MỤC LỤC Mở đầu SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG BỘ ĐÔI TRONG KHÔNG GIAN MÊTRIC CÓ THỨ TỰ BỘ PHẬN 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.2 Sự tồn điểm bất động đôi không gian mêtric có thứ tự phận SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG BỘ ĐÔI TRONG KHÔNG GIAN MÊTRIC NÓN CÓ THỨ TỰ BỘ PHẬN 15 2.1 Không gian mêtric nón 15 2.2 Sự tồn điểm bất động đôi không gian mêtric nón có thứ tự phận 18 Kết luận 36 Tài liệu tham khảo 37 MỞ ĐẦU Lý thuyết điểm bất động chủ đề quan tâm nghiên cứu giải tích, có nhiều ứng dụng lý thuyết tối ưu, lý thuyết trò chơi, bao hàm thức vi phân nhiều ngành kỹ thuật khác Một số kết tồn điểm bất động tiếng xuất từ đầu kỷ XX, phải kể đến nguyên lý điểm bất động Brouwer (1912) nguyên lý ánh xạ co không gian mêtric đầy đủ Banach (1922) Các kết kinh điển mở rộng cho lớp ánh xạ lớp không gian khác Một hướng mở rộng đưa khái niệm điểm bất động đôi ba ánh xạ từ X × X vào X từ X × X × X vào X tương ứng Sau tìm điều kiện cho tồn điểm bất động đôi, ba Năm 2006, Bhashkar Lakshmikanthma [4] đưa khái niệm điểm bất động đôi không gian mêtric đầy đủ có thứ tự phận Khái niệm điểm bất động ba giới thiệu nghiên cứu Berinde Borcut [3] vào năm 2011 Cũng năm 2011, Hui-sheng Ding [5] nghiên cứu điểm bất động đôi không gian mêtric nón có thứ tự phận Để tìm hiểu lý thuyết điểm bất động, dựa vào báo: Couple fixed point theorems in partially ordered cone metric spaces tác giả Huisheng Ding Lu Li (2011) nhiều tài liệu khác, tiếp cận hướng để nghiên cứu tồn điểm bất động đôi ánh xạ không gian mêtric nón có thứ tự phận Các kết luận văn chủ yếu có tài liệu tham khảo, tìm hiểu, trình bày cách chi tiết, chứng minh chi tiết nhiều kết mà tài liệu tham khảo không chứng minh chứng minh vắn tắt Bên cạnh đó, đưa vài kết mới, : Bổ đề 2.2.6, Định lý 2.2.7 Hệ 2.2.8, 2.2.9, 2.2.10, 2.2.11 Luận văn trình bày thành hai chương : Chương 1: Sự tồn điểm bất động đôi không gian mêtric có thứ tự phận Chương trình bày số kết tồn điểm bất động đôi không gian mêtric có thứ tự phận Chương 2: Sự tồn điểm bất động đôi không gian mêtric nón có thứ tự phận Chương trình bày số kết tồn điểm bất động đôi không gian mêtric nón Luận văn hoàn thành bảo tận tình PGS.TS Đinh Huy Hoàng Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Tôi xin trân trọng cảm ơn thầy cô giáo thuộc chuyên ngành Giải tích, khoa Toán học phòng Đào tạo Sau Đại học trường Đại học Vinh giúp đỡ có điều kiện thuận lợi Cuối cùng, xin cảm ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn bè học viên lớp Cao học 19 - Giải tích Mặc dù có nhiều cố gắng, song luận văn không tránh khỏi hạn chế, thiếu sót Chúng mong nhận ý kiến đóng góp thầy cô bạn để luận văn hoàn thiện Tác giả CHƯƠNG SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG BỘ ĐÔI TRONG KHÔNG GIAN MÊTRIC CÓ THỨ TỰ BỘ PHẬN Chương trình bày số kết tồn điểm bất động đôi không gian mêtric có thứ tự phận 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị Mục trình bày số khái niệm kết không gian mêtric, thứ tự phận, 1.1.1 Định nghĩa ([4]) Giả sử X tập khác rỗng ≤ quan hệ hai X Quan hệ ≤ gọi thứ tự phận X với x, y, z ∈ X , ta có i) x ≤ x; ii) Từ x ≤ y y ≤ x suy x = y ; iii) Từ x ≤ y y ≤ z suy x ≤ z Tập X với thứ tự phận gọi tập thứ tự phận ký hiệu (X, ≤) X 1.1.2 Định nghĩa ([4]) Giả sử ≤ quan hệ hai X A ⊂ X Tập A gọi dây chuyền X A tuyến tính, tức với x, y ∈ A x ≤ y y ≤ x 1.1.3 Bổ đề Zorne ([4]) Giả sử ≤ tập thứ tự phận khác rỗng Khi đó, dây chuyền X có cận X có phần tử cực đại 1.1.4 Định nghĩa ([4]) Cho tập hợp X = ∅ Hàm d : X × X → R thỏa mãn điều kiện: i) d(x, y) ≥ với x, y ∈ X d(x, y) = ⇔ x = y; ii) d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X; iii) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z), ∀x, y, z ∈ X gọi mêtric (hay khoảng cách) X Tập X với mêtric d gọi không gian mêtric ký hiệu (X, d) X 1.1.5 Định nghĩa ([4]) Cho không gian mêtric (X, d) tập M X Ta xác định hàm dM : M × M → d cho dM (x, y) = d(x, y), với x, y ∈ M Khi dM mêtric M Ta gọi không gian mêtric (M, dM ) không gian không gian (X, d) Mêtric dM gọi mêtric cảm sinh d M 1.1.6 Định nghĩa ([4]) Dãy {xn } không gian mêtric (X, d) gọi hội tụ tới x ∈ X d(x, xn ) → n → ∞ ký hiệu xn → x lim xn = x n→∞ 1.1.7 Nhận xét 1) Trong không gian mêtric (X, d) dãy hội tụ điểm 2) Nếu xn → x yn → y d(xn , yn ) → d(x, y) 1.1.8 Định nghĩa ([4]) Giả sử (X, d) không gian mêtric, dãy xn ⊂ X gọi dãy Cauchy (dãy bản) lim d(xn , xm ) = n,m→∞ Không gian mêtric (X, d) gọi không gian mêtric đầy đủ dãy Cauchy X hội tụ 1.1.9 Định nghĩa ([4]) Giả sử (X, d) không gian mêtric hàm f : X → R Hàm f gọi nửa liên tục X với r ∈ R tập x ∈ X : f (x) ≤ r đóng X 1.1.10 Định lý ([4]) Giả sử (X, d) không gian mêtric hàm f : X → R Khi đó, f nửa liên tục X lim f (xn ) ≥ f (x) n→∞ với {xn } ⊂ X mà lim xn = x n→∞ 1.1.11 Định nghĩa ([4]) Giả sử X không gian tuyến tính trường K(K = R K = C) : X → R Hàm gọi chuẩn X i) x ≥ với x ∈ X; x = ⇔ x = 0; ii) αx = |α| x , ∀α ∈ K, x ∈ X; iii) x + y ≤ x + y , ∀x, y ∈ X Không gian tuyến tính X với chuẩn gọi không gian định chuẩn ký hiệu (X, ) X Nếu (X, ) không gian định chuẩn công thức d(x, y) = x − y , ∀x, y ∈ X xác định mêtric X Ta gọi mêtric mêtric sinh chuẩn Không gian định chuẩn X gọi không gian Banach X với mêtric sinh chuẩn không gian đầy đủ 1.2 Sự tồn điểm bất động đôi không gian mêtric có thứ tự phận Mục trình bày số khái niệm điểm bất động số định lý tồn điểm bất động đôi không gian mêtric có thứ tự phận 1.2.1 Định nghĩa ([3]) Giả sử (X, ≤) tập thứ tự phận ánh xạ F : X × X → X Ta nói F có tính đơn điệu hỗn hợp với x, y ∈ X ta có x1 , x2 ∈ X, x1 ≤ x2 ⇒ F (x1 , y) ≤ F (x2 , y), y1 , y2 ∈ Y, y2 ≤ y1 ⇒ F (x, y1 ) ≤ F (x, y2 ) 1.2.2 Định nghĩa ([3]) Ta gọi phần tử (x, y) ∈ X điểm bất động đôi ánh xạ F : X × X → X F (x, y) = x F (y, x) = y Nếu (X, ≤) tập thứ tự phận không gian tích X có thứ tự phận xác định sau (x, y), (u, v) ∈ X × X, (u, v) ≤ (x, y) ⇔ x ≥ u, y ≤ v 1.2.3 Ví dụ 1) Giả sử p : R × R → R hàm cho công thức p(x, y) = x với (x, y) ∈ R2 Khi đó, R ta xét quan hệ ≤ thông thường p có tính đơn điệu hỗn hợp điểm (x, y) ∈ R2 điểm bất động đôi p Chứng minh Với x1 , x2 ∈ R, x1 ≤ x2 ta có p(x1 , y) = x1 ≤ x2 = p(x2 , y), ∀y ∈ R với y1 , y2 ∈ R, y1 ≤ y2 ta có: p(x, y1 ) = x = p(x, y2 ), ∀y ∈ R Do đó, p có tính đơn điệu hỗn hợp Với (x, y) ∈ R2 ta có p(x, y) = x, p(y, x) = y Do đó, (x, y) điểm bất động đôi p 2) Trên R ta xét quan hệ ≤ thông thường Khi đó, hàm ✷ T (x, y) = x + y, ∀(x, y) ∈ R2 tính đơn điệu hỗn hợp có điểm bất động (0, 0) Chứng minh.Ta có T (0, 1) = < T (0, 2) = Do T tính đơn điệu hỗn hợp ✷ 1.2.4 Định lý ([8]) Giả sử (X, ≤) tập thứ tự phận, d mêtric X cho (X, d) không gian mêtric đầy đủ F : X × X → X ánh xạ liên tục có tính đơn điệu hỗn hợp X Với (x, y), (u, v) ∈ X × X , đặt   + d(u, F (u, v)) + d(v, F (v, u))      d(x, F (x, y)) + d(x, u) + d(y, v) M ((x, y), (u, v)) = + d(x, F (x, y)) + d(y, F (y, x))      d(u, F (u, v)) + d(x, u) + d(y, v) Khi đó, 1) Tồn α, β > với α + β < cho β d(F (x, y), F (u, v)) ≤ αM ((x, y), (u, v)) + [d(x, u) + d(y, v)] (1.1) với (x, y), (u, v) ∈ X × X mà x ≥ u, y ≤ v 2) Tồn x0 , y0 ∈ X cho x0 ≤ F (x0 , y0 ) y0 ≥ F (y0 , x0 ) (1.2) F có điểm bất động đôi (x, y) ∈ X × X Chứng