PHƯƠNG TRÌNH HÀM TRÊN LỚP HÀM KHẢ VI Trường THPT chuyên Biên Hòa I.Kiến thức cần nhớ 1.Định nghĩa đạo hàm -Cho hàm số f(x) xác định trên (a,b) và x0 là một điểm thuộc khoảng đó. Khi đó, đạo hàm của hàm số tại x0 là f ' ( x0 ) = lim x → x0 f ( x ) − f ( x0 ) x − x0 -Hàm số f(x) xác định trên khoảng K . Khi đó f(x) có đạo hàm trên K nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm x thuộc K - Đạo hàm bên phải của hàm số f(x) xác định trên nửa khoảng [ x0 , b ) kí hiệu là f ' ( x0+ ) được xác định bởi f ' ( x0+ ) = lim+ x→ x 0 f ( x ) − f ( x0 ) x − x0 - Đạo hàm bên tr ái của hàm số f(x) xác định trên nửa khoảng ( a, x0 ] kí hiệu là ( ) ( ) f ' x0− được xác định bởi f ' x0− = lim− x→ x - Hàm số f(x) có đạo hàm tại x0 ⇔∃ o f ( x ) − f ( x0 ) x − x0 f ' ( x0+ ) , f ' ( x0− ) và f ' ( x0+ ) = f ' ( x0− ) = f ' ( x0 ) 2. Hàm số f(x) liên tục trên [a,b] , có đạ hàm trên (a,b). Khi đó f ' ( x ) = 0∀x ∈ ( a, b ) ⇔ f ( x ) = c∀x ∈ [ a, b] (c: hằng số) 3. Hàm số f(x) liên tục trên [a,b] , có đạ hàm trên (a,b). Khi đó f ' ( x ) = k∀x ∈ ( a, b ) ⇔ f ( x ) = kx + c∀x ∈ [ a, b] (k, c: hằng số) x 4. f ( x ) = g ( x)∀x ∈ [ a, b] ⇔ f ( x) = ∫ g (t )dt + f (a ) ' với g(x) là hàm xác định a và liên tục trên [a,b] II. Một số kĩ năng giải phương trình hàm trên lớp hàm khả vi. 1.Sử dụng các kết quả sau : +/ Hàm số f(x) liên tục trên [a,b] , có đạo hàm trên (a,b). Khi đó f ' ( x ) = 0∀x ∈ ( a, b ) ⇔ f ( x ) = c∀x ∈ [ a, b] (c: hằng số) +/ Hàm số f(x) liên tục trên [a,b] , có đạ hàm trên (a,b). Khi đó f ' ( x ) = k∀x ∈ ( a, b ) ⇔ f ( x ) = kx + c∀x ∈ [ a, b] (k, c: hằng số) x +/ f ( x ) = g ( x)∀x ∈ [ a, b] ⇔ f ( x) = ∫ g (t )dt + f (a ) ' với g(x) là hàm xác a định và liên tục trên [a,b] VD1 : Tìm tất cả các hàm f,g :R+ f ' ( x) = − g ( x) x → R có đạo hàm trên R+ thỏa mãn f ( x) ; g ' ( x ) = − x ∀x ∈ R + Giải : Ta có [ x.