ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Nguyễn Trường Thanh ĐIỀU KHIỂN H∞ CÁC HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CÓ TRỄ BIẾN THIÊN LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Nguyễn Trường Thanh ĐIỀU KHIỂN H∞ CÁC HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CÓ TRỄ BIẾN THIÊN Chuyên ngành: Phương trình vi phân tích phân Mã số: 62460103 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS TSKH Vũ Ngọc Phát PGS TSKH Vũ Hoàng Linh Hà Nội - 2015 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu riêng tôi, hoàn thành hướng dẫn GS TSKH Vũ Ngọc Phát PGS TSKH Vũ Hoàng Linh Các kết viết chung với tác giả khác trí đồng tác giả đưa vào luận án Các kết luận án kết chưa công bố công trình khác Tác giả luận án Nguyễn Trường Thanh i LỜI CẢM ƠN Luận án thực hoàn thành hướng dẫn khoa học GS.TSKH Vũ Ngọc Phát PGS.TSKH Vũ Hoàng Linh, hai người thầy tận tình hướng dẫn giúp đỡ trình làm luận án Tôi xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS.TSKH Vũ Ngọc Phát Thầy hướng dẫn từ bước đầu tiên, cách đặt vấn đề nghiên cứu, làm để viết báo khoa học, cách mở rộng vấn đề nghiên cứu, v.v Nhờ bảo Thầy, ngày tiến nghiên cứu khoa học Bên cạnh đó, Thầy tạo điều kiện cho giao lưu, học hỏi với nhiều nhà toán học nước quốc tế, khiến cho trưởng thành môi trường nghiên cứu Nhân cách lối sống Thầy điều mà phấn đấu hoàn thiện thân Từ tận đáy lòng, xin bầy tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới Thầy, mong Thầy mạnh khỏe để cống hiến nhiều cho nghiệp giáo dục nước nhà Tôi xin chân thành cảm ơn ý kiến nhận xét góp ý quý báu PGS.TSKH Vũ Hoàng Linh Chính nhờ bình luận góp ý Thầy mà luận án hoàn thiện Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới thầy PGS.TSKH Vũ Hoàng Linh, PGS.TS Đặng Đình Châu nhiệt tình cung cấp hướng dẫn kiến thức cần thiết xung quanh luận án Đồng thời, chân thành cảm ơn thầy, bạn đồng nghiệp anh chị nghiên cứu sinh Bộ môn Giải tích-Đại học Khoa học Tự nhiên quan tâm, giúp đỡ, trao đổi ý kiến qúy báu cho trình học tập Trong trình học tập nghiên cứu, nhận nhiều giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi từ Ban Giám hiệu, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán-Cơ-Tin học, Phòng Sau đại học phòng ban chức Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Hà Nội Tôi xin trân trọng giúp đỡ thầy cô Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy cô, bạn đồng nghiệp, nghiên cứu sinh thành viên Xêmina Tối ưu Điều khiển Viện Toán Học quan tâm, trao đổi, góp ý cho suốt trình học tập làm luận án ii Tôi xin cảm ơn Ban Giám hiệu trường Đại học Mỏ-Địa chất cho hội học tập nghiên cứu Tôi xin cảm ơn ban chủ nhiệm Bộ môn Toán-Khoa Đại học Đại cương: TS Nguyễn Văn Ngọc, Ths Tô Văn Đinh, Ths Nguyễn Lan Hương tạo điều kiện thu xếp công việc thuận lợi cho thời gian làm nghiên cứu sinh Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Hà Nội Đặc biệt, thực cảm ơn sâu sắc tới người thân tôi: bố, mẹ, vợ Họ sát cánh bên tôi, chia sẻ động viên, động lực để cố gắng hoàn thành luận án iii Mục lục DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU MỞ ĐẦU CƠ SỞ TOÁN HỌC 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 Bài toán ổn định ổn định hóa 1.1.1 Bài toán ổn định Lyapunov 1.1.2 Bài toán ổn định hóa Bài toán tồn nghiệm hệ có trễ 1.2.1 Sự tồn nghiệm phương trình vi phân hàm 1.2.2 Sự tồn nghiệm phương trình vi sai phân Bài toán ổn định ổn định hóa hệ có trễ 1.3.1 Bài toán ổn định hệ có trễ 1.3.2 Bài toán ổn định hóa cho hệ điều khiển có trễ Bài toán H∞ lí thuyết điều khiển 1.4.1 Không gian H∞ 1.4.2 Bài toán điều khiển H∞ Một số bổ đề bổ trợ Bất đẳng thức ma trận tuyến tính 16 16 16 18 19 19 21 26 26 29 29 29 30 32 33 ĐIỀU KHIỂN H∞ CHO MỘT SỐ LỚP HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CÓ TRỄ BIẾN THIÊN 37 2.1 2.2 2.3 Điều khiển H∞ cho lớp hệ phi tuyến Điều khiển H∞ cho lớp hệ quy mô lớn Kết luận Chương 37 52 70 ĐIỀU KHIỂN H∞ CHO HỆ QUY MÔ LỚN CHUYỂN MẠCH CÓ TRỄ BIẾN THIÊN 71 3.1 3.2 3.3 Tính ổn định hệ quy