MỤCLỤC MỤCLỤC .............................................................................................................. 4 DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT ........................................................................ 6 MỞ ĐẦU ............................................................................................................... 7 CHƢƠNG 1 ..........................................................................................................10 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN ....................................................................10 1.1.Một số khái niệm liên quan đến đề tài .........................................................10 1.1.1.Tư duy ..................................................................................................10 1.1.2.Khái niệm tư duy sáng tạo ....................................................................10 1.2. Phƣơng hƣớng rèn luyện tƣ duy sáng tạo cho học sinh ...............................13 1.2.1.Chú trọng bồi dưỡng từng yếu tố cụ thể của TDST ...............................13 1.2.2. Bồi dưỡng TDSTcần kết hợp hữu cơ với các hoạt động trí tuệ khác ....15 1.2.3. Bồi dưỡng TDST cho học sinh cần đặt trọng tâm vào việc phát hiện vấn đề mới, khơi dậy những ý tưởng mới .............................................................16 1.2.4. Bồi dưỡng TDST là một quá trình lâu dài cần tiến hành trong tất cả các khâu của quá trình dạy học ...........................................................................17 1.3. Một số cách dạy học nhằm phát triển tƣ duy sáng tạo cho học sinh ............17 1.3.1. Phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề ..........................17 1.3.2. Dạy học khám phá ...............................................................................18 1.3.3. Dạy học hợp tác ..................................................................................18 1.4. Dạy học giải bài tập toán ở trƣờng trung học phổ thông .........................18 1.4.2. Phương pháp giải bài tập toán học .....................................................20 1.5. Dạy học nội dung giải phƣơng trình, bất phƣơng trình ở trƣờng THPT ......24 1.5.1. Vị trí, nội dung phần phương trình, bất phương trình trong chương trình toán THPT ............................................................................................24 1.5.2. Thực trạng của việc học phương trình, bất phương trình ở trường phổ thông hiện nay ...............................................................................................24 1.5.3. Thực trạng của việc dạy phương trình, bất phương trình ở trường THPT trong việc phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh ..............................25 CHƢƠNG 2 .........................................................................................................27 PHÁT TRIỂN TƢ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC GIẢI PHƢƠNG TRÌNH, BẤT PHƢƠNG TRÌNH. .......................................................27 2.1. Phát triển tƣ duy sáng tạo cho học sinh khi giảng dạy lý thuyết ..................27 2.2. Rèn luyện và phát triển một số yếu tố của tƣ duy sáng tạo cho học sinh thông qua các dạng bài tập giải phƣơng trình, bất phƣơng trình ........................37 2.2.1. Dạng bài tập có nhiều cách giải ..........................................................37 2.2.2. Dạng bài tập rèn luyện suy nghĩ không dập khuôn, máy móc ..................48 4 2.2.3. Bài tập rèn luyện khả năng tìm ra những liên tưởng và những kết hợp mới ................................................................................................................55 2.2.4. Dạng bài tập rèn năng lực tư duy như: Tương tự, khái quát hóa, đặc biệt hóa. ........................................................................................................61 2.2.5. Bài tập tìm sai lầm trong lời giải của bài toán. ...................................66 CHƢƠNG 3 ..........................................................................................................74 THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM ................................................................................74 3.1.Mục đích, nội dung thực nghiệm sƣ phạm ...................................................74 3.1.1 .Mục đích của thực nghiệm sư phạm ....................................................74 3.1.2.Nội dung của thực nghiệm sư phạm......................................................74 3.2. Tổ chức thực nghiệm ..................................................................................74 3.2.1. Đối tượng và địa bàn thực nghiệm ......................................................74 3.2.2.Kế hoạch thực nghiệm ..........................................................................75 3.2.3. Giáo án thực nghiệm sư phạm .............................................................75 KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ......................................................................103 TÀI LIỆU THAM KHẢO ...................................................................................105 5 DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT Viết tắt Viết đầy đủ TDST Tƣ duy sáng tạo GV Giáo viên HS Học sinh THPT Trung học phổ thông Tr Trang BBT Bảng biến thiên 6 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Trong mọi hoàn cảnh và mọi thời đại thì phát triển giáo dục và đào tạo là động lực quan trọng để thúc đẩy đất nƣớc, phát huy nguồn lực con ngƣời. Trong Nghị quyết hội nghị Trung ƣơng IV của Ban chấp hành Trung ƣơng Đảng khóa VIII đã chỉ ra rằng: “Mục tiêu giáo dục đào tạo là đào tạo những con người lao động tự chủ, tích cực, có năng lực giải quyết vấn đề, góp phần thực hiện mục tiêu lớn của đất nước là :dân giàu, nước mạnh, xã hội công bằng, dân chủ, văn minh”. Và trong luật giáo dục (1998), điều 24 đã quy định: “Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của học sinh, phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học...”. Nhƣ vậy có thể thấy rằng trong các mục tiêu giáo dục thì mục tiêu phát triển trí tuệ cho học sinh đƣợc đặt lên hàng đầu.Tuy nhiên dạy học trong các trƣờng phổ thông hiện nay đang đứng trƣớc thực trạng: nội dung dạy học nặng nề về cung cấp kiến thức, phƣơng pháp dạy học chủ yếu hƣớng đến sử dụng, khai thác trí nhớ và khả năng tƣ duy tái tạo của học sinh. Có thể là do chịu tác động nặng nề của mục tiêu thi cử: học để thi đỗ, dạy để có thành tích thi cử tốt nhất. Thực trạng của việc dạy môn Toán ở trƣờng Trung học phổ thông cũng không tránh khỏi những điều đáng lo đó. Để khắc phục điều đó, với lƣợng kiến thức và thời gian phân phối cho môn Toán đòi hỏi mỗi giáo viên phải có một phƣơng pháp giảng dạy linh hoạt, biện pháp tích cực. Nhƣ vậy thì mới có thể chuyển tải tối đa lƣợng kiến thức đến học sinh, mới phát huy đƣợc tƣ duy sáng tạo cho học sinh, để đáp ứng không chỉ học tốt môn 7 Toán mà còn học tốt các môn học khác cũng nhƣ có thể ứng dụng linh hoạt những kiến thức đã học vào yêu cầu cuộc sống. Phƣơng trình, bất phƣơng trình là một nội dung quan trọng trong chƣơng trình toán Đại số và Giải tích ở trƣờng THPT. Để giải đƣợc nhiều bài toán phƣơng trình, bất phƣơng trình đòi hỏi học sinh phải biết kết hợp sáng tạo các kiến thức đã học có liên quan trong suốt chƣơng trình THPT. Đây cũng là phần kiến thức có vai trò quan trọng trong việc phát triển tƣ duy sáng tạo cho học sinh. Với những lí do nêu trên, với mong muốn góp phần phát triển tƣ duy sáng tạo cho học sinh, tôi đã chọn đề tài: “Phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh trong dạy học phương trình, bất phương trình ở trường trung học phổ thông ”. 2. Mục đích nghiên cứu Phát triển tƣ duy sáng tạo cho học sinh trong dạy học phƣơng trình, bất phƣơng trình ở trƣờng trung học phổ thông. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu lí luận về tƣ duy, tƣ duy sáng tạo. - Thiết kế các bài toán giải phƣơng trình, bất phƣơng trình nhằm rèn luyện và phát triển tƣ duy cho học sinh. - Thực nghiệm sƣ phạm để kiểm nghiệm tính khả thi và kết quả của đề tài trong dạy học. 4. Phạm vi nghiên cứu - Nghiên cứu quá trình dạy học giải phƣơng trình, bất phƣơng trình ở trƣờng THPT. 5. Giả thuyết khoa học Nếu vận dụng linh hoạt các biện pháp rèn luyện và phát triển tƣ duy sáng tạo cho học sinh trong dạy học phƣơng trình, bất phƣơng trình thì sẽ phát huy đƣợc khả năng tƣ duy sáng tạo cho học sinh. 6. Phƣơng pháp nghiên cứu 8 - Phƣơng pháp nghiên cứu lý luận. - Phƣơng pháp điều tra, quan sát. - Phƣơng pháp thực nghiệm sƣ phạm. 7. Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận, khuyến nghị, danh mục tài liệu tham khảo luận văn dự kiến đƣợc trình bày trong 3 chƣơng: - Chƣơng 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn. - Chƣơng 2:Phát triển tƣ duy sáng tạo cho học sinh trong dạy học giải phƣơng trình, bất phƣơng trình ở trƣờng trung học phổ thông. - Chƣơng 3. Thực nghiệm sƣ phạm. 9 CHƢƠNG 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1.Một số khái niệm liên quan đến đề tài 1.1.1.Tư duy Tƣ duy là một quá trình tâm lí phản ánh những thuộc tính bản chất, những mối liên hệ và quan hệ có tính quy luật sự vật, hiện tƣợng trong hiện thực khách quan, mà trƣớc đó ta chƣa biết. Tƣ duy không phải là sự ghi nhớ mặc dù nó có thể giúp cho sự hoàn thiện trí nhớ. Tƣ duy là một hình thức hoạt động của hệ thần kinh thể hiện qua việc tạo ra các liên kết giữa các phần tử đã ghi nhớ, đƣợc chọn lọc và kích thích chúng hoạt động để thể hiện sự nhận thức về thế giới xung quanh, định hƣớng cho hành vi phù hợp với môi trƣờng sống. Tƣ duy mang tính khái quát, tính gián tiếp, tính trừu tƣợng. Sản phẩm của tƣ duy là những khái niệm, phán đoán, suy luận để diễn đạt bằng những từ, ngữ, câu, kí hiệu…… 1.1.2.Khái niệm tư duy sáng tạo 1.1.2.1. Sáng tạo Sáng tạo là tìm ra cái mới, cách giải quyết mới không bị phụ thuộc, gò bó vào những cái đã có. Ba yếu tố cơ bản của sáng tạo là: - Tính mềm dẻo (Flexibility) - Tính nhuần nhuyễn (Fluency) - Tính độc đáo (Originatily) 10 Sáng tạo chỉ mang tính tƣơng đối (sáng tạo đối với ai), trí tƣởng tƣợng là điều kiện cần để sáng tạo. 1.1.2.2. Bốn giai đoạn của quá trình sáng tạo Quá trình sáng tạo trải qua 4 giai đoạn: Giai đoạn 1: Là giai đoạn chuẩn bị cho công việc ý thức, nghĩa là hình thành vấn đề đang giải quyết và giải quyết bằng các cách khác nhau.Vai trò của giai đoạn này là huy động các thông tin hữu ích còn tiềm ẩn để có thể cho lời giải cần tìm. Giai đoạn 2: Giai đoạn này còn đƣợc gọi là giai đoạn ấp ủ, đƣợc bắt đầu khi công việc có ý thức ngừng lại. Công việc tiếp diễn là của tiềm thức. Giai đoạn 3: “Giai đoạn bừng sáng trực giác”.Đây là giai đoạn nhảy vọt về chất trong tiến trình nhận thức để quyết định cho quá trình tìm kiếm lời giải. Sự bừng sáng trực giác này thƣờng xuất hiện đột nhiên không biết trƣớc hoặc có khi nó xuất hiện sau khi đã có sự dự cảm sẽ biết đƣợc kết quả. Giai đoạn 4: Đây là giai đoạn kiểm chứng. Ở giai đoạn này cần phải triển khai lập luận, chứng minh logic và kiểm tra lời giải nhận đƣợc từ trực giác. Giai đoạn này rất cần thiết vì tri thức nhận đƣợc bằng trực giác chƣa chắc chắn. Nhƣ vậy sáng tạo là hoạt động đa dạng và phong phú của con ngƣời. Có thể phân chia sáng tạo thành hai cấp độ nhƣ sau: Cấp độ 1: Là hoạt động cải tạo, cải tiến, đổi mới, nâng cao những cái đã có lên một trình độ cao hơn. Cấp độ 2: Là hoạt động tạo ra cái mới về chất. 1.1.2.3. Tư duy sáng tạo Tƣ duy sáng tạo là một dạng tƣ duy độc lập, tạo ra ý tƣởng mới độc đáo và có hiệu quả giải quyết vấn đề cao. Ý tƣởng mới đƣợc thể hiện ở chỗ phát hiện vấn đề mới, tìm ra hƣớng đi mới, tạo ra kết quả mới. Tính độc đáo của ý tƣởng mới thể hiện ở giải pháp lạ, không quen thuộc hoặc duy nhất. 11 Theo J.Danton: “Tƣ duy sáng tạo là năng lực tìm thấy những ý nghĩa mới, những mối quan hệ mới, là năng lực chứa đựng sự khái quát, sự phát minh, sự đổi mới, trí tƣởng tƣợng…” Theo George Polya: “Có thể gọi là tƣ duy có hiệu quả nếu dẫn đến lời giải bài tập cụ thể nào đó. Có thể gọi là sáng tạo nếu tƣ duy đó tạo ra những tƣ liệu, phƣơng tiện để giải bài tập”. Tƣ duy sáng tạo có những yêu cầu về sự tích lũy kinh nghiệm hay tích lũy tri thức, từ đó tìm ra cách giải quyết vấn đề không theo khuôn mẫu, cách thức định sẵn, gạt bỏ những hiểu biết về kiến thức thông thƣờng nhƣng vẫn đảm bảo các tính chất cơ bản nhƣ tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn, tính hoàn thiện. Tƣ duy sáng tạo là sự vận dụng các kinh nghiệm giải quyết vấn đề này cho những vấn đề khác. Nếu một ngƣời chỉ có tƣ duy kinh nghiệm thì sẽ lúng túng khi gặp phải vấn đề nằm ngoài kinh nghiệm.Tuy nhiên nếu ngƣời đó có tƣ duy sáng tạo thì sẽ thì sẽ giải quyết đƣợc những vấn đề ngoài kinh nghiệm mà họ có.Tƣ duy sáng tạo nhằm thay đổi kinh nghiệm hay tạo nên các kinh nghiệm mới dựa trên các kinh nghiệm cũ và qua đó làm phong phú thêm kinh nghiệm để thay đổi về chất cho các vấn đề, sự vật, sự việc mà nó giải quyết, tạo điều kiện phát triển kĩ năng sáng tạo. Krutexki chỉ ra 3 vòng tròn đồng tâm phản ánh mối quan hệ của ba dạng tƣ duy nói lên điều kiện cần của TDST là tƣ duy độc lập và tƣ duy tích cực. - Tƣ duy tích cực (Học sinh chú ý nghe thầy chứng minh định lí và cố gắng hiểu) - Tƣ duy độc lập (Học sinh tự đọc định lí, tự giải một bài toán dƣới sự hƣớng dẫn của thầy giáo) - Tƣ duy sáng tạo (Học sinh tự khám phá ra 12 định lí, bài toán mà trƣớc đó học sinh đó chƣa biết) Nhƣ vậy có thể nói tƣ duy sáng tạo là sự kết hợp ở đỉnh cao, hoàn thiện nhất của tƣ duy tích cực và tƣ duy độc lập, nó tạo ra cái mới có tính giải quyết vấn đề một cách hiệu quả và chất lƣợng. 