Traàn Só Tuøng Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp 1 BIEÅU THÖÙC TOÅ HÔÏP – NHÒ THÖÙC NEWTON 1. (CÑSP TPHCM 1999) k k+ 2 k +1 C14 + C14 = 2C14 Tìm soá töï nhieân k thoaû maõn heä thöùc: 2. (ÑHDL Kyõ thuaät coâng ngheä khoái D 1999) 6 7 8 9 10 + C10 + C10 + C10 + C10 Tính toång: C10 trong ñoù Ckn laø soá toå hôïp chaäp k cuûa n phaàn töû. 3. (ÑH Ngoaïi ngöõ HN chuyeân ban 1999) Tìm caùc soá nguyeân döông x thoaû: C1x + 6Cx2 + 6C3x = 9x2 − 14x 4. (ÑH Baùch khoa HN 1999) Tính toång: S = C1n − 2Cn2 + 3Cn3 − 4Cn4 + ... + (−1)n−1.nCnn 5. trong ñoù n laø soá töï nhieân lôùn hôn 2. (ÑHQG HN khoái A 2000) +1 1001 ≤ C1000 Chöùng minh raèng: Ck2001 + Ck2001 2001 + C2001 6. (trong ñoù k nguyeân, 0 ≤ k ≤ 2000û) (ÑHQG HN khoái B 2000) Tìm soá haïng khoâng chöùa x trong khai trieån cuûa bieåu thöùc sau: 17  1  4  + x3 ÷ , x ≠ 0 3 2 ÷  x  7. 8. (ÑH Baùch khoa HN khoái AD 2000) 1 2 6 A2x − A2x ≤ .C3x + 10 Giaûi baát phöông trình: 2 x (ÑHSP HN khoái A 2000) n 28   − Trong khai trieån nhò thöùc  x3 x + x 15 ÷ , haõy tìm soá haïng khoâng phuï  ÷   thuoäc vaøo x, bieát raèng Cnn + Cnn−1 + Cnn− 2 = 79 9. (ÑHSP HN khoái BD 2000) Bieát toång taát caû caùc heä soá cuûa khai trieån nhò thöùc (x 2 + 1)n baèng 1024, haõy tìm heä soá a (a laø soá töï nhieân) cuûa soá haïng ax 12 trong khai trieån ñoù. 10. (ÑHSP TPHCM khoái DE 2000) 1 1 1 2 1 n 0 Cn Tính toång: S = Cn + Cn + Cn + ... + 2 3 n+1 Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp Traàn Só Tuøng 2 11. (ÑH Kinh teá quoác daân khoái A 2000) Chöùng minh: 2n−1C1n + 2n−1Cn2 + 2n−3 Cn3 + 2n− 4 Cn4 + ... + nCnn = n.3n−1 12. (ÑH Noâng nghieäp I khoái A 2000) 40 1  Tìm heä soá cuûa x31 trong khai trieån cuûa f(x) =  x + 2 ÷ x   13. (ÑH Thuyû lôïi 2000) Chöùng minh raèng vôùi moïi soá nguyeân n ≥ 2, ta luoân coù: 1 1 1 1 n−1 + 2 + 2 + ... + 2 = 2 n A2 A3 A4 An 14. (ÑH Thuyû lôïi II 2000) Cho ña thöùc P(x) = (1 + x)9 + (1 + x)10 + (1 + x)11 + … + (1 + x)14 coù daïng khai trieån laø: P(x) = a0 + a1x + a2x2 + … + a14x14. Haõy tính heä soá a9. 15. (ÑH Y Döôïc TPHCM 2000) Vôùi n laø soá nguyeân döông, haõy chöùng minh caùc heä thöùc sau: 1. Cn0 + C1n + Cn2 + ... + Cnn = 2n −1 2. C12n + C32n + C52n + ... + C2n = C02n + C22n + C42n + ... + C2n 2n 2n 16. (ÑH An ninh nhaân daân khoái DG 2000) Tính toång: 2 2000 + ... + 2001C2000 S = C02000 + 2C12000 + 3C2000 17. (HV Kyõ thuaät quaân söï 2000) Khai trieån ña thöùc: P(x) = (1 + 2x)12 thaønh daïng: a0 + a1x + a2x2 + … + a12x12 Tìm max(a1, a2, …, a12). 18. (ÑH Caûnh saùt nhaân daân khoái A 2000) 1 Tính tích phaân: I= ∫ x(1− x 2 n 0 ) dx (n ∈ N*) Töø ñoù chöùng minh raèng: 1 0 1 1 1 2 1 3 (−1)n n 1 Cn − Cn + Cn − Cn + ... + Cn = 2 4 6 8 2(n + 1) 2(n + 1) 19. (CÑ Caûnh saùt nhaân daân khoái A 2000) Tìm heä soá cuûa x5 trong khai trieån cuûa bieåu thöùc: (x + 1)4 + (x + 1)5 + (x + 1)6 + (x + 1)7 20. (ÑH An Ninh khoái A 2001) Tìm caùc soá aâm trong daõy soá x1, x2, …, xn, … vôùi Xem theâm : wWw.ThanhBinh1.Com Traàn Só Tuøng 3 xn = Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp An4+ 4 143 − (n = 1, 2, 3, …) Pn+ 2 4Pn 21. (ÑH An ninh nhaân daân khoái A 2001) Chöùng minh raèng vôùi n laø soá töï nhieân, n ≥ 2, ta coù: 1 1 1 + 2 + ... + 2 = n − 1 . 2 A2 A3 An n 22. (ÑH Baùch khoa HN khoái AD 2001)  2Ayx + 5Cyx = 90  y Giaûi heä phöông trình: y 5Ax − 2Cx = 80 23. (ÑH Daân laäp Duy Taân khoái A 2001) 1 1. Tính tích phaân: I = 6 ∫ (x + 2) dx 0 2 0 25 1 24 2 23 3 22 4 2 5 1 6 C6 + C6 + C6 + C6 + C6 + C6 + C6 1 2 3 4 5 6 7 24. (ÑH Ñaø Laït khoái D 2001) 1 n k k Chöùng minh raèng vôùi moïi soá x ta coù: xn = n ∑ Cn (2x − 1) (n ∈ N) (*) 2 k =0 2. Tính toång: S = 6 25. (ÑH Ñaø Naüng khoái A 2001) Vôùi moãi n laø soá töï nhieân, haõy tính toång: 1 1 1 2 2 1 3 3 1 n n 0 Cn .2 S = Cn + Cn .2 + Cn .2 + Cn .2 + ... + 2 3 4 n+1 26. (ÑH Haøng haûi 2001) 2n = 22n−1(22n + 1) Chöùng minh: C02n + C22n.32 + C42n.34 + ... + C2n 2n .3 27. (ÑH Luaät TPHCM khoái A 2001) Chöùng minh raèng vôùi moïi soá töï nhieân n ≥ 1, ta coù: C1n .3n−1 + 2.Cn2 .3n− 2 + 3.Cn3 .3n−3 + ... + n.Cnn = n.4n–1 28. (ÑHSP HN khoái A 2001) 10 1 2  Trong khai trieån cuûa  + x ÷ thaønh ña thöùc: 3 3  a0 + a1x + a2x2 + … + a9x9 + a10x10 (ak ∈ R) haõy tìm heä soá ak lôùn nhaát (0 ≤ k ≤ 10). Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp Traàn Só Tuøng 4 29. (ÑH Vinh khoái AB 2001) Cho n laø moät soá nguyeân döông coá ñònh. Chöùng minh raèng Ckn lôùn nhaát neáu k laø soá töï nhieân lôùn nhaát khoâng vöôït quaù 30. (ÑH Vinh khoái DTM 2001) Chöùng minh raèng: n+1 . 2 2 4 2000 C02001 + 32 C2001 + 34 C2001 + ... + 32000 C2001 = 22000 (22001 − 1) 31. (ÑH Y Döôïc TPHCM 2001) Cho k vaø n laø caùc soá nguyeân thoaû maõn: 9 ≤ k ≤ n. Chöùng minh raèng: ( Cn2n+k .Cn2n−k ≤ Cn2n ) 2 32. (ÑH khoái A 2002) Cho khai trieån nhò thöùc: (2 x −1 2 + ) −x n 23 ( 2 ) + C ( 2 ) ( 2 ) + ... + = (2 )(2 ) +C (2 ) + Cnn−1 Cn0 x −1 2 x −1 n 2 − x n−1 3 1 n x −1 n−1 2 n n −x 3 −x n 3 (n laø soá nguyeân döông). Bieát raèng trong khai trieån ñoù Cn3 = 5C1n vaø soá haïng thöù tö baèng 20. Tìm n vaø x. 33. (ÑH khoái B 2002) Cho ña giaùc ñeàu A1A2…A2n (n ≥ 2, n nguyeân) noäi tieáp ñöôøng troøn (O). Bieát raèng soá tam giaùc coù caùc ñænh laø 3 trong 2n ñieåm A 1, A2, …, A2n nhieàu gaáp 20 laàn soá hình chöõ nhaät coù caùc ñænh laø 4 trong 2n ñieåm A 1, A2, …, A2n. Tìm n? 34. (ÑH khoái D 2002) Tìm soá nguyeân döông n sao cho: Cn0 + 2C1n + 4Cn2 + ... + 2n Cnn = 243 35. (ÑH döï bò 2 2002) Tìm soá n nguyeân döông thoaû maõn baát phöông trình: An3 + 2Cnn− 2 ≤ 9n. 36. (ÑH döï bò 4 2002) Giaû söû n laø soá nguyeân döông vaø: (1 + x)n = a0 + a1x + a2x2 + … + akxk + … + anxn ak −1 ak ak +1 = = Bieát raèng toàn taïi soá k nguyeân (1 ≤ k ≤ n – 1) sao cho . 2 9 24 Haõy tính n. 37. (ÑH döï bò 6 2002) Xem theâm : wWw.ThanhBinh1.Com Traàn Só Tuøng Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp 5 Goïi a1, a2, …, a11 laø caùc heä soá trong khai trieån sau: (x + 1)10.(x + 2) = x11 + a1x10 + a2x9 + … + a11. Haõy tính heä soá a5. 38. (ÑH khoái A 2003) Tìm heä soá cuûa soá haïng chöùa x 8 trong khai trieån nhò thöùc Newton cuûa n  1 5 n+1 n  3 + x ÷ , bieát raèng: Cn+ 4 − Cn+ 3 = 7(n + 3) (n nguyeân döông, x > 0). x  39. (ÑH khoái B 2003) Cho n laø soá nguyeân döông. Tính toång: 22 − 1 1 23 − 1 2 2n+1 − 1 n Cn0 + Cn + Cn + ... + Cn 2 3 n+1 40. (ÑH khoái D 2003) Vôùi n laø soá nguyeân döông, goïi a 3n–3 laø heä soá cuûa x 3n–3 trong khai trieån thaønh ña thöùc cuûa (x2 + 1)n(x + 2)n. Tìm n ñeå a3n–3 = 26n. 41. (ÑH khoái D 2003 döï bò 2) Tìm soá töï nhieân n thoaû maõn: Cn2Cnn− 2 + 2Cn2Cn3 + Cn3Cnn−3 = 100 42. (CÑ Xaây döïng soá 3 – 2002) Chöùng minh raèng vôùi moïi soá nguyeân döông n ta ñeàu coù: −1 0 2 4 2n C12n + C32n + C52n + ... + C2n 2n = C2n + C2n + C2n + ... + C2n 43. (CÑ Sö phaïm Beán Tre khoái A 2002) 1. Giaûi phöông trình: C1x + 6Cx2 + 6C3x = 9x2 – 14x 19 19 2. Chöùng minh raèng: C120 + C320 + C520 + ... + C17 20 + C20 = 2 44. (CÑ khoái AD 2003) Chöùng minh raèng: P1 + 2P2 + 3P3 + …+ nPn = Pn+1 – 1 45. (CÑ Giao thoâng II 2003) Chöùng minh raèng vôùi moïi soá nguyeân döông n ≥ 2, ta ñeàu coù: Cn0C1n...Cnn n−1  2n − 2  ≤ ÷  n−1  46. (CÑ Giao thoâng III 2003) 1. Tính toång: S = C1n − 2Cn2 + 3Cn3 − 4Cn4 + ... + (−1)n−1nCnn 1 1 1 2 1 n 0 Cn 2. Tính toång: T = Cn + Cn + Cn + ... + 2 3 n+1 bieát raèng n laø soá nguyeân döông thoaû ñieàu kieän: Cnn + Cnn−1 + Cnn− 2 = 79 (n > 2) Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp Traàn Só Tuøng 6 47. (CÑ Taøi chính keá toaùn IV 2003) Chöùng minh raèng: C02Ckn− 2 + C12Cnk −−12 + C22Cnk −−22 = Cnk (vôùi n, k ∈ Z+;n ≥ k + 2) 48. (CÑ Taøi chính keá toaùn IV 2003 döï bò) Giaûi baát phöông trình: (n!)3 Cnn .Cn2n .Cn3n ≤ 720 49. (CÑ Coâng nghieäp HN 2003) Cho ña thöùc: P(x) = (16x – 15)2003. Khai trieån ña thöùc ñoù döôùi daïng: P(x) = a0 + a1x + a2x2 + … + a2003x2003 Tính toång S = a0 + a1 + a2 + … + a2003. 