CÁCH ĐỀU 18 1.3.1.Sai phân 18 1.3.2 Đa thức nội suy Newton tiến, lùi 21 1.3.3 Đa thức nội suy Gauss " tiến, lùi " " lùi, tiến " 23 1.3.4 Ví dụ 25 BÀI TẬP VẬN DỤNG 29 HƯỚNG DẪN 30 1.4 ĐA THỨC NỘI SUY VỚI MỐC NỘI SUY KHÔNG CÁCH ĐỀU 33 1.4.1 Tỷ sai phân 33 1.4.2 Đa thức nội suy Newton với mốc không cách 36 1.4.3 Tính toán máy tính 38 1.4.4 Bài toán nội suy ngược 39 BÀI TẬP VẬN DỤNG 41 HƯỚNG DẪN 41 CHƯƠNG 2: MỞ RỘNG CỦA ĐA THỨC NỘI SUY 43 2.1 ĐA THỨC NỘI SUY HERMITTE 43 2.1.1 Bài toán: 43 2.1.2 Đa thức nội suy Hermitte 43 2.2 NỘI SUY BẰNG HÀM GHÉP TRƠN( SPLINE ĐA THỨC) 44 BÀI TẬP VẬN DỤNG 47 GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng SV: Phạm Thị Quỳnh Nga Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp: Đa thức nội suy HƯỚNG DẪN 48 CHƯƠNG 3: ỨNG DỤNG CỦA ĐA THỨC NỘI SUY 50 3.1 TÍNH GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM 50 3.1.1 Tính gần đạo hàm trường hợp sử dụng đa thức nội suy Lagrange 50 3.1.2 Tính gần đạo hàm trường hợp sử dụng đa thức nội suy với mốc cách 51 3.1.3 Tính gần đạo hàm trường hợp sử dụng hàm nội suy Spline bậc ba 53 BÀI TẬP VẬN DỤNG 55 HƯỚNG DẪN 55 3.2 TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN 57 3.2.1 Công thức hình thang 57 3.2.2 Công thức Simpson 58 3.2.3 Công thức Newton – cotes 60 BÀI TẬP VẬN DỤNG 62 HƯỚNG DẪN 62 KẾT LUẬN 65 TÀI LIỆU THAM KHẢO GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng SV: Phạm Thị Quỳnh Nga Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp: Đa thức nội suy MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Giải tích số hay gọi phương pháp số, phương pháp tính, Toán học tin học, khoa học nghiên cứu cách giải gần đúng, chủ yếu giải số, phương trình, toán xấp xỉ hàm số toán tối ưu Từ năm 50 trở lại đây, từ năm 80, Giải tích số đặc biệt phát triển với phát triển Tin học Ngày nay, với xuất siêu máy tính khả song song hoá trình tính toán rộng mở Nhiều thuật toán song song đề xuất áp dụng giải toán thực tế Với mong muốn nghiên cứu tìm hiểu sâu sắc môn bước đầu tiếp cận với công nghệ nghiên cứu khoa học, em chọn đề tài " Đa thức nội suy" 2.Mục đích nghiên cứu Bước đầu giúp em làm quen với công việc nghiên cứu khoa học tìm hiểu sâu Giải tích số đặc biệt Đa thức nội suy 3.Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu đa thức nội suy ứng dụng 4.Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu lí luận, tổng hợp, đánh giá 5.Cấu trúc khoá luận Gồm phần Phần 1: Mở đầu Phần 2: Nội dung Chương 1: Đa thức nội suy Chương 2: Mở rộng đa thức nội suy Chương 3: Ứng dụng đa thức nội suy Phần 3: Kết luận GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng SV: Phạm Thị Quỳnh Nga Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp: Đa thức nội suy CHƯƠNG 1: ĐA THỨC NỘI SUY Trong thực tế tính toán, ta thường phải tính giá trị hàm số y  f  x  với x đoạn  a, b  , biết giá trị yi  f  x i  , x i   a, b  , i  0, n Ở số trường hợp khác, biểu thức giải tích f  x  biết phức tạp Với trường hợp vậy, người ta