1.2. Phương hướng rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh (Phần này được trình bày dựa theo cuốn khuyến khích một số hoạt động trí tuệ của HS) 1.2.1.Chú trọng bồi dưỡng từng yếu tố cụ thể của TDST Trong quá trình dạy học ngƣời giáo viên cần chú trọng, chú ý bồi dƣỡng từng yếu tố cụ thể TDST nhƣ tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn, tính độc đáo. ●Tính mềm dẻo của tƣ duy sáng tạo. Tính mềm dẻo của tƣ duy sáng tạo đƣợc thể hiện chủ yếu qua hai đặc trƣng nổi bật sau: - Một là năng lực chuyển hóa trong tƣ duy tức là chuyển từ cách nhìn này sang cách nhìn khác; từ giải pháp này sang giải pháp khác. Năng lực điều chỉnh kịp thời hƣớng suy nghĩ khi hƣớng suy nghĩ cũ không giải quyết đƣợc vấn đề hoặc khi gặp trở ngại. -Hai là suy nghĩ không dập khuôn, không áp dụng máy móc những kinh nghiệm, kiến thức, kĩ năng đã có, đã biết vào hoàn cảnh mới, điều kiện mới mà trong đó đã có những yếu tố thay đổi. Cần có năng lực nhận ra vấn đề mới trong điều kiện quen thuộc, chức năng mới của đối tƣợng quen biết. ●Tính nhuần nhuyễn của tƣ duy sáng tạo. Đó là năng lực tạo ra một cách nhanh chóng sự tổ hợp giữa các yếu tố riêng lẻ của tình huống hoàn cảnh, đƣa ra giả thuyết mới, ý tƣởng mới. Tính nhuần nhuyễn đƣợc đặc trƣng bởi khả năng tạo ra một số lƣợng nhất định các ý tƣởng, là sự đa dạng của các cách xử lí bài toán, tìm nhiều giải pháp giải quyết một bài toán dƣới nhiều góc độ khác nhau, tình huống khác nhau. Số ý tƣởng càng nhiều thì có nhiều khả năng xuất hiện ý tƣởng độc đáo. Tính nhuần nhuyễn của tƣ duy thể hiện rõ nét ở hai đặc trƣng sau: -Một là: Tính đa dạng của các cách xử lí khi giải toán, khả năng tìm đƣợc nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau. Đứng trƣớc một vấn đề phải 13 giải quyết, ngƣời có tƣ duy nhuần nhuyễn nhanh chóng tìm và đề xuất đƣợc nhiều phƣơng án khác nhau và từ đó tìm đƣợc phƣơng án tối ƣu. -Hai là: Khả năng xem xét đối tƣợng dƣới nhiều khía cạnh khác nhau, có một cái nhìn sinh động từ nhiều phía đối với các sự vật và hiện tƣợng chứ không phải cái nhìn bất biến, phiến diện, cứng nhắc. Trong mỗi bài toán đều có những đối tƣợng, những quan hệ mà ta có thể nhìn chúng dƣới những góc độ khác nhau, khía cạnh khác nhau. Tuy nhiên trong thực tế khi giải toán thì học sinh thƣờng có thói quen khi đã nghĩ ra một cách giải đối với một bài tập nào đó thì coi nhƣ chỉ biết đến cách đó mà thôi và coi nhƣ đã giải xong. Hầu hết các em không có thói quen đi tìm một hƣớng giải khác mà thƣờng coi hƣớng giải đã biết đó là duy nhất, cứ thế áp dụng nếu gặp bài toán tƣơng tự. Làm nhƣ vậy sẽ không phát triển đƣợc tƣ duy, khả năng sáng tạo càng không có. Và các em sẽ dễ dàng bị thất bại nếu gặp một bài toán hơi khác bài mà các em đã biết. Chính vì vậy mà nhiệm vụ của ngƣời giáo viên cần cho học sinh tìm nhiều lời giải cho một bài toán, qua các lời giải đó tìm lời giải tối ƣu nhất. Với việc làm nhƣ vậy học sinh sẽ đƣợc rèn khả năng chuyển từ thao tác tƣ duy này sang các thao tác tƣ duy khác, các em còn biết đánh giá vấn đề, đƣa ra nhận xét về cách hay, cách chƣa hay. ●Tính độc đáo của tƣ duy sáng tạo. Tính độc đáo của TDST đƣợc đặc trƣng bởi các khả năng sau: 1) Khả năng tìm ra những liên tƣởng và những kết hợp mới. 2) Khả năng nhìn ra những mối liên hệ trong những sự kiện bên ngoài tƣởng nhƣ không có liên hệ với nhau. 3) Khả năng tìm ra giải pháp lạ tuy đã biết những giải pháp khác. Các yếu tố cơ bản nói trên không tách rời nhau mà trái lại chúng quan hệ mật thiết với nhau, hỗ trợ bổ sung cho nhau. Khả năng dễ dàng chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác (tính mềm dẻo) tạo điều kiện cho việc tìm đƣợc nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau (tính nhuần nhuyễn) và nhờ đề xuất đƣợc nhiều phƣơng án khác nhau mà có thể tìm đƣợc phƣơng án lạ, đặc sắc (tính độc đáo). Các yếu tố cơ bản này có quan hệ khăng khít với các yếu tố khác nhƣ: tính chính xác, tính hoàn thiện, tính nhạy cảm vấn đề… Tất cả các yếu tố đặc trƣng nói trên cùng góp phần tạo nên TDST. 14 Trong hoạt động toán ở trƣờng phổ thông, các yếu tố cơ bản của TDST nêu trên đã biểu hiện rõ nét ở nhiều học sinh, đặc biệt rõ hơn ở học sinh khá và giỏi toán. Các em đã biết di chuyển nhanh chóng các hoạt động trí tuệ , biết sử dụng xen kẽ các thao tác phân tích và tổng hợp, dùng phân tích trong khi đi tìm lời giải và dùng tổng hợp để trình bày lời giải. Khi làm các bài tập cùng loại các em đã biết phát hiện các khác biệt của các bài, các điều kiện khác nhau của chúng để tránh cách giải dập khuôn, máy móc. Các em rất hào hứng tìm nhiều cách giải khác nhau cho cùng một bài toán, biết so sánh và đánh giá các cách giải và tìm ra cách giải hay nhất, ngắn gọn nhất, đẹp nhất. 1.2.2. Bồi dưỡng TDSTcần kết hợp hữu cơ với các hoạt động trí tuệ khác Việc bồi dƣỡng TDST cho học sinh cần đƣợc tiến hành trong mối quan hệ hữu cơ với các hoạt động trí tuệ khác nhƣ: Phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tƣợng hóa, khái quát hóa, đặc biệt hóa, hệ thống hóa… Để phát triển tốt TDST thì cần bồi dƣỡng các thành phần của TDST, mà để bồi dƣỡng các thành phần đó thì học sinh cần đƣợc tập luyện thƣờng xuyên năng lực tiến hành phân tích, tổng hợp để nhìn thấy đối tƣợng dƣới nhiều khía cạnh khác nhau, trong những mối liên hệ khác nhau.Từ đó đƣa ra đƣợc nhiều giải pháp để giải quyết một bài toán. Bên cạnh đó cũng cần rèn luyện cho học sinh biết so sánh những trƣờng hợp riêng lẻ bằng phép đặc biệt hóa.Dùng phép tƣơng tự để chuyển từ trƣờng hợp này sang trƣờng hợp khác, khai thác mối liên hệ mật thiết với trừu tƣợng hóa, làm rõ mối quan hệ riêng chung giữa mệnh đề xuất phát và mệnh đề tìm đƣợc bằng cách đặc biệt hóa và hệ thống hóa. Ta có thể tập luyện cho học sinh khái quát hóa tài liệu toán học, tạo khả năng tìm đƣợc nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau. Khả năng tìm ra những mối liên hệ trong những sự kiện bên ngoài tƣởng nhƣ không có liên hệ với nhau, khả năng tìm ra giải pháp lạ hoặc duy nhất. 15 Những hoạt động trên góp phần bồi dƣỡng tính nhuần nhuyễn cũng nhƣ tính độc đáo của TDST.Thực hiện tốt những hoạt động trên sẽ giúp học sinh phát triển TDST. 1.2.3. Bồi dưỡng TDST cho học sinh cần đặt trọng tâm vào việc phát hiện vấn đề mới, khơi dậy những ý tưởng mới Việc phát hiện vấn đề mới, ý tƣởng mới của học sinh ngƣời giáo viên cần làm trong khi giảng dạy cả lí thuyết và bài tập cho học sinh. - Về giảng dạy lí thuyết cần tận dụng phƣơng pháp tập dƣợt nghiên cứu, trong đó giáo viên tạo ra các tình huống có vấn đề dẫn dắt học sinh tìm tòi, khám phá kiến thức mới. “ Tƣ duy chỉ hoạt động tích cực khi ở trong tình huống có vấn đề. Vì vậy cần chú ý tạo tình huống có vấn đề trong giờ học. Có thể tạo tình huống có vấn đề theo một số cách thông thƣờng sau đây: -Xuất phát từ kiến thức cũ để đặt vấn đề nghiên cứu kiến thức mới bằng cách lật ngƣợc vấn đề, khái quát hóa, tƣơng tự hóa. -Nêu lên lợi ích của kiến thức mới sắp học (để giải quyết một vấn đề thực tế, để giải quyết một bài toán ngắn gọn hơn,…) -Đặt học sinh vào tình huống phải lựa chọn: yêu cầu học sinh phát hiện và sửa chữa sai lầm ”. [3, tr. 2-3] - Về thực hành giải toán: Cần coi trọng các bài tập trong đó chƣa rõ điều phải chứng minh, học sinh phải tự xác lập, tự tìm tòi để phát hiện vấn đề và giải quyết vấn đề. Ngƣời giáo viên cần phát huy tính tích cực tƣ duy của học sinh, đề nghị học sinh tìm ra những giải pháp mới lạ, độc đáo. 16 1.2.4. Bồi dưỡng TDST là một quá trình lâu dài cần tiến hành trong tất cả các khâu của quá trình dạy học Bồi dƣỡng TDST là một quá trình lâu dài, thƣờng xuyên mà ngƣời giáo viên cần phải tiến hành trong tất cả các khâu của quá trình dạy học cũng nhƣ hết tiết học này sang tiết học khác, năm này sang năm khác. Ngƣời giáo viên cần tạo điều kiện cho học sinh có dịp đƣợc rèn luyện khả năng TDST trong không chỉ các bài toán trên lớp mà còn trong các tình huống thực tế đƣợc toán học hóa. Một vấn đề đƣợc quan tâm là trong quá trình kiểm tra, đánh giá thì các đề kiểm tra, các đề thi phải đƣợc soạn sao cho kiểm tra đƣợc năng lực TDST của học sinh, học sinh chỉ có thể làm đƣợc các đề thi đó trên cơ sở bộc lộ rõ rệt năng lực TDST của bản thân. [4, tr. 81] 1.3. Một số cách dạy học nhằm phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh 1.3.1. Phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề Đây là một trong những phƣơng pháp dạy học có thể phát triển tƣ duy sáng tạo cho học sinh bởi lẽ khi dạy học bằng phƣơng pháp này học sinh sẽ tích cực tham gia vào quá trình giải quyết vấn đề, các thao tác tƣ duy đƣợc rèn luyện, các thành phần củ tƣ duy sáng tạo đƣợc bồi dƣỡng. Để giải quyết một vấn đề toán học học sinh cần có các kĩ năng: - Phát hiện vấn đề: Cần xác định các yếu tố của bài toán, nhận biết câu hỏi, đọc đƣợc hình ảnh… - Phám phá bài toán: Cần phân tích đầy đủ các dữ kiện của bài toán. Qua đó học sinh đƣợc rèn luyện các thao tác tƣ duy. Đây là một trong những việc cần làm để phát triển tƣ duy sáng tạo cho học sinh. - Chọn chiến lƣợc giải quyết bài toán: Học sinh cần phân tích bài toán sau đó tổng hợp lại và đƣa ra chiến lƣợc giải. Bên cạnh đó cần nhìn bài toán dƣới nhiều góc độ khác nhau. 17 - Giải bài toán: Học sinh cần thao tác tổng hợp các yếu tố của bài toán dựa trên bƣớc chọn chiến lƣợc giải và đƣa ra phƣơng pháp giải tối ƣu. Ở bƣớc này học sinh đƣợc rèn luyện kĩ năng tính toán, suy luận logic. - Kiểm tra kết quả, đánh giá quá trình: Ở bƣớc cuối này học sinh đƣợc rèn luyện các thao tác của tƣ duy nhƣ so sánh, đối chiếu … Vì những kĩ năng cần phải có của học sinh trong phƣơng pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề nên phƣơng pháp này đã giúp học sinh rèn luyện và phát triển tƣ duy sáng tạo. 1.3.2. Dạy học khám phá Dạy học khám phá là làm cho học sinh trực tiếp tham gia vào quá trình hoạt động xây dựng nên kiến thức.Vì vậy học sinh cần có các thao tác tƣ duy nhƣ suy luận, phân tích, so sánh, tổng hợp. Những năng lực này sẽ giúp học sinh rèn luyện đƣợc các thành phần cơ bản của tƣ duy sáng tạo nhƣ tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn và tính độc đáo bởi lẽ chúng có mối quan hệ hữu cơ với nhau. 1.3.3. Dạy học hợp tác Đây là phƣơng pháp dạy học mà ngƣời giáo viên cần kích thích đƣợc tính chủ động, tích cực và khả năng quan sát của học trò. Hơn thế nữa ngƣời thầy thông qua phƣơng pháp này đã kích thích đƣợc các thao tác tƣ duy của học sinh. Khi chia nhóm để học hợp tác thì mỗi thành viên trong nhóm đều đƣợc giao một nhiệm vụ, với nhiệm vụ đƣợc giao đó học sinh cần tích cực, chủ động để giải quyết bài toán. 1.4. Dạy học giải bài tập toán ở trƣờng trung học phổ thông 1.4.1. Vai trò của bài tập trong quá trình dạy học Bài tập toán học có vai trò đặc biệt trong môn toán ở trƣờng phổ thông. Giải bài tập toán là hình thức chủ yếu, cơ bản của hoạt động toán học. Thông qua việc giải 18 bài tập, học sinh thực hiện những hoạt động nhận dạng, thể hiện định nghĩa, định lí, quy tắc, phƣơng pháp, những hoạt động toán học phức hợp. Cũng qua việc giải bài tập toán đòi hỏi học sinh phải vận dụng các thao tác tƣ duy, các hoạt động trí tuệ. Vai trò của bài tập toán thể hiện ở cả ba bình diện: Mục đích, nội dung và phƣơng pháp của quá trình dạy học. Cụ thể: -Về mặt mục đích dạy học: Bài tập toán thể hiện những chức năng khác nhau hƣớng đến việc thực hiện mục đích dạy học nhƣ: ●Hình thành, củng cố tri thức, rèn kĩ năng, kĩ xảo, kĩ năng ứng dụng toán học ở những giai đoạn khác nhau của quá trình dạy học. ●Phát triển năng lực trí tuệ chung: rèn các thao tác tƣ duy, hình thành các phẩm chất trí tuệ. ●Hình thành, bồi dƣỡng thế giới quan duy vật biện chứng và những phẩm chất của con ngƣời lao động tích cực. -Về mặt nội dung dạy học: Bài tập toán học là phƣơng tiện hoạt động liên hệ với những nội dung nhất định, nó là phƣơng tiện để cài đặt nội dung dƣới dạng tri thức hoàn chỉnh hay những yếu tố bổ sung cho tri thức đã học ở phần lí thuyết. -Về mặt phƣơng pháp dạy học: Bài tập toán học là giá mang hoạt động để ngƣời học kiến tạo những tri thức nhất định và trên cơ sở đó thực hiện các mục tiêu dạy học khác. Khai thác tốt những bài tập nhƣ vậy sẽ góp phần tổ chức cho học sinh học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực, chủ động, và sáng tạo, đƣợc thực hiện độc lập hoặc trong giao lƣu. Trong thực tiễn dạy học, bài tập đƣợc sử dụng với những dụng ý khác nhau về phƣơng pháp dạy học: Đảm bảo trình độ xuất phát, gợi động cơ, làm việc với nội dung mới, củng cố, kiểm tra…Đặc biệt là về mặt kiểm tra, bài tập là phƣơng tiện để đánh giá mức độ, kết quả dạy và học, khả năng làm việc độc lập và trình độ phát triển tƣ duy của học sinh cũng nhƣ hiệu quả giảng dạy của giáo viên. 19 1.4.2. Phương pháp giải bài tập toán học Phƣơng pháp chung cho việc giải một bài toán bao gồm 4 bƣớc: - Bƣớc 1: Tìm hiểu nội dung bài toán, phát hiện vấn đề. Để tìm hiểu nội dung bài toán HS cần thực hiện các thao tác : Phát biểu bài toán dƣới những dạng thức khác nhau để hiểu rõ nội dung bài toán, phân biệt cái đã cho và cái phải tìm, phải chứng minh, dùng ngôn ngữ, công thức, kí hiệu, hình vẽ để hỗ trợ việc diễn tả đề bài. Ở bƣớc này việc đánh giá đƣợc dữ kiện có thỏa mãn không, thừa hay thiếu là rất quan trọng và đã bƣớc đầu thể hiện tƣ duy sáng tạo. Nếu làm tốt