s giáo dục V O T O trờng tHPT S B O TH NG *********(********* Sáng kiến kinh nghiệm Kinh nghiệm hớng dẫn học sinh phơng pháp sử dụng bất đẳng thức cô-si dạng nghịch đảo Ngời thực : O KHNH LINH Ch c v : Hi u tr ng Năm 2011 A- Phần mở đầu I/ Lý chọn đề ti: Trong thời kỳ đổi đất nớc yêu cầu giáo dục phải tạo lớp ngời mới, động sáng tạo Họ sẵn sàng tiếp nhận mới, tinh hoa tri thức khoa học nhân loại, áp dụng cách khoa học vào thực tiễn đất nớc Vậy làm để phát huy đợc tính chủ động sáng tạo học sinh yêu cầu trớc mắt, nhằm tập dợt khả sáng tạo học sinh từ ngồi ghế nhà trờng Hiện sách giáo khoa môn toán đợc biên soạn theo hớng đổi mới, phơng pháp dạy học là: Tích cực hoá hoạt động học tập học sinh, khơi dậy phát triển khả tự học, nhằm hình thành cho học sinh t tích cực độc lập sáng tạo nâng cao lực phát giải vấn đề rèn luyện khả vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui hứng thú học tập cho học sinh Sách giáo khoa có toán mở, mục em cha biết nhằm khơi dậy định hớng cho em sáng tạo Tuy nhiên hớng dẫn bảo tận tình ngời thày cần thiết Nội dung kiến thức bất đẳng thức đợc trình bày chơng trình PTTH - Đại số 10 Đây phần kiến thức hay nhng khó học sinh Bất đẳng thức Cô-Si Nhằm giới thiệu học sinh tìm tòi, khám phá sử dụng Vậy để giúp em làm việc trớc hết ngời thày phải nghiên cứu, hớng dẫn mặt phơng pháp, cung cấp hớng dẫn cho học sinh thực toán điển hình tạo cho học sinh tiền đề để em tự học, tự nghiên cứu Đứng trớc yêu cầu xin trình bày phần nhỏ chơng trình dạy bất đẳng thức là: "Hớng dẫn học sinh số phơng pháp sử dung bất đẳng thức Cô-Si dạng nghịch đảo" II- Mục đích nghiên cứu: Chỉ số phơng pháp để áp dụng bất đẳng thức Cô-Si dạng nghịch đảo để giải số toán chứng minh bất đẳng thức tìm cực trị Hớng dẫn học sinh sử dụng vào giải toán chứng minh bất đẳng thức tìm cực trị (đối với học sinh giỏi ) III- Phơng pháp nghiên cứu +Chứng minh bất đẳng thức Cô-Si : Trờng hợp với hai số không âm +áp dụng hai số dơng có dạng nghịch đảo +Phân loại tập điển hình xây dựng phơng pháp giải nhờ áp dụng bất đẳng thức Cô-Si dạng nghịch đảo +Tham khảo ý kiến đồng nghiệp nhà trờng +áp dụng vào việc giảng dạy cho học sinh +Rút kinh nghiệm từ thực tế giảng dạy để tiếp tục hoàn thiện vào năm sau IV- Phạm vi v đối tợng nghiên cứu +Nghiên cúu bất đẳng thức Cô-Si dạng nghịch đảo toán áp dụng +Chọn toán thích hợp cho việc giảng dạy cho học sinh lớp 10 diện khá, giỏi B - phần nội dung I/Bất đẳng thức Cô-Si: 1/Bất đẳng thức Cô-Si (Đối với hai số không âm) +Với hai