thường xây dựng hàm số P  x  đơn giản thoả mãn điều kiện P  x i   f  x i  i  0, n x i  x j , i  j , x i   a, b  i ; x   a, b  , x  x i P  x  xấp xỉ y  f  x  theo độ xác  Hàm số P  x  gọi hàm nội suy f  x  , x i i  0, n  gọi mốc nội suy Bài toán xây dựng hàm số P  x  gọi toán nội suy Dùng hàm nội suy P  x  , ta dễ dàng tính giá trị f  x  x thuộc  a, b  tương đối xác Từ tính gần đạo hàm tích phân f  x   a, b  Vì đa thức đại số đơn giản nên trước tiên ta nghĩ đến việc xây dựng P  x  dạng đa thức đại số 1.1 ĐA THỨC NỘI SUY LAGRANGE 1.1.1 Đa thức nội suy Giả sử hàm số f  x  xác định đoạn  a, b ta biểu thức giải tích nó, ta biết giá trị y0 , y1 , , y n tương ứng với x , x1 , , x n   a, b  a  x  x1   x n  b n Ta tìm đa thức bậc n: P  x    a i x i cho Pn  x i   yi ,i  0, n sai i 0 số Pn  x  f  x  nhỏ Khi đa thức Pn  x  gọi đa thức nội suy GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng SV: Phạm Thị Quỳnh Nga Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp: Đa thức nội suy 1.1.2 Đa thức nội suy Lagrange với mốc Bài toán: Cho x i   a, b  , i  0, n , x i  x j , i  j yi  f  x i  , i  0, n Hãy xây dựng đa thức nội suy Pn  x  thoả mãn: deg Pn  x   n , Pn  x i   yi , i  0, n Trước hết ta xét hàm số sau: n x  x  i j x  i 0 i j n x j  xi  i 0 i j Rõ ràng deg  j  x   n , j  0, n nê' u nê' u 0 Và  j  x    1 Do  j  x i   j xj   x x j i j ij  x i  x   x i  x1  (x i  x i )  x i  x n   0, i  j x j  x   x j  x1  (x j  x i )  x j  x n   x   x j  x1  (x j  x i )  x j  x n  j  x   x j  x1  (x j  x i )  x j  x n   1, i  j n x  x  i i 0 i j n n Đặt Pn  x    y j   j  x  với  j  x   j x (1.1) j  xi  i 0 i j Ta có : deg Pn  x   n n Pn  x    y j   j  x i    y j   j  x i   y j   j  x j  j i j   y j  y j (i  j) Vậy Pn  x  thoả mãn yêu cầu toán đặt ra, Pn  x  xây dựng gọi đa thức nội suy Lagrange GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng SV: Phạm Thị Quỳnh Nga Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp: Đa thức nội suy n Đặt   x     x  x i  i0 n Ta có: Pn  x    y j j  x   x  x i    x j  (1.2)  Tính đa thức nội suy Lagrange Giả sử có đa thức P n  x  thoả mãn điều kiện trên, gọi   x   [Pn  x   P n  x  ] deg   x   n nhận (n  1) nghiệm x , x1 , , x n (Do   x i   Pn  x i   P n  x i   yi  yi  , i  0, n ) Suy đa thức   x  phải đa thức không, P n  x   Pn  x  Vậy tồn đa thức thoả mãn điều kiện 1.1.3 Đa thức nội suy với mốc cách Giả sử x i 1  x i  h , i  0, n  , x  a , x n  b Khi dùng phép đổi biến x  x  th , x j  x  jh với j  0, n  thay vào biểu thức  j  x  ta được: j x     x  x   x  x1   x  x j1  x  x j1   x  x n  x j  x  x j  x1   x j  x j1  x j  x j1   x j  x n   x  th  x  x  th  x  h   x  th  x   j  1 h   x  jh  x  x  jh  x  h   x  jh  x   j  1 h   x  th  x   j  1 h   x  th  x  nh   x  jh  x   j  1 h   x  jh  x  nh  t  t  1  t   j  1   t   j  1   t  n  j  j  1  j   j  1   j   j  1   j  n  n j t  t  1  t  n   1   tj j! n  j! n Mà Pn  x    y j   j  x  j GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng