Đang tải... (xem toàn văn)
Giúp học sinh lớp 6 có kỹ năng giải toán tìm x, tránh được các lỗi thường gặp trong quá trình trình bày lời giải. Bài toán tìm x là dạng toán nền tảng, dạng toán cơ sở cho việc tư duy, phân tích, trình bày. Đặc biệt đối với chương trình lớp 6, bài toán tìm x có mặt ở tất cả các chủ đề kiến thức, nó có vai trò quan trọng trong việc phát huy tính tư duy, khả năng phân tích, kĩ năng trình bày bài toán.
CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự do – Hạnh phúc BÁO CÁO Sáng kiến năm học 2014-2015 I. TÊN SÁNG KIẾN: Hướng dẫn học sinh lớp 6 giải bài toán tìm x. II. LÝ DO CHỌN SÁNG KIẾN Đa số học sinh đều rất ngại học toán so với các môn học khác, đặc biệt là học sinh đầu cấp THCS. Do tiếp xúc với môi trường mới, phương pháp học khác so với cấp tiểu học, các em vận dụng kiến thức để tư duy còn nhiều hạn chế, khả năng suy luận chưa nhiều, khả năng phân tích chưa cao; do đó việc giải toán của các em gặp nhiều khó khăn. Vì thế nhiều học sinh còn lúng túng khi giải các bài toán dạng suy luận, hoặc chưa tin tưởng vào bài làm của mình, hoặc kết quả đúng nhưng chưa chính xác, gọn gàng và hợp lí. Nhiều học sinh không phân biệt được các thành phần của phép toán, chưa biết tìm thành phần trong mối quan hệ của các phép toán cộng, trừ, nhân, chia. Nhiều học sinh chưa thuộc quy tắc chuyển vế, quy tắc nhân hai vế với một số khác 0. Chưa biết phân tích tìm hướng giải, hoặc giải sai các bài toán dạng tìm x. Đa số học sinh có mong muốn được học, nhưng khi học đến lớp 8, 9 thì kĩ năng biến đổi tương đương của học sinh còn yếu, làm cho quá trình lĩnh hội kiến thức mới và vận dụng nó gặp khó khăn. Cho thấy rằng sự cần thiết phải thành thạo các kĩ năng này trong vận dụng vào phân tích và trình bày. Ví dụ: Tìm số tự nhiên x, biết: 214 + x = 240 Trước hết, củng cố cho học sinh quan hệ phép toán cộng có trong bài, cách tìm thành phần chưa biết (số hạng chưa biết). Và nếu mở rộng bài toán thành 214 + (x – 2) = 240 thì cách làm như thế nào? Sử dụng quan hệ nào trước, tìm thành phần nào trước? HS giải vẫn thường mắc các sai lầm như: 1 x = 240 – 214 x = 240 – 214 x = 26 x = 26 x = 26 +2 x = 28 HS không quan sát hết các phép tính Kết quả đúng nhưng HS không có trong bài, chỉ sử dụng phép toán biết các trình bày. cộng. 1. Lý do chủ quan Bài toán tìm x là dạng toán nền tảng, dạng toán cơ sở cho việc tư duy, phân tích, trình bày. Đặc biệt đối với chương trình lớp 6, bài toán tìm x có mặt ở tất cả các chủ đề kiến thức, nó có vai trò quan trọng trong việc phát huy tính tư duy, khả năng phân tích, kĩ năng trình bày bài toán. Do đó để học tốt dạng toán này đòi hỏi học sinh cần có sự nhanh nhạy và khả năng tổng hợp kiến thức đã học để vận dụng vào bài toán và định hướng cho việc giải toán. Dạng toán tìm x không chỉ được học và áp dụng khi học lớp 6, mà nó còn có vai trò quan trọng trong suốt quá trình học toán THCS. Do đó khi học tốt toán tìm x ở chương trình lớp 6 là học sinh đã nắm vững các kiến thức cơ bản đã học cũng như các quy tắc cơ bản để học sinh tiếp cận loại toán cơ bản như giải phương trình hay một số dạng toán nâng cao như chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức ở chương trình toán lớp 8,9. Mặt khác trong quá trình giảng dạy giáo viên mới chỉ dạy cho học sinh ở mức độ truyền thụ kiến thức trên tinh thần của sách giáo khoa mà chưa có phân loại dạng toán, chưa khái quát được cách giải mỗi dạng toán cho học sinh. Do đó muốn bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh đặc biệt là dạng toán tìm x ta phải diễn đạt mối quan hệ những dạng toán cơ bản đến dạng toán phức tạp. Vì vậy nhiệm vụ của người thầy giáo không phải là giải bài tập cho học sinh mà vấn đề đặt ra là người thầy là người định hướng, hướng dẫn cho học sinh cách tiến hành giải bài toán, với những lí do đó tôi mạnh dạn chọn đề tài: “Hướng dẫn học sinh lớp 6 giải bài toán tìm x” 2. Lý do khách quan: 2 Trên thực