ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ————————– VŨ THỊ HIỀN SÁU PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TOÁN PHỔ THÔNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ————————– VŨ THỊ HIỀN SÁU PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TOÁN PHỔ THÔNG Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số : 60460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TS Đặng Huy Ruận Hà Nội - 2015 Mục lục Mở đầu 1 Phương pháp quy nạp 1.1 Nguyên lý quy nạp 1.2 Phương pháp chứng minh quy nạp 1.2.1 Cơ sở quy nạp 1.2.2 Quy nạp 1.2.3 Vận dụng phương pháp quy nạp để giải số toán 2 3 17 17 18 19 19 Phương pháp chứng minh phản chứng 2.1 Cơ sở lý thuyết 2.2 Nội dung phương pháp phản chứng 2.3 Trình bày lời giải phương pháp phản chứng 2.4 Một số ví dụ minh họa Phương pháp suy luận trực tiếp 28 3.1 Vài nét phương pháp suy luận trực tiếp 28 3.2 Các ví dụ vận dụng phương pháp suy luận trực tiếp 29 Phương pháp đồ thị 4.1 Một số khái niệm kết lí thuyết đồ thị 4.2 Phương pháp đồ thị 4.2.1 Xây dựng đồ thị mô tả quan hệ 4.2.2 Dựa vào kết lý thuyết đồ thị lý luận trực tiếp suy đáp án toán D 4.3 Một số ví dụ 35 35 36 37 37 37 Phương pháp bảng 53 5.1 Giới thiệu phương pháp bảng 53 i MỤC LỤC 5.2 Một số ví dụ minh họa 53 Phương pháp sơ đồ 6.1 Các bước thực phương pháp sơ đồ 6.1.1 Thiết lập sơ đồ 6.1.2 Dựa vào cấu trúc sơ đồ mô tả quan hệ điều kiện cho toán mà suy đáp án 6.2 Một số ví dụ Kết luận Tài liệu tham khảo ii 67 67 67 67 67 77 79 Mở đầu Toán phổ thông nhiều số lượng, phong phú chủng loại Mỗi chủng loại đòi hỏi phương pháp giải thích hợp Bởi có nhiều phương pháp giải toán phổ thông Với khối lượng có hạn, luận văn xin phép trình bày sáu phương pháp thường dùng Luận văn gồm phần mở đầu sáu chương: Chương I trình bày phương pháp quy nạp, Chương II trình bày phương pháp phản chứng, Chương III trình bày phương pháp suy luận trực tiếp, Chương IV trình bày phương pháp đồ thị, Chương V trình bày phương pháp bảng, Chương V I trình bày phương pháp sơ đồ Mỗi phương pháp có phần tóm tắt sở lý thuyết phần vận dụng phương pháp để giải tập Luận văn hoàn thành hướng dẫn tận tình thầy giáo GS TS Đặng Huy Ruận Em xin bày tỏ lòng kính trọng biết ơn sâu sắc đến Thầy Em xin trân trọng cảm ơn ban lãnh đạo khoa Toán - Cơ - Tin học, khoa Sau Đại học, Trường Đại học Khoa học tự nhiên, Đại học Quốc Gia Hà Nội, Thầy, Cô giáo trang bị kiến thức, tạo điều kiện cho chúng em thời gian học tập Tôi xin gửi lời cảm ơn đến Đồng nghiệp trường Phổ Thông Hồng Đức - Hà Nội, người động viên giúp đỡ nhiều trình hoàn thành luận văn Luận văn khó tránh khỏi hạn chế sơ xuất Rất mong bảo Quý thầy cô Quý bạn đọc để luận văn hoàn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn! Chương Phương pháp quy nạp Phương pháp quy nạp có vai trò vô quan trọng toán học, khoa học sống Đối với nhiều toán chương trình toán phổ thông toán logic, tức toán không mẫu mực phương pháp quy nạp cho ta nhiều cách giải hữu hiệu Suy diễn trình từ "tính chất" tập thể suy tính chất cá thể, nên luôn đúng, trình ngược lại, tức trình quy nạp: từ "tính chất" số thể suy "tính chất" tập thể lúc đúng, mà trình thỏa mãn số điều kiện đó, tức thỏa mãn nguyên lý quy nạp 1.1 Nguyên lý quy nạp Nếu khẳng định S(n) thỏa mãn hai điều kiện sau: a) Đúng với n = k0 (số tự nhiên nhỏ mà S(n) xác định) b) Từ tính đắn S(n) đến n = t (hoặc giá trị n (k0 ≤ n ≤ t)) (t ≥ k0 ), ta cần chứng minh tính đắn S(n) n = t + 1, khiØS(n) với n ≥ k0 1.2 Phương pháp chứng minh quy nạp Giả sử khẳng định S(n) xác định với n ≥ t0 Để chứng minh S(n) ∀n ≥ t0 quy nạp ta cần thực theo hai bước sau: Chương Phương pháp quy nạp 1.2.1 Cơ sở quy nạp Thực bước tức ta thử xem đắn S(n) với n = t0 nghĩa xét S(t0 ) có hay không? 