đƣợc bƣớc này sẽ tạo điều kiện thuận lợi để tìm ra cách giải đúng bài toán. - Bƣớc 2: Tìm cách giải (lập chiến lƣợc giải). Để tìm đƣợc cách giải HS cần thực hiện những hoạt động sau: Tìm tòi, phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có tính chất tìm đoán nhƣ: Biến đổi cái đã cho (giả thiết), biến đổi cái phải tìm, phải chứng minh, liên hệ cái đã cho với cái phải tìm. Liên hệ cái đã cho, cái phải tìm với cái đã biết, liên hệ bài toán cần giải với bài toán tƣơng tự đã học (nếu có), một trƣờng hợp riêng hay một bài toán tổng quát hơn, hay một bài toán liên quan. Sử dụng phƣơng pháp đặc thù với từng dạng toán nhƣ chứng minh phản chứng, quy nạp toán học, sử dụng điều kiện cần và đủ…… Kiểm tra lời giải bằng cách xem lại kĩ từng bƣớc thực hiện hoặc đặc biệt hóa kết quả tìm đƣợc hoặc đối chiếu kết quả với một số tri thức có liên quan. Ngoài ra HS cần tìm thêm các cách giải khác, so sánh đối chiếu để chọn ra cách giải hay, hợp lí nhất. Thực hiện đƣợc các thao tác, hoạt động ở bƣớc 2 TDST của học sinh cũng đã đạt đến cấp độ cao hơn. - Bƣớc 3: Trình bày lời giải. 20 Trong quá trình tìm tòi cách giải học sinh đã phải áp dụng các thao tác tƣ duy nhƣ mò mẫm, suy đoán. Vì vậy có thể còn có những ý tƣởng, những thao tác chƣa trọn vẹn, còn rƣờm rà, phức tạp, thiếu dẫn chứng, suy luận dài dòng, vòng vo thậm chí sai sót... Nhƣ vậy việc chỉnh sửa những ý tƣởng, thao tác hay suy luận là việc làm rất cần thiết để có một bài giải đẹp, trọn vẹn. Trên thực tế cho thấy còn nhiều học sinh đã hiểu rõ con đƣờng giải toán nhƣng lại không thể trình bày một lời giải đúng. Vì vậy ngoài việc rèn luyện kĩ năng tìm tòi lời giải của bài toán thì cần rèn luyện cho học sinh cách trình bày một lời giải sao cho ngắn gọn, đầy đủ, chính xác. - Bƣớc 4. Đánh giá kết quả, phát triển bài toán (nếu có). Sau khi đã giải xong một bài toán cần nhìn lại phƣơng pháp đã sử dụng, so sánh phƣơng pháp đã trình bày với các phƣơng pháp có thể có để kiểm tra tính tối ƣu của phƣơng pháp. Nghiên cứu khả năng ứng dụng của kết quả bài toán. Nghiên cứu những bài toán tƣơng tự, đặc biệt hóa, mở rộng nó hoặc lật ngƣợc vấn đề. Nên hệ thống hóa các bài toán có liên quan với một chủ đề hay mô hình nào đấy để học sinh thấy đƣợc những tính chất đa dạng thông qua các chủ đề hay mô hình đó. Đó cũng là cơ sở để phát triển tƣ duy sáng tạo trong quá trình hoạt động và nghiên cứu. -Ví dụ về 4 bƣớc giải phƣơng trình: Tìm m để bất phƣơng trình ( x  1)(4  x)  x 2  3x  m nghiệm đúng x   1;4 . *) Bƣớc 1: Tìm hiểu nội dung bài toán Đây là bất phƣơng trình có chứa tham số và có căn thức. *) Bƣớc 2: Tìm cách giải Học sinh nhận thấy với bài toán này có các hƣớng giải nhƣ sau: 21 -Hướng 1: Chuyển tham số m sang một vế để đƣa bất phƣơng trình về dạng: m  ( x  1)(4  x)  x 2  3x  f ( x) Sử dụng phƣơng pháp hàm số, xét dấu của f '( x) . Lập bảng biến thiên của f ( x) . Từ đó suy ra bất phƣơng trình nghiệm đúng x   1;4 nếu m  Max f ( x)  1;4 -Hướng 2: Nhận thấy có mối liên hệ giữa ( x  1)(4  x) với ( x 2  3x) nên đặt ẩn phụ t  ( x  1)(4  x) .Khi đó biểu diễn bất phƣơng trình đã cho về bất phƣơng trình ẩn t. -Hướng 3: Sử dụng phƣơng pháp đồ thị. y  0  2 Đặt y  ( x  1)(4  x)   3 25 2  x  2   y  4   3 Suy ra đồ thị là nửa đƣờng tròn nằm trên trục hoành Ox có tâm I ( ;0) , bán 2 kính R  5 . Trong khi đó đồ thị của hàm số y  x 2  3x  m là một parabol có trục 2 3 đối xứng là đƣờng thẳng x  . 2 Bài toán quy về tìm m để đồ thị hàm số y  ( x  1)(4  x) nằm phía dƣới đồ thị hàm số y  x 2  3x  m trên đoạn  1;4 . Hướng 4: Sử dụng điều kiện cần và đủ. *)Bƣớc 3: Trình bày lời giải Sau khi đƣa ra các hƣớng để giải quyết bài toán, học sinh sẽ chọn lựa một cách để trình bày lời giải. Giải: 22 Đặt t  ( x  1)(4  x) . ( t  0 )  t 2   x2  3x  4 Vì x   1;4 nên ( x  1) và (4  x) là những số không âm. Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có t  ( x  1)(4  x)  x 1 4  x 5  2 2  5 Nhƣ vậy khi x   1;4 thì t  0;   2 Bài toán trở thành: Tìm m để bất phƣơng trình m  t 2  t  4  g (t ) nghiệm  5 đúng t  0;  .  2 Ta có: g '(t )  2t  1  g '(t )  0  t  1 2 BBT của g (t ) t 1 2 0 g '(t ) - 5 2 0 + 19 4 -4 g (t ) 17 4 23 Để bất phƣơng trình m  max g (t )  m  5   0; 2  m  t 2  t  4  g (t ) nghiệm đúng  5 t  0;   2 thì 19 . 4 *) Bƣớc 4: Đánh giá kết quả, phát triển bài toán. -Việc thông qua ẩn phụ sẽ làm cho việc tính toán, xét dấu và lập bảng biến thiên của hàm số trở nên đơn giản hơn. -Tổng quát bài toán: Bài toán trên có thể tổng quát thành: Tìm m để bất phƣơng trình ( x  a)(b  x)  x 2  (b  a) x  m nghiệm đúng x   a; b 1.5. Dạy học nội dung giải phương trình, bất phương trình ở trường THPT 1.5.1. Vị trí, nội dung phần phương trình, bất phương trình trong chương trình toán THPT Phần phƣơng trình, bất phƣơng trình trong chƣơng trình toán THPT chiếm một vị trí rất lớn, nó có mặt ở cả ba lớp 10, 11 và 12, đóng vai trò quan trọng và then chốt trong phần bài tập toán. Học sinh đƣợc học cách giải phƣơng trình, bất phƣơng trình bằng nhiều cách nhƣ biến đổi tƣơng đƣơng, đặt ẩn phụ, đánh giá, điều kiện cần và đủ, phƣơng pháp sử dụng chiều biến thiên của hàm số, đồ thị… 1.5.2. Thực trạng của việc học phương trình, bất phương trình ở trường phổ thông hiện nay Học sinh các trƣờng phổ thông hiện nay nói chung đang đứng trƣớc thực trạng là phải học với nội dung học nặng về cung cấp kiến thức, phƣơng pháp dạy học chủ yếu khai thác trí nhớ của học sinh. Môn Toán cũng là môn học mà phƣơng pháp dạy học cũng có thực trạng đó và phần dạy học giải phƣơng trình, bất phƣơng trình cũng không nằm ngoài thực trạng trên. 24 Thực trạng này dẫn đến học sinh tiếp thu bài một cách máy móc, ít yếu tố tìm tòi sáng tạo, thƣờng đƣa ra những cách giải dập khuôn, sẵn có. Để giải tốt đƣợc các bài tập phƣơng trình, bất phƣơng trình thì học sinh cần nắm vững phần lí thuyết có liên quan cũng nhƣ nắm đƣợc các phƣơng pháp giải phƣơng trình, bất phƣơng trình.Tuy nhiên khi giảng dạy tôi quan sát và điều tra thì nhận thấy còn có những thực trạng nhƣ sau: - Khi học lý thuyết: Học sinh lúng túng, rất khó nhớ các công thức, các tính chất của phần lí thuyết liên quan. - Khi làm bài tập: Ban đầu các em học sinh thấy khó giải các phƣơng trình, bất phƣơng trình vì các em chƣa biết áp dụng công thức nào cho hợp lí và áp dụng cách giải nào vào phƣơng trình đó, các em cũng gặp khó khăn khi kết hợp nghiệm của phƣơng trình, bất phƣơng trình. Đôi khi đã tìm ra một cách giải thì học sinh thƣờng hài lòng với cách giải đó mà không suy nghĩ, tìm tòi những cách giải khác để so sánh đối chiếu, chọn ra cách giải hay, tối ƣu. 1.5.3. Thực trạng của việc dạy phương trình, bất phương trình ở trường THPT trong việc phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh Thực tế trong các trƣờng phổ thông hiện nay, khi giảng dạy về phần PT, BPT một số ít giáo viên đã có ý thức rèn luyện và phát triển tƣ duy cho học sinh, tuy nhiên vẫn còn nhiều giáo viên chƣa quan tâm đến vấn đề này. Vì vậy khi dạy phần phƣơng trình, bất phƣơng trình thì họ chỉ đƣa ra các dạng phƣơng trình, bất phƣơng trình cũng nhƣ cách giải quyết với dạng đó và yêu cầu học sinh nhận dạng để khi gặp thì sẽ giải quyết theo cách đó. Phƣơng pháp của giáo viên thƣờng là diễn giảng và truyền thụ kiến thức một chiều. Điều này dẫn đến học sinh học tập một cách thụ động, không tích cực tƣ duy, không chịu khó tìm hiểu xem ngoài cách giải đã biết đó có còn những cách nào ngắn hơn, hay hơn không. Chính vì vậy 25 mà thực tế cho thấy khi bài toán đƣợc thay đổi đi một chút, không giống với dạng ban đầu thì học sinh loay hoay không biết giải quyết thế nào, tâm lí lo lắng, sợ hãi và nghĩ là chƣa đƣợc học nên không biết cách làm, không chủ động suy nghĩ nữa. Kết luận chƣơng 1. Chƣơng này đã trình bày một số vấn đề: - Một số lí luận liên quan đến tƣ duy sáng tạo. - Một số cách dạy học để phát triển tƣ duy sáng tạo của học sinh. - Vai trò, vị trí của phần phƣơng trình, bất phƣơng trình ở trƣờng THPT. - Thực trạng của vấn đề dạy và học phƣơng trình, bất phƣơng trình ở trƣờng THPT hiện nay trong việc phát triển tƣ duy sáng tạo cho học sinh. - Dựa trên những căn cứ lí luận trên, những thực trạng đang tồn tại, tác giả xác định phƣơng hƣớng, giải pháp để phát triển tƣ duy sáng tạo cho học sinh THPT thông qua các bài toán giải phƣơng trình, bất phƣơng trình. 26 CHƢƠNG 2 PHÁT TRIỂN TƢ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC GIẢI PHƢƠNG TRÌNH, BẤT PHƢƠNG TRÌNH. 2.1. Phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh khi giảng dạy lý thuyết Phát triển tƣ duy sáng tạo cho học sinh là một quá trình lâu dài mà ngƣời giáo viên cần tiến hành thƣờng xuyên từ tiết học này sang tiết học khác cũng nhƣ cần thực hiện trong tất cả các khâu của quá trình dạy học. Khi giảng dạy về phần phƣơng trình, bất phƣơng trình, muốn phát triển tƣ duy sáng tạo cho học sinh thì chúng ta không chỉ đề cập đến quá trình thực hành giải các phƣơng trình, bất phƣơng trình nhƣ thế nào mà một khâu cũng rất quan trọng là giảng dạy lý thuyết nhƣ thế nào để phát triển đƣợc tƣ duy cho học sinh. Khi giảng dạy lý thuyết ngƣời giáo viên cần tạo ra các tình huống có vấn đề, dẫn dắt học sinh tìm tòi, khám phá kiến thức mới. Bên cạnh đó cần tập cho học sinh cách suy luận có lý thông qua các năng lực trí tuệ nhƣ so sánh, đặc biệt hóa, khái quát hóa, quy nạp, tƣơng tự. Giả sử khi dạy học sinh về phần giải phƣơng trình sử dụng phép đặt ẩn phụ thì ngoài việc đƣa ra các bƣớc của phép đặt ẩn phụ là: Bƣớc 1: Đặt ẩn phụ và tìm điều kiện cho ẩn phụ. Bƣớc 2: Đƣa phƣơng trình (bất phƣơng trình) ban đầu về phƣơng trình có biến là ẩn phụ, giải phƣơng trình (bất phƣơng trình) với ẩn phụ mới, đối chiếu điều kiện để chọn nghiệm thích hợp. Bƣớc 3: Kết luận nghiệm cho phƣơng trình ban đầu. 27 Ngƣời giáo viên cần tập cho học sinh cách suy luận, khả năng đánh giá nhìn nhận một phƣơng trình để có thể đƣa ra đƣợc phép đặt ẩn phụ đúng, phù hợp và nhanh đi đến kết quả. Muốn làm đƣợc việc đó thì đòi hỏi học sinh cần có các năng lực trí tuệ nhƣ so sánh, tƣơng tự…  -Xét ví dụ: Giải phƣơng trình: 1  1  x 2  x 1  2 1  x 2  Khi gặp phƣơng trình này thì việc làm đầu tiên của học sinh là phải tìm điều kiện để phƣơng trình xác định. Tình huống có vấn đề ở đây là sau khi học sinh tìm ra điều kiện x  1 , thì học sinh sẽ phải tƣ duy, liên tƣởng xem nên đặt ẩn phụ nhƣ thế nào? x  1 có liên quan đến tập giá trị của hàm số nào? Lúc này ngƣời giáo viên gợi ý, yêu cầu các em suy nghĩ. Sau khi suy nghĩ các em sẽ dễ dàng nhận ra mối liên hệ giữa x  1 với tập giá trị của hàm y  sin t , y  cost . Từ đó dự đoán đƣợc cách giải phƣơng trình Giải: Điều kiện: x  1     Đặt x  sin t , t   ;  .Khi đó phƣơng trình trở thành:  2 2  1  1  sin 2 t  sin t 1  2 1  sin 2 t  t  sin t  sin 2t 2  1  cos t  sin t 1  2cos t   2cos 2 t 3t t  2cos  2sin cos 2 2 2 t 3t   2cos  2 sin  1  0 2 2  28 t     k  t    k 2 t 2 2  c os  0    3t   k 4 2      k 2  t   2 4  6 3 sin 3t  1    3t 3  k 4 2 2   t    k 2  2 4 3  2   t  6     Vì t   ;  nên t nhận các giá trị:   2 2 t    2 +) t  +) t   6  2 thì x  1 2 thì x  1 1  Kết luận: Vậy tập nghiệm của phƣơng trình là: S   ;1 2  Cũng là phƣơng pháp đặt ẩn phụ nhƣng nếu trong phƣơng trình hay bất phƣơng trình đã cho có hai bộ phận có mối liên hệ đặc biệt với nhau thì có thể đặt mỗi bộ phận là một ẩn mới.Khi đó phƣơng trình sẽ đƣa về hệ hai phƣơng trình với hai ẩn mới. Muốn giải quyết tốt những bài toán nhƣ vậy thì đòi hỏi học sinh phải có thao tác tƣ duy là phân tích mối liên hệ giữa các biểu thức trong phƣơng trình đã cho. Ví dụ: Giải phƣơng trình: 4 57  x  4 x  40  5(1) Với phƣơng trình này học sinh không nên lựa chọn cách biến đổi tƣơng đƣơng vì nó sẽ rất dài và đƣa đến một phƣơng trình phức tạp. Do đó giáo viên cần chú trọng cho học sinh cách tƣ duy, phân tích, nhìn nhận xem có mối liên hệ đặc biệt nào giữa các biểu thức trong phƣơng trình hay không? Dƣới sự dẫn dắt của giáo viên, 29 học sinh dễ dàng nhìn ra mối liên hệ giữa 57  x và x  40 vì chúng có tổng là một số không đổi. Từ đó học sinh sẽ nhìn ra cách đặt ẩn phụ cho phƣơng trình này. Giải: ĐK: 40  x  57 . Đặt u  4 57  x , u  0 ; v  4 x  40 , v  0 . Ta có u 4  v 4  97 u  v  5(2)  Khi đó phƣơng trình (1) dẫn đến hệ phƣơng trình (I): u 4  v 4  97(3) u  0, v  0(4)  Biến đổi (3) u 4  v4  97   u 2  v 2   2u 2v 2  97  (u  v)2  2uv   2u 2v 2  97 (5) 2 2 uv  6 Thay (2) vào (5) có: (uv) 2  50(uv)  264  0   uv  44  u  3 u  v  5   v  2 ▪Khi uv  6 hệ (I)  uv  6   u  2 u  0, v  0    v  3 u  3 -Với  v  2 57  x  81  x  24 ta có   x  40  16 u  2 -Với  v  3 57  x  16  x  41 ta có   x  40  81 30 có: u  v  5  ▪Khi uv  44 , hệ (I)  uv  44 (hệ phƣơng trình này vô nghiệm do phƣơng u  0, v  0  trình t 2  5t  44  0 vô nghiệm) Kết hợp với điều kiện ta có phƣơng trình có hai nghiệm x  24 và x  41 ●Trong khi dạy lí thuyết, khi hƣớng dẫn học sinh sử dụng phƣơng pháp đánh giá để giải phƣơng trình, bất phƣơng trình, giáo viên cần hƣớng dẫn và rèn cho học sinh cách đánh giá tinh tế dựa trên các tính chất của bất đẳng thức. Làm đƣợc điều đó học sinh sẽ dễ dàng nhìn ra nghiệm của phƣơng trình, bất phƣơng trình. Phƣơng pháp này dựa trên nhận xét sau: Nếu phƣơng trình f ( x)  g ( x) , x  D có tính chất sau:  f ( x)  mx  D   g ( x)  mx  D  f ( x)  m Khi đó f ( x)  g ( x)    g ( x)  m Ví dụ 1: Cho phƣơng trình: 3x2  6 x  7  5x 2  10 x  14  4  2 x  x 2 (1) Câu a: Hãy đánh giá hai vế của phƣơng trình? Câu b: Từ kết quả của câu a) hãy chỉ ra nghiệm của phƣơng trình? ●Nhận xét: Với câu hỏi trên học sinh sẽ phải sử dụng các thao tác tư duy như phân tích, so sánh, tổng hợp để thấy rằng mối liên hệ giữa hai câu hỏi. Học sinh dễ dàng đánh giá đƣợc hai vế của phƣơng trình: Câu a: VT= 3x 2  6 x  7  5x 2  10 x  14  3( x  1)2  4  5( x  1)2  9  2  3  5x  R (2) VP= 4  2 x  x2  5  ( x  1)2  5x  R (3) 31 Câu b): VT (1)  5  x  1  0 Từ (2) và (3) suy ra    x  1 VP(1)  5  x  1  0 Vậy x  1 là nghiệm duy nhất của phƣơng trình. Ví dụ 2:Giải phƣơng trình. 