SV: Phạm Thị Quỳnh Nga Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp: Đa thức nội suy Suy n j t  t 1  t  n   1  n! Pn  x   Pn  x0  th    y j   tj j! n  j!n! j0 n  Pn  x0  th   j t  t 1  t  n  n n j C   1  n  y j n! tj j0 Chú ý công thức (1.3) hệ số  1 n j (1.3) C nj không phụ thuộc vào hàm số f  x  , mốc nội suy, bước h nên tính sẵn lập bảng để sử dụng trình tính toán  Nhận xét:  Nội suy bậc hay gọi nội suy tuyến tính n  ta có đa thức nội suy Lagrange bậc nhất: P1  x   y  x  x1 x  x0  y1  x  x1 x1  x Khi n  ta có đa thức nội suy Lagrange bậc hai:  x  x1  x  x   y   x  x   x  x   x  x1  x  x   x1  x   x1  x   x  x   x  x1   y2   x  x   x  x1  P2  x   y  Tổng quát, hàm số f  x  có (n  1) mốc nội suy x , x1 , , x n đa thức nội suy Lagrange hàm số f  x  đa thức bậc n  Đa thức nội suy Lagrange có ưu điểm đơn giản, dễ tính, nhiên nhược điểm thêm mốc nội suy phải tính lại từ đầu 1.1.4 Ví dụ  Ví dụ 1.1 Hãy tìm đa thức nội suy Lagrange hàm số y  sin x 1 [0, ] với x  0, x1  , x  Giải: GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng SV: Phạm Thị Quỳnh Nga Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp: Đa thức nội suy Ta có: y  0, y1  , y  Suy đa thức nội suy Lagrange hàm số y  sin x là: 1 1   xx   x x   2 6 P2  x       1  11 1 11 1       66 2 2 6 Rút gọn ta có: P2  x   3x  x  Ví dụ 1.2 Sử dụng công thức nội suy Lagrange để phân tích phân thức hữu tỷ sau thành tổng phân thức tối giản f x  3x  x   x  1 x   x  3 Giải: Đặt g  x   3x  x  Lập bảng giá trị g  x  x  1, 2,3 x gx 15 31 Khi đó: gx  5   x   x  3  15   x  1 x  3  31   x  1 x   1  1  3   1  3   1   31  x   x  3  15  x  1 x  3   x  1 x   2 Từ suy f x  15 31    x  1 x  2  x  3  Ví dụ 1.3 Hàm số f  x  cho bảng sau: GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng SV: Phạm Thị Quỳnh Nga Trường ĐHSP Hà Nội Vậy f   x   h2 Khóa luận tốt nghiệp: Đa thức nội suy   6t  18t  11  y   y (t  1)   y    o o o 12   (6.3) 3.1.2.2 Tính gần đạo hàm nhờ sử dụng đa thức nội suy Newton lùi Tương tự sử dụng đa thức nội suy Newton tiến ta có: y n 1  y n 2  n y0 P  x   yn  t t  t  1   t  t  1  t  n  1 1! 2! n! Trong t  x  xh h 1 h Ta có: f   x   y n 1  f   x     yn2 3 y  2t  1  n 3  3t  6t     (6.4) 2! 3!    6t  18t  11  y   y t    y     n2 n 3 n 4  h  12  (6.5)  Ví dụ 2.7 Hàm số f(x) cho bảng: x -0.35 -0.1 0.15 0.4 0.65 y 0.387322 0.762616 1.501553 2.956482 5.821162 Tính f   0.25 , f   0.61 Giải: Ta có bảng sai phân : x y 0,35 0,387322 2y y 3 y 4y 0,375294 -0,1 0,762616 0,363643 0,738937 0,15 1,501553 0,352349 0,715992 1,454929 0,4 2,956482 0,34141 0,693759 1,409751 2,86468 0,65 5,821162 GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng 52 SV: Phạm Thị Quỳnh Nga Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp: Đa thức nội suy • Tính f   0, 25  ta sử dụng đa thức nội suy Newton tiến với h  0, 25; t  x  x o 0, 25  0,35   0, h 0, 25 yo 2yo 3yo 4yo f  x   yo  t t  t 1  t  t 1 t  2  t  t 1 t  2 t  3 1! 2! 3! 4!  