Đang tải... (xem toàn văn)
Sáng kiến được giải C cấp sở, năm học 2015 2016. Sáng kiến có sự đầu tư nghiêm túc, không sợ bị lừa dối. Sáng kiến giúp người xem tham khảo, có thể bổ sung để làm sáng kiến cho riêng mình, hoặc dùng làm tài liệu để giảng dạy ôn thi học sinh giỏi, ôn thi Đại Học...
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐĂK LĂK TRƯỜNG THPT TRẦN QUANG KHẢI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: SỬ DỤNG VECTƠ TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Người viết: Bùi Đình Tùng CưM’gar, tháng 01 năm 2015 SỬ DỤNG VECTƠ TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC A MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Trong chương trình Toán học phổ thông nay, bất đẳng thức nội dung đề cập ít, nằm chương IV, Sách giáo khoa Đại số 10, Ban Và cách chứng minh bất đẳng thức mà sách giáo khoa đề cập tới dừng lại việc sử dụng bất đẳng thức Cô-si biến đổi tương đương Vì vậy, học sinh gặp không khó khăn gặp toán chứng minh bất đẳng thức phân môn Số học, Hình học, Lượng giác Giải tích trường THPT Vì thế, học sinh thường lúng túng, không hứng thú chứng minh bất đẳng thức Từ thực trạng đó, người dạy học phải biết tìm cách khơi dậy niềm đam mê, kích thích tìm tòi, cách cho học sinh làm quen với phương pháp khác để chứng minh bất đẳng thức Từ đó, giúp em tìm cách giải toán chứng minh bất đẳng thức, tìm thấy vẻ đẹp, hấp dẫn độc đáo lời giải toán Trong chương I Sách giáo khoa, Hình học 10, Ban em học sinh tìm hiểu nội dung Vectơ Đây công cụ tốt để giải số toán chứng minh bất đẳng thức cách hiệu Tuy vậy, phần lớn học sinh không nghĩ đến cách sử dụng công cụ vectơ để chứng minh bất đẳng thức Với mong muốn giảm bớt khó khăn cho học sinh, đem lại cho học sinh cách nhìn chứng minh bất đẳng thức, đồng thời nâng cao hiệu dạy học bất đẳng thức, chọn nghiên cứu đề tài: “Sử dụng vectơ chứng minh bất đẳng thức” Mục đích nghiên cứu: SỬ DỤNG VECTƠ TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Nghiên cứu mối quan hệ kiến thức vectơ (cụ thể tính chất vectơ ) với dạng toán bất đẳng thức, từ đưa cách thức vận dụng tính chất để giải số toán chứng minh bất đẳng thức, nhằm mở rộng khả nhìn nhận vấn đề giải toán nói chung chứng minh bất đẳng thức nói riêng Qua đó, giúp cho người dạy học có thêm cách để giải tốt toán bất đẳng thức, góp phần nâng cao hiệu dạy học bất đẳng thức Nhiệm vụ nghiên cứu Đề tài chủ yếu tập trung nghiên cứu số kiến thức vectơ, đặc biệt tính chất vectơ sử dụng chứng minh bất đẳng thức Từ đó, đưa số toán bất đẳng thức sử dụng tính chất vectơ để giải Phương pháp nghiên cứu: + Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu tài liệu, sách tham khảo, đề tài có liên quan đến vấn đề sử dụng vectơ chứng minh bất đẳng thức; tìm hiểu chương trình, sách giáo khoa Toán THPT + Phương pháp nghiên cứu thực tế: Trải nghiệm thực tế