Giáo viên: Nguyễn Thị Lệ Thanh Trường THPT Tam Dương SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC TRƯỜNG THPT TAM DƯƠNG - - - - - - - - - - BÁO CÁO CHUYÊN ĐỀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LIÊN QUAN ĐẾN MẶT PHẲNG VÀ ĐƯỜNG THẲNG Họ và tên: Nguyễn Thị Lệ Thanh Đơn vị: Trường THPT Tam Dương Năm học 2013- 2014 LỜI GIỚI THIỆU 1 Giáo viên: Nguyễn Thị Lệ Thanh Trường THPT Tam Dương 1. Lý do chọn chuyên đề: Trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy không ít học sinh còn rất lúng túng khi xác định phương pháp giải các bài toán hình học giải tích, mà đó là điều không đáng mắc phải khi các em biết nhận dạng và định hình phương pháp giải quyết, từ đó các em có thể giải bài toán một cách nhanh chóng, chính xác và đạt điểm tối đa cho câu này. Vì vậy để giúp các em tư duy, nhận dạng và có lời giải bài toán dạng này một cách hiệu quả từ đó phát triển sang các bài toán khác phức tạp hơn và để tiết kiệm thời gian, tránh được những sai lầm đáng tiếc, giúp cho việc học tập và ôn thi Đại học của các em đạt hiệu quả cao nhất tôi chọn chuyên đề: “MỘT SỐ DẠNG TOÁN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LIÊN QUAN ĐẾN MẶT PHẲNG VÀ ĐƯỜNG THẲNG ”. Với mục đích của tôi là giúp các em nhận thấy một bài toán giải tích phức tạp cũng trở nên dễ dàng đơn giản. 2. Phạm vi, đối tượng, mục đích của chuyên đề: Phạm vi : Áp dụng rộng rãi trên toàn quốc Đối tượng: Học sinh lớp 12 Mục đích : Giúp các em đạt điểm tối đa trong dạng toán này, tránh những sai lầm đáng tiếc dễ mắc phải. 3. Thực trạng : a, Thuận lợi: Đa số học sinh các lớp tôi giảng dạy là học sinh có nhận thức khá, giỏi nên việc áp dụng đề tài này khá thuận lợi. b, Khó khăn: Nhiều học sinh vẫn rất mơ màng khi gặp bài toán giải tích dạng này, do các em chưa thật sự hiểu rõ bản chất của bài toán, vì thế các em còn rất lúng túng khi giải quyết bài toán hoặc cách giải quyết của các em quá phức tạp hoá vấn đề dẫn đến đáp số cuối cùng dễ bị sai. 4. Cơ sở thực hiện chuyên đề: Căn cứ vào tình hình nhận thức của đa số học sinh còn thụ động, hạn chế, mặt khác do từng tham gia nhiều khóa học ôn thi Đại học cao đẳng cho học sinh tôi đã tự đúc rút ra kinh nghiệm cho mình và phân chia dạng toán theo ý chủ quan dưới đây Tuy nhiên vì thời gian nghiên cứu còn hạn chế và kinh nghiệm chưa nhiều nên chuyên đề của tôi chắc hẳn không tránh khỏi sai sót. Rất mong được sự đóng góp chân thành của quý thầy cô giáo và các em học sinh! ……………………………………………… Phần II - Nội Dung Của Chuyên Đề 2 Giáo viên: Nguyễn Thị Lệ Thanh Trường THPT Tam Dương A. Tóm Tắt Lý Thuyết I,Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng, phương trình mặt phẳng: 1, Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng: a, Định nghĩa: r r Một véc tơ n ≠ 0 được gọi là véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) nếu nó có giá vuông góc với mặt phẳn g (P). b, Tính chất: Một đường thẳng có vô số véc tơ pháp tuyến, các véc tơ này cùng phương với nhau r r Nếu véc tơ n là véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) thì k n ;k ≠ 0 cũng là véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P). c, Chú ý: r r Nếu hai véc tơ a, b không cùng phương và có giá song song hoặc trùng mặt r rr phẳng (P) thì khi đó một véc tơ pháp tuyến của (P) là n =  a; b  . 2, Phương trình mặt phẳng Mặt phẳng (P) đi qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) có véc tơ phấp tuyến r n ( A; B; C ) ; A2 + B 2 + C 2 > 0 có phương trình là: A ( x − x0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = 0 Ngược lại mọi phương trình có dạng: Ax + By + Cz + D = 0, A 2 + B 2 + C 2 > 0 đều là phương trình của mặt phẳng. II, Các trường hợp đặc biệt của phương trình mặt phẳng: + Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn Nếu mặt phẳng (P) cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại ba điểm phân biệt A ( a;0;0 ) , B ( 0; b;0 ) , C ( 0; 0; c ) thì khi đó phương trình mặt phẳng (P) theo đoạn chắn là: + Nếu mặt phẳng (P) song song hoặc trùng Ox thì phương trình có dạng: By + Cz + D = 0, B 2 + C 2 > 0 + Mặt phẳng song song hoặc trùng mặt phẳng Oxy có phương trình z + D = 0 + Mặt phẳng Oxy có phương trình z = 0 III, Vị trí tương đối của hai mặt phẳng: Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) có phương trình: 2 2 2 A1x + B1 y + C1 z + D1 = 0, A1 + B1 + C1 > 0 , A 2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0, A 22 + B22 + C22 > 0 A1 B1 C1 D1 = = ≠ 1, Hai mặt phẳng song song: A2 B2 C2 D2 A1 B1 C1 D1 = = = 2, Hai mặt phẳng trùng nhau: A2 B2 C2 D2 3, Hai mặt phẳng cắt nhau: A1 : B1 : C1 ≠ A2 : B2 : C2 3 Giáo viên: Nguyễn Thị Lệ Thanh Trường THPT Tam Dương IV, Véc tơ chỉ phương của đường thẳng, phương trình đường thẳng: 1, Véc tơ chỉ phương của đường thẳng: a, Định nghĩa: r r Một véc tơ u ≠ 0 được gọi là chỉ phương của đường thẳng d nếu nó có giá song song với đường thẳng d. b, Tính chất: Một đường thẳng có vô số véc tơ chỉ phương, các véc tơ này cùng phương với nhau. r r Nếu véc tơ u là véc tơ chỉ phương của đường thẳng d thì ku ;k ≠ 0 cũng là véc tơ chỉ phương của đường thẳng d. c, Chú ý: r r Nếu hai véc tơ a, b không cùng phương và có giá song song vuông góc với đường r rr thẳng d thì khi đó một véc tơ chỉ phương của đường thẳng d u =  a; b  . 2, Phương trình đường thẳng: r M x ; y ; z ( 0 0 0 ) có véc tơ chỉ phương u ( a; b; c ) Đường thẳng d đi qua điểm  x = x0 + at  2 2 2 + Có phương trình tham số là: d :  y = y0 + bt ; t ∈ R, a + b + c > 0  z = z + ct 0  x − x0 y − y0 z − z0 = = ; abc ≠ 0 a b c V, Vị trí tương đối của đường thẳng vàmặt phẳng: Trong không gian cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d có phương trình lần lượt là:  x = x0 + at  Ax + By + Cz + D = 0, A 2 + B 2 + C 2 > 0; d :  y = y0 + bt ; t ∈ R, a 2 + b 2 + c 2 > 0  z = z + ct 0  rr Gọi n; u lần lượt là véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng và chỉ phương của đường thẳng. Ta có các r rtrường hợp sau: + Nếu n.u ≠ 0 thì d cắt (P) rr n.u = 0 + Nếu  thì d nằm trên (P).  M ∈ d ⇒ M ∈ ( P ) rr n.u = 0 + Nếu  thì d song song với (P).  M ∈ d ⇒ M ∉ ( P ) VI, Vị trí tương đối của hai đường thẳng: Trong không gian cho đường thẳng d1 , d 2 có phương trình lần lượt là: + Có phương trình chính tắc là: 4 Giáo viên: Nguyễn Thị Lệ Thanh Trường THPT Tam Dương  x = x1 + a1t  x = x2 + a2l   d :  y = y1 + b1t ; t ∈ R , a12 + b12 + c12 > 0; d ' :  y = y 2 + b2l ; l ∈ R , a2 2 + b2 2 + c2 2 > 0 z = z + c t z = z + c l 1 1 2 2   ur uur Gọi u1 ; u2 lần lượt là véc tơ chỉ phương của hai đường thẳng. Ta có các trường hợp sau: ur uur r  u1 , u2  = 0   + Nếu  uuuur uur r thì hai đường thẳng trùng nhau   MN , u2  = 0 ur uur r  u1 , u2  = 0   + Nếu  uuuur uur r thì hai đường thẳng song song   MN , u2  ≠ 0 ur uur r  u1 , u2  ≠ 0   + Nếu  ur uur uuuur thì hai đường thẳng cắt nhau.    u1 , u2  MN ≠ 0 ur uur r  u1 , u2  ≠ 0   + nếu  ur uur uuuur thì hai đường thẳng chéo nhau  u1 , u2  MN = 0 VII, Khoảng cách 1, Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng: Trong không gian cho mặt phẳng (P) có phương trình là: Ax + By + Cz + D = 0, A 2 + B 2 + C 2 > 0 và điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) Ta có: d ( M ; ( P ) ) = Ax 0 + By0 + Cz0 + D A2 + B 2 + C 2 2, Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng: Trong không gian cho và đường thẳng d có  x = x0 + at  d :  y = y0 + bt ; t ∈ R , a 2 + b 2 + c 2 > 0 và điểm M ( x0 ; y0 ; z0 )  z = z + ct 0  uuuur r  MN , u   r  Ta có: d ( M ; d ) = u phương trình: 3, Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: 5 Giáo viên: Nguyễn Thị Lệ Thanh Trường THPT Tam Dương Trong không gian cho và đường thẳng d và d’ có phương trình:  x = x1 + a1t  x = x2 + a2l   d :  y = y1 + b1t ; t ∈ R , a12 + b12 + c12 > 0; d ' :  y = y 2 + b2l ; l ∈ R , a2 2 + b2 2 + c2 2 > 0 z = z + c t z = z + c l 1 1 2 2   ur uur Gọi u1 ; u2 lần lượt là véc tơ chỉ phương của hai đường thẳng. ur uur uuuur u1 , u2  .MN   ; M ∈ d, N ∈ d' Ta có: d ( d ; d ' ) = ur uur u1 , u2    VIII, Góc 1, Góc giữa hai mặt phẳng: Trong không gian cho hai mặt phẳng (P) và (Q) có phương trình: A1x + B1 y + C1 z + D1 = 0, A12 + B12 + C12 > 0 , A 2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0, A 