ệ ệ r é ữỡ Pừ tỹ sr sr tr sr sr tỹ ỗ ữỡ tỗ t tỹ t rt tọ t ởt số t õ tỹ õ tỹ t tr t t ệ ệ tỗ t tỹ t tỹ ỗ tọ t é sr ởt ổ q trồ tr ự rt ởt ỹ ợ tú õ ự t t t ữợ t tr sr t rt õ t ợ rt r trữớ qố r ố t ữ r t tr õ õ t sr t tổổ r t tự ữớ t t r ọ F õ r t t õ t t sr õ tổ q t õ ữ t t tỹ tr r ổ tỹ t t ợ ữ tr sr tr t sr t F ởt t q rt t ọ t út sỹ q t ự t ữ rt r rr t t t q t ữủ ự t õ ỵ ợ ỳ õ ú tổ t tỗ t tỹ t rt tổ q t ú tổ t tr ởt tố ự ởt số t q õ ởt t õ tỹ t ỳ t q t ữủ t ự ỳ t q õ ợ õ ữủ tr tr ữỡ ữỡ Pừ tỹ sr r ữỡ ú tổ tr t t ỡ s ử ữỡ ữ sr sr t rt t tỹ ỗ tọ t tỹ ữỡ tỗ t tỹ t rt tọ t ữỡ ú tổ tr ởt số t q t ữủ t rt õ tỹ ữ ởt số t õ tỹ õ tỹ t tr t t tỗ t tỹ t tỹ ỗ tọ t ữủ t t trữớ ữợ sỹ ữợ ổ ụ ỗ tọ ỏ t ỡ s s t tợ ổ ụ tọ ỏ ỡ t tợ ổ tr tờ t rữớ t t ú ù t tr sốt q tr t ự ỷ ỡ t t qỵ ổ rữớ trữớ ỗ t t ủ ú ù t t t õ tỹ ữủ ũ õ ố s ổ tr ọ ỳ t sõt ú tổ rt ữủ ỵ õ ỵ ổ ữủ t ỡ tr trồ ỡ t ì Pế ĩ r ữỡ ú tổ tr ỡ s ử ữỡ ữ sr sr t rt t tỹ ỗ tọ t tỹ U Rn, U = ữớ U |U | ữủ |U | = sup{|x y| : x, y U } r õ |x y| tổ tữớ tứ x y n ợ ộ > ởt {Ui } i=1 ợ Ui R ữủ < |Ui | i Ui U i=1 ổ õ sỹ s t ỵ {Ui } t {Ui } i=1 ợ F Rn , s > t t Hs (F ) |Ui |s : {Ui } F } = inf{ i=1 t sỷ F Rn, s trữợ õ Hs(F ) t < t Hs1 (F ) Hs2 (F ) ữ 0+ t Hs (F ) ỡ t ổ tỗ t lim+ Hs (F ) ũ ợ õ t ỵ Hs (F ) = lim+ Hs (F ) õ t q s F Rn, s t Hs(F ) = lim Hs (F ) t + t Hs : P(Rn )R tr Rn ợ P(Rn ) ợ tt t Rn s Hs õ tr ữủ sr tr Rn t ỵ Hs F Rn tọ < Hs (F ) < + ữủ st ởt số t t ỡ sr ữủ sỷ tr sỷ X = (X, d) ổ tr õ số ọ t ợ t tr ổ tr X ữủ số r ổ X ỳ t tở số ữủ t r tr ổ X õ r tt t r ữủ ợ ộ A X t tỗ t t r B A s à(A) = à(B) s F Rn õ t õ ợ > F = {x : x F } t Hs (F ) = s Hs (F ) F Rn f : F Rn ởt r tỗ t số c > > |f (x) f (y)| c|x y| , x, y F t s s H (f (F )) c Hs (F ) ứ tr t õ q s q t r tr Rn s f st tỗ t số c > s |f (x) f (y)| c|x y|, x, y F t Hs (f (F )) cs Hs (F ) f ỹ |f (x) f (y)| = |x y| x, y F t Hs (f (F )) = Hs (F ) ỵ sỷ F t r tr Rn ợ Hs (F ) = + õ tỗ t t t E F s < Hs (E) < + F t r tr Rn tọ < Hs (F ) < + õ tỗ t số b > t t E F ợ Hs (E) s Hs (E Br (x)) brs ợ x Rn r > ứ ỵ t õ q s q F t r tr Rn ợ Hs(F ) = + õ ổ tỗ t t t E F ợ Hs (E) > s ợ số b > t õ Hs (E Br (x)) brs ợ x Rn r > C