mô lớn phi tuyến chuyển mạch Điều khiển H∞ cho hệ quy mô lớn phi tuyến chuyển mạch Kết luận Chương KẾT LUẬN 71 85 102 103 DANH MỤC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN 105 TÀI LIỆU THAM KHẢO 106 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU R tập số thực R+ tập số thực không âm Rn không gian Euclide n chiều Rn×r tập ma trận thực kích thước (n × r) (x, y) = xT y tích vô hướng Rn , xT y = n xi yi i=1 ||x|| chuẩn Euclide véc tơ x ∈ R , ||x|| = n n i=1 1/2 x2i C([a, b], Rn ) không gian hàm liên tục [a, b] nhận giá trị Rn với chuẩn x C = sup x(t) a≤t≤b C ([a, b], Rn ) không gian hàm khả vi liên tục [a, b] nhận giá trị Rn với chuẩn x C = sup x(t) + sup x(t) ˙ a≤t≤b a≤t≤b I ma trận đơn vị kích thước n × n Ii ma trận đơn vị kích thước ni × ni ∗ phần tử đường chéo ma trận đối xứng AT ma trận chuyển vị ma trận A λ(A) tập giá trị riêng ma trận A λmax (A) := max{Reλ : λ ∈ λ(A)} λmin(A) := min{Reλ : λ ∈ λ(A)} λA = λmax (AT A) A ≥ có nghĩa ma trận A nửa xác định dương, tức xT Ax ≥ 0, ∀x ∈ Rn A > có nghĩa ma trận A xác định dương, tức xT Ax > 0, ∀x ∈ Rn \ {0} F ∗ (s) ma trận liên hợp ma trận F (s) K tập hàm liên tục không giảm a(·) : R+ → R+ , a(0) = 0, a(s) > 0, ∀s > L2loc ([0, ∞), Rn ) không gian hàm ω(t) : [0, ∞) → Rn bình phương khả tích tập compact K [0, ∞), có nghĩa ||ω(t)||2 dt < ∞ K L2 ([0, ∞), Rn ) không gian hàm ω(t) : [0, ∞) → Rn bình phương khả tích [0, ∞), có nghĩa ∞ ||ω(t)||2 dt < ∞ LMI viết tắt cụm từ tiếng Anh (linear matrix inequality) có nghĩa bất đẳng thức ma trận tuyến tính MỞ ĐẦU Lý thuyết không gian H∞ có nguồn gốc từ công trình G H Hardy [21] năm 1915 Sau đó, năm 1981, G Zames [73] áp dụng thành công lí thuyết vào điều khiển, lần đưa toán thiết kế điều khiển cho hệ thống đầu vào đầu toán tối ưu hóa Bài toán điều khiển H∞ tối ưu hiểu sau Tìm điều khiển để ổn định hóa hệ thống nhiễu có nhiễu điều khiển đảm bảo tác dụng nhiễu nhỏ Tuy nhiên, việc tìm lời giải cho toán tối ưu hệ thống điều khiển thực tế phức tạp, tốn kém, chí không cần thiết Chúng ta cần thiết kế điều khiển gần với điều khiển tối ưu mà đảm bảo tính ổn định hiệu suất hệ thống mức chấp nhận Đây lí cho đời của toán điều khiển H∞ tối ưu (suboptimal) Từ lúc đời, lí thuyết điều khiển H∞ nhận nhiều quan tâm [29, 52] Tiện lợi điều khiển H∞ sử dụng cho hệ đa đầu vào, đa đầu có nhiễu không mong muốn, mà cách sử dụng điều khiển Trên sở quy toán tối ưu, việc tìm điều khiển H∞ dựa nhiều công cụ toán học phương pháp số, việc thiết kế điều khiển trở nên đơn giản Điều làm cho toán điều khiển H∞ phát triển mạnh mẽ từ thập kỉ 80 (thế kỉ 20) nay, áp dụng thành công nhiều lĩnh vực, trình công nghiệp kĩ thuật Trong thập kỉ 80 (thế kỉ 20), nhiều phương pháp sử dụng nhằm giải toán điều khiển H∞ , phương pháp hàm giải tích Nevanlinna-Pick phương pháp lí thuyết toán tử [4, 61] Cũng giai đoạn này, năm 1984, Doyle [13] lần nghiên cứu toán điều khiển H∞ cho hệ đa đầu vào đa đầu ra, kết phát triển tiếp Glover [20] Francis [16] Tuy nhiên, điểm hạn chế nghiên cứu chúng liên quan tới việc giải phương trình Riccati có kích thước lớn công thức cho điều khiển phức tạp Năm 1989, Doyle [14] mở rộng nghiên cứu toán điều khiển H∞ từ việc nghiên cứu trễ số sang nghiên cứu trễ biến thiên, từ không gian hữu hạn chiều sang vô hạn chiều, Chú ý 3.2.6 Kết đạt Định lí 3.2.2 điều kiện đủ cho tồn điều khiển H∞ kết điều khiển H∞ cho hệ quy mô lớn chuyển mạch có trễ biến thiên liên tục dạng khoảng Bên cạnh đó, kết áp dụng để nghiên cứu toán điều khiển H∞ cho hệ quy mô lớn Chương tập giá trị σi có giá trị Tuy nhiên, phải nhấn mạnh rằng, kết hệ quy mô lớn chương hệ hệ quy mô lớn chuyển mạch có khác biệt mặt kĩ thuật việc nghiên cứu hệ chuyển mạch hệ không chuyển mạch.Việc nghiên cứu hệ điều khiển quy mô lớn chuyển mạch khó khăn hơn hệ khác luận án nhiều, kết hợp nhiều hệ quy mô lớn mà đòi hỏi phải thiết kế điều khiển ngược cách linh hoạt nhằm ổn định hóa đảm bảo hiệu suất tùy thuộc vào trạng thái hệ thống thời điểm khác Ví dụ 3.2.7 Xét hệ chuyển mạch (3.17) với     