50. (CÑ Khí töôïng thuyû vaên khoái A 2003) Tìm soá nguyeân döông n thoaû maõn ñaúng thöùc: An3 + 2Cn2 = 16n 51. (CÑ Noâng Laâm 2003) Tìm heä soá lôùn nhaát cuûa ña thöùc trong khai trieån nhò thöùc Newton cuûa: 15 1 2   + x÷ . 3 3  52. (CÑ Coäng ñoàng Tieàn Giang 2003) Haõy khai trieån nhò thöùc Newton (1 – x) 2n, vôùi n laø soá nguyeân döông. Töø ñoù chöùng minh raèng: −1 2 4 2n 1C12n + 3C32n + ... + (2n − 1)C2n 2n = 2C2n + 4C2n + ... + 2nC2n 53. (ÑH khoái A 2004) Tìm heä soá cuûa x8 trong khai trieån thaønh ña thöùc cuûa [1 + x2(1 – x)]8. 54. (ÑH khoái D 2004) Tìm caùc soá haïng khoâng chöùa x trong khai trieån nhò thöùc Newton cuûa: 7 1  3  x+4 ÷ x  vôùi x > 0 55. (ÑH khoái A 2005) Tìm soá nguyeân döông n sao cho: 2 2 3 3 4 2n 2n+1 C12n+1 − 2.2C2n +1 + 3.2 C2n+1 − 4.2 C2n+1 + ... + (2n + 1).2 C2n+1 = 2005 56. (ÑH khoái D 2005) Tính giaù trò cuûa bieåu thöùc: M = An4+1 + 3An3 (n + 1)! bieát Cn2+1 + 2Cn2+ 2 + 2Cn2+ 3 + Cn2+ 4 = 149. 57. (ÑH khoái A 2005 döï bò 2) Xem theâm : wWw.ThanhBinh1.Com Traàn Só Tuøng Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp 7 Tìm heä soá cuûa x trong khai trieån ña thöùc (2 – 3x) 2n, trong ñoù n laø soá 7 2n+1 nguyeân döông thoaû maõn: C12n+1 + C32n+1 + C52n+1 + ... + C2n +1 = 1024 58. (ÑH khoái D 2005 döï bò 1) Tìm k ∈ {0; 1; 2; …; 2005} sao cho Ck2005 ñaït giaù trò lôùn nhaát. 59. (ÑH khoái D 2005 döï bò 2) Tìm soá nguyeân n > 1 thoaû maõn ñaúng thöùc: 2Pn + 6 An2 − PnAn2 = 12. 60. (ÑH khoái A 2006) Tìm heä soá cuûa soá haïng chöùa x 26 trong khai trieån nhò thöùc Newton cuûa n  1 7 1 2 n 20  4 + x ÷ , bieát raèng: C2n+1 + C2n+1 + ... + C2n+1 = 2 − 1 x  61. (ÑH khoái B 2006) Cho taäp A goàm n phaàn töû (n ≥ 4). Bieát raèng soá taäp con goàm 4 phaàn töû cuûa A baèng 20 laàn soá taäp con goàm 2 phaàn töû cuûa A. Tìm k∈{1,2,…, n} sao cho soá taäp con goàm k phaàn töû cuûa A laø lôùn nhaát. 62. (CÑ Baùn coâng Hoa Sen khoái A 2006) 1  x x Cy : Cy + 2 = 3  Giaûi heä phöông trình: Cx : Ax = 1 y  y 24 63. (CÑ KT–KT Caàn Thô khoái AB 2006) 1 1 1 − n = n Tìm soá töï nhieân n sao cho: n C4 C5 C6 64. (CÑ Sö phaïm TPHCM khoái A 2006) Tính toång S = 1.Cn0 A11 + 2.C1n A12 + 3.Cn2 A13 + ... + (n + 1).Cnn A1n+1 Bieát raèng: Cn0 + C1n + Cn2 = 211 65. (CÑ Sö phaïm TPHCM khoái BT 2006) Khai trieån bieåu thöùc (1 – 2x)n ta ñöôïc ña thöùc coù daïng: a0 + a1x + a2x2 + … + anxn Tìm heä soá cuûa x5, bieát a0 + a1 + a2 = 71. 66. (CÑ Ñieän löïc TPHCM 2006) n  2 1 Tìm soá haïng khoâng chöùa x trong khai trieån nhò thöùc  x + 3 ÷ , bieát x   raèng: C1n + Cn3 = 13n (n laø soá töï nhieân lôùn hôn 2, x laø soá thöïc khaùc 0). Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp 8 Traàn Só Tuøng 67. (CÑ Kinh teá TPHCM 2006) 2 4 2n Tìm n ∈ N sao cho: C04n+ 2 + C4n + 2 + C4n+ 2 + ... + C4n+ 2 = 256 68. (CÑ Kinh teá ñoái ngoaïi khoái AD 2006) 20 10 1   3 1 Cho A =  x − 2 ÷ +  x − ÷ . Sau khi khai trieån vaø ruùt goïn thì bieåu x  x   thöùc A seõ goàm bao nhieâu soá haïng? 69. (CÑ KT Y teá I 2006) Tìm soá töï nhieân n thoaû maõn ñaúng thöùc sau: 2k − 2 2n− 2 2n C02n + C22n 32 + ... + C2k + ... + C2n + C2n = 215 (216 + 1) 2n 3 2n 3 2n 3 70. (CÑ Xaây döïng soá 2 2006) Chöùng minh: Cn0 3n − C1n 3n−1 + ... + (−1)n Cnn = Cn0 + C1n + ... + Cnn 71. (CÑ KT Y teá 1 2005) Giaûi baát phöông trình: 2C2x +1 + 3Ax2 − 20 < 0 72. (CÑBC Hoa Sen khoái D 2006) Tìm heä soá cuûa x29y8 trong khai trieån cuûa (x3 – xy)15. 