số không âm a b ta có : a+b ab (1) Bất đẳng thức gọi bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân nhà toán học Cô-Si (Cauchy) ngừời Pháp (1789-1857) nghiên cứu +Chứng minh: Với hai số a b không âm ta có : ( a b )2 ỳ a ab + b ỳ a + b ab Ta có điều phải chứng minh , dấu đẳng thức sảy ỳ a = b 2/Bất đẳng thức Cô-Si dạng nghịch đảo +Ta có : x y + Với x.y > y x y x b = hai số dơng ta có : y x Thật : áp dụng (1) với a = x y + y x x y =2 y x Ta có điều phải chứng minh , dấu đẳng thức sảy ỳ *Chú ý: a = x y = ỳ x2 = y2 ỳ x = y y x (Vì x y dấu ) x y hai số nghịch đảo b = y x II/ áp dụng : Để áp dụng bất đẳng thức ta cần biến đổi làm xuất biểu thức có dạng nghịch đảo " hon ton" không hon ton tuỳ thuộc vào đích mà toán cần đạt tới Vậy biến đổi nh ? có phơng pháp ? 1/Phong pháp biến đổi đồng nhất: a, Một số toán đơn giản ta cần thực phép tính nhân chia xuất dạng nghịch đảo +Bài toán 1: Cho a ; b ; c số dơng , CM : a b c (1 + )(1 + )(1 + ) b c a b c Giải: Ta có VT = (1 + + c a (1) c a a + )(1 + ) a b c b c b a a b c b a c = 1+ + + + + + +1 a b b a a c c a b c c b = 2+( + )+( + )+( + ) 2+2 a b a c b c + + = + + + = = VP b a c a c b Ta có điều phải chứng minh, dấu đẳng thức sảy ỳ a = b = c * Với phơng pháp mời em làm tiếp toán sau: +Bài toán 2: Cho a ; b ; c số dơng , CM : 1 (a + b + c)( + + ) a b c * Bài mời em tự thực +Bài toán 3: Cho x số dơng, tìm GTNN : A= x2 + 2x + x -Nhận xét: Với x dơng ta cần thực phép chia tử cho mẫu xuất dạng nghịch đảo -Giải: Có : A = x2 2x 4 + + = x+ +2 x x x x x x Ta có : x + x = x+ Nên +26 x Hay A dấu đẳng thức sảy ỳ x = x ỳ x = (vì x > ) Vậy Amin = ỳ x = +Bài toán 4: Cho a, b, c số thực dơng thoả mãn a + b +c = Chứng minh rằng: a + bc b + ca c + ab + + b+c c+a a+b - Nhận xét: Có a + bc = a(a + b + c) + bc = (a + b)(c + a) Tơng tự có b + ca = (b + a)(b + c) c + ab = (c + a)(c + b) ta có: VT = (a + b)(a + c) (b + a )(b + c) (c + a)(c + b) + áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có + b+c c+a a+b (a + b)(a + c) (b + a )(b + c) 2(a + b) + b+c c+a (a + b)(a + c) (c + a)(c + b) + 2( a + c ) b+c a+b (b + a )(b + c) (c + a )(c + b) + 2(b + c) a+c a+b Vậy VT 4(a + b + c) = hay VT ĐPCM Đẳng thức xảy ỳ a = b = c = * Mời em làm tiếp toán sau: +Bài toán4 : Tìm GTNN : B= x + 15 x + 16 3x C= x + 16 x + 56 x + 80 x + 356 x2 + 2x + (với x dơng ) Gợi ý : Thực phép chia đa thức ta đợc : C = 4.