minh Đặt F (x0 , y0 ) = x1 , F (y0 , x0 ) = y1 , x2 = F (x1 , y1 ) y2 = F (y1 , x1 ) Ta ký hiệu F (x0 , y0 ) = F (F (x0 , y0 ), F (y0 , x0 )) = F (x1 , y1 ) = x2 F (y0 , x0 ) = F (F (y0 , x0 ), F (x0 , y0 )) = F (y1 , x1 ) = y2 Dựa vào tính đơn điệu hỗn hợp F , ta có x2 = F (x1 , y1 ) ≥ F (x0 , y1 ) ≥ F (x0 , y0 ) = x1 y2 = F (y1 , x1 ) ≤ F (y0 , x1 ) ≤ F (y0 , x0 ) = y1 Hơn nữa, với n = 1, 2, ta có xn+1 = F n+1 (x0 , y0 ) = F (F n (x0 , y0 ), F n (yn , xn )) yn+1 = F n+1 (y0 , x0 ) = F (F n (y0 , x0 ), F n (xn , yn )) Ta dễ dàng chứng minh x0 ≤ x1 ≤ x2 ≤ ≤ xn+1 ≤ y0 ≥ y1 ≥ y2 ≥ ≥ yn+1 ≥ với n ∈ N∗ β n d(x1 , x0 ) + d(y1 , y0 ) ) [ ] 1−α (1.3) β n d(x1 , x0 ) + d(y1 , y0 ) ) [ ] 1−α (1.4) d(xn+1 , xn ) ≤ ( d(yn+1 , yn ) ≤ ( Thật vậy, với n = 1, từ x1 ≥ x0 , y1 ≤ y0 từ (1.1) ta có d(x2 , x1 ) = d(F (x1 , y1 ), F (x0 , y0 )) [d(x0 , x1 ) + d(y0 , y1 )] 2 + d(x0 , F (x0 , y0 )) + d(y0 , F (y0 , x0 )) ≤ αd(x1 , F (x1 , y1 )) + d(x0 , x1 ) + d(y0 , y1 ) [d(x0 , x1 ) + d(y0 , y1 )] +β [d(x0 , x1 ) + d(y0 , y1 )] = αd(x1 , x2 ) + β ≤ αM ((x1 , y1 ), (x0 , y0 )) + β Điều kéo theo (1 − α)d(x2 , x1 ) ≤ β d(x2 , x1 ) ≤ ( [d(x0 , x1 ) + d(y0 , y1 )] β [d(x0 , x1 ) + d(y0 , y1 )] ) 1−α Tương tự d(y2 , y1 ) = d(F (y1 , x1 ), F (y0 , x0 )) = d(F (y0 , x0 ), F (y1 , x1 )) [d(x0 , x1 ) + d(y0 , y1 )] ≤ αM ((y0 , x0 ), (y1 , x1 )) + β 2 + d(y0 , F (y0 , x0 )) + d(x0 , F (x0 , y0 )) ≤ αd(y1 , F (y1 , x1 )) + d(y0 , y1 ) + d(x0 , x1 ) [d(x0 , x1 ) + d(y0 , y1 )] +β [d(x0 , x1 ) + d(y0 , y1 )] = αd(y1 , y2 ) + β 10 Từ suy d(y2 , y1 ) ≤ ( β [d(x0 , x1 ) + d(y0 , y1 )] ) 1−α Bây giờ, giả sử (1.3) (1.4) với n Ta chứng minh (1.3) (1.4) với n + Từ giả thiết xn+1 ≥ xn , yn+1 ≤ yn từ (1.3), (1.4) ta có d(xn+2 , xn+1 ) = d(F (xn+1 , yn+1 ), F (xn , yn )) [d(xn+1 , xn ) + d(yn+1 , yn )] 2 + d(xn , xn+1 ) + d(yn , yn+1 ≤ αd(xn+1 , xn+2 ) + d(xn+1 , xn ) + d(yn+1 , yn ) [d(xn+1 , xn ) + d(yn+1 , yn )] +β [d(xn+1 , xn ) + d(yn+1 , yn )] = αd(xn+1 , xn+2 ) + β Điều dẫn đến β [d(xn+1 , xn ) + d(yn+1 , yn )] d(xn+2 , xn+1 ) ≤ ( ) 1−α β n [d(x0 , x1 ) + d(y0 , y1 )] ) ≤( 1−α ≤ αM ((xn+1 , yn+1 ), (xn , yn )) + β Chứng minh tương tự, ta có d(yn+2 , yn+1 ) ≤ ( β n+1 [d(x0 , x1 ) + d(y0 , y1 )] ) 1−α β < từ (1.3), (1.4) ta suy {xn }, {yn } hai dãy Cauchy 1−α Mặt khác, (X, d) không gian mêtric đầy đủ, nên tồn (x, y) ∈ X × X cho Vì < lim xn = x lim yn = y n→∞ n→∞ (1.5) Cuối cùng, ta cần chứng minh (x, y) điểm bất động đôi F Thật vậy, ta có d(F (x, y), x) ≤ d(F (x, y), xn+1 ) + d(xn+1 , xn ) = d(F (x, y), F (xn , yn )) + d(xn+1 , x) 23 Do ta có 2−β−γ d(F (x∗ , y∗ ), xn ) 2α + 3β + 3γ C ≤ C Suy xn → F (x∗ , y∗ ) Mà xn → x∗ , nên x∗ = F (x∗ , y∗ ) Một cách tương tự ta có F (y∗ , x∗ ) = y∗ Vậy (x∗ , y∗ ) điểm bất động đôi F ✷ 2.2.2 Định lý ([5])Giả sử điều kiện Định lý 2.2.1 thỏa mãn, x0 , y0 so sánh với 2α + β + 3γ < x∗ = y∗ Chứng minh Không tính tổng quát ta giả sử x0 ≤ y0 Khi đó, từ tính đơn điệu hỗn hợp F suy xn ≤ yn với n = 0, 1, Do đó, ta có d(yn , xn ) = d(F (yn−1 , xn−1 ), F (xn−1 , yn−1 )) d(xn−1 , xn ) + d(yn−1 , yn ) + d(xn−1 , yn−1 ) ≤ αd(xn , yn−1 ) + β d(xn−1 , yn ) + d(yn−1 , xn ) + d(xn−1 , yn−1 ) +γ β+γ d(xn−1 , xn ) + d(yn−1 , yn ) ≤ (α + )d(xn−1 , yn−1 ) + β 2 d(xn−1 , yn ) + d(yn−1 , xn ) +γ d(xn−1 , xn ) + d(yn−1 , yn ) β + 3γ ≤β + (α + )d(x∗ , y∗ ) 2 β+γ + (α + )[d(xn−1 , x∗ ) + d(y∗ , yn−1 )] d(xn−1 , x∗ ) + d(y∗ , yn ) + d(yn−1 , y∗ ) + d(x∗ , xn ) +γ β + 3γ d(xn−1 , xn ) + d(yn−1 , yn ) + (α + )d(x∗ , y∗ ) ≤β 2 β d(y∗ , yn ) + d(x∗ , xn ) + (α + + γ)[d(xn−1 , x∗ ) + d(y∗ , yn−1 )] + γ 2 Ta có với n = 0, 1, 2, d(x∗ , y∗ ) ≤ d(x∗ , xn ) + d(xn , yn ) + d(yn , y∗ ) 24 Từ suy β + 3γ )d(x∗ , y∗ ) d(xn−1 , xn ) + d(yn−1 , yn ) +β β + (α + + γ)[d(xn−1 , x∗ ) + d(y∗ , yn−1 )] γ + (1 + )[d(y∗ , yn ) + d(x∗ , xn )] d(x∗ , y∗ ) ≤(α + Do (1 − d(xn−1 , xn ) + d(yn−1 , yn ) 2α + β + 3γ )d(x∗ , y∗ ) ≤ β 2 β + (α + + γ)[d(xn−1 , x∗ ) + d(y∗ , yn−1 )] γ + (1 + )[d(y∗ , yn ) + d(x∗ , xn )] Mặt khác, xn → x∗ , yn → y∗ nên với C ∈ intP, tồn N ∈ N cho n > N ta có d(xn−1 , xn ), d(yn−1 , yn ), d(xn−1 , x∗ ), d(y∗ , yn−1 ), d(y∗ , yn ), d(x∗ , xn ) C Từ suy (1 − 2α + β + 3γ )d(x∗ , y∗ ) ≤ (2α + 2β + 3γ + 2)C Vì 2α + β + 3γ < nên d(x∗ , y∗ ) ≤ 4α + 4β + 6γ + C, với C ∈ intP − 2α − β − 3γ ✷ 2.2.3 Định lý ([5]) Cho (X, ≤, d) không gian mêtric nón đầy đủ F : X × X → X ánh xạ có tính đơn điệu hỗn hợp X Giả sử điều kiện sau H1 ) Tồn λ ∈ [0, ] cho với u ≤ x, y ≤ v, tồn Z ∈ MF (x, y, u, v) cho Điều có nghĩa d(x∗ , y∗ ) = tức x∗ = y∗ d(F (x, y), F (u, v)) ≤ λZ 25 d(x, u), d(y, v) d(x, F (x, y)) + d(u, F (u, v)) + d(y, v) , , 2 d(x, F (u, v)) + d(u, F (x, y)) + d(y, v) }; MF (x, y, u, v) ={ H2 ) Tồn x0 , y0 ∈ X cho x0 ≤ F (x0 , y0 ) F (y0 , x0 ) ≤ y0 ; H3 ) F liên tục X thỏa mãn a) Nếu {xn } dãy tăng, hội tụ tới x ∈ X xn ≤ x, n ∈ N; b) Nếu {yn } dãy giảm, hội tụ tới y ∈ X y ≤ yn , n ∈ N; F có điểm bất động đôi x∗ , y∗ ∈ X Chứng minh Với n = 1, 2, đặt xn = F (xn−1 , yn−1 ), yn = F (yn−1 , xn−1 ) Khi x0 ≤ x1 ≤ ≤ xn ≤ xn+1 ≤ ≤ yn+1 ≤ yn ≤ y1 ≤ y0 Theo (H1 ) với n ∈ N, tồn d(xn , xn−1 ) + d(yn , yn−1 ) d(xn , xn+1 ) + d(xn , xn−1 ) + d(yn , yn−1 ) , , 2 d(xn−1 , xn+1 ) + d(yn , yn−1 ) } Zn ∈{ cho d(xn+1 , xn ) = d(F (xn , yn ), F (xn−1 , yn−1 )) ≤ λZn Bây giờ, ta xét trường hợp sau d(xn , xn−1 ) + d(yn , yn−1 ) Trường hợp 1: Nếu Zn = d(xn , xn−1 ) + d(yn , yn−1 ) 2λ d(xn , xn−1 ) + d(yn , yn−1 ) ≤ 2−λ d(xn+1 , xn ) ≤λ 26 Trường hợp 2: Nếu Zn = d(xn+1 , xn ) ≤ d(xn , xn+1 ) + d(xn , xn−1 ) + d(yn , yn−1 ) d(xn , xn−1 ) + d(yn , yn−1 ) λ d(xn+1 , xn ) + λ 2 Ta suy d(xn+1 , xn ) ≤ 2λ d(xn , xn−1 ) + d(yn , yn−1 ) + 2−λ Trường hợp 3: Nếu Zn = d(xn−1 , xn+1 ) + d(yn , yn−1 ) } từ trường hợp ta có d(xn+1 , xn ) ≤ d(xn , xn−1 ) + d(yn , yn−1 ) 2λ + 2−λ Bởi d(xn−1 , xn+1 ) ≤ d(xn−1 , xn ) + d(xn , xn+1 ) Như d(xn+1 , xn ) ≤ d(xn , xn−1 ) + d(yn , yn−1 ) 2λ + , ∀n ∈ N 2−λ Chứng minh tương tự ta có d(yn , yn+1 ) ≤ 2λ d(xn , xn−1 ) + d(yn , yn−1 ) + , ∀n ∈ N 2−λ Từ suy d(xn+1 , xn ) ≤ ( 2λ n d(x1 , x0 ) + d(y1 , y0 ) ) + , ∀n ∈ N 2−λ 2λ n d(x1 , x0 ) + d(y1 , y0 ) ) + , ∀n ∈ N 2−λ 2 2λ Vì λ ∈ [0, ) nên ≤ < Khi đó, tương tự chứng minh Định 2−λ lý 2.1, ta chứng minh tồn x∗ , y∗ ∈ X cho d(yn , yn+1 ) ≤ ( xn → x∗ , yn → y∗ 27 Ta chứng minh F (x∗ , y∗ ) = x∗ , F (y∗ , x∗ ) = y∗ (2.1) Nếu F liên tục (2.1) hiển nhiên Giả sử (a), (b) H3 Vì xn → x∗ , yn → y∗ , n → ∞, nên với C ∈ intP, tồn N ∈ N cho n > N d(x∗ , xn−1 ) C, d(x∗ , xn ) C, d(y∗ , yn−1 ) C, d(xn−1 , xn ) C Mặt khác, xn ≤ x∗ y∗ ≤ yn , n ∈ N, nên từ (H1 ) ta có d(F (x∗ , y∗ ), xn ) = d(F (x∗ , y∗ ), F (xn−1 , yn−1 )) ≤ λωn , d(x∗ , xn−1 ) + d(y∗ , yn−1 ) d(x∗ , F (x∗ , y∗ )) + d(xn−1 , xn ) + d(y∗ , yn−1 ) , 2 d(x∗ , xn ) + d(xn−1 , F (x∗ , y∗ )) + d(y∗ , yn−1 ) } ωn ∈{ Với n > N , ta xét trường hợp d(x∗ , xn−1 ) + d(y∗ , yn−1 ) i) Nếu ωn = d(F (x∗ , y∗ ), xn ) ≤ λωn ≤ C ≤ C d(x∗ , F (x∗ , y∗ )) + d(xn−1 , xn ) + d(y∗ , yn−1 ) ii) Nếu ωn = d(x∗ , F (x∗ , y∗ )) + d(xn−1 , xn ) + d(y∗ , yn−1 ) d(F (x∗ , y∗ ), xn ) ≤ λωn ≤ d(x∗ , xn ) + d(xn , F (x∗ , y∗ )) + d(xn−1 , xn ) + d(y∗ , yn−1 ) ≤ 3C + d(xn , F (x∗ , y∗ )) ≤ 3 Từ suy d(F (x∗ , y∗ ), xn ) ≤ C d(x∗ , xn ) + d(xn−1 , F (x∗ , y∗ )) + d(y∗ , yn−1 ) iii) Nếu ωn = d(x∗ , xn ) + d(xn−1 , F (x∗ , y∗ )) + d(y∗ , yn−1 ) d(F (x∗ , y∗ ), xn ) ≤ λωn ≤ 3C + d(xn , F (x∗ , y∗ )) ≤ 28 C Do vậy, xn → F (x∗ , y∗ )) n → ∞ Vậy, theo Định lý 2.1.8 F (x∗ , y∗ ) = x∗ Chứng minh tương tự ta có y∗ = F (y∗ , x∗ ) ✷ 2.2.4 Định lý ([5]) Giả sử giả thiết Định lý 2.2.3 thỏa mãn x0 , y0 so sánh với x∗ = y∗ Chứng minh Không tính tổng quát ta giả thiết x0 ≤ y0 Do F có tính đơn điệu hỗn hợp nên xn ≤ yn , với n ∈ N Do ta có Ta suy d(F (x∗ , y∗ ), xn ) ≤ d(x∗ , y∗ ) ≤ d(x∗ , xn ) + d(xn , yn ) + d(yn , y∗ ) = d(F (yn−1 , xn−1 ), F (xn−1 , yn−1 )) + d(x∗ , xn ) + d(yn , y∗ ) ≤ λVn + d(x∗ , xn ) + d(yn , y∗ ), d(yn−1 , yn ) + d(xn−1 , xn ) + d(xn−1 , yn−1 ) , d(yn−1 , xn ) + d(xn−1 , yn ) + d(xn−1 , yn−1 ) } Vn ∈{d(yn−1 , xn−1 ), Ta xét trường hợp i) Nếu Vn = d(yn−1 , xn−1 ) d(x∗ , y∗ ) ≤ λd(yn−1 , xn−1 ) + d(x∗ , xn ) + d(yn , y∗ ) ≤ λd(x∗ , y∗ ) + [d(yn−1 , y∗ ) + d(x∗ , xn−1 ) + d(x∗ , xn ) + d(yn , y∗ )] ii) Nếu Vn = d(yn−1 , yn ) + d(xn−1 , xn ) + d(xn−1 , yn−1 ) d(x∗ , y∗ ) ≤ λ[d(yn−1 , yn ) + d(xn−1 , xn ) + d(xn−1 , yn−1 )] + d(x∗ , xn ) + d(yn , y∗ ) ≤ λd(x∗ , y∗ ) + [d(yn−1 , yn ) + d(xn−1 , xn ) + d(yn−1 , y∗ ) + d(x∗ , xn−1 ) + d(x∗ , xn ) + d(yn , y∗ )] 29 iii) Nếu Vn = d(yn−1 , xn ) + d(xn−1 , yn ) + d(xn−1 , yn−1 ) λ [d(yn−1 , xn ) + d(xn−1 , yn ) + d(xn−1 , yn−1 )] + d(x∗ , xn ) + d(yn , y∗ ) 3λ d(x∗ , y∗ ) + 2[d(yn−1 , y∗ ) + d(x∗ , xn ) ≤ + d(xn−1 , x∗ ) + d(y∗ , yn )] d(x∗ , y∗ ) ≤ Từ đó, suy với n ta có 3λ d(x∗ , y∗ ) + d(yn−1 , yn ) + d(xn−1 , xn ) +2[d(yn−1 , y∗ ) + d(x∗ , xn ) + d(xn−1 , x∗ ) + d(y∗ , yn )] d(x∗ , y∗ ) ≤ Vì xn → x∗ , yn → y∗ λ ∈ [0, ] nên với C ∈ intP ta có d(x∗ , y∗ ) C tức x∗ = y∗ ✷ 2.2.5 Định nghĩa Giả sử (X, ≤) tập có thứ tự phận, F : X → X g : X → X Ta nói F có tính g-đơn điệu hỗn hợp với x, y ∈ X , x1 , x2 ∈ X, g(x1 ) ≤ g(x2 ) ⇒ F (x1 , y) ≤ F (x2 , y); y1 , y2 ∈ X, g(y1 ) ≤ g(y2 ) ⇒ F (x, y2 ) ≤ F (x, y1 ) Ta nói F giao hoán với g gF (x, y) = F (g(x), g(y)), ∀x, y ∈ X Điểm (x, y) ∈ X gọi điểm chung đôi F g g(x) = F (x, y) g(y) = F (y, x) Để đơn giản kí hiệu, ta viết gx thay g(x), ∀x ∈ X Trong mệnh đề tiếp theo, ta giả thiết (X, d) không gian mêtric nón đầy đủ với d nhận giá trị nón P không gian Banach E, intP = ∅; ≤ hai thứ tự phận E xác định P Ta giả thiết thêm X có thứ tự phận kí hiệu ≤ 30 2.2.6 Bổ đề Giả sử φ : P → P hàm không giảm cho chuỗi ∞ n n=1 φ (t) hội tụ với t ∈ P Khi đó, φ(t) so sánh với t với t ∈ P φ(t) ≤ t với t ∈ P Chứng minh.Giả sử tồn t ∈ P, < t cho t < φ(t) Khi đó, φ không giảm nên t < φ(t) ≤ φ2 (t) Bằng quy nạp ta có < t < φn (t) với n Điều mâu thuẫn với ∞ n n=1 φ (t) hội tụ Do φ(t) ≤ t với t ∈ P, t = Bây giờ, ta chứng tỏ φ(0) = Giả sử φ(0) = t0 = Khi đó, < t0 < t0 Do đó, từ tính không giảm φ điều vừa chứng minh suy t0 t0 < t0 = φ(0) ≤ φ( ) ≤ 2 Đây điều mâu thuẫn Vậy φ(t) ≤ t, ∀t ∈ P ✷ 2.2.7 Định lý Giả sử φ : P → P hàm thỏa mãn điều kiện Bổ đề 2.2.6 F : X → X, g : X → X hai ánh xạ thỏa mãn điều kiện sau 1) F giao hoán với g có tính g đơn điệu hỗn hợp; 2) g liên tục, F (X ) ⊂ g(X) g(X) đóng X ; 3) d(F (x, y), F (u, v)) ≤ φ(sup{d(gx, gu), d(gy, gv)}) (1) (x, y), (u, v) ∈ X x ≤ u, v ≤ y ; 4) Tồn (x0 , y0 ) ∈ X cho gx0 ≤ F (x0 , y0 ) F (y0 , x0 ) ≤ y0 ; 5) F liên tục X có tính chất 5’) Từ {xn } dãy không giảm (tương ứng không tăng) X xn → x kéo theo xn ≤ x (tương ứng x ≤ xn ) với n=1,2, Khi đó, F g có điểm chung đôi X Chứng minh Vì F (X ) ⊂ g(X) nên tồn x1 , y1 ∈ X cho gx1 = F (x0 , y0 ), gy1 = F (y0 , x0 ) Tương tự, tồn x2 , y2 ∈ X cho gx2 = F (x1 , y1 ), gy2 = F (y1 , x1 ) 31 Tiếp tục lý luận tương tự ta xây dựng hai dãy {xn }, {yn } X cho gxn = F (xn−1 , yn−1 ), gyn + F (yn−1 , xn−1 ), ∀n = 1, 2, Từ điều kiện 4) tính g-đơn điệu hỗn hợp F suy gx0 ≤ gx1 ≤ , gy0 ≥ gy1 ≥ (2) ta viết ga ≥ gb thay cho gb ≤ ga Do theo điều kiện 3) ta có d(gxn+1 , gxn+2 ) = d(F (xn , yn ), F (xn+1 , yn+1 )) ≤ φ(sup{d(gxn , gxn+1 ), d(gyn , gyn+1 )}) d(gyn+1 , gyn+2 ) ≤ φ(sup{d(gyn , gyn+1 ), d(gxn , gxn+1 )}) với n = 0, 1, 2, Từ suy rằng, đặt tn = sup{d(gxn , gxn+1 ), d(gyn , gyn+1 )}, n = 0, 1, tn+1 ≤ φ(tn ) với n = 0, 1, Kết hợp với tính không giảm φ suy tn+1 ≤ φ(tn ) ≤ φ2 (tn−1 ) ≤ ≤ φn+1 (t0 ) (3) với n = 0, 1, Sử dụng bất đẳng thức tam giác (3) ta có với n = 1, 2, p = 0, 1, d(gxn , gxn+p ) ≤ d(gxn , gxn+1 ) + d(gxn+1 , gxn+2 ) + + d(gxn+p−1 , gxn+p ) ≤ tn + tn+1 + + tn+p−1 n+p−1 φj (t0 ) ≤ j=n (4) 32 Vì chuỗi ∞ j j=1 φ (t0 ) hội tụ nên vế phải (4) dần tới n → ∞ Do với c ∈ intP tồn số tự nhiên nc cho với n ≥ nc p = 0, 1, ta có n+p−1 φj (t0 ) d(gxn , gxn+p ) ≤ c j=n Điều chứng tỏ {gxn } dãy Cauchy Tương tự ta chứng minh {gyn } dãy Cauchy Vì g(X) đóng X X đầy đủ nên g(X) đầy đủ Do tồn a b ∈ X cho gxn → a vàgyn → b Vì g liên tục nên ggxn → ga, ggyn → gb (5) Giả sử F liên tục Khi đó, F giao hoán với g nên ggxn+1 = gF (xn , yn ) = F (gxn , gyn ) → F (a, b) Mặt khác theo (5) ta có ggxn+1 → ga Do ta có ga = F (a, b) Tương tự ta chứng minh gb = F (b, a) Vậy (a, b) điểm chung đôi F g Giả sử X có tính chất 5’) Khi đó, từ (2) suy gxn ≤ a b ≤ gyn với n = 1, 2, Do đó, sử dụng bất đẳng thức tam giác điều kiện 3) ta có d(ga, F (a, b)) ≤d(ga, ggxn+1 ) + d(ggxn+1 , F (a, b)) ≤d(ga, ggxn+1 ) + d(F (gxn , gyn ), F (a, b)) ≤d(ga, ggxn+1 ) + φ(sup{d(ggxn , ga), d(ggyn , gb)}) ≤d(ga, ggxn+1 ) + sup{d(ggxn , ga), d(ggyn , gb)} (6) với n = 1, 2, (vì theo Bổ đề φ(t) ≤ t với t ∈ P ) Do ggxn → ga ggyn → gb nên với c ∈ intP tồn số tự nhiên nc cho với n ≥ nc ta có d(ga, ggxn )) c 33 c Kết hợp với (6) ta có d(ga, F (a, b)) c với c ∈ intP ta có d(ga, F (a, b)) = tức ga = F (a, b) Tương tự ta chứng minh gb = F (b, a) Vậy (a, b) điểm chung đôi F g ✷ 2.2.8 Hệ Giả sử điều kiện Định lý 2.2.7 thỏa mãn bất đẳng thức (1) thay d(ggyn , gb) d(F (x, y), F (u, v)) ≤ φ( d(gx, gu) + d(gy, gv) ) (7) Khi F g có điểm chung đôi X Chứng minh Vì d(gx, gu) + d(gy, gv) ≤ sup{d(gx, gu), d(gy, gv)} với x, y, u, v ∈ X φ hàm không giảm nên từ (7) kéo theo (1) Do theo Định lý 2.2.7 ta có điều phải chứng minh ✷ 2.2.9 Hệ Giả sử điều kiện Định lý 2.2.7 thỏa mãn điều kiện 3) thay 3’) Tồn α1 , α2 ∈ [0, 1) với α1 + α2 < cho d(F (x, y), F (u, v)) ≤ φ(α1 d(gx, gu) + α2 d(gy, gv)) (8) với (x, y), (u, v) ∈ R2 mà x ≤ u, v ≤ y Khi đó, F g có điểm chung đôi trongX Chứng minh Ta có α1 d(gx, gu) + α2 d(gy, gv) ≤(α1 + α2 )sup{d(gx, gu), d(gy, gv)} ≤sup{d(gx, gu), d(gy, gv)}; ∀x, y, u, v ∈ X Mặt khác, φ hàm không giảm nên từ (8) suy (1) Do đó, theo Định lý 2.2.7 ta có điều phải chứng minh ✷ 2.2.10 Hệ Giả sử X đầy đủ, φ : P → P ánh xạ thỏa mãn 34 điều kiện Bổ đề 2.2.6 F : X → X hàm thỏa mãn điều kiện sau 1) F có tính đơn điệu hỗn hợp; 2) Một hai bất đẳng thức sau d(F (x, y), F (u, v)) ≤ φ(sup{d(x, u), d(y, v)}) (9) ∀(x, y), (u, v) ∈ X , x ≤ u, v ≤ y; d(F (x, y), F (u, v)) ≤ φ(α1 d(x, u) + α2 d(y, v)) (10) ∀(x, y), (u, v) ∈ X , x ≤ u, v ≤ y, α1 , α2 hai số không âm cho α1 + α2 < 1; 3) Tồn (x0 , y0 ) ∈ X cho x0 ≤ F (x0 , y0 ), F (y0 , x0 ) ≤ y0 ; 4) F liên tục X có tính chất : từ {xn } dãy không giảm (tương ứng không tăng) X xn → x kéo theo xn ≤ x (tương ứng x ≤ xn ) với n = 1, 2, Khi đó, F có điểm bất động đôi X Chứng minh Nếu bất đẳng thức (9) thỏa mãn điều phải chứng minh suy từ Định lý 2.2.7 với việc lấy g : X → X ánh xạ đồng Nếu bất đẳng thức (10) thỏa mãn điều cần chứng minh