22 + B22 + C22 > 0 r uur Gọi n1 ; n2 lần lượt là véc tơ pháp tuyến của hai mặt phẳng ur uur n1.n2 Ta có: cos ( ( P );(Q ) ) = ur uur ; n1 n2 2, Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Trong không gian cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d có phương trình:  x = x0 + at  Ax + By + Cz + D = 0, A 2 + B 2 + C 2 > 0 , d :  y = y0 + bt ; t ∈ R, a 2 + b 2 + c 2 > 0  z = z + ct 0  r r Gọi n ; u lần lượt là véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng và đường thẳng uur r n .u Ta có: sin ( ( P);(Q) ) = r r ; n u 3, Góc giữa hai đường thẳng; Trong không gian cho đường thẳng d1 , d 2 có phương trình lần lượt là:  x = x1 + a1t  x = x2 + a2l   d :  y = y1 + b1t ; t ∈ R , a12 + b12 + c12 > 0; d ' :  y = y 2 + b2l ; l ∈ R , a2 2 + b2 2 + c2 2 > 0 z = z + c t z = z + c l 1 1 2 2   ur uur Gọi u1 ; u2 lần lượt là véc tơ chỉ phương của hai đường thẳng. ur uur u1.u2 Ta có: sin ( d1; d 2 ) = ur uur ; u1 u2 6 Giáo viên: Nguyễn Thị Lệ Thanh Trường THPT Tam Dương B. Một số bài toán liên quan đến lập phương trình mặt phẳng I, Bài toán 1. Lập phương trình mặt phẳng biết một điểm thuộc mặt phẳng và véc tơ pháp tuyến của nó Phương pháp: Xác định điểm thuộc mặt phẳng và véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng Ví dụ: Trên hệ trục Oxyz, viết phương trình mặt phẳng trong các trường hợp sau: 1, Mặt phẳng đi qua ba điểm A ( 1; 2;0 ) , B ( 0;1;0 ) , C ( 1; 0;1) 2, Mặt phẳng đi qua A ( 1; 2; −1) và vuông góc với hai mặt phẳng: ( P ) : x + 2 y − z + 1 = 0; ( Q ) : x + y − 2 z + 2 = 0 3,Mặt phẳng đi qua A ( 0; 2; −1) và song song với hai đường thẳng: x = 1 x = l   d1 :  y = 1 − t ; d 2 :  y = 2 + l z = t z = 1   x = t  4, Mặt phẳng đi qua A ( 2; 2;1) và song song với đường thẳng: d :  y = 1 − t đồng  z = 2t  thời vuông góc với mặt phẳng ( P ) : x + y − 2 z + 1 = 0 5, Mặt phẳng đi qua ( P ) : x − 2z + 2 = 0 A ( 2; 2;1) , B ( 1;0;1) và vuông góc với mặt phẳng 6, Mặt phẳng đi qua A ( 1; −2;1) , B ( 1;1;1) và song song với đường thẳng: x = 1− t  d : y = t z = 2 + t  x = t  7, Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng d :  y = 1 − t và vuông góc với  z = 2t  mặt phẳng ( Q ) : x + y + 2 z + 2 = 0 8, Viết phương trình mặt phẳng chứa giao tuyến của hai mặt phẳng: ( P ) : x − y + 2 z + 2 = 0; ( Q ) : x − z + 2 = 0 và song song với đường thẳng x = 2 + t  d :  y = 1− t z = t  7 Giáo viên: Nguyễn Thị Lệ Thanh Trường THPT Tam Dương x = t  9, Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d :  y = 1 − t sao cho khoảng z = t  cách từ điểm A ( 1; 2;0 ) đến mặt phẳng là lớn nhất. x = 1 x = l   10, Cho hai đường thẳng chéo nhau d1 :  y = 1 − t ; d 2 :  y = 2 + l . Viết phương trình z = t z = 1   mặt phẳng (P) song song và cách đều d1 , d 2 Giải: 1, Mặt phẳng cần tìm đi qua A ( 1; 2;0 ) và có véc tơ pháp tuyến r uuur uuur n =  AB, AC  = ( −1;1; 2 ) nên có phương trình là: − x + y + 2 z − 1 = 0 ur uur 2,Ta có n1 ( 1; 2; −1) , n2 ( 1;1; −2 ) . Mặt phẳng cần tìm đi qua A ( 1; 2; −1) và có véc tơ r ur uur n pháp tuyến =  n1 , n2  = ( −3;1; −1) , nên có phương trình là: −3x + y − z = 0 ur uur 3, Ta có u1 ( 1; 2; −1) , u2 ( 1;1; −2 ) . Mặt phẳng cần tìm đi qua A ( 0; 2; −1) và có véc tơ r ur uur n pháp tuyến = u1 , u2  = ( −1;1;1) , nên có phương trình là: − x + y + z − 1 = 0 uur r 4, Ta có u ( 1; −1; 2 ) , n ( 1;1; −2 ) . Mặt phẳng cần tìm đi qua A ( 2; 2;1) và có véc tơ pháp r uur r n tuyến = u , n  = ( 0; 4; 2 ) , nên có phương trình là: 2 y + z − 5 = 0 uuur r 5,Ta có AB ( −1; −2;0 ) , n ( 1;0; −2 ) . Mặt phẳng cần tìm đi qua A ( 2; 2;1) và có véc tơ r uuur r pháp tuyến n =  AB, n  = ( 4; −2; 2 ) , nên có phương trình là: 2 x − y + z − 3 = 0 uuur r 6, Ta có AB ( 0;3;0 ) , u ( −1;1;1) . Mặt phẳng cần tìm đi qua B ( 1;1;1) và có véc tơ pháp r uuur r tuyến n =  AB, n  = ( 3;0;3) , nên có phương trình là: x + z − 2 = 0 r r 7, Ta có u ( 1; −1; 2 ) , n ( 1;1; 2 ) lần lượt là vec tơ chỉ phương của đường thẳng và véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng. Mặt phẳng cần tìm đi qua A ( 0;1;0 ) và có véc tơ pháp r rr  n = u tuyến 1  , n  = ( −4;0; 2 ) nên có phương trình là: 2 x − z = 0 uur 8, Ta có A ( −2;0;0 ) , B ( 0;6; 2 ) ∈ ( P ) ; ( Q ) , u ( 1;1; 2 ) . Mặt phẳng cần tìm đi qua r uuur r  A ( −2;0;0 ) và có véc tơ pháp tuyến n 1 =  AB, u  = 8 ( 1;0; −1) nên có phương trình là: x − z + 2 = 0 9, H là hình chiếu của A lên d. Ta có uuur r Gọi AH .u = 0 ⇒ t − 1 + t + 1 + t = 0 ⇔ t = 0 ⇒ H ( 0;1; 0 ) uuur Mặt phẳng cần tìm qua H và có véc tơ pháp tuyến AH ( −1; −1;0 ) nên có phương trình: x + y − 1 = 0 8 Giáo viên: Nguyễn Thị Lệ Thanh Trường THPT Tam Dương ur r 10, chọn M ( 1;1;0 ) ∈ d1 , N ( 0; 2;1) ∈ d 2 ; u1 ( 0; −1;1) , u 2 ( 1;1;0 ) 1 3 1 Mặt phẳng cần tìm đi qua trung điểm I  ; ; ÷ của MN và có véc tơ pháp 2 2 2 r ur uur tuyến n 1 = u1 , u2  = ( −1;1;1) nên có phương trình: 2 x − 2 y − 2 z + 3 = 0 Bài tập tương tự: Trên hệ trục Oxyz.Viết phương trình mặt phẳng trong các trường hợp sau: 1, Mặt phẳng đi qua ba điểm A ( 1; 0; 2 ) , B ( −2;1;0 ) , C ( 1;3;1) 2, Mặt phẳng đi qua A ( 1; 2;0 ) ( P ) : x + 2 y + 1 = 0; ( Q ) : y − 2 z + 2 = 0 3,Mặt phẳng đi qua A ( 2; 2;1) và và vuông góc với hai mặt phẳng: song song với hai đường thẳng: x = t  x = 2l   d1 :  y = 1 + t ; d 2 :  y = l z = t z = 1− l    x = 2t  4, Mặt phẳng đi qua A ( −1;1;1) và song song với đường thẳng: d :  y = t đồng z = 2 + t  thời vuông góc với mặt phẳng ( P ) : x + y + 1 = 0 5, Mặt phẳng đi qua ( P ) : x − y + 2z + 2 = 0 A ( 0; 2;1) , B ( 1;1;1) và vuông góc với mặt phẳng 6, Mặt phẳng đi qua A ( −1; 2;1) , B ( 3;1;1) và song song với đường thẳng: x = t  d : y = 2 −t z = 2 + t  x = 2 + t  7, Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng d :  y = 1 và vuông góc với  z = 2t  mặt phẳng ( Q ) : x − y + 2 z + 2 = 0 8, Viết phương trình mặt phẳng chứa giao tuyến của hai mặt phẳng: ( P ) : x + y − 2 z + 2 = 0; ( Q ) : x − y + z + 2 = 0 và song song với đường thẳng x = 2 + t  d :  y = 1− t z = t  9 Giáo viên: Nguyễn Thị Lệ Thanh Trường THPT Tam Dương x = 1+ t  9, Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d :  y = 1 − t sao cho khoảng z = 1  cách từ điểm A ( 1; 2; 2 ) đến mặt phẳng là lớn nhất. x = t x = l   10, Cho hai đường thẳng chéo nhau d1 :  y = 1 − t ; d 2 :  y = −1 + l . Viết phương trình z = t z = 1   mặt phẳng (P) song song và cách đều d1 , d 2 II.Bài toán 2. Sử dụng phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn để viết phương trình mặt phẳng. Phương pháp: Giả sử mặt phẳng (P) cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại ba điểm phân biệt A ( a;0;0 ) , B ( 0; b;0 ) , C ( 0;0; c ) thì khi đó phương trình mặt phẳng (P) x y z theo đoạn chắn là: + + = 1 ,abc ≠ 0 a b c Ví dụ: Trên hệ trục Oxyz 1, Viết phương trình mặt phẳng đi qua hình chiếu của M ( 2;1; −3) lên các trục tọa độ 2, Viết phương trình mặt phẳng cắt các trục tọa độ tại A, B, C sao cho tam giác ABC nhận điểm G ( 1; −1; 2 ) làm trọng tâm. 3, Viết phương trình mặt phẳng cắt các trục tọa độ tại A, B, C sao cho tam giác ABC nhận điểm H ( 2; −1; 2 ) làm trực tâm. 4, Viết phương trình mặt phẳng cắt tia dương của các trục tọa độ tại A, B, C có sao cho OA = 2OB = 4OC và mặt phẳng (ABC) đi qua điểm M ( 2;1;1) Giải: Giả sử mặt phẳng (P) cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại ba điểm phân biệt A ( a;0;0 ) , B ( 0; b;0 ) , C ( 0; 0; c ) thì khi đó phương trình mặt phẳng (P) theo đoạn x y z chắn là; + + = 1 ,abc ≠ 0 a b c 1, Hình chiếu của M lên các trục Ox, Oy, Oz lần lượt là: A ( 2;0;0 ) , B ( 0;1;0 ) , C ( 0;0; −3) . x y z = 1 ⇔ 3x + 6 y − 2 z − 6 = 0 Vậy phương trình mặt phẳng là: + + 2 1 −3 10 Giáo viên: Nguyễn Thị Lệ Thanh Trường THPT Tam Dương a + 0 + 0 = 3.1 a = 3   2, Theo đề ra ta có: 0 + b + 0 = 3.