( x + x + 5) + 256 x + 2x + b, Đôi phải "tách" , "nhân trộn" chia xuất đợc dạng nghịch đảo +Bài toán5 : Tìm GTNN : D= ( x + 16 x + 48)( x + 12 x + 27) x2 -Nhận xét: Nếu chia D = ( x + (với x số dơng ) 48 27 + 16)( x + + 12) Sau áp dung (1) x x dấu xảy x không đồng thời 48 27 Nên ta phải tìm x x cách "co bằng" hai số 48 27 May thay hai đa thức tử phân tích đợc thành nhân tử ! -Giải : Ta có : D= = ( x + 12)( x + 3)( x + 9)( x + 4) x.x ( x + 15.x + 36)( x + 13.x + 36) x.x = (x + 36 36 + 15)( x + + 13) x x Việc làm đơn giản ! +Bài toán : Tìm GTNN : E= ( x + 11x + 30)( x + 22 x + 120) (với x số dơng ) x2 * Bài mời em tự thực 2/Phơng pháp thêm bớt : a/ Ta thêm bớt số vào biểu thức biến đổi làm xuất dạng nghịch đảo +Bài toán : Tìm GTNN : A= x + x x ( Với < x < ) Nhận xét: Điều kiện < x < làm cho A xác định hạng tử dơng Phải làm xuất nhân tử (1 - x) Trên tử số hạng thứ hai Ta có Giải : Ta có 5(1 x) = x x Ta có : A = x + 5+5 x x = 5x x +5 + x x x x 5(1 x) 5(1 x) + =2 x x x x Nên A + dấu đẳng thức sảy ỳ x 5(1 x) = x x ỳ x2 = 5( - x )2 ỳ x = Vậy A = + ỳx= 5 +Bài toán : Tìm GTNN : 5 B= + ( Với < x < ) x x Nhận xét: Phải đồng thời làm xuất nhân tử x tử nhân tử (1 - x ) dới mẫu Có 2x 2 = x x Còn Giải : Ta có B = = Ta có 1 x = x x + 1+ x x 2x x + +3 x x 2x x 2x x + =2 x x x x Nên có B 2 + dấu đẳng thức sảy ỳ 2x x = x x ỳ x = Vậy B = 2 +3 ỳ x = Bài3: Cho a ; b ; c ; d số dơng CM : 1 + + a(b + 1) b(c + 1) c(a + 1) abc + +Hớng dẫn: abc + abc + abc + + + + + + (1) a(b + 1) b(c + 1) c(a + 1) a +1 b(c + 1) b + c(a + 1) c + a(b + 1) + + + + + b + b(c + 1) c + c(a + 1) a + a(b + 1) a +1 a(b + 1) b + b(c + 1) c + c(a + 1) + + + + + a + b(c + 1) b + c(a + 1) c + a(b + 1) *Tơng tự học sinh giải toán sau: +Bài toán : Tìm GTNN : x +1 C = 3x + D= (với x > - ) x + x ( với x > ) x2 E = ( x + 1) + + x +1 2 x2 + 2x + Hớng dẫn : E = ( x + 1) + x +1 ( với x ) 2 = ( x + 1) + ( x + 1) + x + 2 = 2( x + 1) + +2 ( x + 1) b, Nhiều việc thêm bớt phải dựa việc xác định điểm rơi (điểm cực trị) Bài1: Cho a ; b ; c ; d số dơng CM : a b2 c2 d + + + a+b+c+d b c d a Nhận xét: Nhận thấy dấu xảy a = b = c = d Khi : Giải : Ta có Tơng tự ta có a2 =b b : : a2 a2 b = 2a +b b b b2 +c c 2b c2 +d d 2c d2 +a a 2d Nh : Hay a2 b2 c2 d + + + + a + b + c + d 2(a + b + c + d ) b c d a a b2 c2 d + + + a+b+c+d b c d a Ta có điều phải chứng minh , dấu đẳng thức sảy ỳ a = b = c = d Bài2: Cho a ; b ; c số dơng CM : a2 b2 c2 a+b+c + + b+c c+a a+b Nhận xét : Nhận thấy dấu xảy a = b = c Giải : Khi : a2 b+c = b+c Ta có : a2 b+c a2 b + c + =a b+c b+c Tơng tự ta có : Vậy có : Hay : b2 a+c + a+c b c2 a+b + a+b c a2 b2 c2 a+b+c + + + a+b+c