1.2.2 Quy nạp Giả sử khẳng định S(n) đến n = t (hoặc n (t0 ≤ n ≤ t)) (t ≥ t0 ) Trên sở giả thiết ta chứng minh tính đắn S(n) n = t + 1, tức S(t + 1) Nếu ba bước thỏa mãn, theo nguyên lý quy nạp S(n) với ∀n ≥ t0 Chú ý: Trong trình quy nạp không thực đầy đủ ba bước: Cơ sở quy nạp, giả thiết quy nạp chứng minh quy nạp, dẫn đến kết sai lầm, chẳng hạn: - Do bỏ bước sở quy nạp, ta đưa kết luận không đúng: Mọi số tự nhiên nhau! Bằng cách quy nạp sau: Giả sử số tự nhiên không vượt k + Khi ta có k =k+1 Thêm vào vế đẳng thức đơn vị ta có k+1=k+1+1=k+2 Cứ suy số tự nhiên không nhỏ k Kết hợp với giả thiết quy nạp: Mọi số tự nhiên không vượt k nhau, đến kết luận sai lầm: Tất số tự nhiên nhau! - Do bỏ qua khâu quy nạp nên nhà toán học Pháp P.Fermat (1601-1665) n cho số dạng 22 + số nguyên tố P.Fermat xét số đầu tiên: Với n = cho 22 + = 21 + = số nguyên tố n = cho 22 + = 22 + = số nguyên tố n = cho 22 + = 24 + = 17 số nguyên tố n = cho 22 + = 28 + = 257 số nguyên tố n = cho 22 + = 216 + = 65537 số nguyên tố Chương Phương pháp quy nạp Nhưng vào kỷ 18 Euler phát với n = khẳng định không đúng, vì: 22 + = 4294967297 = 641 × 6700417 hợp số 1.2.3 Vận dụng phương pháp quy nạp để giải số toán Phương pháp quy nạp sử dụng tính toán, chứng minh suy luận nhiều dạng khác nhau, phần trình bày việc vận dụng phương pháp quy nạp để giải toán logic, tức toán "không mẫu mực" Ví dụ 1.2.1 Chứng minh rằng: Nếu túi có số tiền nguyên (nghìn) không 8000đ, luôn mua vé sổ số loại 5000đ 3000đ Lời giải: Ta giải toán phương pháp quy nạp 1) Cơ sở quy nạp Nếu túi có số tiền nhất, tức 8000đ, ta mua vé sổ số loại 5000đ vé sổ số loại 3000đ Khi × 5000đ + × 3000đ = 8000đ ta tiêu hết số tiền có túi 2) Quy nạp Giả sử với k(k ≥ 8000) nghìn đồng ta tiêu hết cách mua vé sổ số loại 5000đ 3000đ Nếu có thêm 1000đ ta mua cách sau đây: a) Nếu vé sổ số mua có ba vé loại 3000đ, ta trả lại ba vé loại 3000đ, đưa thêm 1000đ lấy hai vé loại 5000đ Khi × 3000đ + 1000đ = × 5000đ b) Nếu vé sổ số mua có không hai vé loại 3000đ, phải có vé loại 5000đ Bởi túi không 8000đ, mà tiêu hết Khi đem trả lại vé loại 5000đ, đưa thêm 1000đ lấy hai vé loại 3000đ, ta có × 5000đ + 1000đ = × 3000đ Như trường hợp từ kết tiêu k nghìn suy cách tiêu nghìn thứ k + 1, nên toán giải xong Chương Phương pháp quy nạp Ví dụ 1.2.2 Em An cầm tờ giấy lấy kéo cắt thành mảnh Sau nhặt mảnh giấy cắt lại cắt thành mảnh Và em An tiếp tục cắt giấy Sau hồi em An thu tất mẩu giấy cắt đếm 122 mảnh Liệu em An đếm hay sai? Lời giải: 1) Mỗi lần cắt mảnh giấy thành mảnh, tức tạo thêm mảnh giấy, nên công thức tính số mảnh giấy sau n bước thực mảnh giấy thành mảnh có dạng: S(n) = 6n + 2) Tính đắn công thức S(n) khẳng định quy nạp theo n 10 ) Cơ sở quy nạp Với n = 1, em An cắt mảnh giấy có tay thành mảnh, nên có S(1) = 6.1 + = + = 20 ) Quy nạp Giả sử sau k bước em An nhận số mảnh giấy S(k) = 6k + Sang bước k + em An lấy mảnh giấy nhận k bước trước cắt thành mảnh, tức em An lấy S(k) mảnh thay vào mảnh cắt nên S(k + 1) = S(k) − + = 6k + − + = 6k + = 6k + + = 6(k + 1) + Vậy số mảnh giấy em An nhận sau n bước cắt giấy S(n) 3) Do S(n) = 6n + ≡ (mod 6), 122 = 6.20 + ≡ (mod 6), nên em An đếm không Ví dụ 1.2.3 (Chứng minh tính chất quy nạp) Cho x + x1 , x = số nguyên Chứng minh với số nguyên dương n, số T (n, x) = xn + xn số nguyên Lời giải: Khẳng định chứng minh quy nạp 1) Cơ sở quy nạp Với n = có T (1, x) = x + x1 số nguyên, theo giả thiết 2) Quy nạp Giả sử khẳng định với số nguyên k(n ≥ k ≥ 1) nghĩa T (k, x) = xk + xk Chương Phương pháp quy nạp số nguyên Với n = k + số T (k + 1, x) = xk+1 + = x+ x xk+1 = xk + xk − xk−1 + xk−1 theo giả thiết quy nạp, số x + x1 , xk−1 + xk−1 xk + x1k nguyên, nên T (k + 1, x) số nguyên khẳng định với số nguyên dương n Ví dụ 1.2.4 Chứng minh số nguyên lớn viết dạng tích thừa số nguyên tố Lời giải: Ta chứng minh khẳng định quy nạp theo n Cơ sở quy nạp Với n = 2, ta có = 2, Với n = 3, ta có = 3, n = 4, ta có = × Vậy khẳng định với n = 2, 3, Quy nạp Giả sử với số nguyên n phân tích thành tích thừa số nguyên tố Ta chứng minh n + phân tích thành tích thừa số nguyên tố Thật • Nếu n + số nguyên tố tích n + • Nếu n + hợp số n + = a.b với ≤ a, b < n Theo giả thiết quy nạp, a, b phân tích thành tích thừa số nguyên tố Suy ra, n + phân tích thành tích thừa số nguyên tố Theo nguyên lý quy nạp, số nguyên n > phân tích thành tích thừa số nguyên tố Ví dụ 1.2.5 (Chứng minh tính chia hết quy nạp) Chứng minh với n n n số nguyên dương n số 23 + chia hết cho 3n+1 23 + 3n+1 số 23 + không chia hết cho 3n+2 n 23 + n+2 Lời giải: Bài toán giải quy nạp Kí hiệu 23 + = An 1) Cơ sở quy nạp Với n = ta có A1 = 23 + = 23 + = + = 9, nên A1 32 A1 33 Với n = ta có A2 = 23 + = 513, nên A2 33 A2 34 n Chương Phương pháp bảng O B V * K Z H I * * I * IV * * P III * N * * II * III IV II * * Bảng 5.14 Vì học bổng toàn phần không cấp cho sinh viên năm thứ nhất, nên từ điều kiện suy B không học năm thứ nhất, nên ô (B, I) ghi số Vì N học P khóa V có cũ (điều kiện 6), nên P sinh viên năm thứ Ở bảng ta ghi ô (P, I) dấu ∗ Vì B dùng năm ngoái V , nên B học năm thứ III V học năm thứ IV Bởi ô (B, III) (V, IV ) ghi dấu ∗ Theo điều kiện 5, sinh viên họ K học năm thứ nhất, nên ô (I, K) ghi dấu ∗ Nhưng ta biết P học năm thứ nên P có họ K , ô (P, K) ghi dấu ∗ Do ta gạch bỏ ô lại hàng P cột K Từ điều kiện suy V không mang họ H , nên ô (V, H) đặt số Từ điều kiện suy B không mang họ O , nên ô (B, O) đặt số Kết hợp điều kiện điều kiện suy B không mang họ H B quê với sinh viên có họ O , sinh viên họ H quê thăm gia đình, nên ô (B, H) đặt số Nhận thấy hàng B ô trống (B, Z) suy sinh viên B mang họ Z , ta ghi vào ô (B, Z) dấu ∗ Trên cột H ô (N, H) trống nên N mang họ H , ta ghi dấu ∗ vào ô (N, H) Trên hàng N ta gạch bỏ ô lại Trên cột Z ta gạch bỏ ô lại Nhìn vào hàng V ô trống (V, O), nên V mang họ O ghi vào ô (V, O) dấu ∗ Kết luận: Sinh viên B có họ Z học năm thứ III 65 Chương Phương pháp bảng Sinh viên V có họ O học năm thứ IV Sinh viên N có họ H học năm thứ II Sinh viên P có họ K học năm thứ I 66 Chương Phương pháp sơ đồ Đây phương pháp gần tương tự phương pháp bảng, song phương pháp lợi giải toán mà số tệp lớn 6.1 6.1.1 Các bước thực phương pháp sơ đồ Thiết lập sơ đồ Lấy nhóm điểm mặt phẳng hay không gian tương ứng với tệp Dùng kí hiệu đối tượng để ghi điểm tương ứng Mỗi cặp điểm tương ứng với hai đối tượng có quan hệ cho toán nối với đoạn thẳng đoạn cong đặc trưng cho quan hệ mà biểu thị không qua điểm tương ứng chung gian khác Ta gọi sơ đồ nhận sơ đồ mô tả quan hệ 6.1.2 6.2 Dựa vào cấu trúc sơ đồ mô tả quan hệ điều kiện cho toán mà suy đáp án Một số ví dụ Ví dụ 6.2.1 Trong buổi học nữ công ba bạn Cúc, Đào, Hồng làm ba hoa: Cúc, đào, hồng Bạn làm hoa hồng nói với bạn Cúc "Thế làm loại hoa trùng với tên mình" Hãy xác định tên hoa mà bạn làm? Bài toán trình bày phương pháp bảng Dưới trình bày trình giải toán phương pháp sơ đồ Lời giải: 67 Chương Phương pháp sơ đồ Lập sơ đồ Trong toán có hai nhóm đối tượng: • Nhóm gồm ba bạn Cúc, Đào, Hồng kí hiệu ba điểm C, D, H • Nhóm gồm ba hoa cúc, đào, hồng kí hiệu ba điểm c, d, h Mối quan hệ hai nhóm đối tượng kí hiệu bằng: • Nét đứt quan hệ chúng sai • Nét liền quan hệ chúng c C D d H h Hình 6.1: Theo giả thiết bạn làm hoa hồng nói với bạn Cúc suy Cúc không làm hoa hồng, nên C − h nối nét đứt Theo giả thiết "chẳng có làm loại hoa trùng tên với mình" suy C − c, D − d, H − h nối nét đứt Ta thấy C − c, C − h nối nét đứt suy C − d nối nét liền C − h, H − h nối nét đứt, D − h H − c nối nét liền Kết luận: Bạn Cúc làm hoa đào Bạn Đào làm hoa hồng Bạn Hồng làm hoa cúc Ví dụ 6.2.2 Ba bạn Thủy, Ánh, Hường mặc ba màu áo: Trắng, xanh, hồng có ba dây buộc tóc màu Biết có Thủy có màu áo màu dây buộc tóc trùng nhau, áo dây buộc tóc Ánh không màu trắng Hường có dây buộc tóc màu xanh Hãy xác định màu áo màu dây buộc tóc bạn? 68 Chương Phương pháp sơ đồ Lời giải: Trong toán có ba nhóm đối tượng: Nhóm gồm ba bạn: Thủy, Ánh, Hường Ta kí hiệu ba điểm T, A, H Nhóm gồm ba màu áo: Trắng, xanh, hồng Ta kí hiệu ba điểm t0 , x0 , h0 Nhóm gồm ba dây buộc tóc màu: Trắng, xanh, hồng Ta kí hiệu ba điểm t, x, h Mối quan hệ đối tượng ba nhóm kí hiệu bằng: • Nét đứt quan hệ chúng sai • Nét liền quan hệ chúng T A H t0 t x0 x h0 h Hình 6.2 Theo giả thiết, áo dây buộc tóc Ánh màu trắng, nên A − t0 A − t nối nét đứt Còn Hường có dây buộc tóc màu xanh, nên H − x nối nét liền Suy T − t nối nét liền Vì Thủy có màu áo dây buộc tóc trùng màu nhau, nên T − t0 nối nét liền Hơn nữa, theo giả thiết Ánh Hường có áo dây buộc tóc khác màu, mà A − h nối nét liền, A − x0 phải nối nét liền Cuối H − h0 nối nét liền Vậy: Thủy mặc áo trắng dây buộc tóc trắng 69 Chương Phương pháp sơ đồ Ánh mặc áo xanh dây buộc tóc hồng Hường mặc áo hồng dây buộc tóc xanh Ví dụ 6.2.3 Trong trường phổ thông sở Bình Định có ba thầy giáo Minh, Bình, Vinh dạy môn Sinh vật, Lý, Toán, Hóa, tiếng Anh tiếng Pháp Mỗi thầy dạy hai môn Người ta biết thầy sau: • Thầy dạy Lý thầy dạy tiếng Pháp láng giềng • Thầy Minh trẻ ba thầy • Thầy Bình, thầy dạy Sinh vật thầy dạy tiếng Pháp thường với đường • Thầy dạy Sinh vật nhiều tuổi thầy dạy môn Toán • Thầy dạy tiếng Anh, thầy dạy Toán thầy Minh rảnh rỗi thường hay đánh quần vợt với thầy thứ tư Hãy xác định xem thầy dạy hai môn nào? Lời giải: Bài toán có hai nhóm đối tượng • Nhóm thứ gồm ba thầy giáo: Minh, Bình, Vinh • Nhóm thứ hai gồm sáu môn học tiếng Anh, tiếng Pháp, Toán, Sinh vật, Lý, Hóa Ta lấy chữ đầu nhóm đối tượng để kí hiệu