Nguyeãn Vaên Huy – 0968 64 65 97 Baát ñaúng thöùc – Baøi toaùn Min - Max CHUYEÂN ÑEÀ 10 BAÁT ÑAÚNG THÖÙC BAØI TOAÙN MIN - MAX Bài 1. Cho x , y , z là ba số thực dương thay đổi và thỏa mãn điều kiện 1 z  x  y  z . Tìm giá trị nhỏ 2 nhất của biểu thức P x y 2z   . 2y  z z  2x x  y  z HÖÔÙNG DAÃN GIAÛI 2 a  b  a 2 b2 Trước hết ta chứng minh:   x y x y * với a, b   và x , y  0 . a 2 b 2  2  Thật vậy, *  a  b   x  y     . y   x Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có: 2  a 2 b2  a b     y.   x  y     .  x .  x y  x y   Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: a b  . x y 2 x  y  x y x2 y2 Áp dụng * , ta có     . 2y  z z  2x 2xy  zx yz  2xy 4xy  z x  y  1 Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: x  y . 2 Tiếp tục áp dụng bất đẳng thức 4xy  x  y  , ta được: 2 2 x  y  x  y  .  4xy  z x  y  x  y 2  z x  y  2 Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: x  y . Do đó  x  y 2    z  2 P x  y  2z 2 .    2 2 x  y  z x  y  x y x  y  z x  y x  y     1     z   z z 1  x y 1 . Từ z  x  y  z , suy ra t   ;1 . 2  z 2   t 2 t 2 Khi đó: P    . t 1 t 1 t 1 1  1  t 2 1 Xét hàm f t   , t   ;1 . Ta có f ' t    0 , t   ;1 . 2  2  2 t 1     t  1 Đặt t  1 | Trang www.noon.vn Nguyeãn Vaên Huy – 0968 64 65 97 Baát ñaúng thöùc – Baøi toaùn Min - Max 1  1  3 Suy ra f t  nghịch biến trên  ;1 nên f t   f 1  , t   ;1 . 2  2  2     x y Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: t  1   1. 3 z x  y 3 Suy ra P  . Từ 1 , 2 và 3 , suy ra dấu ''  '' xảy ra khi  .  x  y  z 2  3 Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng ; khi 2x  2y  z . 2 Nhận xét. Trong những năm gần đây trong cấu trúc đề thi của BGD thì câu này là câu khó nhất, câu lấy điểm 10. Năm 2012 trở về trước thì xu hướng của bộ ra là biểu thức P đối xứng. Năm 2013 và 2014 thì xu hướng của Bộ ra biểu thức P không còn đối xứng nữa mà là gần đối xứng. Để giải quyết những bài toán này thì ta dùng đến những bất đẳng cơ bản, bất đẳng thức phụ,… để dồn biến. Sau đó ta đặt ẩn phụ để xét hàm hoặc thêm bớt đại lượng rồi dùng bất đẳng thức lần nữa. Bài toán này là một ví dụ minh họa cho điều đó. Bài 2. Cho x , y , z là ba số thực thuộc đoạn 1;2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức   P 2 x  y  z 2  4xy  3z 2 z 2  4xy . HÖÔÙNG DAÃN GIAÛI 2 Áp dụng bất đẳng thức cơ bản 4xy  x  y  , x , y   . Ta có: 2 x  y  P 2 z 2  x  y   3z 2 2 z 2  x  y   x y  2     z z   x y 2 1      z z  3  x y 2 1      z z  . 1 Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi : x  y . Đặt t   x y  . Vì x , y, z  1; 2 nên t  1; 4  . z z Khi đó: P  2t 1t Ta có f ' t   2  3 1t  2 2 1  8t 2 2 1  t  3t  2 . Xét hàm f t    2  1  t   2t 1t 2  3 1  t2 , t  1; 4 .    0 , t  1; 4 .   3  8 17 Suy ra f t  nghịch biến trên 1; 4  nên f t   f 4  , t  1; 4 . 17 x  y  2 Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: t  4   . 2 z  1  Suy ra P  3  8 17 . 17 Từ 1 và 2 , suy ra dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi : x  y  2 , z  1 . 2 | Trang www.noon.vn Nguyeãn Vaên Huy – 0968 64 65 97 Baát ñaúng thöùc – Baøi toaùn Min - Max 3  8 17 ; khi x  y  2 , z  1 . 17 Nhận xét: Bài toán thuộc dạng min, max của biểu thức ba biến với các biến bị chặn. Thông thường đối với dạng này ta có hai hướng giải. Một là đạo hàm theo từng biến. Hai là dùng bất đẳng thức phụ sau đó đặt ẩn phụ để đưa được về biểu thức một biến và cuối cùng là xét hàm. Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng Bài 3. Cho x , y , z là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện x 2  y 2  6z 2  4z x  y  . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x3 2 y x  z   y3 2 x y  z  x2  y2 . z  HÖÔÙNG DAÃN GIAÛI  Đặt x  az , y  bz với a , b   . Thay vào giả thiết, ta có a 2  b2  6  4 a  b  . Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có:  2  2  a  b  a  b  2 2 a  b   2  a  b  6  4 a  b   6 2   2   .    ab  2 a  b   3 2 2 2 2 a  b a  b  ab  ab   2 2  Khi đó P   a3 2 b a  1 a3 2 b a  1 a3 2 b a  1    b3 2 a b  1  a 2  b2 2 b3 2 a b  1 b3 2 a b  1  a  b  2 .  2. 1 Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: a  b , a  b  2 . Tiếp tục áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có a3 2 b a  1  a  1 ab  b 3a   8 8 4 và b3 2 a b  1 Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: a  1 , b  1 .  b  1 ab  a 3b   . 8 8 4 2 Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên và kết hợp với P , ta được P a  b ab 1 a  b 2 a  b   3 1 1    2    2   2. 2 4 4 2 4 4 2 Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: a 2  b2  6  4 a  b  . 3 Từ 1 , 2 và 3 , suy ra dấu ''  '' xảy ra khi: a  1 , b  1 . Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 3 | Trang 1  2 , khi x  y  z . 2 www.noon.vn Nguyeãn Vaên Huy – 0968 64 65 97 Baát ñaúng thöùc – Baøi toaùn Min - Max Nhận xét. Nhìn vào giả thiết ta thấy hai biến x , y có vai trò đối xứng nhau, còn biến z có vai trò không đối xứng. Điều này gợi ý cho ta đưa bài toán đã cho về bài toán mới với 2 biến có vai trò đối xứng nhau, loại bỏ đi 1 biến thừa không cần thiết và việc khó của cách giải này là chọn điểm rơi trong bất đẳng thức Côsi. Bài 4. Cho a , b , c là các số thực thỏa mãn điều kiện a  2b  3 a  b  1  3 b  3c  2  3c . Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức P  a  2b  3c . HÖÔÙNG DAÃN GIAÛI Gọi D là tập giá trị của P . Khi đó m  D khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:  a  2b  3 a  b  1  3 b  3c  2  3c    a  2b  3c  m    3 b  3c  2  a  b  1  a  2b  3c    a  2b  3c  m   x  a  b  1  0  Đặt  , ta thu được hệ:  y  b  3c  2  0    x  y  m  3 x  y   m  3     2 2 1 m 2  x  y  m  3     xy  2  9  m  3     Từ đó x , y là nghiệm của phương trình bậc hai:   X2  1  m 1  m 2 X    m  3  0 3 2  9   18X 2  6mX  m 2  9m  27  0 . 2 Hệ 1 có nghiệm a , b , c khi và chỉ khi phương trình 2 có nghiệm không âm    '  9 m 2  18m  54  0   m 9  3 21  S  0   m  9  3 15 .  3 2  2  P  m  9m  27  0  18  9  3 21  Suy ra D   ; 9  3 15  . 2     9  3 21 ; giá trị lớn nhất của P là 9  3 15 . 2 Nhận xét: Đây là một phương pháp dùng để tìm GTNN, GTLN của một biểu thức. Phương pháp này gọi là ‘’Miền giá trị’’ dựa vào điều kiện có nghiệm của hệ phương trình đối xứng loại 1. Dạng toán này nằm trong chương trình cơ bản của SGK lớp 10. Đặc thù của dạng này là tìm được GTNN, GTLN của biểu thức P nhưng không cần chỉ rõ biểu thức đạt tại đâu vì hệ (1) có nghiệm thì khi đó chắc chắn sẽ tồn tại a , b , c . Để cho thành thạo hơn, các em có thể làm thêm ví dụ '' Cho x , y là hai số thực thỏa mãn Do đó giá trị nhỏ nhất của P là x  3 x  1  3 y  2  y . Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức P  x  y '' . 4 | Trang www.noon.vn Nguyeãn Vaên Huy – 0968 64 65 97 Baát ñaúng thöùc – Baøi toaùn Min - Max Bài 5. Cho x , y , z là ba số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 4 2 3 2x  4 xy  8 yz  1 x y z . HÖÔÙNG DAÃN GIAÛI Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có  3 2x  4 xy  8 yz  2 3x  2 2xy  4 2yz   x  2y y  2z    4 2 x  y  z  .  2 3x  2.  4.  2 2  Do đó P  1 1 .  x y z x y z 1 Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: x  2y , y  2z . 1 1 1 1 Đặt t  x  y  z , t  0 . Khi đó: P   . Xét f t    , t  0. t t t t Ta có f ' t   1 2t t Bảng biến thiên  1 t2 ; f ' t   0  t  4 . 1 Dựa vào bảng biến thiên ta thấy min f t   f 4   . 0;  2   2 Dấu ''  '' xảy ra khi: t  4  x  y  z  4 . 1 Suy ra P   . 2 16 8 4  Từ 1 và 2 , suy ra dấu ''  '' xảy ra khi: x ; y; z    ; ;  .  7 7 7  16 8 4  1 Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng  ; khi x ; y; z    ; ;  . 2  7 7 7  Nhận xét: Đây là một bài toán tìm min, max sử dụng đến BĐT Côsi và xét hàm. Cái khó ở bài này là chọn điểm rơi trong BĐT Côsi. Để cho thành thạo hơn, các em có thể làm thêm ví dụ '' Cho x , y , z là ba số thực   dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  2 x  xy  3 xyz  3 x y z . Bài 6. Cho a , b , c là ba số thực dương thỏa mãn abc  a  c  b . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 1 1 2 P   . 2 2 2 a 1 b 1 c 1 5 | Trang www.noon.vn Nguyeãn Vaên Huy – 0968 64 65 97 Baát ñaúng thöùc – Baøi toaùn Min - Max HÖÔÙNG DAÃN GIAÛI Từ giả thiết abc  a  c  b , suy ra ac  1 . Thật vậy: Giả sử ac  1 , từ abc  a  c  b , suy ra a  c  0  a  c . Điều này vô lý với giả thiết a , b , c là ba số thực dương. a c Ta có: abc  a  c  b  b  . 1  ac  Đặt a  tan A , c  tan C với A , C   k  k   . 2 Suy ra b  tan A  C  . Khi đó 1 P 2 tan A  1  1 tan A  C   1 2  2 2 tan C  1  cos2 A  cos2 A  C   2 cos2 C 1  . cos 2A  cos 2A  2C   2 cos2 C  2   sin 2A  C  . sin C  2 cos2 C 2  1 17 17  sin C  2 sin2 C  2  2  sin C     .  4  8 8   sin C  1  4 Dấu ''  '' xảy ra khi  sin 2A  C   1 .  sin 2A  C  . sin C  0  1 1 Từ sin C  , suy ra c  tan C  ; 4 15 sin 2A  C   1  cos 2A  C   0 , suy ra a  tan A  Vậy giá trị lớn nhất của P bằng  17  ; khi a; b; c    8  3 15 3 15 1  ; ;  . 15 3 15  . Bài 7. Cho x , y là hai số thực dương thay đổi và thỏa mãn điều kiện x  2y  xy  0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P x2 y2  . 4  8y 1  x HÖÔÙNG DAÃN GIAÛI Từ giả thiết ta có x  2y  xy  1 .x .2y . 2 a  Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có 2 x  2y 1  x .2y  x  2y   x .2y . 2 4 b  Từ a  và b  , ta được x  2y  6 | Trang 2 1 x  2y   x  2y  x  2y   8   0  x  2y  8 .    8 www.noon.vn Nguyeãn Vaên Huy – 0968 64 65 97 Baát ñaúng thöùc – Baøi toaùn Min - Max Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: x  2y . 2 a  b  a 2 b2 Hơn nữa, ta lại có:   x y x y * với a, b   và x , y  0 . a 2 b 2  2  Thật vậy, *  a  b   x  y     . y   x Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có: 2  a 2 b2  a b   x .  y .  x  y    x  y  .    x y    Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: a b  . x y 2 2 2y  x  2y  x2 y2 x2 Áp dụng * , ta có P      . 4  8y 1  x 4  8y 4  4x 8  4 x  2y  1 Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: x  2y . Đặt t  x  2y , t  8 . Khi đó: P  Xét hàm số f t   t2 . 8  4t t2 4t 2  8t trên 8;  ; f ' t    0 , t  8 . 2 8  4t 8  4t  8 Suy ra f t  đồng biến trên 8;  nên f t   f 8   . 5 Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: t  8  x  2y  8 . Suy ra P  2 8 . Từ 1 và 2 , suy ra dấu ''  '' xảy ra khi: x  4 , y  2 . 5 Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 8 ; khi x  4 , y  2 . 5 Bài 8. Cho x , y , z là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện 13x  5y  12z  9 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P xy 3yz 6zx   . 