3x 2  1  x 2  x  x x 2  1  1 2 2 7x 2  x  4  (1) ▪Nhận xét: Khi gặp phƣơng trình này học sinh thƣờng rất lúng túng, chƣa nhìn ra ngay đƣợc cách đánh giá hai vế của phƣơng trình. Giáo viên gợi ý để đánh giá hai vế của phƣơng trình ta thƣờng sử dụng các bất đẳng thức quen thuộc nhƣ Bunnhiacopski, Cauchy, bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối.Khi đó đòi hỏi học sinh phải suy nghĩ để vận dụng các bất đẳng thức trên nhƣ thế nào vào bài toán này. Các em đƣợc rèn luyện thao tác tƣ duy phân tích, tổng hợp vấn đề. Giải: x 1 ĐK:  x   3  3 Áp  dụng bất đẳng thức Bunnhiacopski cho hai bộ số: (1,1, x)  3x 2  1, x 2  x , x 2  1 ta có: VT  3x 2  1  x 2  x  x x 2  1  x 2  2  5x 2  x  (2) 3x 2  1  Dấu bằng của bất đẳng thức xảy ra khi: 1 32 x2  x  1 x2  1  x  1 x và Vì x  1 hoặc x   3 nên 5x 2  x  0 khi đó biến đổi vế phải và áp dụng bất 3 đẳng thức Cauchy ta có: VP  1 2 2  7x 1 2 2 2  x  4  1 2 2 5x 2  x  2( x 2  2)   5x .2.  5 x 2  x  2  x 2  2   Dấu bằng xảy ra khi : 2  x  x 2  2  (3)  x  1 5 x  x  2( x  2)  3x  x  4  0   4 x  3  2 2 2 Từ (2) và (3) suy ra phƣơng trình có nghiệm duy nhất là x  1 ●Với phƣơng pháp sử dụng sự biến thiên của hàm số để giải phƣơng trình, bất phƣơng trình khi dạy lí thuyết giáo viên cần đƣa ra các nhận xét để học sinh có thể ghi nhớ và áp dụng sáng tạo vào các bài tập có liên quan. Nhận xét 1: - Cho hàm số y  f ( x) xác định trên D  R và đơn điệu trên đó.Giả sử x0  D : f ( x0 )  m thì phƣơng trình f ( x)  m có nghiệm duy nhất x  x0 - Nếu hàm số y  f ( x) xác định trên D  R , liên tục và đơn điệu trên D thì phƣơng trình f ( x)  f ( y) có nghiệm x  y . -Cho y  f ( x) và y  g ( x) là hai hàm số xác định trên D. Nếu y  f ( x) là hàm đồng biến, còn hàm số y  g ( x) nghịch biến hoặc là hàm hằng (ngƣợc lại y  f ( x) nghịch biến, y  g ( x) đồng biến (hoặc hàm hằng)). Giả sử tồn tại x0  D sao cho: f ( x0 )  g ( x0 ) thì phƣơng trình f ( x)  g ( x) có nghiệm duy nhất x  x0 Nhận xét 2: -Giả sử bất phƣơng trình có dạng: f ( x)  k trên D. 33 Nếu hàm số y  f ( x) là hàm đơn điệu trên D (giả sử là hàm đồng biến trên D), x0  D : f ( x0 )  k Khi đó: Với x  x0  f ( x)  f ( x0 )  k thì bất phƣơng trình vô nghiệm. Với x  x0  f ( x)  f ( x0 )  k thì bất phƣơng trình nghiệm đúng .Vậy x  x0 là nghiệm của bất phƣơng trình. - Giả sử bất phƣơng trình có dạng f (u)  f (v) . Xét hàm số y  f ( x) , dùng lập luận khẳng định hàm số đơn điệu trên D (giả sử đồng biến). Khi đó f (u)  f (v)  u  v . Nhận xét 3: -Tìm m để bất phƣơng trình m  f ( x) có nghiệm trên D  m  max f ( x) . D - Tìm m để bất phƣơng trình m  f ( x) nghiệm đúng x  D  m  min f ( x) . D - Tìm m để bất phƣơng trình m  f ( x) có nghiệm trên D  m  min f ( x) . D - Tìm m để bất phƣơng trình m  f ( x) nghiệm đúng x  D  m  max f ( x) D Ví dụ 1:Giải bất phƣơng trình sau: x 2  2 x  3  x 2  6 x  11  3  x  x  1 Tình huống đặt ra cho học sinh ở đây là xét hàm số nào? Nếu giữ nguyên biểu thức vế trái nhƣ vậy và coi nó nhƣ một hàm số thì bài toán có giải quyết đƣợc không? Học sinh biến đổi nhƣ vậy thấy rất khó khăn và bài toán không giải quyết đƣợc. Giáo viên cần gợi ý để học sinh khéo léo chuyển bất phƣơng trình về dạng f (u)  f (v) và xét tính đơn điệu của hàm số y  f ( x) . Với ví dụ này học sinh đƣợc rèn luyện tính mềm dẻo của tƣ duy, tránh lối suy nghĩ dập khuôn. 34 Giải. Điều kiện: 1  x  3 Viết lại bất phƣơng trình dƣới dạng: x 2  2 x  3  x  1  x 2  6 x  11  3  x  ( x  1)2  2  x  1  ( x  3)2  2  3  x (2) Xét hàm số y  f (t )  t 2  2  t trên 1;3 Ta có f '(t )  t t 2 2  1 2 t  0t [1;3] Suy ra y  f (t )  t 2  2  t là hàm số đồng biến trên [1; 3] Khi đó (2)  f ( x  1)  f (3  x)  x  1  3  x  x  2 Kết hợp với điều kiện có nghiệm của bất phƣơng trình là: 2  x  3 Ví dụ 2: Tìm m để bất phƣơng trình sau có nghiệm? mx  x  3  m  1(1) Giáo viên yêu cầu học sinh suy nghĩ và đƣa ra hƣớng giải. Vấn đề của bài toán đặt ra là đƣa bất phƣơng trình đó về dạng nào? Học sinh đƣa ra các giải pháp: Đƣa bất phƣơng trình về dạng m  f ( x) hoặc m  f ( x) sau đó tìm m để bất phƣơng trình có nghiệm, dựa vào nhận xét 3. Dự kiến học sinh đƣa ra các tình huống: -Cách 1: Điều kiện: x  3 Bất phƣơng trình (1) trở thành: m( x  1)  x  3  1 Với điều kiện x  3 thì x  1  0 nên có: m  x  3 1  f ( x) x 1 Xét sự biến thiên của f ( x) và đƣa ra kết luận: m  max f ( x)  m  3;  35 1 3 4 -Cách 2: Đặt ẩn phụ: t  x  3 , đk t  0 . Khi đó bất phƣơng trình (1) trở thành: m  t 1  g (t ) t2  2 Xét sự biến thiên của g (t ) và dễ dàng ra kết luận m  max g (t )  m  0;  1 3 4 ▪Nhận xét: - Nên khuyến khích học sinh làm theo cách 2 vì các em sẽ dễ dàng xét đƣợc sự biến thiên của hàm g (t ) hơn là xét sự biến thiên của hàm f ( x) ở cách 1. - Sau khi làm xong bài toán học sinh đƣợc rèn luyện các thao tác tƣ duy phân tích, so sánh, đối chiếu. Từ đó chọn ra cách làm hay, ngắn gọn. ●Khi dạy học sinh phần lý thuyết ứng dụng tính chất hình học vào giải phƣơng trình, bất phƣơng trình, ngƣời giáo viên nên lƣu ý cho học sinh một số tính chất của vectơ trong phẳng nhƣ:       Cho hai vectơ u ( x1; y1 ) , v( x2 ; y2 ) , w( x3 ; y3 ) . Giả sử u  v  w . Khi đó   ▪ u  x12  y12 , v  x22  y22     ▪ u  v  u  v  x32  y32  x12  y12  x22  y22 . Dấu bằng xảy ra khi hai vectơ   u, v cùng hƣớng. Ví dụ: Giải phƣơng trình: x 2  2 x  101  x 2  4 x  13  50 Giải: Phƣơng trình viết lại thành: ( x  1)2  100  ( x  2) 2  9  50 36   Trong mặt phẳng tọa độ Oxy đặt u ( x  1;10) , v( x  2;3)     Ta có: w  u  v  (1;7)  w  12  7 2  50   Khi đó phƣơng trình có dạng: u  v  50   Mà : u  v  50       Suy ra: u  v  u  v  u cùng hƣớng v Vậy phƣơng trình  x 1 x  2 17  x . 10 3 7 Tóm lại, khi giảng dạy lý thuyết để phát triển tƣ duy sáng tạo cho học sinh thì ngƣời giáo viên cần tạo ra các tình huống có vấn đề, dẫn dắt học sinh tìm tòi, khám phá kiến thức mới. Bên cạnh đó cần tập cho học sinh cách suy luận có lý thông qua các năng lực trí tuệ nhƣ so sánh, phân tích, tổng hợp… 2.2. Rèn luyện và phát triển một số yếu tố của tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua các dạng bài tập giải phương trình, bất phương trình 2.2.1. Dạng bài tập có nhiều cách giải Đây là dạng bài tập đòi hỏi học sinh cần có năng lực chuyển hóa trong tƣ duy tức là chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác, cũng nhƣ đòi hỏi khả năng tìm đƣợc nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau. Khả năng tìm ra giải pháp lạ tuy đã biết những giải pháp quen thuộc khác. Nếu làm tốt những bài tập dạng trên thì qua đó học sinh đã đƣợc rèn luyện các thành phần cơ bản của tƣ duy sáng tạo đó là: Tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn. Bài tập1: Tìm nhiều phƣơng pháp giải phƣơng trình sau: x2  4 x  5  2 2 x  5 37 Giáo viên tổ chức cho lớp hoạt động theo nhóm. GV chia lớp thành 4 nhóm, yêu cầu các thành viên trong nhóm tích cực suy nghĩ, đề xuất các cách giải. Dự kiến các tình huống mà học sinh có thể đề xuất: ▪Cách 1: Học sinh tìm điều kiện xác định của phƣơng trình và nhận thấy đây là dạng quen thuộc f ( x)  g ( x) , nên học sinh biến đổi tƣơng đƣơng bằng cách bình phƣơng hai vế. ▪Cách 2: Học sinh sử dụng phƣơng pháp đặt ẩn phụ, viết phƣơng trình về dạng ( x  2)2  1  2 2 x  5 Đặt u  x  2 , v  2 x  5 u 2  1  2v Khi đó phƣơng trình đƣợc đƣa về hệ phƣơng trình:  2 v  1  2u Dễ dàng giải hệ phƣơng trình đối xứng loại 2 này tìm ra u , v ▪Cách 3: Học sinh sử dụng phƣơng pháp đánh giá để giải phƣơng trình này, áp dụng bất đẳng thức để đánh giá. Điều kiện của để phƣơng trình xác định là x  5 2 Áp bất có dụng đẳng thức Côsi :+) ( x  2)2  1  2( x  2) +) 2 2 x  5  2 x  5  1  2( x  2) Do đó phƣơng trình tƣơng đƣơng: x  2  1  x3  2 x  5  1  ▪Cách 4: Học sinh sử dụng phƣơng pháp hàm số để giải phƣơng trình 38 ( x  2)2  1  2 2 x  5 Xét hàm số 5  y  ( x  2)2  1  2 2 x  5 trên  ;   2  2 2x  5 f '( x)  (2 x  4)  f '( x)  0  (2 x  4)  2 0 2x  5  ( x  3)(8x 2  28x  28)  0  x  3 (Vì 8x2  28x  28  0 vô nghiệm) Bảng biến thiên X 5 2 f’(x) f(x) 3 - + 0 + 5 4  0 5  Nhƣ vậy x   ;   thì f ( x)  0, f ( x)  0  x  3 2  ▪ GV nhận xét, đề ra tiêu chí đánh giá các nhóm là dựa trên số cách giải và giải chính xác mà nhóm đó đƣa ra. ▪GV tổ chức, giám sát cho mỗi nhóm lên trình bày một cách không trùng nhau. ▪Nhận xét: Qua bài tập trên, học sinh đã đƣợc rèn luyện tính mềm dẻo của tƣ duy qua việc chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác, cụ thể là việc tìm nhiều cách giải cho một bài toán nhƣ biến đổi tƣơng đƣơng, đặt ẩn phụ, đánh giá, phƣơng 39 pháp hàm số. Việc giải bài toán bằng nhiều cách giúp học sinh tích cực tƣ duy, vận động trí óc một cách tích cực, sáng tạo.Việc làm này giúp các em biết cách nhìn một bài toán, một đối tƣợng dƣới nhiều góc độ khác nhau, làm cho học sinh thấy hứng thú vì phát hiện ra những thú vị trong từng cách giải. Nó cũng giúp học sinh chủ động tƣ duy khi gặp một vấn đề mới, bài toán mới. Bài tập 2: Giải phƣơng trình sau bằng nhiều cách khác nhau: 3  x  6  x  (3  x)(6  x)  3 GV: Yêu cầu học sinh nêu điều kiện xác định của phƣơng trình. Gọi một số học sinh đƣa phƣơng pháp làm? -Dự kiến: sau khi đặt điều kiện cho phƣơng trình, học sinh sẽ đƣa ra các cách sau: HS1: Đƣa pt về 3  x  6  x  (3  x)(6  x)  3 Vì cả hai vế đều dƣơng nên bình phƣơng hai vế để đƣợc phƣơng trình tƣơng đƣơng. GV: Nếu làm nhƣ vậy có gặp khó khăn gì không? HS1: Nhận thấy nếu làm nhƣ vậy thì lại xuất hiện một phƣơng trình vô tỉ tiếp. GV: Nhận xét cách làm vẫn đi đến đích, tuy nhiên hơi dài và phức tạp. GV yêu cầu học sinh suy nghĩ cách khác. Gợi ý có thể đặt ẩn phụ! HS2: Đặt ẩn phụ u  3  x  6  x , khi đó biều thức (3  x)(6  x) sẽ biểu diễn qua u ta đƣợc một phƣơng trình bậc hai ẩn . GV: Đây cũng là cách rất hay, dễ dàng tìm đƣợc tuy nhiên khi tìm đƣợc thì chúng ta sẽ phải giải phƣơng trình u  3  x  6  x Có cách nào khác không? HS3: Đặt hai ẩn phụ u  3  x , v  6  x GV: Khi đặt hai ẩn nhƣ vậy thì có nhìn đƣợc mối liên hệ giữa hai ẩn phụ mà không phụ thuộc vào x ? HS3: Khi đó ta có: u 2  v 2  9 u 2  v 2  9 Và đƣợc hệ phƣơng trình:  u  v  uv  3 GV: Yêu cầu học sinh trình bày lời giải, nên lựa chọn hai cách sau. Bài tập 3: Tìm nhiều cách giải cho bài toán sau: 40 Tìm m để bất phƣơng trình: ( x  3)(5  x)  x 2  2 x  m nghiệm đúng với mọi 3  x  5 GV hƣớng dẫn học sinh giải bài toán trên bằng phƣơng pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề. Để làm đƣợc bài toán này với phƣơng pháp đó học sinh cần có các kĩ năng: - Phát hiện vấn đề. - Khám phá bài toán. - Chọn chiến lƣợc giải. -Giải bài toán. - Kiểm tra, đánh giá bài toán. GV: tổ chức cho học sinh giải quyết bài toán. Kĩ năng 1: Phát hiện vấn đề. GV: Yêu cầu học sinh phát hiện vấn đề của bài toán? HS: Đây là bài toán về bất phƣơng trình có chứa căn bậc hai và tìm tham số m để bất phƣơng trình đúng với mọi x   a; b . Kĩ năng 2: Khám phá bài toán. HS: Bài toán có thể nhìn dƣới những góc độ khác nhau nhƣ sau: -Bài toán có mối liên hệ giữa biểu thức trong căn bậc hai  x  3 5  x  với biểu thức ngoài căn bậc hai là   x 2  2 x  nên có thể sử dụng phƣơng pháp đặt ẩn phụ. -Bài toán có thể đƣa về dạng m  f ( x) trên đoạn  3;5 -Bài toán có thể nhìn dƣới góc độ: Tìm m để đƣờng cong y   x  3 5  x  nằm dƣới đƣờng cong y  x 2  2 x  m ở những điểm có hoành độ thuộc đoạn  3;5 . 