cho điểm tương ứng Từ điều kiện toán ta có sơ đồ sau: 70 Chương Phương pháp sơ đồ A M T S B P L V H Hình 6.3 Ta có Minh - Toán nối nét đứt, nghĩa thầy Minh không dạy môn Toán Và Bình - Sinh vật nối nét đứt, nghĩa thầy Bình không dạy môn Sinh vật Từ (2) (4) suy thầy Minh không dạy Sinh vật Còn từ điều kiện khác trực tiếp cho ta đường nét đứt theo sơ đồ Theo sơ đồ trên, ta thấy thầy Minh dạy hai ba môn Pháp, Lý, Hóa Nhưng thầy dạy Pháp thầy dạy Lý khác nên thầy Minh dạy Pháp - Hóa, dạy Lý - Hóa Nếu thầy Minh dạy Lý - Hoá, suy thầy Bình phải dạy Toán - Anh, điều có thầy dạy Toán thầy dạy Anh hai thầy khác Vậy thầy Minh dạy Pháp - Hóa Tiếp theo thầy Bình dạy hai ba môn Lý, Toán, Anh Toán, Anh người dạy, nên thầy Bình dạy Lý - Toán dạy Lý - Anh Nếu thầy Bình dạy Lý - Anh suy thầy Vinh dạy Toán - Sinh vật Điều không thỏa mãn thầy dạy Toán thầy dạy Sinh vật hai thầy khác Vậy thầy Bình dạy Lý - Toán, suy thầy Vinh dạy Sinh vật - Anh Vậy: Thầy Minh dạy hai môn Pháp - Hóa Thầy Bình dạy hai môn Lý - Toán Thầy Vinh dạy hai môn Sinh vật - Anh Ví dụ 6.2.4 Bốn bạn Dung, Anh, Linh, Trang nhận điểm kiểm tra môn toán Bạn Nam lớp muốn biết điểm người Khi Nam hỏi bạn trả lời úp mở sau: 71 Chương Phương pháp sơ đồ Dung nói: "Bạn Anh điểm, bạn Linh điểm, bạn Trang điểm." Anh nói: "Bạn Trang 10 điểm, bạn Dung bạn Linh 7" Linh nói: "Cả ba bạn 8" Trang nói: "Cả ba bạn 7" Hãy xác định điểm người? Biết bạn hai bạn nói điểm Lời giải: Lập sơ đồ: Lấy hai nhóm điểm tương ứng với hai nhóm đối tượng: Các bạn học sinh điểm số Điểm x nối với điểm y t đoạn thẳng song song có t bạn nói điểm bạn x số y Như vậy, ta có sơ đồ sau: Dung 10 Anh Linh T rang Hình 6.4 Căn vào điều kiện cho toán, cặp đỉnh nối từ đoạn thẳng trở lên bị loại Do Trang điểm 10, Linh 9, Anh Dung Ví dụ 6.2.5 Cho ba nhà, giếng, lán hầm chứa đồ đạc Cần phải vạch từ nhà đường tới giếng, đường tới lán đường tới hầm chứa đồ đạc, cho đường chín đường cắt đường khác Bạn chứng minh làm việc Lời giải: Kí hiệu ba nhà A, B, C Cái giếng G, lán H hầm chứa đồ N Ta nối nhà với giếng G, lán H hầm chứa đồ N , kéo dài đường theo đường tới nhà thứ hai Ta thu ba đường nối hai nhà 72 Chương Phương pháp sơ đồ A B I G II H III N Hình 6.5 Các đường chia mặt phẳng thành ba miền: I, II, III Ngôi nhà thứ ba mà ta bỏ qua, nằm chỗ miền • Nếu nhà nằm miền I đường cong đóng kín bao quanh lán H • Nếu nhà thuộc miền II nằm miền III Khi bị bao quanh đường cong đóng kín mà hầm chứa đồ nằm • Nếu nhà thuộc miền III nằm miền I Khi bị bao quanh đường cong đóng kín mà giếng nằm Trong trường hợp thứ đường từ nhà tới lán H Vì không thuộc miền II , nên có đường từ nhà thứ ba tới lán H mà không cắt đường từ nhà A nhà B tới lán H Trong trường hợp thứ hai đường tới hầm chứa đồ N Vì không thuộc miền III , nên có đường từ nhà thứ ba tới hầm chứa đồ N , mà không cắt đường từ A từ B tới hầm chứa đồ N Trong trường hợp thứ ba đường tới giếng G Vì nằm miền I , nên tất đường tới giếng G cắt đường tới giếng G xuất phát từ nhà A nhà B 73 Chương Phương pháp sơ đồ Vậy có đường từ ba nhà A, B, C đến giếng, đến lán, đến hầm chứa đồ, mà không cắt Như ta điều phải chứng minh Ví dụ 6.2.6 Trong lớp học sinh nam tham gia vào nhóm sở thích: Bóng đá, đá cầu, cầu lông Qua tìm hiểu thấy có em tham gia bóng đá, em tham gia đá cầu, em tham gia