2x  y 2y  z 2z  x HÖÔÙNG DAÃN GIAÛI Ta có P  xy 3yz 6zx   2x  y 2y  z 2z  x 1 1 1 .   1 1 1 1 1 1 1 1 1       x y y 3z 3z 3y 6x 6x 6z  1 1 1 Áp dụng bất đẳng thức a  b  c       9 , a, b, c  0 ta được: a b c   7 | Trang www.noon.vn Nguyeãn Vaên Huy – 0968 64 65 97 1 1 1 x  y  y   x  y  y   9    1 Baát ñaúng thöùc – Baøi toaùn Min - Max x y y 1 ;  9 1 1 1   x y y 1 1 y  z  z   3z  3z  3y   3    1 1 1 3 x  x  z   6z  6x  6x   2   y z z 1 ;  3 1 1 1   3z 3z 3y 2 x  x  z  3   1 . 1 1 1   6z 6x 6x Cộng các vế của các bất đẳng thức trên ta được: x  y  y y  z  z 2 x  x  z  1    13x  5y  12z   1 . 9 3 3 9 x  y  z 3 Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi:  x y z  . 13x  5y  12z  9 10  3 Vậy giá trị lớn nhất của P bằng 1 ; khi x  y  z  . 10 P Bài 9. Cho x , y là hai số thực dương thỏa mãn x 2  2y  12 và x  y . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P   2 4 x 4  4 y 4  5 2 8 x  y  . HÖÔÙNG DAÃN GIAÛI Từ giả thiết ta có 16  x  4  2y  4x  2y  2 4x .2y , suy ra 0  xy  8 . Do đó xy 2  4 4  xy 5 1  x 2 y 2  5 1 P        .      . . 2 2 2  8  x 4 y 4  8  16 y x  64 x  y  2 8 x  y  y x Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: xy  8 . Đặt t  1 x y 1 5 1 1  , t  2 . Khi đó: P  t 2  .  . y x 16 64 t  2 8 1 2 5 1 1 t  .  , t  2. 16 64 t  2 8 t 5 1 5 Ta có f ' t    . ; f ' t   0  t  . 2 8 64 t  2 2 Xét hàm số f t     Bảng biến thiên 8 | Trang www.noon.vn Nguyeãn Vaên Huy – 0968 64 65 97 Baát ñaúng thöùc – Baøi toaùn Min - Max  5  27 Dựa vào bảng biến thiên ta thấy min f t   f    .  2  64 2; Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: t  5 x y 5    . 2 y x 2 2 27 . Từ 1 và 2 , suy ra dấu ''  '' xảy ra khi: x  2 , y  4 . 64 27 Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng ; khi x  2 , y  4 . 64 Suy ra P  Bài 10. Cho x , y , z là ba số thực thỏa mãn x , y  1 và 0  z  2 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P xy  2z 2 2 x  xy  2z 2  5xy  z 2 2 y  5xy  z 2  x y . z HÖÔÙNG DAÃN GIAÛI 2 Ta chứng minh: a  b  a 2 b2   x y x y * với a, b   và x , y  0 . a 2 b 2  2  Thật vậy, *  a  b   x  y     .  x y  Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có: 2  a 2 b2  a b     x .  y .  x  y        .  x y   x y   Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: a b  . x y Áp dụng * , ta có   x2 y2    x  y P  2     x 2  xy  2z 2 y 2  5xy  z 2  z 2 x  y  2  2 2 x  y   4xy  3z Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: x 2 x  xy  2z 2  x y . z y 2 y  5xy  z 2 . 1 2 Tiếp tục áp dụng bất đẳng thức 4xy  x  y  , ta được 2 P 2 x  y   2 2 2 x  y   3z x y x y  2  . 2 z z  x  y   3 2   z  Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: x  y . Đặt t   x  y 2    z  2 x y . Do x , y  1 và 0  z  2 nên t  1 . z 9 | Trang www.noon.vn Nguyeãn Vaên Huy – 0968 64 65 97 Khi đó: P  2  t2 Ta có f ' t     t. 2t 2  3 Xét hàm số f t   2  t2 2t  t , t  1. 2t 2  3 6t 2 Baát ñaúng thöùc – Baøi toaùn Min - Max 2  3  1  0 , t  1 . 2 t 4 Suy ra f t  nghịch biến trên 1;  nên f t   f 1  .  5 x y  1  x y  z . 3 z x  y  1 4 Suy ra P  . Từ 1 , 2 và 3 , suy ra dấu ''  '' xảy ra khi:  . z  2 5  Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: t  1  Vậy giá trị lớn nhất của P bằng 4 ; khi x  y  1 , z  2 . 5 Bài 11. Cho ba số thực dương x , y , z thỏa mãn x  y  z  xyz . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức z  z xy   P x  y z  1 z 2 2 2z 2  1 . 2 z 1 HÖÔÙNG DAÃN GIAÛI Ta có P   z z  xyz  2z xy x  y z 2  1  z x  y  2z xy x  y z 2  1   2z z  2 z2  1 1 2z   z2  1 . z2  1 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có 2  2  x  y  2z xy  x  y  .1  2 xy .z   x  y   4xy  . 1  z 2  x  y  1  z 2 .      Do đó P  z z2  1  2z   z2  1 z2  1 3z  z2  1  2z 3   z2  1  x  y 2 xy   Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi:  .  1 z  x  y  z  xyz z Đặt t  , 0  t  1 . Khi đó: P  3t  2t 3 . 2 z 1 z2  1  . 1 Xét hàm số f t   3t  2t 3 , 0  t  1 . Ta có f ' t   3  6t 2 ; f ' t   0  t  10 | Trang 1 2 do 0  t  1 . www.noon.vn Nguyeãn Vaên Huy – 0968 64 65 97 Baát ñaúng thöùc – Baøi toaùn Min - Max Bảng biến thiên  1  Dựa vào bảng biến thiên ta thấy max f t   f    2 .  2  0;1 Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: t  1 z  2 1  2 2 z 1 2 . x  2  1   Suy ra P  2 . Từ 1 và 2 , suy ra dấu ''  '' xảy ra khi: y  2  1 .  z  1  Vậy giá trị lớn nhất của P bằng 2 ; khi x  2  1 , y  2  1 , z  1 . Nhận xét: Thoạt đầu nhìn vào biểu thức P thấy rất cồng kềnh nhưng dùng giả thiết thì nó lại đơn giản. Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki thì ta có thể đưa P về một biểu thức gọn hơn chỉ còn chứa z. Cuối cùng là đặt t và xét hàm. Bài 12. Cho ba số thực dương x , y , z thỏa mãn điều kiện x  z . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức x P  x 2  y2 y y2  z 2 z . z x  HÖÔÙNG DAÃN GIAÛI 1 Ta chứng minh: 1  a2 1  1  b2  2 * với a, 1  ab b  0 và ab  1 . Thật vậy, ta có: 1 1  a2 mà 1 1a 2  1 1 b 2   1 1  b2  1. 1 1  a2  1. 1 1  b2  1 2  1 1    12    1  a 2 1  b 2   2 2  a  b  ab  1  0 luôn đúng với a, b  0 và ab  1 . 1  ab Do đó * đúng. Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: a  b . Áp dụng bất đẳng thức * , ta được: P x x 2  y2  y y2  z 2  Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: Đặt t  z  z x 1  y 2 1     x  1  z 2 1    y  y z  . x y z 2 , 0  t  1 . Khi đó: P   x 1t 11 | Trang   1 x 1 z  2 z 1 x  1 x 1 z . 1 1 1 1 t  t 2 t 1 . www.noon.vn Nguyeãn Vaên Huy – 0968 64 65 97 Xét hàm số f t   t 2 , 0 t 1. t 1 12 t Ta có f ' t   2 t Baát ñaúng thöùc – Baøi toaùn Min - Max 3 t  1 ; f ' t   0  t  1 . 4 Bảng biến thiên 1 Dựa vào bảng biến thiên ta thấy f t   f    5 với mọi t  0;1 .  4  Dấu ''  '' bằng xảy ra khi và chỉ khi: t  1 z 1    x  4z . 4 x 4 2 Suy ra P  5 . Từ 1 và 2 , suy ra dấu ''  '' xảy ra khi: x  2y  4z . Vậy giá trị lớn nhất của P bằng 5 ; khi x  2y  4z . Nhận xét: Bạn đọc cần lưu ý các bất đẳng thức phụ ở phần chứng minh vì nó chính là mấu chốt giúp chúng ta giải quyết những bài toán loại này. Chú ý rằng: 1 1 2 ▪ với a, b  0 và ab  1 .   1  a 1  b 1  ab Dấu ''  '' xảy ra khi a  b . 1 1 2 ▪ với a, b  0 và ab  1 .   1  a 1  b 1  ab Dấu ''  '' xảy ra khi a  b hoặc ab  1 . Bài 13. Cho ba số thực x , y , z thuộc đoạn 1; 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 36x 2y z .   yz xz xy HÖÔÙNG DAÃN GIAÛI ● Đặt f x   36x 2y z   với x  1; 3 , y , z là tham số. yz xz xy Ta có f ' x   36 2y z 36x 2  2y 2  z 2 36x 2  2.9  9      0. yz zx 2 x 2y x 2yz x 2yz 36 2y z Suy ra f x  đồng biến trên 1; 3 nên f x   f 1    . yz z y ● Đặt g y   36 2y z   với y  1; 3 , z là tham số. yz z y Ta có g ' y   36 y 2z  2 z 36  2y 2  z 2 36  2.9  12     0. z y2 y 2z y 2z Suy ra g y  nghịch biến trên 1; 3 nên 12 | Trang www.noon.vn Nguyeãn Vaên Huy – 0968 64 65 97 Baát ñaúng thöùc – Baøi toaùn Min - Max g y   g 3  ● Đặt h z   12 6 z 18 z     . z z 3 z 3 18 z  với z  1; 3 . z 3 Ta có h ' z    18 z 2  1 18 1     0. 3 32 3 18 3 Suy ra h z  nghịch biến trên 1; 3 nên h z   h 3    7.   3 3 Suy ra P  7 . Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: x  1 , y  3 , z  3 . Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 7 ; khi x  1 , y  3 , z  3 . Nhận xét: Cách làm này chỉ áp dụng khi các biến x, y, z không phụ thuộc lẫn nhau chúng phải là các biến tự do trong một đoạn. Bạn đọc có thể áp dụng cách làm này để giải đề thi Đại học khối A năm 2011. Tuy tính toán biến đổi hơi vất vả nhưng dễ làm. '' Cho x, y, z là ba số thực thuộc 1; 4  và x  y , x  z . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  x y z '' .   2x  3y y  z x  x   Bài 14. Cho x , y , z là ba số thực không âm thỏa mãn điều kiện 5 x 2  y 2  z 2  6 xy  yz  zx  . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức   P  2 x  y  z   y 2  z 2 . HÖÔÙNG DAÃN GIAÛI Ta có 5x 2   2 5 y  z   5x 2  5 y 2  z 2  2 2 Do đó 5x 2  6x y  z   y  z   0    6 xy  yz  zx   6x y  z   6. 14 y  z  . 2 y z x y z. 5 Suy ra x  y  z  2 y  z  . 2 2 2 1 1 1 y  z   4 y  z   y  z   2 y  z  y  z  .  2 2 2 y  z Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi:  . 1 x  y  z  Khi đó: P  2x  y  z   Đặt t  y  z , t  0 . Khi đó: P  2t  Xét hàm số f t   2t  t4 . 2 t4 , t  0. 2 Ta có f ' t   2  2t 3 ; f ' t   0  t  1 . Bảng biến thiên 13 | Trang www.noon.vn Nguyeãn Vaên Huy – 0968 64 65 97 Baát ñaúng thöùc – Baøi toaùn Min - Max Dựa vào bảng biến thiên ta thấy max f t   f 1  0;  3 . 2 2 Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: t  1  y  z  1 . Suy ra P  3 1 . Từ 1 và 2 , suy ra dấu ''  '' xảy ra khi: x  1, y  z  . 2 2 3 1 ; khi x  1, y  z  . 2 2 Nhận xét. Nhìn vào biểu thức P ta thấy vai trò y , z như nhau còn x thì không. Do vậy ta biến đổi làm mất x . Sau đó đặt ẩn phụ và xét hàm. Vậy giá trị lớn nhất của P bằng 2 2   x  yx  z  . 3x  2y  z  1 3x  2z  y 1 Bài 15. Cho x , y , z là ba số dương thỏa mãn điều kiện: 2 2 x  3  y 2  z 2 16 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  . 2x 2  y 2  z 2 HÖÔÙNG DAÃN GIAÛI 2 2 a  b  Áp dụng các bất đẳng thức cơ bản 2x  y  z  1 1 4 , ta có: x  y x  z    ab và   a b a b 4 4 Và 2 2 8   . 3x  2y  z  1 3x  2z  y  1 3 2x  y  z   2 Kết hợp với giả thiết, ta được 2 8 3 2x  y  z   2  2x  y  z  4 . 1 Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: y  z . 8 u2   3u 3  2u 2  32  0 3u  2 4 Đặt u  2x  y  z  0 , ta được    u  2 3u 2  8u  16  0  u  2  y  z  2  2x . 2 Ta có P  2 x  3  y 2  z 2  16 2x 2  y 2  z 2 1 2 6x  1 2x 2  y 2  z 2 . 2 2 2 2 2 Ta có sự đánh giá 2x  y  z  2x  y  z  2  2   2x 2  2 1  x   2 2x 2  2x  1  0 . Và 6x  1  0 nên P  1  6x  1 2 2x  2x  1 . Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: y  z và y  z  2  2x . Xét hàm số f x   1  14 | Trang 6x  1 2 2x  2x  1 2 , x  0. www.noon.vn Nguyeãn Vaên Huy – 0968 64 65 97 Ta có f ' x    4 3x 2  x  2 2x 2   2x  1 Baát ñaúng thöùc – Baøi toaùn Min - Max  ; f ' x   0  x  2 (do x  0 ). 3 Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên ta thấy f x   10 với mọi x  0 . Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: x  2 . 3 3 Suy ra P  10 . Từ 1 , 2 và 3 , dấu ''  '' xảy ra khi: x  2 1 ,yz  . 3 3 2 1 , yz  . 