41 - Bài toán đúng trên đoạn  3;5 nên nó đúng tại những giá trị đặc biệt của đoạn đó. Vì vậy có thể sử dụng phƣơng pháp điều kiện cần và đủ. Kĩ năng 3: Chọn chiến lược giải. Trên cơ sở khám phá bài toán, học sinh phân tích và đƣa ra chiến lƣợc giải nhƣ sau: ●Hướng 1: -Đƣa bất phƣơng trình (1) về ( x  3)(5  x)  x 2  2 x  m Đặt f ( x)  ( x  3)(5  x)  x 2  2 x Yêu cầu bài toán trở thành: Tìm m để m  ( x  3)(5  x)  x 2  2 x x   3;5 Khi đó: f '( x)   ( x  1) 1  2 ( x  3)(5  x) x  1  2x  2  ( x  3)(5  x) ( x  3)(5  x )  Ta có: f '( x)  0  x  1 BBT: x -3 f '( x) 1 + 5 0 - 5 f ( x) Từ bảng biến thiên suy ra m  5 là giá trị cần tìm . ●Hướng 2: HS: Đặt t  ( x  3)(5  x) thì x2  2 x  15  t 2 đƣa về bất phƣơng trình ẩn t Tìm điều kiện của t bằng cách xét hàm số: 42 Xét hàm t  g ( x)  ( x  3)(5  x) BBT: x -3 1 g '( x) + 5 0 t  g ( x) - 4 0 0 Do đó khi x   3;5 thì t   0;4 GV hƣớng dẫn học sinh các cách khác để tìm điều kiện của t nhƣ dung tam thức bậc hai, dúng bất đẳng thức Côsi. HS: Bài toán trở thành: Tìm m để bất phƣơng trình: t  15  t 2  m có nghiệm t  0;4 ●Hướng 3: Sử dụng phƣơng pháp đồ thị và hình học. HS: Đi tìm đồ thị của hai hàm số y  ( x  3)(5  x) và y  x 2  2 x  m Đồ thị hàm số y  x 2  2 x  m là một parabol có bề lõm hƣớng lên trên, luôn nhận đƣờng thẳng x=1 làm trục đối xứng. Đồ thị của y  ( x  3)(5  x) đƣợc xác định nhƣ sau: y  0 y  0 y  ( x  3)(5  x)   2   2 2 2  y   x  2 x  15 ( x  1)  y  16 Suy ra đồ thị của y  ( x  3)(5  x) là nửa đƣờng tròn có tâm I(1;0), bán kính R=4 và nằm phía trên trục hoành Ox. 43 (x-1)^2+y^2=16; y>0 f(x)=x^2-2x+5 x=1 y 8 6 4 2 x=1 x -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 0 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -2 -4 -6 -8 ●Hướng 4: Học sinh áp dụng phƣơng pháp điều kiện cần và đủ để giải bài toán trên. Điều kiện cần: Thử với các giái trị đặc biệt của x nhƣ x  3 , x  5 , x  1 ( giá trị x  1 là giá trị trung bình của đoạn  3;5 ).Từ đó suy ra giá trị của m. Điều kiện đủ: Với giá trị m vừa tìm đƣợc chỉ ra bất phƣơng trình ( x  3)(5  x)  x 2  2 x  m nghiệm đúng x   3;5 . Kĩ năng 4: Giải bài toán. Sau khi đƣa ra các chiến lƣợc giải học sinh sẽ phân tích và chọn ra một cách giải ngắn gọn, dễ hiểu. HS: Chọn cách điều kiện cần và đủ để giải bài toán này. ▪Điều kiện cần: Vì bất phƣơng trình ( x  3)(5  x)  x 2  2 x  m đúng với mọi x   3;5 nên bất phƣơng trình đúng với những giá trị đặc biệt của x đó là: 44 -Bất phƣơng trình đúng với x  3 . Thay vào ta có: m  15  0  m  15 (1) - Bất phƣơng trình đúng với x  5 . Thay vào ta có: m  15  0  m  15 (2) - Bất phƣơng trình đúng với x  1 ( giá trị x  1 là giá trị trung bình của đoạn  3;5 ).Thay vào ta có: m  5 (3) Từ (1), (2) và (3) suy ra m  5 . ▪ Điều kiện đủ. Với m  5 ta có: VT  ( x  3)(5  x)  x 35 x 4 2 VP  x 2  2 x  m  ( x  1)2  m  1  m  1  4 (Vì m  5 ) Suy ra giá trị cần tìm của m là m  5 Kĩ năng 5: Kiểm tra, đánh giá. Sau khi thực hiện xong bƣớc trình bày lời giải, đối chiếu, so sánh với các phƣơng pháp mà chiến lƣợc giải vạch ra học sinh sẽ đánh giá đƣợc cách giải trên là ngắn gọn hơn, dễ hiểu hơn. Nếu làm hƣớng 1 thì học sinh sẽ lúng túng khi xét dấu biểu thức f '( x) . Nếu làm theo hƣớng 2 thì học sinh rất dễ mắc sai lầm là không tìm ra đúng điều kiện của ẩn phụ t khi x   3;5 . Với hƣớng giải 3 thì một số học sinh cũng gặp rắc rối khi xác định đồ thị của hàm số y  ( x  3)(5  x) Nhƣ vậy việc kiểm tra đánh giá cũng giúp học sinh phát triển các thao tác tƣ duy nhƣ so sánh, đối chiếu, tổng hợp. Bài tập 4 Cho phƣơng trình: x2  4 x  40  90  6 x  x 2  226 Hãy giải phƣơng trình sau bằng các cách: 45 1. Biến đổi tƣơng đƣơng 2. Sử dụng phƣơng pháp tọa độ trong phẳng. Giáo viên tổ chức cho học sinh làm bài theo yêu cầu đã ra. Học sinh 1: Giải phƣơng trình trên bằng cách biến đổi tƣơng đƣơng. ĐK: x  x2  4 x  40  90  6 x  x 2  226  2 x 2  10 x  130  2 ( x 2  4 x  40)(90  6 x  x 2 )  226  ( x 2  4 x  40)(90  6 x  x 2 )  48  5x  x 2 2  48  5x  x  0  2 2 2 2 ( x  4 x  40)(90  6 x  x )  48  5 x  x      5  217 5  217 x   2 2 25 x 2  120 x  144  0   5  217 5  217 x 12   x 2 2 5  5 x  12 2  0  -Giáo viên hỏi học sinh nhận xét về cách làm trên. Học sinh: Cách làm biến đổi tƣơng đƣơng trên đòi hỏi việc tính toán phải cẩn thận, rất dễ bị nhầm. Giáo viên yêu cầu học sinh làm cách 2 theo yêu cầu của bài toán. Giáo viên gợi ý hãy phân tích biểu thức dƣới dấu căn bậc hai thành tổng các bình phƣơng và nhìn mỗi căn đó là độ dài của một vectơ. Học sinh 2 làm bài dƣới sự hƣớng dẫn trên: 46 x2  4 x  40  90  6 x  x 2  226  ( x  2)2  36  (3  x)2  81  226  ( x  2)2  62  (3  x)2  92  226   Đặt u ( x  2;6) , v  (3  x;9)       2 2 2 2 v  (3  x )  9 u  v  (1;15)  u  v  226 u  x  2  6   Ta có: ; ;     u Vậy bài toán trở thành:  v  u  v   u Khi và chỉ khi , v cùng hƣớng   x2 6 12  k  0 : u  kv   x  2;6   k (3  x;9)   x 3 x 9 5 Vậy x  12 là nghiệm duy nhất của phƣơng trình. 5 Lời bình: Khi gặp bài toán trên học sinh thường sử dụng cách biến đổi tương đương, tuy nhiên biến đổi như vậy thì khi gặp khó khăn trong tính toán, học sinh thường không đủ kiên trì và bỏ cuộc. Vì vậy nếu giáo viên khéo léo hướng dẫn học sinh để có những liên hệ đến hình học, tìm tòi, sáng tạo thì học sinh sẽ tìm được cách 2, sẽ bớt đi việc tính toán phức tạp và sẽ thấy hứng thú hơn với việc học vì đã tìm thêm được cách giải mới hay hơn cách giải đã biết và đã nhìn được bài toán đại số dưới góc độ hình học. ●Nhận xét: Nhƣ vậy qua những bài tập trên học sinh đƣợc rèn luyện các năng lực chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác, rèn khả năng xem xét đối tƣợng dƣới những khía cạnh khác nhau. Khả năng tìm ra giải pháp lạ tuy đã biết những giải pháp quen thuộc khác.Qua đó học sinh đã đƣợc rèn luyện các thành phần cơ bản của tƣ duy sáng tạo đó là: Tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn. 47 BÀI TẬP RÈN LUYỆN. Tìm nhiều phƣơng pháp giải cho mỗi bài toán sau. 1) x 2  2 x  3  3 3x  5 2) x  4  6  x  x 2  12 x  8 3) x 2  x  12 x  1  36 4) x  9  2 x  4  5 4. 5)( x  1)2  4 x  1  3  0 6) x  x 2  1  x  x 2  1  2 7) x 2  4 x  5  2 2 x  3 8. Tìm m để phƣơng trình có nghiệm: 3  x  6  x  (3  x)(6  x)  m 9. Biện luận theo m số nghiệm của phƣơng trình: 1  x2  x  m 10. Tìm a để bất phƣơng trình sau nghiệm đúng với mọi x   4;6 ( x  4)(6  x)  x 2  2 x  a 11. Tìm m để phƣơng trình sau có nghiệm duy nhất. 4 x  x5 m 2.2.2. Dạng bài tập rèn luyện suy nghĩ không dập khuôn, máy móc Dạng bài tập này giúp học sinh rèn luyện tính mềm dẻo của tƣ duy. Đó là dạng bài tập mà thoạt nhìn học sinh sẽ lầm tƣởng là có thể giải quyết nó bằng cách đã biết, đã rất quen thuộc. Tuy nhiên khi bắt tay vào làm thì cách làm đó không giải quyết đƣợc vấn đề, hoặc nếu có giải quyết đƣợc thì cũng gặp rất nhiều khó khăn. Nhƣ vậy việc suy nghĩ dập khuôn, máy móc không đạt kết quả nhƣ mong muốn, đòi hỏi học sinh phải chuyển hƣớng suy nghĩ và tìm ra cách giải mới. Nói cách khác là không thể áp dụng máy móc những kinh nghiệm, kiến thức, kĩ năng đã có, đã biết vào hoàn cảnh mới, điều kiện mới mà trong đó đã có những yếu tố thay đổi. Cần có 48 năng lực nhận ra vấn đề mới trong điều kiện quen thuộc, chức năng mới của đối tƣợng quen biết. Bài tập 5: Tìm m để mỗi phƣơng trình sau có ba nghiệm phân biệt. a)( x  1)( x 2  2mx  3m  2)  0(1) b) x3  x(m  3)  m  2  0(2) ●Nhận xét: Phần lớn học sinh sẽ dễ dàng làm được câu a, các em sẽ phát hiện ra phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt khi phương trình x2  2mx  3m  2  0 có hai nghiệm phân biệt khác 1. -Ở phương trình (2) rất nhiều em theo lối mòn làm câu a và cố tách phương trình (2) thành tích, tuy nhiên các em gặp khó khăn, trở ngại vì không thể nhẩm được nghiệm nên không thể tách như dạng của phương trình (1). Do đó đòi hỏi học sinh phải điều chỉnh hướng tư duy, không thể tư duy dập khuôn theo lối mòn sẵn có.Vì vậy để hướng dẫn và rèn luyện, phát triển tư duy cho học sinh, GV sẽ tổ chức hoạt động cho học sinh thông qua phiếu học tập. Giáo viên tổ chức hoạt động. Để hƣớng dẫn học sinh giải bài toán trên, GV phát phiếu học tập cho học sinh với câu hỏi nhƣ sau Phiếu học tập. Cho hai phƣơng trình: ( x  1)( x 2  2mx  3m  2)  0(1) x3  x(m  3)  m  2  0(2) 1. Chỉ ra một nghiệm đã biết của phƣơng trình (1)? 2. Phƣơng trình (1) có ba nghiệm phân biệt khi phƣơng trình x3  x(m  3)  m  2  0 Có nghiệm nhƣ thế nào? 3. Phƣơng trình (2) có tách thành phƣơng trình tích nhƣ dạng của phƣơng trình (1) không? Tại sao? 4. Từ phƣơng trình (2) hãy rút m theo x (m= f(x))? Lập bảng biến thiên cho f(x). Hãy suy ra giá trị của m cần tìm? GV để thời gian học sinh suy nghĩ, quay trở lại từng câu hỏi và yêu cầu học sinh đƣa ra các ý kiến. Dự kiến câu trả lời của học sinh: 49 1. Phƣơng trình (1) luôn có một nghiệm 2. Có thể có các ý kiến sau: Phƣơng trình (1) có ba nghiệm phân biệt khi phƣơng trình x2  2mx  3m  2  0 - Có hai nghiệm phân biệt. - Có hai nghiệm phân biệt khác 1. GV phân tích và chỉ ra ý kiến một chƣa đúng, phân tích và nhận xét ý kiến thứ hai đã đúng. 3. Phƣơng trình (2) không thể tách thành phƣơng trình tích nhƣ dạng của phƣơng trình (1) vì không thể nhẩm đƣợc nghiệm. x3  3x  2 4. Từ phƣơng trình (2) ta có: m   f ( x) x 1 GV: Yêu cầu học sinh xét dấu f '( x) , lập bảng biến thiên cho . 2 x3  3x 2  5 ( x  1)(2 x 2  5 x  5) HS: f '( x)   2 2  x  1  x  1 f '( x)  0  x  1 BBT: - f '( x) -1 - 1 0 + + + + + + f ( x) 0 - Từ BBT suy ra giá trị cần tìm của m để phƣơng trình (2) có ba nghiệm phân biệt là m0 ●Nhận xét: Nhƣ vậy qua bài tập này học sinh đƣợc rèn luyện cách tích cực tƣ duy, rèn luyện khả năng không suy nghĩ dập khuôn máy móc, rèn năng lực chuyển hóa tƣ duy, phải biết áp dụng một cách sáng tạo những kiến thức đã đƣợc học vào những bài toán mới, điều kiện mới. 50 Bài tập 6: Giải phƣơng trình: x  1  3x  5  7  2 x  3 ▪Nhận xét: Rất nhiều học sinh sau khi đặt điều kiện cho các căn có nghĩa thì sử dụng phƣơng pháp biến đổi tƣơng đƣơng bằng cách bình phƣơng hai vế của phƣơng trình. Một số học sinh khác giữ nguyên phƣơng trình x  1  3x  5  7  2 x  3 Sau đó sử dụng phép biến đổi hệ quả là cũng bình phƣơng hai vế đƣợc phƣơng trình hệ quả 4 x  4  2 ( x  1)(3x  5)  2 x  52  14 2 x  3 Đến đây học sinh sẽ lúng túng không biết giải quyết tiếp theo nhƣ thế nào vì không thể bình phƣơng tiếp đƣợc do sẽ dẫn đến một phƣơng trình rất phức tạp, cũng không thể đặt ẩn phụ vì các biểu thức không dễ biểu diễn qua nhau và qua ẩn phụ. Nhƣ vậy cách nhìn một cách dập khuôn, máy móc cứ thấy căn bậc hai và hai vế đều dƣơng thì bình phƣơng hai vế hoặc bình phƣơng hai vế để có phƣơng trình hệ quả không giải quyết đƣợc bài toán này. Do vậy buộc học sinh phải tƣ duy, tìm ra một cách khác. - Nếu học sinh quan sát kĩ, để ý một chút sẽ thấy các hàm số dƣới dấu căn là những hàm số tăng. Khi đó có thể nghĩ đến phƣơng pháp sử dụng hàm số. Lời giải: 5 3 Xét hàm số y  f ( x)  x  1  3x  5  2 x  3  7 Điều kiện x  1 3 1 5     0x   ;   2 x  1 2 3x  5 2x  3 3  5  Nên hàm số y  f ( x) là hàm số đồng biến trên đoạn  ;   3  Do đó f ( x)  0 nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất của phƣơng trình. Nhận thấy f (3)  0 .Vậy phƣơng trình có nghiệm duy nhất Ta có f '( x)  Bài tập7 Cho hai phƣơng trình: x2  (1  3m) x  3m  3  0(1) 51 1 1  (1  3m)( x  )  3m  1  0(2) 2 x x 1. Tìm m để phƣơng trình (1) có nghiệm? x2  2. Có thể đƣa phƣơng trình (2) về dạng của phƣơng trình (1) không? 3. Nêu các hƣớng tìm m để phƣơng trình (2) có nghiệm? Nhận xét: -Hầu hết học sinh sẽ dễ dàng làm đƣợc câu hỏi 1. -Dự kiến câu trả lời của học sinh ở câu 2 và 3: 1 Đặt t  x  , Điều kiện của (có thể sẽ có các ý kiến sau) x +) t  2 +) t  2 GV Chỉ ra cho học sinh điều kiện t  2 là sai, đồng thời chỉ ra các cách để tìm điều kiện của t +) Sử dụng tam thức bậc hai. +) Chia trƣờng hợp và sử dụng bất đẳng thức Côsi. +) Sử dụng phƣơng pháp hàm số. Kết luận điều kiện của t là t  2 1 Học sinh sẽ nhìn ra t 2  x 2  2  2 x Đƣa phƣơng trình (2) về phƣơng trình ẩn t nhƣ sau: t 2  2  (1  3m)t  3m  1  0 Hay: t 2  (1  3m)t  3m  3  0(3) GV: Phƣơng trình (2) có nghiệm khi phƣơng trình (3) có nghiệm nhƣ thế nào? Nêu cách làm? Dự kiến câu trả lời của học sinh: -Phƣơng trình (3) có nghiệm thỏa mãn t  2 -Cách làm: +) Sử dụng định lí (đảo) của tam thức bậc hai. +) Chia trƣờng hợp sau đó áp dụng định lí Viet. +) Rút m ra và xét hàm số m= g (t) với t thỏa mãn t  2 52 GV nhận xét, chỉ ra ƣu điểm, nhƣợc điểm của từng cách mà học sinh đã nêu. GV khuyên học sinh nên làm theo hƣớng thứ 3 Phƣơng trình (3) t 2  t  3  3m(t  1) Nhận thấy t  1 không là nghiệm của phƣơng trình nên chia hai vế cho  t  1 ta đƣợc: t2  t  3 Phƣơng trình (3) có nghiệm t  2 ⇔ 3m  có nghiệm t  2 t 1 t2  t  3 ⇔ đƣờng thẳng y=m cắt đồ thị hàm số y  g (t )  tại những điểm có t 1 t 2  2t  2 (t  1) 2  1 hoành độ thỏa mãn t  2 Ta có g '(t )    0 t : t  2 (t  1)2 (t  1)2 Bảng biến thiên: - -2 1 2 + + + + - 3 Từ bảng biến thiên suy ra phƣơng trình (3) có nghiệm t  2 1 Khi 3m  hoặc 3m  3 3 1 Hay m  hoặc m  1 9 53 1 Kết luận: Phƣơng trình (2) có nghiệm khi m  hoặc m  1 9 ●Nhận xét Ở bài tập này, khi làm câu hỏi số 3. Nếu không chú ý thì nhiều học sinh sẽ áp dụng một cách máy móc, dập khuôn điều kiện của phƣơng trình (1) với phƣơng trình (3) t 2  (1  3m)t  3m  3  0(3) là phƣơng trình này có nghiệm nếu   0 mà quên mất điều kiện t  2 hoặc sẽ lúng túng không biết làm thế nào với điều kiện đó. Qua bài này học sinh đã đƣợc rèn luyện khả năng áp dụng sáng tạo những kiến thức đã biết, kiến thức cũ vào bài toán mới mà ban đầu tƣởng chừng nhƣ không liên quan. Học sinh gạt bỏ đƣợc lối suy nghĩ dập khuôn, máy móc. Bài tập 8: Giảiphƣơngtrình: 4 x  1  4 x 2  1  3 x 2 GV: Phƣơng trình trên có dạng quen thuộc không? HS: (Dự kiến câu trả lời): Học sinh có thể nhìn theo hƣớng f ( x)  g ( x)  h( x) GV: Nêu cách làm? HS: Có thể đặt điều kiện rồi biến đổi tƣơng đƣơng bằng cách bình phƣơng hai vế. GV: Nếu làm vậy các em gặp khó khăn gì? HS: Nhận thấy xuất hiện tiếp một phƣơng trình phức tạp nữa và phải biến đổi tiếp, sẽ ra một phƣơng trình bậc 4 khó giải vì không nhẩm đƣợc nghiệm. GV: Yêu cầu học sinh điều chỉnh suy nghĩ theo hƣớng khác! HS: Có thể coi vế trái là một hàm số y=f(x), vế phải là một hàm số y=g(x). Xét tính đơn điệu của chúng trên tập xác định của phƣơng trình và từ đó đƣa ra đƣợc kết luận nghiệm của bài toán. HS: Nhận ra: 1  y  4 x  1  4 x2  1 là hàm số đồng biến trên D   ;   vì có 2  2 4x 1  f '( x )    0  x  ;    4x  1 2  4 x2  1 3 +) Hàm số y  g ( x)   x là hàm nghịch biến trên D. 2 +) Hàm số 54 Vì vậy phƣơng trình có nghiệm duy nhất trên D. GV: Yêu cầu học sinh trình bày lời giải. HS: Trình bày lời giải: Đặt y  f ( x)  4 x  1  4 x 2  1 2 4x 1  Ta có: f '( x)    0  x  ;    2 4x  1  4 x2  1 1  Suy ra y  f ( x) là hàm số đồng biến trên  ;   2  3 Đặt y  g ( x)   x . 2 1  Ta có: g '( x)  1  0x   ;   2  1  Suy ra y  g ( x) là hàm nghịch biến trên  ;   . 2  Vậy phƣơng trình f ( x)  g ( x) nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất. 1 1 1 Nhận thấy: f    g   . Vậy x  là nghiệm của phƣơng trình. 2 2 2 1  Kết luận : tập nghiệm của phƣơng trình là S    . 