tế, ta thấy trong các đề kiểm tra hoặc các kì thi thường có dạng toán tìm x. Ví dụ đổi với kì thi học kì toán lớp 8, lớp 9, dạng toán tìm x cơ bản (giải phương trình, giải bài toán bằng cách lập phương trình, tìm số đo trong hình học,...) chiếm khoảng 40%, còn dạng toán nâng cao (chứng minh, tìm giá trị nguyên,...) chiếm khoảng 10%. Ngoài ra khi học tốt dạng toán tìm x, học sinh được rèn nhiều về kĩ năng phân tích, trình bày, khả năng suy luận logic; từ đó giúp học sinh phát triển và chiếm lĩnh kiến thức mới một cách nhanh chóng. Khi đã có kiến thức, đó chính là động lực thôi thúc các em học tập các dạng toán khác có liên quan. III. NỘI DUNG SÁNG KIẾN A. Dạng tìm số tự nhiên x trong quan hệ tập hợp, quan hệ ước bội 1. Kiến thức cần nắm: - Tập hợp số tự nhiên (N), tập hợp số tự nhiên khác 0 (N *), cách viết tập hợp, cách sử dụng các kí hiệu ∈ , M, N, N*, > , < , ≤ , ≥ - Hiểu quan hệ ước và bội: Nếu a chia hết cho b (b≠0) thì a là bội của b, b là ước của a. - Dấu hiệu chia hết cho 2; 3; 5; 9. - Thế nào là UCLN, BCNN của hai hay nhiều số tự nhiên. - Tính chất chia hết của một tổng: Nếu a Mm và b Mm thì (a + b) Mm Nếu a Mm và b Mm thì (a – b) Mm (với a > b) - Sử dụng tính chất nhân phân phối đối với phép cộng a.b + a.c = a.(b+c) a.b – a. c = a.(b - c) ( với b ≥ c) 2. Bài tập áp dụng kiến thức VD1: Viết các tập hợp sau đây bằng cách liệt kê các phần tử của nó. a) A = { x∈N*/ x < 5} b) B = { x∈N / 1 ≤ x < 5} c) C = {x∈N/ xM2, 1 ≤ x ≤ 5} 3 Thường thì một số học sinh chưa hiểu được các kí hiệu ≤, < , Mhay là bài toán có từ hai điều kiện trở lên học sinh chưa biết dùng điều kiện nào trước, dùng như thế nào. Giáo viên giúp học sinh biết tự mình đọc hiểu các kí hiệu: ∈, M, N, N*, < , ≤. Từ đó xác định và liệt kê các giá trị x cần tìm. VD2: Tìm số tự nhiên x, biết: x M8 ; x M10 ; x M15 và 450 < x < 500 - Học sinh thường nhầm lẫn quan hệ bội, ước. GV cần làm rõ x là bội hay ước của các số 8; 10; 15 - Trước hết cho học sinh tìm hiểu đề bài và phân tích được x cần phải thỏa mãn hai điều kiện: + x chia hết cho 8; 10; 15 từ đó tìm bội chung của các số 8; 10; 15. + Sau đó sử dụng điêu kiện 450 < x < 500 để lọc ra các giá trị trong khoảng 450 đến 500. VD3: Tìm số tự nhiên x, biết: 72Mx ; 60Mx và x > 6 - Cũng với quan hệ chia hết, thể hiện mối quan hệ ước, bội, nhưng vì 72 và 60 cùng chia hết cho x, nên lúc này x là ước chung của 72 và 60. Sau khi tìm được UC(72;60) ta tiếp tục sử dụng đến điều kiện x > 6 để lọc ra giá trị cần tìm của x. - Trình bày lời giải: Vì 72Mx ; 60Mx => x ∈ ƯCLN(72;60) 72 = 23. 32 60 = 22. 3. 5 ƯCLN(72; 60) = 22.3 = 12 UC(72; 60) = {1; 2; 3; 4; 6; 12} Mà x > 6 nên x = 12. Qua VD2 và VD3, trong đề bài vẫn là quan hệ chia hết, nhưng nếu học sinh không tinh ý và không có sự đọc hiểu và phân tích kĩ đề bài thì sẽ dễ bị nhầm lần, không phát hiện được x là ước hay bội trong mối quan hệ chia hết đó. 4 Cũng với quan hệ chia hết, nhưng lúc này đề bài lại cho điều kiện của x ở dạng khó hơn, đòi hỏi học sinh phải phân tích thêm mới có được dạng toán quen thuộc như ở VD2. 5 và 210 < 7.x < 280 VD4: Tìm số tự nhiên x, biết: x M Dạng điều kiện 210 < 7.x < 280 chưa được tìm hiểu, tuy nhiên nếu linh hoạt trong phân tích sẽ thấy được 7.x < 280, bằng câu hỏi gợi mở: 7 nhân với những số nào để kết quả nhỏ hơn 280, học sinh sẽ có ngay kết quả “nhân với các số nhỏ hơn 40” cũng tương tự như vậy với vế còn lại của điều kiện này. Từ đó học sinh dễ dàng tìm ra hướng giải và cách trình bày bài toán sao cho khoa học. - Trình bày lời giải: 5 => x ∈ B(5) = {0; 5; 10; 15; 20; 25; 30; 35; 40; 45; 50; 55; ….