1 2 yo 3y 4 y f   x    yo   2t 1  o  3t  6t  2  o  4t3 18t  22t  6  h 2! 3! 4!   f   0, 25   1,38452544 • Tính f   0,61 ta sử dụng đa thức nội suy Newton lùi với h  0, 25, t  x  x n 0,61  0,65   0,16 h 0, 25  y n 3 y n 1  y n 2 f  x   yn  t t  t  1  t  t  1 t    1! 2! 3!  y0 t  t  1 t   t  3 4!    y n 3  y n 2 y n 1  2t  1  3t  6t        1  2! 3! f  x     h   yo  4t  18t  22t    4!    f   0,61  14,05891221 3.1.3 Tính gần đạo hàm trường hợp sử dụng hàm nội suy Spline bậc ba Với y = f(x), ta xấp xỉ nhờ đa thức Spline bậc ba S(x), lúc ta đặt : f   x   S  x  ,f   x   S  x   Ví dụ 2.8 Cho f  x   sinx đoạn  0,  Hãy tính gần đạo hàm      f    , f    nhờ Spline bậc ba với phân hoạch 0, ,   4 4   Giải: Ta có GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng 53 SV: Phạm Thị Quỳnh Nga Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp: Đa thức nội suy  , x  , f  x1   0, f  x   1, f  x    2 h1  h  , g1  , g     x1  0, x  Ta tìm đa thức nội suy Spline bậc ba hàm số f(x) đoạn  x i , x i1  ,  i  1,  dạng: Pi  x   a i  bi  x  x i   ci  x  x i   d i  x  x i  ,  i  1,  Với a1  f  x1   0, a  f  x   Và h1c1   h1  h  c  h 2c3   g  g1  Ta có c1  c3  từ suy ra:  h1  h  c   g  g1   c2  6 2 Có b1  g1  h1  c  2c1    b  g  h  c3  2c    d1  c  c1 c c   ,d   3h1  3h  4x   Vậy đoạn 0,  có S3  x   x     2 3.4x 12x        2.12x 24x  S3  x    3   S3  x    f     0,71619724 4   f     0,60792710 4 GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng 54 SV: Phạm Thị Quỳnh Nga Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp: Đa thức nội suy BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài Hàm số f(x) cho bảng: x -3 -2 y 58 19 -1 Tính f   x  Bài Hàm số f(x) cho bảng: x 0,05 0,2 0,35 0,5 0,65 y 0,100335 0,422793 0,842288 1,557407 3,602102 Bài Hàm số f  x   e x cho bảng: x f(x) e e2 e3 Tính f   0,125 , f   0,125  dựa vào Spline bậc ba: S3  x  hàm số f x HƯỚNG DẪN Bài f   x   9 x  5x  2 Bài Lập bảng sai phân: GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng 55 SV: Phạm Thị Quỳnh Nga Trường ĐHSP Hà Nội x y 0,05 0,100335 Khóa luận tốt nghiệp: Đa thức nội suy 2y y 3 y 4y 0,322458 0,2 0,422793 0,097037 0,419495 0,35 0,198587 0,842288 0,295624 0,715119 0,5 0,835365 1,033952 1,557407 1,329576 1,329576 0,65 3,602102 Ta có: h=0,15 • Tính f   0,11 Ta áp dụng đa thức nội suy Newton tiến yo 2 yo 3yo 4 yo f  x   yo  t t  t 1  t  t 1 t  2  t  t 1 t  2 t  3 1! 2! 3! 4!  1 2 yo 3y 4 y f   x    yo   2t 1  o  3t  6t  2  o  4t3 18t  22t  6  h 2! 3! 4!  Với t  x  x o 0,11  0,05   0, h 0,15  f   0,11  2,143520911 • Tính f   0,62  ta sử dụng đa thức nội suy Newton lùi với h  0,15, t  x  x n 0,62  0,65   0, h 0,15 f  x   y4  y3 2 y2  y1 t t  t  1  t  t  1 t    1! 2! 3!  y0 t  t  1 t   t  3 4! GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng 56 SV: Phạm Thị Quỳnh Nga Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp: Đa thức nội suy    y2  y1  y  2t   3t  6t         1  2! 3! f  x     h   yo  4t  18t  22t    4!    