73. (CÑ Sö phaïm TPHCM khoái DM 2006) Khai trieån bieåu thöùc (1 – 2x)n ta ñöôïc ña thöùc coù daïng: a0 + a1x + a2x2 + … + anxn Tìm heä soá cuûa x5, bieát a0 + a1 + a2 = 71. BAØI GIAÛI 1. (CÑSP TPHCM 1999) k k+ 2 k +1 C14 + C14 = 2C14 (0 ≤ k ≤ 12, k ∈ N) 14! 14! 14! + =2 ⇔ k!(14 − k)! (k + 2)!(12 − k)! (k + 1)!(13 − k)! 1 1 1 + =2 ⇔ (14 − k)(13 − k) (k + 1)(k + 2) (k + 1)(13 − k) 2. ⇔ (k + 1)(k + 2) + (14 – k)(13 – k) = 2(k + 2)(14 – k) ⇔ k2 – 12k + 32 = 0 ⇔ k = 4 hoaëc k = 8 Vaäy: k = 4 hoaëc k = 8 (ÑHDL Kyõ thuaät coâng ngheä khoái D 1999) 6 7 8 9 10 + C10 + C10 + C10 + C10 S = C10 Xem theâm : wWw.ThanhBinh1.Com Traàn Só Tuøng 1 0 1 10 1 10 1 5 1 9 10 C10 + C10 + ... + C10 + C10 − C10 = .2 − C10 = 386. 2 2 2 2 (ÑH Ngoaïi ngöõ HN chuyeân ban 1999) = 3. Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp 9 ( ) C1x + 6C2x + 6C3x = 9x2 − 14x (x ∈ N, x ≥ 3) ⇔ x + 3x – 3x + x – 3x + 2x = 9x2 – 14x  x = 0 (loaïi)  2 ⇔ x(x – 9x + 14) = 0 ⇔  x = 2 (loaïi)  x = 7 (nhaän) 2 4. 3 2 Vaäy: x = 7 (ÑH Baùch khoa HN 1999) S = C1n − 2Cn2 + 3Cn3 − 4Cn4 + ... + (−1)n−1.nCnn (n > 2) Xeùt ña thöùc p(x) = (1 – x) . Khai trieån theo coâng thöùc Newton ta ñöôïc: n p(x) = (1 – x)n = n ∑ (−1)k Ckn .xk k =0 Suy ra: – p′(x) = n(1 – x)n–1 = Cho x = 1 ta ñöôïc: 0 = n ∑ (−1)k−1.kCkn.xk −1 k =1 n ∑ (−1)k−1.kCkn k =1 = C1n − 2Cn2 + 3Cn3 − 4Cn4 + ... + (−1)n−1.nCnn = S 5. Vaäy: S = 0 (ÑHQG HN khoái A 2000) Ta seõ chöùng toû: 2001 2000 2 1000 1001 C02001 = C2001 < C12001 = C2001 < C2001 = C1999 2001 < ... < C2001 = C2001 +1 Thaät vaäy, chæ caàn chöùng toû: Ck2001 < Ck2001 (1) vôùi ∀k = 0, 1, 2, …, 999. Ta coù: (1) ⇔ 2001! 2001! < k!(2001− k)! (k + 1)!(2000 − k)! ⇔ (k + 1) < 2001 – k ⇔ 2k < 2000 ⇔ k < 1000 ñuùng vì k = 0, 1, 2, …, 999. k = 1000 Vì vaäy: Ck2001 ≤ C1000 2001 ,∀k = 0, 1, …, 2000 (ñaúng thöùc ⇔ k = 1001 )  k = 999 +1 ≤ C1001 vaø: Ck2001 2001 , ∀k = 0, 1, …, 2000 (ñaúng thöùc ⇔ k = 1000 )  +1 1001 ≤ C1000 ⇒ Ck2001 + Ck2001 2001 + C2001 (ñaúng thöùc ⇔ k = 1000) 6. (ÑHQG HN khoái B 2000) Soá haïng toång quaùt cuûa khai trieån laø: Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp k C17 Traàn Só Tuøng 10 (x ) (x ) − 2 17 −k 3 3 k 4 Ñeå soá haïng khoâng chöùa x thì k = C17 17 34 3 12 k − 3 x4 ( ) (k ∈ N, 0 ≤ k ≤ 17) 17 34 k− =0 ⇒k=8 12 3 8 Vaäy soá haïng caàn tìm laø soá haïng thöù 9 cuûa khai trieån vaø baèng C17 . 7. (ÑH Baùch khoa HN khoái AD 2000) x ∈ N  2 ≤ 2x x ∈ N  ⇔ Ñieàu kieän:  2 ≤ x x ≥ 3  3 ≤ x Ta coù: 1 2 6 A2x − A2x ≤ .C3x + 10 2 x 6 x(x − 1)(x − 2) 1 + 10 .2x(2x – 1) – x(x – 1) ≤ . x 1.2.3 2 ⇔ x2 ≤ x2 – 3x + 12 ⇔ x ≤ 4 Keát hôïp ñieàu kieän, ta ñöôïc: x = 3, x = 4. (ÑHSP HN khoái A 2000) n(n − 1) * Xaùc ñònh n: Cnn + Cnn−1 + Cnn− 2 = 79 ⇔ 1 + n + = 79 2 n = 12 ⇔  n = −13 (loaïi) ⇔ 8. 12 28   − * Ta coù:  x3 x + x 15 ÷  ÷    4 k  3 C12 x k 12−k 48 112  − 28  12 k− k 15 5  x 15 ÷ =∑ x = ∑ C12   ÷ k =0 k = 0    48 112 k− = 0 ⇔ k = 7. Soá haïng khoâng phuï thuoäc x ⇔ 15 5 12  ÷ ÷  7 Vaäy soá haïng caàn tìm laø: C12 = 792 9. (ÑHSP HN khoái BD 2000) Ta coù: (x2 + 1)n = n ∑ Cknx2k (1) k =0 Soá k öùng vôùi soá haïng ax12 thoaû maõn phöông trình: x12 = x2k ⇒ k = 6. Trong (1) cho x = 1 thì n ∑ Ckn k =0 Xem theâm : wWw.ThanhBinh1.Com = 2n Traàn Só Tuøng Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp 11 Töø giaû thieát ⇒ n ∑ Ckn k =0 = 1024 ⇔ 2n = 1024 ⇔ n = 10 6 Vaäy heä soá caàn tìm laø: C10 = 210. 