b+c a+c a+b a2 b2 c2 a+b+c + + b+c c+a a+b Ta có điều phải chứng minh , dấu đẳng thức sảy ỳ a = b = c * Bằng cách mời em làm tiếp toán sau : Bài3: Cho a ; b ; c số dơng CM rằng: a b3 c3 a, + + ab + ac + bc b c a b, bc ac ab + + a+b+c a b c 10 3, Phơng pháp tách : Phơng pháp đợc áp dụng cho loại : tởng nh áp dụng đợc (1) ngay, nhng dấu lại xảy Do trớc hết phải xác định đợc điểm rơi đế tách cách hợp lý áp dụng đợc Loại tập phổ biến , ta dành nhiều thời lợng cho loại tập Bài : Cho a 10; b 100; c 1000 Tìm GTNN : a b c A = a+b+c+ + + Nhận xét: Với GT phải quan tâm đến "tiêu hoá" hết lợng 1 + + a b c Dự đoán điểm rơi : a = 10 ; b = 100 ; c = 1000 Khi : 1 a b ; = ; = = a 100 b 10000 c 1000000 HD giải: Có A = 99a a 9999b b 999999c c +( + )+ +( + )+ +( + ) 100 100 a 10000 10000 b 1000000 1000000 c a 9999.100 b c 1 999999.1000 99.10 + + +2 +2 +2 1000000 1000000 c 10000 10000 b 100 100 a = 99 9999 999999 = + + + + + 10 10 100 100 1000 1000 Bài 2: Cho x ; y hai số dơng thoả mãn : x + y = Tìm GTNN của: B = (x + 1 )( y + ) y x Nhận xét : Ta có B = x y + +2 x y2 Với GT ta cần tiêu hoá hết lợng x2y2 Dự đoán điểm rơi : x = y = 11 x2 y2 = Khi Giải : Ta có B = ( x y + Có x y + 1 = 2 16 256 x y 255 )+ 2 256 x y 256 x y 1 x2 y2 = 2 2 256 x y 256 x y Và ( x + y ) xy ỳ Vậy B + xy ỳ 16 x y2 255 16 + = 256 Bài 3: Cho a ; b ; c số dơng thoả mãn : a + b + c a b Tìm GTNN của: c A = a+b+c+ + + Nhận xét: Với GT phải quan tâm đến "tiêu hoá" hết lợng 1 + + a b c Dự đoán điểm rơi a = b = c = a b a a 1 = 4a; = 4b; = 4c a b c c Giải : Có A = (4a + ) + (4b + ) + (4c + ) 3(a + b + c) Ta có : 4a + 4a = Tơng tự có : 4b + b c 4c + Còn - ( a+b+c ) Vậy A Amin = 15 dấu đẳng thức xảy ỳ a = b = c = 2 15 ỳ a=b=c= 12 Bài 4: Cho a ; b ; c số dơng thoả mãn : a b 1 + + Tìm GTNN của: a b c c A = a+b+c+ + + Nhận xét: Với GT phải quan tâm đến "tiêu hoá" hết lợng a + b +c Dự đoán điểm rơi a = b = c = Giải :Ta có: Tơng tự a+ 1 a =1 4a 4a b+ 4b c+ 4c a= 1 ;c = ;b = 4c 4b 4a 1 ( + + ) a b c Còn Vậy A Amin = 15 dấu đẳng thức xảy ỳ a = b = c = 2 15 2 ỳ a=b=c= *Nhận thấy : Bài Bài với số dơng a ; b ; c ta có : 1 (a + b + c)( + + ) a b c Nên : a + b + c 1 + + a b c ỳ Tuy nhiên lại phải có cách tách khác Ta có toán ta thay giả thiết : a ; b ; c số dơng thoả mãn: a2 + b2 + c2 13 2a + 3b 2b + 3c 2c + 3a Hoặc: Hoặc : 2 3a + 2b 2 3b + 2c 2 3c + 2a Bài : Cho x ; y hai số dơng thoả mãn : x + y = Tìm GTNN của: y x C = (1 + x)(1 + ) + (1 + y )(1 + ) x y x y x y Nhận xét : C = x + y + + + + + Với GT phải quan