} Vì x M Mà 210 < 7x < 280 => 30 < x < 40 Vậy x = 35 VD5: Tìm số tự nhiên x, biết: (111 + 222 + 333 + x) M3 x là một số hạng, trong mối quan hệ chia hết. do đó để giải bài toán này ta phải dùng tính chất chia hết của một tổng. Tổng chi hết cho 3 khi các số hạng chia hết cho 3. Tuy nhiên, nhiều học sinh không nắm chắc tính chất chia hết của một tổng thường mắc sai lầm như cộng hết 3 số hạng vào. - Trình bày lời giải: Vì 111M3 , 222M3 , 333M3 nên (111 + 222 + 333 + x) M3 khi xM3 Mở rộng các bài toán về quan hệ chia hết ta có bài toán: VD6: Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng số đó chia cho 2 dư 1, chia cho 3 dư 2, chia cho 4 dư 3; chia cho 5 dư 4. Lúc này bài toán xuất hiện quan hệ chia có dư, làm thế nào để đưa được về quan hệ chia hết mới sử dụng được kiến thức về Tâp hợp, ước, bội. Phân tích cho học sinh thấy được điều đặc biệt ở đây là các phép chia đều có số dư kém số chia 1 đơn vị, nên để phép chia hết thì số cần tìm phải cộng thêm 1. chuyển bài toán có lời văn sang bài toán tìm x như quen thuộc. - Trình bày lời giải: 5 Gọi số có hai chữ số cần tìm là x (x ∈ N, 10 ≤ x ≤ 99) Vì x chia cho 2 dư 1, chia cho 3 dư 2, chia cho 4 dư 3; chia cho 5 dư 4 nên x + 1 là bội chung của 2; 3; 4; 5 BC(2;3;4;5) = 2.3.4.5 = 60 => x + 1 = 60 => x = 59 Bài toán vẫn dùng quan hệ chia hết, nhưng số chia và số bị chia không cụ thể, đòi hỏi học sinh phải đưa được về dạng quen thuộc bằng cách căn cứ vào tính chất chia hết của tổng, hiệu, tích. Ta có thể rút ra phương pháp chung dựa vào nhận xét: Nếu A MB thì (m.A + n.B) MB (m, n ∈ N*) VD7: Tìm số tự nhiên x sao cho: (x + 2) M( x – 1) VD8: Tìm số tự nhiên x sao cho: (2x +7) M(x + 1) Công việc của học sinh là tách số bị chia sao cho làm triệt tiêu số hạng cần tìm. Nhưng đây là dạng toán nâng cao, học sinh mới được tiếp cận với phép chia các biểu thức chứa chữ, do đó cần hướng dẫn cho học sinh kiến thức áp dụng là tính chất chia hết của một tổng và cách làm xuất hiện các số hạng. - Trình bày lời giải: Ta có: (2x +7) M(x + 1) => [(2.x + 7) – 2.(x + 1)] M(x -1) => 5 M(x + 1) Với x + 1 = 1 => x = 0 Với x + 1 = 5 => x = 4 Vậy 0 hoặc 4 là số cần tìm VD9: Bằng suy luận hợp lý, từ hệ thống các dữ kiện sau đây em hãy xác định số tự nhiên x: x là số tự nhiên lẻ, x là số có 2 chữ số x chia hết cho 5 chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị là 2 số tự nhiên liên tiếp chữ số hàng chục chia hết cho 3 Ngoài sử dụng các kiến thức đã học, bằng cách phân tích các dữ kiện đề bài cho, bài toán này đòi hỏi phải có suy luận hợp lý, chặt chẽ để có được kết quả. 6 Do đó học sinh rèn được kĩ năng phân tích, suy luận, trình bày. Tạo thêm niềm đam mê học tập bộ môn. 3. Bài tập vận dụng Bài 1: Viết các tập hợp sau đây bằng cách liệt kê các phần tử của nó. a) A = { x∈N*/ x < 10} Đ/s: A={1;2;3;4;5;6;7;8;9} b) B = { x∈N / 140 ≤ x < 145} Đ/s: B={140;141;142;143;144} c) C = {x∈N/ x là số chẵn, 10 ≤ x ≤ 20} Đ/s: C={10;12;14;16;18;20} Bài 2: Tìm số tự nhiên x, biết: x M6 ; x M9 ; x M10 và 70 < x < 130 Đ/s: x = 90 Bài 3: Tìm số tự nhiên x, biết: 121Mx ; 77Mx và x > 6 Đ/s: x = 11 Bài 4: Tìm số tự nhiên x, biết rằng: x M12, xM28 và 170 < x < 300 Đ/s: x= 252 Bài 5: Tìm số tự nhiên x lớn nhất, biết rằng 420 Mx và 700 Mx Đ/s: x = 140 Bài 6: Tìm số tự nhiên x, biết: (245 + 1055 + 4010 + x) M5 Đ/s: x ∈ B(5) Bài 7: Tìm số tự nhiên, biết rằng số đó chia cho 2, cho 3, cho 4, cho 5, cho 6 đều dư 1. Nhưng khi chia cho 7 thì không còn dư. Hướng dẫn: Bài toán có 2 nhóm điều kiện: Nhóm chia còn dư 1 và nhóm chia hết. Do đó ta cần sử dụng 2 điều kiện này riêng biệt. Từ đó tổng hợp các kết quả thỏa mãn cả hai điều kiện để trả lời. Bài 8: Tìm số tự nhiên x sao cho: (x + 4) M( x – 3) Đ/s: x =4 hoặc x = 10 Bài 9: Tìm số tự nhiên x sao cho: (5x -2) M(x - 1) Đ/s: x =2 hoặc x =4 B. Dạng tìm số tự nhiên x trong quan hệ phép toán Cộng, trừ, nhân. Chia, Lũy thừa đối với số tự nhiên. 