2 2.2.3. Bài tập rèn luyện khả năng tìm ra những liên tưởng và những kết hợp mới Đây là dạng bài tập mà nếu biến đổi thuần túy, không nhìn đƣợc mối liên hệ giữa các yếu tố trong bài toán với các đối tƣợng toán học khác, không có đƣợc những liên tƣởng thì việc giải quyết bài toán sẽ gặp khó khăn, dài dòng thậm chí không giải quyết đƣợc.Tuy nhiên nếu tìm ra đƣợc những liên tƣởng và những kết hợp mới thì bài toán sẽ đƣợc giải quyết một cách dễ dàng và đƣa ra đƣợc cách giải rất độc đáo. Đáp ứng đƣợc yêu cầu của dạng bài tập trên sẽ giúp học sinh rèn luyện đƣợc tính độc đáo của tƣ duy sáng tạo. Bài tập 9: 55 Giải phƣơng trình sau trong khoảng (0;1) 1 32 x( x 2  1)(2 x 2  1)2  1  (1) x ▪Nhận xét: Đây là một phương trình bậc cao, thoạt nhìn học sinh sẽ thấy không khó khăn vì không thấy chứa căn thức và nhìn có vẻ đơn giản.Tuy nhiên khi bắt tay vào giải thì học sinh gặp rắc rối. Học sinh khai triển, nhân ra và quy đồng lên thì xuất hiện một phương trình bậc 8 và không nhẩm được nghiệm, vậy là hướng đi này không giải quyết được vấn đề. Khi đó buộc các em phải chuyển hướng làm. GV gợi ý: Vì nghiệm cần tìm x  (0;1) vậy ta có liên tƣởng đặt x với ẩn phụ nào? HS: Liên tƣởng đến sin  và cos . GV: Yêu cầu học sinh giải bài toán theo liên tƣởng đó.   HS: Đặt x  cos ,    0;   2 Phƣơng trình (1) trở thành: 1 (2) cos  32cos 2  (cos 2  1)(2cos 2   1) 2  cos  1 32cos  (cos 2  1)(2cos 2   1) 2  1   32cos 2  .sin 2  .(2cos 2   1) 2  1  cos  8sin 2 2 .cos 2 2  1  cos  2sin 2 4  1  cos  cos  1  2sin 2 4  cos  cos8 56 9 7 .sin 0 2 2  9  9 sin 2  0  2  k   7  sin  7  k 0   2 2  2sin 2 4 2   Vì    0;  nên có các giá trị 1  , 2  , 3  là các nghiệm của 9 9 7 2   phƣơng trình (2). Vậy trong khoảng (0;1) phƣơng trình (1) có ba nghiệm là:  2 cos   9   4   2   , cos   và cos     9   7  Trong bài toán trên học sinh đã được rèn luyện khả năng tìm ra liên tưởng giữa đại số với lượng giác, sự liên tưởng này đã làm cho việc giải quyết bài toán trở nên dễ dàng hơn rất nhiều, cách giải trên cũng rất độc đáo! Bài tập 10: Biện luận theo m số nghiệm của phƣơng trình: 3 12  x 2  2m  x 4 Nhận xét: Giáo viên phát vấn học sinh:Biến đổi phƣơng trình trên nhƣ thế nào? Học sinh: Phƣơng trình trên có dạng quen thuộc f ( x)  g ( x) do đó sử dụng phƣơng pháp biến đổi tƣơng đƣơng. Giáo viên chỉ ra nếu biến đổi tƣơng đƣơng phƣơng trình trên thì việc biện luận sẽ gặp khó khăn vì những điều kiện ràng buộc của x. Vậy có liên tƣởng gì khi nhìn những biểu thức trong phƣơng trình? 57 3 Học sinh sẽ nhận ra nếu đặt ẩn phụ y  12  x 2 thì sẽ nhận đƣợc đồ thị là một 4 nửa hình elip, và y  2m  x là một đƣờng thẳng. Khi đó số nghiệm của phƣơng trình đƣợc quy về số giao điểm của elip và đƣờng thẳng. Lời giải. 3 Đk: 12  x 2  0  4  x  4 4 3 Đặt y  12  x 2 khi đó ta có: 4 y  0 y  0    2 3 2   x2 y 2  1  y  12  4 x 16 12 3 Nhƣ vậy đồ thị của hàm số y  12  x 2 là một nửa elip (phần nằm phía trên trục 4 hoành Ox) Và y  2m  x là một đƣờng thẳng luôn song song với đƣờng thẳng y   x .Ta tìm hai vị trí tới hạn của nó: Đƣờng thẳng y  2m  x đi qua A(-4;0) nếu 0  2m  4  m  2 và qua B(4;0) nếu 0  2m  4  m  2 Đƣờng thẳng x2 y 2   1 khi y  2m  x tiếp xúc với nửa trên của (E) 16 12 16  12  4m2 m 7  m  0  58 f(x)=2sqrt(7)-x x^2/16+y^2/12=1; y>0 f(x)=-4-x f(x)=-x f(x)=4-x y 8 6 y=4-x 4 y=-x 2 y=-4-x x -9 -8 -7 -6 -5 -4 A(-4;0) -3 -2 -1 1 2 3 4 B(4;0) 5 6 7 8 9 -2 -4 -6 -8 Từ đồ thị ta có: m  7 +) Phƣơng trình có một nghiệm khi:   2  m  2 +) Phƣơng trình có hai nghiệm khi 2  m  7  m  2 +) Phƣơng trình vô nghiệm khi:  m  7 ●Nhận xét: Với bài tập này, học sinh được rèn luyện khả năng tìm ra những liên tưởng và kết hợp mới, học sinh phải điều chỉnh tư duy một cách linh hoạt, nhận ra sự liên tưởng giữa các biểu thức của phương trình với đồ thị hàm số để từ đó đưa ra được giải pháp nhanh gọn và độc đáo. 59 Bài tập 11 Giải phƣơng trình:  4( x  1)2  2(2 x  10) 1  3  2 x  2 3  TXĐ: D   ;   2  GV: Các biểu thức xuất hiện trong bất phƣơng trình có quan hệ với nhau không? Có thể biểu diễn qua nhau đƣợc không? GV gợi ý để học sinh có thể nhìn ra.   2 HS: 4( x  1) 2 có thể biểu diễn qua 1  3  2x đƣợc nhƣ sau: 1  3  2x  1  2 3  2x  2  1  (3  2 x)  4( x  1) 2 2 GV: Khi đó BPT đƣợc biến đổi nhƣ thế nào? Hãy giải tiếp BPT đó? HS: BPT trở thành:  4( x  1)2  2(2 x  10) 1  3  2 x   1  3  2x  1  2 3  2x  2  2   (2 x  10) 1  3  2 x  2 1  3  2 x  0  x  1  x  1      2 1  3  2 x  (2 x  10)   3  2x  3 x  3    Kết hợp với  điều kiện x  3 ta có tập nghiệm của bất phƣơng trình là 2 3  S   ;3  \ 1 2  ●Nhận xét: Qua hoạt động này , học sinh đƣợc rèn luyện khả năng tìm ra mối liên hệ bên trong của các biểu thức của bất phƣơng trình mà ban đầu thoạt nhìn tƣởng nhƣ chúng 60 không 1  3  2x có  1  2 3  2x mối  2 liên hệ:  1  (3  2 x)  4( x  1) 2 2 Nếu không nhìn đƣợc mối liên hệ này thì học sinh sẽ rất khó có thể tìm ra lối thoát cho bài toán. Nhƣ vậy việc tìm ra những liên tƣởng và những kết hợp trong bản thân các biểu thức trong bài toán là một việc làm không nên bỏ qua, nó tạo ra những cách giải hay, độc đáo. 2.2.4. Dạng bài tập rèn năng lực tư duy như: Tương tự, khái quát hóa, đặc biệt hóa. Bài tập 12: Phiếu học tập: Câu 1: Giải các phƣơng trình a) 3 x  3 x  1  3 2 x  1 b) 3 2 x  3  3 x  4  3 3x  1 Câu 2: Các biểu thức dƣới dấu căn trong mỗi phƣơng trình trên có liên quan đến nhau nhƣ thế nào? Câu 3: Có thể tổng quát dạng phƣơng trình trên nhƣ thế nào? Nêu các nghiệm của phƣơng trình ở dạng tổng quát? Câu 1: Với phiếu học tập trên giáo viên yêu cầu học sinh suy nghĩ đƣa ra hƣớng giải quyết bài toán. Học sinh: Đƣa ra hƣớng giải quyết bài toán là biến đổi tƣơng đƣơng bằng cách lập phƣơng hai vế của phƣơng trình. Giáo viên : Nhận xét hƣớng giải quyết đó đúng và gọi hai học sinh lên bảng làm. 61 -Học sinh thứ nhất giải câu a: a) 3 x  3 x  1  3 2 x  1  3 x  3 x 1 x  3 x 1  3  x  x 1 3   3 3   3  3 x( x  1)  2 x  1 x( x  1)  0 1  x    x  ( x  1) 2 x  3 x 1  0    x0  x  0  x( x  1)  0  x  1  x  1  0   -Học sinh thứ hai giải câu b: b) 3 2 x  3  3 x  4  3 3x  1  2x  3  x  4  (2x  3)( x  4)  3x  1 x  4  (2 x  3)( x  4)  0  2x  3  x  4  3   3 2x  3  3 3 3 3 3 1  x  3  2 x  3  ( x  4)   3 2x  3  3 x  4  0 3    2x  3  0  x    2  3 (2 x  3)( x  4)  0  x  4  0  x  4   Câu 2. Học sinh nhận ra mối liên hệ giữa hai biểu thức trong căn của vế trái có tổng bằng biểu thức trong căn của vế phải. Cụ thể: -Ở câu a: Tổng hai biểu thức trong căn của VT= x  ( x  1)  2 x  1 . Trong khi đó biểu thức trong căn của biểu thức ở vế phải cũng là: 2 x  1 -Ở câu b: Tổng hai biểu thức trong căn của VT= (2 x  3)  ( x  4)  3x  1. Trong khi đó biểu thức trong căn của biểu thức ở vế phải cũng là: 3x  1 62 Câu 3: Từ nhận xét của câu 2 học sinh đã nhận thấy mối liên hệ giữa các biểu thức dƣới dấu căn của hai vế. Do đó học sinh sẽ đƣa ra đƣợc dạng phƣơng trình tổng quát cho bài toán trên là: 3 ax  b  3 cx  d  3 (a  c) x  b  d b  x   a  d Các nghiệm của phƣơng trình trên là:  x   c  (b  d ) x  ac  ▪Nhận xét: Qua hoạt động trên học sinh đã đƣợc rèn luyện các năng lực tƣ duy nhƣ khái quát hóa, tƣơng tự. Khi chuyển từ ý a) sang ý b) của câu 1 là học sinh đã đƣợc rèn luyện về phép tƣơng tự. Ở câu 3 học sinh đã đƣợc rèn luyện về phép khái quát hóa. Học sinh đƣa ra đƣợc phƣơng trình dạng tổng quát nhờ vào quá trình giải các ý a, b và trả lời câu đƣợc hỏi số 2. Bài tập 13 Câu hỏi: 1.Sử dụng phƣơng pháp đặt ẩn phụ đƣa ra cách giải phƣơng trình sau: m a  f ( x)  m b  f ( x)  c(*) m a  f ( x)  n b  f ( x)  k (**) 2.Áp dụng phƣơng pháp đó hãy giải các phƣơng trình, bất phƣơng trình sau: a) 3 x  1  3 3  x  3 2 b) 3 x  5  x  3 63 Giáo viên tổ chức cho học sinh giải quyết câu hỏi: -Với câu hỏi 1, giáo viên cho học sinh nhận xét về mối liên hệ giữa các biểu thức dƣới dấu căn. Học sinh: Dễ dàng nhận ra khi cộng các biểu thức dƣới dấu căn thì triệt tiêu hết ẩn và chỉ còn lại hằng số. GV: Yêu cầu học sinh đƣa ra cách đặt ẩn phụ cho hai phƣơng trình trên. Học sinh: +) Với phƣơng trình m a  f ( x)  m b  f ( x)  c(*) đặt u  m a  f ( x), v  m b  f ( x) u  v  c Khi đó phƣơng trình trở thành hệ phƣơng trình:  m m u  v  a  b +) Với phƣơng trình m a  f ( x)  n b  f ( x)  k (**) đặt u  m a  f ( x), v  n b  f ( x) u  v  k Phƣơng trình trở thành hệ hai ẩn nhƣ sau:  m n u  v  a  b GV: Nhận xét câu trả lời của học sinh là đúng, yêu cầu hai học sinh lên bảng giải hai phƣơng trình đã cho. Học sinh 1: Giải phƣơng trình a) 3 x  1  3 3  x  3 2 Đặt u  3 x  1, v  3 3  x u  v  3 2 Phƣơng trình trở thành:  3 3 u  v  2 64  u  0  3 3  u  v  3 2 v  2 u  v  2     3 3 uv  0    u  v   3uv(u  v)  2   u  2  v  0  u  0 -Với  ta có : 3 v  2  u  3 2 -Với  ta có: v  0 3  x 1  0  x 1  0   x 1 3 3 3  x  2    3 x  2 3 3  x 1  2  x 1  2   x3 3 3  x  0    3 x  0 Kết luận: Vậy phƣơng trình có hai nghiệm: x  1 và x  3 . Học sinh 2: Giải bất phƣơng trình b) 3 x  5  x  3 Đk: x  5 u  v  3 Đặt u  3 x , v  5  x (v  0) ta có hệ:  3 2 u  v  5 3 3  u 3  27  27v  9v 2  v3 u  3  v u   3  v   3   3 2 2 3 2 u  5  v u  5  v  u  5  v  5  v 2  27  27v  9v 2  v3 v3  10v 2  27v  22  0(1)  3  3 2 2 u  5  v  u  5  v Xét bất phƣơng trình (1): v3  10v 2  27v  22  0  (v  2)(v 2  8v  11)  0 v  4  5   2  v  4  5 -Với v  4  5 ta có: x5   5 x  4 5   5 x  4 5     2  x  5     x  8 5  16 65   3 5 1  x  5 - Với 2  v  4  5 ta có: x5   2 5 x  4 5   45 x  4 5     2   3   1 5  x 1 Kết luận:   3 Tập nghiệm của bất phƣơng trình là: S    1  5 ;1        5  1 ;5  3 ▪Nhận xét: Khi làm bài tập trên học sinh đã đƣợc rèn luyện năng lực đặc biệt hóa. Sau khi đƣa ra phƣơng pháp chung cho trƣờng hợp tổng quát học sinh phải chỉ ra với phƣơng pháp đó thì những trƣờng hợp đơn lẻ cũng đúng bằng cách giải hai phƣơng trình a, b ở câu 2. Việc làm đó một lần nữa khẳng định việc khái quát đó là đúng. 2.2.5. Bài tập tìm sai lầm trong lời giải của bài toán. Trong quá trình giải phƣơng trình, bất phƣơng trình học sinh thƣờng mắc các sai lầm nhƣ diễn đạt không chính xác, sử dụng ngôn ngữ không đúng, thực hiện phép biến đổi tƣơng đƣơng một cách không chính xác (bình phƣơng hai vế của phƣơng trình khi chƣa biết dấu của chúng, giản ƣớc tùy tiện hai vế khi biểu thức chƣa khác không, dẫn đến mất nghiệm), bỏ quên điều kiện của phƣơng trình… Vì vậy trong quá trình dạy học, ngƣời giáo viên cần đƣa ra các bài tập tìm sai lầm và sửa sai lầm với mục đích giúp học sinh rèn luyện tính chính xác, tránh các sai lầm tƣơng tự, rèn tính nhuần nhuyễn trong tƣ duy, tăng khả năng phê phán. Bài 14:Tìm sai lầm trong các lời giải sau. Nêu cách khắc phục? Câu1. x  1  x  3   x  1   x  3  x 2  2 x  1  x 2  6 x  9  x  2 2 2  x  4  x  3  x  7 x  12   x  4  x  3   x  4  x  3  2 Câu 2. Câu 3: 66 x3  x3 Tìm m để phƣơng trình có nghiệm: mx  1 x  3m  5  x2 x2 Giải: mx  1 x  3m  5   mx  1  x  3m  5  x(m  1)  4  3m  0 x2 x2 Phƣơng trình có nghiệm khi  m  1  0  m  1 . Nghiệm đó là: x  3m  4 m 1 Để tổ chức đƣợc cho học sinh làm bài tập trên có hiệu quả giáo viên nên cho lớp hoạt động theo nhóm nhƣ sau: a)Chia lớp thành 4 nhóm b)Yêu cầu các nhóm hoạt động theo yêu cầu sau: -Yêu cầu mỗi học sinh trong nhóm đều suy nghĩ và có câu trả lời của riêng mình.Sau đó thảo luận trong nhóm, tổng hợp ý kiến . -Trình bày kết quả của nhóm: Chỉ ra sai lầm và cách khắc phục các sai lầm đó. c) Giáo viên đánh giá kết quả của các nhóm dựa trên tiêu chí: Điểm của nhóm là điểm sản phẩm của nhóm cộng với điểm trình bày của nhóm(Gọi một học sinh bất kì trong nhóm trình bày). Sản phẩm đúng là sản phẩm phát hiện đƣợc chỗ mắc sai lầm và nêu lên đƣợc cách khắc phục. d) Kết luận vấn đề sau khi đã cho các nhóm thảo luận. Câu 1: -Sai lầm ở chỗ bình phƣơng hai vế khi chƣa đặt điều kiện cho hai vế cùng dấu. Nhƣ vậy phƣơng trình nhận đƣợc chỉ là phƣơng trình hệ quả chứ không phải phƣơng trình tƣơng đƣơng.Việc làm trên dẫn đến ngộ nhận nghiệm ngoại lai x  2 là nghiệm của phƣơng trình ban đầu. -Cách khắc phục: Có hai cách. 67 Cách 1: Đƣa phƣơng trình đã cho về phƣơng trình hệ quả bằng cách bình phƣơng hai vế, sau đó thử lại và kết luận x  2 không là nghiệm của phƣơng trình ban đầu. x  1  x  3   x  1   x  3  x 2  2 x  1  x 2  6 x  9  x  2 2 2 Thay x  2 vào phƣơng trình x  1  x  3 thấy không thỏa mãn. Vậy x  2 không là nghiệm của phƣơng trình . Cách 2:Biến đổi tƣơng đƣơng:  x  3  0 x  3  x 1  x  3      x  2 2 x  2 x  1  x  3       Vậy phƣơng trình vô nghiệm. Câu 2: -Sai lầm ở chỗ chia cả hai vế cho  x  4  khi chƣa biết  x  4  có khác không hay không nên đã làm mất nghiệm x  4 của phƣơng trình. -Cách khắc phục: Có hai cách. Cách 1: Xét hai trƣờng hợp x  4 và x  4 . Cách 2: Chuyển  x  4 x  3  x 2  7 x  12 vế và đƣa   x  4  x  3   x  4  x  3   x  4   về phƣơng trình tích. x  4 x3 x3 0   x3 x30  Câu 3: -Sai lầm ở chỗ: Coi phƣơng trình mx  1 x  3m  5  (1) tƣơng đƣơng với phƣơng x2 x2 trình mx  1  x  3m  5 (2). Việc biến đổi sai lầm này dẫn đến việc ngộ nhận nghiệm của phƣơng trình (2) cũng là nghiệm của phƣơng trình (1). -Cách khắc phục: 68 Khẳng đinh với x  2 thì phƣơng trình (1) tƣơng đƣơng với phƣơng trình (2). Vì vậy khi m  1, x  3m  4 là nghiệm của phƣơng trình (2) sẽ là nghiệm của phƣơng m 1 m  1 m  1    trình (1) nếu  5m  4 2 x   2 m    m 1 3 ▪Nhận xét: Mục đích của bài tập này là giáo viên làm cho học sinh thấy đƣợc các sai lầm thƣờng mắc phải khi sử dụng phép biến đổi tƣơng đƣơng. Qua đó đƣa ra các hƣớng khắc phục để có lời giải đúng. Bài 15 Giải phƣơng trình: 3 2 x  1  3 x  1  3 3x  1 Sau đây là lời giải của một bạn học sinh A.Em hãy đánh giá lời giải trên, nếu có sai lầm thì chỉ ra sai lầm và nêu cách khắc phục sai lầm đó? Lời giải của học sinh A: 3 2 x  1  3 x  1  3 3x  1  2 x  1  x  1  3 3  2 x  1 x  1  3  2 x  1  3 x  1  3 x  1(1)  3  2 x  1 x  1  3  3  2 x  1 x  1 3x  1  1(3) (vì theo giả thiết 3  2 x  1  3 x  1  1(2) 3 2 x  1  3 x  1  3 3x  1 )   2 x  1 x  1 3x  1  1(4)  6 x3  7 x 2  0(5) x  0  7 x  6  (6) .Vậy phƣơng trình có hai nghiệm x  0 và x  69 7 6 Dự kiến các câu trả lời của học sinh sau khi xem xét lời giải của học sinh A: - Học sinh 1: Cho rằng lời giải trên là hợp logic và đúng. - Học sinh 2: Nhận thấy nếu thay x  0 vào phƣơng trình ban đầu thì không thỏa mãn, chứng tỏ x  0 không là nghiệm của phƣơng trình ban đầu. Giáo viên nhận xét phát hiện của học sinh 2 là đúng vì x  0 không là nghiệm của phƣơng trình ban đầu. Vậy câu hỏi đặt ra là sai lầm ở đâu? Từ bƣớc nào? Các phép biến đổi tƣơng đƣơng nhƣ vậy đã đúng chƣa? Kết luận vấn đề: -Sai lầm ở phép biến đổi tƣơng đƣơng. Phép biến đổi từ bƣớc (2) sang bƣớc (3) chỉ là phép biến đổi hệ quả. Tức là (1)  2;(2)  (3);(3)  (4);(4)  (5);(5)  (6) -Cách khắc phục: Nhƣ vậy do (3) là hệ quả của (1) nên sau khi có nghiệm x  0 và x  7 của (3) ta 6 phải có phép thử. -Thay x  0 vào (1) ta có: VT (1)  3 1  3 1  2;VP(1)  3 1  1 Vậy x  0 không là nghiệm của (1) x -Thay VT (1)  Vậy x  3 7 6 vào (1) 8 31 3 27 3   3 ;VP  3 3 6 6 6 6 6 7 là nghiệm của phƣơng trình (1). 