( f(x) + g(x) ) ]’ = x( f’(x) + g’(x))+f(x) + g(x) = x( − g ( x) f ( x) − )+f(x) x x ⇒ x[f(x) + g(x) ] = a ⇒ f(x) + g(x) = x a ∀x ∀x + g(x) = 0 ∀x > 0 >0 ( a : hằng số) >0 (1) ' Tương tự , có  f ( x) − g ( x)    = 0 ∀ x x >0 ⇒ f(x) –g(x) =bx ∀x >0 (b: hằng số) (2) Từ (1)&(2) ⇒ f ( x) = 1a   + bx  2 x    ; g ( x) = 2  x − bx  ∀ x >0 ( a ,b là hằng số ∈ 1 a   R) VD2 : Tìm tất cả các hàm f :R → R có đạo hàm cấp 2 trên R thỏa mãn f(x) = f’’(x) ∀x ∈ R Giải : Ta có f(x) = f’’(x) ⇔ Đặt g(x) = f(x)- f’(x) ⇒ f(x)- f’(x) + f’(x)- f’’(x) = 0 g(x) + g’(x) = 0 ⇔( ⇔ g(x) ex)’ = 0 ⇔ g(x) ex+ g’(x) ex = 0 g(x) ex = c ( c : Hằng số) f(x)- f’(x) =c.e-x ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ f(x)e-x - f’(x).e-x =c.e-2x (f(x)e-x)’ = c.e-2x c f(x)e-x = - 2 e-2x +b ⇔ f(x) = a.e-x +bex ( a,b: hằng số) ∀x ∈ R Thử lại ta thấy f(x) thỏa mãn.Vậy f(x) = a.e-x +bex ∀x ∈ R VD3: Tìm tất cả các hàm f :R → R có đạo hàm trên R thỏa mãn f’(x)sinx – f(x)cosx = sin2x ∀x ∈ R (1) Giải: Xét x ∈ ( kπ , (k + 1)π ) ' f ( x)  f ( x)  = x + Ck Khi đó (1) ⇔   =1⇒ sin x sin x   ⇔ f ( x ) = ( x + C k ) sin x ∀x ∈ ( kπ , (k + 1)π ) Đặt g(x) = Cksinx = f(x)-x.sinx Vì f(x) có đạo hàm trên trên R nên g(x) cũng có đạo hàm trên R ⇒ k k g ' ( kπ + ) = g ' ( kπ − ) ⇒ ( − 1) C k = ( − 1) C k −1 ∀k ⇒ Ck = Ck-1 ⇒ f ( x) = ( a + x ) sin x ∀x ∈ R ∀k ⇒ Đặt Ck =a ∀k ( a: hằng số) Thử lại ta thấy f(x) thỏa mãn.Vậy f ( x) = ( a + x ) sin x ∀x ∈ R 2.Sử dụng định nghĩa đạo hàm VD1: Tìm tất cả các hàm f :R → R có đạo hàm trên R thỏa mãn f(x+y)=f(x) +f(y) +2xy ∀x, y ∈ R (1) Giải: +/ Cho x = y = 0 ⇒ f(0) = 0 +/ Với y ≠ 0 .Với mỗi x ∈ R ta có f ( x + y ) − f ( x) f ( y ) − f (0) = + 2 x (2) f(x+y)-f(x)=f(y) +2xy ⇔ y y Cho y → 0 khi đó (2) ⇒ f ' ( x ) = f ' ( 0) + 2 x = 2 x + a ( với a = f’(0)) ⇒ f ( x) = x 2 + ax + b Vì f(0) = 0 nên b=0 . ⇒ f ( x) = x 2 + ax ∀x ∈ R , thử lại hàm số này thỏa mãn Vậy f ( x) = x 2 + ax ∀x ∈ R VD2 : Tìm tất cả các hàm f :R f ( x + y) = → R có đạo hàm trên R thỏa mãn f ( x) + f ( y ) 1 − f ( x) f ( y ) ∀x, y ∈ R (1) 2 Giải : cho y=0 ⇒ f ( x) = 1 − f ( x) f (0) ⇔ f (0)[1 + f ( x)] = 0 ⇔ f (0) = 0 f ( x) + f (0) f ( x + y) − f ( x) f ( y) 1 + f 2 ( x) 1 + f 2 ( x) ⇔ ⇒ f ( x + y ) − f ( x) = f ( y ) = 1 − f ( x) f ( y ) y y 1 − f ( x) f ( y ) Từ (1) (2) Cho y ⇒ lim →0 f ( y) = f ' (0) = a := const (Vì f(0) = 0) y y →0 t Khi đó (2) ⇒ ’ 2 f (x) = a( 1+f (x)) ⇔ t f ' ( x) f ' ( x) = a ⇔∫ dx = ∫ a.dx = ax + b 2 1 + f 2 ( x) 0 1 + f ( x) 0 ⇒ f ( x ) = tan(ax + b) Thử lại ⇒ b = 0. Vậy f(x) = tan(ax) ∀x ∈ R , a là hằng số bất kì (*) Chú ý: Khi hàm số cần tìm chưa có đạo hàm thì ta phải chứng minh nó có đạo hàm trên tập tương ứng. VD3: Tìm tất cả các hàm f :R → 2 3 R thỏa mãn f ( x) − f ( y ) ≤ x − y (1) 2 Giải: Với mỗi x∈ R , từ (1) ta có f ( x) − f ( y ) ≤ x− y x− y ∀x , y ∈ R ⇔0≤ Cho y → x ⇒ f ( x) − f ( y ) ≤ x− y x− y f ( x) − f ( y ) → 0 ⇒ f ' ( x) = 0 ⇒ f ( x) = a := const ∀x ∈ R x− y Thử lại thấy hàm số này thỏa mãn. Vậy f(x) = a ∀x ∈ R VD4: Tìm tất cả các hàm f,g: R → R, thỏa mãn f ( y ) − f ( x) − g ( x)( y − x) ≤ M y − x m+ 2 (1) ∀x, y ∈ R ( M ,m là 2 số dương cho trước) Giải: +/ Thay y = x và x= y ta có f ( x ) − f ( y ) − g ( y )( x − y ) ≤ M x − y m+ 2 +/ Từ (1) và (2) ta có ( g ( x) − g ( y ) ) ( x − y ) = f ( y ) − f ( x) − g ( x)( y − x) + f ( x) − f ( y ) − g ( y )( x − y ) ≤ ≤ ⇒ f ( y ) − f ( x) − g ( x)( y − x) + f ( x ) − f ( y ) − g ( y )( x − y ) 2M x − y 2+ m g ( y ) − g ( x) 1+ m ≤ 2M y − x y−x Cố định x, cho y → x ⇒ ⇒ g ( y ) − g ( x) → 0 ⇒ g ' ( x) = 0 y−x g(x) = a :=const ∀x ∈ R +/ Thay g(x) = a vào (1) ta có f ( y ) − f ( x) − a ( y − x) ≤ M y − x ⇔ Cố định x, cho y → x ⇒ f ( y ) − f ( x) 1+ m −a ≤ M y−x y−x f ( y ) − f ( x) −a →0 y−x ⇒ f ' ( x) = a ⇒ f(x) = ax +b ( b : hằng số) Thử lại hai hàm số f(x) = ax + b và g(x) = a thấy thỏa mãn . Vậy f(x) = ax + b và g(x) = a ∀x ∈ R m+2 (2) VD5: Tìm tất cả các hàm f :R → R thỏa mãn i) f ( x + y ) ≤ f ( x) + f ( y ) ∀x, y ∈ R (1) ii) lim x →0 f ( x) =1 x (2) Giải: Từ (1) ta có f(x) = f((x+y)+(-y)) ≤ f(x+y) + f(-y) ⇒ − f (− y ) ≤ f ( x + y ) − f ( x) ≤ f ( y ) f (− y ) f ( x + y ) − f ( y ) f ( y ) ⇒ ≤ ≤ −y y y Cho ⇒ y → 0+ ⇒ f (− y ) →1 −y f ( x + y) − f ( y) y y →0 + lim và với y > 0 f ( y) → 1 ( do (2)) y = 1 ⇒ ∃f ' ( y + ) = 1 + Tương tự xét y < 0 ⇒ ∃f ' ( y − ) = 1 Do đó ∃f ' ( y ) = 1 ∀y ∈ R ⇒ f(y) = y + c ( c: hằng số) Thử lại ta có c = 0. Vậy f(x) = x ∀x ∈ R 3.Sử dụng phưong pháp lấy đạo hàm theo từng biến VD1 : Tìm tất cả các hàm f :R → R có đạo hàm trên R thỏa mãn f(x+y) = f(x) +f(y) ∀x, y ∈ R Giải : Lấy đạo hàm hai vế lần lượt theo biến x , y ta có f’(x+y) = f’(x) ∀x, y ∈ R f’(x+y) = f’(y) ∀x, y ∈ R ⇒ f’(x) = f’(y) ∀x, y ∈ R ⇒ f’(x) = a ∀x ∈ R ( a : hằng số) ⇒ Thử lại ⇒ f(x) = ax +b b = 0 . Vậy f(x) = ax ∀x ∈ R VD2: : Tìm tất cả các hàm f :R → R có đạo hàm trên R thỏa mãn f(x+y) = f(x) .f(y) ∀x, y ∈ R (1) Giải : +/ Dễ thấy f(x) = 0 là một nghiệm +/ Nếu ∃x0 ∈ R, f ( x0 ) ≠ 0 Ta có f(x0) = f(x + (x0-x)) = f(x).f(x0-x) ≠ 0∀x ∈ R ⇒ f(x) ≠ 0∀x ∈ R Mặt khác từ (1) ta có   x  f ( x) =  f     2  2 >0 ∀x ∈ R Lấy đạo hàm hai vế (1) lần lượt theo biến x , y ta có f’(x+y) = f’(x).f(y) ∀x, y ∈ R f’(x+y) = f(x).f’(y) ∀x, y ∈ R ⇒ f’(x).f(y)= ⇒ f(x).f’(y) ∀x, y ∈ R f ' ( x) f ' ( y ) f ' ( x) ∀ x , y ∈ R ⇒ = = a:= const f ( x) f ( y) f ( x) ⇒ [ln f ( x)]' = a ⇒ f ( x) = e ax +b ( b: hằng số) ∀x ∈ R Thử lại ⇒ b = 0. Vậy f(x) = 0 hoặc f ( x) = e ax ∀x ∈ R VD3: Tìm tất cả các hàm f : R+* → R có đạo hàm trên R+* thỏa mãn f(xy) = f(x) +f(y) ∀x, y ∈ R+* (1) Giải: Lấy đạo hàm hai vế (1) lần lượt theo biến x , y ta có yf’(xy) = f’(x) ∀x, y ∈ R+* xf’(xy) = f’(y) ∀x, y ∈ R+* ⇒ x. f ' ( x) = y. f ' ( y ) ∀x, y ∈ R+* ⇒ x. f ' ( x) = a :=const ∀x ∈ R+* ⇒ f ( x) = a. ln x + b ∀x ∈ R+* Thử lại ⇒ (b:= const) b = 0. Vậy f ( x) = a. ln x ∀x ∈ R+* VD4 : Tìm tất cả các hàm f :R → R có đạo hàm trên R thỏa mãn f(x+y) = f(x) + f(y) +2xy ∀x, y ∈ R (1) Giải: +/ Cho x = y = 0 ⇒ f(0) = 0 +/ Lấy đạo hàm hai vế (1) lần lượt theo biến x , y ta có f’(x+y) = f’(x) +2y ∀x, y ∈ R f’(x+y) = f’(y) +2x ∀x, y ∈ R ⇒ f’(x) -2x = f’(y) -2y ∀x, y ∈ R ⇒ Thử lại ⇒ ⇒ f’(x) -2x = a ∀x ∈ R ( a : hằng số) f(x) = x2 + ax +b b = 0 . Vậy f(x) = x2 + ax ∀x ∈ R VD5 : Tìm tất cả các hàm f :R → R có đạo hàm trên R thỏa mãn  x + y  f ( y ) − f ( x) f ' ∀x, y ∈ R; x ≠ y (1) = y−x  2  Giải: +/ Trong (1) thay x bởi x-y và y bởi x +y ta có f ' ( x) = f ( x + y) − f ( x − y) ∀x, y ∈ R; y ≠ 0 (2) 2y f ' ( x + y) − f ' ( x − y) ⇒ f ( x) = ∀x, y ∈ R; y ≠ 0 2y '' ' Do (2) nên f ( x + y ) = f ( x + 2 y ) − f ( x) f ( x) − f ( x − y ) f ' ( x − y) = và 2y 2y ⇒ f '' ( x) = f ( x + 2 y) − 2 f ( x) + f ( x − 2 y ) ∀x, y ∈ R; y ≠ 0 4y2 ⇒ f ''' ( x) = f ' ( x + 2 y ) − 2 f ' ( x) + f ' ( x − 2 y ) 4y2 = 1  f ( x + 3 y) − f ( x + y) f ( x + y) − f ( x − y) f ( x − y) − f ( x − 3 y)  −2 +  2  2y 2y 2y 4y   1 = 8 y 