f   0,62   17,87830158 Bài f   0,125  0,608979312 f   0,125  0,14150549 3.2 TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN Trong thực tế, nhiều ta phải tính tích phân xác định hàm số mà nguyên hàm Nếu dùng định nghĩa tính tích phân n 1 I  lim  f  x i  x i tổng Darboux hội tụ chậm, để đạt n  i 0 độ xác không cao, ta phải thực khối lượng tính toán lớn Ngoài nhiều trường hợp, hàm f(x) cho dạng bảng khái niệm nguyên hàm trở lên vô nghĩa Phương pháp đơn giản để tính gần tích phân xác định thay f(x) đa thức nội suy P(x), sau đặt: b b I   f  x  dx   P  x  dx a a 3.2.1 Công thức hình thang b Tính I   f  x  dx a Ta chia đoạn [a,b] thành n phần với điểm chia   x i : a  x o  x1  x   x n  b, x i  a  ih, i  0, n , h  ba n Khi ta có: x1 x2 I   f  x  dx   f  x  dx   xo x1 GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng xn  f  x  dx x n 1 57 SV: Phạm Thị Quỳnh Nga Trường ĐHSP Hà Nội  Khóa luận tốt nghiệp: Đa thức nội suy h h  y1  yo  y1  y2  y3   yn 1  yn    yo  yn   y1   yn 1   (6.6) 2  Ví dụ 2.9 Tính gần tích phân I   dx công thức hình thang x2 1 với việc chia đoạn [0,1] thành 10 phần Giải: Ta có bảng x x 1 0,1 0,990099009 0,2 0,961538461 0,3 0,917431192 0,4 0,862068965 0,5 0,8 0,6 0,735294117 0,7 0,671140939 0,8 0,609756097 0,9 0,552486187 0,5 Ta có: h=0,1 Áp dụng công thức (6.6) ta được: I 0,1 1  0,5   0,990099009  0,961538461   0,552486187     0,784981496 3.2.2 Công thức Simpson b Tính I   f  x  dx a Ta chia đoạn [a,b] thành 2n phần với điểm chia GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng 58 SV: Phạm Thị Quỳnh Nga Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp: Đa thức nội suy x i : a  x o  x1  x   x 2n  b, x i  a  ih, h  ba 2n Khi ta có: x2 x4 I   f  x  dx   f  x  dx   o x2 x2n  f  x  dx x2n2 h  y  4y1  y2  4y3  y4   y2n2  4y2n1  y2n  o h  yo  y2n  2 y2  y4   y2n2   4 y1  y3   y2n1    (6.7) dx công thức Simpson x2 1  Ví dụ 3.1 Tính gần tích phân I   với việc chia đoạn [0,1] thành 20 phần Giải: Ta có bảng: x x 1 0,05 0,997506234 0,1 0,990099009 0,15 0,97799511 0,2 0,961538461 0,25 0,94117647 0,3 0,917431192 0,35 0,890868596 0,4 0,862068965 0,45 0,831600831 0,5 0,8 0,55 0,767754318 0,6 0,735294117 GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng 59 SV: Phạm Thị Quỳnh Nga Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp: Đa thức nội suy 0,65 0,702987697 0,7 0,671140939 0,75 0,64 0,8 0,609756097 0,85 0,580551523 0,9 0,552486187 0,95 0,525624178 0,5 Áp dụng công thức (6.7) ta được: I 0, 05 1  0,5   0,990099009  0,961538461   0,552486187      4  0,997506234  0,97799511   0,525624178    0,78564507 3.2.3 Công thức Newton – cotes b Tính I   f  x  dx a Đặt t  xa  x  a   b  a  t , ta I   b  a   g  t  dt ba Ta chia đoạn [a,b] thành n phần với điểm chia xi :a  xo  x1  x2   xn  b,xi  a  ih  i  0,n , h  b n a , t  hi i  0,n i i  Thay g(t) đa thức nội suy Lagrange P(x) với t i ,g  t i    ,f  x i   n  Đặt yi = f(xi) ta có: GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng 60 SV: Phạm Thị Quỳnh