3 3 Nhận xét. Nhận thấy biểu thức P đối xứng giữa y và z nhưng x thì không. Nhìn vào thấy cái giả thiết thật ghê gớm nhưng chỉ sử dụng vài bất đẳng thức cơ bản thì sẽ đi đến đơn giản và tìm được mối liên hệ giữa x với y Vậy giá trị lớn nhất của P bằng 10 ; khi x  và z. Sau đó ta biến đổi để đánh giá biểu thức P  f x  và đến đây thì mọi việc đã đơn giản vì chỉ còn xét hàm là giải quyết bài toán.  2  Bài 16. Cho x , y , z là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện x 4  y 2  1  z 4  3 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  2y x  z   1 2 2 x  y  z2  1 . HÖÔÙNG DAÃN GIAÛI Từ giả thiết ta có:         2 y 2  1  6  x 4  1  y 4  4  z 4  1  2x 2  4y 2  2z 2 . Suy ra 0  x 2  y 2  z 2  4 . Ta có P  2y x  z   1 x  y  z2  1  2xy  2yz  2 2 1 2 2 x  y  z2  1 y2 y2 1  x2    z2  . 2 2 2 2 x  y  z2  1 Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: x  y 2 và y 2 z. Đặt t  x 2  y 2  z 2 , 0  t  4 . Khi đó: P  t  Xét hàm số f t   t  15 | Trang 1 1 . t 1 1 , 0 t  4. t 1 www.noon.vn Nguyeãn Vaên Huy – 0968 64 65 97 Ta có f ' t   1  1 Baát ñaúng thöùc – Baøi toaùn Min - Max  0 , t  0; 4 . 2 t  1 21 Suy ra f t  đồng biến trên 0; 4 nên f t   f 4   . 5 2 Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: t  4  x 2  y 2  z 2  4 . 21 . Từ 1 và 2 , dấu ''  '' xảy ra khi: x  1 , y  2 , z  1 . 5 21 Vậy giá trị lớn nhất của P bằng ; khi x  1 , y  2 , z  1 . 5 Suy ra P  Nhận xét. Bài toán này khó ở chổ dùng giả thiết để đánh giá x 2  y 2  z 2  4 . Việc còn lại thì áp dụng bất đẳng thức Côsi và xét hàm là hoàn toàn đơn giản. Bài 17. Cho x , y , z là ba số thực thỏa mãn điều kiện xyz  1 và x 4  y 4  8xy  6 . Tìm giá trị lớn 2 nhất của biểu thức P  xy  x  y   1 . 2z HÖÔÙNG DAÃN GIAÛI Ta có 8xy  6  x 4  y 4  2x 2y 2 . Đặt t  xy , ta được 8t  6  2t 2  2t 2  8t  6  0  1  t  3 . 2 Áp dụng bất đẳng thức cơ bản a  b   4ab , a, b   và kết hợp với giả thiết xyz  1 , ta có 2 P  xy  x  y   1  xy  4xy  2z 1 2 1 xy Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: x  y . Xét hàm số f t   3t  Ta có f ' t   3   3xy  xy . 2xy  1 1 t 1 1  3t   , t  1; 3 .   2t  1 2 2 2t  1 1 2 4 2t  1  0 , t  1; 3 . 10 Suy ra f t  nghịch biến trên 1; 3 nên f t   f 1   .   3 Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: t  1  xy  1 . Suy ra P   2 10 . Từ 1 , 2 và kết hợp với giả thiết, suy ra dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: 3 x  y  z  1  x  y  1; z  1 .  x  y  z  1  x  y  1; z  1 .  Nhận xét. Nhìn vào bài toán ta thấy hai biến x, y đối xứng còn z thì không. Vậy hướng đơn giản nhất là dùng các dữ kiện giả thiết cho cùng với các bất đẳng thức cơ bản để loại đi biến z. Khi đó ta đặt ẩn phụ để đưa về hàm một biến và xét hàm đặc trưng. Vậy giá trị lớn nhất của P bằng  16 | Trang 10 ; khi 3 www.noon.vn Nguyeãn Vaên Huy – 0968 64 65 97 Baát ñaúng thöùc – Baøi toaùn Min - Max Bài 18. Cho các số thực dương x , y , z thỏa mãn điều kiện xz  y xy  z   x 2z 2  4y 2 và xz  2y . 2   xz  y 2 y     . P  1      xz   xz  y  Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức HÖÔÙNG DAÃN GIAÛI   y  xy y2 Ta có xz  y xy  z   x 2z 2  4y 2  x     1  x 2  4   z z   z2  y  z  xz y  x   1    4     z  xy  y xz   xz  xz y z  y 1  y   4  x        2   .  y y xz  y   z x  xz  1 Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: xy  z . xz , t  2 . Từ * , ta có y Đặt t  t2  Suy ra *  1  2 t    t  2 t 3  2  0  t  2 (do t  2 ).  t  t  4 2  xz xz 2   4. y y 2 2 2   xz  y   y y   1   Ta có: P  1     xz  xz    xz  y    2 1  y   xz  .     y   1    xz  1  u 2 2 y 1  . Đặt u  , u  . Khi đó: P  1  u     1  u  xz 4 2 Xét hàm số f u   1  u  Ta có f ' u   2 1  u   1  u 2 1  ,u .    1  u  4 4 1  u  3 1  u   0 , u  1 . 4   1  625 1 Suy ra f u  đồng biến trên ;  nên f u   f    .   4  144 4  1 y 1    xz  4y . 2 4 xz 4 x  2 625 Suy ra P  . Từ 1 và 2 , suy ra dấu ''  '' xảy ra khi:  . z  2y 144   x  2 625 Vậy giá trị lớn nhất của P bằng ; khi  . z  2y 144  Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: u  17 | Trang www.noon.vn Nguyeãn Vaên Huy – 0968 64 65 97 Baát ñaúng thöùc – Baøi toaùn Min - Max Nhận xét. Nếu ngay từ đầu ta đưa biểu thức P về biểu thức chứa biến suy ra y và sử dụng giả thiết xz  2y xz y   1 y 1  rồi đi khảo sát hàm f   trên ;  thì dấu ''  '' không xảy ra. Vì còn một giả thiết  xz   xz 2 2  nữa ta chưa sử dụng. Bài 19. Cho x , y là hai số thực dương thỏa mãn x 2  y 2  x  y . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 16 P  3x  2y  x  3y 16  3x  1 . HÖÔÙNG DAÃN GIAÛI Từ giả thiết ta suy ra 2 2 2 x y  x y  x  y   0  x y  2. 2 Ta có  16   16   P  x  3y    3x  1    x  y   1 .  x  3y   3x  1  Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta được 16 x  3y  3x  1  x  3y 16  x  3y  x  3y 8   8 x  3y  12 ; 8  12 . 3x  1 3x  1 x  y  2  x  1 Do đó P  24  2  1  21 . Dấu ''  '' xảy ra khi: x  3y  4   .  y  1  3x  1  4  Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 21 ; khi x  y  1 . 3x  1  3x  1  8 Nhận xét. Nhìn vào biểu thức P ta thấy P có dạng hai biến không đối xứng nhưng nhờ sự phân tích hợp lý kết hợp với việc chọn điểm rơi trong bất đẳng thức Côsi ta tìm được giá trị nhỏ nhất của P. Bài 20. Cho x , y , z là ba số thực không âm và thỏa mãn điều kiện x 2  y 2  0 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  1 2 2  2 x  y  z  2z  2 4 3 3 3 x  y  z  2 . HÖÔÙNG DAÃN GIAÛI Đặt t  z  1 , t  1 . Khi đó P 1 x 2  y 2  z 2  2z  2   4 3 1 2 x  y  z  1  1 2 18 | Trang 3 3 x  y  z  2 2  4 3 3 3 x  y  z  2 . www.noon.vn Nguyeãn Vaên Huy – 0968 64 65 97 Baát ñaúng thöùc – Baøi toaùn Min - Max 2 1 a  b  , a, b   .  2 Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: a  b . Áp dụng bất đẳng thức a 2  b 2  Ta có x 2  y 2  2 2 1 1 x  y  và t 2  1  t  1 .  2 2 Suy ra x 2  y 2  t 2  1  Hay x 2  y2  t 2  1  2 2 2 1 1 x  y   t  1   x  y  t  1  4 2  1 x  y  t  1 . 2 * a  b 2  , a, b . Tiếp tục áp dụng bất đẳng thức cơ bản ab    2  Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: a  b .  x  y  t  12  . Ta có x  y t  1   2   Từ * và * * suy ra P  * * 2 32 .  x y t 1 3 x y t 1 3   1 Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: x  y  t  1 . Đặt a  x  y  t  1 , a  2 . Khi đó: P  Xét hàm số f a   Ta có f ' a   2 a Bảng biến thiên 2 2 32 .  a 3a 3 2 32  , a 2. a 3a 3  32 a4 ; f ' a   0  a  4 . Dựa vào bảng biến thiên ta thấy max f a   f 4   2;  1 . 3 Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: a  4  x  y  t  1  4 . Suy ra P  2 1 . Từ 1 và 2 , suy ra dấu ''  '' xảy ra khi: x  y  t  1 . 3 1 ; khi x  y  1 , z  0 . 3 Nhận xét. Bài toán sử dụng qua hai lần đổi biến và áp dụng hai bất đẳng thức phụ mới đưa đến được biểu thức cần xét hàm đặc trưng. Nhưng nếu bạn đọc đã nghiên cữu kỹ về điều này thì nó không còn khó nữa. Vậy giá trị lớn nhất của P bằng 19 | Trang www.noon.vn Nguyeãn Vaên Huy – 0968 64 65 97 Baát ñaúng thöùc – Baøi toaùn Min - Max Bài 21. Cho x , y , z là ba số thực thuộc đoạn 1; 4  và x  z  y . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 3x  x y  2  y2  2 y  z  z2 2 z  x  . HÖÔÙNG DAÃN GIAÛI 1 Trước hết ta chứng minh: 2 1  a   1 2 1  b  2 1  ab  2 * với a, b  1. Thật vậy, theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có 2  1 1  2 2   1  a  1  b   1  1      1 1   .  2 2  1  a  1  b   Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: a  b . Mặt khác, ta lại có bất đẳng thức: 1 1 2   với a, b  1 . 1  a 1  b 1  ab    a  b  2 1  ab  2 1  a 1  b   a  b  ab  2 ab  a  b  2ab    ab  1  2 a b  0 luôn đúng với a, b  1 . Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: a  b hoặc ab  1 . Như vậy kết hợp hai bất đẳng thức ta suy ra * đúng và dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: a  b . Áp dụng * ta có: Do đó P  y2 2 y  z  3x  x y  2   z2 2 z  x  2 2  x    1  y     1 2   1  z   y   x 2  3    y  2  x    1  y     1 2   1  x  z   2 2  x    1  y   2  x   1  y    . . 1 Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: z 2  xy . Đặt t  2  x 3t 2  2 , vì x  y và x , y  1; 4  nên t  1;2 . Khi đó: P  .     2 y 1  t  Xét hàm f t   3t 2  2 2 1  t  , t  1;2 . Ta có f ' t   6t 3 1  t   0 , t  1; 2 . 5 Suy ra f t  đồng biến trên 1;2 nên min f t   f 1  , t  1; 2 .     1;2 4   Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: t  1  x  y . Suy ra P  20 | Trang 2 5 . Từ 1 và 2 , suy ra dấu ''  '' xảy ra khi: x  y  z . 4 www.noon.vn Nguyeãn Vaên Huy – 0968 64 65 97 Baát ñaúng thöùc – Baøi toaùn Min - Max 5 ; khi x  y  z . 4 Nhận xét: Bài toán thực sự khó khi cho các biến bị chặn và biểu thức P không đối xứng. Muốn giải được bài này bạn đọc phải nắm vững được bất đẳng thức phụ (*). Đây chính là mấu chốt bài toán. Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng Bài 22. Cho x , y , z là ba số thực dương thỏa mãn x  y  z  1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P xyz x y   . x  yz y  zx z  xy HÖÔÙNG DAÃN GIAÛI xy xz yz yx zx zy .  .  . . z y x z y x Do đó với A , B , C là ba góc của tam giác ABC . yz A zx B xy C Ta đặt  tan2 ;  tan2 ;  tan2 . x 2 y 2 z 2 Ta thấy: 1  x  y  z  xy 1 1 z Khi đó P    yz zx xy 1 1 1 x y z  1 A 1  tan 2 2  cos2 Mặt khác, ta lại có cos A  cos B  sinC  sin  tan 1 B 1  tan 2 2  C 2 1  tan2 C 2 A B 1 1  cos2  sin C  1  cos A  cos B  sin C  . 2 2 2 2  3   C C AB AB 3 cos 3  2 cos cos  2 sin 2 2 2 2  C AB 3  2 cos  2 cos 2 2  A  B C  3  4 cos   2 3.  4 cos 4 6   1 3  4  3 3 Suy ra : P  1  2 3  .   2  2  4 Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi:  A  B  0 A  B   x  y  2 3  3   6 suy ra   .   C      z  7  4 3 2   C  3 3  x  y  2 3  3  43 3 Vậy giá trị lớn nhất của P bằng ; khi  . z  7  4 3 4  Nhận xét: Từ giả thiết kết hợp với đặc trưng của biểu thức P mà ta hướng đến lượng giác hóa. Việc tìm GTLN – GTNN của một biểu thức lượng giác các em học sinh đã được học và làm quen ở chương trình lớp 10. Bài 23. Cho ba số thực x , y , z thỏa mãn x  1 , y  0 , z  0 . 21 | Trang Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức www.noon.vn Nguyeãn Vaên Huy – 0968 64 65 97 Baát ñaúng thöùc – Baøi toaùn Min - Max 1 P x 2  y 2  z 2  2x  2  2 x y  1z  1 . HÖÔÙNG DAÃN GIAÛI Đặt a  x  1 , b  y , c  z . Vì x  1 , y  0 , z  0 nên a  0 , b  0 , c  0 . 1 Khi đó: P  a 2  b2  c2  1  2 a  1b  1c  1 2 2 2 2 Ta có a  b  c  1  a  b  2 2  c  1 2  . 2 2 2 1 1 a  b   c  1   a  b  c  1 . 2   4  a  1  b  1  c  13 a  b  c  3 3     . a  1 b  1 c  1        3 3    Do đó: P  2 54 .  3 a b c  1 a  b  c  3   1 Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: a  b  c  1 . Đặt t  a  b  c  1 , t  1 . Khi đó: P  Xét hàm số f t   Ta có f ' t    2 t 2 2 54 .  3 t t  2 2 54 , t  1.  3 t t  2  162 4 t  2 ; f ' t   0  t  4 trên khoảng 1;  . Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên ta thấy max f t   f 4  1; 1 . 4 Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: t  4  a  b  c  1  4 . Suy ra P  2 1 . Từ 1 và 2 , suy ra dấu ''  '' xảy ra khi: a  b  c  1 . 