GVHD: Đinh Văn Thuỷ Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội LỜI CẢM ƠN Trong trình hoàn thành khóa luận này, Em nhận động viên hướng dẫn, bảo tận tình thầy Đinh Văn Thuỷ, ý kiến đóng góp quý báu thầy cô tổ Hình học - Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội Qua đây, Em xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc tới thầy Đinh Văn Thuỷ – người trực tiếp hướng dẫn bảo em suốt trình làm khoá luận Đồng thời em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy cô tổ Hình học giúp đỡ em hoàn thành khoá luận Hà Nội, ngày 04 tháng năm 2008 Sinh viên thực Đinh Thị Hải Yến SVTH: Đinh Thị Hải Yến -1- K30D - Toán GVHD: Đinh Văn Thuỷ Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội Lời cam đoan Khoá luận tốt nghiệp kết trình học tập, nghiên cứu bảo, dìu dắt thầy cô giáo, đặc biệt hướng dẫn nhiệt tình thầy Đinh Văn Thuỷ Tôi xin cam đoan khoá luận tốt nghiệp với đề tài : “các phép đối xứng không gian.” Không có trùng lặp với khoá luận khác SVTH: Đinh Thị Hải Yến -2- K30D - Toán GVHD: Đinh Văn Thuỷ Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội A – Mở đầu Lí chọn đề tài Bộ môn hình học có vị trí quan trọng Toán học, theo quan điểm Toán học đại, hình học môn khoa học nghiên cứu tính chất hình bất biến nhóm phép biến hình không gian hình học Tuy vậy, chương trình Toán phổ thông, hình học môn khoa học khó Các khái niệm, định nghĩa, định lí phép biến hình đề cập chương trình sách giáo khoa lớp 11 nhằm cung cấp cho học sinh phương tiện để giải lớp toán hình học, nhiên việc giải toán nhờ phép biến hình phổ thông giới hạn mặt phẳng chưa đươc mở rộng không gian Trên thực tế việc vận dụng phép biến hình giải toán không gian nhiều đem lại hiệu cao, giúp học sinh tránh số sai lầm, ngộ nhận giải phương pháp thông thường, đồng thời nâng cao lực tổng quát hoá, tương tự hoá cho học sinh đem lại nhiều hứng thú học tập, tìm tòi, nghiên cứu khoa học cho học sinh Để làm sáng tỏ thêm phần phép biến hình chương trình Toán phổ thông nên Tôi chọn đề tài : “ Các phép đối xứng không gian.” Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu trình bày hệ thống phép đối xứng qua m- phẳng không gian Euclid chiều.sử dụng phép việc giải toán hình học không gian Đối tương,phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu: phép đối xứng - Phạm vi nghiên cứu: không gian Euclid chiều SVTH: Đinh Thị Hải Yến -3- K30D - Toán GVHD: Đinh Văn Thuỷ Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội Nhiệm vụ nghiên cứu - Trình bày sở lí thuyết - Nghiên cứu kiến thức phép đối xứng không gian - Xây dựng hệ thống ví dụ tập minh hoạ Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu lí luận, nghiên cứu Sách giáo khoa, Sách tham khảo tài liệu có liên quan đến nội dung đề tài SVTH: Đinh Thị Hải Yến -4- K30D - Toán GVHD: Đinh Văn Thuỷ Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội B – Nội dung Chương 1: Cơ sở lí luận 1.Phép biến hình 1.1 Định nghĩa phép biến hình Gọi P tập hợp điểm không gian Một song ánh f: P  P từ P vào gọi phép biến hình tập hợp P Như cho phép biến hình f: P  P cho quy tắc để với điểm M  P , ta tìm điểm M’ = f(M) hoàn toàn xác định thoả mãn hai điều kiện: - Nếu M, N hai điểm phân biệt P f(M), f(N) hai điểm phân biệt P - Với điểm M’  P có điểm M  P cho f(M) = M’ Điểm f(M) gọi ảnh điểm M qua phép biến hình f Ngược lại điểm M đươc gọi tạo ảnh điểm f(M) qua phép