6 ▪Nhận xét: 70 ta có: Bài toán trên cho ta thấy nếu nhầm lẫn giữa phép biến đổi hệ quả với phép biến đổi tƣơng đƣơng mà không thử lại nghiệm thì chúng ta sẽ lấy thừa các nghiệm “ngoại lai”. Bài 16: Kiểm tra tính chính xác của lời giải sau, nêu sai lầm (nếu có).Nêu cách khắc phục? Tìm m để phƣơng trình mx +2 2 x  3  m  (1) vô nghiệm: x2 x2 Lời giải: Đk: x  2 . Với điều kiện trên phƣơng trình (1) tƣơng đƣơng phƣơng trình mx  2  2 x  3  m (2) (2)  x(m  2)  1  m m  2  0 m  2 Phƣơng trình này vô nghiệm nếu   m2 1  m  0 m  1   Kết luận phƣơng trình (1) vô nghiệm khi m  2 . -GV tổ chức cho học sinh nghiên cứu lời giải đó, chỉ ra sai lầm nếu có, nêu cách khắc phục. -Dự kiến các tình huống có thể xảy ra: +) Tình huống 1: Học sinh kiểm tra thấy rõ rang phƣơng trình dạng ax  b  0 vô a  0 nghiệm nếu  b  0 Mà phƣơng trình trên có dạng đó. Vì vậy kết luận lời giải trên đúng. +)Tình huống 2: Nhận xét lời giải trên chỉ đúng cho phƣơng trình (2). Do đó việc kết luận m  2 mà phƣơng trình (1) vô nghiệm là chƣa đủ . -Kết luận vấn đề: Lỗi sai lầm của lời giải trên là đã bỏ qua việc đối chiếu điều kiện, trƣờng hợp phƣơng trình (2) có nghiệm và nghiệm đó bằng 2 thì cũng làm cho phƣơng trình (1) vô nghiệm. Vì vậy việc kết luận nhƣ trên dẫn đến thiếu giá trị cần tìm của m. 71 -Cách khắc phục: Xét trƣờng hợp m  2 , phƣơng trình (2) có nghiệm duy nhất x  không là nghiệm của (1)nếu x  1 m . Giá trị này m2 1 m 5 2m . m2 3 m  2 Vậy phƣơng trình (1) vô nghiệm nếu  5 m  3  Bài 17 Phiếu học tập: Để giải phƣơng trình  x 2  5x  4  x 2  9  0 , bạn Hải đã làm nhƣ sau: x 2  5x  4 x 1 x  4  x2  5x  4  0 2 x 9 0  2  x  3 x  9  0   x  3 Vậy tập nghiệm của phƣơng trình là: S  3,1,3,4 Em hãy đánh giá lời giải trên, phát hiện sai lầm nếu có và nêu cách khắc phục đó? -Dự kiến các tình huống có thể xảy ra: +) Học sinh thấy không có sai lầm vì nhận thấy các phép biến đổi có vẻ đúng . +)Học sinh thay các phần tử trong tập S thì thấy x  1 làm cho biểu thức x 2  9  trong căn bậc hai nhận giá trị âm, nên x 2  9 không xác định khi x=1.Vì vậy kết luận là có sai lầm. -Kết luận vấn đề: +) Sai lầm ở chỗ: Không đặt điều x  3 trình: x 2  9  0    x  3 72 kiện xác định của phƣơng +) Cách khắc phục: Lời giải đúng: x 2  5x  4  x2  9  0  x2  9  0   x2  9  0  x2  5x  4  0   x  3    x  3 x  3  x  3    x  3   x  3   x  4  x  1     x  4  Nhƣ vậy với sai lầm của lời giải ban đầu, học sinh sẽ rút ra bài học là cần thiết phải đặt điều kiện cho phƣơng trình. Kết luận chƣơng 2 Trong chƣơng 2, luận văn đã thực hiện đƣợc những nội dung sau: - Phát triển tƣ duy sáng tạo khi giảng dạy lý thuyết. - Phát triển tƣ duy sáng tạo khi giảng dạy bài tập. Khi giảng dạy bài tập để phát triển tƣ duy sáng tạo cho học sinh tác giả đã đƣa ra 5 dạng bài tập về phƣơng trình, bất phƣơng trình, nhằm phát triển các yếu tố của tƣ duy sáng tạo nhƣ tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn, tính độc đáo, cũng nhƣ rèn luyện một số năng lực tƣ duy nhƣ khái quát hóa, tƣơng tự hóa, đặc biệt hóa. 73 Với mỗi dạng bài tập đƣa ra tác giả đều lựa chọn phƣơng pháp dạy phù hợp nhằm phát triển tƣ duy sáng tạo cho học sinh nhƣ: Phƣơng pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề, phƣơng pháp dạy học hợp tác, phƣơng pháp làm việc nhóm. Thông qua hệ thống bài tập đó với những phƣơng pháp dạy học thích hợp chắc chắn rằng sẽ góp phần làm phát triển tƣ duy sáng tạo của học sinh khi học phần phƣơng trình, bất phƣơng trình nói riêng và các nội dung học khác nói c CHƢƠNG 3 THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM 3.1.Mục đích, nội dung thực nghiệm sư phạm 3.1.1 .Mục đích của thực nghiệm sư phạm Thực nghiệm sƣ phạm nhằm mục đích kiểm tra sự phát triển của các yếu tố của tƣ duy sáng tạo của học sinh sau khi học các dạng bài tập về phƣơng trình, bất phƣơng trình trong giáo án thực nghiệm. 3.1.2.Nội dung của thực nghiệm sư phạm -Dạy giáo án đã soạn về phƣơng trình, bất phƣơng trình với mục đích phát triển tƣ duy sáng tạo cho học sinh. -Sau khi dạy xong, cho học sinh ở các lớp thực nghiệm và lớp đối chứng làm bài kiểm tra tự luận trong khoảng thời gian 60 phút. 3.2. Tổ chức thực nghiệm 3.2.1. Đối tượng và địa bàn thực nghiệm -Đối tƣợng thực nghiệm là dạy học phần phƣơng trình, bất phƣơng trình ở trƣờng THPT (luận văn dừng lại ở phƣơng trình, bất phƣơng trình đại số). 74 -Địa bàn thực nghiệm là trƣờng Trung học phổ thông Lê Quý Đôn –Hà Đông –Hà Nội. Trong đó lớp 12A4 chọn là lớp thực nghiệm và lớp 12A6 chọn là lớp đối chứng. 3.2.2.Kế hoạch thực nghiệm -Chuẩn bị giáo án thực nghiệm. -Tiến trình thực nghiệm: Dạy thực nghiệm một số bài toán đã trình bày trong chƣơng 2 của luận văn theo hƣớng phát triển tƣ duy sáng tạo cho học sinh tại lớp 12a4.Sau khi dạy xong sẽ kiểm tra dƣới dạng tự luận ở lớp thực nghiệm 12A4 và lớp đối chứng 12A6 để so sánh, đối chứng và đánh giá kết quả. -Đánh giá kết quả thực nghiệm. -Thời gian thực nghiệm: 20/3/2012 đến 20/4/2012 3.2.3. Giáo án thực nghiệm sư phạm Giáo án 1 LUYỆN TẬP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH, BẤT PHƢƠNG TRÌNH Họ và tên ngƣời dạy: Lƣu Thị Hạnh Ngày dạy: 20/3/2012 Lớp dạy: 12A4-Trƣờng THPT Lê Quý Đôn - Hà Đông Lớp đối chứng: 12A6-Trƣờng THPT Lê Quý Đôn - Hà Đông I.Mục tiêu -Về kiến thức: Giúp học sinh nắm đƣợc một số phƣơng pháp giải phƣơng trình nhƣ phƣơng pháp sử dụng chiều biến thiên của hàm số, phƣơng pháp đặt ẩn phụ. -Về kĩ năng: Vận dụng các phƣơng pháp giải phƣơng trình, bất phƣơng trình một cách nhanh, chính xác .Biến đổi các bƣớc linh hoạt, có thể đƣa ra nhiều cách giải cho một phƣơng trình, bất phƣơng trình. 75 -Về tư duy, thái độ. Rèn luyện tính mềm dẻo và tính nhuần nhuyễn của tƣ duy.Rèn năng lực chuyển hóa trong tƣ duy tức là chuyển từ cách nhìn này sang cách nhìn khác, từ giải pháp này sang giải pháp khác, năng lực điều chỉnh kịp thời hƣớng suy nghĩ khi hƣớng suy nghĩ cũ không giải quyết đƣợc vấn đề hoặc khi gặp trở ngại. Học sinh chủ động phát hiện vấn đề và chiếm lĩnh tri thức mới. Có tinh thần hợp tác trong học tập. II. Phƣơng pháp Gợi mở vấn đáp, phát hiện và giải quyết vấn đề, thảo luận nhóm. III. Chuẩn bị -Về đồ dùng học tập: Sách giáo khoa, vở ghi và các vật dụng học tập cần thiết khác. -Về kiến thức : học sinh đã đƣợc học các phƣơng pháp giải phƣơng trình, bất phƣơng trình bằng cách biến đổi tƣơng đƣơng, đặt ẩn phụ, đánh giá và dùng chiều biến thiên của hàm số. IV.Tiến trình tổ chức bài học 1. Ổn định tổ chức lớp 2. Kiểm tra bài cũ Câu hỏi: Câu 1: Nêu các phƣơng pháp giải phƣơng trình, bất phƣơng trình đã đƣợc học? Câu 2: Nêu điều kiện của m để : Bất phƣơng trình: ▪ m  f ( x) có nghiệm trên D. ▪ m  f ( x) nghiệm đúng trên D ▪ m  f ( x) có nghiệm trên D ▪ m  f ( x) nghiệm đúng trên D (D là tập con của  ) Học sinh trả lời: 76 Câu 1:Một số phƣơng pháp giải phƣơng trình, bất phƣơng trình là: Phƣơng pháp biến đổi tƣơng đƣơng, phƣơng pháp đặt ẩn phụ, đánh giá và sử dụng chiều biến thiên của hàm số. Câu 2: ▪ m  f ( x) có nghiệm trên D  m  max f ( x) . D ▪ m  f ( x) nghiệm đúng trên D  m  min f ( x)x  D D ▪ m  f ( x) có nghiệm trên D  m  min f ( x) D ▪ m  f ( x) nghiệm đúng x  D  m  max f ( x) D 3. Luyện tập Hoạt động của GV Hoạt động của HS Hoạt động 1 Ghi bảng Bài 1 Cho phƣơng trình HS: Khi m=2 phƣơng x 2  4 x  5  m 2 x  5 Hãy nêu cách giải trình trở thành: a)Giải phƣơng trình với m=2 Câu a) phƣơng trình khi x 2  4 x  5  2 2 x  5 b)Tìm m để phƣơng trình có m=2? Giải bằng phƣơng pháp nghiệm? biến đổi tƣơng đƣơng. Phƣơng trình trở thành: Giải. a)Với m=2, phƣơng trình trở  x 2  4 x  5 2  4(2 x  5) thành: GV nhận xét khi   x2  4 x  5  2 2 x  5 5 x biến đổi tƣơng  2  2   x  2  1  2 2 x  5 đƣơng dẫn đến giải -Cách 1: Đặt ẩn phụ phƣơng trình bậc 4 HS: Đặt u  x  2, v  2 x  5 không đơn giản. ? Có phƣơng pháp Đƣa phƣơng trình về Điều kiện: v  0 nào khác không? 77  x  2 2  1  2 2x  5 ? Đặt ẩn phụ nhƣ Sử dụng phƣơng pháp thế nào? đặt ẩn phụ. Khi đó có hệ: u 2  1  2v  2 v  1  2u u 2  1  2v  2 2 u  v  2(v  u ) Giáo viên yêu cầu học sinh giải theo cách đó. u 2  1  2v     u  v  u  v  2   0 Đặt HS:  u 2  1  2v  u  1   u  v v  1   2  2  u  1  2v  u  2u  5  0 Học sinh giải theo ẩn phụ   u  v  2  0    v  2  u u, v vừa đặt. u  1  v  1 u  x  2, v  2 x  5 u  1 Với v  1  ta Học sinh suy nghĩ trả lời. có : x  2  1 x  3    x3  x  3 2 x  5  1    Vậy phƣơng trình có nghiệm duy Có thể sử dụng nhất x=3. phƣơng pháp đánh -Cách 2: Sử dụng phƣơng pháp giá để giải quyết đánh giá để giải quyết bài toán. bài Điều kiện của toán này không? Áp dụng bất đẳng thức xác định là x  Côsi. để phƣơng trình 5 2 Áp dụng bất đẳng thức Côsi có ▪ ( x  2)2  1  2( x  2) Đánh giá nhƣ thế 78 Dấu bằng xảy ra khi x  2  1 nào? ▪ 2 2 x  5  2 x  5  1  2( x  2) Do  x  2 đó 2 phƣơng trình  1  2 2x  5 tƣơng đƣơng: x  2  1  x3  2 x  5  1 Nêu một cách giải khác? Cách 3: Sử dụng chiều biến thiên của hàm số. Xét hàm số nào? Học sinh suy nghĩ đến cách sử dụng chiều biến Xét hàm y  f ( x)  ( x  2)2  1  2 2 x  5 5  trên  ;   2  thiên của hàm số. 2 2x  5 f '( x)  (2 x  4)  Học sinh chỉ ra hàm số cần số xét là: f '( x)  0  (2 x  4)  y  ( x  2)2  1  2 2 x  5 2 0 2x  5  ( x  3)(8x 2  28x  28)  0  x 3 (vì 8x2  28x  28  0 vô nghiệm) Bảng biến thiên x f '( x) 79 5 2  3  0  f ( x) 5 4  0 Từ bảng biến thiên suy ra trên 5  nửa khoảng  ;   ta luôn có 2  f ( x)  0 f ( x)  0  x  3 . và Vậy phƣơng trình có nghiệm duy nhất x  3 . b) b)Tìm m để phƣơng trình có Nêu cách làm? nghiệm: x 2  4 x  5  m 2 x  5 Xét hàm số nào? Giải: b) Giáo viên chú ý Học sinh chỉ ra hàm số cho học sinh cần lí cần 5 luận x  không là 2 xét là x2  4 x  5 y  f ( x)  2x  5 Điều kiện: x  5 2 5 Nếu x  2 thì phƣơng trình vô nghiệm của phƣơng nghiệm . trình nên chia hai Do đó chia hai vế của phƣơng vế cho 2 x  5 ta trình 2x  5 ta có: x2  4 x  5 m 2x  5 mới có hàm số y  f ( x)  cho x2  4 x  5 2x  5 Đặt y  f ( x)  x2  4 x  5 2x  5 Ta có: f '( x)  80 x  2x  4 2x  5  2x  5 2  4 x  5 2x  5  2 x  4 2 x  5   x  4 x  5  f '( x)   2 x  5 2 x  5 2 3x 2  14 x  15  f '( x)   2 x  5 2 x  5 f '( x)  0  3x 2  14 x  15  0 x  3  5 x  3  BBT: x 5 3 5 2 f '( x) f ( x) 3  0   2 Từ bảng biến thiên suy ra phƣơng trình có nghiệm khi m  2 . Bài 2: Cho hai phƣơng trình: x 2  (1  3m) x  3m  3  0(1) Gọi học sinh trả lời câu hỏi 1 1 1  (1  3 m )( x  )  3m  1  0(2) x2 x Học sinh dễ dàng đƣa ra 1. Tìm m để phƣơng trình (1) đƣợc câu trả lời là : có nghiệm? Phƣơng trình (1) có x2  81 nghiệm khi biệt thức 2. Hãy đƣa phƣơng trình (2) về 0  9m2  18m  13  0  m   dạng phƣơng trình (1). 3. Tìm m để phƣơng trình (2) có nghiệm? Giải: 1.Phƣơng trình (1) có nghiệm khi   1  3m   4(3m  3)  0 2  9m2  18m  13  0  m   2.Đặt x  1 t. x Điều kiện t  2 . Đƣa phƣơng trình HS: Sử dụng phƣơng Khi đó : t 2  x 2  12  2 (2) về phƣơng trình x pháp đặt ẩn phụ có thể (1) bằng cách nào? Phƣơng trình (2) đƣa về phƣơng đƣa phƣơng trình (2) về trình ẩn t nhƣ sau: phƣơng trình (1) t 2  (1  3m)t  3m  3  0(3) 1 Đặt x   t x Điều kiện của t? Sau khi giáo viên gợi ý Giáo viên cần lƣu các cách tìm điều kiện 3.Phƣơng trình (2) có nghiệm khi ý: Học sinh thƣờng trình của t, học sinh chỉ ra cụ phƣơng chỉ ra điều kiện của t 2  (1  3m)t  3m  3  0(3) thể: t là t  2 vì các em Hƣớng 1: có nghiệm t thỏa mãn t  2 . hay mắc sai lầm Điều kiện của t là phƣơng Cách 1:Sử dụng phương pháp dùng luôn bất đẳng 1 trình x   t có nghiệm hàm số. thức Côsi x Phƣơng trình (3) 82 1 1 x   2 x.  2 x x Mà không  x2  tx  1  0 quan nghiệm khác 0. tâm đến dấu của x 1 và . x t 2  (1  3m)t  3m  3  0(3) 2 có  t  t  3  3m(t  1) Nhận thấy t  1 không là nghiệm của phƣơng trình nên chia hai vế cho ta đƣợc:  t  1 khác 0.   0  2 0  t.0  1  0 t 2  4  0  t 2 Do đó giáo viên    t    cần hƣớng dẫn học Hƣớng 2:(dùng bất đẳng sinh các hƣớng tìm thức) ra điều kiện đúng Nếu x  0 thì của t là t  2 . 1 1 Hƣớng 1:Sử dụng t  x  x  2 x. x  2 (*) tam thức bậc hai. Nếu x  0 thì: Hƣớng 2: Chia Đặt x '   x khi đó x '  0 trƣờng hợp( x  0 và x  0 ) và sử dụng Và t  x  1  ( x ' 1 ) bất đẳng thức Côsi. x x' Hƣớng 3: Sử dụng phƣơng pháp hàm Mà x ' 1  2 x '. 