Nga Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp: Đa thức nội suy     t    t    t  1  t   t    t  1 n  n   n P  x   yo   y1  2  1            1        1 n  n  n  n n   n  n 1   t    t    t   n  n     y n n 1 1   1   1   n   n  Đặt 1  i   i    t    t  1 dt n n   i Pn  o , i  0, n i  i   i i   i i    i              1 n  n n  n  n  n n   n    t    t  n   t    Ta nhận thấy hệ số Pni ; i  0, n không phụ thuộc vào hàm f  x  đoạn lấy tích phân [a,b], chúng tính sẵn, lập bảng sử dụng lâu dài n Pno Pn1 1 3 32 12 32 19 75 50 50 75 19 41 216 27 272 27 216 41   Pn2 Pn3 Pn4 Pn5 Pn6 N 90 288 840 Trong N bội số chung nhỏ mẫu số Pni ; i  0, n vậy, ta có công thức tính gần tích phân Newton-cotes n  I   b  a   yi Pni ; i  0, n  (6.8) i 0 dx theo công thức x2 1  Ví dụ 3.2 Tính gần tích phân I   GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng 61 SV: Phạm Thị Quỳnh Nga Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp: Đa thức nội suy Newton-cotes với n=6 Giải: Ta chia đoạn [0,1] thành phần ta có: 41 216 ; P6  P65   ; 840 840 35 272 34 27 P63   ; P6  P64   ; 840 105 840 280 yo  1; y1  0,972972973; y  0,9; y3  0,8 P6o  P66  y  0,692307692; y5  0,590163934; y6  0,5 Áp dụng công thức (6.8) ta được: I   yi Pni  0,785392713 i 0 BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài Tính gần tích phân I   cos x 2dx theo công thức hình thang với việc chia đoạn [1,2] thành 10 phần Bài Tính gần tích phân I   cos x 2dx theo công thức Simpson với việc chia đoạn [1,2] thành 10 phần dx theo công thức Newton-cotes với x 1 Bài Tính gần tích phân I   n=4 HƯỚNG DẪN Bài Ta có bảng: GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng 62 SV: Phạm Thị Quỳnh Nga Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp: Đa thức nội suy x cos x 0,999729241 1,1 0,999603590 1,2 0,999438581 1,3 0,999226750 1,4 0,998959986 1,5 0,998629534 1,6 0,998225999 1,7 0,997739345 1,8 0,997158900 1,9 0,996473359 2,0 0,995670790 Áp dụng công thức (6.6) với h=0,1 ta được: I 0,1 0,999729241  0,995670790   0,999603590   0,996473359    I  0,998315606 Bài Ta có bảng: x cos x 0,999972025 1,1 0,999959042 1,2 0,999941991 1,3 0,999920101 1,4 0,999892532 1,5 0,999858379 1,6 0,999816668 1,7 0,9997666368 GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng 63 SV: Phạm Thị Quỳnh Nga Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp: Đa thức nội suy 1,8 0,999706343 1,9 0,999635448 2,0 0,999552432 Áp dụng công thức (6.6) với h=0,1 ta được: I 0,1 0,999972025  0,999552432   0,999941991   0,999706343    4  0,999959042   0,999635448  I  0,999826598 Bài Ta chia đoạn [0,1] thành phần 32 ; P4  P43  ; P42  90 90 y o  1; y1  0,8; y  0,666666666; y3  0,5711428571; y  0,5 P4o  P44  Áp dụng công thức (6.8) ta được: I   yi Pni  0,715295238 i 0 GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng 64 SV: Phạm Thị Quỳnh Nga Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp: Đa thức nội suy KẾT LUẬN Ngày nay, toán học ứng dụng dần sâu vào lĩnh vực đời sống xã