tâm đến "tiêu hoá" hết lợng : x + y Dự đoán điểm rơi : x = y = Giải: Ta có : C = ( x + Có: x + Tơng tự : y + 1 : x = ; y = 2y 2x 1 x y 1 ) + (y + ) + ( + ) + ( + ) + 2 x y 2y 2x y x 1 x = 2x 2x 2y x y + y x 1 1 ( + ) = x y xy Vậy x y = x + y2 C + Bài : Cho x ; y hai số dơng thoả mãn : x + y 6 x D = 3x + y + + Tìm GTNN của: y Nhận xét: Với GT phải quan tâm đến "tiêu hoá" hết lợng + x y 14 Rõ ràng với x = y = không giải đợc vấn đề, phải x y ? y = x; = x 2 y Thử tới x = ; y = ổn Khi : D= Giải : Ta có y ( x + y) + x + + + 2 x y y D + x + = = 19 dấu đẳng thức xảy ỳ x = ; y = x y Vậy Dmin = 19 ỳ x = ; y = Bài 7: Giả sử x1 x2 nghiệm phơng trình : x2 - 4x +7 - m = (1) với m tham số Tìm GTLN : P = x1 x x2 x2 Nhận xét: Trớc hết ta phải tìm m để (1) có nghiệm , sở để xác định điểm rơi Giải : Ptrình (1) có nghiệm ỳ ỳ 47 + m ỳm Khi theo Vi-et ta có : x1x2 = - m Nên : P = m Ta có : m + 1 = (m + ) m m 1 10 1 8 = m + ( m + ) + m = m 9 m m dấu đẳng thức xảy ỳ m = ( T/m điều kiện) Nên P = m Vậy Pmax = 1 10 11 = (m + ) = 3 m m 11 ỳ m = 3 *Tơng tự mời em giải bại tập: Bài 8: Cho : a 5; ab 20; abc 60 CM : a, a + b + c 12 b, a + b + c 50 Bài9: Cho :a ; b ; c độ dài ba cạnh tam giác thoả mãn : 15 a 5; ab 20; abc 60 CMrằng : a = ; b = ; c = Bài 10 : Cho : a 3; b 4; abc 24 CMrằng : a + b + c 4/ Phơng pháp đặt ẩn phụ: Phơng pháp đợc áp dụng cho toán phải thông qua phép đặt ẩn phụ biến đổi xuất dạng nghịch đảo Bài toán 1: Cho a ; b ; c độ dài ba cạnh tam giác tìm GTNN của: A= Hd : Đặt Khi 4a 9b 16c + + b+ca a +c b a +bc b + c - a = 2x có : x , y , z dơng a = y + z a + c - b = 2y b=z+x a + b - c = 2z c =x+y A = =( y+z z+x x+ y + + 16 x y z y 9x z 16 x z 16 y )+( + ) + )+( + x y x z y z Bài toán2: Cho a ; b ; c số dơng CMrằng : P= 25a 16b c >8 + + b+c c+a a+b HDẫn: Đặt : b + c = 2x c + a = 2y a + b = 2z Ta có : a = -x + y + z ; b = x y + z ; c = x + y z x ; y ; z số dơng 25( x + y + z ) 16( x y + z ) x + y z + + 2x 2y 2z 25( x + y + z ) 16( x y + z ) x + y z + + => P = x y z 25 y 16 x 25 z x 16 z y )+( = 42 + ( + + )+( + ) x y x z y z Khi ta có : P = > Bài 3: Cho a ; b ; c số dơng CMrằng : a b c + + 2a + b + c 2b + c + a 2c + a + b 16 Hớng dẫn: Đặt x = 2a+b+c; y = 2b+c+a; z = 2c+a+b suy ra: x; y; z số dơng và: 3x (y+z) = 4a; 3y (x+z) = 4b; 3z (x+y) = 4c a b c ta có: + + 2a + b + c 2b + c + a 2c + a + b 3x ( y + z ) y ( x + z ) 3z ( x + y) + + 4T = x y z x y x z y z =9( + )( + )( + ) y x z x z y = Từ với T = *Bằng cách tơng tự mời em giải toán sau: Bài 4: Cho a ; b ; c