biến hình f nói Người ta nói phép biến hình f biến điểm M thành điểm f(M) ta có : f(M) = M’ Điểm M gọi điểm bất động phép biến hình f f(M) = M Phép biến hình f dược gọi phép đồng điểm M  P điểm bất động f, kí hiệu là: e 1.2 Các ví dụ - Trong chương trình hình học lớp 11 phổ thông, học số phép biến hình sau: + Ví dụ1 1: Trong mặt phẳng cho điểm O cố định Phép biến hình biến điểm O thành nó, biến điểm M khác O thành điểm M’ cho O trung điểm đoạn thẳng MM’ gọi phép đối xứng tâm O Điểm O gọi tâm phép đối xứng đó, điểm bất động phép đối xứng tâm O, kí hiệu ĐO SVTH: Đinh Thị Hải Yến -5- K30D - Toán GVHD: Đinh Văn Thuỷ Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội + Ví dụ 1.2: - Cho đường thẳng   P Phép biến hình biến điểm M thuộc  thành nó, biến M không thuộc  thành M’ cho  đường trung trực đoạn thẳng MM’ gọi phép đối xứng trục, kí hiệu Đ  - Các điểm thuộc  điểm bất động phép Đ  + Ví dụ 1.3:  - Trong mặt phẳng cho véctơ v cố định - Phép biến hình biến điểm M  P  thành điểm M’ cho MM '  v gọi phép tịnh   tiến theo v Kí hiệu T v   - Nếu v  phép T v điểm bất động  - Nếu v = điểm M  P biến thành nó, phép biến hình f trở thành phép đồng Ngoài phép quay quanh điểm, phép vị tự mặt phẳng ví dụ phép biến hình Tích hai ( hay nhiều ) phép biến hình Trong hình học ta thường phải thực nhiều phép biến hình liên tiếp Nếu ta thường dùng phép biến hình f: P  P để biến M  P thành điểm M’  P, lại dùng tiếp phép biến hình thứ hai g: P  P để biến M’ thành M” ta có: M’= f(M) M”= g(M’) Khi đó, phép biến hình h = g.f biến M thành M” gọi tích hai phép biến hình f g Ta có: h(M) = (g.f)(M) = g[ f(M) ] = g(M’) = M” - Ta lưu ý phép biến hình h = g.f kết hai phép biến hình liên tiếp lấy theo thứ tự phép biến hình f trước phép biến hình g sau - Nói chung tích ( f.g ) ( g.f ) hai phép biến hình khác SVTH: Đinh Thị Hải Yến -6- K30D - Toán GVHD: Đinh Văn Thuỷ Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội + Ví dụ 2.1:   - Xét hai phép biến hình T u T v mặt phẳng Giả sử M 1điểm mặt phẳng   Gọi M’ = T u (M) M” = T v (M’) Theo định nghĩa phép tịnh tiến ta có: MM '  u , M 'M "  v   MM "  MM  M 'M "  u  v   Nên tích T u T v phép tịnh tiến theo véctơ u  v + Ví dụ 2.2:  - Xét hai phép biến hình: Phép đối xứng trục Đ  phép tịnh tiến T v Giả sử N điểm mặt phẳng  Gọi N’= Đ  (N) N”= T v (N’)  Ta có: (T v Đ  ) (N) = N”  Gọi N1 = T v (N) N2 = Đ  (N1)  Ta có: (Đ  T v ) (N’) = N2   Nói chung ta có N”  N2 nên T v Đ   Đ  T v Như tích phép biến hình nói chung tính chất giao hoán Phép biến hình đảo ngược Cho phép biến hình f: P  P M  f(M) = M’, M  P SVTH: Đinh Thị Hải Yến -7- K30D - Toán GVHD: Đinh Văn Thuỷ Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội Vì f song ánh nên với điểm M’ thí có điểm M mà thôi, nên M = f-1(M’) phép biến hình gọi phép biến hình đảo ngược phép biến hình f Rõ ràng phép biến hình f có phép biến hình đảo ngược f-1 ta có: (f.f-1) (M) = f.