cầu lông, có: Một em tham gia ba môn, hai em tham gia vừa đá cầu vừa bóng đá, ba em tham gia vừa cầu lông vừa bóng đá, bốn em tham gia vừa đá cầu vừa bóng đá Hãy xác định số học sinh nam lớp? Ta vẽ ba vòng tròn giao nhau, vòng tròn biểu thị nhóm sở thích: Bóng đá (B ), cầu lông (C ), đá cầu (D) Có em tham gia ba nhóm, ta điền vào phần chung ba vòng tròn Có hai em tham gia vừa đá cầu cầu lông có em tham gia ba nhóm, có em tham gia nhóm sở thích vừa nêu Ta điền vào phần chung vòng tròn C vòng tròn D (nằm phần chung ba vòng tròn) Lập luận tương tự, ta có em tham gia hai sở thích bóng đá đá cầu, em tham gia hai sở thích bóng đá cầu lông, có em tham gia cầu lông Ta điền số vào phần tương tự hình vẽ Từ đó, ta xác định số em nam lớp 10 C 1 1 D Hình 6.6 B Ví dụ 6.2.7 Năm người bạn Nam, Thiện, Liêm, Khương, Bình có nghề 74 Chương Phương pháp sơ đồ nghiệp họa sĩ, thợ may, thợ mộc, đưa thư cắt tóc Họ sống thành phố nên có điều kiện gặp thường xuyên Nam Khương hay đến hiệu may nơi người thợ may làm việc Thiện Bình sống khu tập thể với người đưa thư Liên vừa đóng vai trò chủ hôn cho đám cưới Thiện lấy gái người thợ cắt tóc Nam với Thiện chủ nhật thường chơi cờ với người họa sĩ người thợ mộc Khương Bình tối thứ bảy hay đến chơi nhà người thợ cắt tóc Người đưa thư thích tự cắt tóc cho Bình Khương chưa cầm bút vẽ Hãy xác định nghề nghiệp người? Lời giải: Bài toán gồm có hai nhóm đối tượng: • Nhóm thứ gồm bạn: Nam, Thiện, Liêm, Khương Bình • Nhóm thứ hai gồm nghề: Họa sĩ, thợ may, thợ mộc, đưa thư cắt tóc Lấy nhóm điểm ghi tên bạn có tên chữ đầu tên, nhóm đối diện ghi tên nghề mà họ làm kí hiệu sau: 1: họa sĩ, 2: thợ may, 3: thợ mộc, 4: đưa thư, 5: cắt tóc Điểm tên người điểm tên nghề nối nét liền, người làm nghề có tên nối, trường hợp ngược lại nối nét đứt 1) Xác định đường nét đứt Đầu tiên đưa vào điều kiện quan hệ cho để xác định đường nét đứt Sau dựa vào đường nét đứt để suy đường nét liền Cuối dựa vào để suy đáp án - Theo ta có Nam Khương hay đến hiệu may nơi người thợ may làm việc suy Nam Khương không làm thợ may, nên hai cặp điểm (Nam, thợ may) (Khương, thợ may) nối nét đứt - Thiện Bình sống tập thể với người đưa thư, chứng tỏ Thiện Bình không làm nghề đưa thư, nên cặp điểm (Thiện, đưa thư) (Bình, đưa thư) nối đoạn nét đứt - Liên vừa làm chủ hôn cho đám cưới Thiện lấy gái người cắt tóc Chứng tỏ Liên Thiện không làm nghề cắt tóc, nên cặp điểm (Liên, cắt tóc) (Thiện, cắt tóc) nối nét đứt - Nam với Thiện chủ nhật thường chơi cờ với người họa sĩ người thợ mộc, chứng tỏ Nam va Thiện không làm họa sĩ không làm thợ mộc Do cặp điểm (Nam, họa sĩ), (Nam, thợ mộc), (Thiện, họa sĩ), (Thiện, thợ mộc), nối nét đứt 75 Chương Phương pháp sơ đồ - Bình Khương chưa cầm bút vẽ, chứng tỏ Bình Khương không họa sĩ Bởi vậy, cặp điểm (Bình, họa sĩ), (Khương, họa sĩ) nối nét đứt Khi ta có sơ đồ sau: N T L K B 2) Xác định đường nét liền Dựa vào sơ đồ gồm đường nét đứt để suy đường nét liền Vì người làm nghề nghề có người làm, nên điểm phải xuất phát đường nét liền, tức xuất phát tối đa bốn đường nét đứt, nên dựa vào sơ đồ đường nét đứt ta suy đường nét liền: Điểm có bốn đường nét đứt nối với điểm N, T, K, B , nên đường nét liền điểm phải nối với điểm L Điểm có bốn đường nét đứt nối với điểm T, L, K, B , nên đường nét liền điểm phải nối với