4 1 ; khi x  2 , y  z  1 . 4 Nhận xét: Bằng việc đổi từ biến x, y, z qua các biến a, b, c ta thấy vai trò a, b, c đối xứng nên áp dụng các bất đẳng thức cơ bản được đơn giản hơn. Vậy giá trị lớn nhất của P bằng Bài 24. Cho x , y , z là các số dương thỏa mãn xy  1 và z  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 22 | Trang www.noon.vn Nguyeãn Vaên Huy – 0968 64 65 97 Baát ñaúng thöùc – Baøi toaùn Min - Max P x y z3  2   . y  1 x  1 3 xy  1 HÖÔÙNG DAÃN GIAÛI Ta có 1 1 2   x  1 y  1 1  xy * với x  và y dương, xy  1 .  Thật vậy: *  x  y  2 1  xy  2 1  x 1  y   x  y  xy  2 xy  x  y  2xy   x y  2  xy  1  0 luôn đúng với x và y dương, xy  1 . Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: x  y hoặc xy  1 . 3 Và z 3  2  z 3  1  1  3 z 3 .1.1  3z  3 suy ra z3  2 3 xy  1  1 . xy  1 Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: z  1 . Do đó: P  x y 1 1 1 2 y 1 x 1 xy  1  1 1  1    x  y  1   2  x  1 y  1 xy  1  2     1  2.  2 xy  1  1  xy  xy  1   1 Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: x  y và z  1 . Đặt t  xy , t  1 . Khi đó: P  Xét hàm số f t   2 2t  1 t 1  1 2 t 1 2  2t 1 , t  1.  2 t 1 t 1  t  1 t 2 Ta có f ' t   2t 1  . t  1 t2  1 2 2 t  1  2t t 2 2  1    0 , t  1 . 2 t  1 t 2  t  1 2 2 2  1 3 Suy ra f t  đồng biến trên 1;  nên f t   f 1  .  2 Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: t  1  xy  1  xy  1 . Suy ra P  2 3 . Từ 1 và 2 , suy ra dấu ''  '' xảy ra khi: x  y  z  1 . 2 Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 3 ; khi x  y  z  1 . 2 Nhận xét: Bất đẳng thức phụ * thường hay được áp dụng trong các bài toán tìm min, max của biểu thức chứa 2 biến hoặc 3 biến. Bất đẳng thức * còn có một dạng khác nữa mà bạn đọc nêm chú ý. Bài 25. Cho các số thực không âm x , y , z thỏa mãn xz  yz  1  xy . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 23 | Trang www.noon.vn Nguyeãn Vaên Huy – 0968 64 65 97 Baát ñaúng thöùc – Baøi toaùn Min - Max 2x P x2 1  2y y2  1  z2  1 z2  1 . HÖÔÙNG DAÃN GIAÛI Đặt a  1 1 , b  , c z. y x Từ giả thiết, ta có: xz  yz  1  xy  1 1 1 1 c  c  1  .  ab  bc  ca  1 . a b a b Do đó 1  a2  a  ba  c ; 1 b2  a  bb  c ; 1  c2  a  cb  c  . Ta có   a 1a 2  b 1b  2 a b  a  b a  c  a  b b  c  1  ab a  b b  c c  a  1  ab  1  a 1  b 1  c  1  a 1  b  1.1  a.b  1  a 1  b 1  c  1  a 1  b  1  c 2 Khi đó: P  2 2 1  c2 2 2  c2  1 c2  1 2 2 2 2 2 2 2  Ta có f ' c   2 1  c2  c2  1 c2  1   2c  1  c 2  2   2 1  c  2 1  c2 . . 1 Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: a  b . Xét hàm số f c   1 , c  0. c  0 ; f ' c   0   . c  3 Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên ta thấy max f c   f 0;   3  23 . Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: c  3 . Suy ra P  2 3 . Từ 1 , 2 và giả thiết, suy ra dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: 2 a  b  2  3; c  3 suy ra x  y  2  3; z  3 . 3 ; khi x  y  2  3 , z  3 . 2 Nhận xét: Bài toán sử dụng rất nhiều kỷ thuật: đổi biến, áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, xét hàm đặc trưng. Việc khó nhất của bài này là đổi biến để biểu thức được đơn giản dễ nhìn hơn. Vậy giá trị lớn nhất của P bằng Bài 26. Cho các số thực dương a , b , c . Tìm GTNN của biểu thức 24 | Trang www.noon.vn Nguyeãn Vaên Huy – 0968 64 65 97 P Baát ñaúng thöùc – Baøi toaùn Min - Max 1 2a  b  8bc 8  2 2b2  2 a  c   3 . HÖÔÙNG DAÃN GIAÛI Ta có 8bc  2 2bc  b  2c suy ra Ta lại có 1 2a  b  8bc  1 2 a  b  c  . 2 2b 2  2 a  c   a  c   b , suy ra 8 2 2b 2  2 a  c   3 Do đó : P  1 2 a  b  c    8 3 a b c 8 . 3 a b c b  2c a  c Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi:    . a  c  b b  2c   Đặt t  a  b  c , t  0 . Khi đó: P  Xét hàm số f t   Ta có f ' t   1 2t 2 1 1 8 .  2t t  3 1 8  , t  0. 2t 3  t  8 2 t  3  3 t  15t  3 2 2t 2 t  3 . Thấy rằng f ' t   0 , t  1 và f ' t   0 , t  0;1 . Suy ra f t  nghịch biến trên khoảng 0;1 và đồng biến trên 1;  . 3 Từ đó suy ra f t   f 1   , t  0 . 2 2 Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: t  1  a  b  c  1 . 3 1 1 Suy ra P   . Từ 1 và 2 , dấu ''  '' xảy ra khi: a  c  , b  . 2 4 2 3 1 1 Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng  ; khi a  c  , b  . 2 4 2 Nhận xét: Bằng cách vận dụng được bất đẳng thức Côsi thì ta đưa được biểu thức P về dạng đặt được ẩn phụ để xét hàm đặc trưng. Cái khó của bài này là chọn điểm rơi trong bất đẳng thức Côsi để đẳng thức xảy ra. Bài 27. Cho x , y , z là các số thực dương thỏa mãn x 2  y 2  z 2  1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P xy 1  z2  yz 1  x2  x 3y 3  y 3z 3 24x 3z 3 . HÖÔÙNG DAÃN GIAÛI Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có 25 | Trang www.noon.vn Nguyeãn Vaên Huy – 0968 64 65 97 xy 1z 2  yz 1x 2   z Baát ñaúng thöùc – Baøi toaùn Min - Max xy 2 x 2   z 2 y 2   x xy   2 z 2  x 2 . z 2  y2   yz 2 y 2   x 2  z2  yz   2 x 2  y2 . x 2  z 2  1  x 2 y2 y2 z 2        4  z 2  x 2 z 2  y 2 x 2  y 2 x 2  z 2   1  y2 y 2  1  y2 y 2  1  y y  1 1  y y      .   1    1      1  2   4 2yz 2xy  4  2z 2x  4 8  z x  z  y 2 x 2  y 2  4  Lại áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có x 3y 3  y 3z 3  x 3y 3  y 3z 3 x 3z 3 P Suy ra 3 1 xy  yz  , nên  4 3  xy  yz  4x 3z 3  3 1 y y     . 4  z x  3 1 1  y y  1  y y          . 4 8  z x  96  z x  1 Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: x  y  z . Đặt t  t3 t 1 y y  , t  0 . Khi đó : P     . z x 96 8 4 Xét hàm số f t    Ta có f ' t    t3 t 1   , t  0. 96 8 4 t2 1  ; f ' t   0  t  2 (do t  0 ). 32 8 Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên ta thấy max f t   f 2  0; Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: t  2  Suy ra P  5 . 12 y y   2. z x 2 1 5 . Từ 1 , 2 và giả thiết, suy ra dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: x  y  z  . 12 3 1 5 ; khi x  y  z  . 12 3 Nhận xét. Bài toán khá khó khi có sự lồng ghép giữa bất đẳng thức Côsi và giả thiết để đưa biểu thức P về dạng đặt được ẩn phụ. Những kỷ thuật này bạn đọc cần nắm để vận dụng cho bài khác. Vậy giá trị lớn nhất của P bằng 26 | Trang www.noon.vn Nguyeãn Vaên Huy – 0968 64 65 97 Baát ñaúng thöùc – Baøi toaùn Min - Max Bài 28. Cho x , y , z là ba số thực dương thỏa mãn x  max x ; y; z  . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x y z  1  31 . y z x P HÖÔÙNG DAÃN GIAÛI Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có P x y z x y z  1   3 1    2 1.  3 2 1. y z x y z x  x y z  2.4  3 2.6 y z x  1  x y z   1  x  3 6  6 z    2   .   4.4  6.6   1   z x   2 2  y 2 2  y  2 2  x 1 Tiếp tục áp dụng bất đẳng thức Côsi ta lại có:      1  x y z 1 x y y z z     4  ...  4  6  ...  6    4.4  6.6   z x  2 2  y  z z  x  x 2 2  y   4 lan 6 lan  x y z 11 . .11 . .  y z x 2 2 2 2 2   1  1  x  1  1 ;   2 2  y 2 2 3 11 Vì x  max x ; y; z  nên ▪ x 1  1 và 1   0 . Do đó y 2 2  6  6 z 6   0 . Do đó  3 2  .  32   2 2 2 2 x 2 2 Từ 1 , 2 , 3 và 4  suy ra: ▪ z  1 và x 3 2 6 4   1   3 6     2    1  2  3 2 .  1          2 2 2 2 2 2 Dấu "  " xảy ra khi và chỉ khi: x  y  z . P 11 Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 1  2  3 2 ; khi x  y  z . Nhận xét: Bài toán áp dụng kỷ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức Côsi khá hay.   2 Bài 29. Cho x , y là các số thực thỏa mãn: x 2  y 2  1  3x 2y 2  1  4x 2  5y 2 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  x 2  2y 2  3x 2y 2 x 2  y2  1 . HÖÔÙNG DAÃN GIAÛI   2 Ta có x 2  y 2  1  3x 2y 2  1  4x 2  5y 2   x2  y2 27 | Trang  2    2 x 2  y 2  2  3x 2y 2  y 2 . 1 www.noon.vn Nguyeãn Vaên Huy – 0968 64 65 97 Baát ñaúng thöùc – Baøi toaùn Min - Max x 2  y2  y2  Rõ ràng  2 2  x 2  y2  2 x 2  y2  2  3x 2y2  x 2  y2  2 x 2  y2        Từ 1 và 2 suy ra: x 2  y 2  x 2  y 2 2     y2   x 2 2  2 2 2 2 .  2  2   2 x2  y2  2  1  x 2  y2  2 .   x Lại có từ giả thiết: x 2  2y 2  3x 2y 2  x 2  y 2 x Do đó : P    2  y2  2 .  y2  2 . 2 x y 1 t2  t  2 Đặt t  x 2  y 2 với t  1;2 , ta được P  .   t 1 Xét hàm số f t   f ' t   t2  t  2 , t  1;2 .   t 1 t 2  2t  3 2 t  1 Ta có f 1  1 và f 2  ; f ' t   0  t  1 . 4 4 . Suy ra min f t   f 1  1 và max f t   f 2  . 1;2 1;2 3 3     Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 1 khi x  0 , y  1 ; 4 khi x  0 , y   2 . 3 Nhận xét: Bài toán khai thác từ dữ kiện giả thiết rồi đi đến một biểu thức đối xứng để đặt được ẩn phụ. Cái hay của bài này là không dùng bất đẳng thức phụ mà chỉ dùng giả thiết để biến đổi. giá trị lớn nhất của P bằng Bài 30. Cho x , y , z là các số thực dương thỏa mãn x  y và xy  x  y  z  z 2  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  1 2 4 x  y  1  2 x  z   1 2 y  z  . HÖÔÙNG DAÃN GIAÛI Đặt x  z  a . Từ giả thiết bài toán ta có x  z y  z   1 hay y  z  1 . a Do x  y nên x  z  y  z . Suy ra a  1 . Ta có x  y  x  z  y  z   a  1 a2  1  . a a a2 a2 Do đó: P    4 a2  1 2  1 a2  a2   2  4 a2  1  3a 2 a 2 1  a2 3a 2       1.  4 4 4 a 2  4 a 2  1 2 28 | Trang t 2 4 t  1  1 Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: a  2 . Đặt t  a 2 , t  1 . Khi đó: P    3t 1. 4 www.noon.vn Nguyeãn Vaên Huy – 0968 64 65 97 Xét hàm số f t   Ta có f ' t   t 2 4 t  1 t  1 3 4 t  1   Baát ñaúng thöùc – Baøi toaùn Min - Max 3t 1, t  1. 4 3 ; f ' t   0  t  2 . 4 Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên ta thấy min f t   f 2  3 . 1; 2 Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: t  2  a 2  2 . x  z  2  Suy ra P  3 . Từ 1 và 2 , suy ra dấu ''  '' xảy ra khi:  . y  z  1  2  Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 3 ; khi x  z  2 , y  z  1 . 2 Nhận xét: Bằng việc đổi biến thích hợp và vận dụng bất đẳng thức Côsi ta đưa biểu thức P về còn một biến. Bước tiếp theo ta chỉ việc xét hàm đặc trưng. Bài 31. Cho x , y , z là ba số thực dương thỏa mãn x  y  z  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x2 2 y  z    5yz y2 2 z  x    5zx 2 3 x  y .  4 HÖÔÙNG DAÃN GIAÛI Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có x2 2 y  z  y2   5yz 2 y  z  x2 4x 2 ;  2 2 5 9 y  z   y  z  4 y2 4y 2 .  2 2 2 2 5 z  x   5zx z  x   z  x  9 z  x  4   2 x2 y2 4  x 2 y2  2  x y   Suy ra:        2 2 2 2 y  z   5yz z  x   5zx 9 y  z  z  x   9 y  z z  x  29 | Trang  www.noon.vn Nguyeãn Vaên Huy – 0968 64 65 97 Baát ñaúng thöùc – Baøi toaùn Min - Max  2 2 2 2  x  y  z x  y     9  xy  z x  y   z 2     2 2  x  y     z x  y   2  2     9  x  y 2   z x  y  z 2        4  2 2  2 x  y  4 z x  y      2    . 