[ f-1(M’) ] = f(M) = M’  f.f-1 = e = f-1f + Ví dụ:  Phép tịnh tiến T v có phép biến hình đảo ngược phép tịnh tiến  T-1 v = T  v  Thật vậy: M  P , ta gọi M’= T v Ta có MM '  v  M ' M  v  T  v (M’) = M -1   T v = Tv Phép biến hình có tính chất đối hợp Cho phép biến hình f biến điểm M thành M’, sau ta thực phép biến hình f điểm M’ giả sử f(M’) = M” Nếu M”  M ta nói phép biến hình f có tính chất đối hợp Ta có : f f M   M hay f  e + Ví dụ: Phép đối xứng trục, phép đối xứng tâm phép biến hình có tính chất đối hợp SVTH: Đinh Thị Hải Yến -8- K30D - Toán GVHD: Đinh Văn Thuỷ Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội Chương 2: phép đối xứng không gian Bài 1: Phép đối xứng qua tâm Định nghĩa : Cho trước điểm O, với điểm M  ta xác định điểm M’ cho   OM '  OM Nếu M  O M '  O Khi ta nói M’ ảnh M phép đối xứng qua tâm O ( đối xứng tâm O ) kí hiệu Đ : M  M ' Điểm O gọi tâm đối xứng Cho hình  H  Tập hợp ảnh điểm thuộc  H  phép biến đổi Đ0 lập thành hình  H ' gọi ảnh  H  hình đối xứng với  H  qua O Nếu  H   H ' trùng ta nói  H  hình có tâm đối xứng Ta kí hiệu : Đ0 :  H    H ' Tính chất :  Tính chất 1: Đ0 có điểm bất động điểm O  Tính chất 2: Đ0 phép biến đổi - có phép biến đổi ngược, phép biến đổi ngược Đ0  Tính chất 3: Nếu A’, B’ ảnh A, B phép biến đổi Đ0,   A ' B '   AB  Tính chất 4: Nếu A, B, C, D điểm nằm mặt phẳng A’, B’, C’, D’ ảnh tương ứng điểm phép biến đổi Đ điểm A’, B’, C’, D’ nằm mặt phẳng * Hệ Phép biến đổi Đ(d) biến: i) Mặt phẳng (P) thành mặt phẳng (P’)  P    P ' (P’) trùng với (P) Nếu O thuộc (P) ĐO phép đối xứng qua tâm O xác định (P) SVTH: Đinh Thị Hải Yến -9- K30D - Toán GVHD: Đinh Văn Thuỷ Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội ii) Nửa mặt phẳng (P) thành nửa mặt phẳng (P’)  P '   P  (P’) (P) lập thành mặt phẳng iii) Nhị diện (P,Q) thành nhị diện (P’, Q’) số đo góc phẳng nhị diện iv) Mặt cầu (I,R) thành mặt cầu (I’,R); hình nón (N) thành hình nón (N’) có bán kính đáy độ dài đường sinh yếu tố tương ứng (N); hình trụ (T) thành hình trụ (T’) có bán kính đáy độ dài đường sinh yếu tố tương ứng (T) v) Tích phép đối xứng qua tâm phân biệt phép đối xứng qua tâm Các ví dụ :  Ví dụ 1.1: Cho hình hộp (H) Chứng minh giao điểm đường chéo (H) tâm đối xứng Lời giải: Kí hiệu ABCDA’B’C’D’ hình hộp O giao đường chéo Theo tính chất hình hộp ta có : B A Đ0 : A  C ' B  D' C  A' D  B' A Vì vậy, mặt ABCD  mặt A’B’C’D’ Tương tự với mặt bên ABB’A’, BCC’B’… chuyển thành C’D’DC, A’ C A D A O B’D A A D’ A D’A’AD … ảnh điểm thuộc (H) điểm thuộc (H)  Đ0: (H)  H SVTH: Đinh Thị Hải Yến Toán - 10 - K30D - C ’ ’ A GVHD: Đinh Văn Thuỷ Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội Phương trinh (P’) có dạng: Ax + By + Cz + D’ = với D’ = D - 2aA - 2bB - 2cC * 1.12 - Gọi I trung điểm AC’  I  2; 1; 2  Đ0: AC' C  A' B  D' D  B'   D '  4; 5; 4  B '  3; 3; 4   + BC  AD   x; y  3; z    1  1;1;0  x  3   y  z   Vậy c   3; 4;0   A '   1; 6; 4  SVTH: Đinh Thị Hải Yến Toán - 40 - K30D - GVHD: Đinh Văn Thuỷ Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội BàI 2: PHéP Đối xứng qua đường thẳng * 2.1 Tứ diện ABCD có AC = AD = BC = BD Nên theo ví dụ1 Ta có: MN trục đối xứng tứ diện ABCD Đ(MN): A  B CD K  K '  BD Ta có: AK = BK’ Mặt khác: MN trục đối xứng mặt phẳng qua điểm K, M, N nên không thuộc mặt phẳng Vậy K’ giao BD với (KMN) hay K '  L Vậy KL  MN Hay tứ giác MKNL có hai đường chéo vuông góc * 2.2 Gọi S đỉnh hình chóp (d) trục đối xứng qua S Nếu (d) song song với đáy hình chóp, ảnh đáy thuộc mặt phẳng song song với đáy Điều xảy ảnh không thuộc hình chóp Bởi vậy, (d) phải cắt mặt phẳng đáy Ta xét thiết diện hình chóp qua (d) Thiết diện tam giác có trục đối xứng, nên tam giác cân S Vậy (d) vuông góc với cạnh đáy tam giác (d) vuông góc với đáy Đường thẳng (d) trục đối xứng đáy, nên giao điểm (d) với đáy tâm đối xứng đáy Một đa giác có tâm đối xứng số cạnh đa giác chẵn