ữớ trữớ t H1 (C) = L(C) ợ L(C) s C ự x, y C Cx,y ữớ (C) ố x ợ y Ox, Oy ổ t t õ Hs (Cx,y ) H1 ([x, y]) = |x y| ợ [x, y] t ố x ợ y õ ợ n + t C x0 , x1 , , xn t õ n n H1 (Cxi ;xi ) H (C) |xi xi1 | i=1 i=1 õ L(C) H1 (C) t f : [0, L(C)] C t [0, L(C)] t ởt tở C tứ õ ố t C t ó r |f (t) f (u)| |t u| ợ t, u L(C) H1 (C) L(C) tứ t õ ự d tr tổ tữớ tr Rn A ởt t ổ tr (Rn , d) ợ ộ x Rn t t d(x, A) = inf{d(x, y) : y A} t d(x, A) tứ x t A > t A = {x Rn : d(x, A) } ỗ ỳ t A ởt ổ q t A ỵ t t rộ tr Rn K ợ t t rộ õ dH : K ì KR (A, B) dH (A, B) = inf{ > : A B , B A } tọ dH (A, B) = max sup d(x, B); sup d(y, A) xA yB dH ởt tr tr K ỡ ỳ ổ (K, dH ) ởt ổ tr tr dH tr K tr ỵ ữủ tr sr tr K D = D Rn f : DD f ữủ tr D tỗ t c [0; 1) |f (x) f (y)| c|x y|, x, y D c ữủ t số f tr t tự tr r t f ữủ ỗ c ữủ t số ỗ f ởt ỳ ỗ m {S1, , Sm} tr D ữủ t tt trt t st tr D tt số t t t tt r trt t st tr D ỵ {S1, , Sm} tr S : KK m E S(E) = Si (E) i=1 t ợ A, B K t õ dH (S(A), S(B)) cmax dH (A, B) ợ cmax = max {ci } ci t số Si , i = 1, , m 1im ỵ t KdH ởt ổ tr t ỵ t S õ t ỵ t õ t q s ỵ {S1, , Sm} tr D S ữủ õ tỗ t t ởt t F K s S(F ) = F F = m Si (F ) i=1 ỡ ỳ õ t E K s Si (E) E ợ i m t S k (E) F = k=1 ợ S k sỹ k S (k = 1, 2, ) {S1, , Sm} tr D F ữủ ữ tr ỵ ữủ t t t út {S1 , , Sm } Si (1 i m) ỗ t t t F ữủ t tỹ ỗ t số ỗ ỗ Si tọ c1 = c2 = = cm t t tỹ ỗ F ữủ t tỹ ỗ õ r {S1, , Sm} tọ t t t tỗ t t V rộ V m S (V ) i i=1 Si (V ) Sj (V ) = i = j Si (E) Sj (E) = ợ i = j t E ữủ tọ t tr rt t sỷ F Rn, < s < t õ t õ Ht (F ) ts Hs (F ) ứ t õ s F t r s < t Hs (F ) < + t Ht (F ) = Ht (F ) > t Hs (F ) = + ứ t õ ỵ s ỵ F Rn õ tỗ t t ởt tr sF [0, +) s Hs (F ) = ợ s > sF Hs (F ) = ợ s < sF F Rn sr sF [0; +) õ tr ỵ ỵ H F ữ t tự t õ t dimH F = inf{s : Hs (F ) = 0} = sup{s : Hs (F ) = } ợ ộ s t õ F tr di i , ợ i m 1, i < j m (m 3), t i m Hs (E) |E|s ợ s tọ si = i=1 ự sỷ U ởt õ t t t õ m s s |U Ik |s |U | |U I| |U Ij |s jn k=1 n = {J n : IJ U = } t IJ Jn (IJ U ) = Jn Jn (IJ U) = U ( IJ ) U E Jn = max k < < àn = max à(IJ ) t m Jn 1km àn 0, n ữ |U |s |U IJ |s Jn |U IJ |s + IJ U s |U IJ |s IJ U s |IJ | + |U I | + |U I |s IJ U Jn |IJ |s |I |s |I |s + |U I |s + |U |IJ |s + (|U Jn I |s I |s |I |s ) + (|U I |s |I |s ) |IJ |s 2àn Jn à( IJ ) 2àn à(U E) 2àn = à(U ) 2àn Jn ợ I tở ỡ s tự n ự ố tr t U I ỡ s tự n ự U n t ỵ sỹ ố ố ữủ t õ Hs (E) |E|s ữủ ự ỵ E t tr t t tr [0, 1] tọ t t Hs (E) = |E|s dji ji m i m 1, i < j m (m 3) s tọ si = i=1 ự ự ữỡ ự sỷ tỗ t i0 j0 s dji00 < ji00 I (1) = S1 (I), I (2) = S2 (I), , I (i0 1) = Si0 (I), I (i0 ) = [Si0 (0), Sj0 (1)], I (j0 +1) = Sj0 +1 (I), , I (m) = Sm (I) õ I (1) , , I (i0 1) , I (i0 ) , I (i0 +1) , I (m) t t ởt ừ E t t t tỹ ỗ t õ Hs (E) |I (1) |s + |I (2) |s + + |I (i0 1) |s + |I (i0 ) |s + |I (j0 +1) |s + + |I (m) |s = s1 +s2 + +si0 +(i0 +di0 ,i0 +1 +i0 +1 + +dj0 1,j0 +j0 )s +sj0 +1 + +sm = s1 + s2 + + si0 + (i0 + i0 +1 + + j0 + dji00 )s + sj0 +1 + + sm < s1 + s2 + + si0 + (i0 + i0 +1 + + j0 + ji00 )s + sj0 +1 + + sm = s1 + s2 + + si0 + si0 + si0 +1 + + sj0 + sj0 +1 + + sm m = sk = |E|s k=1 t t õ Hs (E) = |E|s ợ I = [0, 1] q E t t ữủ s r S1 (x) = x S2 (x) = x + (1 ) tọ t t Hs (E) = |E|s ợ s tọ s1 + s2 = q E t tr t t t t t Hs (E) = |E|s (k + dj,j+1 + + dj+k2,j+k1 )s ks , j + k m + S1(x) = 41 x S2(x) = 41 x + 13 S3(x) = 31 x + 32 ỗ tr I = [0, 1] E ởt t t q S1 S2 S3 ợ s tọ 2( 41 )s + ( 31 )s = t t ữủ s = 0, 8567 1 1 1s 3 d = d = , d = d + d = = 2( 2,3 1,2 2,3 1 12 12 ) = 0, 0615 (( 41 )s + ( 13 )s ) s 12 = 0, 0707 31 = 16 ó r d11 21 d31 31 d32 32 d21 = d1,2 = 32 = tọ ỵ t õ Hs (E) = |E|s = Pế ĩ ế P ĩ P é {S1 , , Sm } tọ s = dimH E ợ E t s {S1 , , Sm } t < Hs (E) < õ ợ k N, = {1, , m}k t h = {(d(Si (E); Sj (E)) : i, j {1, , m}, i = j} > 0; m csi = 1; p = i=1 i{1, ,m} ci ; t = max ci i{1, ,m} = (1 , , k ) t c = c1 ck , S = S1 Sk E = S (E); I = {i {1, , m} : E Si (E) = }; k0 = min{k m : |E| h.p.tk(s1) } {S1 , , Sm } tọ t s < k0 tr ổ tự t t = {E : {1, , m} , r(I ) > 1, H (E) = k0 s |E |s } s c ợ r(I ) ỹ ữủ t I Si tr (Rn , d) ổ tỗ t t xi = Si (xi ) i = 1, 2, , m t = {xi : i = 1, 2, , m} õ ợ = I {1, , m} I = {xi : i I} m 3, t = max{( || s r(I) ) : I {1, , m}, r(I) < m} |I | m ỵ dmin () = min{|x y| : x, y , x = y} ợ ữ tr t õ s ợ ữ tr c số ỗ tt tr {S1 , , Sm } E t t õ t õ || t |E| < 12c () < dmin 4|| t c < c m tọ ự ó r r