suy từ Hệ 2.2.9 với việc lấy g : X → X ánh xạ đồng ✷ 2.2.11 Hệ Giả sử X đầy đủ điều kiện 1), 3), 4) Hệ 2.2.10 thỏa mãn Khi đó, hai điều kiện sau thỏa mãn F có điểm bất động đôi X i) Tồn α ∈ [0, 1) cho d(F (x, y), F (u, v)) ≤ αsup{d(x, u), d(y, v)} với (x, y), (u, v) ∈ X , x ≤ u, v ≤ y; ii) Tồn α1 , α2 ∈ [0, 1), α1 + α2 < α cho d(F (x, y), F (u, v)) ≤ α1 d(x, u) + α2 d(y, v) với (x, y), (u, v) ∈ X , x ≤ u, v ≤ y; 35 Chứng minh Ta xác định hàm φ : P → P công thức φ(t) = αt ∀t ∈ P, α số thuộc [0, 1) Khi φ thỏa mãn điều kiện Bổ đề 2.2.6 Từ suy rằng, điều kiện i) thỏa mãn bất đẳng thức (9) Do theo Hệ 2.2.10, F có điểm bất động đôi Ta có α1 d(x, u) + α2 d(y, v) ≤ (α1 + α2 )sup{d(x, u), d(y, v)} Do đó, điều kiện ii) thỏa mãn điều kiện i) thỏa mãn với α = α1 + α2 Vì F có điểm bất động đôi X ✷ KẾT LUẬN Luận văn trình bày tồn điểm bất động đôi không gian mêtric nón có thứ tự phận Luận văn đạt số kết sau Tìm hiểu trình bày cách có hệ thống, chi tiết số kết tồn điểm bất động đôi không gian mêtric nón có thứ tự phận Đưa số kết tồn điểm chung đôi, là: Bổ đề 2.2.6, Định lý 2.2.7, Hệ 2.2.8, 2.2.9, 2.2.10 2.2.11 36 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Thị Hải Yến (2012), Không gian mêtric nón với thứ tự phận tồn điểm bất động , Luận văn Thạc sỹ toán học; Trường Đại học Vinh [2] J.Kelley (1973), Tôpô đại cương, Hà Huy Khoái, Hồ Thuần Đinh Mạnh Tường dịch, NXB Đại học Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội [3] V Berinde and M Borcut (2011), Tripled fixed point theorems for contractive type mapping in partially ordered metric space, Nonlinear Analysis, vol.74, no.15, pp 4889-4897 [4] Bhaskar and V Laksmikantham (2006), Fixed point theorems in partially ordered metric spaces and applications, Nonlinear Analysis, Appl 332, no.2, pp 1468-1476 [5] H.Sh.Ding and Luli (2011), Couple fixed point theorems in partially ordered cone metric spaces, Faculty of sciences and Mathematics, University of Nis, Serbia, 137-149 [6] H.L.Guang and Zh.Xian (2007), Cone metric space and fixed point theorem of contractive mappings, J.Math Anal App 332.no.2, 14681476 [7] E Karapinar (2010), Couple fixed point theorems for nonlinear contractions in cone metric spaces, Computers and Mathematics with applications, doi:10.1016/j.camwa.2010.03.062 [8] B.Samet and H.Yazidi, Couple fixed point theorems in partially ordered -drainable metric spaces, Preprint 37 [...]... CHƯƠNG 2 SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG BỘ ĐÔI TRONG KHÔNG GIAN MÊTRIC NÓN CÓ THỨ TỰ BỘ PHẬN Chương này trình bày định nghĩa, các tính chất của không gian mêtric nón và một số kết quả về sự tồn tại điểm bất động bộ đôi trong không gian mêtric nón có thứ tự bộ phận 2.1 Không gian mêtric nón Mục này trình bày khái niệm, ví dụ và một số tính chất của không gian mêtric nón 2.1.1 Định nghĩa ([6]) Cho E là không gian. .. điểm bất động bộ đôi trong X 2 ✷ KẾT LUẬN Luận văn trình bày về sự tồn tại điểm bất động bộ đôi trong không gian mêtric nón có thứ tự bộ phận Luận văn đã đạt được một số kết quả chính sau đây 1 Tìm hiểu và trình bày một cách có hệ thống, chi tiết một số kết quả về sự tồn tại điểm bất động bộ đôi trong không gian mêtric nón có thứ tự bộ phận 2 Đưa ra một số kết quả mới về sự tồn tại điểm chung bộ đôi, ... không gian mêtric nón Ánh xạ g : X −→ X được gọi là liên tục tại x ∈ X nếu {xn } là dãy trong X và xn → x thì g(xn ) → g(x) cho d(xm , xn ) 2.2 Sự tồn tại điểm bất động bộ đôi trong không gian mêtric nón có thứ tự bộ phận Mục này trình bày một số định lý về sự tồn tại điểm bất động bộ đôi trong không gian mêtric nón có thứ tự bộ phận 19 