1  2 số. x' x' Suy ra t  2 (**) Từ (*) và (**) suy ra điều kiện của t là t  2 . Hƣớng 3:(dùng hàm số) t2  t  3 3m  t 1 Phƣơng trình t 2 nghiệm t 2  2t  2 (t  1) 2  1 g '(t )   0 (t  1)2 (t  1)2 t : t  2 Bảng biến thiên: t  -2 1  2 g '(t ) + + 1 3 1 x2  g (t )  83 có ⇔ t2  t  3 có nghiệm t  2 3m  t 1 ⇔đƣờng thẳng y=3m cắt đồ thị t2  t  3 hàm số y  g (t )  tại t 1 những điểm có hoành độ thỏa t 2 mãn Ta có 1 t  g ( x)  x  x g '( x)  1  (3) 3 x 1 g '( x)  0    x  1 Lập bảng biến thiên và chỉ ra t  2 . Giáo viên yêu cầu học sinh nêu các Học sinh suy nghĩ và đƣa Từ bảng biến thiên suy ra phƣơng cách để tìm m sao ra các cách làm khác trình (3) có nghiệm t  2 khi cho phƣơng trình nhau: 3m  3 m  1  (3) có nghiệm thỏa Cách 1: Sử dụng chiều 1 1 3m  m  3 9   mãn t  2 ? biến thiên hàm số. Rút m ra theo t và xét Kết luận: Vậy phƣơng trình (2) có nghiệm hàm g(t) t2  t  3 3m  g (t )  t 1 Lập bảng biến thiên của g(t) và từ đó suy ra giá trị của m. ý và phân tích cho Cách 2:Sử dụng tam thức sinh khi bậc hai. tam thức bậc hai và áp dụng Ta đi tìm m để phƣơng trình (3) vô nghiệm với t thỏa mãn: t  2 hay nói cách khác là phƣơng trình (3) có nghiệm Cách 2: Sử dụng định lí đảo của cách làm gián tiếp. -Giáo viên cần chú học m  1 khi  1 m  9  tìm m để phƣơng trình (3) có t  2 thì nghiệm t thỏa mãn t  2 . Loại đi tại sao có các điều những giá trị m tìm đƣợc đó thì còn lại là những giá trị m để phƣơng trình (3) có nghiệm với 84 t  2.   0 a. f (2)  0  kiện: a. f (2)  0  2  S  2  2 Thật vậy phƣơng trình t 2  (1  3m)t  3m  3  0(3) Có nghiệm t thỏa mãn t  2 khi   0 a. f (2)  0  và chỉ khi: a. f (2)  0  2  S  2  2 9m 2  18m  13  0  9m  1  0  3m  3  0  2  3m  1  2  2 m    1 m  1  9    m 1 9 m  1  5 1  m  3  Vậy 1  m  1 thì phƣơng trình có 9 nghiệm t thỏa mãn t  2 , hay phƣơng trình (3) có nghiệm t thỏa m  1 mãn t  2 khi  1 m  9  Kết luận phƣơng trình (2) có 85 m  1 nghiệm khi  1 m  9  4. Củng cố kiến thức: -Qua các bài tập trên cần chú ý khi đặt ẩn phụ trong một phƣơng trình, bất phƣơng trình cần phải tìm điều kiện cụ thể cho ẩn phụ. Việc tìm điều kiện có thể áp dụng các cách nhƣ: dùng bất đẳng thức, dùng tam thức bậc hai, dùng hàm số. 5. Bài tập về nhà. Tìm m để phƣơng trình x 2  1 1  1   (2 m  1) x   5 m   0 có nghiệm?   16 x 2 4 x 2   Giáo án 2 LUYỆN TẬP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH, BẤT PHƢƠNG TRÌNH Họ và tên ngƣời dạy: Lƣu Thị Hạnh Ngày dạy: 15/4/2012 Lớp dạy: 12A4 Lớp đối chứng: 12A6 I.Mục tiêu -Về kiến thức: Giúp học sinh có khả năng tìm ra những liên tƣởng và những kết hợp mới, khả năng tìm ra giải pháp lạ tuy đã biết những giải pháp khác từ đó chọn ra cách giải hay, độc đáo. -Biết phát hiện sai lầm và cách khắc phục các sai lầm của một số lời giải cho trƣớc. -Về kĩ năng: 86 Rèn kĩ năng vận dụng các phƣơng pháp giải phƣơng trình, bất phƣơng trình một cách nhanh, chính xác . Tìm đƣợc mối liên tƣởng và những kết hợp mới. Phát hiện nhanh vấn đề, tìm ra sai lầm và biết cách khắc phục sai lầm đó. -Về tư duy, thái độ. Học sinh biết điều chỉnh tƣ duy một cách linh hoạt, để từ đó tìm đƣợc cách giải hay, độc đáo. II. Phƣơng pháp Gợi mở vấn đáp, phát hiện và giải quyết vấn đề, thảo luận nhóm. III. Chuẩn bị -Về đồ dùng học tập: Sách giáo khoa, vở ghi và các vật dụng học tập cần thiết khác. -Về kiến thức: học sinh đã đƣợc học các phƣơng pháp giải phƣơng trình, bất phƣơng trình bằng cách biến đổi tƣơng đƣơng, đặt ẩn phụ, đánh giá và dùng chiều biến thiên của hàm số. IV.Tiến trình tổ chức bài học 1. Ổn định tổ chức lớp 2. Kiểm tra bài cũ: Câu hỏi: Thế nào là phép biến đổi tƣơng đƣơng? Phép biến đổi hệ quả? 3. Luyện tập Hoạt động của thầy và trò Ghi bảng Bài 1 : Tìm nhiều cách giải cho bài toán sau: Tìm m để bất 2 Thông qua vấn đáp , gợi mở,giáo trình: ( x  3)(5  x)  x  2 x  m viên cho học sinh suy nghĩ và đƣa nghiệm đúng với mọi 3  x  5 ra các ý kiến về các cách giải bất phƣơng trình trên. Dự kiến các tình huống mà học Giải: sinh đƣa ra: -Học sinh 1: ●Cách 1: 87 phƣơng (1) Chuyển về dạng m  f ( x) cụ thể: m  ( x  3)(5  x)  x 2  2 x Sau đó áp dụng phƣơng pháp hàm số để tìm m GV: Khi nào thì bất phƣơng trình m  f ( x)x  D HS: m  max f ( x) Đƣa bất phƣơng trình (1) về ( x  3)(5  x)  x 2  2 x  m Bài toán trở thành :Tìm m để bất phƣơng trình: m  ( x  3)(5  x)  x 2  2 x x   3;5 Đặt f ( x)  ( x  3)(5  x)  x 2  2 x D GV: yêu cầu học sinh làm theo cách đó. x  1  2x  2 ( x  3)(5  x) f '( x)    ( x  1) 1  2 ( x  3)(5  x)  ( x  3)(5  x ) Ta có: f '( x)  0  x  1 BBT -3 x f '( x) 1 + 0 5 - 5 f ( x) Từ bảng biến thiên suy ra: m  ( x  3)(5  x)  x 2  2 xx   3;5  m  max f ( x)  m  5  3;5 ●Cách 2: Đặt t  g ( x)  ( x  3)(5  x) -Học sinh 2: Ta có: 88 Đặt t  ( x  3)(5  x) x2  2 x  15  t 2 đƣa về thì g '( x)  bất phƣơng trình ẩn t, từ đó tìm m để ( x  1) ( x  3)(5  x) g '( x)  0  x  1 bất phƣơng trình có nghiệm. GV: Khi x   3;5 thì t thuộc đoạn nào?Nêu cách tìm? HS : Tìm đƣợc khi x   3;5 thì t  0;4 bằng các phƣơng pháp : +) Hàm số BBT của g ( x) -3 x g '( x) 1 + +)Bất đẳng thức côsi +)Tam thức bậc hai. HS: t  ( x  3)(5  x)  0 Khi x   3;5 thì ( x  3)  0 và (5  x)  0 Áp dụng bất đẳng thức côsi có: x 35 x ( x  3)(5  x)  4 2 Vậy 0  t  4 0 - 4 g ( x) GV: Áp dụng bất đẳng thức côsi tìm điều kiện của t? 5 0 0 Nhƣ vậy x   3;5 thì t   0;4 . Vì t  ( x  3)(5  x)  t 2   3  x  5  x    x 2  2 x  15 Bài toán trở thành: Tìm m để bất phƣơng trình t  15  t 2  m nghiệm đúng t  0;4 Hay: m  t 2  t  15 nghiệm đúng t  0;4 Đặt f (t )  t 2  t  15 ta có: f '(t )  2t  1, f '(t )  0  t  BBT của f (t ) 89 1 2 t 1 2 0 f '(t ) - 0 4 + -15 5 f (t ) 61 4 Từ bảng biến thiên suy ra m  maxf(t)  m  5 . 0;4 -GV: Đặt câu hỏi, hãy cho biết đồ ●Cách 3: thị của hai hàm số Ta có: y  ( x  3)(5  x) và y  ( x  3)(5  x) y  x 2  2 x  m có hình dạng gì? y  0  2 2  y   x  2 x  15 -Dự kiến câu trả lời của học sinh: y0 y  x 2  2 x  m có đồ thị là một   2 2 ( x  1)  y  16 parabol (P) có bề lõm hƣớng lên trên, luôn nhận đƣờng thẳng x=1 Vậy đồ thị của hàm số y  ( x  3)(5  x) làm trục đối xứng. là nửa đƣờng tròn (C ) nằm phía trên trục -GV:hãy đặt điều kiện rồi bình hoành Ox, có tâm I(1;0), bán kính R=4. 90 phƣơng hai vế của biểu thức y  ( x  3)(5  x) Sau đó cho biết đồ thị của hàm số (x-1)^2+y^2=16; y>0 f(x)=x^2-2x+5 x=1 y  ( x  3)(5  x) y -HS: 8 y  ( x  3)(5  x) 6 4 y  0  2  y   x  3 5  x  2 x=1 x -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3  y  0  2 2  x  1  y  16 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -2 -4 -6 Vậy đồ thị là nửa đƣờng tròn (C ) -8 nằm phía trên trục hoành Ox, có tâm I(1;0), bán kính R=4 -GV: nêu yêu cầu của bài toán khi đã xác định đƣợc hai đồ thị của hai hàm số? Xét parabol tiếp xúc với đƣờng tròn tại điểm M (1;4)  m  5 . Vậy m  5 thì (P) nằm phía trên (C ). m  5 thì bất phƣơng trình nghiệm đúng HS: Ta tìm m để (C) nằm phía Hay x   3;5 . dƣới (P) với mọi x  3;5 .   ●Cách 4: (Sử dụng điều kiện cần và đủ) ( x  3)(5  x)  x 2  2 x  m(1) ▪Điều kiện cần: GV: Đặt câu hỏi có còn cách nào Vì khác không? bất phƣơng trình đúng với mọi x   3;5 nên bất phƣơng trình đúng với GV: Gợi ý sử dụng phƣơng pháp x  3; x  5 và x  1 (giá trị x  1 là trung 91 điều kiện cần và đủ. điểm của đoạn  3;5 . ▪Điều kiện cần: Thay x  3 vào (1) ta có : GV: Để bất phƣơng trình đúng với mọi x   3;5 thì đúng với những giá trị đặc biệt nào của x  m  15 x  5 vào Thay HS: bất phƣơng trình đúng với x  3, x  5, x  1 (giá trị (3  3)(5  3)  (3)2  2(3)  m x  1 là trung điểm của đoạn  3;5 GV: yêu cầu thử các giá trị đó và tìm ra m HS: tìm ra m  5 ▪ Điều kiện đủ. GV: Giả sử m  5 , hãy chỉ ra ( x  3)(5  x)  x 2  2 x  m(1) nghiệm đúng với mọi 3  x  5 GV: hƣớng dẫn học sinh dùng bất đẳng thức để đánh giá. (1) ta có: (5  3)(5  5)  52  2.5  m  m  15 Thay x  1 vào (1) ta có: (1  3)(5  1)  12  2.1  m  m  5 .Kết hợp lại ta có điều kiện cần để bất phƣơng trình: ( x  3)(5  x)  x 2  2 x  m nghiệm đúng x   3;5 là m  5 ▪Điều kiện đủ. Khi 3  x  5 thì ( x  3)  0 và (5  x)  0 Do đó áp dụng bất đẳng thức côsi ta có: VT  ( x  3)(5  x)  ▪Nhận xét: Với bài toán trên học sinh đã đƣợc Xét với m  5 ta có: VP  x 2  2 x  m rèn luyện cách nhìn một đối tƣợng  ( x  1) 2  m  1  m  1  4 toán học dƣới nhiều khía cạnh khác nhau, từ đó đã đƣa ra đƣợc nhiều phƣơng pháp giải toán. Qua những phƣơng pháp đó học sinh sẽ x 35 x 4 2 KL: Vậy m  5 thì bất phƣơng trình ( x  3)(5  x)  x 2  2 x  m 92 (vì m  5 ) thấy cho riêng mình một cách giải nghiệm đúng x   3;5 . hay, đáng nhớ và độc đáo. Bài 2: Tìm k để phƣơng trình sau có hai nghiệm phân biệt? x  1  x2  k Giải: Hoạt động : Hƣớng dẫn tìm lời 2 giải (Giáo viên hỏi, học sinh trả Đặt y  1  x , điều kiện y  0 . lời) Khi đó ta có: x2  y 2  1 -GV: Phƣơng trình trên có dạng Và x  y  k quen thuộc không? Bài toán trở thành: Nêu một cách làm? Tìm k để hệ -HS: Nhận thấy phƣơng trình x  1  x2  k  1  x2  k  x x  y  k  2 Có dạng f ( x)  g ( x) 2  x  y  1 có hai nghiệm phân biệt Vì vậy bài toán trở thành tìm k để  y  0 phƣơng trình 1  x 2  k  x có hai x ; y ; x ; y với x1  x2 nghiệm phân biệt thuộc đoạn [-  1 1   2 2  Ta có đồ thị nhƣ sau: 1;1] -GV:Yêu cầu học sinh chỉ ra cụ thể hơn (để thấy khó khăn khi làm y cách này!) -HS:yêu cầu bài toán trở thành:Tìm k để : x^2+y^2=1; y>0 x+y=sqrt(2) x+y=1 y[...]... pháp để phát triển tƣ duy sáng tạo cho học sinh THPT thông qua các bài toán giải phƣơng trình, bất phƣơng trình 26 CHƢƠNG 2 PHÁT TRIỂN TƢ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC GIẢI PHƢƠNG TRÌNH, BẤT PHƢƠNG TRÌNH 2.1 Phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh khi giảng dạy lý thuyết Phát triển tƣ duy sáng tạo cho học sinh là một quá trình lâu dài mà ngƣời giáo viên cần tiến hành thƣờng xuyên từ tiết học. .. luận chƣơng 1 Chƣơng này đã trình bày một số vấn đề: - Một số lí luận liên quan đến tƣ duy sáng tạo - Một số cách dạy học để phát triển tƣ duy sáng tạo của học sinh - Vai trò, vị trí của phần phƣơng trình, bất phƣơng trình ở trƣờng THPT - Thực trạng của vấn đề dạy và học phƣơng trình, bất phƣơng trình ở trƣờng THPT hiện nay trong việc phát triển tƣ duy sáng tạo cho học sinh - Dựa trên những căn cứ... tiết học khác cũng nhƣ cần thực hiện trong tất cả các khâu của quá trình dạy học Khi giảng dạy về phần phƣơng trình, bất phƣơng trình, muốn phát triển tƣ duy sáng tạo cho học sinh thì chúng ta không chỉ đề cập đến quá trình thực hành giải các phƣơng trình, bất phƣơng trình nhƣ thế nào mà một khâu cũng rất quan trọng là giảng dạy lý thuyết nhƣ thế nào để phát triển đƣợc tƣ duy cho học sinh Khi giảng dạy. .. trạng của việc học phương trình, bất phương trình ở trường phổ thông hiện nay Học sinh các trƣờng phổ thông hiện nay nói chung đang đứng trƣớc thực trạng là phải học với nội dung học nặng về cung cấp kiến thức, phƣơng pháp dạy học chủ yếu khai thác trí nhớ của học sinh Môn Toán cũng là môn học mà phƣơng pháp dạy học cũng có thực trạng đó và phần dạy học giải phƣơng trình, bất phƣơng trình cũng không... thì học sinh thƣờng hài lòng với cách giải đó mà không suy nghĩ, tìm tòi những cách giải khác để so sánh đối chiếu, chọn ra cách giải hay, tối ƣu 1.5.3 Thực trạng của việc dạy phương trình, bất phương trình ở trường THPT trong việc phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh Thực tế trong các trƣờng phổ thông hiện nay, khi giảng dạy về phần PT, BPT một số ít giáo viên đã có ý thức rèn luyện và phát triển. .. Phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề Đây là một trong những phƣơng pháp dạy học có thể phát triển tƣ duy sáng tạo cho học sinh bởi lẽ khi dạy học bằng phƣơng pháp này học sinh sẽ tích cực tham gia vào quá trình giải quyết vấn đề, các thao tác tƣ duy đƣợc rèn luyện, các thành phần củ tƣ duy sáng tạo đƣợc bồi dƣỡng Để giải quyết một vấn đề toán học học sinh cần có các kĩ năng: - Phát hiện vấn... dắt học sinh tìm tòi, khám phá kiến thức mới Bên cạnh đó cần tập cho học sinh cách suy luận có lý thông qua các năng lực trí tuệ nhƣ so sánh, phân tích, tổng hợp… 2.2 Rèn luyện và phát triển một số yếu tố của tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua các dạng bài tập giải phương trình, bất phương trình 2.2.1 Dạng bài tập có nhiều cách giải Đây là dạng bài tập đòi hỏi học sinh cần có năng lực chuyển hóa trong. .. ƣu Ở bƣớc này học sinh đƣợc rèn luyện kĩ năng tính toán, suy luận logic - Kiểm tra kết quả, đánh giá quá trình: Ở bƣớc cuối này học sinh đƣợc rèn luyện các thao tác của tƣ duy nhƣ so sánh, đối chiếu … Vì những kĩ năng cần phải có của học sinh trong phƣơng pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề nên phƣơng pháp này đã giúp học sinh rèn luyện và phát triển tƣ duy sáng tạo 1.3.2 Dạy học khám phá Dạy. .. giúp học sinh phát triển TDST 1.2.3 Bồi dưỡng TDST cho học sinh cần đặt trọng tâm vào việc phát hiện vấn đề mới, khơi dậy những ý tư ng mới Việc phát hiện vấn đề mới, ý tƣởng mới của học sinh ngƣời giáo viên cần làm trong khi giảng dạy cả lí thuyết và bài tập cho học sinh - Về giảng dạy lí thuyết cần tận dụng phƣơng pháp tập dƣợt nghiên cứu, trong đó giáo viên tạo ra các tình huống có vấn đề dẫn dắt học. .. trong các tình huống thực tế đƣợc toán học hóa Một vấn đề đƣợc quan tâm là trong quá trình kiểm tra, đánh giá thì các đề kiểm tra, các đề thi phải đƣợc soạn sao cho kiểm tra đƣợc năng lực TDST của học sinh, học sinh chỉ có thể làm đƣợc các đề thi đó trên cơ sở bộc lộ rõ rệt năng lực TDST của bản thân [4, tr 81] 1.3 Một số cách dạy học nhằm phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh 1.3.1 Phương pháp dạy ... cho học sinh Với lí nêu trên, với mong muốn góp phần phát triển tƣ sáng tạo cho học sinh, chọn đề tài: Phát triển tư sáng tạo cho học sinh dạy học phương trình, bất phương trình trường trung học. .. trình, bất phƣơng trình 26 CHƢƠNG PHÁT TRIỂN TƢ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC GIẢI PHƢƠNG TRÌNH, BẤT PHƢƠNG TRÌNH 2.1 Phát triển tư sáng tạo cho học sinh giảng dạy lý thuyết Phát triển. .. học phổ thông ” Mục đích nghiên cứu Phát triển tƣ sáng tạo cho học sinh dạy học phƣơng trình, bất phƣơng trình trƣờng trung học phổ thông Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu lí luận tƣ duy, tƣ sáng