Vậy hình chóp có trục đối xứng qua đỉnh, đáy hình chóp đa giác có số chẵn cạnh * 2.3 Kí hiệu ABCDA’B’C’D’ hình hộp chữ nhật  AA '  BB '  CC '  DD ' (d) trục đối xứng SVTH: Đinh Thị Hải Yến Toán - 41 - K30D - GVHD: Đinh Văn Thuỷ Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội Hiển nhiên (d) không nằm mặt phẳng chứa mặt hình hộp, (d) cắt mặt phẳng song song hình hộp không thuộc cạnh hình hộp Chẳng hạn, (d) cắt (ABCD) I (A’B’C’D’) I’ điểm hình chữ nhật ( Nếu I I’ trùng với đỉnh đó, II’ đường chéo hình hộp, chẳng hạn đường chéo AC’ Đường chéo trục đối xứng tứ giác ABC’D’ AB’C’D Điều xảy ) Ta xét thiết diện tứ giác hình hộp qua II’, thiết diện hình bình hành có trục đối xứng, nên hình chữ nhật Có thiết diện khác thế, nên  d    ABCD   d   BB ' Xét thiết diện qua BB’ II’ Vì nhận II’ trục đối xứng nên ảnh BB’ CC’ Điều chứng tỏ (d) qua giao điểm đường chéo mặt (ABCD) (A’B’C’D’) Vậy hình hộp chữ nhật có không trục đối xứng * 2.4 Từ giả thiết ta có : NP  MQ  CD; NP  MQ  CD; M ' N '  P ' Q '  MN  PQ  AB Vì  MNPQ   AB  MNPQ   CD hay IK   MNPQ  Gọi E  BM  CD , AE qua N IE cắt MN trung điểm MN đường trung bình hình vuông MNPQ qua trung điểm MN cắt IK Tương tự, đường trung bình hình vuông M’N’P’Q’ qua trung điểm cạnh N’P’ cắt IK Ta lại thấy đoạn nối trung điểm cạnh NP N’P’ vuông góc với mặt phẳng (MNPQ), nên song song với IK trung điểm SVTH: Đinh Thị Hải Yến Toán - 42 - K30D - GVHD: Đinh Văn Thuỷ Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội NP thuộc mặt phẳng (KAB) Điều chứng tỏ trung điểm NP nằm AK đường trung bình MNPQ qua trung điểm NP cắt IK Các kết chứng tỏ tâm hình vuông MNPQ thuộc IK Tương tự với hình vuông M’N’P’Q’ Vậy tâm hình vuông MNPQ M’N’P’Q’ nằm trục đối xứng tứ diện * 2.5 + Phân tích : Giả sử dựng tứ diện ABCD thoả mãn yêu cầu toán: Đường thẳng (d) qua trung điểm N, M hai cạnh chéo AB CD Vì tứ diện ABCD tứ diện nên (d) trục đối xứng tứ diện Đ(d) : A  B CD - Xét tam giác ABN có MN  AM - ABCD tứ diện nên : AB = CD hay AM = BM = CN = DN + Cách dựng : - Dựng B ảnh A qua phép đối xứng Đ(d) - Gọi M  AB   d  Dựng N (d) cho MN  AM - Dựng đường thẳng (d’) qua N vuông góc với (d) - Trên (d’) dựng điểm C D cho CN = DN = AM Khi tứ diện ABCD tứ diện cần dựng + Chứng minh : + Biện luận : Bài toán có nghiệm hình * 2.6 Gọi I, J trung điểm AA’ giao đường chéo hình chữ nhật BCC’B’ SVTH: Đinh Thị Hải Yến Toán - 43 - K30D - GVHD: Đinh Văn Thuỷ Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội Hiển nhiên IJ trục đối xứng AC A’B’ Đ(IJ): A  A ' C  B' Vậy M M’ đối xứng qua IJ Vậy tập hợp trung điểm đoạn MM’ thuộc đoạn IJ * 2.7 Gọi O  AC  BD Hình chóp SABCD có đáy hình bình hành cạnh bên SA = SC, SB = SD  SO trục đối xứng hình chóp Đ(SO): B  D M N  SO trục đối xứng hai đoạn BM DN Trên đoạn BM DN có điểm tương ứng K H thoả mãn: BK DH   HK  BD BM DN Suy ra: H ảnh K qua phép đối xứng Đ(SO) Vậy tập hợp trung điểm đoạn KH thuộc đoạn OO’ Với O '  MN  SO  * 2.8 Mặt phẳng (P) có véc tơ pháp tuyến n  A, B, C   Ta tìm ảnh véc tơ n qua phép biến đổi Đ(Ox)  Dựng ON  A, B, C  , N  A, B, C  Kí hiệu N’ ảnh N, suy N '  A,  B, C  SVTH: Đinh Thị Hải Yến Toán - 44 - K30D - GVHD: Đinh Văn Thuỷ Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội  Vậy vectơ n '  A,  B, C  vectơ pháp tuyến (P’) Ta chọn M   D  , 0,   ( P ) (giả thiết A  0) Khi ảnh M có toạ độ  A   D    , 0,   ( P ')  A  Vậy phương trình (P’) đối xứng