xi Si (E) ợ i {1, , m} E = Si (E) E t t t õ i=1 ợ k, l {1, , m} x Sk (E); y Sl (E) t |E| = |x y| |x xk | + |xk xl | + |xl y| |Sk (E)| + || + |Sl (E)| = 2c|E| + || c < |E|(1 2c) || (1 2c) > s r |E| || 12c ữ ữủ ự t ủ ợ c < dmin () 4|| < 12 , t õ 2c || 2c 2c|E| c < dmin () 4|| < s r 2c < dmin () 2|| dmin () 2|| dmin () = 2|| 2|| 2c dmin () 2|| dmin () > = 2c 2|| 2|| dmin () 2|| dmin () õ 2c > () ứ t õ dmin () || 2|| dmin () d () = () dmin || 2c|E| < dmin () õ Si (E) Sj (E) B(xi , c|E|) B(xj , c|E|) = ợ i, j {1, , m} i = j tọ ợ k N, s = dimH E E t tỹ ỗ c < 2m2 t (1 2ck )s > 1 c(k+1)s ự õ < s = ck < ( log(m) log(c) < c < 2m2 õ 1 k ) = < , 2m2 2k m2k 2m(k+1) ck < 2m(k+1) , 2ck > 2m(k+1) =1 m(k+1) t õ 1 log(c) log(m) (k+1) log(m) log(c) 1c = m(k+1) (k+1) log(m) log(c) 1c > log(c) log(m) log(c) log(m) õ (1 2ck ) log(m) log(c) log(m) > c(k+1) log(c) (1 2ck )s > 1 c(k+1)s ữ ữủ ự t c0 = min{(2m2 )1 , dmin () (1 )} ợ m || t õ ỵ s ỵ ỗ m ỗ õ ũ t số ỗ c t t m sỷ < c < c0 t tọ s = dimH E < ợ E t tỹ ỗ ỡ ỳ t õ Hs (E) = |E|s ự t = { || r(I) : I {1, , m}, r(I) < m} |I | m < t < tở ổ tở số c õ c0 tở t m c0 = { 2m1 , 14 d () || (1 )} < m t tọ ố k0 tr ợ {1, , m}k c < c0 c < log(m) log(c) s= m < t õ |E |s H (E) = |E|s s c s sỷ |E | = |E| E = m Si (E) s r E{1, ,m}k0 = E õ tứ m csi = s r i=1 i=1 cs = {1, ,m}k0 = {1, , m}k0 t t õ |E{1, ,m}k0 |s |E |s H (E) |E| = < cs cs s s {1, ,m}k0 t ợ õ = {1, , m}k0 = E Hs (E) = |E|s t |E | < |E| I = {i {1, , m} : E Si (E) = } t trữớ ủ s rữớ ủ {1, , m}\I = õ m csi = i=1 cs cs = iI r(I ) m I = {i {1, , m} : E Si (E) = } |E | | Si (E)| max |Si (E)| iI iI = | Si (E)| 2c|E| iI |I | 2c|E| t õ |E | |I | 2c || 2c ứ s r || s (|I | 2c 12c ) |E |s r(I ) cs m |I |s = r(I m (1 ) 2c || s ) 2c |I | ||s || s (1 2c 2c ) (1 2c)s ||min õ || ||min (1 2c 2c ||||min ) (1 4c ||||min ) ợ < s < < < m c0 = min{(2m2 )1 , d () (1 )} || õ ợ tt < s < 1, < < t õ (1 4c |E |s cs || ) > ||min |E|s s1 > |E|s t ợ trữớ ủ ổ r rữớ ủ I = {1, , m} I = {i I : Si(E) E} t I = I = {1, , m} E = m Si (E) s r E = E i=1 õ |E | = |E| t ợ sỷ |E | < |E| t I\I = õ x, y E s |E| = |x y| x, y E , t |E| |E | t ợ sỷ |E | < |E| õ t õ t sỷ x E\E E = m Si (E) i {1, , m} tỗ t i=1 x Si (E)\E i I \I ởt số ki ợ (i) = (1 (i), , ki (i)) {1, , m}ki õ t t s x S1 (i) Ski (i) (E) (i) = i S1 (i) Ski (i) (E) E = S1 (i) Ski (i) (E) E = ố j {1, , m} ợ y Sj (E) j I \I t t tỹ ữ tr kj tữỡ tỹ ữ i I \I t õ (j) {1, , m}kj ợ t t j I kj = (j) = (1 (j), (j)) {1, , m}2 s (j) = j y S1 (j) S2 (j)(E) õ tỗ t x S(i) (E) E , y S(j) (E) E |E| |x x | + |x y | + |y y| |S(i) (E)| + |E | + |S(j) (E)| |E | + 2|E| max(cki , ckj ) = |E | + 2|E|.cmin(ki ,kj )1 t t õ cs = cski , j I (cski + cskj ), j I \I ki kj = j I, t õ cs cs min(ki ,kj ) t k =(ki , kj ) t õ k1 |E |s s 2c |E| cs ck.s s > |E|s , |E |s cs t ợ sỷ Hs (E) = |E|s ữ ỵ ữủ ự ỵ t õ q s q õ ũ số ỗ c t t ổ tở t số c õ tỗ t số ữỡ tở t t s ợ ộ t số ỗ c ọ ỡ số ữỡ t tọ s < 1, Hs (E) = |E|s ự t t t số c t ố ổ tở t số c ợ m < s = || dmin () s c t t log(m) log(c) m1 m m1 m < t õ [0, 1] õ ợ c1 > c [0, c1 ] t || dmin () s m1 m 2m (c) < 2m ợ c0 t õ = (c1 ) c1 tở c0 ữủ ữ c [...]... ; 382 ) ỳ t F2 = [0; 1 2 3 6 7 8 ] [ ; ] [ ; ] [ ; 1] 32 32 32 32 32 32 ữ ố ợ ộ ỏ ừ F2 ự t tử ỏ s q tr õ t ồ t tr F ọ ữợ tự k tr [0; 1] t r t tr ồ ũ k ừ t tr F ( 31 ; 23 ) ồ ũ ( 312 ; 322 ), ( 372 ; 382 ) ũ ữợ tự k t õ 2k1 ũ k ộ õ ở 3k t tờ ở ừ ũ 1 1 1 + 2 2 + + 2k1 k + = 1, 3 3 3 õ àL (F ) = 0 r õ àL (F ) = 0 ở s t õ F0 = [0; 1]; F1 = 0;... + |U I |s IJ U Jn |IJ |s |I |s |I |s + |U I |s + |U |IJ |s + (|U Jn I |s I |s |I |s ) + (|U I |s |I |s ) |IJ |s 2àn Jn à( IJ ) 2àn à(U E) 2àn = à(U ) 2àn Jn ợ I tở ỡ s tự n ự ố tr ừ t U I ỡ s tự n ự ừ U n t ỵ sỹ ố ố ữủ t õ Hs (E) |E|s ữủ ự ỵ E t tr t t tr [0, 1] tọ t t Hs (E) = |E|s dji ji m 1 i m 1, i < j m (m 3) s tọ si = 1 i=1 ự ừ... = c2 = 1/3 tọ t ợ V = (0, 1) õ t ỵ t H F = s ừ ữỡ tr m 1 1 csi = ( )s + ( )s = 1 3 3 i=1 H F = s = log 2 log 3 ự ợ s = t log 2 log 3 Hs (F ) = |F |s = 1 t t ồ ộ ừ Fk tr q tr ỹ F ỡ s tự k õ Fk õ 2k ỡ s k ợ ộ 3k ừ F õ t õ 2k H3sk (F ) | s i| = 2k (3k )s = ( i=0 2 k ) = 1 3s t õ Hs (F ) 1 t ợ > 0 tỗ t k < 3k t õ ữớ |Ui | < < 3k ợ t ởt tỷ ừ Fk t {Ui } ừ Fk... )s = 1 (4) lim k k i=1 ứ t õ Hs (F ) = 1 ợ s = log 2 log 3 t |F | = 1 õ |F |s = 1 tứ t õ t tr F