1. Kiến thức cần nắm: 7 - Khi giải bài toán tìm x, học sinh thường giải theo cách của cấp tiểu học bằng cách sử dụng quan hệ của các phép toán cộng, trừ, nhân, chia theo quy tắc đã học +Tìm số hạng: lấy tổng trừ đi số hạng đã biết +Tìm số bị trừ: lấy hiệu công với số trừ +Tìm số trừ: lấy số bị trừ trừ đi hiệu +Tìm thừa số: lấy tích chia cho thừa số đã biết +Tìm số bị chia: lấy thương nhân với số chia +Tìm số chia: Lấy số bị chia chia cho thương. - Lũy thừa với số mũ tự nhiên: ax = a.a.a.a……a (n thừa số a) - Các phép toán lũy thừa: am. an = am+n am: an = am –n (với m ≥ n) - Trong quá trình làm bài, một số bài cần phải sử dụng phương pháp chung dựa vào nhận xét: Hai lũy thừa bằng nhau khi có cơ số bằng nhau và số mũ bằng nhau. ax = an khi x = n xa = ba khi x = b 2. Bài tập áp dụng kiến thức - Với dạng toán này học sinh từ trung bình trở lên sẽ làm được khi sử dụng các quan hệ trên một cách thành thạo, tuy nhiên không phải bài toán nào học sinh cũng làm được ngay. VD1: Tìm số tự nhiên x, biết: 214 + x = 240 x = 240 – 214 x = 26 Tuy nhiên với bài toán tìm x chứa biểu thức phức tạp hơn, học sinh sẽ lúng túng không biết cách giải, hoặc giải sai: VD2: Tìm số tự nhiên x, biết: 214 + (x – 2) = 240 Hướng dẫn HS giải: Coi x – 2 là một số hạng cần tìm, khi đó sử dụng quan hệ phép cộng ta tìm số hạng x – 2. sau đó gặp dạng toán quen thuộc, học sinh tiếp tục giải. 214 + (x – 2) = 240 (coi x -2 là một số hạng cần tìm) 8 x - 2 = 240 – 214 (dạng quen thuộc) x - 2 = 26 x = 26+2 x = 28 Khi biểu thức trong bài toán tăng độ phức tạp từ hai phép toán trở lên, thì học sinh cần biết khái quát hóa quan hệ các phép toán đã học, đồng thời thực hiện các quan hệ phép toán ngược lại theo thứ tự thực hiện phép tính, nghĩa là nếu theo thứ tự thực hiện các phép toán: trong ngoặc trước ngoài ngoặc sau, nhân, chia trước cộng, trừ sau thì khi thực hiện bài toán tìm x có chứa nhiều phép toán ta thực hiện ngược lại: Cộng trừ trước rồi nhân, chia sau, ngoài ngoặc trước trong ngoặc sau. Từ đó mới hình thành cách giải đúng và vận dụng linh hoạt các bài toán khác: VD3: Tìm số tự nhiên x, biết: 214 + 2.(x -2) = 240 HS giải: 2.x = 240 – 214 216.(x – 2) = 240 x = 240 – 214 : 2 2.x = 26 + 2 x = 240 – 216 + 2 x = 133 2.x= 28 x = 26 x = 133-2 x = 14 x = 131 HS không biết tổng HS vận dụng không HS không biết dùng dấu quát phép toán cộng, linh hoạt thứ tự thực ngoặc khi biểu thị phép không biết sử dụng hiện các phép tính. toán chia một quan hệ phép nhân (hiệu) cho một số. tổng trong bài toán. Các sai lầm trên đều cho thấy học sinh gặp vấn đề không biết cách trình bày, không biết khái quát hóa các phép toán, không biết vận dụng linh hoạt quan hệ của các phép tính trong giải toán tìm x. Hướng dẫn HS giải: 214 + 2.(x -2) = 240 2.(x – 2) = 240 – 214 (coi 2.(x-2) là một số hạng cần tìm) 2.(x -2) = 26 x – 2 = 26:2 (coi x – 2 là một thừa số cần tìm) 9 x – 2 = 13. (dạng toán quen thuộc) x = 15 VD4: Tìm số tự nhiên x, biết: 125 – 3(x +2) = 35 - HS giải: 3.(x+2) = 125 + 35 HS không vận dụng được quan hệ phép toán trừ 3.(x+2) = 160 x+2 = 160:3 Kết quả không là số tự nhiên, đến đây học sinh x+ 2 = - Hướng dẫn HS giải: 3.(x+2) = 125 - 35 dừng lại. (coi 3.(x+2) là số trừ cần tìm) 3.(x+2) = 90 x+2 = 90:3 (coi x + 2 là thừa số cần tìm) x+ 2 = 30 (bài toán quen thuộc) x = 28 Sau khi học sinh luyện tập tương đối thành thạo các bài toán tìm x dạng phức tạp, học sinh sẽ được làm bài toán ở mức phức tạp hơn bao gồm nhiều dấu ngoặc và nhiều phép toán hơn. Với bài toán này học sinh cần sự kiên trì, tính tư duy, cách trình bày. Áp dụng cho học sinh khá, giỏi. VD5: Tìm số tự nhiên x, biết: 120 – [ 14 + 2.{47 – (x-2):2}] = 32 14 + 2.{47 – (x-2):2}= 120 – 32 SD quan hệ phép trừ 14 + 2.{47 – (x-2): 2} = 88 2.{47 – (x-2) : 2} = 88 – 14 SD quan hệ phép cộng 2.