(−1) ⇔ b = −3 .Vậy phương trình mặt phẳng là: 0 + 0 + c = 3.2 c = 6   x y z + + = 1 ⇔ 2x − 2 y + z − 6 = 0 3 −3 6 3, Cáchuuur 1: uuur uuur uuur Ta có: AH ( 2 − a; −1; 2 ) , BC ( 0; −b; c ) , BH ( 2; −1 − b; 2 ) , AC ( −a; 0; c ) uuur uuur   AH .BC = 0 b + 2c = 0 9   uuur uuur  a = c = ⇔ 2. Theo đề ra ta có:  BH . AC = 0 ⇔ a − c = 0  H ∈ ABC ( )  2 − 1 + 2 = 1 b = −9  a b c Vậy phương trình mặt phẳng là: 2x y 2z − + = 1 ⇔ 2x − y + 2z − 9 = 0 9 9 9 Cách 2: Chứng minh trong tứ diện OABC thì OH ⊥ ( ABC ) . Vậy mặt phẳng cần tìm qua H uuur và nhận véc tơ OH ( 2; −1; 2 ) làm véc tơ pháp tuyến nên có phương trình: 2x − y + 2z − 9 = 0  a = 2b a = 8  b   ⇔ b = 4 4, Theo đề ra ta có: OA = 2OB = 4OC ⇔ a = 2b = 4c ⇔ c = 2  c = 2  2 1 2 + + = 1  2b b b Vậy phương trình mặt phẳng là: x y z + + = 1 ⇔ x + 2 y + 4z − 8 = 0 8 4 2 Bài tập tương tự: Trên hệ trục Oxyz 1, Viết phương trình mặt phẳng đi qua hình chiếu của M ( 1;1;3) lên các trục tọa độ 2, Viết phương trình mặt phẳng cắt các trục tọa độ tại A, B, C sao cho tam giác ABC nhận điểm G ( 2;1; 2 ) làm trọng tâm. 3, Viết phương trình mặt phẳng cắt các trục tọa độ tại A, B, C sao cho tam giác ABC nhận điểm H ( 1; −1; −2 ) làm trực tâm. 4, Viết phương trình mặt phẳng cắt tia dương của các trục tọa độ tại A, B, C có sao cho 2OA = OB = 4OC và mặt phẳng (ABC) đi qua điểm M ( −1; 2;1) . 11 Giáo viên: Nguyễn Thị Lệ Thanh Trường THPT Tam Dương III, Bài toán 3. Lập phương trình mặt chứa một điểm và một đường thẳng không chứa điểm đó; hai đường thẳng song song; hai đường thẳng cắt nhau. 3.1. Lập phương trình mặt phẳng chứa một đường thẳng và một điểm không nằm trên đường thẳng đó. Phương pháp: Giả sử A là điểm đã cho và M là điểm bất kỳ thuộc đường thẳng. Khi đó mặt r uuuur uur phẳng cần tìm đi qua A( hoặc M) có véc tơ pháp tuyến n =  AM ; u  . Ví dụ: Trên hệ trục Oxyz  x = 2t  Lập phương trình mặt phẳng đi qua điểm A ( 1; 2; −1) và đường thẳng d :  y = t z = 2 + t  Giải: uuuur Chọn M ( 0; 0; 2 ) ∈ d ⇒ AM ( −1; −2;3) r uuuur ur n Mặt phẳng cần tìm qua A và có véc tơ pháp tuyến =  AM ; u1  = ( −5;7;3) nên có phương trình là: −5 x + 7 y + 3 z − 6 = 0 3.2. Cho hai đường thẳng song song (d) và (d’).Viết phương trình mặt phẳng chứa chúng: Phương r rpháp: Gọi u1 ; u 2 lần lượt là véc tơ chỉ phương của đường thẳng (d) và (d’). M 1 , M 2 lần lượt là hai điểm nằm trên hai đường thẳng. Khi đó mặt phẳng cần tìm đi qua một trong hai điểm M 1 , M 2 và có véc tơ pháp r uuuuuur ur n tuyến =  M 1M 2 ; u1  Ví dụ: Trên hệ trục Oxyz Viết phương trình mặt phẳng chứa hai đường thẳng: x = 1 x = 0   d1 :  y = 1 − t ; d 2 :  y = 2 + u z = t z = 1− u   Giải: ur Ta có: u1 = ( 0; −1;1) , M ( 1;1;0 ) ∈ d1 , N ( 0; 2;1) ∈ d 2 Gọi (P) là mặt phẳng chứa d1 , d 2 . Khi đó (P) đi qua M ( 1;1;0 ) và có véc tơ pháp r uuuur ur n =  MN ; u1  = ( 2;1;1) tuyến nên có phương trình là: 2 ( x − 1) + y − 1 + z = 0 ⇔ 2 x + y + z − 3 = 0 3.3. Cho hai đường thẳng cắt nhau (d) và (d’).Viết phương trình mặt phẳng chứa chúng: r r Phương pháp: Gọi u1 ; u 2 lần lượt là véc tơ chỉ phương của đường thẳng (d) và (d’), . 12 Giáo viên: Nguyễn Thị Lệ Thanh Trường THPT Tam Dương M 1 , M 2 lần lượt là hai điểm nằm trên hai đường thẳng. Khi đó mặt phẳng cần tìm đi qua một trong hai điểm M 1 , M 2 và có véc tơ pháp r ur uur tuyến n = u1 ; u2  Ví dụ: Viết phương trình mặt phẳng chứa hai đường thẳng: x = 1 x = t   d1 :  y = 1 − t ; d 2 :  y = 1 − t z = t z = 1   Giải: ur uur Ta có: u1 = ( 0; −1;1) , M ( 1;1; 0 ) ∈ d1 , u2 = ( 0; 2;1) Gọi (P) là mặt phẳng chứa d1 , d 2 . Khi đó (P) đi qua M ( 1;1; 0 ) và có véc tơ pháp r ur uur n = u1 ; u2  = ( 1;1;1) tuyến nên có phương trình là: ( x − 1) + y − 1 + z = 0 ⇔ x + y + z − 2 = 0 Bài tập tương tự: Trên hệ trục Oxyz x = t  1, Lập phương trình mặt phẳng đi qua điểm A ( 2; 2;1) và đường thẳng d :  y = 1 − t z = 2 − t  2, Viết phương trình mặt phẳng chứa hai đường thẳng: x = t x = 0   d1 :  y = 1 + t ; d 2 :  y = 2 − u z = t z = 1+ u   3, Viết phương trình mặt phẳng chứa hai đường thẳng:  x = −1 x = t   d1 :  y = 2 − t ; d 2 :  y = 1 − 2t z = t  z = −2 − t   IV. Bài toán 4: Viết phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm và thỏa mãn tính chất khác 4.1. Viết phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm A, B sao cho khoảng cách từ C đến mặt phẳng là một số m cho trước. Phương pháp: 2 2 2 Giả sử phương trình mặt phẳng ( P ) : Ax + By + Cz + D = 0; A + B + C > 0 13 Giáo viên: Nguyễn Thị Lệ Thanh Trường THPT Tam Dương A∈( P)  Theo đề ra ta có:  B ∈ ( P )   d ( C ; ( P ) ) = m Ví dụ: Trên hệ trục Oxyz Viết phương trình mặt phẳng đi qua A ( 1;1;1) , B ( 0;1; 2 ) sao cho khoảng cách từ 1 điểm C ( 2; −1;1) bằng . 3 Giải: ( P ) : Ax + By + Cz + D = 0; A 2 + B 2 + C 2 > 0 .   A+ B + C + D = 0 3 A = − D  ⇒ Theo đề ra ta có hệ:  B + 2C + D = 0  23 A = −11D  2A − B + C + D 1 d ( C; ( P ) ) = =  3 A2 + B 2 + C 2 *) Chọn A = 1, D = -3, C =1, B = 1, khi đó phương trình mặt phẳng là: x+ y + z −3 = 0 *) Chọn A = 11, D = - 23, C =11, B = 1, khi đó phương trình mặt phẳng là: 11x + y + 11z − 23 = 0 4.2. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A, B sao cho góc giữa (P) và (Q) bằng giá trị α cho trước. Phương pháp: 2 2 2 Giả sử phương trình mặt phẳng ( P ) : Ax + By + Cz + D = 0; A + B + C > 0  A∈ ( P)  Theo đề ra ta có:  B ∈ ( P )  cos ( ( P ) ; ( Q ) ) = cosα Ví dụ 1: Trên hệ trục Oxyz Viết phương trình mặt phẳng đi qua A ( −1;0;0 ) , B ( −1;1; −1) sao cho.góc giữa mặt 8 phẳng đó và mặt phẳng 2 x + y + 2 z − 3 = 0 thỏa mãn: cosα = 9 Giải: ( P ) : Ax + By + Cz + D = 0; A 2 + B 2 + C 2 > 0 . 14 Giáo viên: Nguyễn Thị Lệ Thanh Trường THPT Tam Dương   − A + D = 0 2 A = B  ⇒ Theo đề ra ta có hệ: − A + B − C + D = 0 14 A = 47 B  2 A + B + 2C 8 cos ( (Q); ( P ) ) = =  3 A2 + B 2 + C 2 9 *) Chọn A = 1, B = 2, C =2, D = 1, khi đó phương trình mặt phẳng là: x + 2 y + 2z +1 = 0 *) Chọn A = 47, B = 14, C =14, D = 47, khi đó phương trình mặt phẳng là: 47 x + 14 y + 14 z + 47 = 0 Ví dụ 2: Trên hệ trục Oxyz x = 1− t  Viết phương trình mặt phẳng đi qua d :  y = 1 + t sao cho góc giữa mặt phẳng đó và z = 1− t  x−2 y−3 z +5 = = đường thẳng l : bằng 600. 2 1 −1 Giải: ( P ) : Ax + By + Cz + D = 0; A 2 + B 2 + C 2 > 0 .   A+ B + C + D = 0 C = 0  ⇔ Theo đề ra ta có hệ: 2 B + D = 0 C = − A  2 A + B − C 3 sin ( ( P); l ) = =  2 6 A2 + B 2 + C 2 *) Chọn A = 1, B = 1, C =0, D = -2, khi đó phương trình mặt phẳng là: x+ y−2=0 *) Chọn A = 1, B = 0, C =-1, D = 0, khi đó phương trình mặt phẳng là: x − z = 0 4.3. Viết phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm A, B sao cho khoảng cách từ C và D đến mặt phẳng bằng nhau. Phương pháp: Cách1: Giả sử phương trình mặt phẳng 2 2 2 ( P ) : Ax + By + Cz + D = 0; A + B + C > 0 A∈( P)  Theo đề ra ta có:  B ∈ ( P )  d ( C ; ( P ) ) = d ( D; ( P ) ) Cách 2: Trường hợp 1: Mặt phẳng (P) đi qua A, B và trung điểm I của CD 15 Giáo viên: Nguyễn Thị Lệ Thanh Trường THPT Tam Dương Trường hợp 2: Mặt phẳng (P) đi qua A, B và song song với CD Ví dụ 1: Trên hệ trục Oxyz Viết phương trình mặt phẳng đi qua A ( 1;1;1) , B ( 0;1; 2 ) sao cho khoảng cách từ điểm C ( 2; −1;1) , D ( 0;0; 2 ) đến mặt phẳng bằng nhau. Giải: 2 2 2 Cách 1. Giả sử ( P ) : Ax + By + Cz + D = 0; A + B + C > 0 . Theo đề ra ta có hệ: A+ B + C + D = 0 A−C = 0 A = C    ⇔  D = −2C − B ⇔  3 A = − D  B + 2C + D = 0  2 A − B + C + D = 2C + D  5 A + 2D = 2 A + D   7 A = −3 D    *) Chọn A = 1, D = - 3, C =1, B = 1, khi đó phương trình mặt phẳng là: x+ y + z −3 = 0 *) Chọn A = 3, D = -7 , C =3, B = 1, khi đó phương trình mặt phẳng là: 3x + y + 3 z − 7 = 0 Cách 2. 1 3  Trường hợp 1. Gọi I là trung điểm CD ⇒ I 1; − ; ÷ . Mặt phẳng cần tìm qua 2 2  r uuur uur 1 A ( 1;1;1) , và có véc tơ pháp tuyến n =  AB; AI  = ( 3;1;3) nên có phương trình   2 là: 3x + y + 3 z − 7 = 0 . Trường hợp 2. Mặt phẳng cần tìm qua A ( 1;1;1) , và có véc tơ pháp tuyến r uuur uuur n =  AB; CD  = ( 1;1;1) nên có phương trình là: x + y + z − 3 = 0 . Ví dụ 2: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có các đỉnh A(1 ;1 ;1), B( 1 ;2 ;1), C(1 ;1 ;2), D(2 ;2 ;1).Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A,B sao cho cách từ C đến (P) bằng khoảng cách từ D đến (P) . Giải: 2 2 2 Gỉa sử mặt (P) có dạng: a ( x − 1) + b ( y − 1) + c ( z − 1) = 0 ,a + b + c ≠ 0 B ∈ ( P ) ⇒ b = 0 ⇒ ( P ) : a ( x − 1) + c ( z − 1) = 0 Mặt khác: d ( C ;( P ) ) = d ( D;( P ) ) ⇔ c = a a 2 + b2 a 2 + b2 a = c ⇒ ( p) : x + y − 2 = 0 a = −c ⇒ ( p ) : x − y = 0 ⇔a=± c Bài tập tương tự: Trên hệ trục Oxyz 16 Giáo viên: Nguyễn Thị Lệ Thanh Trường THPT Tam Dương 1, Viết phương trình mặt phẳng đi qua A ( 1;1;1) , B ( 3;0;0 ) sao cho khoảng cách từ 3 điểm C ( 2; −1;1) bằng . 