thông qua việc dạy học chương IV SGK Đại số 10 Ban cụ thể Bất Đẳng Thức; tìm hiểu vấn đề thông qua việc ôn thi học sinh giỏi chuyên đề Bất đẳng thức Bất phương trình + Phương pháp kiểm chứng sư phạm: Tiến hành dạy kiểm tra khả ứng dụng học sinh nhằm minh chứng bước đầu cho việc dạy em sử dụng kiến thức vectơ chứng minh bất đẳng thức Đóng góp đề tài: - Về lý luận: + Góp phần làm rõ thêm mối quan hệ biện chứng đơn vị kiến thức chương trình Toán học - Về thực tiễn: SỬ DỤNG VECTƠ TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC + Giúp cho học sinh có thêm cách nhìn nhận phương pháp chứng minh bất đẳng thức cách sử dụng vectơ + Góp phần rèn luyện phát triển tư khái quát, tư biện chứng cho học sinh qua giải toán chứng minh bất đẳng thức B NỘI DUNG I CƠ SỞ LÝ LUẬN SỬ DỤNG VECTƠ TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Chứng minh toán học Chứng minh Toán học là: Phép chứng minh mệnh đề (B) dãy hữu hạn mệnh đề A1, A2, , An, B Ai tiên đề, giả thiết, định nghĩa, định lí , kết luận lôgíc số mệnh đề dãy đứng trước nó, (B) đứng cuối dãy kết luận lôgíc số mệnh đề dãy đứng trước Như vậy, chứng minh (B) tìm dãy hữu hạn A 1, A2, , An thỏa mãn: Mỗi Ai (i = 1, 2, , n) dãy tiên đề, định nghĩa, suy từ số A1, A2, , Ai – nhờ quy tắc kết luận lôgíc; An (B); Mỗi chứng minh gồm thành phần: luận (gồm tiền đề), luận chứng (lập luận), luận đề (mệnh đề cần chứng minh) Theo Nguyễn Anh Tuấn (giáo trình Lôgíc toán Lịch sử Toán học, NXB ĐHSP, 2012) Như vậy, để chứng minh bất đẳng thức (coi mệnh đề B) hiểu trình suy luận diễn dịch: Từ giả thiết điều thừa nhận → A1 → A2 → → An → B Phương pháp vectơ • Cơ sở toán học: Phương pháp vectơ xuất phát từ kiến thức phương pháp không gian vectơ hình học giải tích; mà thực chất việc dùng công cụ đại số để nghiên cứu hình học (đại số hóa hình học) Trong dựa hệ tiên đề Weill (với khái niệm vectơ, điểm) dựa hai nhóm tiên đề Trong nghiên cứu hình học, PP vectơ tương tự phương pháp tọa độ, khác gần với phương pháp tổng hợp (còn gọi phương pháp tiên đề - Hình học Ơclit) có thông qua yếu tố vectơ (đoạn thẳng - phương SỬ DỤNG VECTƠ TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC chiều - độ dài) Mặt khác cần thấy rằng: Phương pháp vectơ ứng với quan điểm biến hình, mang màu sắc cấu trúc đại số, thoát ly trực giác so với phương pháp tọa độ • Một số kiến thức vectơ: a Độ dài vectơ r r Trong mặt phẳng Oxy cho vectơ a = (a1 ; a2 ); b = (b1 ; b2 ) Độ dài vectơ r r 2 a là: a = a1 + a2 b Tích vô hướng hai vectơ rr r r r r a.b = a b cos(a, b) c Các tính chất vectơ (sử dụng để chứng minh bất đẳng thức) Trong phạm vi đề tài này, nêu tính chất vectơ sử dụng chứng minh bất đẳng thức Tính chất 1: r r2 (a )2 = a ≥ r r Đẳng thức xảy a = Tính chất 2: r r r r a + b ≥ a+b r r Đẳng thức xảy a b chiều r r r r r r r r r Mở rộng: Với vectơ a, b, c Ta có: a + b + c ≥ a + b + c r r r Đẳng thức xảy a , b c chiều Tính chất 3: rr r r a.b ≤ a b SỬ DỤNG VECTƠ TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC r r Đẳng thức xảy a b phương II MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CÁCH SỬ DỤNG VECTƠ VÀO GIẢI BÀI TOÁN Những toán sử dụng tính chất r r2 (a) = a ≥ Gợi ý sử dụng: Ta thường sử dụng tính chất toán xuất tổng bình phương bình phương tổng Nhưng có toán người ta cố tình dấu xuất tổng bình phương bình phương tổng Đối toán dạng đòi hỏi người học phải phát nhanh, dùng tính chất để biến đổi toán cho Ví dụ Cho tam giác ABC, chứng minh : cos2A + cos2B + cos2C ≥ − Phân tích toán: Chúng ta ý toán có cos2A, cos2B, cos2C Bây giờ, gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, đó: uuu r uuur uuur uuur uuu r uuur cos OA, OB = cos2C , cos OB, OC = cos2 A , cos OA, OC = cos2 B Từ đây, ta nghĩ ( ) ( ) ( ) tới tích vô hướng hai vectơ: uuu r uuu r uuu r uuur uuu r uuu r uuur uuur uuur uuur uuu r uuur OA.OB = OA OB cos OA, OB , OB.OC = OB OC cos OB, OC ( ) uuu r uuur uuu r uuur uuu r uuur OA.OC = OA OC cos OA, OC ( ( ) ) ta gọi R bán kính đường uuu r uuur uuur tròn ngoại tiếp tam giác ABC R = OA = OB = OC Từ đó, ta nghĩ tới việc dùng tính chất để chứng minh Cụ thể sau: Giải: SỬ DỤNG VECTƠ TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Gọi O R tâm bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Ta có: uuu r uuur uuur uuu r uuur2 uuur uuu r uuur uuur uuur uuur uuu r (OA + OB + OC ) = OA + OB + OC + 2(OA.OB + OB.OC + OC OA) ≥ ⇔ 3R + R (cos A + cos B + cos 2C ) ≥ ⇔ cos2 A + cos2 B + cos2C ≥ − 3R =− 2R Suy ra, điều phải chứng minh Ví dụ Cho tam giác ABC Chứng minh rằng: 6cosA.cosB.cosC ≤ cos2A + cos2B + cos2C (1) Phân tích toán: Ta thấy biểu thức cần chứng minh xuất hện tổng bình phương Vì thế, sử dụng tính chất Nhưng toán cần lưu ý, phải xét trường hợp tam giác ABC Vì toán không nói tam giác Cụ thể, ta làm toán sau: Giải Nếu tam giác ABC tam giác tù (có góc tù) (1) hiển nhiên Vì vế trái (1) âm, vế phải dương Nếu tam giác ABC tam giác tù mặt phẳng ta đặt uuuu r uuur uuur vectơ OM , ON , OP cho: uuuu r OM = cos A uuur ON = cos B uuur OP = cos C uuuu r uuur (OM , ON ) = π − Cˆ uuur uuu r (ON , OP) = π − Aˆ r uuur uuuu ( OP , OM ) = π − Bˆ Áp dụng tính chất (1), ta có: SỬ DỤNG VECTƠ TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC uuuu r uuur uuur (OM + ON + OP ) ≥ uuuu r uuur uuu r2 uuuu r uuur uuur uuu r uuu r uuuu r ⇔ OM + ON + OP + 2OM ON + 2ON OP + 2OP.OM ≥ ⇔ cos A + cos B + cos C − 2(cos A cos B cos C + cos A cos B cos C + cos A cos B cos C ) ≥ ⇔ cos A + cos B + cos 2C ≥ cos A cos B cos C Điều phải chứng minh Những toán sử dụng tính chất r r r r r r * a + b ≥ a + b Đẳng thức xảy a b chiều r r r r r r r r r * a + b + c ≥ a + b + c Đẳng thức xảy a , b , c chiều Gợi ý sử dụng: Ta thường sử dụng phương pháp gặp toán