số dơng CMrằng : a b c + + b+c c+a a+b III Hớng khai thác mở rộng: 1/Hớng1: Sử dụng BĐT hệ a/ Ta có : ỳ ỳ ỳ ỳ a b + với a b dơng b a a b +1+ +1 b a a+b a+b + b a 1 (a + b)( + ) a b 1 (2) + a b a+b b/ Tổng quát hoá toán ta có: a b c + (a + b + c)( + + ) với a , b , c số dơng + (a1 + a + + a n )( 1 + + + ) n với > ; i = 1;2;;n a1 a an c/áp dụng giải tập: Bài tập 1: Cho a ; b hai số dơng thoả mãn điều kiện : a + b = 1 + ab a + b 2 B= + ab a + b 2 C= + + 4ab ab a +b Tìm GTNN của: A = 17 Bài tập : Cho a ; b ; c số dơng CMrằng : 1 1 1 + + ( + + ) 2a + b + c a + 2b + c a + b + 2c a b c 1 1 1 b, + + + + a + 3b b + 3c c + 3a a + 2b + c b + 2c + a c + 2a + b a, Bài tập 3:CMrằng : Với a ; b ; c ba cạnh tam giác : 1 1 1 + + 2( + + ) với p nửa chu vi p a p b p c a b c Bài tập 4: Cho a ; b ; c số dơng thoả mãn : a + b + c CMrằng: 1 + + a +1 b +1 c + a 1 b, + + + ab + bc + ca a, Bài tập 5: Cho a ; b ; c số dơng thoả mãn : a + b + c CMrằng: 1 + + a + 2bc b + 2ca c + 2ab Bài tập 6: Cho a ; b ; c số dơng thoả mãn : 1 + + = CMrằng: a b c 1 + + 2a + b + c a + 2b + c a + b + 2c Bài tập 7: Cho a ; b ; c số dơng thoả mãn : a + b + c Tìm GTNN: P= 1 + + + ab + ac + bc Bài tập 8: Cho a ; b ; c số dơng thoả mãn : a + b + c = CMrằng: + 14 ab + ac + bc a + b + c Bài tập 9: a) Cho a Tìm GTNN A = a b) Cho a a Tìm GTNN B = 2a + b Bài tập 10: Cho a ; b số dơng thoả mãn : a + b = P= 2009 Tìm GTNN của: 2008 2008 + 2008 a Bài tập 11: Cho a ; b ; c số dơng thoả mãn : Tìm GTNN của: A= a b c b+c c+a a+b + + + + + b+c c+a a+b a b c 18 c/Triển khai đề ti Trong việc giảng dạy môn toán, đơn vị kiến thức mở , hớng dẫn học sinh theo hớng : mở rộng, tổng quát hoá, tìm hớng áp dụng kiến thức Đặc biệt phần kiến thức bất đẳng thức , xác định phần kiến thức khó học sinh , nhng quan trọng việc rèn khả t sáng tạo , phát triển khả tự học tự nghiên cú cho học sinh Tôi triển khai theo bớc ,đối với đối tợng học sinh D/Kết đạt đợc Với việc triển khai đề tài bớc đầu thu đợc số kết đáng khích lệ: + Học sinh tự tin chủ động việc học phần kiến thức + Đa số em tự giải đợc toán BĐT toán có liên quan chơng trình + Các em đối tợng khá, giỏi giải đợc toán sách tham khảo + Khích lệ khả chủ động sáng tạo việc học tập môn E /Kết luận Trong việc dạy học môn toán việc tổ chức cho học sinh chủ động sáng tạo việc nắm bắt vận dụng kiến thức quan trọng Sau việc hớng dẫn cho học sinh tự học, tự nghiên cứu cần thiết Cho nên đơn vị kiến thức phần kiến thức mở trớc hết ngời dạy phải đầu t thời gian tìm tòi nghiên cứu kiến thức, tìm phơng pháp hớng dẫn cho học sinh học tập cách tích cực chủ động Có nh việc dạy học đạt hiệu cao, trớc hết rèn cho học sinh phẩm chất ngời lao động động sáng tạo Tuy nhiên với kinh nghiệm thân hạn chế, mong nhận đợc ý kiến đóng góp tất bạn Tôi xin chân thành cảm ơn ! Phong Hải ,ngy 20/3/2011 Ngời thực đề ti Đào Khánh Linh 19 [...]