{47 – (x-2): 2} = 74 47 – (x-2) : 2 = 74: 2 SD quan hệ phép nhân 47 – (x-2) : 2= 37 (x – 2) : 2 = 47 – 37 SD quan hệ phép trừ (x – 2) : 2 = 10 x – 2 = 20 SD quan hệ phép chia x = 22 SD quan hệ phép trừ Trong chương trình có bổ xung kiến thức: Lũy thừa với số mũ tự nhiên, trong đó có phép chia lũy thừa, phép nhân lũy thừa. Do đó khi gặp bài toán tìm x 10 có chứa phép toán lũy thừa, học sinh sẽ gặp lúng túng, không biết nên giải quyết như thế nào? Với dạng toán có lũy thừa, cần hướng dẫn cho học sinh biết tính lũy thừa trước nếu các lũy thừa không chứa x cần tìm ở cơ số hay số mũ: Tính ra số tự nhiên hoặc sử dụng các phép toán nhân, chia hai lũy thừa cùng số mũ, tùy vào bài toán cụ thể. a) 9x - 22 = 53 :52 9x – 22 = 5 (Thực hiện phép tính lũy thừa trước) 9x = 27 x=3 Trường hợp x cần tìm có ở số mũ hay cơ số, thường sử dụng đến phép so sánh bằng nhau của hai lũy thừa, do đó cần cung cấp thêm cho học sinh kiến thức: hai lũy thừa bằng nhau khi có đủ hai yếu tố: số mũ bằng nhau và cơ số bằng nhau. Từ đó dẫn dắt học sinh làm bài toán sau: b) 4x = 64 Vế trái: Số mũ là x cần tìm 4x = 43 cơ số là 4 luôn không thay đổi x=3 Vế phải: số 64 Muốn hai vế bằng nhau ta cần biến đổi 64 dưới dạng lũy thừa với cơ số là 4. c) 3 x-2 = 27 3 x - 2 = 33 x -2 = 3 x=5 Từ đó hai lũy thừa bằng nhau khi có cùng số mũ. Mở rộng bài toán của câu b Bổ sung kiến thức: xm = xn => m = n; am = bm => a = b và lưu ý cho học sinh cả quan hệ không bằng nhau của 2 lũy thừa cùng cơ số hoặc 2 lũy thừa cùng số mũ. Xác định các yếu tố của hai vế VT: cơ số là ? số mũ là bao nhiêu ? VP: cần biến đổi như thế nào? d) (x – 6) = 9 Từ đó học sinh nhận ra cách làm giống bài toán b. Vẫn sử dụng quan hệ bằng nhau của hai lũy thừa, nhưng x (x–6)2 = 32 cần tìm nằm ở cơ số. Việc phân tích bài toán cũng tương 2 x–6=3 tự như câu b. 11 x=9 d) 5 x + 3 = 28 Để tìm x ở số mũ, cần đưa về dạng so sánh bằng nhau của 5 x = 28 – 3 hai lũy thừa, trước hết ta sử dụng quan hệ phép cộng để 5 x = 25 tìm số hạng 5x. sau đó đưa được về dạng quen thuộc ở câu 5 x = 52 b. x=2 3. Bài tập vận dụng: Tìm số tự nhiên x, biết: a) 3.x + 15 = 45 b) 89 – (73 – x) = 20 b. x =4 45 – 5.(x + 3) = 10 c. x = 4 d) 71 + (26 – 3x) : 5 = 75 d. x =2 e) 3600 : [(5x + 335) : 5] = 50 e. x =5 f) (x - 50) : 45 + 240 = 300 f. x =2750 g) 230-2(x-4) = 128 g. x =5 h) 10 + 2x = 45 : 43 h. x =3 i) 2 x = 32 i. x =5 j) 2x − 1 = 15 j. x =4 k) 2 x+1 = 8 k. x =2 c) l) Đáp số: a. x= 10 l. x= 1 7 4x −2 = 49 . C. Dạng tìm x khi đã học tập hợp số nguyên, phân số 1. Kiến thức cần nắm: - Quy tắc dấu ngoặc: + Khi bỏ dấu ngoặc có dấu “ – “ đằng trước, ta phải đổi dấu tất cả các số hạng trong dấu ngoặc: dấu “ + “ thành dấu “ – “ và dấu “ – “ thành dấu “+” + Khi bỏ dấu ngoặc có dấu “+” đằng trước thì dấu các số hạng trong ngoặc vẫn giữ nguyên. - Quy tắc chuyển vế: Khi chuyển một số hạng từ vế này sang vế kia của một đẳng thức, ta phải đổi dấu số hạng đó: dấu “+” thành dấu “-“ và dấu “-“ thành dấu “+”. 12 - Bội và ước của một số nguyên: Với a, b thuộc Z, b ≠0. nếu có qố nguyên q sao cho a = b.q thì ta nói a chia hết cho b, ta còn nói a là bội của b và b là ước của a. - Giá trị tuyệt đối của một số nguyên: + Giá trị tuyệt đối của số 0 là số 0 + Giá trị tuyệt đối của một số dương là chính nó + Giá trị tuyệt đối của một số nguyên âm là số đối của nó (và là một số nguyên dương) 2. Bài tập vận dụng: Tìm số tự nhiên x, biết: Về cơ bản, khi học sinh được cung cấp thêm kiến thức số nguyên thì với bài toán tìm x dạng quan hệ các phép toán chỉ có sự khác biệt đối với phép toán cộng trừ, vì có thêm quy tắc chuyển vế và quy tắc dấu ngoặc. VD1: Tim số nguyên x, biết: x – 2 = - 6 Nếu học sinh hiểu bài toán là tìm số bị trừ cũng không sai, tuy nhiên khi đã được học số nguyên, cho nên có thể biểu thị các số dưới dạng số nguyên âm và nguyên dương, do đó ta cần phải hướng học sinh áp dụng quy tắc “chuyển vế” để thực hiện quy tắc này cho toàn bộ các bài tìm x chứa phép toán cộng, trừ. - Trình bày lời giải: x – 2 = - 6 x = -6 + 2 x = -4 VD2: Tìm số nguyên x, biết: x – (-4) = 1 Ở bài toán này, cho học sinh trình bày theo hai cách khác nhau: - Ấp dụng quy tắc “dấu ngoặc” sau đó quy tắc “chuyển vế” - Chỉ áp dụng quy tắc chuyển vế. x – (-4) = 1 x+4=1 x=1–4 x – (-4) = 1 x = 1 + (-4) x = -3 x = -3 13 Qua hai cách trình bày, học sinh sẽ nhận ra các cách giải khác nhau, từ đó tự đánh giá các cách làm và khắc sâu được quy tắc chuyển vế