điểm N Điểm T có bốn đường nét đứt nối với điểm 1, 3, 4, 5, nên đường nét liền điểm phải nối với điểm Điểm B chưa có đường nét đứt nối với điểm 2, 3, điểm có đường nét liền nối với điểm T , nên đường nét liền điểm B phải nối với 76 Chương Phương pháp sơ đồ điểm Điểm đường nét đứt nối ới điểm N, L, K , điểm N có đường nét liền nối với điểm 5, điểm L có đường nét liền nối với điểm 1, nên đường nét liền điểm phải nối với điểm K Vậy ta có sơ đồ hoàn chỉnh đường nét liền Dựa vào sơ đồ ta suy đáp án: Thiện làm nghề thợ may, Nam làm nghề cắt tóc, Liêm làm họa sĩ, Bình làm nghề thợ mộc Khương làm nghề đưa thư 77 Kết luận Luận văn nghiên cứu sáu phương pháp phổ biến để giải toán phổ thông Mỗi phương pháp trình bày tóm tắt sở lý thuyết vận dụng phương pháp vào giải số toán chương trình trung học phổ thông Khi biên soạn luận văn, tác giả cố gắng bám sát vào dạng đề thi học sinh giỏi Hy vọng luận văn tập tài liệu tham khảo có ích cho học sinh giáo viên trường trung học phổ thông 78 Tài liệu tham khảo [1] Bộ Giáo Dục Đào Tạo - Hội Toán học Việt Nam (1997), Tuyển tập 30 năm tạp chí Toán học tuổi trẻ, NXB Giáo Dục [2] Bộ Giáo Dục Đào Tạo (2013), Hình Học 11, NXB Giáo Dục Việt Nam [3] Nguyễn Văn Mậu (2007), Toán rời rạc số vấn đề liên quan [4] Nguyễn Văn Mậu, Trần Nam Dũng, Đặng Huy Ruận, Vũ Đình Hòa, Đặng Hùng Thắng (2007), Chuyên đề chọn lọc tổ hợp toán rời rạc, NXB Giáo Dục [5] Nguyễn Văn Nho (1989 - 2002), Olympic Toán học Châu Á Thái Bình Dương, NXB Giáo Dục [6] Phạm Minh Phương nhóm giáo viên chuyên toán Đại học sư phạm Hà Nôi (2006), Các chuyên đề số học bồi dưỡng học sinh giỏi trung học sở, NXB Giáo Dục [7] Nguyễn Mạnh Trinh (1983), Tuyển tập thi vô địch Toán, NXB Giáo Dục [8] Đặng Huy Ruận (2002), Bẩy phương pháp giải toán logic, NXB Khoa học kĩ thuật 79 [...]... Chương 3 Phương pháp suy luận trực tiếp 3.1 Vài nét về phương pháp suy luận trực tiếp Các bài toán logic hiểu theo nghĩa tương đối rộng gồm các bài toán logic, các bài toán không mẫu mực (không có cách giải nhất định) thường có nhiều cách giải khác nhau, trong đó có phương pháp suy luận trực tiếp Phương pháp suy luận logic đã có từ xa xưa và để giải các bài toán logic người ta chỉ có duy nhất phương pháp. .. cơ bản của tư duy logic Thông qua lời giải giúp người đọc biết cách diễn đạt bằng ngôn ngữ logic những bài toán cùng dạng có thể gặp trong đời sống thực tiễn và bằng cách đó người đọc tìm ra lời giải dễ dàng nhanh gọn hơn Mỗi bài toán là một ví dụ điển hình và có thể có nhiều bài toán khác tương tự được diễn đạt dưới nhiều hình thức khác nhau Những bài toán giải bằng phương pháp suy luận trực tiếp... hình muôn vẻ trong cuộc sống hàng ngày Đôi khi để giải những bài toán này, chỉ cần những kiến thức toán học đơn giản, nhưng lại đòi hỏi khả năng chọn lọc trường hợp, suy luận chặt chẽ, rõ ràng Sự phát triển của toán học, chẳng hạn giải tích tổ hợp, phương pháp quy nạp, phản chứng, góp phần phong phú thêm phương pháp suy luận logic trực tiếp Những bài toán trong chương này là những ví dụ không quá phức... người học toán, dạy toán và những người quan tâm đến logic toán Nó là bước tiếp 28 Chương 3 Phương pháp suy luận trực tiếp cận đầu tiên đến logic toán học Nó rèn luyện tư duy logic, khả năng phản xạ, trí thông minh, là hình thức thể thao trí tuệ phục