hội Người học toán, nghiên cứu toán học không học lý thuyết mà phải có vốn hiểu biết nhiều toán ứng dụng Khóa luận tốt nghiệp trình bày đa thức nội suy Ngoài ra, khóa luận đưa ví dụ minh họa tập vận dụng Đặc biệt, khóa luận ứng dụng tin học vào việc giải toán tính gần sử dụng lập trình Pascal Vấn đề nghiên cứu nhiều điểm hay bổ ích lần đầu tiến hành nghiên cứu khoa học thời gian, kiến thức hạn chế nên khóa luận em nhiều thiếu sót cần bổ sung góp ý, em mong nhận bảo góp ý thầy cô bạn Một lần nữa, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy cô giáo tổ giải tích, thầy cô khoa toán trường ĐHSP Hà Nội đặc biệt thầy Ts Nguyễn Văn Hùng người trực tiếp hướng dẫn em hoàn thành khóa luận Em xin chân thành cảm ơn! GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng 65 SV: Phạm Thị Quỳnh Nga Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp: Đa thức nội suy TÀI LIỆU THAM KHẢO Phạm Kỳ Anh (1995), Giải tích số, NXB ĐHQG Hà Nội Nguyễn Minh Chương (2000) – Nguyễn Văn Khải –Khuất Văn Linh– Nguyễn Văn Tuấn -Nguyễn Tường, Giải tích số, NXB Giáo dục Phạm Huy Điền (2000), Tính toán lập trình giảng dạy toán học Maple, NXB Khoa học kỹ thuật Gs Tạ Văn Đĩnh (1991), Phương pháp tính, NXB Giáo dục Khuất Văn Ninh (2011), Giải tích số, NXB ĐHSP Hà Nội GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng SV: Phạm Thị Quỳnh Nga [...]... Công thức (3.6) được gọi là đa thức nội suy Gauss " lùi, tiến " (Gauss II) GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng 24 SV: Phạm Thị Quỳnh Nga Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp: Đa thức nội suy  Chú ý:  Đa thức nội suy Newton tiến, lùi hoặc Gauss " tiến, lùi " và " lùi, tiến " cũng chỉ là cách viết khác của đa thức nội suy Lagrange  Nếu cần tính f(x) tại x gần đầu bảng của mốc nội suy thì dùng đa thức nội suy. .. 1 (3.4) 1! 2! n! Công thức (3.4) được gọi là đa thức nội suy Newton lùi 1.3.3 Đa thức nội suy Gauss " tiến, lùi " và " lùi, tiến " Đa thức nội suy Newton tiến, lùi chỉ mang đặc trưng một phía Nhiều khi ta cần sử dụng các công thức nội suy chứa giá trị trước và sau giá trị ban đầu Các công thức nội suy thông dụng nhất là các công thức chứa sai phân trung tâm Giả sử các mốc nội suy được sắp xếp như sau:... Nhập n = 3 Mốc nội suy thứ 0 là: -3 GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng 8 SV: Phạm Thị Quỳnh Nga Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp: Đa thức nội suy Mốc nội suy thứ 1 là: -1 Mốc nội suy thứ 2 là: 1 Mốc nội suy thứ 3 là: 3 Giá trị của hàm số tại mốc nội suy thứ 0 là: -39 Giá trị của hàm số tại mốc nội suy thứ 1 là: 8 Giá trị của hàm số tại mốc nội suy thứ 2 là: 5 Giá trị của hàm số tại mốc nội suy thứ 3 là:... nghiệp: Đa thức nội suy Ước lượng tốt nhất của phép nội suy trong trường hợp này là: n 1 Mb  a Px  f x   n  1!22n 1 (2.4) BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1 Tìm đa thức nội suy bậc hai P  x  của hàm số y  cosx trên đoạn 1 [0,1] tại các mốc nội suy x 0  0, x1  , x 2  1 Hãy tìm ước lượng sai số của 3 1 1 phép nội suy Tính f    P   5 5 Bài 2 Ước lượng sai số của phép nội suy bằng đa thức. .. t  t  1 t  n  1 1! 