và quy tắc dấu ngoặc. Từ đó xây dựng cho học sinh làm bài toán VD3: Tìm số nguyên x, biết: a) 12 + (4 – x) =-5 Với bài toán này, học sinh trình bày nhiều cách khác nhau, giáo viên cần làm rõ, dù bằng cách nào vẫn phải áp dụng được các quy tắc cần thiết để dẫn đến kết quả. - Trình bày lời giải: 12 + 4 – x = -5 -x = -5 – 16 Sử dụng quy tắc dấu ngoặc Sử dụng quy tắc chuyển vế -x = -21 x = 21 4 – x = -5 – 12 Sử dụng tính chất của phép nhân Sử dụng chuyển vế số hạng 12 (không sử 4 – x = -17 dụng quy tắc dấu ngoặc) -x = -17 – 4 -x = -21 Sử dụng tính chất của phép nhân x = 21 4 – x = -5 – 12 Trong cách trình bày này, sử dụng tính 4 – x = -17 chất của đẳng thức nếu a = b thì b = a, 4 + 17 = x khi đó không cần sử dụng tính chất của x = 21 phép nhân, trong nhiều bài toán, khi trình bày ta thường áp dụng tính chất này b) 5 - 2x = - 4 + x -2x –x = -4 – 5 x.(-2-1) = -9 Chuyển vế Sử dụng t/c nhân phân phối với cộng -3.x = -9 x=3 c) (2x – 3) – (3x – 5) = 23 2x – 3 – 3x + 5 = 23 Quy tắc dấu ngoặc 2x - 3x = 23 +3 – 5 Quy tắc chuyển vế 14 -x = 21 x = -21 VD4: Tìm số nguyên x, biết: a) x = 4 Sử dụng kiến thức giá trị tuyệt đối của số nguyên, ta có thể minh họa bằng hình vẽ sau: -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 ? Giá trị của x có thể là bao nhiêu? - Trình bày lời giải: x =4 => x = 4 hoặc x = -4 Mở rộng bài toán, với biểu thức trong ngoặc có chứa phép toán. Áp dụng với đối tượng học sinh khá giói. Ax = m Tổng quát: Ax = m => , lưu ý với m là một số nguyên dương. Ax= -m b) x-3 =4 Học sinh thấy sự thay đổi của biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối. GV đặt câu hỏi, giá trị của x – 3 có thể là bao nhiêu? Từ đó dẫn đến sảy ra hai trường hợp. (coi các biểu thức trong giá trị tuyệt đối đều thỏa mãn đk) - Trình bày lời giải: x-3 =4 Trường hợp 1: x – 3 = 4 Trường hợp 2: x – 3 = -4 x=4+3 x=-4+3 x=7 x = -1 c) x-3 - 5 = 4 Gợi ý cho học sinh thấy sự thay đổi đó là có thêm quan hệ phép trừ, do đó ta chỉ cần sử dụng các quy tắc cần thiết để đưa về dạng câu b - Trình bày lời giải: x-3 - 5 = 4 x-3 =9 Trường hợp 1: x – 3 = 9 Trường hợp 2: x – 3 = -9 15 x=9+3 x=-9+3 x = 12 VD5: Tìm số nguyên x, biết: x = -6 Trong ví dụ này, giới thiệu cho học sinh tìm thừa số biết tích bằng 0, dựa trên nhận xét a.b = 0 khi a = 0 hoặc b = 0 a) 2.(x + 2) = 0 - Trình bày lời giải: 2.(x + 2) = 0 Trong tích có 1 thừa số khác 0, dựa x+2=0 trên nhận xét trên ta có: tích bằng 0 khi x=0–2 thừa số còn lại bằng 0. x = -2 b) x(x + 2) = 0 - Trình bày lời giải: x(x + 2) = 0 Dựa vào nhận xét: a.b = 0 khi a = 0 x = 0 hoặc x + 2 = 0 => x = -2 hoặc b = 0 Cụ thể coi a là: x b là: x + 2 từ đó dẫn đến trình bày bài toán. c) (x - 3)(x +2) = 0 - Trình bày lời giải: (x - 3)(x +2) = 0 * x -3 = 0 => x = 3 Cụ thể coi a là: x -3 b là: x + 2 * x + 2 = 0 => x = -2 VD6: Tìm số nguyên x, y, biết: (x – 3)(y – 5 ) = 7 Trong bài toán cần tìm cả x và y, mức độ tư duy cao hơn, cần cung cấp cho học sinh nhận xét: a.b = m thì m có quan hệ gì với a và b? m là bội của a và b hay a, b là ước của m. Nhưng với bài này ta sử dụng quan hệ nào? Cụ thể, ta phân tích như sau: 7 là số đã biết, còn (x-3) và (y-5) chưa biết. suy ra cần sử dụng quan hệ a, b là ước của m (x-3 và y -5 là ước của 7) - Trình bày lời giải: 16 Vi (x – 3)(y – 5 ) = 7 => x-3 và y-5 là ước của 7 U(7) = {-7; -1; 1; 7} Ta có bảng: x-3 x y-5 y -7 -4 -1 4 -1 2 -7 -2 1 4 7 12 7 10 1 6 VD7: Tìm số nguyên x, biết: a) 3x + 2 chia hết cho x – 1 b) x2 + 2x – 7 chia hết cho x + 2 Với bài toán dạng này, cần sử dụng quan hệ chia hết, vì số chia và số bị chia chưa cụ thể còn chứa x cần tìm, nên cần phải biến đổi số bị chia thành tổng (hiệu) trong đó có chứa số chia và một số nguyên. Từ đó áp dụng tính chất chia hết của một tổng. - Trình bày lời giải: a) điều kiện x ≠ 1 3x + 2 chia hết cho x – 1 khi 3.(x -1) + 5 M(x – 1) nên 5 Mx – 1, ta có: x-1 -5 -1 x -4 0 Vậy x bằng -4; 0; 2; 6 1 2 5 6 b) x2 + 2x – 7 chia hết cho x + 2 điều kiện x ≠ -2 ta có: x2 + 2x – 7 = x.