vụ cho đông đảo người đọc đặc biệt là lứa tuổi học sinh ở nhiều cấp học khác nhau Điều cơ bản của phương pháp này là thông qua việc phân tích các điều... tồn tại hay không 2.1 Cơ sở lý thuyết Cơ sở lý thuyết của phương pháp phản chứng là các định luật trong logic: Gọi p, q, r là các mệnh đề toán học nào đó, khi đó Định lý 2.1.1 (Các định luật cơ bản) 1 (Phi mâu thuẫn): p ∧ p = 0 2 (Bài trung):p ∨ p = 1 Định lý 2.1.2 (Các định luật phản chứng) 1 (Phản chứng) (p ⇒ q) ⇔ (q ⇒ p) 17 Chương 2 Phương pháp chứng minh phản chứng 2 (Phản chứng suy rộng): (2.1)... là q đúng Ngoài ra, ta sẽ giải một số bài toán bằng phương pháp phản chứng dựa trên nguyên lý Dirichlet 2.4 Một số ví dụ minh họa Ví dụ 2.4.1 Cho f (x) = ax2 + bx + c Giả sử |a| + |b| + |c| > 17 (2.2) ∃x ∈ [0; 1], |f (x)| > 1 (2.3) Chứng minh rằng Lời giải: Ta sẽ chứng minh bằng phương pháp phản chứng Giả sử (2.3) sai, tức là ∀x ∈ [0; 1], |f (x)| ≤ 1 (2.4) 19 Chương 2 Phương pháp chứng minh phản chứng... 4 = 2k + 2 = 2 (k + 1) phần khác nhau Khẳng định được chứng minh 16 Chương 2 Phương pháp chứng minh phản chứng Chứng minh là một nét đặc trưng của toán học, tạo ra sự khác biệt giữa toán học với các môn khoa học khác Nắm bắt phương pháp và kĩ thuật chứng minh cũng là yêu cầu bắt buộc đối với học sinh nói chung Các phương pháp và kĩ thuật chứng minh rất phong phú: Từ chứng minh trực tiếp đến gián tiếp,... này (sau này mới có thêm các phương pháp khác) Các bài toán logic đa dạng về đề tài, phong phú về chủng loại đòi hỏi chúng ta phải biết suy luận đúng đắn, chặt chẽ trên cơ sở vận dụng kiến thức cơ bản và kinh nghiệm sống của mình Vì vậy cần phải luyện tập óc quan sát, cách lập luận, cách xem xét khả năng có thể xảy ra của một sự kiện và vận dụng những kiến thức đã học vào các tình huống muôn hình muôn... kết quả các em trả lời như sau: Lê: Mình đạt giải nhì hoặc ba Huy: Mình đã đạt giải Hoàng: Mình được giải nhất Tiến: Mình không được giải Nghe xong thầy Nghiêm mỉm cười và nói: "Chỉ có ba bạn nói thật còn một bạn đã nói đùa " Hãy cho biết học sinh nào đã nói đùa và ai đạt giải nhất, ai không đạt giải? Lời giải: 1) Nếu Lê nói đùa thì ba bạn Huy, Hoàng, Tiến nói thật Như vậy Lê và Hoàng cùng đạt giải nhất... sau: 18 Chương 2 Phương pháp chứng minh phản chứng R = = > ≥ < ≤ R = = ≤ < ≥ > Ngoài ra còn có: Định lý 2.2.1 (Định luật về âm bản) Cho A là một công thức logic mà trong đó chỉ chứa các phép toán: Phủ định, ∧, hoặc đối với các mệnh đề: p1 , p2 , · · · , pn Âm bản của A, kí hiệu là Ad là một công thức thu được từ A bằng cách thay pj ∼ pj ; pj ∼ pj , ∨ ∼ ∧; ∧ ∼ ∨ Khi đó: A ⇔ Ad Phương pháp phản chứng ... có nhiều cách giải khác nhau, có phương pháp suy luận trực tiếp Phương pháp suy luận logic có từ xa xưa để giải toán logic người ta có phương pháp (sau có thêm phương pháp khác) Các toán logic... Chương Phương pháp quy nạp Phương pháp quy nạp có vai trò vô quan trọng toán học, khoa học sống Đối với nhiều toán chương trình toán phổ thông toán logic, tức toán không mẫu mực phương pháp quy... HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ————————– VŨ THỊ HIỀN SÁU PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TOÁN PHỔ THÔNG Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số : 60460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người