với (P) qua Ox là: D  A  x    By  Cz   Ax  By  Cz  D  A  Tương tự ta có: - Phương trình (P”) đối xứng với (P) qua Oy là: -Ax + By – Cz + D = - Phương trình (P”’) đối xứng với (P) qua Oz là: -Ax - By + Cz + D = * 2.9 Mặt cầu (W) có tâm O  x0 , y0 , z0  , bán kính R - Phép đối xứng Đ(Ox) biến mặt cầu (W) thành mặt cầu (W’) có tâm O '  x0 ,  y0 ,  z0  , bán kính R Vậy (W’) có phương trình:  x  x0    y  y0    z  z0   R 2 2 - Phép đối xứng Đ(Oz) biến mặt cầu (W) thành mặt cầu (W”) có tâm O "   x0 ,  y0 , z0  , bán kính R Vậy (W”) có phương trình:  x  x0    y  y0    z  z0   R 2 * 2.10 Mặt phẳng qua M vuông góc với (d) có phương trình:  x  1   y     z     x y z3 Giao điểm H mặt phẳng với (d) có toạ độ  1, 1, 1 Gọi M’ ảnh M qua phép biến đổi Đ(d)  M '  3, 2,  SVTH: Đinh Thị Hải Yến Toán - 45 - K30D - GVHD: Đinh Văn Thuỷ Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội BàI 3: PHéP Đối xứng qua mặt phẳng * 3.1 Nếu M điểm thuộc hình thang M’ ảnh M qua phép biến đổi Đ(p), MM’ đoạn thẳng vuông góc với (P) Và M’ thuộc mặt phẳng chứa hình thang Điều chứng tỏ mặt phẳng chứa hình thang mặt phẳng đối xứng (P) vuông góc với Gọi (x) giao tuyến hai mặt phẳng Hiển nhiên (x) cắt vuông góc với MM’ Do (x) trục đôí xứng biến M thành M’ Đó điều phải chứng minh * 3.2 Gọi (P) mặt phẳng đối xứng hình bình hành Vì phép biến đổi Đ(P) biến hình binh hành thành nó, nên mặt phẳng hình bình hành biến thành Vì (P) cắt vuông góc với mặt phẳng hình bình hành theo giao tuyến (x), Giao tuyến (x) trục đối xứng hình bình hành Vì hình bình hành có hai cạnh liên tiếp khác nhau, nên đường chéo trục đối xứng Như (x) vuông góc với cạnh hình bình hành * 3.3 Đặt Đ = Đ(P)  Đ(Q)  Đ(P) Ta cần chứng minh mặt phẳng (R) mặt phẳng bất động Đ Với M thuộc (R) ta có: Đ(P): M  M '   Q  Đ(Q): M  M ' Đ(P): M '  M SVTH: Đinh Thị Hải Yến Toán - 46 - K30D - GVHD: Đinh Văn Thuỷ Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội Vậy (R) mặt phẳng bất động phép biến đổi Đ Với M   R  ta có: Đ(P): M  M1, MM1   P  I Đ(Q): M1  M 2, M 1M   Q  K Đ(P): M  M ', M M '   P  H Như ta thấy: Đ(P) : M1  M M2  M ' Do đó: M1M  MM ' K  K ' trung điểm MM’ Vì K   Q  nên K '   R  Hơn M1M   Q  , MM '   R  Tóm lại (R) mặt phẳng trung trực MM’ Đ(R) phép đối xứng qua (R) * 3.4 Gọi (P) mặt phẳng đối xứng góc yOz Vì (P) không chứa mặt phẳng (xOy) nên  P    xOy  Trên Oy Oz lấy điểm B C cho OB = OC Hiển nhiên B đối xứng với C qua (P), BC   P  trung điểm BC Lấy Ox điểm A cho OA = OB kí hiệu (Q) mặt phẳng đối xứng  ,  Q   AB trung điểm AB Vậy (P), (Q) cắt mặt góc xOy phẳng theo giao tuyến đường trung trực cạnh tam giác ABC Vì vậy, giao tuyến (d) (P) (Q) qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC vuông góc với (ABC) * 3.5 Gọi (P) mặt phẳng đối xứng góc yOz Khi (P) qua phân giác góc vuông góc với mặt phẳng chứa góc Ta chứng minh : Mặt phẳng qua phân giác góc yOz tia Ox vuông góc với mặt phẳng chứa góc SVTH: Đinh Thị Hải Yến Toán - 47 - K30D - GVHD: Đinh Văn Thuỷ Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội Vì Ox không vuông góc với (yOz) tính mặt phẳng qua đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, ta suy hai mặt trùng * 3.6 + Ta xét phép biến đổi Z = Đ(P)  Đ(d) Ta thấy  d    P  O nên : Đ(d) : O  O Đ(P) : O  O Vậy O điểm bất động qua phép biến đổi Z Với M không trùng với O Ta có : Đ(d) : M  M ' MM '   d  I Đ(P) : M '  M " M ' M "   P  K - Nếu M   P  