... hơn trong việc học phần kiến thức này + Đa số các em đã tự giải quyết đợc các bài toán về BĐT và các bài toán có liên quan trong chơng trình + Các em ở đối tợng khá, giỏi đã giải đợc các bài toán trong các sách tham khảo + Khích lệ hơn nữa khả năng chủ động sáng tạo trong việc học tập bộ môn E /Kết luận Trong việc dạy và học nhất là đối với môn toán thì việc tổ chức cho học sinh chủ động sáng tạo trong. .. b+c c+a a+b + + + + + b+c c+a a+b a b c 18 c/Triển khai đề ti Trong việc giảng dạy bộ môn toán, ở mỗi đơn vị kiến thức mở , tôi luôn hớng dẫn học sinh theo hớng : mở rộng, tổng quát hoá, tìm hớng áp dụng kiến thức Đặc biệt trong phần kiến thức về bất đẳng thức , xác định đây là phần kiến thức khó đối với học sinh , nhng nó rất quan trọng trong việc rèn khả năng t duy sáng tạo , phát triển khả năng... để (1) có nghiệm , đó cũng là cơ sở để xác định điểm rơi Giải : Ptrình (1) có nghiệm ỳ 0 ỳ 47 + m 0 ỳm 3 Khi đó theo Vi-et ta có : x1x2 = 7 - m Nên : P = 7 m Ta có : m + 1 1 = 7 (m + ) m m 1 1 10 1 1 8 1 8 = m + ( m + ) 3 + 2 m = 3 9 m 9 9 m 9 m dấu đẳng thức xảy ra ỳ m = 3 ( T/m điều kiện) Nên P = 7 m Vậy Pmax = 1 1 10 11 = 7 (m + ) 7 = 3 3 m m 11 ỳ m = 3 3 *Tơng tự mời các em giải các... tổ chức cho học sinh chủ động sáng tạo trong việc nắm bắt và vận dụng kiến thức là rất quan trọng Sau đó việc hớng dẫn cho học sinh tự học, tự nghiên cứu là rất cần thiết Cho nên ở mỗi đơn vị kiến thức nhất là đối với phần kiến thức mở trớc hết ngời dạy phải đầu t thời gian tìm tòi nghiên cứu kiến thức, tìm phơng pháp hớng dẫn cho học sinh học tập một cách tích cực chủ động Có nh vậy thì việc dạy và... bài toán phải thông qua phép đặt ẩn phụ và biến đổi mới xuất hiện dạng nghịch đảo Bài toán 1: Cho a ; b ; c là độ dài ba cạnh của một tam giác tìm GTNN của: A= Hd : Đặt Khi đó 4a 9b 16c + + b+ca a +c b a +bc b + c - a = 2x thì có : x , y , z dơng và a = y + z a + c - b = 2y b=z+x a + b - c = 2z c =x+y 2 A = 4 =( y+z z+x x+ y + 9 + 16 x y z 4 y 9x 4 z 16 x 9 z 16 y )+( + ) + )+( + x y x z y z Bài toán2 :... hết lợng 6 8 + x y 14 Rõ ràng với x = y = 3 không giải quyết đợc vấn đề, phải chăng x y ? 