chứng minh bất đẳng thức có chứa tổng bậc hai mà biểu thức dấu bậc hai đưa tổng bình phương Ví dụ 1: Chứng minh ∀x, y ∈ R , ta có: cos x cos y + sin ( x − y ) + 4sin x sin y + sin ( x − y ) ≥ Phân tích toán: Vế trái toán tổng hai bậc hai, phía lại tổng bình phương, sẻ thuận lợi dùng r r r r vectơ để giải toán, cụ thể ta sử dụng tính chất a + b ≥ a + b Vậy ta nên chọn vectơ có tọa độ cho phù hợp với toán? Giải: r Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đặt vectơ u = (2cos x cos y;sin( x − y )); r v = (2sin x sin y;sin( x − y )) SỬ DỤNG VECTƠ TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC r r 2 2 2 Ta có: u + v = cos x cos y + sin ( x − y ) + sin x sin y + sin ( x − y ) r r u + v = 4(cos ( x − y ) + sin ( x − y )) = r r r r Áp dụng tính chất: u + v ≥ u + v , ta được: cos x cos y + sin ( x − y ) + 4sin x sin y + sin ( x − y ) ≥ ⇒ điều phải chứng minh Ví dụ 2: Chứng minh a + a + + a − a + ≥ (1) với a thuộc R Phân tích toán: Hai biểu thức bậc hai biến đổi thành 2 2 1 3 1 3 tổng bình phương a + a + = a + ÷ + ÷÷ a − a + = − a ÷ + ÷÷ 2 2 r 3 r 1 3 Từ đó, ta đặt: u = a + ; ÷÷; v = − a; ÷÷, đến sử dụng tính chất 2 2 2, ta điều phải chứng minh Cụ thể sau: Giải: BĐT (1) ⇔ (a + ) + ( ) + ( − a) + ( ) ≥ Trong mặt phẳng 2 1 3 ) ; v = ( − a; ) 2 2 tọa độ Oxy đặt vectơ: u = (a + ; 2 Áp dụng tính chất r r r r u + v ≥ u + v , ta có: 10 SỬ DỤNG VECTƠ TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC 2 2 r r r r 1 3 1 3 u + v = a + ÷ + + − a + ≥ u +v = ÷ ÷ ÷ ÷ 2 ÷ Điều phải chứng minh Ví dụ Chứng minh : x + xy + y + y + yz + z + z + zx + x ≥ ( x + y + z ) với x, y, z > Phân tích toán: Bài toán không khác nhiều so với toán trước Giáo viên cần gợi ý cho học sinh toán phải sử dụng ba vectơ, vế trái toán tổng ba bậc hai Cụ thể, ta làm sau: Giải: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đặt vectơ: y z x u = (x + ; y ); v = ( y + ; z ); w = ( z + ; x); 2 2 2 Áp dụng tính chất: u + v + w ≥ u + v + w , ta có: r r uu r y z x u + v + w = ( x + )2 + ( y) + ( y + )2 + ( z) + ( z + )2 + ( x) ≥ 2 2 2 r r uu r u+v+w = ( x + y + z ) + ( x + y + z ) = 3( x + y + z ) ⇒ điều phải chứng minh 4 Ví dụ 4: Cho a, b, c > ab + bc + ca = abc Chứng minh rằng: b + 2a + c + 2b + a + 2c ≥ ab bc ca 11 SỬ DỤNG VECTƠ TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Phân tích toán: Chúng ta để ý điều kiện toán a, b, c > Và vế trái bất đẳng thức, phía có a, b (b, c, c, a) mẫu số biểu thức có tích a.b ( b.c, c.a) Vì vậy, ta nghĩ tới việc đưa tích a.b, b.c, c.a vào dấu Khi đó, ta toán quen thuộc Cụ thể, sau: 2 + + + + + Trong mặt phẳng tọa độ a b b c c a Giải: Ta có: VT = r a Oxy, đặt ba vectơ: u = ( ; r 2 r uu ); v = ( ; ); w = ( ; ) b b c c a Áp dụng tính chất: u + v + w ≥ u + v + w , ta có: r r r u+v +w= 2 1 1 1 r r r + + + + + ≥ u + v + w = ( + + ) + 2( + + ) = 2 2 2 a b b c c a a