10. (ÑHSP TPHCM khoái DE 2000) 1 n * Ta coù: I = ∫ (1+ x) dx = 0 (1+ x)n+1 n+1 1 = 0 2n+1 − 1 n+1 1 1 2  0 xn+1  0 1 n n 1 x + ... + Cnn ÷ * I = ∫ (Cn +Cnx + ... + Cnx )dx =  Cn x + Cn 2 n + 1÷ 0  0 0 = Cn + 1 1 1 2 1 n Cn + Cn + ... + Cn = S 2 3 n+1 2n+1 − 1 . n+1 11. (ÑH Kinh teá quoác daân khoái A 2000) Vaäy: S = Ta coù: (1 + x)n = Cn0 + C1nx + Cn2x 2 + Cn3 x3 + Cn4 x4 + ... + Cnnxn Laáy ñaïo haøm hai veá: n(1 + x)n–1 = C1n + 2Cn2x + 3Cn3 x2 + 4Cn4 x3 + ... + nCnnxn−1 Thay x = n 3n−1 n−1 2 1 , ta ñöôïc: 2 = C1n + 2Cn2 .2−1 + 3Cn3 2−2 + 4Cn4 .2−3 + ... + nCnn 2−n+1 ⇒ 2n−1C1n + 2n−1Cn2 + 3.2n−3 Cn3 + 4.2n− 4 Cn4 + ... + nCnn = n.3n−1 12. (ÑH Noâng nghieäp I khoái A 2000) 40 1  x + 2 ÷ x   = Heä soá cuûa x laø 31 40 ∑ k =0 Ck40 40−k 1 ÷  x2   Ck40 xk . = 40 ∑ Ck40x3k−80 k =0 vôùi k thoaû maõn ñieàu kieän: 3k – 80 = 31 ⇔ k = 37 37 3 Vaäy: heä soá cuûa x31 laø C40 = C40 = 40.39.38 = 40.13.19 = 9880. 1.2.3 13. (ÑH Thuyû lôïi 2000) Chöùng minh baèng phöông phaùp qui naïp. 1 1 2 * Vôùi n = 2, ñpcm ⇔ 2 = 2 ⇔ A2 = 2 ñuùng A2 * Giaû söû BÑT caàn chöùng minh ñuùng vôùi n = k (k ≥ 2), töùc laø ta coù: Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp 1 + A22 Traàn Só Tuøng 12 1 + A32 1 A42 + ... + 1 Ak2 = k −1 k Ta caàn chöùng minh BÑT ñuùng vôùi n = k + 1. 1 1 1 1 1 k −1 1 k −1 1 + Thaät vaäy, 2 + 2 + 2 + ... + 2 + 2 = k + 2 = A2 A3 A4 Ak Ak +1 Ak +1 k (k + 1)k (k 2 − 1) + 1 k = (k + 1)k k +1 1 1 1 1 n−1 + 2 + 2 + ... + 2 = Vaäy: 2 n , ∀n ≥ 2 A2 A3 A4 An = 14. (ÑH Thuyû lôïi II 2000) 9 9 9 9 9 + C11 + C12 + C13 + C14 a9 = 1 + C10 2 3 4 5 + C12 + C13 + C14 = 1 + C110 + C11 = 1 + 10 + 11.10 12.11.10 13.12.11.10 14.13.12.11.10 + + + 2 6 24 120 = 3003 15. (ÑH Y Döôïc TPHCM 2000) 1. (1 + x)n = Cn0 + C1nx + Cn2x 2 + ... + Cnnxn Cho x = 1 ⇒ Cn0 + C1n + Cn2 + ... + Cnn = 2n 2n 2. (1 – x)2n = C02n − C12nx + C22nx2 − C32nx3 + ... + C2n 2nx Cho x = 1 ⇒ ñpcm. 16. (ÑH An ninh nhaân daân khoái DG 2000) Coù (x + 1)2000 = 2000 ∑ i= 0 Ci2000 xi Trong (1) cho x = 1 ta ñöôïc (1) 2000 ∑ i= 0 Ci2000 = 22000 Ñaïo haøm 2 veá cuûa (1) theo x, ta coù: 2000.(x + 1)1999 = Cho x = 1 ta ñöôïc: Do ñoù: S = 2000 ∑ i= 0 2000 ∑ i.Ci2000 i=1 Ci2000 + 2000 = 2000.21999 = 1000.22000 ∑ i.Ci2000 i=1 = 1001.22000. 17. (HV Kyõ thuaät quaân söï 2000) P(x) = (1 + 2x)12 = a0 + a1x + a2x2 + … + a12x12 Xem theâm : wWw.ThanhBinh1.Com 2000 ∑ i.Ci2000xi−1 i=1 Traàn Só Tuøng Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp 13 k .2k ; ak = C12 ak < ak+1 ⇔ k < 23 3 8 ⇒ max(ai ) = a8 = C12 = 126720 i=1,12 18. (ÑH Caûnh saùt nhaân daân khoái A 2000) • Tính I baèng 2 caùch: * Ñoåi bieán: t = 1 – x2 ⇒ dt = –2xdx 0 1 1 1 n  1 n 1 1 tn+1 = ⇒ I = ∫  − t ÷dt = ∫ t dt = 2 2 2(n + 1) 2(n + 1)  1 0 0 * Khai trieån nhò thöùc: ( 0 1 2 2 4 3 6 n n 2n x(1 – x2)n = x Cn − Cnx + Cn x − Cn x + ... + (−1) Cnx ) 1 4 6 8  0 x2 x 2n+ 2  1 x 2 x 3 x + ... + (−1)n Cnn . ÷ ⇒ I =  Cn . − Cn . + Cn . − Cn . 2 4 6 8 2n + 2 ÷  0 = 1 0 1 1 1 2 1 3 (−1)n n Cn − Cn + Cn − Cn + ... + Cn 2 4 6 8 2(n + 1) Töø ñoù suy ra ñaúng thöùc caàn chöùng minh. 19. (CÑ Caûnh saùt nhaân daân khoái A 2000) Heä soá cuûa x5 trong khai trieån cuûa bieåu thöùc: (x + 1)4 + (x + 1)5 + (x + 1)6 + (x + 1)7 6! 7! + laø: C55 + C56 + C57 = 1 + = 28 5!1! 5!2! 20. (ÑH An Ninh khoái A 2001) Ta phaûi tìm caùc soá töï nhieân n > 0 thoaû maõn: xn = An4+ 4 143 − a1 > … > an (1) Thaät vaäy, ta coù BÑT ak > ak+1 vôùi 0 ≤ k ≤ n – 1 (2) (2n + k)! (2n − k)! (2n + k + 1)! (2n − k − 1)! . > . ⇔ n!(n + k)! n!(n − k)! n!(n + k + 1)! n!(n − k − 1)! 2n − k 2n + k + 1 > ⇔ ⇔ (2n – k)(n + k + 1) > (n – k)(2n + k + 1) n−k n+k +1 ⇔ 2nk + n > 0 Ta ñöôïc BÑT ñuùng ⇒ (2) ñuùng ⇒ (1) ñuùng. ( Do ñoù: ak = Cn2n+k .Cn2n−k ≤ Cn2n Daáu “=” xaûy ra ⇔ k = 0. 32. (ÑH khoái A 2002) Töø Cn3 = 5C1n ta coù n ≥ 3 vaø ) 2 = a0 n! n! n(n − 1)(n − 2) =5 = 5n ⇔ 3!(n − 3)! (n − 1)! 6 ⇔ Xem theâm : wWw.ThanhBinh1.Com Traàn Só Tuøng Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp 17 n = −4 (loaïi) ⇔ n2 – 3n – 28 = 0 ⇔  n = 7 Vôùi n = 7 ta coù: C37 (2 )(2 ) x −1 2 −x 3 3 = 140 ⇔ 35.22x–2.2–x = 140 ⇔ 2x–2 = 4 ⇔ x = 4. Vaäy n = 7, x = 4. 