5 2, Viết phương trình mặt phẳng đi qua A ( 0;0; −5 ) , B ( −1; −1; −3) sao cho.góc giữa 2 mặt phẳng đó và mặt phẳng 2 x − y + z − 3 = 0 thỏa mãn: cosα = 3 3, Viết phương trình mặt phẳng đi qua A ( 2;0;1) , B ( 0;1; 2 ) sao cho khoảng cách từ điểm C ( 3; −1;1) , D ( −1;1;1) bằng nhau. x = t  4. Viết phương trình mặt phẳng đi qua d :  y = −t sao cho góc giữa mặt phẳng đó z = 0  x = 1+ u 1  và đường thẳng l :  y = −2u là α thỏa mãn sin α = . 15 z = 1  C. Một số bài toán khác liên quan đến mặt phẳng: I. Bài toán1. Tìm hình chiếu 1.1. Hình chiếu của điểm lên mặt phẳng: a, Hình chiếu vuông góc: Phương pháp: Giả sử cho điểm A và mặt phẳng (P). Để tìm hình chiếu của A lân (P) ta làm như sau: Gọi d là đường thẳng qua A và vuông góc với (P) Hình chiếu H là giao điểm của d và (P) Ví dụ: Trong không gian cho A ( 1;1;0 ) ; ( P ) : x + y + z − 5 = 0 . Tìm hình chiếu vuông góc của A lên (P). Giải: x = 1+ u  Đường thẳng d qua A và vuông góc với (P) có phương trình: d :  y = 1 + u z = u  x = 1+ u  y = 1+ u  ⇒ H ( 2; 2;1) Tọa độ hình chiếu H là nghiệm hệ phương trình:  z = u  x + y + z − 5 = 0 17 Giáo viên: Nguyễn Thị Lệ Thanh Trường THPT Tam Dương b, Hình chiếu song song: Phương pháp: Giả sử cho điểm A và mặt phẳng (P). Để tìm hình chiếu của A lên (P) theo phương chiếu l ta làm như sau: Gọi d là đường thẳng qua A và song song với l Hình chiếu H là giao điểm của d và (P) Ví dụ: Trong không gian cho A ( 1;1;0 ) ; ( P ) : x + y + z − 5 = 0 . Tìm hình chiếu song song x = 2 + u  của A lên (P) theo phương chiếu l :  y = 1 − u . z = u  Giải: x = 1+ u  Đường thẳng d qua A và vuông góc với (P) có phương trình: d :  y = 1 − u z = u  x = 1+ u  y = 1− u  ⇒ H ( 4; −2;3) Tọa độ hình chiếu H là nghiệm hệ phương trình: l :  z = u   x + y + z − 5 = 0 1.2. Hình chiếu của điểm lên đường thẳng: Phương pháp: Giả sử cho điểm A và đường thẳng d Cách 1: Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với d. khi đó hình chiếu H là giao của (P) và d. uuur r Cách 2: Giả sử H là hình chiếu vuông góc của A lên d, khi đó ta có AH .u = 0 Ví dụ: x = t  Trong không gian cho A ( 1; 2; 0 ) ; d :  y = 1 . Tìm hình chiếu vuông góc của A lên z = −t  d. Giải: Cách 1. Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với d, phương trình mặt phẳng (P): x − z −1 = 0 . x = t y =1 1  1 ⇒ H  ;1; − ÷ Tọa độ hình chiếu H là nghiệm hệ phương trình:  2 2  z = −t   x − z −1 = 0 Cách 2. Giả sử H ∈ d ⇒ H ( t ;1; −t ) . H là hình chiếu của A lên d khi và chỉ khi 18 Giáo viên: Nguyễn Thị Lệ Thanh Trường THPT Tam Dương uuur r  1 −1  AH .u = 0 ⇔ H  ;1; ÷ 2  2 1.3. Hình chiếu của đường thẳng lên mặt phẳng a, Hình chiếu vuông góc: Cho đường thẳng d và mặt phẳng (P). Cách 1. + Nếu d P( P ) . Giả sử phương trình đường thẳng d’; Chọn A bất kỳ trên d rồi tìm hình chiếu vuông góc A’ của A lên (P). Đường thẳng d’ đi qua A’ + Nếu d cắt (P). xác định tọa độ giao điểm I của (P) và d. Chọn A bất kỳ trên d rồi tìm hình chiếu vuông góc A’ của A lên (P). Đường thẳng d’ đi qua A’, I. Cách 2. Gọi (Q) là mặt phẳng qua d và vuông góc với (P). Đường thẳng cần tìm d’ là giao tuyến hai mặt phẳng (P), (Q) b, Hình chiếu song song theo phương chiếu l Cho đường thẳng d và mặt phẳng (P), phương chiếu l. Cách 1. + Nếu d P( P ) . Giả sử phương trình đường thẳng d’; Chọn A bất kỳ trên d rồi tìm hình chiếu song song A’ của A lên (P) theo phương chiếu l. Đường thẳng d’ đi qua A’ + Nếu d cắt (P). xác định tọa độ giao điểm I của (P) và d. Chọn A bất kỳ trên d rồi tìm hình chiếu song song A’ của A lên (P) theo phương chiếu l. Đường thẳng d’ đi qua A’, I. Cách 2. Gọi (Q) là mặt phẳng qua d và song song với l. Đường thẳng cần tìm d’ là giao tuyến hai mặt phẳng (P), (Q) Ví dụ: Trong không gian cho d : x − 2 y + 1 z −1 = = ,(Q):2x+y+z-8=0 2 3 5 a, Viết phương trình đường thẳng d’ là hình chiếu vuông góc của d lên (P) b, Viết phương trình hình chiếu song song của d lên (P) theo phương l: x y + 1 z −1 = = 2 1 −1 Giải: a, Gọi (Q) là mặt phẳng chứa d và vuông góc với (P). r r uur (Q) qua A và có véc tơ pháp tuyến n = u; nP  = ( 1; −4; 2 ) ⇒ ( P) : x − 4 y + 2 z − 8 = 0 19 Giáo viên: Nguyễn Thị Lệ Thanh Trường THPT Tam Dương 8 8 Khi đó d’ là giao tuyến (P), (Q) đi qua I  ;0; ÷ và có véc tơ chỉ phương  3 3 8  x = + 2t  3 r uur uur  u =  nQ ; nP  = ( 6; −3; −9 ) có phương trình là: d ' :  y = t  8  z = − 3t 3  b, Gọi (Q) là mặt phẳng chứa d và song song với l (Q) qua A và có véc r uur ur n = ud ; ul  = ( −8;12; −4 ) ⇒ ( P ) : 2 x − 3 y + z − 8 = 0 tơ pháp tuyến Khi đó d’ là giao tuyến (P), (Q) đi qua I ( 0;0;8 ) và có véc tơ chỉ phương x = t r uur uur  u =  nQ ; nP  = ( 4;0; −8 ) có phương trình là: d ' :  y = 0  z = 8 − 2t  Bài tập tương tự: 1, Trong không gian cho A ( 1;1; 2 ) ; ( P ) : x + y − z + 2 = 0 . Tìm hình chiếu vuông góc của A lên (P). 2, Trong không gian cho A ( 2;1; −2 ) ; ( P ) : x + y + z − 5 = 0 . Tìm hình chiếu song x = u  song của A lên (P) theo phương chiếu l :  y = 1 − u .  z = 2u  x = 1 − t  3, Trong không gian cho A ( 1; 2;3) ; d :  y = 1 . Tìm hình chiếu vuông góc của A z = −t  lên d. 4 Trong không gian cho d : x y + 1 z −1 = = ,(Q):3x+y-8=0 2 1 1 a, Viết phương trình đường thẳng d’ là hình chiếu vuông góc của d lên (P) b, Viết phương trình hình chiếu song song của d lên (P) theo phương l: x − 2 y + 1 z −1 = = 1 1 −1 II. Bài toán 2. Tìm điểm thuộc mặt phẳng thỏa mãn điều kiện cho trước 2.1. Cho n điểm A1 , A2 ,..., An và mặt phẳng (P). Tìm trên (P) điểm M sao cho: uuuur uuuur uuuur k1 MA1 + k2 MA2 + ... + kn MAn đạt giá trị nhỏ nhất. Phương pháp: 20 Giáo viên: Nguyễn Thị Lệ Thanh Trường THPT Tam Dương uuur uuur uuur Giả sử trong không gian tồn tại điểm I sao cho: k1 IA1 + k 2 IA2 + ... + kn IAn ⇒ I uuuur uuuur uuuur M = k MA + k MA + ... + k MA Theo đề ra ta có: 1 1 2 2 n n = uuur uur uuur uuur uuur uuur uuur k1 ( MI + IA1 ) + k2 ( MI + IA2 ) + ... + kn ( MI + IAn ) = ( k1 + k 2 + ... + k n ) MI Vậy M đạt giá trị nhỏ nhất khi M là hình chiếu của I lên (P). Ví dụ 1: Trong không gian cho ba điểm A ( 0;0;5 ) , B ( −1; −1;3) , C ( 4;1;1) và mặt phẳng x− y + z −3 = 0 uuur uuur uuuur a, Tìm điểm M trên mặt phẳng (P) sao cho: MA + MB + MC đạt giá trị nhỏ nhất uuur uuur uuur b, Tìm điểm N trên mặt phẳng (P) sao cho: NA + 2 NB − NC đạt giá trị nhỏ nhất Giải: uur uur uur a, Giả sử trong không gian tồn tại điểm I sao cho: IA + IB + IC ⇒ I ( 1;0;3) là trọng tâm tam giác ABC uuur uuur uuuur uuur uur uuur uur uuur uur uuur = MA + MB + MC ( MI + IA ) + ( MI + IB ) + ( MI + IC ) = 3 MI M= M đạt giá trị nhỏ nhất khi M là hình chiếu của I lên (P) x = 1+ t  Gọi d là đường thẳng qua M và vuông góc với (P): d :  y = −t z = 3 + t  x = 1+ t  y = −t   2 1 8 ⇒M ; ; ÷ Khi đó tọa độ I là nghiệm của hệ:   3 3 3 z = 3 + t  x − y + z − 3 = 0 b, Giả sử trong không gian tồn tại điểm I ( a; b; c ) sao cho:  a = −3 uur uur uur  −3 3   IA + 2 IB − IC ⇒ b = ⇒ I  −3; − ;5 ÷ 2 2    c = 5 uuur uuur uuur uur uur uur uur uur uur uur M = NA + 2 NB − NC = ( NI + IA) + 2( NI + IB) − ( NI + IC ) = 2 NI M đạt giá trị nhỏ nhất khi N là hình chiếu của I lên (P)  x = −3 + t  −3  −t Gọi d là đường thẳng qua N và vuông góc với (P): d :  y = 2   z = 5 + t 21 Giáo viên: Nguyễn Thị Lệ Thanh Trường THPT Tam Dương  x = −3 + t  −3 −t  y =  −19 −4 29  ⇒ N ; ; ÷ 2 Khi đó tọa độ N là nghiệm của hệ:  6 3 6   z = 5 + t   x − y + z − 3 = 0 Ví dụ 2: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho các điểm A ( −1; −1;0 ) , B ( 1; −1;1) ,C ( −1;1;1) và mặt phẳng (P) có phương trình: uuur uuur uuuur x + y + z − 4 = 0 . Tìm điểm M thuộc (P) sao cho 2MA + 2MB − 3MC nhỏ nhất. Giải: Ta có: uuur uuur uuuur uuur uur uuur uur uuur uur uuur 2MA + 2 MB − 3MC = 2 MI + 2 IA + 2 MI + 2 IB − 3MI − 3IC = MI = IM uuur uuur uuuur Suy ra 2MA + 2MB − 3MC nhỏ nhất khi và chỉ khi IM ngắn nhất, do M thuộc (P) nên IM ngắn nhất khi M là hình chiếu của I trên (P). Tìm hình chiếu của I trên (P) Giả sử M (a; b; c) ∈ ( P) là hình chiếu của I trên (P). Ta có uuur r  a + b + c = 4 uuu r r (I) IM = a − 3; b + 7; c + 1 ; n . Mà  ( ) ( P ) = ( 1;1;1)   IM = k .n( P )  a=6  a+b+c = 4  ⇔ b = − 4 Hệ (I) ⇔  a − 3 = b + 7 = c + 1  c = 2  M ( 6; −4; 2 ) chính là điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán. 2.2. Trong không gian cho n điểm A1 , A2 ,..., An và mặt phẳng (P). Tìm trên (P) 2 2 2 điểm M sao cho: k1MA1 + k 2 MA2 + ... + kn MAn đạt giá trị nhỏ nhất. Phương pháp: uuur uuur uuur Giả sử trong không gian tồn tại điểm I sao cho: k1 IA1 + k 2 IA2 + ... + kn IAn ⇒ I Theo đề ra ta có: uuu r uu r uuu r uu r uuu r uu r 2 2 2 k1MA12 + k2 MA22 + ... + k n MAn2 M = k1 MI + IA1 + k2 MI + IA2 + ... + k n MI + IA n ( ) ( = ( k1 + k2 + ... + kn ) MI 2 + k1 IA12 + k2 IA22 + ... + k n IAn2 ) ( ) Vậy M đạt giá trị nhỏ nhất khi M là hình chiếu của I lên (P). Ví dụ: Trong không gian cho ba điểm A ( 0; 0;1) , B ( −1;1;0 ) , C ( 1; −1; 2 ) và mặt phẳng x− y + z −3 = 0 Tìm điểm M trên mặt phẳng (P) sao cho: MA2 + MB 2 + MC 2 đạt giá trị nhỏ nhất Giải: 22 Giáo viên: Nguyễn Thị Lệ Thanh Trường THPT Tam Dương uur uur uur Giả sử trong không gian tồn tại điểm I sao cho: IA + IB + IC ⇒ I ( 0;0;1) là trọng tâm tam giác ABC M = MA2 + MB 2 + MC 2 = 3MI 2 + IA2 + IB 2 + IC 2 = M đạt giá trị nhỏ nhất khi M là hình chiếu của I lên (P) x = t  Gọi d là đường thẳng qua M và vuông góc với (P): d :  y = −t z = 1+ t  x = t  y = −t   2 −2 5  ⇒M ; ; ÷ Khi đó tọa độ I là nghiệm của hệ:   3 3 3 z = 1+ t  x − y + z − 3 = 0 2.3.Trong không gian cho hai điểm A, B và mặt phẳng (P). Tìm điểm M trên (P) sao cho tam giác ABC đều hoặc có diện tích bằng một số m cho trước. Phương pháp: Gọi (Q) là mặt phẳng trung trực của đoạn AB. Khi đó điểm C thuộc đường thẳng giao tuyến của (P) và (Q). Viết phương trình đường giao tuyến dưới dạng tham số. + Nếu tam giác ABC đều thì AB =BC + Nếu tam giác ABC cân và có diện tích bằng số cho trước thì chọn C thuộc giao 1 tuyến và sử dụng công thưc: S = d ( C ; AB ) . AB = m . 2 Ví dụ 1: Trong không gian cho A ( 0;0;1) , B ( 0;1;0 ) ;( P) : x + 2 y − z − 1 = 0 . Tìm điểm C thuộc mặt phẳng (P) sao cho tam giác ABC đều. Giải:  1 1 Gọi (Q) là mặt phẳng trung trực của đoạn AB. (Q) đi qua trung điểm I  0; ; ÷ và  2 2 uuur có véc tơ pháp tuyến AB ( 0;1; −1) nên có phương trình là: y − z = 0 . x = t  Gọi d là giao tuyến của (P) và (Q), phương trình đường thẳng d là:  y = 1 − t z = 1− t  Vì C ∈ d ⇒ C ( t ;1 − t ;1 − t ) . Tam giác ABC đều khi và chỉ khi t = 1 AB = BC ⇒ 3t − 2t − 1 = 0 ⇔  −1 t = 3  Với t = 1 ⇒ C ( 1;0;0 ) 2 23 Giáo viên: Nguyễn Thị Lệ Thanh Trường THPT Tam Dương −1  −1 4 4  ⇒C ; ; ÷ 3  3 3 3 Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(1; 0; 1); B(-1; 1; 1). Tìm tọa độ điểm Với t = M ∈ ( Oxy ) sao cho ∆MAB cân tại M và có diện tích bằng 21 . 2 Giải: Cách 1. Gọi (Q) là mặt phẳng trung trực của đoạn AB. (Q) đi qua trung điểm uuur  1  I  0; ;1÷ và có véc tơ pháp tuyến AB ( −2;1;0 ) nên có phương trình là:  2  4x − 2 y +1 = 0 . x = t  1  Gọi d là giao tuyến của (Oxy) và (Q), phương trình đường thẳng d là:  y = + 2t 2   z = 0  1  M ∈ d ⇒ M  t ; + 2t ; 0 ÷ . Vì Theo đề ra:  2    4 21   4 t =  M  5 ; 10 ; 0 ÷  1 21 21 21   5 MI . AB = ⇔ MI = ⇔ 5t 2 + 1 = ⇔ ⇒ 2 2 5 5 t = −4  M  −4 ; −11 ;0    ÷  5   5 10  Cách 2. M ∈ (0 xy ) ⇒ M (a; b;0) ∆MAB : MA = MB ⇔ MA2 = MB 2 ⇔ (1 − a) 2 + b2 + 1 = (−1 − a) 2 + (1 − b) 2 + 1 ⇔ 4a − 2b + 1 = 0 (1) uuuur uuur 2  a + 2b = 5 (2) 21 S ∆MAB = ⇔  AM , AB  = 21 ⇔ ... ⇔ (a + 2b − 1) 2 = 16 ⇔  2  a + 2b = −3 (3) 4  a =  5 Từ (1) và (2) ⇒  b = 21  10   4 21   M  5 ; 10 ;0 ÷   Vậy có 2 điểm :    −4 −11  ;0 ÷ M  ; 5 10    Ví dụ 3: −4  a = 5 Từ (1) và (3) ⇒  b = − 11  10 24 Giáo viên: Nguyễn Thị Lệ Thanh Trường THPT Tam Dương Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt phẳng (P) x − 2 y − z − 5 = 0 và các điểm A ( 3; −1; −3) , B ( 5;1;1) . Tìm điểm C thuộc mặt phẳng (P) sao cho mặt phẳng ( ABC ) vuông góc với (P) và diện tích tam giác ABC bằng 3. Giải: Cách 1: Phương trình mặt phẳng (P) qua A và có véc tơ pháp tuyến r uuur r n =  AB; n  = ( 1;1; −1) nên có phương trình: x + y − z − 5 = 0 . C thuộc giao tuyến của (P) và (Q), gọi d là giao tuyến hai mặt phẳng này, phương x = t  trình đường thẳng d :  y = 0  z = −5 + t  C ∈ d ⇒ C ( t ;0; −5 + t ) 1 Ta có: 2 uuur uuur t = 5 C ( 5;0;0 )  AB, AC  = 3 ⇔ t − 4 = 1 ⇔  ⇒   t = 3 C ( 3;0; −2 ) Cách 2: Vì C ( a; b; c ) ∈ ( P) ⇒ a − 2b − c − 5 = 0 (1). Gọi (Q) là mặt phẳng chứa AB uur uuur uur và vuông góc với (P) ⇒ nQ =  AB; nP  = ( 1;1; −1) ⇒ (Q) : x + y − z − 5 = 0 C ∈ (Q) ⇒ a + b − c − 5 = 0 (2). Từ (1), (2) C ( a;0; a − 5 ) a = 5 1 uuur uuur  AB; AC  = a − 4 3 = 3 ⇔  S = Mặt khác  2 a = 3 C ( 5;0;0 ) Vậy  C ( 3;0; −2 ) 2.4. Cho hai điểm A, B thuộc mặt phẳng (P). Tìm trên (P) điểm M sao cho a, MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất b, MA − MB đạt giá trị lớn nhất Phương pháp: Trường hợp 1: A, B cùng phía không gian so với mặt phẳng (P) a, Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua (P). Ta có MA + MB = MA '+ MB ≥ A ' B ⇒ ( MA + MB ) min = A ' B ⇔ A ', M , B thẳng hàng. Vậy M là giao điểm của đường thẳng A’B và mặt phẳng (P). b, Ta có MA − MB ≤ AB ⇒ ( MA − MB ) max = AB ⇔ A, B, M thẳng hàng. Vậy Vậy M là giao điểm của đường thẳng AB và mặt phẳng (P). Trường hợp 2: A, B khác phía không gian so với mặt phẳng (P) 25 Giáo viên: Nguyễn Thị Lệ Thanh Trường THPT Tam Dương a, Ta có MA + MB ≥ AB ⇒ ( MA + MB ) min ⇔ A, B , M thẳng hàng. Vậy Vậy M là giao điểm của đường thẳng AB và mặt phẳng (P). b, Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua (P). Ta có MA − MB = MA '− MB ≤ A ' B ⇒ MA − MB max = A ' B ⇔ A ', M , B thẳng hàng. Vậy M là giao điểm của đường thẳng A’B và mặt phẳng (P). Ví dụ 1: Cho A ( −1;3; −2 ) , B ( −9; 4;9 ) , ( P ) : 2 x − y + z + 1 = 0 . Tìm M thuộc (P) sao cho MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất. Giải: Đặt f ( x; y; z ) = 2 x − y + z + 1 ⇒ f ( A) . f ( B ) = 72 > 0 . Vậy A, B cùng phía không gian so với mặt phẳng (P). Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua (P). Đường thẳng AA’ đi qua A có véc tơ chỉ phương là véc tơ pháp tuyến của (P) có  x = −1 + 2t  phương trình:  y = 3 − t  z = −2 + t  Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên (P). Tọa độ H là nghiệm hệ:  x = −1 + 2t y = 3−t  ⇒ H ( 1; 2; −1) ⇒ A ' ( 3;1;0 )  z = − 2 + t  2 x − y + z + 1 = 0  x = 3 − 4u  Phương trình đường thẳng A’B là:  y = 1 + u  z = 3u  Ta có MA + MB = MA '+ MB ≥ A ' B ⇒ ( MA + MB ) min = A ' B ⇔ A ', M , B thẳng hàng.  x = 3 − 4u  y = 1+ u  ⇒ M ( −1; 2;3) Vậy tọa độ M là nghiệm hệ:  z = 3 u  2 x − y + z + 1 = 0 Ví dụ 2: Trên hệ trục Oxy cho A ( 1;0;0 ) , B ( −2;0; −2 ) , ( P ) : 2 x − y + z + 1 = 0 . Tìm M thuộc (P) sao cho MA − MB đạt giá trị lớn nhất. Giải: 26 Giáo viên: Nguyễn Thị Lệ Thanh Trường THPT Tam Dương Đặt f ( x; y; z ) = 2 x − y + z + 1 ⇒ f ( A ) . f ( B ) = −15 < 0 . Vậy A, B khác phía không gian so với mặt phẳng (P). Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua (P). Đường thẳng AA’ đi qua A có véc tơ chỉ phương là véc tơ pháp tuyến của (P) có  x = 1 + 2t  phương trình:  y = −t z = t  Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên (P). Tọa độ H là nghiệm hệ:  x = 1 + 2t  y = −t   1 1 ⇒ H  0; ; − ÷⇒ A ' ( 2;1;1)   2 2 z = t 2 x − y + z + 1 = 0  x = −2 + 4u  Phương trình đường thẳng A’B là:  y = u  z = −2 − u  MA − MB = MA '− MB ≤ A ' B ⇒ MA − MB max = A ' B ⇔ A ', M , B thẳng hàng.  x = −2 + 4u y = u   4 5 −17  ⇒M ; ; Vậy tọa độ M là nghiệm hệ:  ÷ 3 6 6   z = −2 − u 2 x − y + z + 1 = 0 Bài tập tương tự: 1, Trong không gian cho ba điểm A ( 0;1; 2 ) , B ( −1; −1;0 ) , C ( 2;0;1) và mặt phẳng x+ y + z −3 = 0 uuur uuur uuuur a, Tìm điểm M trên mặt phẳng (P) sao cho: MA + MB + MC đạt giá trị nhỏ nhất uuur uuur uuur b, Tìm điểm N trên mặt phẳng (P) sao cho: NA + 2 NB + NC đạt giá trị nhỏ nhất 2, Trong không gian cho ba điểm A ( 1;0;1) , B ( −1;1; 2 ) , C ( 0;1; 2 ) và mặt phẳng x − 2y −3 = 0 Tìm điểm M trên mặt phẳng (P) sao cho: MA2 + 2 MB 2 + MC 2 đạt giá trị nhỏ nhất 3, Trong không gian cho A(1; 0; 1); B(-1; 1; 1). Tìm điểm C thuộc mặt phẳng (P) sao cho tam giác ABC đều. 4, Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A ( 1; −1;1) , B ( 5;1;1) ;( P) : x + z − 5 = 0 Tìm tọa độ điểm M ∈ ( Oxy ) sao cho ∆MAB cân tại M và có diện tích bằng 5 . 