2.2.1 Định lý ([5]) Cho (X, ≤, d) là không gian mêtric nón đầy... ∈ X Điểm (x, y) ∈ X 2 được gọi là điểm chung bộ đôi của F và g nếu g(x) = F (x, y) và g(y) = F (y, x) Để đơn giản kí hiệu, ta viết gx thay g(x), ∀x ∈ X Trong các mệnh đề tiếp theo, ta giả thiết (X, d) là không gian mêtric nón đầy đủ với d nhận giá trị trong nón P của không gian Banach E, intP = ∅; ≤ và là hai thứ tự bộ phận trên E được xác định bởi P Ta giả thiết thêm rằng trên X có thứ tự bộ phận. .. d(y, z), ∀x, y, z ∈ X Tập X cùng với mêtric nón d trên X được gọi là không gian mêtric nón và được ký hiệu là (X, d) hoặc X Từ định nghĩa trên ta nhận thấy khái niệm của không gian mêtric nón tổng quát hơn khái niệm không gian mêtric Bởi vì mỗi một không gian mêtric là một không gian mêtric nón trong trường hợp E = R và P = [0, +∞) 2.1.8 Ví dụ 1) Cho E = R2 và nón P = {(x, y) ∈ R2 : x ≥ 0, y ≥ 0}... là không gian mêtric nón Dãy {xn } trong X được gọi là dãy Cauchy nếu với mọi c ∈ intP , tồn tại n0 ∈ N sao c với mọi m > n ≥ n0 2.1.13 Định nghĩa ([6]) Không gian mêtric nón (X, d) được gọi là đầy đủ nếu với mọi dãy Cauchy trong X đều hội tụ Tập con Y của không gian mêtric nón (X, d) được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy trong Y đều hội tụ tới điểm thuộc Y 2.1.14 Định nghĩa ([6]) Cho (X, d) là không. .. Khi đó, nếu tồn tại x0 , y0 ∈ X sao cho x0 ≤ F (x0 , y0 ) và y0 ≥ F (y0 , x0 ) thì F có một điểm bất động bộ đôi (x, y) ∈ X × X Chứng minh Tương tự như chứng minh Định lý 1.2.4, ta chỉ cần chứng minh (x, y) là điểm bất động bộ đôi của F Ta có: d(F (x, y), x) ≤ d(F (x, y), d(xn+1 , x)) = d(F (x, y), F (xn , yn )) + d(xn+1 , x) (1.6) Từ giả thiết dãy không giảm {xn } hội tụ tới x và dãy không tăng {yn... ; 4) Tồn tại (x0 , y0 ) ∈ X 2 sao cho gx0 ≤ F (x0 , y0 ) và F (y0 , x0 ) ≤ y0 ; 5) F liên tục hoặc X có tính chất 5’) Từ {xn } là dãy không giảm (tương ứng không tăng) trong X và xn → x kéo theo xn ≤ x (tương ứng x ≤ xn ) với mọi n=1,2, Khi đó, F và g có điểm chung bộ đôi trong X Chứng minh Vì F (X 2 ) ⊂ g(X) nên tồn tại x1 , y1 ∈ X sao cho gx1 = F (x0 , y0 ), gy1 = F (y0 , x0 ) Tương tự, tồn tại x2... x0 ) ≤ y0 ; 4) F liên tục hoặc X có tính chất : từ {xn } là dãy không giảm (tương ứng không tăng) trong X và xn → x kéo theo xn ≤ x (tương ứng x ≤ xn ) với mọi n = 1, 2, Khi đó, F có điểm bất động bộ đôi trong X 2 Chứng minh Nếu bất đẳng thức (9) được thỏa mãn thì điều phải chứng minh được suy ra từ Định lý 2.2.7 với việc lấy g : X → X là ánh xạ đồng nhất Nếu bất đẳng thức (10) được thỏa mãn thì điều... đồng nhất ✷ 2.2.11 Hệ quả Giả sử X đầy đủ và các điều kiện 1), 3), 4) trong Hệ quả 2.2.10 được thỏa mãn Khi đó, nếu một trong hai điều kiện sau đây được thỏa mãn thì F có điểm bất động bộ đôi trong X 2 i) Tồn tại α ∈ [0, 1) sao cho d(F (x, y), F (u, v)) ≤ αsup{d(x, u), d(y, v)} với mọi (x, y), (u, v) ∈ X 2 , x ≤ u, v ≤ y; ii) Tồn tại α1 , α2 ∈ [0, 1), α1 + α2 < α sao cho d(F (x, y), F (u, v)) ≤ α1 d(x, ... bất động đôi không gian mêtric có thứ tự phận Chương trình bày số kết tồn điểm bất động đôi không gian mêtric có thứ tự phận Chương 2: Sự tồn điểm bất động đôi không gian mêtric nón có thứ tự phận. .. SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG BỘ ĐÔI TRONG KHÔNG GIAN MÊTRIC NÓN CÓ THỨ TỰ BỘ PHẬN Chương trình bày định nghĩa, tính chất không gian mêtric nón số kết tồn điểm bất động đôi không gian mêtric nón có. .. giả CHƯƠNG SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG BỘ ĐÔI TRONG KHÔNG GIAN MÊTRIC CÓ THỨ TỰ BỘ PHẬN Chương trình bày số kết tồn điểm bất động đôi không gian mêtric có thứ tự phận 1.1 Một số kiến thức chuẩn