33. (ÑH khoái B 2002) Soá tam giaùc coù caùc ñænh laø 3 trong 2n ñieåm A1, A2, …, A2n laø C32n . Goïi ñöôøng cheùo cuûa ña giaùc ñeàu A 1A2…A2n ñi qua taâm ñöôøng troøn (O) laø ñöôøng cheùo lôùn thì ña giaùc ñaõ cho coù n ñöôøng cheùo lôùn. Moãi hình chöõ nhaät coù caùc ñænh laø 4 trong 2n ñieåm A 1, A2, …, A2n coù caùc ñöôøng cheùo laø hai ñöôøng cheùo lôùn. Ngöôïc laïi, vôùi moãi caëp ñöôøng cheùo lôùn ta coù caùc ñaàu muùt cuûa chuùng laø 4 ñænh cuûa moät hình chöõ nhaät. Vaäy soá hình chöõ nhaät noùi treân baèng soá caëp ñöôøng cheùo lôùn cuûa ña giaùc A1, A2, …, A2n, töùc Cn2 . Theo giaû thieát thì: (2n)! n! = 20. 3!(2n − 3)! 2!(n − 2)! 2n(2n − 1)(2n − 2) n(n − 1) = 20 ⇔ ⇔ 2n – 1 = 15 ⇔ n = 8. 6 2 34. (ÑH khoái D 2002) C32n = 20Cn2 ⇔ Ta coù: (x + 1)n = n ∑ Cknxk k =0 Cho x = 2 ta ñöôïc: 3 = n n ∑ Ckn 2k k =0 ⇒ 3n = 243 ⇔ n = 5. 35. (ÑH döï bò 2 2002) n ≥ 3 n ≥ 3 BPT ⇔  ⇔  2 n - 2n - 8 ≤ 0 n(n - 1)(n - 2) + n(n - 1) ≤ 9n ⇔ 3 ≤ n ≤ 4 ⇔ n = 3 hoaëc n = 4. 36. (ÑH döï bò 4 2002) ak −1 ak ak +1 = = Ta coù: (1) (1 ≤ k ≤ n – 1) 2 9 24 ⇔ Ckn−1 Ckn Ckn+1 = = 2 9 24 Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp ⇔ Traàn Só Tuøng 18 1 n! 1 n! 1 n! = = 2 (k − 1)!(n − k + 1)! 9 k!(n − k)! 24 (k + 1)!(n − k − 1)! ⇔ 2.(k – 1)!(n – k + 1)! = 9.k!(n – k)! = 24.(k + 1)!(n – k – 1)! ⇔ 2.(n – k +1)(n – k) = 9.k(n – k) = 24.(k + 1)k 2n + 2  k = 11  2(n − k + 1) = 9k ⇔  ⇔  9(n − k) = 24(k + 1) k = 3n − 8  11 Ñeå toàn taïi k thoaû maõn heä thöùc (1), ñieàu kieän aét coù vaø ñuû laø: 3n – 8 = 2n + 2 ⇔ n = 10. 37. (ÑH döï bò 6 2002) 2 8 3 7 9 x + C10 x + ... + C10 x +1 Ta coù: (x + 1)10 = x10 + C110 x9 + C10 2 9 3 8 9 2 x + C10 x + ... + C10 x +x + ⇒ (x + 1)10(x + 2) = x11 + C110 x10 + C10 ( ( ) ( ) ( ) 2 3 2 + C110 .2 x9 + C10 + C10 .2 x8 + ... + = x11 + C110 + 2 x10 + C10 ( ) ( ) 9 8 9 + C10 .2 x 2 + C10 + C10 10 + C10 .2 x + 2 = x + a1x + a2x + … + a11 11 10 9 5 4 + 2C10 Vaäy a5 = C10 = 672. 38. (ÑH khoái A 2003) ( ) Ta coù: Cnn++14 − Cnn+ 3 = 7(n + 3) ⇔ Cnn++13 + Cnn+ 3 − Cnn+ 3 = 7(n + 3) (n + 2)(n + 3) = 7(n + 3) ⇔ n + 2 = 7.2! = 14 ⇔ n = 12. 2! Soá haïng toång quaùt cuûa khai trieån laø: ⇔ k C12 (x−3 )k Ta coù: x 60−11k 2 ) 2 8 3 7 9 x + C10 x + ... + C10 x +1 + 2 x10 + C110 x9 + C10 (x ) = x8 ⇔ 5 12−k 2 k = C12 x 60−11k 2 60 − 11k = 8 ⇔ k = 4. 2 4 Do ñoù heä soá cuûa soá haïng chöùa x8 laø C12 = 12! = 495. 4!(12 − 4)! 39. (ÑH khoái B 2003) Ta coù: (1 + x)n = Cn0 + C1nx + Cn2x 2 + ... + Cnnxn 2 2 1 1 ( ) n 0 1 2 2 n n ⇒ ∫ (1+ x) dx = ∫ Cn + Cnx + Cn x + ... + Cnx dx Xem theâm : wWw.ThanhBinh1.Com Traàn Só Tuøng Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp 19 2 ⇔ 2  1 x2 x3 xn+1  (1+ x)n+1 =  Cn0 x + C1n + Cn2 + ... + Cnn ÷ n+1 2 3 n + 1 1  1 22 − 1 1 23 − 1 2 2n+1 − 1 n 3n+1 − 2n+1 Cn + Cn + ... + Cn = 2 3 n+1 n+1 40. (ÑH khoái D 2003) ⇔ Cn0 + Ta coù: (x2 + 1)n = Cn0 x2n + C1nx 2n− 2 + Cn2x2n− 4 + ... + Cnn (x + 2)n = Cn0 xn + 2C1nxn−1 + 22 Cn2xn− 2 + 23 Cn3 xn−3 + ... + 2n Cnn Deã daøng kieåm tra n = 1, n = 2 khoâng thoaû maõn ñieàu kieän baøi toaùn. Vôùi n ≥ 3 thì x3n–3 = x2nxn–3 = x2n–2xn–1 Do ñoù heä soá cuûa x3n–3 trong khai trieån thaønh ña thöùc cuûa: (x2 + 1)n(x + 2)n laø: a3n–3 = 23.Cn0 .Cn3 + 2.C1n.C1n n = 5 2n(2n2 − 3n + 4) = 26n ⇔  7 ⇒ a3n–3 = 26n ⇔ n = − (loaïi) 3  2 Vaäy: n = 5. 41. (ÑH khoái D 2003 döï bò 2) Ta coù: ⇔ ⇔ Cn2Cnn− 2 + 2Cn2Cn3 + Cn3Cnn−3 = 100 2 ( Cn2 ) + 2Cn2Cn3 + ( Cn3 ) 2 ( Cn2 + Cn3 ) = 100 2 = 100 ⇔ Cn2 + Cn3 = 10 n(n − 1) n(n − 1)(n − 2) + = 10 2 6 ⇔ 3n(n – 1) + (n2 – n)(n – 2) = 60 ⇔ (n2 – n)(n + 1) = 60 ⇔ (n – 1)n(n + 1) = 3.4.5 ⇔ n = 4. 