2  9  x  y  4z x  y  4z 2       Vì x  y  z  1 , suy ra x  y  1  z . 2  2 2 2 2 2  2 1  z   4z 1  z   3 8 2  3   1  z   1    1  z  . Do đó: P    2 9  1  z  4z 1  z  4z 2  4 9 z  1  4       Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: x  y  z . Xét hàm số f z   Ta có f ' z   1 2 2 8  2  3  1     1  z  , z  0;1 . 9  z  1  4 16  2  2 3 1  .  1  z  ; f ' z   0  z  . 1  2 9  z  1  z  1 3   2 Bảng biến thiên  1 1 Dựa vào bảng biến thiên ta thấy min f z   f     .   0;1 3 9     1 . 3 Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: z  2 1 1 Suy ra P   . Từ 1 và 2 , suy ra dấu ''  '' xảy ra khi: x  y  z  . 9 3 1 1 Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng  ; khi x  y  z  . 9 3 Nhận xét: Bài toán có hai biến x, y đối xứng còn biến z thì không. Vậy ta có hai cách làm : Một là ta tìm cách loại bỏ biến z; Hai là đưa về biểu thức có chứa z nhưng đặt được ẩn phụ để trở thành biểu thức một biến. Bài 32. Cho x , y , z là ba số thực không âm thỏa x 2  y 2  z 2  1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P 2x  z 2y  z x y z   . 1  yz 1  zx 1  2xyz HÖÔÙNG DAÃN GIAÛI 30 | Trang www.noon.vn Nguyeãn Vaên Huy – 0968 64 65 97 2 Baát ñaúng thöùc – Baøi toaùn Min - Max 2 Ta chứng minh: 2 1  yz   x  y  z  * với x 2  y 2  z 2  1 . Thật vậy, *  2  4yz  2y 2z 2  x 2  y 2  z 2  2 xy  yz  zx     2 x 2  y 2  z 2  4yz  2y 2z 2  x 2  y 2  z 2  2 xy  yz  zx     x 2  y 2  z 2  2yx  2x y  z   2y 2z 2  0 2  x  y  z   2y 2z 2  0 luôn đúng.   Từ *  1  yz  x y z 2 Tương tự ta cũng có: 1  zx  . x y z 2 . 1 Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: x  y , z  0 . Tiếp tục ta chứng minh: 2  2xyz  x  y  z * * . Thật vậy, * *  x 1  2yz   y  z   2 . Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có  2  2  x 1  2yz   y  z .1  x 2  y  z   1  2yz   1         1  2y z 2yz  1  0 .  2 1  2yz  1  2yz  2y 2z 2 .  Ta cần chứng minh 1  2yz  1  2yz  2y 2z 2  2 2  Do 1  x 2  y 2  z 2  y 2  z 2  2yz , suy ra 2yz  1  0 . Vậy * * đúng. 2 Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: xyz  0 . Khi đó P  2 2x  z  x y z  2 2y  z  x y z  2 x  y  z  x y z 3 2. 2 , z  0. 2 Nhận xét: Bài toán khá khó khi đi từ các bất đẳng thức cơ bản kết hợp với giả thiết để đưa biểu thức P về dạng đối xứng và tự triệt tiêu các biến. Vậy giá trị lớn nhất của P bằng 3 2 ; khi x  y  Bài 33. Cho ba số thực x , y , z không âm đồng thời thỏa mãn điều kiện z  max x ; y; z  và xy  yz  zx  0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  x y z 2  33 . y z z x x y HÖÔÙNG DAÃN GIAÛI Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có: x x  1  2. . y z y z Từ đó suy ra 31 | Trang www.noon.vn Nguyeãn Vaên Huy – 0968 64 65 97 Baát ñaúng thöùc – Baøi toaùn Min - Max  x y  z  P  2   1.   3 3 x  z  x y  y  z 1 Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: x  y  z . Giả sử x  y . Ta chứng minh x y x y    y z x z z Thật vậy, Ta có x y x y   , với x  y và xy  yz  zx  0 . y z x z z xz x  y y  z  yz x  z x  y  Do đó vế trái của *    xz x  y y  z  2xz 2 z x  y  .x y  z  2yz 2 y x  z .z x  y   yz x  z x  y   2xz ; xy  yz  2xz  2yz . xy  zx  2yz  1. * . 2xz 2yz .  xy  yz  2zx xy  zx  2yz Mà yz  2zx  zx  2yz và yz  xy nên vế trái của *  2xz 2yz 2xz  2yz 2xz  yz  xy     1. xy  yz  2zx xy  zx  2yz xy  yz  2zx xy  yz  2zx Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: x  y  z hoặc x  z ; y  0 . Do đó: P  2 Đặt t  6 2 x y z  33 1. z x y z 1 2 ,t . Khi đó: P   3t 2  1 . 6 x y t3 2 Xét hàm số f t   Ta có f ' t   6t  2 t 3 6 t4  3t 2  1 , t    1 6 . ; f ' t 6 t5  1 t4 2    0  t  1. Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên ta thấy min f t   f 1  4 .    1   ;   6 2  Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: t  1  x  y  z . 3 Suy ra P  4 . Từ 1 , 2 và 3 , suy ra dấu ''  '' xảy ra khi: x  z , y  0 . Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 4 ; khi x  z , y  0 . Nhận xét: Bài toán nhìn vào hình thức rất đẹp mắt. Ở đây ta sử dụng bất đẳng thức Côsi để biến đổi biểu thức P về dạng đặt được ẩn phụ dùng cho việc xét hàm đặc trưng. 32 | Trang www.noon.vn Nguyeãn Vaên Huy – 0968 64 65 97 Baát ñaúng thöùc – Baøi toaùn Min - Max Bài 34. Cho a , b , c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện a 2  b2  c 2  ab  2bc  2ca  0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  c2 2 a  b  c   c2 2 a b 2  ab . a b HÖÔÙNG DAÃN GIAÛI Đặt x  xy 1 1 a b , y  x , y  0 . Khi đó P  .   2 2 2 c c x  y x  y x  y  1 2 2 Từ giả thiết ta có a  b  c   ab nên x  y  1  xy . 2 2 Ta có x  y  1  xy  Áp dụng bất đẳng thức P x  y  4 2  x y  2. 3  xy 1 1 4 2xy và   , u, v  0 ta được:  2 u v u  v x y x  y  1 2 x  y  1  1 2 x y 2  xy x y 1 1 2xy   2 2 2 xy x  y x  y     1 1   1 2xy         2  2xy x 2  y 2   2xy x  y    4 1 2xy   2. 2 2 2xy x  y 2 x  y  2xy    4 2 x  y   2 x  y   . Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: x  y . 1 2  4 2 Đặt t  x  y , t   ;2 . Khi đó: P   . 3  2 t t   2  2  4 2 8 2 Xét f t    , t   ;2 . Ta có f ' t      0 , t   ; 2 . 3  3  t2 t t3 t2     2  Suy ra f t  nghịch biến trên  ;2 nên f t   f 2  2 . 3    Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: t  2  x  y  2 . 2 Suy ra P  2 . Từ 1 và 2 , suy ra dấu ''  '' xảy ra khi: x  y  1 . Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 2 ; khi a  b  c . Nhận xét: Bằng việc đổi biến hợp lý ta đưa biểu thức P từ ba biến về thành hai biến mới. Vận dụng giả thiết kết hợp với các bất đẳng thức cơ bản đề đưa P về một biểu thức đặt được ẩn phụ. 33 | Trang www.noon.vn Nguyeãn Vaên Huy – 0968 64 65 97 Baát ñaúng thöùc – Baøi toaùn Min - Max Bài 35. Cho a , b , c là các số thực dương. Tìm giá trị lớn nhất của : P  Ta có P  8a  3b  4  8a  3b  4  ab  bc  3 abc 2 1  a  b  c  . HÖÔÙNG DAÃN GIAÛI ab  bc  3 abc  2 1  a  b  c   a  4b b  4c a  4b  16c   8a  3b  4     4 4 12  2 1  a  b  c  28 a b c   . 3 1  a b c 2   1 Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: a  4b  16c . Đặt t  a  b  c , t  0. Khi đó : P  Xét f t   t 1  t2 28 t  . 3 1  t2 với t  0. Ta có f ' t   1  t2 1  t  2 2 ; f ' t   0  t  1 . Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên ta thấy max f t   f 1  0; 1 . 2 2 Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: t  1  a  b  c  1 . Suy ra P  14 16 4 1 . Từ 1 và 2 , suy ra dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: a  ,b ,c . 3 21 21 21 14 16 4 1 ; khi a  ,b ,c . 3 21 21 21 Nhận xét: Bài toán khá đơn giản chỉ cần bạn đọc biết được kỷ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức Côsi để biến đổi P về biểu thức đối xứng và đặt được ẩn phụ. Vậy giá trị lớn nhất của P bằng Bài 36. Cho x , y , z là ba số thực dương thỏa x 2  y 2  z 2  3y . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 34 | Trang 1 2 x  1  4 2 y  2  8 2 z  3 . www.noon.vn Nguyeãn Vaên Huy – 0968 64 65 97 Baát ñaúng thöùc – Baøi toaùn Min - Max HÖÔÙNG DAÃN GIAÛI Từ giả thiết ta có sự đánh giá:         2x  4y  2z  x 2  1  y 2  4  z 2  1  x 2  y 2  x 2  6  3y  6 . Suy ra 2x  y  2z  6 . 1 Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: x  1; y  2; z  1 . 1 Áp dụng đánh giá Ta được: P   a 1 2 x  1 2   1 b 8  2 2 a  b  1 2 y    1   2  64 2   x  y  z  5   2    , a, b  0 . 8 2 z  3  8 2   x  y  2   2  64.4 2 2x  y  2z  10   8 2 z  3 64.4 2 6  10 y z. 2 Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 1 ; khi x  1; y  2; z  1 . Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: x   1. 2 Nhận xét: Ban đầu nhìn vào ta thấy biểu thức P ba biến nhưng không đối xứng chắc có vẻ phức tạp, nhưng chỉ cần áp dụng đánh giá trên thì ta đưa P về dạng đơn giản hơn có sự gắn kết giữa các biến. Sau đó tiếp tực vận dụng giả thiết và bất đăng thức Côsi để tìm ra được giá trị nhỏ nhất của P. Bài 37. Cho x , y là hai số thực dương thỏa mãn điều kiện x  y  2 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  7 x  2y   4 x 2  2xy  8y 2 . HÖÔÙNG DAÃN GIAÛI Vì x , y là các số thực dương nên   7 x  2y  4 x 2  2xy  8y2   P  x  y     x y      7y  4 x 2  2xy  8y 2    x  y 7   x y       x 2  x  .  7  4    2  8    y  y   .  2 7   x  1   y     Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: x  y  2 . Đặt t  1    x 7  4 t 2  2t  8   . , t  0 . Khi đó: P  2 7   y t 1   35 | Trang www.noon.vn Nguyeãn Vaên Huy – 0968 64 65 97 Xét hàm số f t   Ta có f ' t   Baát ñaúng thöùc – Baøi toaùn Min - Max 7  4 t 2  2t  8 với t  0 . t 1 7 t 2  2t  8  28 2 t  1 t 2  2t  8 ; f ' t   0  t  2 . Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên ta thấy max f t   f 2  3 . 0; Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: t  2  x  2  x  2y . y 2 Suy ra P  8 . Từ 1 và 2 , suy ra dấu ''  '' xảy ra khi: x  4 2 ,y . 3 3 4 2 ,y . 3 3 Nhận xét. Bài toán với biểu thức hai biến x, y nhưng không đối xứng. Bằng cách áp dụng giả thiết để đánh giá và chia cả tử và mẫu cho y thì biểu thức P đối xứng và đặt được ẩn phụ để xét hàm. Vậy giá trị lớn nhất của P bằng 8 ; khi x  Bài 38. Cho x , y , z là ba số thực dương thỏa mãn xyz  x  z  y . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P 2 2 x 1  2 2 y 1 4z  z2  1  3z z 2  1 z2  1 . HÖÔÙNG DAÃN GIAÛI Từ giả thiết ta có x  y z . Thay vào P ta được: 1  yz 2 P 2 1  yz   2  1  y 1  z  y  1   2z 2y  y  1 z     1  y 1  z    2 2 2 2 2 2 4z z2  1 4z 2  3z z  z 1 2  1 z2  1 3z z 2  1 . 2 z 1 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có  2 2  4y  y 2  1  1  z 2  2   2 2 y  y  1 z 2z 2y  y 2  1 z      2z   2z .      2z .  .  2 2 2 2 2 2 1y 1z 1y 1z 1y 1z 1  z2  36 | Trang                www.noon.vn Nguyeãn Vaên Huy – 0968 64 65 97 Baát ñaúng thöùc – Baøi toaùn Min - Max   2    z   . 1   Do đó: P          2 2 2 2 2 2 z 1 z 1 z 1 z 1 z 1   z  1     2z 2z 3z  3z  1 Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: 2yz  y 2  1 . z Đặt t  2 z 1 với t  0;1 . Khi đó: P  3t 3  t . Xét hàm f t   3t 3  t , t  0;1 . Ta có f ' t   9t 2  1 ; f t   0  t  1 . 3 Bảng biến thiên 1 2 Dựa vào bảng biến thiên ta thấy max f t   f    .  3  9 0;1 1  3 Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: t  Suy ra P  z z2  1  1 . 3 2 2 . Từ 1 , 2 và giả thiết, suy ra dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: 9 x 2 2 ; y  2; z  . 2 4 2 2 2 ; khi x  ; y  2; z  . 2 4 9 Nhận xét: Bạn đọc cũng có thể giải theo cách lượng giác hóa. Vậy giá trị lớn nhất của P bằng Bài 39. Cho x , y , z là ba số thực dương thỏa mãn x  y  z . y z   x  y y  z 8z P  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x2 xz  z  . HÖÔÙNG DAÃN GIAÛI y x Ta có P  1 y x  z y 1 z y   x 2    z   x   8   1  z  . Đặt a  Khi đó 0  a, b  1 ; c  1 ; abc  1 và P  z y x ,b ,c . y x z a b   1 a 1 b 8  c2  c 1 . Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có: 37 | Trang www.noon.vn Nguyeãn Vaên Huy – 0968 64 65 97 a b   1 a 1b Do đó: P  2 ab 2 ab  1  ab 8  2 ab  1  a 1  b  Baát ñaúng thöùc – Baøi toaùn Min - Max 1 1  a  1  b  2 c2  c 1 2  c 1  8   2 ab 2 ab .  a b 1  ab 1 2 c2  c 1  c 2  16 8  c2  16 8   c 1 trên 1;  . 3c 2  4c c  16 Ta có f ' c   16 c   c 1 2 . 1 Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: a  b . Xét hàm số f c    c 1    c  2 3c c  2c  4 c  8 16 c   c 1 2 ; f ' c   0  c  4 . Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên ta thấy min f c   f 4   4 . 1; 2 Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: c  4 . Suy ra P  4 . Từ 1 , 2 và điều kiện abc  1 , suy ra dấu ''  '' xảy ra khi: 1 , c  4 hay x  2y  4z . 2 Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 4 ; khi x  2y  4z . a b  Nhận xét: Bài toán khá hay khi đổi biến để được biểu thức P đơn giản hơn, kết hợp áp dụng bất đẳng thức Côsi và giả thiết để đưa P về biểu thức một biến. Bài 40. Cho a , b , c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện a 2  3b2c 2  2 a  bc  . Tìm giá trị nhỏ nhất a2 4 4 .   2 2 bc a  b  a  c  của biểu thức: P  HÖÔÙNG DAÃN GIAÛI 2 Từ giả thiết ta có 3b 2c2  2bc  1  a  1  1 suy ra bc  1 . Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có Suy ra 1 2 a  b  38 | Trang  a2 a 2b  c  2a   bc  2ab . c c 1  b a  bc 1   c    2   a c 2   bc b  c  . www.noon.vn Nguyeãn Vaên Huy – 0968 64 65 97 Tương tự ta cũng có Do đó: P  1  2 a  c   Baát ñaúng thöùc – Baøi toaùn Min - Max b  a  bc b  c  2 . a2 4c 4b a2 4 4    a2  .   2 2 2 2 bc bc a  bc a 1 a  bc b  c  a  bc b  c      1 Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: a  b  c . Xét hàm số f a   a 2  Ta có f ' a   2a  4 2 a 1 8a a 2  1 2  trên khoảng 0; .   2a a 2  3 a  1a  1 a 2  1 2 ; f ' a   0  a  1 . Vì a  0 nên dấu của f ' a  chỉ phụ thuộc vào dấu của a  1 . Mà a  1 đổi dấu từ  sang  khi qua a  1 , suy ra f a  đạt giá trị nhỏ nhất tại a  1 trên 0; và min f a   f 1  3 . 0; 2 Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi : a  1 . Suy ra P  3 . Từ 1 và 2 , suy ra dấu ''  '' xảy ra khi: a  b  c  1 . Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 3 ; khi a  b  c  1 . Nhận xét: Từ giả thiết ta thấy a 2 và 2a thì ta nghĩ đến hằng đẳng thức chứa a để đánh giá bc . Bài 41. Cho x , y , z là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện x  z . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  2 2x 2 2 x  y   2z 2y  z  2 y  z   3 z z  x . HÖÔÙNG DAÃN GIAÛI 2 a  b  * a 2 b2 Trước hết ta chứng minh:     với a, b   và x, y  0 . x y x y a 2 b 2  2  Thật vậy, *  a  b   x  y     .  x y  Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có 2  a 2 b2  a b   x .  y .  x  y    x  y  .    x y    Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: a b  . x y Áp dụng * , ta có 39 | Trang www.noon.vn Nguyeãn Vaên Huy – 0968 64 65 97 2 2x 2 2 x  y  Baát ñaúng thöùc – Baøi toaùn Min - Max   2  y 2   x            x2 2z 2y  z   x  y  y 2   y  z       2  2    2 2 2 1 1   x  y  y  z  y  z         2  x y     2  x  y y  z   x y   .  2.     x  y y  z  11 Do đó: P  x y 3 z .   x y y z z  x 1 Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: xz  y 2 . Mặt khác, ta lại có bất đẳng thức:  1 1 2   1  a 1  b 1  ab * * với a và b  0 , ab  1 .   a  b  2 1  ab  2 1  a 1  b   a  b  ab  2 ab  a  b  2ab    ab  1 a b  2  0 luôn đúng với a và b  0 , ab  1 . Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: a  b hoặc ab  1 . Áp dụng * * , ta có: P  1 y 1 x Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: Đặt t   1 z 1 y  3 x 1 z  2 z 1 x  3 x 1 z y z z  hoặc  1 . x y x . 2 2t 3 2t  3 x , t  0;1 . Khi đó: P  .    t 1 1t t 1 z Xét hàm số f t   2t  3 1 trên 0;1 . Ta có f ' t    0 , t  0;1 . 2 t 1 t  1 5 Suy ra f t  nghịch biến trên 0;1 nên f t   f 1  , t  0;1 . 2 Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: t  1  x  z . Suy ra P  3 5 . Từ 1 , 2 và 3 , suy ra dấu ''  '' xảy ra khi: x  y  z . 2 5 ; khi x  y  z . 2 Nhận xét: Biểu thức P chứa ba biến nhưng không đối xứng. Áp dụng bất đẳng thức phụ (*) và (**) để đưa biểu thức P về còn hai biến ở dạng đặt được ẩn phụ để xét hàm đặc trưng. Những bất đẳng thức phụ có dạng (*) và (**) thường xuyên được áp dụng để dồn biến nên bạn đọc nên nhớ. Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 40 | Trang www.noon.vn Nguyeãn Vaên Huy – 0968 64 65 97 Baát ñaúng thöùc – Baøi toaùn Min - Max Bài 42. Cho a , b , c là ba số thực dương thỏa mãn a 2  b 2  c 2  2ab  3 a  b  c  . Tìm giá trị nhỏ 304 nhất của biểu thức: P   a c 304 b 2  a b  c . HÖÔÙNG DAÃN GIAÛI 2 2 2 Từ giả thiết bài toán và áp dụng đánh giá x  y  x  y  2 , 2 2 Ta có: 3 a  b  c   a  b   c  2 a  b  c  2 Suy ra 0  a  b  c  6 . Áp dụng bất đẳng thức AM  GM ta có: a c  4 a c  4  a c  ; 2 4 4 b  2 b 6 2 b 2   b 2  2 4 2 a c   1 1   a b c . Suy ra: P  1216   a  c  4 b  6  Áp dụng bất đẳng thức Do đó: P  1 1 4 1 1 4 , ta lại có: .     a b a b a  c  4 b  6 a  b  c  10 4864 a b c . a  b  c  10 Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: a  1 ; b  2 ; c  3 . 1 4864 Đặt t  a  b  c , t  0; 6 . Khi đó: P  t .  t  10 Xét hàm số f t   4864  t trên 0; 6 . t  10 Ta có f ' t    4864 2 t  10  1  0 , t  0;6 . Suy ra f t  nghịch biến trên 0; 6 nên f t   f 6  310 , t  0; 6 . Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: t  6  a  b  c  6 . 2 Suy ra P  310 . Từ 1 và 2 , dấu ''  '' xảy ra khi: a  1 ; b  2 ; c  3 . Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 310 ; khi a  1 ; b  2 ; c  3 . Nhận xét: Biểu thức P chứa ba biến nhưng không đối xứng. Bằng cách áp dụng bất đẳng thức AM – GM, kết hợp với việc chọn điểm rơi ta đưa được P về biểu thức dạng đối xứng giữa ba biến. Đến đây thì bài toán hoàn toàn đơn giản. Bài 43. Cho x , y , z là ba số thực thuộc 0;1 và thỏa mãn x  y  1  z . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  41 | Trang x y z   . y  z z  x xy  z 2 www.noon.vn Nguyeãn Vaên Huy – 0968 64 65 97 Baát ñaúng thöùc – Baøi toaùn Min - Max HÖÔÙNG DAÃN GIAÛI Do x , y , z  0;1 , ta có xy  1 và z  z .  2 Suy ra xy  z 2  1  z mà 1  z  x  y nên xy  z 2  x  y . Từ đó ta được Khi đó P  z xy  z 2  z , z  0;1 . x y x y z   z y z x x y  x   y   z    1    1   3  1      y  z   z  x   x  y    1 1 1    3  x  y  z      x  y y  z z  x   1 1 1 1    3.  x  y   y  z   z  x       x  y y  z z  x  2  1 1 1 Áp dụng đánh giá a  b  c       9 a b c  * , a, b, c  0 . 9 3 3  . 2 2 Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: x  y  z  1 . Ta được P  3 ; khi x  y  z  1 . 2 Nhận xét: Bằng cách vận dụng giả thiết kết hợp với đánh giá ta đưa được biểu thức P về dạng biểu thức Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng đối xứng ba biến x , y , z . Biểu thức P ở dạng này rất quen thuộc, tiếp tục áp dụng đánh giá * (chứng minh dựa vào bất đẳng thức Côsi cho ba số) ta tìm được gái trị nhỏ nhất của P. Bài 44. Cho x , y , z là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện xy  yz  zx  0 . Tìm giá trị nhỏ nhấ của biểu thức: P  1 x y  z   2z 2  1 y x  4z   2 x  2y  4  4 z  1 . HÖÔÙNG DAÃN GIAÛI ● Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz, ta có: 1 a  1 b Áp dụng * , ta được:  4 a b 4  2 a  b  1 x y  z   2z 2   2 2 a b 1 y x  4z   . * 2 2 x y  z   2z  y x  4z  2 Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: x y  z   2z 2  y x  4z   z x  2z  4y   0 . Mặt khác, ta lại có: 2xy  xz  4yz  2z 2  . 1 2 1 x  2y  4z  .  4 2 2 1 x  2y  4z   x  2y   8z 2  6zx  0 .  4 Điều này luôn đúng với x , y , z không âm. Thật vậy, 2xy  xz  4yz  2z 2  42 | Trang www.noon.vn Nguyeãn Vaên Huy – 0968 64 65 97 Baát ñaúng thöùc – Baøi toaùn Min - Max 2 Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: x  2y và z  0 . Suy ra A  1 x y  z   2z 2 1  y x  4z   4 2 . x  2y  4z * * x2  c  x2  d  x  x2  c  d . ● Ta chứng minh: với mọi c , d  0 . Thật vậy, * *  2 x 2    c x 2  d  2x x 2  c  d  cd  0 . Điều này luông đúng c , d  0 . Áp dụng * * , ta được B  2 x  2y  4  4 z  1      2  22  x  2y  22  4z   2 2  22  x  2y  4z  .     Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: x  2y  .4z  0 . Vì vậy: P  A  B  4 2  4  2 4  x  2y  4z . x  2y  4z Đặt t  x  2y  4z , với t  0 . Khi đó: P  Xét hàm số f t   Ta có f ' t    4 2  4 2 4 t . t 4 2  4 2 4 t , t  0. t 4 2 t 3 2  1 4 t ; f ' t   0  t  4 . Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên ta thấy min f t   f 4  4  5 2 . 0; 4  Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: t  4  x  2y  4z  4 . Suy ra P  4  5 2 . Từ 1 , 2 , 3 và 4  , suy ra dấu ''  '' xảy ra khi: x  2y  2 , z  0 . Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 4  5 2 ; khi x  2y  2 , z  0 . Nhận xét: Bài toán rất khó khi có sự kết hợp hai biểu thức A và B. Ở biểu thức A ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz (*), biểu thức B sử dụng bất đẳng thức phụ (**). Bài 45. Cho x , y , z là các số thực thỏa mãn x 2  y 2  z 2  1 . 8 2 P  xy  yz  2zx   43 | Trang 2 x  y  z  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .  xy  yz  2 www.noon.vn Nguyeãn Vaên Huy – 0968 64 65 97 Baát ñaúng thöùc – Baøi toaùn Min - Max HÖÔÙNG DAÃN GIAÛI 2 Ta có x  y  z   xy  yz  2  x 2  y 2  z 2  xy  yz  2zx  2  xy  yz  2zx  3 . 2 Áp dụng bất đẳng thức ab  a  b  4 , a, b   . 2 2 2 Ta được: xy  yz  2zx  x  y  z   y x  z   1  x  y  z   x  y  z  4  1  1 . x  y  z  0 Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi:  . y  x  z  2 Do đó: P  xy  yz  2zx   8 . xy  yz  2zx  3 Đặt t  xy  yz  2zx , t  1 . Khi đó: P  t 2  Xét hàm số f t   t 2  8 . t 3 8 trên 1;  . t 3 2 Ta có f ' t   2 t  1 t  4  2 t  3  0 , t  1;  . Suy ra f t  đồng biến trên 1;  nên f t   f 1  3 . x  y  z  0 Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: t  1   . y  x  z  1 Suy ra P  3 . Từ 1 và giả thiết, suy ra dấu ''  '' xảy ra khi:  1  1 1  1   hoặc x ; y; z     . ; 0;    2 2  2 2   1 1   . Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 3 ; khi x ; y; z    ; 0;   2 2  x ; y; z    ; 0;  2 Nhận xét: Bài toán sử dụng giả thiết x 2  y 2  z 2  1 để biến đổi x  y  z   xy  yz  2 về dạng chứa xy  yz  2zx . Khi đó biểu thức P đã đặt được ẩn phụ t  xy  yz  2zx . Áp dụng đánh giá cơ bản để tìm miền giá trị của t . Đến đây ta chỉ việc khảo sát hàm đặc trưng f t  trên miền giá trị vừa tìm. 1 1 1   . x y z Bài 46. Cho x , y , z là ba số thực dương thỏa mãn P x 2  y2 z 2  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức z . x y HÖÔÙNG DAÃN GIAÛI Từ giả thiết 1 1 1 xy x y    xy  yz  zx   . 