b c a b c Suy điều phải chứng minh Ví dụ 5: Cho x + y + z ≤ Chứng minh rằng: x2 + 1 + y + + z + ≥ 82 x y z Phân tích toán: Dễ thấy vế trái bất đẳng thức tổng bậc hai phía bậc hai tổng bình phương Vì vậy, toán sử dụng tính chất Cụ thể, sau: Giải: r r uu r u = ( x ; ); v = ( y; ); w = ( z; ) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đặt ba vectơ: y x z Khi đó, áp dụng tính chất: u + v + w ≥ u + v + w , ta có: 12 SỬ DỤNG VECTƠ TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC r 1 1 1 r r r r r uu u + v + w = x + + y + + z + ≥ u + v + w = ( x + y + z )2 + ( + + )2 x y z x y z 1 2 Ta cần chứng minh ( x + y + z ) + ( x + y + x ) ≥ 82 1 1 Ta có: ≥ x + y + z ≥ 3 xyz ⇒ xyz ≤ ; x + y + z ≥ xyz Đặt t = ( xyz )2 , với 0[...]... DỤNG VECTƠ TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Phân tích bài toán: Chúng ta để ý điều kiện của bài toán a, b, c > 0 Và ở vế trái của bất đẳng thức, phía trong các căn có a, b (b, c, c, a) thì dưới mẫu số của biểu thức đó có tích a.b ( b.c, c.a) Vì vậy, ta nghĩ tới việc đưa các tích a.b, b.c, c.a vào trong dấu căn Khi đó, ta được bài toán quen thuộc Cụ thể, như sau: 1 2 1 2 1 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 Trong mặt... bất đẳng thức là tổng của 3 căn bậc hai và phía trong mỗi căn bậc hai là tổng của các bình phương Vì vậy, bài toán này sử dụng được tính chất 2 Cụ thể, như sau: Giải: r r 1 uu 1 r 1 u = ( x ; ); v = ( y; ); w = ( z; ) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đặt ba vectơ: y x z Khi đó, áp dụng tính chất: u + v + w ≥ u + v + w , ta có: 12 SỬ DỤNG VECTƠ TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC r 1 1 1 1 1 1 r r... nên dễ nhận ra hơn nhiều Cụ thể, VT của bài toán chính ur u r là tích vô hướng của hai vectơ u = ( x; y; z ); v = (1;1;1) , còn VP là tích độ dài của hai vectơ đó Từ đó, ta giải quyết bài toán này như sau: Giải: Trong không gian với hệ tọa độ Đề-các vuông góc Oxyz cho các vectơ: ur u = ( x; y; z ) u r v = (1;1;1) ur r r r Ta có: u.v ≤ u v ⇔ x + y + x ≤ x + y + z 3 là đpcm Ví dụ 4 Cho ba số thực a, b,... b2 + c 2 ) Phân tích bài toán: 15 SỬ DỤNG VECTƠ TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Chúng ta viết bài toán đã cho dưới dạng a.1+ b.1 + c.1 ≤ 3 (a 2 + b2 + c 2 ) Khi đó, ta nghỉ ngay tới VT của bài toán chính là tích vô hướng của hai ur u r vectơ u = (a;b;c); v = (1;1;1) , còn VP là tích độ dài của hai vectơ đó Từ đó, ta giải quyết bài toán này như sau: Giải: Trong không gian với hệ tọa độ Đề-các vuông góc... (a;b;c) u r v = (1;1;1) ur r r r Ta có: u.v ≤ u v ⇔ a + b + c ≤ 3( x + y + z ) là đpcm 16 SỬ DỤNG VECTƠ TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC C KẾT LUẬN Việc sử dụng vectơ để chứng minh các bài toán về bất đẳng thức không những giúp học sinh khắc sâu hơn kiến thức về vectơ, mà nó còn giúp học sinh bớt đi những khó khăn