0.1 + 0.2 sin(t) t ∈ H , 0.2 + 0.1 sin(t) h12 (t) = , h21 (t) =   0.1 0.2 t ∈ /H, t ∈ H , t ∈ /H, H = ∪k∈N (2kπ, (2k + 1)π),       −1.2 0.1 −1 −1.1 0.2 −0.9 0.1  , A21 =   , A12 =   , A22 =  , A11 =  0.2 −1.3 −1.3 0.1 −1 −1.2         0.2 0.1 0.2 0.1 0.1 ,  , A221 =   , A121 =   , A212 =  A112 =  0.2 0.2 0.1 0.1         0.03 0.04 0.01 0.02 ,  , B22 =   , B2 =   , B12 =  B1 =  0.04 0.03 0.02 0.01         0.03 0.02 0.01 0.02  , D12 =   , D2 =   , D22 =  , D1 =  0.02 0.03 0.02 0.01         0.01 0 0.02 0.05 0.01  , C12 =   , C2 =   , C22 =  , C1 =  0.01 0.02 0.01 0.05       0.8 0.7 0.1 0.1 , F1 =   , F12 =   , G12 =  0.6 0.7 0.1   99       0.5 0.4 0.1 0.2 , F2 =   , F22 =   , G21 =  0.4 0.5 0.2 0.1 hệ số tăng trưởng a11 = a21 = a12 = a22 = a112 = a212 = a121 = a221 = 0.01, b11 = b21 = b12 = b22 = g12 = g12 = 0.01, d11 = d21 = d12 = d22 = c11 = c21 = c12 = c22 = 0.01, e11 = e21 = e12 = e22 = c11 = 0.01 Các bất đẳng thức ma trận tuyến tính (3.22) L11 + L21 < 0, L12 + L22 < 0, giải thông qua hộp công cụ LMI Matlab với h1 = 0.1, h2 = 0.3, β = 0.01, γ = 4,      0.2482 −0.0177 0.2447 −0.0634 0.7166  , Q1 =   , R1 =  P1 =  −0.0177 0.3291 −0.0634 0.4188 −0.1893      0.5173 −0.2067 0.0172 −0.0214 0.4383  , Λ1 =   , P2 =  U1 =  −0.2067 1.2287 −0.0214 0.0641 −0.0208      4.6669 1.3561 −0.1610 0.4789 −0.0926  , U2 =   , R2 =  Q2 =  −0.1509 −0.1610 1.8117 −0.0926 0.7238      0.3461 −0.0273 −0.3888 0.0195 −0.1309  , S11 =   , S12 =  Λ2 =  −0.0273 0.6457 0.0197 −0.6995 0.0339     −0.8472 −0.0082 −0.3606 0.0241  , S22 =  , S21 =  −0.0082 −1.1893 0.0241 −0.4837 Y11 = 10−3 −0.9599 −0.2159 , Y12 = 10−3 −0.5638 −0.0373 , Y21 = −0.0004 −0.0017 , Y22 = −0.0007 0.0020 100 −0.1893 1.1766 −0.0208 0.5770  ,  , −0.1509 7.4999 0.0339  ,  , −0.2616 Trong trường hợp này, ta     −0.0633 0.0503 0.0595 −0.0458  , L21 =  , L11 =  0.0503 −0.0102 −0.0458 −0.0031  L12 =   L11 + L21 =  −0.1369 0.0610 0.0610    0.0726 −0.0406  , L22 =  , 0.0522 −0.0406 −0.1744 −0.0038 0.0046 0.0046 −0.0132 Các tập Ωli xác định sau  Ω11 = {(x1 , x2 )T : (x1 , x2 )   Ω21 = {(x1 , x2 )T : (x1 , x2 )     < 0, L12 + L22 =  −0.9477 0.5608 0.5608 −0.0307 0.8924 −0.5164 −0.0643 0.0204 0.0204   < −0.1222   (x1 , x2 )T < 0},   (x1 , x2 )T < 0}, −0.5164 −0.0865  −0.6918 0.2240  (x1 , x2 )T < 0}, Ω12 = {(x1 , x2 )T : (x1 , x2 )  0.2240 0.1739   0.3627 −0.1725  (x1 , x2 )T < 0} Ω22 = {(x1 , x2 )T : (x1 , x2 )  −0.1725 −0.5369  Hợp Ω1i Ω2i R2 \ {0} với i = 1, Các tập Ωli xác định  −0.9477 0.5608   (x1 , x2 )T < 0}, Ω21 = R2 \ Ω11 , 0.5608 −0.0307   −0.6918 0.2240  (x1 , x2 )T < 0}, Ω22 = R2 \ Ω12 Ω12 = {(x1 , x2 )T : (x1 , x2 )  0.2240 0.1739 Ω11 {(x1 , x2 )T : (x1 , x2 )  Theo Định lí 3.2.2, hệ ổn định với quy tắc bật σ(x(t)) = (l1 , l2 ) x(t) ∈ Ωl11 × Ωl22 , 101 điều khiển u11 (t) = Y11 P1−1 x1 (t) = −0.0039 −0.0009 x1 (t), u21 (t) = Y12 P1−1 x1 (t) = −0.0023 −0.0002 x1 (t), u12 (t) = Y21 P2−1 x2 (t) = −0.0010 −0.0030 x2 (t), u22 (t) = Y22 P2−1 x2 (t) = −0.0015 −0.0033 x2 (t) Hơn thế, nghiệm hệ thỏa mãn ||x(t)|| ≤ 16.1997 e−0.01t ||ϕ||C 3.3 Kết luận Chương Chương trình bày kết nghiên cứu tính ổn định toán điều khiển H∞ cho lớp hệ quy mô lớn chuyển mạch có trễ biến thiên liên tục dạng khoảng Kết đạt sau: • Đưa điều kiện đủ cho tính ổn định mũ cho hệ quy mô lớn chuyển mạch thông qua bất đẳng thức ma trận tuyến tính thiết kế quy tắc chuyển mạch dạng hình học (Định lí 3.1.4) • Đưa điều kiện đủ (Định lí 3.2.2) cho tồn điều khiển H∞ cho hệ quy mô lớn chuyển mạch sở phát triển Định lí 3.1.4 Đây kết toán điều khiển H∞ cho hệ quy mô lớn chuyển mạch có trễ biến thiên liên tục dạng khoảng 102 KẾT LUẬN Luận án nghiên cứu tính ổn định toán điều khiển H∞ cho số hệ phương trình vi phân phi tuyến có trễ biến thiên liên tục dạng khoảng, không đòi hỏi tính khả vi hàm trễ Những kết chứng minh luận án: • Đưa số điều kiện đủ cho tồn điều khiển H∞ tính ổn định hóa dạng mũ cho lớp hệ phi tuyến hệ quy mô lớn có trễ biến thiên liên tục dạng khoảng xuất hàm trạng thái quan sát (Định lí 2.1.3 Định lí 2.2.3) Tiếp