3 ( f ( x + 3 y ) − 3 f ( x + y) + 3 f ( x − y ) − f ( x − 3 y ) ∀x, y ∈ R; y ≠ 0 (3) x+ y   2  ' Mặt khác theo (1) ta lại có f ( y ) − f ( x) = ( y − x) f  ⇒ và Thay vào (3) f ( x + 3 y ) − f ( x − 3 y ) = 6 yf ' ( x ) f ( x + y ) − f ( x − y ) = 2 yf ' ( x ) ⇒ f’’’(x) = 0 ∀x ∈ R ⇒ f’’(x) = a ∀x ∈ R f’(x) = ax+b ∀x ∈ R ⇒ ⇒ f(x) = 1 2 ax + bx + c ∀x ∈ R 2 Thử lại thỏa mãn . vậy f(x) = 1 2 ax + bx + c ∀x ∈ R 2 III. Bài tập rèn luyện Bài 1 . Cho h > 0 . Tìm tất cả các hàm f :R → R thỏa mãn f ( x + h) − f ( x − h) < h 2 ∀x ∈ R Bài 2. Tìm hàm f(x) liên tục và có đạo hàm cấp 2 trên R thỏa mãn f(x+y) +f(x-y) = 2 f(x) f(y) ∀x, y ∈ R Bài 3. Cho n là một số tụ nhiên . Tìm hàm f(x) không âm , có đạo hàm trên R thỏa mãn  xn + yn f  2  Bài 4. a/Cho f :R  =   → f 2 ( x) + f 2 ( y ) 2 R có đạo hàm đến cấp 2 và thỏa mãn f’’(x) + k2f(x) = 0 ∀x ∈ R , k>0 CMR: f(x) = Acos kx + B sinkx ∀x ∈ R , k>0 ,( A,B: hằng số) b/ Cho f :R → R có đạo hàm đến cấp 2 và thỏa mãn f’’(x) - k2f(x) = 0 ∀x ∈ R , k>0 CMR: f(x) = Aekx+ B e-kx ∀x ∈ R , k>0 ,( A,B: hằng số) Bài 5. Cho α >0 . Tìm tất cả các hàm f :R → R có đạo hàm trên R thỏa mãn f ( x) − f ( y ) = f ' ( α x + (1 − α ) y ) ∀ x , y ∈ R x− y Bài 6. Tìm f :R → R có đạo hàm đến cấp 2 và thỏa mãn f(x) = - f’’(x) ∀x ∈ R Bài 7.Cho hàm f(x) xác định và có đạo hàm đến cấp 2 trên R thỏa mãn f ' ( x ) ≤ 1 ∀x ∈ R CMR: ∃x ∈ R sao cho f’’(x) = 0 Bài 8: Cho 2 hàm f(x) và g(x) khác hằng số và có đạo hàm trên R thỏa mãn f’(0) =0 và i) f(x+y)=f(x)f(y)-g(x)g(y) ∀x, y ∈ R ii) g(x+y)=g(x)f(y)+f(x)g(y) ∀x, y ∈ R CMR : f2(x) + g2(x) = 1 ∀x ∈ R  ... (t )dt + f (a ) ' với g(x) hàm xác định a liên tục [a,b] II Một số kĩ giải phương trình hàm lớp hàm khả vi 1.Sử dụng kết sau : +/ Hàm số f(x) liên tục [a,b] , có đạo hàm (a,b) Khi f ' ( x ) =... đạo hàm đến cấp thỏa mãn f(x) = - f’’(x) ∀x ∈ R Bài 7.Cho hàm f(x) xác định có đạo hàm đến cấp R thỏa mãn f ' ( x ) ≤ ∀x ∈ R CMR: ∃x ∈ R cho f’’(x) = Bài 8: Cho hàm f(x) g(x) khác số có đạo hàm. .. = x ∀x ∈ R 3.Sử dụng phưong pháp lấy đạo hàm theo biến VD1 : Tìm tất hàm f :R → R có đạo hàm R thỏa mãn f(x+y) = f(x) +f(y) ∀x, y ∈ R Giải : Lấy đạo hàm hai vế theo biến x , y ta có f’(x+y) =