trong chứng minh bất đẳng thức Qua đó, phần nào giúp cho người học năng động hơn, hấp... hơn đối với môn Toán nói chung, bất đẳng thức nói riêng Từ góc độ một giáo viên THPT, xuất phát từ nhu cầu cải tiến và nâng cao chất lượng dạy học môn Toán, tôi đã nghiên cứu vấn đề trên trong phạm vi một SKKN, với nội dung dạy học là “Bất đẳng thức” ở lớp 10 Đóng góp chủ yếu của đề tài ở chỗ đã giúp cho người dạy và học có thêm một cách để giải quyết tốt những bài toán về bất đẳng thức Với một thời gian... VECTƠ TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC 2 2 2 2 r r r r 1 3 1 3 u + v = a + ÷ + + − a + ≥ u +v = 2 ÷ ÷ ÷ 2 ÷ 2 2 ÷ 2 Điều phải chứng minh Ví dụ 3 Chứng minh rằng : x 2 + xy + y 2 + y 2 + yz + z 2 + z 2 + zx + x 2 ≥ 3 ( x + y + z ) với x, y, z > 0 Phân tích bài toán: Bài toán này về cơ bản không khác gì nhiều so với bài toán trước Giáo viên chỉ cần gợi ý cho học sinh trong. .. bậc hai hoặc một số Ví dụ 1 Chứng minh rằng với mọi a, b, c, ta có: ab + cd ≤ (a 2 + c 2 )(b 2 + d 2 ) (3) Phân tích bài toán: Ta thấy biểu thức trong căn ở vế phải của bất đẳng thức là tích của hai biểu thức không âm Do đó, ta có thể biến đổi: 13 SỬ DỤNG VECTƠ TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC (a 2 + c 2 )(b 2 + d 2 ) = a 2 + c 2 b 2 + d 2 Và đây chính là tích độ dài của hai vectơ có tọa độ lần lượt là... tìm hiểu và thực nghiệm tại các lớp giảng dạy (lớp 10A1 năm học 2011-2012, lớp 10A2, 10A7 năm học 2012-2013, lớp 10A1, 10A9 năm học 2014 - 2015) tôi đã trình bày đề tài “Sử dụng vectơ trong chứng minh bất đẳng thức” Nội dung chủ yếu là sử dụng các tính chất của vectơ vào chứng minh bất đẳng thức Với thời gian nghiên cứu có hạn, cũng như kinh nghiệm giảng dạy còn ít, rất mong các thầy cô là anh, chị đi... đề bất đẳng thức nói riêng Tôi xin chân thành cám ơn! 17 SỬ DỤNG VECTƠ TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC TÀI LIỆU THAM KHẢO 1 SGK Đại số 10 - Ban cơ bản 2 Nguyễn Anh Tuấn (2012), Giáo trình Lôgic toán và Lịch sử Toán học, NXB ĐHSP, Hà Nội 3 Nguyễn Anh Tuấn (2014), Tài liệu tập huấn chuyên đề "Một số vấn đề về sáng kiến kinh nghiệm trong dạy học Toán", Đak Lak 4 Nguyễn Mộng Hy Các bài toán về phương pháp ...SỬ DỤNG VECTƠ TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC A MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Trong chương trình Toán học phổ thông nay, bất đẳng thức nội dung đề cập ít, nằm chương IV, Sách giáo... bất đẳng thức, tìm thấy vẻ đẹp, hấp dẫn độc đáo lời giải toán Trong chương I Sách giáo khoa, Hình học 10, Ban em học sinh tìm hiểu nội dung Vectơ Đây công cụ tốt để giải số toán chứng minh bất đẳng... quát, tư biện chứng cho học sinh qua giải toán chứng minh bất đẳng thức B NỘI DUNG I CƠ SỞ LÝ LUẬN SỬ DỤNG VECTƠ TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Chứng minh toán học Chứng minh Toán học là: Phép