đó, áp dụng định lí nghiên cứu hệ không chắn tương ứng thu kết tương tự • Đưa điều kiện đủ cho tính ổn định mũ cho hệ quy mô lớn chuyển mạch thông qua bất đẳng thức ma trận tuyến tính thiết kế quy tắc chuyển mạch dạng hình học (Định lí 3.1.4) • Đưa điều kiện đủ (Định lí 3.2.2) cho tồn điều khiển H∞ cho hệ quy mô lớn chuyển mạch sở phát triển Định lí 3.1.4 Đây kết toán điều khiển H∞ cho hệ quy mô lớn chuyển mạch có trễ biến thiên liên tục dạng khoảng Điểm luận án so với kết có: • Hàm trễ không đòi hỏi tính khả vi cận trễ khác • Hầu hết hệ nghiên cứu luận án quy mô lớn, tức hệ có cấu trúc phức tạp hình thành từ nhiều hệ • Các quy tắc chuyển mạch biểu diễn hình học cách đơn giản • Trên sở áp dụng kĩ thuật nhất, cho phép đánh giá tính ổn định với độ biến thiên trễ lớn so với kết có 103 Luận án mở số vấn đề tiếp tục nghiên cứu: • Nghiên cứu tính ổn định toán điều khiển H∞ cho hệ phương trình vi phân điều khiển khác như: hệ nơron hệ điều khiển kĩ thuật bền vững có trễ biến thiên liên tục dạng khoảng • Nghiên cứu tính ổn định thiết kế điều khiển khác điều khiển phụ thuộc hàm quan sát cho hệ phương trình vi phân điều khiển có trễ biến thiên liên tục dạng khoảng 104 DANH MỤC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN [1] Thanh N T and Phat V N (2012), "Decentralized H∞ control for largescale interconnected nonlinear time-varying delay systems via LMI approach", Journal of Process Control, 22(7), pp 1325-1339.(SCI) [2] Thanh N T and Phat V N (2013), "H∞ control for nonlinear systems with interval non-differentiable time-varying delay", European Journal of Control, 19(3), pp 190-198.(SCI-E) [3] Thanh N T and Phat V N (2014), "Decentralized stability for switched nonlinear large-scale systems with interval time-varying delays in interconnections", Nonlinear Analysis: Hybrid Systems, 11, pp 22-36.(SCI-E) 105 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Lê Văn Hiện (2010), Tính ổn định số lớp hệ phương trình vi phân điều khiển, Luận án tiến sĩ toán học, Đại học Sư phạm Hà Nội [2] Vũ Ngọc Phát (2001), Nhập Môn Lý Thuyết Điều Khiển Toán Học, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội [3] Mai Viết Thuận (2014), Tính ổn định số lớp hệ phương trình vi phân hàm ứng dụng lí thuyết điều khiển, Luận án tiến sĩ toán học, Viện Hàn Lâm Khoa Học Công nghệ Việt Nam, Viện Toán Học Tiếng Anh [4] Adamjan V.M., Arov D.Z., Krein M.G (1978), "Infinite block hankel matrices and related extension problems", Trans AMS., 111(2), pp 133 - 156 [5] Almi A.M., Derbel N (1995), "New hierarchical control algorithm for largescale time-delay systems", Control and Computer, 23, pp 48 - 52 [6] Babuke L (2008), "Decentralized control: an overview", Annual Review in Control, 32(1), pp 87 - 98 [7] Balassubramaniam P., Krishnasamy R., Rakkiyappan R (2011), "Delayinterval-dependent robuts stability results for uncertain stochastic systems with markovian jumping parameters", Nonlinear Anal Hybrid Systems, 5(4), pp 681 - 691 106 [8] Boyd S., Ghaoui El, Feron E., Balakrishnan V (1994), Linear Matrix Inequalities in System and Control Theory, SIAM Studies in Applied Mathematics, 15 SIAM, Philadelphia [9] Chen N., Ikeda M., Gui W (2005), "Design of robuts H∞ control for interconnected systems", International Journal of Control, 3(2), pp 143 - 151 [10] Chang-Chun Hua, Qing-Guo Wanga, Xin-Ping Guan (2008), "Exponential stabilization controller design for interconnected time delay systems", Automatica, 44(10), pp 2600 - 2606 [11] Chen C.Y., Lee C.H (2009), "Robuts stability of homogeneous large-scale bilinear systems with time delays and uncertainties", Journal of Process Control, 19(7), pp 1082 - 1090 [12] Changki Jeong, PooGyeon Park, Sung Hyun Kim (2012), "Improved approach to robust stability and H∞ performance analysis for systems with an interval time-varying delay", Applied Mathematics and Computation, 218(21), pp 10533 - 10541 [13] Doyle J.C (1984), Lecture Notes in Advances in Multivariable Control, ONR/Honeywell Workshop, Minneapolis [14] Doyle J.C., Glover K., Khargonekar P.P., Francis B.A (1989), "State-space solutions to standard H2 and H∞ control problems", IEEE Trans Auto Control, AC- 34(8), pp 831 - 847 [15] Du D., Jiang B., Shi P., Karimi H.R (2013), "Fault detection for continuous-time switched systems under asynchronuos switching", International Journal of Robuts Nonlinear Control, (in press) http://dx.doi.org/10.1002/rnc.2961, published online in 18 January, 2013 [16] Francis B.A (1987), A Course in H∞ Control Theory, Springer, Berlin [17] Fridman E., Shaked U (2003), "Delay-dependent stability and H∞ control: constant and time-varying delays", International Journal of Control, 76(1), pp 48 - 60 [18] Fu Q (2009), "Decentralized H∞ control for a class of large-scale interconnected nonlinear systems with uncertainties via output feedback", Mathematica Applicata, 22(4), pp 771 - 777 107 [19] Gahinet P., Nemirovskii A., Laub A.J., Chilali M (1995), LMI Control Toolbox for Use with Matlab, The Math Works, Inc [20] Glover K (1984), "All optimal hankel-norm approximation of linear multivariable systems and L∞ error bounds", Int J Control, 39(6), pp 1115 1193 [21] Hardy G.H (1915), "On the mean value of the modulus of an analytic function", Proceeding of the London Mathematical Society, JFM 45.1331.03, 14(1), pp 269 - 277 [22] Hale Jack K., Sioerd M Verduyn Lunel (1993), Introduction to Functional Differential Equations, Springer-Verlag, New York, Inc [23] Hien L.V., Phat V.N (2009), "Exponential stability and stabilization of a class of uncertain linear time delay systems", Journal of the Franklin Institute, 346(6), pp 611 - 625 [24] Hien L.V., Phat V.N (2009), "Exponential stabilization for a class of hybrid systems with mixed delays in state and control", Nonlinear Anal Hybrid Systems, 3(3), pp 259 - 265 [25] Hua C.C., Wang Q.G., Gua X.P (2008), "Exponential stabilization controller design for interconnected time delay systems", Automatica, 44(10), pp 2600 - 2606 [26] Ichikawa A (2000), "Product of non-negative operators and infinite dimentional H∞ ricatti equations", Systems and Control Letters, 41(3), pp 183 - 188 [27] Ikeda M., Sijak D.D (1980), "Decentralized stabilization of large-scale systems with time delays", Large Scale Systems, 1, pp 273 - 279 [28] Jiang X., Han Q.L (2005), "On H∞ control for linear systems with interval time-varying delay", Automatica, 41(12), pp 2099 - 2106 [29] Keulen B.V (1993), H∞ Control for Distributed Parameter Systems: A State-Space Approach, Bikhauser, Bolton [30] Kharitonov V L., Hinrichsen D (2004), "Exponential estimate for time delays systems", Systems and Control Letters, 53(5), pp 395 - 405 108 [31] Kharitonov V.L (2013), Time-Delay Systems: Lyapunov Functional and Matrices, Birkhauser [32] Kolmanovskii V.B., Nosov V.R (1986), Stability of Functional Differential Equations, Academic Press, Inc [33] Krasovskii N.N (1963), Stability of Motion: Applications of Lyapunov’s Second Method to Differential Systems and Equations with Delay, Stanford University Press, Stanford, California [34] Kwon O.M., Park J.H (2006), "Guaranteed cost control for uncertain largescale systems with time-delays via delayed feedback", Chao, Solitons and Fractals, 27(3), pp 800 - 812 [35] Kwon O.M., Park J.H (2006), "Robuts H∞ filtering for uncertain timedelay systems: matrix inequality approach", Journal of Optimization Theory and Applications, 129(2), pp 309 - 324 [36] Kwon O.M., Park M.J., Park Ju H., Lee S.M., Cha E.J (2013), "Analysis on robust H∞ performance and stability for linear systems with interval time-varying state delays via some new augmented Lyapunov–Krasovskii functional", Applied Mathematics and Computation, 224, pp 108 - 122 [37] Labibi B., Marquez H.J., Chen T (2009), "Decentralized robuts output feedback control for control affine nonlinear interconnected systems", Journal of Process Control, 19(5), pp 865 - 878 [38] Lee T.N., Radovic U.L (1988), "Decentralized stabilization of linear continuous and