27 Giáo viên: Nguyễn Thị Lệ Thanh Trường THPT Tam Dương 5, Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt phẳng (P) 3x − y − z + 2 = 0 và các điểm A ( 2;1;1) , B ( 1;0;0 ) . Tìm điểm C thuộc mặt phẳng (P) sao cho mặt phẳng ( ABC ) vuông góc với (P) và diện tích tam giác ABC bằng 2. 6, Cho A ( 1;3; 2 ) , B ( 0;0;3) , ( P ) : x − y + z + 1 = 0 . Tìm M thuộc (P) sao cho a, MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất. b, MA − MB đạt giá trị lớn nhất. 7, Trên hệ trục Oxy cho A ( 1;0;0 ) , B ( −2;0; −2 ) , ( P) : 2 x − y + z + 1 = 0 . Tìm M thuộc (P) sao cho a, MA − MB đạt giá trị lớn nhất. b, MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất. III. Bài toán 3. Xác định tâm và tínhbán kính đường tròn đi qua ba điểm không thẳng hàng. Phương pháp: Giả sử cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng  IA2 = IB 2  2 2 Cách 1. Gọi I là tâm đường tròn. Ta có:  IA = IC  I ∈ ( ABC )  Cách 2. Gọi (P); (Q) lần lượt là mặt phẳng trung trực của các cạnh AB, BC ( P )  Tọa độ tâm I của đường tròn là nghiệm hệ phương trình: (Q) ( ABC )  Ví dụ: Trong không gian cho ba điểm A ( 1; 2;0 ) , B ( 0;1;0 ) , C ( 1;0;1) . Xác định tọa độ tâm và tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Giải: 1 3  Gọi (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn AB. (P) qua trung điểm H  ; ;0 ÷ của 2 2  uuur AB và có véc tơ pháp tuyến AB ( −1; −1;0 ) nên có phương trình: x + y − 2 = 0 (1) 1  Gọi (Q) là mặt phẳng trung trực của đoạn AC. (Q) qua trung điểm K  1;1; ÷ của 2  uuur AB và có véc tơ pháp tuyến AC ( 0; −2;1) nên có phương trình: 4 y − 2 z − 3 = 0 (2) Mặt phẳng (ABC) đi qua A ( 1; 2;0 ) và có véc tơ pháp r uuur uuur n =  AB, AC  = ( −1;1; 2 ) nên có phương trình là: − x + y + 2 z − 1 = 0 (3) tuyến 28 Giáo viên: Nguyễn Thị Lệ Thanh Trường THPT Tam Dương − x + y + 2 z − 1 = 0 1 5   ⇒ I 1;1; ÷; R = Từ (1), (2), (3) ta có hệ :  x + y − 2 = 0 2 2  4 y − 2 z − 3 = 0  Vậy tam giác ABC vuông ở B Bài tập tương tự: 1, Trong không gian cho ba điểm A ( 1; 2;1) , B ( −2;1;0 ) , C ( 1;0;1) . Xác định tọa độ tâm và tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. 2, Trong không gian cho ba điểm A ( 1;1; 0 ) , B ( 2;1;0 ) , C ( 1;0; 2 ) . Xác định tọa độ tâm và tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. D. Một số bài toán về viết phương trình đường thẳng I.Bài toán 1. Lập phương trình đường thẳng khi biết điểm thuộc đường thẳng và véc tơ chỉ phương của nó Ví dụ: Lập phương trình đường thẳng trong các trường hợp sau: 1, Đường thẳng qua hai điểm A ( 1;3; 2 ) , B ( 0;1;3) 2, Đường thẳng qua điểm A ( −1;1; 2 ) và song song với đường thẳng  x = −2 + 4u  d :y = u  z = −2 − u  3, Đường thẳng qua A ( 1;1; −2 ) và vuông góc với mặt phẳng (P): x + 2 y − z + 1 = 0 4, Đường thẳng qua A ( 1;1; −2 ) và song song với mặt phẳng (P): x + 2 y − z + 1 = 0; ( Q ) : x + y − 2 = 0 5, Đường thẳng qua điểm A ( −1;1; 2 ) và vuông góc với hai đường thẳng  x = −2 + 4u x = t   d1 :  y = u ; d2 :  y = 1 − t  z = −2 − u z = 2 + t   6, Đường thẳng là giao tuyến hai mặt phẳng (P): x + 2 y − z + 1 = 0; ( Q ) : x + y − 2 = 0 29 Giáo viên: Nguyễn Thị Lệ Thanh Trường THPT Tam Dương 7, Đường thẳng qua điểm A ( 1;3; 2 ) và lần lượt vuông góc với đường thẳng d và  x = −2 + 4u  ;( P) : x − y + z − 2 = 0 song song với mặt phẳng (P): d :  y = u  z = −2 − u  8, Cho đường thẳng và mặt phẳng có phương trình lần lượt là:  x = −2 + u  d : y = u ;( P ) : x − y + z − 2 = 0 . Viết phương trình đường thẳng nằm trong  z = −2 − u  (P) cắt và vuông góc với d. Giải: uuur 1, Đường thẳng cần tìm qua A ( 1;3; 2 ) , có véc tơ chỉ phương AB = ( −1; −2;1) nên x = 1− t  có phương trình là: d :  y = 3 − 2t z = 2 + t  r A − 1;1; 2 , ) có véc tơ chỉ phương u = ( 4;1; −1) nên có 2, Đường thẳng cần tìm qua (  x = −1 + 4t  phương trình là: d :  y = 1 + t z = 2 − t  r 3, Đường thẳng cần tìm qua A ( 1;1; −2 ) , có véc tơ chỉ phương u = ( 1; 2; −1) nên có x = 1+ t  phương trình là: d :  y = 1 + 2t  z = −2 − t  ur r 4, Ta có n1 ( 1; 2; −1) , n 2 ( 1;1;0 ) lần lượt là véc tơ pháp tuyến của hai mặt phẳng. Đường thẳng cần tìm đi qua A ( 1;1; −2 ) và có véc tơ chỉ phương; x = 1+ t r ur uur  u =  n1 , n2  = ( 1; −1; −1) nên có phương trình là: d :  y = 1 − t  z = −2 − t  ur r 5, Ta có u1 ( 4;1; −1) , u 2 ( 1; −1;1) lần lượt là véc tơ chỉ phương của hai đường thẳng. Đường thẳng cần tìm đi qua r ur uur u = u1 , u2  = −5 ( 0;1;1) A ( −1;1; 2 ) và có véc tơ chỉ phương; 30 Giáo viên: Nguyễn Thị Lệ Thanh Trường THPT Tam Dương  x = −1  nên có phương trình là: d :  y = 1 − t z = 2 − t  ur r 6, Ta có n1 ( 1; 2; −1) , n 2 ( 1;1;0 ) lần lượt là véc tơ pháp tuyến của hai mặt phẳng. Đường thẳng cần tìm đi qua A ( 2;0;3) ∈ ( P ); ( Q ) và có véc tơ chỉ phương; x = 2 + t r ur uur  u =  n1 , n2  = ( 1; −1; −1) nên có phương trình là: d :  y = −t z = 3 − t  uur r 7, Ta có n ( 1; 2; −1) , u ( 1;1;0 ) lần lượt là véc tơ pháp tuyến của hai mặt phẳng. Đường thẳng cần tìm đi qua A ( 1;3; 2 ) ∈ ( P ); ( Q ) và có véc tơ chỉ phương; x = 1+ t r rr  u =  n, u  = ( 1; −1; −1) nên có phương trình là: d :  y = 3 − t z = 2 − t  8, Tọa độ giao điểm của d và (P) là nghiệm hệ phương trình:  x = −2 + u y = u  ⇒ I ( −8; −6; 4 )  z = − 2 − u   x − y + z − 2 = 0 Đường thẳng cần tìm qua I ( −8; −6; 4 ) có véc tơ chỉ phương  x = −8 r rr  u =  n, u  = ( 0; −2; −2 ) nên có phương trình là: d :  y = −6 − t z = 4 − t  Bài tập tương tự Lập phương trình đường thẳng trong các trường hợp sau: 1, Đường thẳng qua hai điểm A ( 1;1; 2 ) , B ( 4;1;3)  x = −2 + u  2, Đường thẳng qua điểm A ( 3;1; 2 ) và song song với đường thẳng d :  y = −u  z = −2 − u  3, Đường thẳng qua A ( 3;1; −2 ) và vuông góc với mặt phẳng (P): x + y − 2 z + 1 = 0 4, Đường thẳng qua A ( 1; 2; −2 ) và song song với mặt phẳng (P): x + y − z + 1 = 0; ( Q ) : x + y + 2 z − 2 = 0 31 Giáo viên: Nguyễn Thị Lệ Thanh 5, Đường thẳng qua điểm A ( 0;1; 2 ) Trường THPT Tam Dương và vuông góc với hai đường thẳng  x = −2 + u  x = −t   d1 :  y = 2u ; d 2 :  y = 1  z = −u z = 2 + t   6, Đường thẳng là giao tuyến hai mặt phẳng (P): x + y − z + 1 = 0; ( Q ) : 2 x + y + z − 2 = 0 7, Đường thẳng qua điểm A ( 1; 2; 2 ) và lần lượt vuông góc với đường thẳng d và  x = −2 + u  ;( P) : x − y − z − 2 = 0 song song với mặt phẳng (P): d :  y = u  z = −2 − u  8, Cho đường thẳng và mặt phẳng có phương trình lần lượt là:  x = −1 + u  d : y =1 ;( P) : x + y + z − 2 = 0 . Viết phương trình đường thẳng nằm trong  z = −2 + u  (P) cắt và vuông góc với d. II. Bài toán 2. Đường thẳng cắt hai đường thẳng đã cho và thỏa mãn tính chất khác Phương pháp: Cách 1: Tham số hóa Chuyển phương trình hai đường thẳng về dạng tham số Giả sử hai điểm A, B lần lượt thuộc hai đường thẳng. Khi đó đường thẳng cần tìm qua A, B và thỏa mãn tính chất còn lại. Cách 2: Gọi (P) là mặt phẳng chưa đường thẳng thứ nhất và thỏa mãn tính chất khác. Giả sử giao điểm mặt phẳng (P) và đường thẳng còn lại là B. Đường thẳng cần tìm qua B và thỏa mãn tính chất còn lại.  x = −2 + u  x = −t   Ví dụ 1: Trong không gian cho hai đường thẳng d1 :  y = 2u ; d 2 :  y = 1  z = −u z = 2 + t   và điểm M ( 1; 2; 2 ) . Viết phương trình đường thẳng cắt hai đường thẳng đã cho đồng thời qua M. Giải:  x = −2 + u  Gọi (P) là mặt phẳng chứa d1 :  y = 2u và M  z = −u  32 Giáo viên: Nguyễn Thị Lệ Thanh M ( 1; 2; 2 ) Mặt phẳng (P) qua và r uuuur r n =  MN , u  = ( 6; −5; −4 ) , N ( −2;0;0 ) ∈ d1 Trường THPT Tam Dương có véc tơ pháp tuyến Phương trình mặt phẳng (P) là: 6 x − 5 y − 4 z + 12 = 0 Gọi B là giao điểm của (P) và d2 . tọa độ B là nghiệm của hệ:  x = −t y =1   1 19  ⇒ B  ;1; ÷   10 10  z = 2 + t 6 x − 5 y − 4 z + 12 = 0  1 19  Đường thẳng cần tìm đi qua M ( 1; 2; 2 ) và B  ;1; ÷ có phương trình là:  10 10   x = 1 + 9l   y = 2 + 10l z = 2 + t   x = −2 + u  x = −t   ; d2 :  y = 1 Ví dụ 2: Trong không gian cho hai đường thẳng d1 :  y = u  z = −u z = 1+ t   x = 1+ a  và đường thẳng d :  y = 1 . Viết phương trình đường thẳng cắt hai đường thẳng z = a  đã cho đồng thời song song với d. Giải: Gọi (P) là mặt phẳng chứa d1 và song song với d M ( −2;0;0 ) Mặt phẳng (P) qua và có véc tơ pháp tuyến r ur uur n = u1 , u2  = ( 1; −2; −1) , Phương trình mặt phẳng (P) là: x − 2 y − z + 2 = 0 Gọi B là giao điểm của (P) và d2 . tọa độ B là nghiệm của hệ:  x = −t y =1  