I  O M '   P  Hiển nhiên M "  M ' Vậy M” đối xứng với M qua O - Nếu M không thuộc (P) (d), MM '   P  M ' M ''   d  Ta có : MO = IK = OM” Vậy Z phép đối xứng qua O + Xét phép biến đổi Z’ = Đ(d)  Đ(P) Chứng minh tương tự ta có Z’ phép đối xứng qua O * 3.7 Gọi S đỉnh nón Ta chứng minh S biến thành Kí hiệu S’ ảnh S Vì S’ thuộc (N) nên S’ nằm đường sinh (N) thuộc đáy (N) Nếu S’ thuộc đường sinh SA ( A thuộc đáy (N)) S’ phải trùng với A, không ảnh A A’ thuộc tia đối tia SA Điều chứng tỏ A’ không thuộc (N) SVTH: Đinh Thị Hải Yến Toán - 48 - K30D - GVHD: Đinh Văn Thuỷ Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội Vậy (P) mặt phẳng trung trực đường sinh SA (P) phải cắt mặt phẳng đáy (N) Ta kí hiệu (SAB) thiết diện qua trục (N) Thiết diện vuông góc với (P), ảnh B qua phép đối xứng qua (P) phải thuộc mặt phẳng (SAB) Mặt khác lại thuộc (N) Vì ảnh B điểm chung (N) (SAB) mà điểm chung A B Hiển nhiên A B không đối xứng với qua (P) Vì ảnh B B Điểm B thuộc (P) Gọi (x) giao tuyến (P) với mặt phẳng đáy (N), (x) tiếp tuyến đường tròn đáy (N) Ta xét đường kính đáy CD song song với (x), CD   P  Gọi C’, D’ điểm đối xứng C, D qua (P), C ' D '  CD C ' D '  CD :  Mặt khác C’, D’ thuộc mặt xung quanh (N) ( đáy nón không nằm (P)) C’D’ song song với đáy (N) Ta xét đường sinh SC1 chứa C’ SD1 chứa D’, C1D1 dây cung đáy (N) C1D1  C ' D ' , suy C1D1  CD Mâu thuẫn chứng tỏ S phải thuộc (P) Hiển nhiên (P) không song song với đáy (N), không ảnh điểm thuộc đáy (N) không thuộc (N) ( ảnh nằm khác phía với (N) (P), nên không thuộc (N)) Ta kí hiệu (x) giao tuyến (P) với đáy (N) AB đường kính đáy vuông góc với (x) Thiết diện  SAB    P  , ảnh A vừa thuộc mặt phẳng (SAB) vừa thuộc (N) Vì (P) không chứa SA, nên ảnh A B Vậy (x) qua tâm đáy (N), nghĩa (P) qua trục (N) Trường hợp S’ điểm nằm hình tròn đáy nón, ta chứng minh (P) qua trục (N) SVTH: Đinh Thị Hải Yến Toán - 49 - K30D - GVHD: Đinh Văn Thuỷ Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội  * 3.8 Giả sử N  A, B, C  , ON  A, B, C  véctơ pháp tuyến mặt phẳng (P) ( O gốc toạ độ ) Giả sử A  , điểm M   D  , 0,    P   A  Phép đối xứng qua mặt phẳng (Oxy) biến N thành N’ có toạ độ  A, B, C  , điểm M thành M’ trùng với M, mặt phẳng (P) biến thành mặt phẳng (P’) qua  M vuông góc với ON Vậy phương trình (P’) đối xứng với (P) qua mặt phẳng (Oxy) có dạng : Ax + By - Cz + D = Tương tự, ta có: -Phương trình (P’’) đối xứng với (P) qua mặt phẳng (Oxz) có dạng : Ax - By + Cz + D = -Phương trình (P’’’) đối xứng với (P) qua mặt phẳng (Oyz) có dạng : -Ax + By + Cz + D = * 3.9 Mặt cầu (W) có tâm I  x0 , y0 , z0  có bán kính R - Phép đối xứng qua mặt phẳng (Oxy) biến mặt cầu (W) thành mặt cầu (W’) có tâm I '  x0' , y0' , z0'  ảnh I  x0 , y0 , z0  qua phép đối xứng có bán kính bán kính mặt cầu (W) Ta có : I '  x0 , y0 ,  z0  Vậy mặt cầu (W’) có phương trình:  x  x0    y  y0    z  z0  2  R2 Tương tự ta có : - Phương trình mặt cầu (W’’) đối xứng với (W) qua mặt phẳng (Oyz) là:  x  x0    y  y0    z  z0  2  R2 - Phương trình mặt cầu (W’’’) đối xứng với (W) qua mặt phẳng (Oxz) là:  x  x0    y  y0    z  z0  SVTH: Đinh Thị Hải Yến Toán - 50 -  R2 K30D - GVHD: Đinh Văn Thuỷ Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội * 3.10 Giả sử mặt phẳng (P) : x  y  z   Gọi N điểm thuộc mặt phẳng (P) cho ON   P   N 1,1,1 Vậy ảnh gốc toạ độ O  0, 0,  phép đối xứng qua mặt phẳng (P) có toạ độ  2, 2,  * 