2 x y z z z Áp dụng bất đẳng thức 44 | Trang 1 1 1 4 1 1 1 4 x y   , a, b  0 , ta có:    suy ra  4. a b a b z x y x y z www.noon.vn Nguyeãn Vaên Huy – 0968 64 65 97 Do đó: P  Đặt t  x 2  y2 z2  Baát ñaúng thöùc – Baøi toaùn Min - Max  x  y 2  2xy   x  y 2  x  y  z z z        2   .      z  x  y x  y  z   z 2  x  y  z  x y 1 với t  4 . Khi đó: P  t 2  2t  . z t 1 Xét hàm số f t   t 2  2t  , t  4 . t Ta có f ' t   2t 3  2t 2  1 t2  0 , t  4 . 33 Suy ra f t  đồng biến trên  4;  nên f t   f 4  , t   4;  . 4 2 Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: t  1  x  y  4z . Suy ra P  33 . Từ 1 và 2 , suy ra dấu ''  '' xảy ra khi: x  y  2z . 4 33 ; khi x  y  2z . 4 Nhận xét: Bài toán khá nhẹ nhành khi sử dụng giả thiết biến đổi cơ bản để đưa P về biểu thức đặt được ẩn phụ t. Ở đây ta áp dụng đánh giá là để tìm miền giá trị cho tham số t. Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng Bài 47. Cho x , y , z là ba số thực dương thỏa mãn P 1 1 2   . x y z Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x z y z  . 2x  z 2y  z HÖÔÙNG DAÃN GIAÛI 1 1 2 z z Từ giả thiết, ta có      2 . x y z x y Đặt a  z z , b  . Ta được a  b  2 . x y z y 1 1 1 1 a b 1 a 1 b x z Khi đó: P  .      z 2y 2 a 2 2 a 2 b 2 1 1 x z b 1  2 1  a 1  2  a  2 a  2a  3 Thay b  2  a , ta được: P    2  a 2  2  a  a 2  2a  2  6 2 a  2a  2  6 2 a  1   2  1 6  4. 1 Suy ra P  4 . Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: a  1 . Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 4 ; khi x  y  z . Cách 2. Từ giả thiết, ta có 1 1 2 2xy   z  . x y z x y Thay vào P  , ta được: P  x 2  3xy 2x 2  Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: x  y . 45 | Trang y 2  3xy 2y 2 3 y x  3 y x  1      1  .2 .  4 . 2  x y  2 x y 1 www.noon.vn Nguyeãn Vaên Huy – 0968 64 65 97 Baát ñaúng thöùc – Baøi toaùn Min - Max Suy ra P  4 . Từ 1 và giả thiết, suy ra dấu ''  '' xảy ra khi: x  y  z . Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 4 ; khi x  y  z . Nhận xét. Bài toán khá nhẹ nhàng khi sử dụng giả thiết và bằng cách đặt ẩn phụ thì có thể đưa về hàm một biến. Đối với Cách 2 thì lại đơn giản khi biến đổi điều kiện và thay thẳng vào P ta được biểu thức chỉ còn chứa hai biến và nghịch đảo nhau nên áp dụng BĐT Côsi. Bài 48. Cho x , y , z là ba số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  4 2 3 2x  4 xy  8 yz  1 x y z . HÖÔÙNG DAÃN GIAÛI Áp dụng bất đẳng thức Cauchy , ta có:  3 2x  4 xy  8 yz  2 3x  2 2xy  4 2yz   x  2y y  2z    4 2 x  y  z  .  2 3x  2.  4.  2 2  Suy ra P  1 1 .  x y z x y z 1 Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: x  2y , y  2z . 1 1 Đặt t  x  y  z , t  0 . Khi đó: P   . t t Xét hàm số f t   Ta có f ' t   1 2t t Bảng biến thiên 1 1 , với t  0 .  t t  1 t 2 ; f ' t   0  Do đó min f t   f 4   0; 1 2t t  1 t2  0 t  4. 1 khi và chỉ khi: t  4  x  y  z  4 . 2 2 1 Suy ra P   . 2 16 8 4  Từ 1 và 2 , suy ra dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: x ; y; z    ; ;  .  7 7 7  16 8 4  1 Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng  ; khi x ; y; z    ; ;  .  7 7 7  2   Bài 49. Cho x , y, z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện  x  y  xy  z 2  3xyz . Tìm giá trị nhỏ   2 z 2  2xy  3z 4 x2  y2  nhất của biểu thức: P  . z2 2xyz 2 46 | Trang www.noon.vn Nguyeãn Vaên Huy – 0968 64 65 97 Baát ñaúng thöùc – Baøi toaùn Min - Max HÖÔÙNG DAÃN GIAÛI 2 x  y  z  Từ giả thiết, ta có    3.   1  xy   z   x y 0 a  3 z Đặt  , ta được a.b  3  b  . 2 z a b  1   xy 4xy z2 4 x  y 2 xy , suy ra a 2  2   2.  z z xy a z Áp dụng bất đẳng thức Cauchy , ta có: a  x  y   z2  4  2 Do đó 3     a  1  2   a  3a  4  0  a  4 a  1  0  a  4 .   1  z xy a         x 2  y 2 4xyz 2  4x 2y 2  2z 4 x 2  y 2 2xy z2     2  xy z2 2xyz 2 z2 z2 Ta có: P  2  x y  z2  3 2 2    a  1  b  a  1  .   1   1  z xy a     3 với a  4 . a  Xét hàm số f a  a 2  1   Ta có f ' a  2a  3 a2  2a 3  3 a2  0 , a  4 . 71 Suy ra f a đồng biến trên  4;  nên f a  f 4  , a  4 . 4     x  y 4  3 Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: a  4 , suy ra b  nên  z 2  x  y  2z . 4 1  z  3  xy 4 Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 71 ; khi x  y  2z . 4   Cách 2. Từ giả thiết, ta có x 2y  xy 2  z 2 x  y  3xyz   2 2 2 z 2  2xy  3z 4 x  y x y  x2  y2 x y xy         3 và P  z z z z z2 2xyz 2 z  z z z  2  x y 2 2 1  2  3 z z x  y   nên ta đặt      xy z  z  2 z z 2 2 thức P  a  b 2 2 1  2ab   2ab 3 với a, b  0 và thỏa mãn điều kiện a 2b  ab 2  a  b  3ab .  2  x a   0 z bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của biểu  b  y  0  z  Ta có a b  ab  a  b  3ab  ab a  b  a  b  3ab  a b   1 1 4  3  3  a b a b a b    2     3 a b  4  0    a  b  1  a  b  4   0  a  b  4 .    47 | Trang www.noon.vn Nguyeãn Vaên Huy – 0968 64 65 97   Lại có ab a  b  a  b  3ab  1  2 Do đó P  a 2  b 2 1  2ab   3 2ab Baát ñaúng thöùc – Baøi toaùn Min - Max 1 3 3 1 .   1  ab a  b a  b ab   a b 2  Đặt t  a  b với t  4 . Khi đó P  t 2  1   Xét hàm số f t  t 2  1   Ta có f ' t  2t  3 t2  2 1  a b ab  2  1 3 . a b 3 . t 3 với t  4 . t 2t 3  3 t2  0 , t  4 . 71 Suy ra f t đồng biến trên  4;  nên f t  f 4  , t  4 . 4 Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: t  4  a  b  4 , suy ra ab  4 nên     a  2 a  b  4   x  y  2z .  b2 ab  4  Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 71 ; khi x  y  2z . 4 Bài 50. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện x 2  y 2  z 2  2x . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức x z z 4x 2   x  2y  1 y  1 x  y P   2  . HÖÔÙNG DAÃN GIAÛI 2 Từ giả thiết, ta có 2x  2xy  z 2  x  y  . 2 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy , ta được z 2  x  y   2z x  y  . * 1 Suy ra x  xy  xz  yz . Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: z  x  y . Từ * và kết hợp với x , y, z dương, suy ra: z x  y 1 x y và x z x  . x  2y  1 x  y  x 2 x x  . Do đó P    4  x y x y  x  y  Đặt t  x với t  0 . Khi đó P  2t  4t 2 . x y Xét hàm số f t   2t  4t 2 với t  0 . Ta có f ' t   2  8t ; f ' t   0  t  48 | Trang 1 . 4 www.noon.vn Nguyeãn Vaên Huy – 0968 64 65 97 Baát ñaúng thöùc – Baøi toaùn Min - Max Bảng biến thiên 1 với mọi t  0 . 4 1 x 1 Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: t     y  3x . 4 x y 4 Dựa vào bảng biến thiên ta thấy f t   2 1 . Từ 1 , 2 và giả thiết, suy ra dấu ''  '' xảy ra khi: 4 1 3 4 . x  , y  ,z  13 13 13 1 1 3 4 Vậy giá trị lớn nhất của P bằng ; khi x  , y  , z  . 4 13 13 13 Suy ra P  Bài 51. Cho x , y, z là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  x 3  y 3  x y z2    .  xy  2y 2  xz 2x 2  yz  4 x  y 2   HÖÔÙNG DAÃN GIAÛI   1 1 z2   Ta có P  x 3  y 3   .  2y 3  xyz 2x 3  xyz  4(x  y )2   Áp dụng bất đẳng thức cơ bản  3 P  x y 3  2x 1 1 4   với a, b  0 , ta được a b a b 4 3  2y 3  2xyz  z2 2 4 x  y    2 Do xy  x  y  4 nên P    2 x 3  y3 x 3  y 3  xyz  z2 2 4 x  y    x  y x 2  y 2  xy   xyz  4 x 2  y 2  xy  x  y  z  2  2 x  y  x 2  y 2  xy 8 x 2  y 2  xy      z2 2 4 x  y  . z2 2 4 x  y  2 x  y  z  4 x 2  y 2  xy  x  y  z  z2 2 4 x  y  . 2 2 2 Sử dụng đánh giá x  xy  y  49 | Trang x  y  4 , ta được www.noon.vn Nguyeãn Vaên Huy – 0968 64 65 97 Baát ñaúng thöùc – Baøi toaùn Min - Max 2z 2z z z2 x y P 2  2  . 2 x  y  z 4(x  y )2 z 4( x  y ) 1 x y 2 Đặt t  z 2t t2 2 t2 , với t  0 . Khi đó P  2     . x y 1t 4 1t 4 Xét hàm số f t   2 t2 trên khoảng 0;  .  1t 4 2 Ta có f ' t   t t  1  4 ; f ' t   0  t  1 . 2 2 t  1 Lập bảng biến thiên ta thấy f ' t  đổi dấu từ ân sang dương tại t  1 nên 5 . 4 P  f t   f 1  Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: 2x  2y  z .   Bài 52. Cho x , y, z là các số thực dương thỏa mãn y  z  x y 2  z 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 1 2 (1  x ) 1  1  2 1  y  2 1  z   4 1  x 1  y 1  z  . HÖÔÙNG DAÃN GIAÛI  2  Từ giả thiết suy ra x y  z   2x y 2  z 2  2 y  z   y  z  2 . x 2 2 1  x  2 1 1  2  Từ đó ta có 1  y 1  z   2  y  z   2    . 4 4  x  x2 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: P  Từ đó suy ra: P  Xét hàm số f (x )  Ta có f '(x )  2x 2  1 2 1  x   4x 2 3 1  x  2x 3  6x 2  x  1 3 1  x  2 5x  1 4 1  x   0x  1 2 1  x   2 1  y 1  z  2x 2  6x 2  x  1 3 1  x   4 1  x 1  y 1  z  . . . 1 5 1 91 Lập bảng biến thiên ta thấy P  F (x )  f    .  5  108 Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 50 | Trang 91 1 . Dấu bằng xảy ra khi x  , y  z  5 . 108 5 www.noon.vn Nguyeãn Vaên Huy – 0968 64 65 97 Baát ñaúng thöùc – Baøi toaùn Min - Max Bài 53. Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn ab  bc  ca  3 và a  c . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  1 2 a  1  2 2 b  1  3 2 c  1 . HÖÔÙNG DAÃN GIAÛI Ta chứng minh rằng với các số thực không âm x, y thì 1 2 x  1 2  1 2 y  1  1 . 1  xy * 2 Thật vậy (*)  xy x  y   xy  1  0 (luôn đúng). Tức (*) đúng.    1 1  1 2  Áp dụng (*) , ta có: P   2     2 2 2 2  b  1 a  1 c  1 c  1  1  ac 1  bc  Mặt khác theo bất đẳng thức Cô sin cho 3 số dương, ta có 1 1 1 1 1 1 1 1 x  y  z .  x  y  z   3 3 xyz .33 x . y . z  Suy ra P    9 hay 1 1 1 9    . x y z x y z 1 1 1 9    . 1  ac 1  bc 1  bc 1  ac  1  bc  1  bc Vì a  c nên P  9 3  . ab  bc  ca  3 2 3 . 2 Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi a  b  c  1 . Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng Bài 54. Cho ba số thực không âm a, b, c thỏa mãn a 2  b 2  c 2  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 2a  c 2b  c a b  c .   1  bc 1  ca 1  2abc HÖÔÙNG DAÃN GIAÛI 2 2 Chứng minh 2 1  bc   a  b  c     2  4bc  2b 2c 2  a 2  b 2  c 2  2 ab  bc  ca    2  a 2  b 2  c 2  2bc  2a b  c   2b 2c 2  0  b  c  a   2b 2c 2  0 b  c  a Dấu "  " xảy ra khi  . bc  0  Chứng minh 2  2abc  a  b  c  a 1  2bc   b  c   2 . Theo bất đẳng thức Bunhiacopsky 51 | Trang www.noon.vn Nguyeãn Vaên Huy – 0968 64 65 97 Baát ñaúng thöùc – Baøi toaùn Min - Max   2  2 a 1  2bc   b  c .1  a 2  b  c   1  2bc   1        2 1  2bc  1  2bc  2b 2c 2 .   Cần chứng minh 1  2bc  1  2bc  2b2c2  1  2b 2c 2 2bc  1  0   Ta có 1  a 2  b 2  c2  b 2  c 2  2bc  2bc  1  0 . Dấu "  " xảy ra khi abc  0 . Do đó: P  2(2a  c) 2(2b  c) 2(a  b  c)   3 2. a b c a b c a b c Vậy max P  3 2 đạt được khi a  b  2 ,c  0 . 