42. (CÑ Xaây döïng soá 3 – 2002) Ta coù khai trieån: ⇔ −1 2n (x + 1)2n = C02nx 2n + C12nx 2n−1 + C22nx2n− 2 + ... + C2n 2n x + C2n Cho x = –1 ta ñöôïc: 2 4 −1 2n − C32n + C2n − ... − C2n 0 = C02n − C12n + C2n 2n + C2n −1 0 2 2n ⇔ C12n + C32n + ... + C2n 2n = C2n + C2n + ... + C2n 43. (CÑ Sö phaïm Beán Tre khoái A 2002) Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp Traàn Só Tuøng 20 x ≥ 1 x ≥ 2 x ≥ 3  ⇔ 1. Ñieàu kieän:  x ∈ N x ≥ 3  x ∈ N PT ⇔ x + 6 x! x! +6 = 9x2 – 14x 2!(x − 2)! 3!(x − 3)! ⇔ x + 3x(x – 1) + x(x – 1)(x – 2) = 9x2 – 14x  x = 0 (loaïi)  2 ⇔ x(x – 9x + 14) – 0 ⇔  x = 7 (loaïi) ⇔ x = 2  x = 2 2. • Caùch 1: 2 2 19 20 20 x − ... − C19 + C20 x * Ta coù: (1 – x)20 = C020 − C120 x + C20 20 x 2 20 − ... − C19 Cho x = 1 ta coù: C020 − C120 + C20 20 + C20 = 0 2 20 + ... + C20 = C120 + C320 + ... + C19 ⇒ C020 + C20 20 Ñaët: 2 20 + ... + C20 A = C020 + C20 ; ⇒A=B B = C120 + C320 + ... + C19 20 (1) 2 2 19 20 x + ... + C19 + C20 * Ta coù: (1 + x) = C020 + C120 x + C20 20 x 20 x 20 2 20 20 + ... + C19 Cho x = 1 ta coù: C020 + C120 + C20 20 + C20 = 2 ⇒ A + B = 220 (2) Töø (1) vaø (2) suy ra A = 220 = 219 (ñpcm). 2 • Caùch 2: AÙp duïng coâng thöùc Ckn+1 = Cnk −1 + Ckn vaø Cn0 = 1, ta ñöôïc: 19 C120 + C320 + C520 + ... + C17 20 + C20 = 0 1 2 3 16 17 18 19 + C19 + C19 + C19 + C19 + C19 + C19 + C19 = C19 = (1 + 1)19 = 219. 44. (CÑ khoái AD 2003) • Caùch 1: Ta coù: Pn+1 – [nPn + (n – 1)Pn–1 + … + 2P2 + P1] = = (n + 1)! – n.n! – (n – 1).(n – 1)! – … – 2.2! – 1! = n![(n + 1) – n] – (n – 1).(n – 1)! – … – 2.2! – 1! = n! – (n – 1).(n – 1)! – … – 2.2! – 1! = (n – 1)![n – (n – 1)] – … – 2.2! – 1! = (n – 1)! – (n – 2)(n – 2)! – … – 2.2! – 1! = ….. Xem theâm : wWw.ThanhBinh1.Com Traàn Só Tuøng Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp 21 = 2! – 1.1! = 1 Vaäy: P1 + 2P2 + 3P3 + …+ nPn = Pn+1 – 1. • Caùch 2: Chöùng minh baèng qui naïp: * Vôùi n = 1, ta coù P1 = P2 – 1 ⇔ 1! = 2! – 1. Meänh ñeà ñuùng. * Giaû söû meänh ñeà ñuùng vôùi n = k (k > 1), töùc laø ta coù: P1 + 2P2 + 3P3 + …+ kPk = Pk+1 – 1 * Ta caàn ch. minh: P1 + 2P2 + 3P3 + …+ kPk + (k +1)Pk+1= Pk+2 – 1 Thaät vaäy, P1 + 2P2 + 3P3 + …+ kPk + (k +1)Pk+1 = Pk+1 – 1 + (k +1)Pk+1 = (k + 2)Pk+1 – 1 = Pk+2 – 1. (ñpcm) 45. (CÑ Giao thoâng II 2003) Do Cn0 = Cnn = 1 neân ta coù: Cn0C1n...Cnn = C1nCn2 ...Cnn−1 AÙp duïng BÑT Coâsi ta coù: C1nCn2 ...Cnn−1 n−1  C1 + Cn2 + ... + Cnn−1  ≤ n ÷  n−1  AÙp duïng khai trieån (a + b)n = n ∑ Cknakbn−k k =0 vôùi a = b = 1, ta coù: Cn0 + C1n + Cn2 + ... + Cnn = 2n ⇒ C1n + Cn2 + ... + Cnn−1 = 2n – 2 n−1  2n − 2  Suy ra: ≤ ÷  n−1  46. (CÑ Giao thoâng III 2003) C1nCn2 ...Cnn−1 (ñpcm). 1. Ta coù: (1 + x)n = Cn0 + C1nx + Cn2x 2 + Cn3 x3 + ... + Cnnxn Ñaïo haøm 2 veá, ta ñöôïc: n(1 + x)n–1 = C1n + 2Cn2x + 3Cn3 x2 + ... + nCnnxn−1 Cho x = –1 0 = C1n − 2Cn2 + 3Cn3 − 4Cn4 + ... + (−1)n−1nCnn Vaäy S = 0. 2. Ta coù: (1 + x)n = Cn0 + C1nx + Cn2x 2 + Cn3 x3 + ... + Cnnxn 1 n ⇒ ∫ (1+ x) dx = 0 (1+ x)n+1 ⇒ n=1 ⇒ n+1 2 1 0 1 ∫ ( Cn + Cnx + Cn x 0 0 1 2 2 ) + Cn3 x3 + ... + Cnnxn dx 1 1 1 1 n n+1   =  Cn0 x + C1nx2 + Cn2x3 + ... + Cnx ÷ 2 3 n+1  0 −1 1 1 1 n = Cn0 + C1n + Cn2 + ... + Cn n+1 2 3 n+1 Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp Do ñoù: T = Ta coù: Cnn Traàn Só Tuøng 22 n+1 2 −1 n+1 + Cnn−1 + Cnn− 2 n ∈ N, n ≥ 2  = 79 ⇔  n(n − 1) ⇔ n = 12 1+ n + 2 = 79 213 − 1 . 13 47. (CÑ Taøi chính keá toaùn IV 2003) Vaäy: T = Veá traùi = Ckn− 2 + Cnk −−12 + Cnk −−12 + Cnk−−22 = Ckn−1 + Cnk −−11 = Ckn . 48. (CÑ Taøi chính keá toaùn IV 2003 döï bò) Ñieàu kieän: n ∈ Z, n ≥ 0. 3 (2n)! (3n)! . ≤ 720 ⇔ (3n)! ≤ 720 BPT ⇔ (n!) . n!n! (2n)!n! Ta thaáy (3n)! taêng theo n vaø maët khaùc 6! = 720 ≥ (3n)! 