3.11 Gọi A’ ảnh A qua phép đối xứng qua mặt phẳng (P) Khi giao điểm A’B mặt phẳng (P) có điểm cần tìm Thật vậy, với M’ thuộc (P), M’ không trùng M Ta có : M ' A  M ' B  M ' A ' M ' B  A ' B  MA ' MB * 3.12 Gọi (x’) ảnh (x) qua phép đối xứng Đ(P), :  x '   y  Gọi (z) giao tuyến mặt phẳng qua (x’) (y) với (P) Mọi điểm M thuộc (z) điểm cần tìm SVTH: Đinh Thị Hải Yến Toán - 51 - K30D - GVHD: Đinh Văn Thuỷ SVTH: Đinh Thị Hải Yến Toán Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội - 52 - K30D - GVHD: Đinh Văn Thuỷ Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội Phần 3: Kết luận Việc đưa phép biến hình vào chương trình toán phổ thông, đặc biệt việc đưa phép biến hình vào hình học không gian giúp học sinh nhận biết mối quan hệ hình học phổ thông ánh xạ - tập hợp điểm không gian Nó cung cấp công cụ hữu hiệu để giải lớp toán hình học không gian, phát triển tư hàm cho học sinh Luận văn đưa hệ thông lý thuyết, ví dụ minh hoạ việc ứng dụng phép đối xứng, hệ thống tập luyện tập bước đầu thể tính ưu việt phương pháp biến hình việc giải toán biến hình không gian Như đề tài: “ Các phép đối xứng không gian ” hoàn thành nội dung đạt mục đích nghiên cứu Bước đầu làm quen với nghiên cứu khoa học, chắn luận văn tránh khỏi thiếu sót Tôi mong muốn thầy cô, bạn sinh viên, độc giả đóng góp ý kiến, trao đổi để luận văn hoàn thiện thực tài liệu tham khảo bổ ích SVTH: Đinh Thị Hải Yến Toán - 53 - K30D - GVHD: Đinh Văn Thuỷ Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội TÀI LIỆU THAM KHẢO Bùi Văn Bình - Nguyễn Văn Vạn, Giáo trình hình học sơ cấp, ĐHSP Hà Nội 1993 Bùi Văn Bình, Bài tập hình học sơ cấp, ĐHSP Hà Nội 2, 1993 Đỗ Thanh Sơn, Các phép biến hình không gian, NXB Giáo dục, 2005 Văn Như Cương, Hình học afin hình học Ơclit, NXB Giáo dục, 2000 Phạm Khắc Ban – Phạm Bình Đô, Hình học afin hình học Ơclit ví dụ tập, NXB Đại học sư phạm 2004 Nguyễn Mộng Hy, Các phép biến hình mặt phẳng, NXB Giáo dục, 2000 Tạp chí toán học tuổi trẻ SVTH: Đinh Thị Hải Yến Toán - 54 - K30D - [...]... (x), (y) Chứng minh rằng không tồn tại một phép đối xứng qua tâm biến đường thẳng này thành đường thẳng kia Lời giải: Gọi O là tâm của phép đối xứng đó, (x’) là ảnh của (x) qua phép đối xứng tâm O Khi đó  x '   x  Gọi (P) là mặt phẳng chứa (x) và (x’) Vì (y) chéo nhau với (x) nên (y) không nằm trong (P), do đó (y) và (x’) không thể trùng nhau Vậy không tồn tại một phép đối xứng qua tâm biến (x)... chính là M Khi đó ta nói M’ là điểm đối xứng với M qua (d) hoặc M’ là ảnh của M qua phép đối xứng đó và được kí hiệu là Đ(d) : M  M ' Đường thẳng (d) được gọi là trục đối xứng Nếu quy tắc đó được xác định cho mọi điểm trong không gian, thì ta có một phép đối xứng qua một đường thẳng (d) trong không gian Cho một hình  H  Tập hợp ảnh của mọi điểm thuộc  H  qua phép biến đổi Đ(d) lập thành một hình... Gọi O là trung điểm của đoạn IJ Khi đó phép đối xứng qua tâm O, Đ0: A  B ' B  A' C  D' D C' * Cách dựng: + Dựng trung điểm I của AB + Dựng trung điểm J của CD + Dựng trung điểm O của IJ + Dựng B’ là ảnh của A qua phép đối xứng tâm O + Dựng A’ là ảnh của B qua phép đối xứng tâm O + Dựng D’ là ảnh của C qua phép đối xứng tâm O + Dựng C’ là ảnh của D qua phép đối xứng tâm O Khi đó hình hộp AD’BC’A’DB’C... C, D không cùng nằm trong một mặt phẳng, do đó A’, B’, C’, D’ không cùng nằm trong một mặt phẳng, do đó A’B’C’D’ là hình tứ diện có các cạnh