6 3 y 8 = x; = x 2 2 y Thử tới x = 2 ; y = 4 thì ổn Khi đó : D= Giải : Ta có 3 6 y 8 3 ( x + y) + x + + + 2 2 x 2 y 3 6 3 y 8 D 6 + 2 x + 2 = = 19 dấu đẳng thức xảy ra ỳ x = 2 ; y = 4 2 x 2 y 2 Vậy Dmin = 19 ỳ x = 2 ; y = 4 Bài 7: Giả sử x1 và x2 là các nghiệm của phơng trình : x2 - 4x +7 - m = 0 (1) với... + Nhận xét: Với GT trên thì chúng ta phải quan tâm đến và "tiêu hoá" hết lợng a + b +c Dự đoán điểm rơi là a = b = c = Giải :Ta có: Tơng tự 1 2 khi đó a+ 1 1 2 a =1 4a 4a b+ 1 4b 1 c+ 1 4c 1 a= 1 1 1 ;c = ;b = 4c 4b 4a 9 3 1 1 1 ( + + ) 2 4 a b c Còn Vậy A Amin = 15 1 dấu đẳng thức xảy ra ỳ a = b = c = 2 2 15 2 1 2 ỳ a=b=c= *Nhận thấy : Bài 3 và Bài 4 chỉ là một vì với các số dơng a ; b ; c ta... hết lợng 1 1 1 + + a b c Dự đoán điểm rơi là a = b = c = 1 a 1 b 1 a 1 a 1 2 khi đó 1 1 1 = 4a; = 4b; = 4c a b c 1 c Giải : Có A = (4a + ) + (4b + ) + (4c + ) 3(a + b + c) Ta có : 4a + 2 4a = 4 Tơng tự có : 4b + 1 b 4 1 c 4 4c + Còn - 3 ( a+b+c ) Vậy A Amin = 9 2 15 1 dấu đẳng thức xảy ra ỳ a = b = c = 2 2 15 2 ỳ a=b=c= 1 2 12 Bài 4: Cho a ; b ; c là các số dơng thoả mãn : 1 a 1 b 1 1 1 + + ... 2b + c + a 2c + a + b 4 16 Hớng dẫn: Đặt x = 2a+b+c; y = 2b+c+a; z = 2c+a+b thì suy ra: x; y; z là các số dơng và: 3x (y+z) = 4a; 3y (x+z) = 4b; 3z (x+y) = 4c a b c ta có: + + 2a + b + c 2b + c + a 2c + a + b 3x ( y + z ) 3 y ( x + z ) 3z ( x + y) + + 4T = x y z x y x z y z =9( + )( + )( + ) y x z x z y = Từ đó với T = *Bằng cách tơng tự mời các em giải bài toán sau: Bài 4: Cho a ; b ; c là... a b dơng b a a b +1+ +1 4 b a a+b a+b + 4 b a 1 1 (a + b)( + ) 4 a b 1 1 4 (2) + a b a+b b/ Tổng quát hoá bài toán ta có: 1 a 1 b 1 c + (a + b + c)( + + ) 9 với a , b , c là các số dơng + (a1 + a 2 + + a n )( 1 1 1 + + + ) n 2 với mọi ai > 0 ; i = 1;2;;n a1 a 2 an c/áp dụng giải các bài tập: Bài tập 1: Cho a ; b là hai số dơng thoả mãn điều kiện : a + b = 1 1 1 + 2 ab a + b 2 2 3 B= + 2 ... "Hớng dẫn học sinh số phơng pháp sử dung bất đẳng thức Cô-Si dạng nghịch đảo" II- Mục đích nghiên cứu: Chỉ số phơng pháp để áp dụng bất đẳng thức Cô-Si dạng nghịch đảo để giải số toán chứng minh bất. .. dung I /Bất đẳng thức Cô-Si: 1 /Bất đẳng thức Cô-Si (Đối với hai số không âm) +Với hai số không âm a b ta có : a+b ab (1) Bất đẳng thức gọi bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân nhà toán. .. minh bất đẳng thức tìm cực trị Hớng dẫn học sinh sử dụng vào giải toán chứng minh bất đẳng thức tìm cực trị (đối với học sinh giỏi ) III- Phơng pháp nghiên cứu +Chứng minh bất đẳng thức Cô-Si