2 Bài 55. Cho a, b, c là các số thực thuộc đoạn 1;2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 a  b  . P 2 c  4 ab  bc  ca  HÖÔÙNG DAÃN GIAÛI Biểu thức P được viết lại dưới dạng tương đương là: 2 2 a  b  a  b  P  c 2  4c a  b   4ab c 2  4c a  b   a  b 2 M 2 Do a, b, c  1;2 nên a  b  0 , nên chia tử và mẫu của M cho a  b  , ta được M  1  c 2  c      a  b   4 a  b   1  1 t 2  4t  1 với t  c a b 1  Với a, b, c  1;2  t   ;1 .   4    Xét hàm số f (t )  Ta có f '(t )  1  trên  ;1 4  t 2  4t  1   1 2 t  2 1   0, t   ;1  f '(t ) nghịch biến trên 4  (t  4t  1)   2 2 Do đó t  1  f (t )  f (1)  1   ;1 . 4    1 6 Đẳng thức xảy ra khi t  1  a;b; c   1;1;2 . Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 52 | Trang 1 . Dấu ''  '' xảy ra khi a; b; c   1;1; 2 . 6 www.noon.vn Nguyeãn Vaên Huy – 0968 64 65 97 Baát ñaúng thöùc – Baøi toaùn Min - Max Bài 56. Cho x , y, z là ba số thực dương thỏa mãn x 2  y 2  z 2  2xy  2 x  y  z  . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 40 P  x 2  y 2  2z  y z 1  40 x 3 . HÖÔÙNG DAÃN GIAÛI 2 2 Từ giả thiết ta có 2 x  y  z   x  y   z  2 x  y  z  . 2 2 Suy ra x  y  z   4 x  y  z   0 nên 0  x  y  z  4 . Khi đó P  x 2  1  y 2  1  2z   2x  2y  2z    2 x  40  40 y z 1 40  x 3 2 40  2. y z 1 x 3 8 8 3  y z 1 x 3 x 3    10  y z 1 y z 1 x 3 y  z  1            1 8   10  2  3.4  3.4  8   10  2 24     x  y  z  4   x  3. y  z  1     2    2 24  4  10  46. 8   8  4 4  Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 46. Dấu ''  '' khi x  y  1 và z  2 . Bài 57. Cho x , y, z là các số thực thuộc đoạn 1; 9 và x  y; x  z . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x y z   . 3x  4y y  z z  x HÖÔÙNG DAÃN GIAÛI 1 1 2   (*) , với a, b dương và ab  1 . 1  a 1  b 1  ab Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a  b hoặc ab  1 . Trước hết chứng minh được Áp dụng kết quả trên ta có: P Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi Đặt t  x  3x  4y 1 z 1 y  1 x 1 z z x x  hoặc  1 . y z y  1 y 34 x  2 x 1 y . (1) x t2 2 ; t  1; 3 . Khi đó P  .  2 y 3t  4 1  t 53 | Trang www.noon.vn Nguyeãn Vaên Huy – 0968 64 65 97 t2 Xét hàm số f (t )  2 3t  4  Baát ñaúng thöùc – Baøi toaùn Min - Max 2 , t  1; 3 . 1t 2 t 3 9t  4   4t 4t  1  16    0. Ta có f '(t )  3t Suy ra f (t )  f (3)  2 4 2  1  t  2 x 49 ; Dấu bằng xảy ra khi t  3   9  x  9, y  1 . y 62 (2) 49 . Từ (1) và (2) . suy ra dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x  9; y  1; z  3 . 62 49 Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất bằng , khi x  9; y  1; z  3 . 62 Suy ra M  Bài 58. Cho x , y, z là các số thực dương và thỏa mãn điều kiện     Tìm giá nhỏ nhất của biểu thức: P  2 x 3  z 3  2 y 3  z 3   1 1 1 3 1   .     9 1  2  x y z x  y  z   81xyz  z  31  z  . 4 HÖÔÙNG DAÃN GIAÛI 3 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: xyz  x  y  z  27 ; 1 1 1 9    . x y z x y z Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi x  y  z . Đặt t  1  0 , từ giả thiết ta có bất đẳng thức: x y z  t 3   9t  3t 2  9 1    t 3  t 2  3t  3  0  3     t  1 t 2  3  0  t  1  x  y  z  1. 3 3 3 Ta có x  y  x  y  2  x 3  y 3  x 2y  xy 2  x  y  x  y   0 . 4 Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi x  y .  3 Khi đó: P  2 x  y 3   4z 3 (vì x 3  y 3  x  y  4 3 3  z  31  z  1  z  4  2  4z 3  z 2  2z  3 14z 3  5z 2  8z  5 .  4 4 3  1  z  4 ) 14z 3  5z 2  8z  5 trên khoảng 0;  . 4 21z 2  5z  4 3z  17z  4  Ta có f '(z )  .  2 2  1  23 Lập bảng biến thiên ta tìm được min f (z )  f    .  3  27 0; Xét hàm số f (z )  Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 54 | Trang 23 1 . Dấu ''  '' xảy ra khi x  y  z  . 27 3 www.noon.vn Nguyeãn Vaên Huy – 0968 64 65 97 Baát ñaúng thöùc – Baøi toaùn Min - Max Bài 59. Cho x , y , z là ba số thực thỏa mãn x , y  1 và 0  z  2 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P xy  2z 2 2 x  xy  2z 2  5xy  z 2 2 y  5xy  z 2  x y . z HÖÔÙNG DAÃN GIAÛI 2 a  b  a 2 b2 Áp dụng bất đẳng thức   x y x y *   x2 y2    x  y . với a, b   và x , y  0 . Ta có: P  2     x 2  xy  2z 2 y 2  5xy  z 2  z 2 x  y  2  2 2 x  y   4xy  3z Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: x 2 x  xy  2z 2  y 2 y  5xy  z 2 . x y . z 1 2 Tiếp tục áp dụng bất đẳng thức 4xy  x  y  , ta được 2 P 2 x  y   2 2 2 x  y   3z  x  y 2    z  x y x y  2  . 2 z z  x  y   3 2   z  2 Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: x  y . Đặt t  x y , do x , y  1 và 0  z  2 nên t  1 . z Khi đó: P  2  t2 2t 2  3 Xét hàm số f t   2  Ta có f ' t     t. t2 2t 2  3 6t 2t 2 3  2   t , với t  1 . 1 2 t  0 , t  1 . 4 Suy ra f t  nghịch biến trên 1;  nên f t   f 1  . 5 Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: t  1  Suy ra P  x y  1  x y  z . z 3 4 . 5 Từ 1 , 2 và 3 , suy ra dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: x  y  1 , z  2 . Vậy giá trị lớn nhất của P bằng 55 | Trang 4 ; khi x  y  1 , z  2 . 5 www.noon.vn Nguyeãn Vaên Huy – 0968 64 65 97 Baát ñaúng thöùc – Baøi toaùn Min - Max Bài 60. Cho a , b , c là ba số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 3 b  c  2a  4a  3c 12 b  c   . 3b 2a  3c HÖÔÙNG DAÃN GIAÛI  3 b  c       12 b  c  4a  3c    Ta có P    2    1    8  11    2a   3b    2a  3c     3 b  c   4a  4a  3 b  c   12 b  c   16a 3b 2a  3c 1  1 4   11.  3b  3c  4a      2a 3b 2a  3c  2a  11 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz , ta có 2 1  1  2 1 1 4 16 .     2a 3b 2a  3c 4a  3c  3b 4a  3c  3b Do đó: P  3b  3c  4a  16  11  5 . 4a  3c  3b Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: 1 1 2   . 2a 3b 2a  3c Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 5 . 56 | Trang www.noon.vn [...]... Trang 2 5 Từ 1 và 2 , suy ra dấu ''  '' xảy ra khi: x  y  z 4 www.noon.vn Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97 Bất đẳng thức – Bài toán Min - Max 5 ; khi x  y  z 4 Nhận xét: Bài tốn thực sự khó khi cho các biến bị chặn và biểu thức P khơng đối xứng Muốn giải được bài này bạn đọc phải nắm vững được bất đẳng thức phụ (*) Đây chính là mấu chốt bài tốn Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng Bài 22 Cho x ,...  0 ) 32 8 Bảng biến thi n Dựa vào bảng biến thi n ta thấy max f t   f 2  0; Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: t  2  Suy ra P  5 12 y y   2 z x 2 1 5 Từ 1 , 2 và giả thi t, suy ra dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: x  y  z  12 3 1 5 ; khi x  y  z  12 3 Nhận xét Bài tốn khá khó khi có sự lồng ghép giữa bất đẳng thức Cơsi và giả thi t để đưa biểu thức P về dạng đặt được...  4 Từ 1 , 2 và 3 , suy ra dấu ''  '' xảy ra khi: x  z , y  0 Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 4 ; khi x  z , y  0 Nhận xét: Bài tốn nhìn vào hình thức rất đẹp mắt Ở đây ta sử dụng bất đẳng thức Cơsi để biến đổi biểu thức P về dạng đặt được ẩn phụ dùng cho việc xét hàm đặc trưng 32 | Trang www.noon.vn Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97 Bất đẳng thức – Bài toán Min - Max Bài 34 Cho a , b ,... 65 97 Bất đẳng thức – Bài toán Min - Max 2 1 a  b  , a, b    2 Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: a  b Áp dụng bất đẳng thức a 2  b 2  Ta có x 2  y 2  2 2 1 1 x  y  và t 2  1  t  1  2 2 Suy ra x 2  y 2  t 2  1  Hay x 2  y2  t 2  1  2 2 2 1 1 x  y   t  1   x  y  t  1  4 2  1 x  y  t  1 2 * a  b 2  , a, b Tiếp tục áp dụng bất đẳng thức. .. ra khi và chỉ khi: t  1  a  b  c  1 3 1 1 Suy ra P   Từ 1 và 2 , dấu ''  '' xảy ra khi: a  c  , b  2 4 2 3 1 1 Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng  ; khi a  c  , b  2 4 2 Nhận xét: Bằng cách vận dụng được bất đẳng thức Cơsi thì ta đưa được biểu thức P về dạng đặt được ẩn phụ để xét hàm đặc trưng Cái khó của bài này là chọn điểm rơi trong bất đẳng thức Cơsi để đẳng thức xảy ra Bài 27... xảy ra khi và chỉ khi: x  2 3 3 Suy ra P  10 Từ 1 , 2 và 3 , dấu ''  '' xảy ra khi: x  2 1 ,yz  3 3 2 1 , yz  3 3 Nhận xét Nhận thấy biểu thức P đối xứng giữa y và z nhưng x thì khơng Nhìn vào thấy cái giả thi t thật ghê gớm nhưng chỉ sử dụng vài bất đẳng thức cơ bản thì sẽ đi đến đơn giản và tìm được mối liên hệ giữa x với y Vậy giá trị lớn nhất của P bằng 10 ; khi x  và z Sau đó... xứng nên áp dụng các bất đẳng thức cơ bản được đơn giản hơn Vậy giá trị lớn nhất của P bằng Bài 24 Cho x , y , z là các số dương thỏa mãn xy  1 và z  1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 22 | Trang www.noon.vn Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97 Bất đẳng thức – Bài toán Min - Max P x y z3  2   y  1 x  1 3 xy  1 HƯỚNG DẪN GIẢI Ta có 1 1 2   x  1 y  1 1  xy * với x  và y dương, xy  1 ... Bài tốn sử dụng rất nhiều kỷ thuật: đổi biến, áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, xét hàm đặc trưng Việc khó nhất của bài này là đổi biến để biểu thức được đơn giản dễ nhìn hơn Vậy giá trị lớn nhất của P bằng Bài 26 Cho các số thực dương a , b , c Tìm GTNN của biểu thức 24 | Trang www.noon.vn Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97 P Bất đẳng thức – Bài toán Min - Max 1 2a  b  8bc 8  2 2b2  2 a  c ... nhỏ nhất của P bằng 2 ; khi a  b  c Nhận xét: Bằng việc đổi biến hợp lý ta đưa biểu thức P từ ba biến về thành hai biến mới Vận dụng giả thi t kết hợp với các bất đẳng thức cơ bản đề đưa P về một biểu thức đặt được ẩn phụ 33 | Trang www.noon.vn Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97 Bất đẳng thức – Bài toán Min - Max Bài 35 Cho a , b , c là các số thực dương Tìm giá trị lớn nhất của : P  Ta có P  8a ... xét: Bài tốn khá đơn giản chỉ cần bạn đọc biết được kỷ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức Cơsi để biến đổi P về biểu thức đối xứng và đặt được ẩn phụ Vậy giá trị lớn nhất của P bằng Bài 36 Cho x , y , z là ba số thực dương thỏa x 2  y 2  z 2  3y Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 34 | Trang 1 2 x  1  4 2 y  2  8 2 z  3 www.noon.vn Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97 Bất đẳng thức – Bài ... biểu thức P từ ba biến thành hai biến Vận dụng giả thi t kết hợp với bất đẳng thức đề đưa P biểu thức đặt ẩn phụ 33 | Trang www.noon.vn Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97 Bất đẳng thức – Bài toán. ..  2y  , z  Nhận xét: Bài tốn khó có kết hợp hai biểu thức A B Ở biểu thức A ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz (*), biểu thức B sử dụng bất đẳng thức phụ (**) Bài 45 Cho x , y , z số... Nhận xét: Bằng cách vận dụng bất đẳng thức Cơsi ta đưa biểu thức P dạng đặt ẩn phụ để xét hàm đặc trưng Cái khó chọn điểm rơi bất đẳng thức Cơsi để đẳng thức xảy Bài 27 Cho x , y , z số thực