2! n! (3.3) Công thức (3.3) được gọi là đa thức nội suy Newton tiến 1.3.2.2 Đa thức nội suy Newton lùi Giả sử rằng, các mốc nội suy vẫn thoả mãn như trên Đa thức nội suy Newton lùi tìm dưới dạng: P  x   a 0  a1  x  x n   a 2  x  x n  x  x n 1     a n  x  x n  x  x n 1  x  x1  Tương tự, như phép nội suy Newton tiến, thay lần lượt x bằng x n , x... n1   t n 1t t n 1  2n 1! P x  P x0  th  y0    3.5 2nyn  t  n 1 t 1 t  t 1 t n  2n! Công thức (3.5) gọi là đa thức nội suy Gauss " tiến, lùi " (Gauss  ) 1.3.3.2 Đa thức nội suy Gauss " lùi, tiến " (Gauss II ) Đa thức nội suy tìm dưới dạng : P  x   a0  a1  x  x0   a 2  x  x1   x  x0   a3  x  x 1   x  x0   x  x1       a 2n1... ba Tính sin 6 với các mốc nội suy: x0   7  11 , x1  , x 2  , x3  36 180 20 180 HƯỚNG DẪN Bài 1 Ta có bảng giá trị của hàm số y  cosx trên đoạn [0,1] x 0 1 3 1 y 1 1 2 -1 Gọi đa thức nội suy Lagrange của hàm số y  cosx là P  x  , theo công thức (1.1) ta có: GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng 17 SV: Phạm Thị Quỳnh Nga Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp: Đa thức nội suy 1 1   xx    x... ih  i  0, 1,,  n  1.3.3.1 Đa thức nội suy Gauss " tiến, lùi " (Gauss  ) Đa thức nội suy tìm dưới dạng : P  x   a 0  a1  x  x 0   a 2  x  x 0   x  x1   a 3  x  x 1   x  x 0   x  x1         a 2n 1 x  x  n 1  x 0  x  x n 1   a 2n x  x  n 1  x 0  x  x n 1  x  x n  Cách xây dựng cũng giống như đa thức nội suy Newton Cho x  x i  i  0, 1,... Khi đó thay vì đa thức nội suy P  x    y i  i 0 n P  x    yi  i 0  x  , ta có:  x  x i    x i   x   x  x i    x i  Giả sử yi  y i  yi , khi đó sai số tính toán GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng 14 SV: Phạm Thị Quỳnh Nga Trường ĐHSP Hà Nội 2 n P  P  P   yi  i 0 Khóa luận tốt nghiệp: Đa thức nội suy  x   x  x i    x i  (1.7)   Nếu mốc nội suy cách đều và... đa thức Chebysev  Nhận xét:  Tn  x  có đúng n nghiệm và các nghiệm là: GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng 15 SV: Phạm Thị Quỳnh Nga Trường ĐHSP Hà Nội 2 x i  cos Khóa luận tốt nghiệp: Đa thức nội suy 2i  1  ,i  0, n  1 2n  max Tn  x   1 khi x  x i  cos x 1 i ,i  0, n Hơn nữa Tn  x  =1 với i chẵn n và Tn  x  =-1 với i lẻ 1.2.3.2 Chọn mốc nội suy tối ưu Định lý 1.1 Trong tất cả các đa thức ...     n  Nhận xét: Đa thức nội suy Hermitte có đặc điểm riêng khác với đa thức nội suy Lagrange đa thức nội suy Newton yêu cầu trùng đa thức nội suy hàm số cho mốc nội suy có yêu cầu trùng... điểm so với đa thức nội suy Lagrange  Đa thức nội suy Newton đa thức nội suy Lagrange dạng khác  Ví dụ 2.2 Hàm số f  x  cho bảng: x y 11 13 Hãy tính tỷ sai phân, lập đa thức nội suy, tính f... Công thức (3.4) gọi đa thức nội suy Newton lùi 1.3.3 Đa thức nội suy Gauss " tiến, lùi " " lùi, tiến " Đa thức nội suy Newton tiến, lùi mang đặc trưng phía Nhiều ta cần sử dụng công thức nội suy