t õ ừ tỹ ử tr õ ừ tỹ t t tứ ổ ỡ õ t ổ ọ õ ở 31 ỳ ổ ọ ổ ự t tử ữ t ữợ tự k t ỳ 3k ổ 1 3k tr ữủ ổ õ t t ữủ ử tr F1 ữỡ tỹ ữ t tr t ụ ự ữủ ử tr t tỹ ỗ s {fi }4i=1 tr R2 õ ũ t số ỗ c1 = c2 = c3 = c4 = 1/3 f1 (x, y) = x y , f2 (x, y) = ; 3 3 x y 2 , ;... ồ E (m, i ) t t i = ợ ồ i = 1, , m t E ữủ ồ t t t ợ I = [0, 1] n N, t n = {(j1 , , jn ), 1 ji m, 1 i n , ợ j n I {1, m} j k = {j1 , .jn , k} Sj = Sj1 Sjn t ồ Ij = Sj (I) ỡ s tự n ữợ Sj = I ợ n = 0 n = 1 t õ m s t (S(I), , Sm (I)) m I = [0, 1] ồ E t t ừ {S1 , , Sm } E = t Si (E) õ E ữủ ồ t tr t i=1 i = , i = 1, , m t E ữủ ồ t tr t t t t ợ ữ tr t t tr... 0 < s < 1 J n m 3 dji ji , i = 1, , m 1, i < j m t m s |U IJk |s |U IJ | (1) k=1 ự ợ J n , 1 k m (m 3) sỷ |IJ | = l t |IJk | = k l ự ờ t ữợ õ m 1 m ự tr {U IJk 1 k m} t t tự ổ ú õ m j (2 j < m 1) ự tr {U õ j t n + 1 ỡ s tọ U IJk ; 1 k m} t IJk = sỷ ợ ỳ j t õ tứ tr q IJi , IJ(i+j) , , IJ(i+j2) , IJ(i+j1) , ợ 1 i m j + 1 sỷ |U IJi | = (i x)l,...Hs (F ) = s < dimH F s > dimH F 0 t s = dimH F t Hs (F ) õ t tr ỳ ỵ {S1, S2, Sm} tr Rn tọ ỗ ỗ ợ t số ỗ tữỡ ự ci (0; 1), i = 1, , m F t t q {S1 , S2 , Sm } tự m F = Si (F ) õ dimH F = s ợ s t ừ ữỡ i=1 tr m csi = 1 i=1 F Rn s = dimH F tỗ t ừ {Ui } ừ F s Hs (F ) = |Ui |s i=1 t {Ui } ữủ ồ ừ tốt t st r Hs (F ) = |F |s t t õ F õ ừ tỹ tr r... ,m} ci ; t = max ci i{1, ,m} = (1 , , k ) t c = c1 ck , S = S1 Sk E = S (E); I = {i {1, , m} : E Si (E) = }; k0 = min{k m : |E| h.p.tk(s1) } {S1 , , Sm } tọ t s < 1 k0 tr ổ tự t t = {E : {1, , m} , r(I ) > 1, H (E) = k0 s |E |s } s c ợ r(I ) ỹ ữủ ừ t I Si tr (Rn , d) ổ tỗ t t ở xi = Si (xi ) i = 1, 2, , m t = {xi : i = 1, 2, , m} õ ợ = I {1, , m} I ... ự t tử ỏ s q tr õ t t tr F ọ ữợ tự k tr [0; 1] t r t tr ũ k t tr F ( 31 ; 23 ) ũ ( 312 ; 322 ), ( 372 ; 382 ) ũ ữợ tự k t õ 2k1 ũ k ộ õ 3k t tờ ũ 1 +... |s |I |s ) |IJ |s 2àn Jn à( IJ ) 2àn à(U E) 2àn = à(U ) 2àn Jn ợ I tở ỡ s tự n ự ố tr t U I ỡ s tự n ự U n t ỵ sỹ ố ố ữủ t õ Hs (E) |E|s ữủ ự ỵ E t tr t t tr... Hs (F ) = ợ s > sF Hs (F ) = ợ s < sF F Rn sr sF [0; +) õ tr ỵ ỵ H F ữ t tự t õ t dimH F = inf{s : Hs (F ) = 0} = sup{s : Hs (F ) = } ợ ộ s t õ F tr Hs (F ) = s