discrete- time systems with delays in interconnections", IEEE Transactionson on Automatic Control, 22(2), pp 173 - 179 [39] Liberzon D (2003), Switching in Systems and Control, Bikhauser, Bolton [40] Li T., Guo L., Zhang Y (2008), "Delay-range-dependent robuts stability and stabilization for uncertain systems with time-varying delay", International Journal of Robuts and Nonlinear Control, 18(13), pp 1372 - 1387 [41] Lien C.H., Yu K.W., Chung Y.J., Chang H.C., Chung L.Y., Chen J.D (2011), "Switched signal design for global exponential stability of uncertain switched nonlinear systems with time-varying delays", Nonlinear Anal Hybrid Syst., 5(1), pp 10 - 19 109 [42] Liu J., Gu Z., Tian E (2012), " A new approach to H∞ filtering for linear time-delay systems", Journal of Franklin Institute, 349(1), pp 184 - 200 [43] Lu Q., Zhang L., Shi P., Karimi H.R (2013), "Control design for a hypersonic aircaft using a switched linear parameter varying systems approach", Proc Inst Mech Eng I, 227, pp 85 - 95 [44] Mahmoud M., Hassen M., Darwish M (1985), Large-Scale Control Systems: Theories and Techniques, Marcel-Dekker, New York [45] Mahmoud M.S, Almutairi N B (2009), "Decentralized stabilization of interconnected systems with time-varying delays", European Journal of Control, 15(6), pp 624 - 633 [46] Mahmoud M.S (2009), "Decentralized reliable control of interconnected systems with time-varying delays", J Optim Theory Appl., 143(3), pp 497 - 518 [47] Mahmoud M.S., Fouad M.A (2010), "Interconnected continuous-time switched systems: robuts stability and stabilization", Nonlinear Anal Hybrid Systems, 4(3), pp 531 - 542 [48] Niculescu S.I (1998), "H∞ Memoryless control with α− stability contraint for time-delay systems: an LMI approach", IEEE Transactionson Automatic Control, 43(5), pp 739 - 743 [49] Oucheriah S (2000), "Decentralized stabilization of large-scale systems with multiple delays in the interconnections", International Journal of Control, 73(13), pp 1213 - 1223 [50] Park J.H (2005), "On design of dynamic output feedback controller for GCS of large-scale systems with delays in interconnection: LMI optimization approach", Applied Mathematics and Computation, 161(2), pp 423 - 432 [51] Park P.G., Ko J.W., Jeong C (2011), "Reciprocally convex approach to stability of systems with time-varying delays", Automatica, 47(1), pp 235 238 [52] Peterser I.R., Ugrinovskii V.A., Savkin A.V (2000), Robuts Control Design Using H∞ Methods, Springer, London 110 [53] Phat V.N (2004), "Nonlinear H∞ optimal control in Hilbert space via Ricatti operator equations", Nonlinear Functional Analysis and Applications, 9, pp 79 - 92 [54] Phat V.N., Ha Q.H (2009), "H∞ control and exponential stability for a class of nonlinear non-autonomous systems with time-varying delay ", Journal of Optimization Theory and Applications, 142(3), pp 603 - 618 [55] Phat V.N (2009), "Memoryless H∞ controller design for switched nonlinear systems with mixed time-varying delays", International Journal of Control, 82(10), pp 1889 - 1898 [56] Phat V.N., Niamsup P (2010), "A novel exponential stability condition of hybrid neural networks with time-varying delay", Vietnam J Math., 38(3), pp 341 - 351 [57] Phat V.N (2010), "Switched controller design for stabilization of nonlinear hybrid systems with time-varying delays in state and control", J Franklin Inst., 347(1), pp 195 - 207 [58] Phat V.N., Khongthamb Y., Ratchagit K (2012), "LMI approach to exponential stability of linear systems with interval time-varying delays", Linear Algebra and its Applications, 436(1), pp 243 - 251 [59] Ravi R., Nagpal K.M., Khargonekar P.P (1991), "H∞ control of linear timevarying systems: a state approach", SIAM Journal on Control Optimization, 29(6), pp 1394 - 1413 [60] Ratchagit K., Phat V.N (2011), "Stability and stabilization of switched linear discrete -time systems with interval time-varying delay", Nonlinear Anal Hybrid Syst., 5(4), pp 605 - 612 [61] Sarason D (1967), "Generalized