1 1 ⇒ B  ;1; ÷  2 2 z = 1+ t  x − 2 y − z + 2 = 0 33 Giáo viên: Nguyễn Thị Lệ Thanh Trường THPT Tam Dương 1 1 Đường thẳng cần tìm đi qua M  ;1; ÷ và song song với d có phương trình là: 2 2 1  x = 2 + l  y =1  1 z = + t 2   x = −2 + u  x = −t   ; d2 :  y = 1 Ví dụ 3: Trong không gian cho hai đường thẳng d1 :  y = u  z = −u z = 1+ t   và mặt phẳng (Q) : x + y − 3 = 0 . Viết phương trình đường thẳng cắt hai đường thẳng đã cho đồng thời vuông góc với (Q). Giải: Gọi (P) là mặt phẳng chứa d1 và vuông góc với (Q). r ur r M − 2;0; 0 n ( ) và có véc tơ pháp tuyến = u1 , n  = ( 1; −1;0 ) , Mặt phẳng (P) qua Phương trình mặt phẳng (P) là: x − y + 2 = 0 Gọi B là giao điểm của (P) và d2 . tọa độ B là nghiệm của hệ:  x = −t y =1  ⇒ B ( −1;1; 2 )  z = 1 + t   x − y + 2 = 0 Đường thẳng cần tìm đi qua B ( −1;1; 2 ) và vuông góc với (Q) có phương trình là:  x = −1 + l   y = 1+ l z = 2  Bài tập tương tự x = 1+ u x = 2 − t   1, Trong không gian cho hai đường thẳng d1 :  y = u ; d 2 :  y = 1  z = −u z = 1+ t   và điểm M ( 1; 2; −2 ) . Viết phương trình đường thẳng cắt hai đường thẳng đã cho đồng thời qua A. x = 3 + u  x = −t   2, Trong không gian cho hai đường thẳng d1 :  y = u ; d 2 :  y = 1 z = 1 z = 1+ t   34 Giáo viên: Nguyễn Thị Lệ Thanh Trường THPT Tam Dương x = 1+ a  và đường thẳng d :  y = 2a . Viết phương trình đường thẳng cắt hai đường thẳng z = a  d1 ; d 2 đồng thời song song với d. x = u x = t   3, Trong không gian cho hai đường thẳng d1 :  y = u ; d 2 :  y = 1 z = 1− u z = t   và mặt phẳng (Q) : x + y − z − 3 = 0 . Viết phương trình đường thẳng cắt hai đường thẳng đã cho đồng thời vuông góc với (Q). III. Bài toán 3. Viết phương trình đường thẳng cắt một đường thẳng, vuông góc với đường thẳng thứ hai và đi qua 1 điểm. Phương pháp: Gọi d1, d2 lần lượt là hai đường thẳng đã cho Cách 1: Tham số hóa Chuyển phương trình đường thẳng d1 về dạng tham số Giả sử hai điểm A thuộc đường thẳng d1 . Khi đó đường thẳng cần tìm qua A, vuông góc với d2 và đi qua điểm đã cho. Cách 2: Gọi (P) là mặt phẳng vuông góc với d2 và đi qua điểm đã cho Giả sử giao điểm mặt phẳng (P) và đường thẳng d1 là B. Đường thẳng cần tìm qua B và qua A.  x = −2 + u  x = −t   Ví dụ 1: Trong không gian cho hai đường thẳng d1 :  y = 2u ; d 2 :  y = 1  z = −u z = 2 + t   và điểm M ( 1; 2; 2 ) . Viết phương trình đường thẳng cắt đường thẳng d1, vuông góc với d2 đồng thời qua M. Giải: Gọi (P) là mặt phẳng chứa M và vuông góc với d2 r Mặt phẳng (P) qua M ( 1; 2; 2 ) và có véc tơ pháp tuyến n = ( −1;0;1) Phương trình mặt phẳng (P) là: x − z + 1 = 0 Gọi B là giao điểm của (P) và d1,  x = −2 + u  y = 2u   −3 −1  d1 :  ⇒ B  ;1; ÷ 2   2  z = −u  x − z + 1 = 0 tọa độ B là nghiệm của hệ: 35 Giáo viên: Nguyễn Thị Lệ Thanh Trường THPT Tam Dương  −3 −1  Đường thẳng cần tìm đi qua M ( 1; 2; 2 ) và B  ;1; ÷ có phương trình là: 2   2  x = 1 + 5l   y = 2 + 2l  z = 2 + 5l  x = t  Ví dụ 2: Trong không gian cho hai đường thẳng d :  y = 1 z = 1+ t  và điểm M ( 1; 2;0 ) . Viết phương trình đường thẳng cắt và vuông góc với đường thẳng d đồng thời qua M. Giải: Gọi (P) là mặt phẳng chứa M và vuông góc với d r Mặt phẳng (P) qua M ( 1; 2;0 ) và có véc tơ pháp tuyến n = ( 1;0;1) Phương trình mặt phẳng (P) là: x + z − 1 = 0 Gọi B là giao điểm của (P) và d1, tọa độ B là nghiệm của hệ: x = t y =1  d1 :  ⇒ B ( 0;1;1) z = 1 + t   x + z − 1 = 0 x = 1− l  Đường thẳng cần tìm đi qua M ( 1; 2;0 ) và B ( 0;1;1) có phương trình là:  y = 2 − l z = l  Bài tập tương tự:  x = −2 − u x = t   1, Trong không gian cho hai đường thẳng d1 :  y = 2 − u ; d 2 :  y = 1  z = −u z = 2 + t   và điểm M ( 1; 2; −1) . Viết phương trình đường thẳng cắt đường thẳng d1, vuông góc với d2 đồng thời qua M. x = t  2, Trong không gian cho hai đường thẳng d :  y = t z = 1+ t  và điểm M ( 1; −1;3) . Viết phương trình đường thẳng cắt và vuông góc với đường thẳng d đồng thời qua M. 36 Giáo viên: Nguyễn Thị Lệ Thanh Trường THPT Tam Dương IV. Bài toán 4. Hai đường thẳng chéo nhau và đường vuông góc chung của chúng Phương pháp: Cách 1. Tham số hóa Giả sử d1, d2 lần lượt là hai đường thẳng đã cho + chuyển phương trình hai đường thẳng về dạng tham số + Giả sử A ∈ d1 , B ∈ d 2 . Khi đó đường thẳng AB là đường vuông góc chung khi và uuur ur  AB.u1 = 0 chỉ khi  uuur ur  AB.u1 = 0 + Đường vuông góc chung đi qua A, B. Cách 2. + Giả sử d là đường vuông góc chung, véc tơ chỉ phương của đường thẳng d là: r ur uur u = u1 , u2  r ur uur n + Gọi (P) là mặt phẳng chứa d và d1 , vec tơ pháp tuyến của (P) là: = u1 , u  + Giả sử giao điểm mặt phẳng (P) và đường thẳng d2 là B. r ur uur u + Đường vuông góc chung đi qua B và có véc tơ chỉ phương = u1 , u2  Ví dụ .  x = −2 + u x = t   ; d2 :  y = 1 Trong không gian cho hai đường thẳng d1 :  y = u  z = −2 − u z = 1+ t   a, Chứng minh rằng hai đường thẳng chéo nhau b, Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng c, Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng Giải: ur uur a, Ta có: u1 ( 1;1; −1) , u2 ( 1;0;1) , M ( −2;0; −2 ) ∈ d1 , N ( 0;1;1) ∈ d 2 ur uur ur uur uuuur ⇒ u1 , u2  = ( 1; −2; −1) ; u1 , u2  .MN = −3 ≠ 0 Vậy hai đường thẳng chéo nhau. b, Cách 1. uuur Giả sử A ( −2 + u; u; −2 − u ) ∈ d1 , B ( t ;1;1 + t ) ∈ d 2 , AB ( t + 2 − u;1 − u;3 + t + u ) Đường thẳng qua AB là đường vuông góc chung khi và chỉ khi: uuur ur  A ( −2;0; −2 ) u = 0  AB.u1 = 0   ⇔  −5 ⇒   −5 −3   uuur uur t = 2  B  2 ;1; 2 ÷  AB.u2 = 0     x = −l  Vậy đường vuông góc chung có phương trình là: d :  y = 2 + 2l z = l  37 Giáo viên: Nguyễn Thị Lệ Thanh Trường THPT Tam Dương Cách 2. Gọi d là đường vuông góc chung của hai đường thẳng đã cho. Ta có r ur uur u = u1 , u2  = ( 1; −2; −1) + Gọi (P) là mặt phẳng chứa d và d1 , vec tơ pháp tuyến của (P) là: r ur uur n = u1 , u  =-3 ( 1;0;1) , phương trình mặt phẳng (P) là: x + z + 4 = 0 + Giả sử giao điểm mặt phẳng (P) và đường thẳng d2 là B. Tọa độ B là nghiệm hệ: x = t y =1   −5 −3  ⇒ B  ;1; ÷  2   2 z = 1+ t  x + z + 4 = 0 r ur uur + Đường vuông góc chung đi qua B và có véc tơ chỉ phương u = u1 , u2  nên có 5  x = − −l  2  phương trình là: d :  y = 1 + 2l  −3 z = +l 2  c, Cách 1. ur uur uuuur u1 , u2  .MN 3   = Ta có: d ( d1 ; d 2 ) = ur uur 6 u1 , u2    Cách 2. 6 Ta có : d ( d1 ; d 2 ) = AB = 2 Bài tập tương tự:  x = −u x = 1   ; d2 :  y = 1 − t 1, Trong không gian cho hai đường thẳng d1 :  y = u  z = −2 − u z = 1+ t   a, Chứng minh rằng hai đường thẳng chéo nhau b, Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng c, Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng  x = −u x −1 y z  ; d2 : = = 2, Trong không gian cho hai đường thẳng d1 :  y = u 1 2 1  z = −2 − u  a, Chứng minh rằng hai đường thẳng chéo nhau b, Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng 38 Giáo viên: Nguyễn Thị Lệ Thanh Trường THPT Tam Dương c, Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng E. Một số bài toán liên quan đến đường thẳng I. Bài toán I. Tìm thuộc đường thẳng thỏa mãn điều kiện khoảng cách cho trước Phương pháp: Chuyển phương trình đường thẳng về dạng tham số Dùng công thức khoảng cách Ví dụ: x = l  Trong không gian cho hai điểm và đường thẳng d :  y = 1 + l , mặt phẳng  z = −1  ( P ) : x + 2 y + 2 z − 2 = 0 và điểm A ( 1;0;1) ; B ( 0;0;1) . Tìm điểm M trên d sao cho: 1, MA = 8 2, d ( M , ( P) ) = 2 3, MA2 + MB 2 đạt giá trị nhỏ nhất Giải: uuur Giả sử M ( l;1 + l ; −1) ⇒ MA ( 1 − l ; −1 − l ; 2 ) ⇒ MA = 8 ⇔ l = ±1 Vậy điểm cần tìm là: M ( 1; 2; −1) ∀M ( −1;0; −1)   8 11   8 M  ; ; −1 ÷ l =   3 3l − 2 3 3  M l ;1 + l ; − 1 ⇒ d M , ( P ) = = 2 ⇔ ⇒  ( ) ( ) 2, Ta có: 3  l = − 4  M  − 4 ; −1 ; −1    ÷  3    3 3 3, Ta có: uuur uuur M ( l ;1 + l ; −1) ⇒ MA ( 1 − l ; −1 − l ; 2 ) ; MB ( −l ; −1 − l ; 2 ) 43 −1  1  43 43 ⇒ MA2 + MB 2 = 4l 2 + 2l + 11 = 2  l + ÷+ ≥ ⇒ ( MA2 + MB 2 ) min = ⇔l= 4 4 4  4 4  −1 3  ⇒ M  ; ; −1 ÷  4 4  Bài tập tương tự: x = l  Trong không gian cho hai điểm và đường thẳng d :  y = 1 + l , mặt phẳng  z = −1  ( P ) : x + 2 y + 2 z − 2 = 0 và điểm A ( 1; 0;1) . Tìm điểm M trên d sao cho: 39 Giáo viên: Nguyễn Thị Lệ Thanh Trường THPT Tam Dương 1, MA = 8 2, d ( M , ( P) ) = 2 3, MA2 + MB 2 đạt giá trị nhỏ nhất II. Bài toán II. Cho đường thẳng d và hai điểm A, B. tìm trên d điểm sao cho MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất và MA − MB đạt giá trị lớn nhất. Phương pháp: + Gọi A1 là điểm sao cho d ( A; d ) = d ( A1 ; d ) và A1, B, d đồng phẳng; A’, B cùng phía mặt phẳng so với d + Giả sử (P) là mặt phẳng chứa A1, B và đường thẳng d A A1 H B M K A’ Ta có: a, Lấy A’ đối xứng với A qua d MA + MB = MA '+ MB ≥ A ' B . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi M = A ' B ∩ d uuuur − BK uuuur MK BK BK = = ⇒ MK = MH Ta có: MI A ' H AH AH Từ đó suy ra các bước tìm điểm M + Tìm hình chiếu H, K lần lượt của A, B lên d uuuur − BK uuur MI + Tìm điểm M nhờ đẳng thức véc tơ MK = AH b, Tương tự ta có: MA − MB = MA1 − MB ≤ A1B . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi M = A1 B ∩ d uuuur BK uuuur MK BK BK = = ⇒ MK = MH Ta có: MI A ' H AH AH Từ đó suy ra các bước tìm điểm M + Tìm hình chiếu H, K lần lượt của A, B lên d uuuur − BK uuur MI + Tìm điểm M nhờ đẳng thức véc tơ MK = AH Ví dụ: 40 Giáo viên: Nguyễn Thị Lệ Thanh Trường THPT Tam Dương Trong không gian cho hai điểm A ( 3;0;3) ; B ( 4; −2; −1) và đường thẳng x = l  d :  y = l . Tìm điểm M sao cho: z = 3 − l  a, MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất b, MA − MB đạt giá trị lớn nhất Giải: a, + Gọi A1 là điểm sao cho d ( A; d ) = d ( A1 ; d ) và A1, B, d đồng phẳng; A’, B cùng phía mặt phẳng so với d + Giả sử (P) là mặt phẳng chứa A1, B và đường thẳng d + Giả sử A’ đối xứng với A1 qua d. Ta có: MA + MB = MA '+ MB ≥ A ' B . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi M = A ' B ∩ d uuuur − BK uuur MK BK BK = = ⇒ MK = MI Ta có: MI A ' I AH AH Giả sử H ( a; a;3 − a ) ∈ d . H là hình chiếu của A khi và chỉ khi uuur r AH .u = 0 ⇔ a = 1 ⇒ H ( 1;1; 2 ) ⇒ AH = 6 Giả sử K ( b; b;3 − b ) ∈ d . K là hình chiếu của B khi và chỉ khi uuur r BK .u = 0 ⇔ b = 2 ⇒ K ( 2; 2;1) ⇒ BK = 2 6 Theo chứng minh trên M ( m, n, p ) được xác định như sau: 4  m =  3  uuuur − BK uuuur uuuur  4 4 4 5 MK = MH = −2MH ⇒ n = ⇒ M  ; ; ÷ AH 3  3 3 3  5  p = 3  b, Hoàn toàn tương tự ta có: m = 0 uuuur BK uuuur uuuur  MK = MH = 2MH ⇒ n = 0 ⇒ M ( 0;0;3) AH p =3  Bài tập tương tự 41 Giáo viên: Nguyễn Thị Lệ Thanh Trường THPT Tam Dương x = l  1, Trong không gian cho hai điểm A ( 0; 0;1) ; B ( 1;1;0 ) và đường thẳng d :  y = 1 + l  z = −1  . Tìm điểm M trên d sao cho: a, MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất b, MA − MB đạt giá trị lớn nhất x = l  2, Trong không gian cho hai điểm A ( 1; 0;1) ; B ( 1;1;0 ) và đường thẳng d :  y = 1 + l . z = l  Tìm điểm M trên d sao cho: a, MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất b, MA − MB đạt giá trị lớn nhất …………HẾT…………….. 42 Giáo viên: Nguyễn Thị Lệ Thanh Trường THPT Tam Dương Phần III - Kết luận Trên đây là phần trình bày nội dung chuyên đề của tôi. Qua chuyên đề này tôi thấy các em học sinh đã biết cách xác định đúng dạng toán, đưa ra được phương pháp giải tổng hợp, từ đó học sinh có lời giải chính xác, rõ ràng, lập luận chặt chẽ, đạt điểm tối đa.Tiến tới đạt kết quả cao trong các kỳ thi tốt nghiệp, Đại học và Cao đẳng. Tuy nhiên do kinh nghiệm còn hạn chế nên chuyên để của tôi vẫn không tránh khỏi những sai sót nhỏ, tôi rất mong được sự đóng góp rút kinh nghiệm của đồng nghiệp và hội đồng nghiệm thu để đề tài thực sự trở thành tài liệu có ích cho các en học sinh học toán cũng như ôn thi tốt nghiệp, Đại học và Cao đẳng. Tôi xin chân thành cảm ơn! Tam Dương, ngày 05 tháng 03 năm 2014. Người viết chuyên đề Nguyễn Thị Lệ Thanh 43 [...]... trình mặt phẳng đi qua d :  y = −t sao cho góc giữa mặt phẳng đó z = 0  x = 1+ u 1  và đường thẳng l :  y = −2u là α thỏa mãn sin α = 15 z = 1  C Một số bài toán khác liên quan đến mặt phẳng: I Bài toán1 Tìm hình chiếu 1.1 Hình chiếu của điểm lên mặt phẳng: a, Hình chiếu vuông góc: Phương pháp: Giả sử cho điểm A và mặt phẳng (P) Để tìm hình chiếu của A lân (P) ta làm như sau: Gọi d là đường thẳng. .. Lệ Thanh Trường THPT Tam Dương III, Bài toán 3 Lập phương trình mặt chứa một điểm và một đường thẳng không chứa điểm đó; hai đường thẳng song song; hai đường thẳng cắt nhau 3.1 Lập phương trình mặt phẳng chứa một đường thẳng và một điểm không nằm trên đường thẳng đó Phương pháp: Giả sử A là điểm đã cho và M là điểm bất kỳ thuộc đường thẳng Khi đó mặt r uuuur uur phẳng cần tìm đi qua A( hoặc M) có véc... Gọi d1, d2 lần lượt là hai đường thẳng đã cho Cách 1: Tham số hóa Chuyển phương trình đường thẳng d1 về dạng tham số Giả sử hai điểm A thuộc đường thẳng d1 Khi đó đường thẳng cần tìm qua A, vuông góc với d2 và đi qua điểm đã cho Cách 2: Gọi (P) là mặt phẳng vuông góc với d2 và đi qua điểm đã cho Giả sử giao điểm mặt phẳng (P) và đường thẳng d1 là B Đường thẳng cần tìm qua B và qua A  x = −2 + u  x... sau: 1, Đường thẳng qua hai điểm A ( 1;3; 2 ) , B ( 0;1;3) 2, Đường thẳng qua điểm A ( −1;1; 2 ) và song song với đường thẳng  x = −2 + 4u  d :y = u  z = −2 − u  3, Đường thẳng qua A ( 1;1; −2 ) và vuông góc với mặt phẳng (P): x + 2 y − z + 1 = 0 4, Đường thẳng qua A ( 1;1; −2 ) và song song với mặt phẳng (P): x + 2 y − z + 1 = 0; ( Q ) : x + y − 2 = 0 5, Đường thẳng qua điểm A ( −1;1; 2 ) và vuông... mặt phẳng (P): d :  y = u  z = −2 − u  8, Cho đường thẳng và mặt phẳng có phương trình lần lượt là:  x = −1 + u  d : y =1 ;( P) : x + y + z − 2 = 0 Viết phương trình đường thẳng nằm trong  z = −2 + u  (P) cắt và vuông góc với d II Bài toán 2 Đường thẳng cắt hai đường thẳng đã cho và thỏa mãn tính chất khác Phương pháp: Cách 1: Tham số hóa Chuyển phương trình hai đường thẳng về dạng tham số. .. hai điểm A, B lần lượt thuộc hai đường thẳng Khi đó đường thẳng cần tìm qua A, B và thỏa mãn tính chất còn lại Cách 2: Gọi (P) là mặt phẳng chưa đường thẳng thứ nhất và thỏa mãn tính chất khác Giả sử giao điểm mặt phẳng (P) và đường thẳng còn lại là B Đường thẳng cần tìm qua B và thỏa mãn tính chất còn lại  x = −2 + u  x = −t   Ví dụ 1: Trong không gian cho hai đường thẳng d1 :  y = 2u ; d 2 : ... cắt hai đường thẳng z = a  d1 ; d 2 đồng thời song song với d x = u x = t   3, Trong không gian cho hai đường thẳng d1 :  y = u ; d 2 :  y = 1 z = 1− u z = t   và mặt phẳng (Q) : x + y − z − 3 = 0 Viết phương trình đường thẳng cắt hai đường thẳng đã cho đồng thời vuông góc với (Q) III Bài toán 3 Viết phương trình đường thẳng cắt một đường thẳng, vuông góc với đường thẳng thứ hai và đi qua... (P) và d Chọn A bất kỳ trên d rồi tìm hình chiếu vuông góc A’ của A lên (P) Đường thẳng d’ đi qua A’, I Cách 2 Gọi (Q) là mặt phẳng qua d và vuông góc với (P) Đường thẳng cần tìm d’ là giao tuyến hai mặt phẳng (P), (Q) b, Hình chiếu song song theo phương chiếu l Cho đường thẳng d và mặt phẳng (P), phương chiếu l Cách 1 + Nếu d P( P ) Giả sử phương trình đường thẳng d’; Chọn A bất kỳ trên d rồi tìm hình. .. tập tương tự Lập phương trình đường thẳng trong các trường hợp sau: 1, Đường thẳng qua hai điểm A ( 1;1; 2 ) , B ( 4;1;3)  x = −2 + u  2, Đường thẳng qua điểm A ( 3;1; 2 ) và song song với đường thẳng d :  y = −u  z = −2 − u  3, Đường thẳng qua A ( 3;1; −2 ) và vuông góc với mặt phẳng (P): x + y − 2 z + 1 = 0 4, Đường thẳng qua A ( 1; 2; −2 ) và song song với mặt phẳng (P): x + y − z + 1 = 0;... ;1; −t ) H là hình chiếu của A lên d khi và chỉ khi 18 Giáo viên: Nguyễn Thị Lệ Thanh Trường THPT Tam Dương uuur r  1 −1  AH u = 0 ⇔ H  ;1; ÷ 2  2 1.3 Hình chiếu của đường thẳng lên mặt phẳng a, Hình chiếu vuông góc: Cho đường thẳng d và mặt phẳng (P) Cách 1 + Nếu d P( P ) Giả sử phương trình đường thẳng d’; Chọn A bất kỳ trên d rồi tìm hình chiếu vuông góc A’ của A lên (P) Đường thẳng d’ đi qua ... học em đạt hiệu cao chọn chuyên đề: “MỘT SỐ DẠNG TOÁN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LIÊN QUAN ĐẾN MẶT PHẲNG VÀ ĐƯỜNG THẲNG ” Với mục đích giúp em nhận thấy toán giải tích phức tạp trở nên dễ dàng đơn giản... =  C Một số toán khác liên quan đến mặt phẳng: I Bài toán1 Tìm hình chiếu 1.1 Hình chiếu điểm lên mặt phẳng: a, Hình chiếu vuông góc: Phương pháp: Giả sử cho điểm A mặt phẳng (P) Để tìm hình. .. hai đường thẳng E Một số toán liên quan đến đường thẳng I Bài toán I Tìm thuộc đường thẳng thỏa mãn điều kiện khoảng cách cho trước Phương pháp: Chuyển phương trình đường thẳng dạng tham số Dùng