bằng nhau * 1.3 - Giả sử tứ diện ABCD có tâm đối xứng là O Nếu O thuộc một mặt phẳng chứa một mặt nào đó của tứ diện, thì mặt đó là hình có tâm đối xứng Điều đó không thể xảy ra vì mặt của tứ diện là tam giác mà tam giác là hình không có tâm đối xứng Vậy O không. .. (P) là mặt phẳng đối xứng của hình thang không chứa nó, thì (P) phải vuông góc với mặt phẳng hình thang và đi qua trục đối xứng của hình thang  3.2 Trong không gian cho một hình bình hành có hai cạnh liên tiếp khác nhau Chứng minh rằng: Nếu hình bình hành đó có mặt phẳng đối xứng không chứa nó, thì các góc của hình bình hành bằng 900  3.3 Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau và không vuông góc với... là ảnh của (Q) qua phép biến đổi Đ(P) Chứng minh rằng: Đ(P)  Đ(Q)  Đ(P) = Đ(R)  3.4 Cho góc tam diện Oxyz Chứng minh rằng 3 mặt phẳng đối xứng của 3 góc phẳng không chứa các góc đó cắt nhau theo một giao tuyến  3.5 Trong không gian cho 3 tia Ox, Oy, Oz không cùng nằm trong   xOz   900 Chứng minh rằng một mặt phẳng và thoả mãn điều kiện xOy mặt phẳng đối xứng của góc yOz không chứa nó đi qua... rằng một hình hộp chữ nhật có không quá 3 trục đối xứng  2.4 - Cho tứ diện đều ABCD và một hình lập phương MNPQM’N’P’Q’ nội tiếp trong tứ diện sao cho các cạnh NP, MQ nằm trong các mặt ACD, BCD; Các cạnh N’M’ và P’Q’ nằm trong các mặt ABD và CBD Chứng minh rằng tâm của 2 hình vuông MNPQ và M’N’P’Q’ nằm trên trục đối xứng của tứ diện  2.5 - Cho đường thẳng (d) và điểm A không thuộc (d) Hãy dựng một... Bài 3: Phép đối xứng qua một mặt phẳng 1 Định nghĩa: - Cho trước một mặt phẳng (P) Với mỗi điểm M không thuộc (P) ta xác địng điểm M’ sao cho (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn MM’ Nếu M thuộc (P) thì M’ chính là M Khi đó ta nói M’ chính là điểm đối xứng của M qua (P) hay M’ là ảnh của M qua phép đối xứng đối với (P) và được kí hiệu: Đ(P): M  M ' Mặt phẳng (P) được gọi là mặt phẳng đối xứng Nếu... cho mọi điểm trong không gian, thì ta có một phép đối xứng qua mặt phẳng - Cho một hình (F) Tập hợp ảnh của mọi điểm thuộc (F) qua phép biến đổi Đ(P) lập thành một hình (F’) là ảnh của hình (F) Nếu (F) và (F’) trùng nhau thì ta nói (F) là hình có mặt phẳng đối xứng 2 Tính chất:  Tính chất 1: Phép biến đổi Đ(p) có một mặt phẳng bất động duy nhất là (P)  Tính chât 2: Phép biến đỏi Đ(p) là phép biến đổi... Hà Nội 2 Qua ví dụ trên ta biết rằng giao điểm các đường chéo của hình hộp chính là tâm đối xứng của nó Vậy hình hộp có bao nhiêu tâm đối xứng? Để trả lời cho câu hỏi này ta xét tiếp ví dụ sau:  Ví dụ 1.2: Chứng minh răng hình hộp có đúng một tâm đối xứng Lời giải: Giả sử O và O’ là hai tâm đối xứng của một hình hộp (H) Với mỗi điểm X (H), phép đối xứng Đ0 : X  X ' , X ' (H) Đ0’: X  X " , X " ... phần phép biến hình chương trình Toán phổ thông nên Tôi chọn đề tài : “ Các phép đối xứng không gian. ” Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu trình bày hệ thống phép đối xứng qua m- phẳng không gian. .. dụ: Phép đối xứng trục, phép đối xứng tâm phép biến hình có tính chất đối hợp SVTH: Đinh Thị Hải Yến -8- K30D - Toán GVHD: Đinh Văn Thuỷ Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội Chương 2: phép đối xứng không. .. (d) M’ ảnh M qua phép đối xứng kí hiệu Đ(d) : M  M ' Đường thẳng (d) gọi trục đối xứng Nếu quy tắc xác định cho điểm không gian, ta có phép đối xứng qua đường thẳng (d) không gian Cho hình 