interpolation in H∞ ", Trans AMS., 127(2), pp 179 - 203 [62] Savkin A.V., Evans R.J (2001), Hybrid Dynamical Systems: Controller and Sensor Switching Problems, Springer, New York [63] Sun Z., Ge S.S (2005), Switched Linear Systems: Control and Design, Springer, London 111 [64] Sun J., Liu G.P., Chen J., and Rees D (2010), "Improved delay range dependent stability citeria for linear systems with time varying delays ", Automatica, 46(2), pp 466 - 470 [65] Thuan M.V., Phat V.N (2012), "Optimal guaranteed cost control of linear systems with mixed interval time-varying delayed state and control", Journal of Optimization Theory and Applications, 152(2), pp 394 - 412 [66] Thuan M.V., Phat V.N., Fernando T and Trinh H (2013), "Exponential stabilization of time-varying delay systems with nonlinear perturbations", IMA Journal of Mathematical Control and Information, doi: 10.1093/imamci/ dnt022, (2013), 24 pages [67] Uhlig F (1979), "A recuring theorem about pairs of quadratic forms and extentions", Linear Algebra Appl., 25, pp 219 - 237 [68] Wang S., Yao H.S (2011), "Impulsive synchronization of two coupled complex networks with time-delayed dynamical nodes", Chin Phys B, 20, pp 090513-1 – 090523-6 [69] Wang S., Yao H.S (2012), "Pinning synchronization of the time-varying delay coupled complex networks with time-delayed dynamical nodes", Chin Phys B, 21, pp 050508-1 – 050508-2 [70] Wang D., Shi P., Wang W., Karimi H.R (2013), "Non-fragile H∞ control for switched stochastic delay systems with application to water quality process", International Journal of Robuts Nonlinear Control, (in press) http://dx.doi.org/10.1002/rnc.2956, published online in 14 January, 2013 [71] Xu S., Lam J., Xie L (2006), "New results on delay-dependent robuts H∞ control for systems with time-varying delays", Automatica, 42(2), pp 343 348 [72] Xie L and Carlos E de Souza (1990), "Robust control H∞ for linear timeinvariant systems with norm-bounded uncertainty in the input matrix", Systems and Control Letters, 14(5), pp 389 - 396 [73] Zames G (1981), "Feedback and optimal sensitivity: model reference transformations, myltiplicative seminorms, and approximate inverses", IEEE Trans Auto Control, 26(2), pp 380 - 385 112 [74] Zairong X., Feng G., Jiang Z.P., Cheng D (2003), "A switching algorithm for global exponential stabilization of uncertain chained systems", IEEE Trans Automat Control, 48(10), pp 1793 - 1798 [75] Zhang X.M., Han Q.L (2011), "Global asymptotic stability for a class of generalized neural networks with interval time-varying delays", IEEE Transactions on Neural Networks, 22(8), pp 1180 - 1192 [76] Zhang J., Xia Y., Shi P., Mahmoud M.S (2011), "New results on stability and stabilization of systems with interval time-varying delay", IET Control Theory and Applications, 5(3), pp 429 - 436 [77] Zhou K., Doyle J.C., Glover K (1995), Robuts and Optimal Control, New Jersey: Prentice Hall [78] Zhou K., Khargonekar P.P (1988), "Robuts stabilization of linear systems with norm-bounded time varying uncertainty", Systems and Control Letters, 10(1), pp 17 - 20 [79] Zong G.D., Wu Y.Q (2004), "Exponential stability of a class of switched and hybrid systems", In: Proc IEEE on Control Aut Robotics and Vision, 3, pp 2244 - 2249 113 [...]... năm 2009 cho lớp h x(t) ˙ = [A + ∆A(t)]x(t) + [D + ∆D(t)]x(t − h( t )) Năm 2012, Changki Jeong, PooGyeon Park, và Sung Hyun Kim [12] nghiên cứu h có trễ biến thiên liên tục dạng khoảng không khả vi và có trễ ở h m quan sát x(t) ˙ = Ax(t) + Ah x(t − h( t )) + Bw(t) + Gp(t), q(t) = Ex(t) + Eh x(t − h( t )) , z(t) = Cx(t) + Ch x(t − h( t )) + Dw(t), trong đó p(t) = ∆(t)q(t), ∆T (t)∆(t) ≤ ρ−2 I H thu được kết... Chứng minh Ta thấy, h m F liên tục trên [0, ) × C Thật vậy, giả sử tức là (t1 , ϕ1 ) → (t, ), |t1 − t| + ||ϕ1 − ϕ||C → 0 Ta thấy, với i = 1, 2, , m cố định, ||ϕ1 ( hi (t1 )) − ( hi (t )) | | = ||ϕ1 ( hi (t1 )) − ( hi (t1 )) + ( hi (t1 )) − ( hi (t )) | | ≤ ||ϕ1 ( hi (t1 )) − ( hi (t1 )) || + || ( hi (t1 )) − ( hi (t )) | | ≤ ||ϕ1 − ϕ||C + || ( hi (t1 )) − ( hi (t )) | | 21 Từ bất đẳng thức này và tính liên... − h( t )) + Bu(t) + Cω(t)         +f (t, x(t), x(t − h( t )) , u(t), ω(t )) ,    (1 ) z(t) = Ex(t) + Gx(t − h( t )) + F u(t)       +g(t, x(t), x(t − h( t )) , u(t )) , t ≥ 0,       x0 = ϕ Điều khiển H của h có trễ thu h t được nhiều sự quan tâm về mặt lí thuyết cũng như thực tiễn do trễ không những là một yếu tố không thể tránh khỏi trong nhiều quá trình thực tế mà còn là nguyên nhân cho... Nếu x(t) là nghiệm bất kì của h (1 . 