(x+2) – 7 x2 + 2x – 7M(x+2) => x.(x+2) – 7 M(x+2) nên 7 Mx+2 ta có: x+2 -7 -1 x -9 -3 Vậy x bằng -9; -3; -1; 5 1 -1 7 5 Khi học sinh đã thành thạo các dạng toán đối với số tự nhiên, số nguyên. Đã có thể áp dụng được các quy tắc chuyển vế, quy tắc dấu ngoặc, biết phân tích 17 các điều kiện trong bài toán,….. thì việc tìm x khi học về phân số không có gì là khó khăn. Học sinh sẽ được luyện tập các bài toán sau: 6 1 VD8: Tìm x, biết: x+ = 7 5 VD10: Tìm x, biết: 3 4 1 - .x = 8 7 4 VD9: Tìm x, biết: 4 4 .x= 5 7 VD11: Tìm x, biết: VD12: Tìm số nguyên x sao cho phấn số x 1 -3 = + 2 3 4 x có giá trị bằng -4 19 Với dạng câu hỏi này, cần rèn cho học sinh kĩ năng đọc hiểu, đưa dạng toán dùng lời văn sang dạng toán tìm x cơ bản. Bởi thực tế, tuy bài tập nhìn có vẻ đơn giản, nhưng đối tượng trung bình nếu không được rèn kĩ năng đọc hiểu sẽ không biết đưa về dạng tìm x cơ bản. VD13: Tìm tập hợp các số tự nhiên x, biết: 2 1 3 1 1 1 1 ( + − )≤x≤4 ( − ) 3 2 4 3 3 2 6 ? x thỏa mãn điều kiện nào x là số tự nhiên thỏa mãn 2 1 3 1 1 1 1 ( + − ) ≤ x và x ≤ 4 ( − ) 3 2 4 3 3 2 6 ? Muốn biết giới hạn đó là bao nhiêu, cần thực hiện như thế nào? Trước hết phải thực hiện các phép toán 2 1 3 1 1 1 1 ( + − ) và 4 ( − ) 3 2 4 3 3 2 6 Kết quả là hai phân số, cần đưa chúng về dạng có cùng mẫu thức, để tìm ra giới hạn của x 2 2 221 7 2 + + .... + VD14: Tìm x, biết: = ÷-x+4+ 19.21 231 3 11.13 13.15 Dạng toán dành cho HS khá giỏi, trước hết cần cho học sinh nhận thấy ngoài x cần tìm biểu thức còn chứa các thành phần nào khác: Dãy phép cộng phân số có quy luật, các phép cộng số nguyên và phân số. HS sẽ nhận thấy cần giải quyết bài toán cho gọn gàng từng phần. Đến khi về dạng cơ bản, dùng các quan hệ phép toán, tính chất các phép toán, quy tắc chuyển vế để thực hiện tiếp. - Trình bày lời giải: Xét 2 2 2 1 1 1 1 1 1 + + .... + − + − + .... + − = 11.13 13.15 19.21 11 13 13 15 19 21 18 = 1 1 10 − = 11 21 231 Ta có 10 221 7 -x+4+ = 231 231 3 -x+4+ 221 10 7 + = 231 231 3 x= 8 3 VD15: Tìm số nguyên x để biểu thức 7 sau có giá trị là số nguyên: x-1 - Cho HS nhân thấy yêu cầu cần đạt của biểu thức - HS phát hiện 7 x-1 7 là có dạng một phân số x-1 - Phân số là số nguyên khi tử và mẫu có quan hệ gì ? (Khi mẫu là ước của tử, hay tử là bội của mẫu) 3. Bài tập áp dụng kiến thức Bài 1: Tìm số nguyên x, biết: a) 3x + 17 = 2 a) Đ/s: x=-5 b) 6 + 2x = 54 – 4x b) Đ/s x = 8 c) (5 - 6x) – (2x - 51) =8 c) Đ/s x = 6 Bài 2: Tìm số nguyên x, biết x – 1 là ước của -12 Đ/s: x∈{-1;-2;-3;5;-11;0;2;3;4;5;7;13} Bài 3: Tìm số nguyên x, sao cho: a) (x + 27) chia hết cho (x + 4) a)Đ/s:x∈{-5;-3;-27;19} b) x2 + 3x + 7 Mx + 3 b) x∈{-4;-10;-2;4} Bài 4: Tìm số nguyên x, y, sao cho a) (2x -1)(y + 4) = 11 a) (0;-15) ; (1;7) b) (x -1)(3 –y) = -7 Bài 5: Tìm x, biết: b) (1;-7) ; (2;10) 2 -9 a) x- = 7 7 Đ/s: x = -1 19 b) 5 1 - x = .7 12 8 Đ/s: x = c) 18 35 42 . = 55 27 x Đ/s: x =99 1 1 1 d) 3 − x ÷.1 = −1 20 2 4 11 24 Đ/s: x = 4 17 50 Bài 6: Tìm tập hợp các số nguyên x biết: 264 (-3) 2 -5 13 13 4 91 [...]... câu 5 x = 52 b x= 2 3 Bài tập vận dụng: Tìm số tự nhiên x, biết: a) 3 .x + 15 = 45 b) 89 – (73 – x) = 20 b x =4 45 – 5. (x + 3) = 10 c x = 4 d) 71 + ( 26 – 3x) : 5 = 75 d x =2 e) 360 0 : [( 5x + 335) : 5] = 50 e x =5 f) (x - 50) : 45 + 240 = 300 f x =2750 g) 230-2 (x- 4) = 128 g x =5 h) 10 + 2x = 45 : 43 h x =3 i) 2 x = 32 i x =5 j) 2x − 1 = 15 j x =4 k) 2 x+ 1 = 8 k x =2 c) l) Đáp số: a x= 10 l x= 1 7 4x −2... kiện trong bài toán, … thì việc tìm x khi học về phân số không có gì là khó khăn Học sinh sẽ được luyện tập các bài toán sau: 6 1 VD8: Tìm x, biết: x+ = 7 5 VD10: Tìm x, biết: 3 4 1 - x = 8 7 4 VD9: Tìm x, biết: 4 4 x= 5 7 VD11: Tìm x, biết: VD12: Tìm số nguyên x sao cho phấn số x 1 -3 = + 2 3 4 x có giá trị bằng -4 19 Với dạng câu hỏi này, cần rèn cho học sinh kĩ năng đọc hiểu, đưa dạng toán dùng lời... 0 => x = -2 hoặc b = 0 Cụ thể coi a là: x b là: x + 2 từ đó dẫn đến trình bày bài toán c) (x - 3) (x +2) = 0 - Trình bày lời giải: (x - 3) (x +2) = 0 * x -3 = 0 => x = 3 Cụ thể coi a là: x -3 b là: x + 2 * x + 2 = 0 => x = -2 VD6: Tìm số nguyên x, y, biết: (x – 3)(y – 5 ) = 7 Trong bài toán cần tìm cả x và y, mức độ tư duy cao hơn, cần cung cấp cho học sinh nhận x t: a.b = m thì m có quan hệ gì với a... cho x – 1 khi 3. (x -1) + 5 M (x – 1) nên 5 Mx – 1, ta có: x- 1 -5 -1 x -4 0 Vậy x bằng -4; 0; 2; 6 1 2 5 6 b) x2 + 2x – 7 chia hết cho x + 2 điều kiện x ≠ -2 ta có: x2 + 2x – 7 = x. (x+ 2) – 7 x2 + 2x – 7M (x+ 2) => x. (x+ 2) – 7 M (x+ 2) nên 7 Mx+2 ta có: x+ 2 -7 -1 x -9 -3 Vậy x bằng -9; -3; -1; 5 1 -1 7 5 Khi học sinh đã thành thạo các dạng toán đối với số tự nhiên, số nguyên Đã có thể áp dụng được các quy... Đ/s: x {-1;-2;-3;5;-11;0;2;3;4;5;7;13} Bài 3: Tìm số nguyên x, sao cho: a) (x + 27) chia hết cho (x + 4) a)Đ/s :x {-5;-3;-27;19} b) x2 + 3x + 7 Mx + 3 b) x {-4;-10;-2;4} Bài 4: Tìm số nguyên x, y, sao cho a) ( 2x -1)(y + 4) = 11 a) (0;-15) ; (1;7) b) (x -1)(3 –y) = -7 Bài 5: Tìm x, biết: b) (1;-7) ; (2;10) 2 -9 a) x- = 7 7 Đ/s: x = -1 19 b) 5 1 - x = 7 12 8 Đ/s: x = c) 18 35 42 = 55 27 x Đ/s: x =99... phải hướng học sinh áp dụng quy tắc “chuyển vế” để thực hiện quy tắc này cho toàn bộ các bài tìm x chứa phép toán cộng, trừ - Trình bày lời giải: x – 2 = - 6 x = -6 + 2 x = -4 VD2: Tìm số nguyên x, biết: x – (-4) = 1 Ở bài toán này, cho học sinh trình bày theo hai cách khác nhau: - Ấp dụng quy tắc “dấu ngoặc” sau đó quy tắc “chuyển vế” - Chỉ áp dụng quy tắc chuyển vế x – (-4) = 1 x+ 4=1 x= 1–4 x – (-4)... Trình bày lời giải: x- 3 =4 Trường hợp 1: x – 3 = 4 Trường hợp 2: x – 3 = -4 x= 4+3 x= -4+3 x= 7 x = -1 c) x- 3 - 5 = 4 Gợi ý cho học sinh thấy sự thay đổi đó là có thêm quan hệ phép trừ, do đó ta chỉ cần sử dụng các quy tắc cần thiết để đưa về dạng câu b - Trình bày lời giải: x- 3 - 5 = 4 x- 3 =9 Trường hợp 1: x – 3 = 9 Trường hợp 2: x – 3 = -9 15 x= 9+3 x= -9+3 x = 12 VD5: Tìm số nguyên x, biết: x = -6 Trong ví... 17 = x khi đó không cần sử dụng tính chất của x = 21 phép nhân, trong nhiều bài toán, khi trình bày ta thường áp dụng tính chất này b) 5 - 2x = - 4 + x - 2x x = -4 – 5 x. (-2-1) = -9 Chuyển vế Sử dụng t/c nhân phân phối với cộng -3 .x = -9 x= 3 c) ( 2x – 3) – ( 3x – 5) = 23 2x – 3 – 3x + 5 = 23 Quy tắc dấu ngoặc 2x - 3x = 23 +3 – 5 Quy tắc chuyển vế 14 -x = 21 x = -21 VD4: Tìm số nguyên x, biết: a) x = 4... nguyên: x- 1 - Cho HS nhân thấy yêu cầu cần đạt của biểu thức - HS phát hiện 7 x- 1 7 là có dạng một phân số x- 1 - Phân số là số nguyên khi tử và mẫu có quan hệ gì ? (Khi mẫu là ước của tử, hay tử là bội của mẫu) 3 Bài tập áp dụng kiến thức Bài 1: Tìm số nguyên x, biết: a) 3x + 17 = 2 a) Đ/s: x= -5 b) 6 + 2x = 54 – 4x b) Đ/s x = 8 c) (5 - 6x) – ( 2x - 51) =8 c) Đ/s x = 6 Bài 2: Tìm số nguyên x, biết x – 1... thế nào? d) (x – 6) = 9 Từ đó học sinh nhận ra cách làm giống bài toán b Vẫn sử dụng quan hệ bằng nhau của hai lũy thừa, nhưng x (x 6) 2 = 32 cần tìm nằm ở cơ số Việc phân tích bài toán cũng tương 2 x 6= 3 tự như câu b 11 x= 9 d) 5 x + 3 = 28 Để tìm x ở số mũ, cần đưa về dạng so sánh bằng nhau của 5 x = 28 – 3 hai lũy thừa, trước hết ta sử dụng quan hệ phép cộng để 5 x = 25 tìm số hạng 5x sau đó đưa được ... biết: x M6 ; x M9 ; x M10 70 < x < 130 Đ/s: x = 90 Bài 3: Tìm số tự nhiên x, biết: 121Mx ; 77Mx x > Đ/s: x = 11 Bài 4: Tìm số tự nhiên x, biết rằng: x M12, xM28 170 < x < 300 Đ/s: x= 252 Bài 5: Tìm. .. thức học để vận dụng vào toán định hướng cho việc giải toán Dạng toán tìm x không học áp dụng học lớp 6, mà có vai trò quan trọng suốt trình học toán THCS Do học tốt toán tìm x chương trình lớp học. .. điều kiện toán, … việc tìm x học phân số khó khăn Học sinh luyện tập toán sau: VD8: Tìm x, biết: x+ = VD10: Tìm x, biết: - x = VD9: Tìm x, biết: 4 x= VD11: Tìm x, biết: VD12: Tìm số nguyên x cho phấn