1) thì x(t) là ổn định nếu nghiệm z(t) ≡ 0 của phương trình z(t) ˙ = F (t, z(t )) , (1 . 2) là ổn định, trong đó F (t, z(t )) = f (t, z(t) + x(t )) − f (t, x(t )) H m F (t, z(t )) thỏa mãn F (t, 0) = 0, ∀t ≥ 0 Do đó, tính ổn định của một nghiệm x(t) của h (1 . 1) sẽ đưa về nghiên cứu tính ổn định của nghiệm x = 0 của h (1 . 2) Để đơn giản kí hiệu, ta luôn xét h (1 . 1) với... bài toán điều khiển H cho h (2 ) khi tập giá trị σi chỉ có một giá trị.Tuy nhiên, chúng tôi phải nhấn mạnh rằng, kết quả của h (2 ) trong luận án không phải là h quả của h (4 ) do có sự khác biệt về mặt kĩ thuật trong vi c nghiên cứu h chuyển mạch và h không chuyển mạch .Vi c nghiên cứu h (4 ) khó khăn h n vi c nghiên cứu các h (1 ), (2 ), (3 ) rất nhiều, đây không những là sự kết h p của các h quy... của các h m hi ( ), ta có lim (t1 ,ϕ1 ) (t, ) ||ϕ1 ( hi (t1 )) − ( hi (t )) | | = 0, i = 1, 2, , m, t ≥ 0 H n thế, khi (t1 , ϕ1 ) → (t, ), (t1 , ϕ1 (0 ), ϕ1 ( h1 (t )) , , ϕ1 ( hm (t )) ) → (t, (0 ), ( h1 (t )) , , ( hm (t )) ) , kết h p với tính liên tục của f trên R+ × Rn × Rn × · · · × Rn , ta có h m F liên tục trên [0, ) × C Ta mở rộng h m này thành F h m liên tục trên R × C   F (t, ) nếu t ≥ 0, , ∀(t,... tại h m g : Rn → Rm , g( 0) = 0, sao cho nghiệm x = 0 của h phương trình vi phân x(t) ˙ = f (t, xt , g(x(t )) ) là ổn định tiệm cận Trong trường h p này, h m u = g(x) gọi là h m điều khiển ngược ổn định h a h thống Định nghĩa 1.3.9 ([ 1 ]) Cho β > 0 H điều khiển (1 .1 2) được gọi là ổn định h a được dạng mũ nếu tồn tại h m g : Rn → Rm , g( 0) = 0, sao cho nghiệm x = 0 của h x(t) ˙ = f (t, xt , g(x(t )) ) là... h m điều khiển ngược ổn định h a h thống Định lí 1.1.6 ([ 2 ]) H tuyến tính dừng x(t) ˙ = Ax(t) + Bu(t) là ổn định h a được nếu nó điều khiển được về 0, trong đó A, B là các ma trận h ng với số chiều thích h p Định lí 1.1.7 ([ 2 ]) Xét h điều khiển (1 . 3) có dạng x(t) ˙ = f (x(t), u(t )) , t ≥ 0 Giả sử tồn tại h m V (x) : Rn → R khả vi liên tục và h m véc tơ h( x) : Rn → Rn , h( 0) = 0, sao cho các điều kiện... cận của h khi không có nhiễu và điều kiện H được thể hiện thông qua phương trình Riccati đại số Năm 2005, Xiefu Jiang và Qing-Long Han [28] lần đầu tiên nghiên cứu bài toán điều khiển H cho h tuyến tính có trễ biến thiên liên tục dạng khoảng không khả vi và không có trễ trong h m quan sát x(t) ˙ = [A + ∆A(t)]x(t) + [B + ∆B(t)]u(t) + [A1 + ∆A1 (t)]x(t − h( t )) + Bω ω(t), z(t) = Cx(t) + D1 u(t) và kết... tổng h p của các h thống Hybrid liên quan đến các nhà nghiên cứu trong một số lĩnh vực truyền thống khác nhau, chẳng h n như khoa h c máy tính và kỹ thuật điều khiển h thống Vì vậy, không phải là đáng ngạc nhiên rằng có nhiều cách tiếp cận để mô h nh h a, phân tích và tổng h p các h thống Hybrid Một mặt, các nhà khoa h c máy tính tập trung vào h thống Hybrid chủ yếu như các chương trình (máy tính) ... r1 = h2 − h( t) h( t) − h1 , r2 = , h2 − h1 h2 − h1 f1 (t) = x(t − h( t )) − x(t − h2 ) f2 (t) = x(t − h1 ) − x(t − h( t )) g12 (t) = x(t − h( t )) − x(t − h2 ) g21 (t) = x(t − h1 ) − x(t − h( t )) T T... h1 ) − x(t − h( t )) − e−2 h2 x(t − h( t )) − x(t − h2 ) − e−2 h2 x(t − h1 ) − x(t − h( t )) T T T T U1 x(t − h( t )) − x(t − h2 ) U1 x(t − h1 ) − x(t − h( t )) (2 . 8) S1 x(t − h1 ) − x(t − h( t )) S1T x(t... −f1 (t) − f2 (t) − g12 (t) − g21 (t) T = − x(t − h( t )) − x(t − h2 ) T − x(t − h1 ) − x(t − h( t )) T − x(t − h( t )) − x(t − h2 ) H n thế, T − x(t − h1 ) − x(t − h( t )) U1 x(t − h( t )) − x(t − h2 ) U1