0 ≤ n ≤ 2 Do ñoù: BPT coù nghieäm  . n ∈ Z 49. (CÑ Coâng nghieäp HN 2003) P(x) = (16x – 15)2003 = = 2003 ∑ k =0 2003 ∑ k =0 Ck2003 (16x)2003−k (−15)k Ck2003 (16)2003−k (−15)k x2003−k Caùc heä soá trong khai trieån ña thöùc laø: ak = Ck2003 (16)2003−k (−15)k Vaäy: S = 2003 ∑ k =0 ak = 2003 ∑ Ck2003 (16)2003−k (−15)k = (16 – 15) 2003 k =0 =1 50. (CÑ Khí töôïng thuyû vaên khoái A 2003) Ñieàu kieän: n ∈ N, n ≥ 3. n! n! +2 = 16n ⇔ n(n – 1)(n – 2) + n(n – 1) = 16n PT ⇔ (n − 3)! 2!(n − 2)! n = 5 ⇔ n2 – 2n – 15 = 0 ⇔  n = −3 (loaïi) vaäy: n = 5. 51. (CÑ Noâng Laâm 2003) 15 1 2  Ta coù:  + x ÷ 3 3  = 15 15−k  1 k  ÷ ∑ C15  3 k =0 Xem theâm : wWw.ThanhBinh1.Com k  2  k 15 k 2 k  ÷x = ∑ C15 15 x 3 3 k =0 Traàn Só Tuøng Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp 23 Goïi ak laø heä soá cuûa x trong khai trieån: 1 k k ak = 15 C15 .2 ; k = 0, 1, 2, …, 15. 3 Xeùt söï taêng giaûm cuûa daõy ak: k k −1 k −1 k k −1 k .2 < C15 .2k ⇔ C15 < 2C15 ak–1 < ak ⇔ C15 32 , k = 0, 1,.., 15 3 Töø ñoù: a0 < a1 < a2 < … < a10 Ñaûo daáu BÑT treân ta ñöôïc: 32 ak–1 > ak ⇔ k > ⇒ a10 > a11 > … > a15. 3 ⇔k< Vaäy heä soá lôùn nhaát phaûi tìm laø: a10 = 210 210 10 C = 3003. . 15 315 315 52. (CÑ Coäng ñoàng Tieàn Giang 2003) Ta coù: −1 2n−1 2n + C2n (1 – x)2n = C02n − C12nx + C22nx2 − C32nx3 + C42nx 4 − ... − C2n 2n x 2nx Ñaïo haøm 2 veá theo x, ta coù: –2n(1 – x)2n–1 = −1 2n− 2 2n−1 + 2nC2n = −C12n + 2C22nx − 3C32nx 2 + 4C42nx3 − ... − (2n − 1)C2n 2n x 2nx Theá x = 1 vaøo ñaúng thöùc treân, ta coù: −1 2n 0 = −C12n + 2C22n − 3C32n + 4C42n − ... − (2n − 1)C2n 2n + 2nC2n −1 2 4 2n Vaäy: 1C12n + 3C32n + ... + (2n − 1)C2n 2n = 2C2n + 4C2n + ... + 2nC2n . 53. (ÑH khoái A 2004) Ta coù: [1 + x2(1 – x)]8 = C08 + C18 x 2 (1− x) + C82x 4 (1− x)2 + C38 x6 (1− x)3 + + C84 x8 (1− x)4 + C58 x10 (1− x)5 + C68 x12 (1− x)6 + C78 x14 (1− x)7 + C88x16 (1− x)8 Baäc cuûa x trong 3 soá haïng ñaàu nhoû hôn 8, baäc cuûa x trong 4 soá haïng cuoái lôùn hôn 8. Vaäy x8 chæ coù trong caùc soá haïng thö tö, thöù naêm, vôùi heä soá töông öùng laø: C38 .C32 ; C84 .C04 Suy ra: a8 = 168 + 70 = 238. 54. (ÑH khoái D 2004) 7 1  3 Ta coù:  x + 4 ÷ = x  7 ∑ k =0 7 −k  1 Ck7 3 x 4 ( ) k  ÷ =  x 7 ∑ k =0 28−7k k C7 x 12 Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp Traàn Só Tuøng 24 Soá haïng khoâng chöùa x laø soá haïng töông öùng vôùi k (k ∈ Z, 0 ≤ k ≤ 7) 28 − 7k =0 ⇔k=4 thoaû maõn: 12 Vaäy soá haïng khoâng chöùa x caàn tìm laø: C74 = 35. 55. (ÑH khoái A 2005) 2 2 3 3 2n+1 2n+1 Ta coù: (1 + x)2n+1 = C02n+1 + C12n+1x + C2n +1x + C2n+1x + ... + C2n+1x Ñaïo haøm 2 veá ta coù: 2 3 2 2n+1 2n (2n + 1)(1 + x)2n = C12n+1 + 2C2n +1x + 3C2n+1x + ... + (2n + 1)C2n+1x Thay x = –2, ta coù: 2 2 3 2n 2n+1 C12n+1 − 2.2C2n +1 + 3.2 C2n+1 − ... + (2n + 1)2 C2n+1 = 2n + 1 Theo giaû thieát ta coù: 2n + 1 = 2005 ⇒ n = 1002. 56. (ÑH khoái D 2005) Ñieàu kieän: n ≥ 3. Ta coù: Cn2+1 + 2Cn2+ 2 + 2Cn2+ 3 + Cn2+ 4 = 149 (n + 1)! (n + 2)! (n + 3)! (n + 4)! +2 +2 + = 149 2!(n − 1)! 2!n! 2!(n + 1)! 2!(n + 2)! n = 5 ⇔ n2 + 4n – 45 = 0 ⇔  n = −9 (loaïi) ⇔ Vaäy: n = 5. 57. (ÑH khoái A 2005 döï bò 2) 2 2 3 3 2n+1 2n+1 Ta coù: (1 + x)2n+1 = C02n+1 + C12n+1x + C2n +1x + C2n+1x + ... + C2n+1x 2 3 2n+1 Cho x = 1 ta coù: 22n+1 = C02n+1 + C12n+1 + C2n +1 + C2n+1 + ... + C2n+1 Cho x = –1 ta coù: 0 = Laáy (1) – (2) ⇒ 2 2n+1 2 3 2n+1 C02n+1 − C12n+1 + C2n +1 − C2n+1 + ... − C2n+1 = 2 ( 2n+1 C12n+1 + C32n+1 + ... + C2n +1 ) 2n+1 ⇒ 22n = C12n+1 + C32n+1 + ... + C2n +1 = 1024 ⇒ 2n = 10 Ta coù: (2 – 3x) = 10 10 k 10−k 2 (3x)k ∑ (−1)k C10 k =0 7 7 3 3 2 Suy ra heä soá cuûa x laø −C10 7 58. (ÑH khoái D 2005 döï bò 1) +1 Ck2005 ≥ Ck2005 (k ∈ N) Ck2005 lôùn nhaát ⇔  k k −1 C2005 ≥ C2005 Xem theâm : wWw.ThanhBinh1.Com (1) (2) Traàn Só Tuøng Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp 25 2005! 2005!   k!(2005 − k)! ≥ (k + 1)!(2004 − k)! k + 1 ≥ 2005 − k  ⇔  ⇔  2005! 2005!  2006 − k ≥ k  ≥  k!(2005 − k)! (k − 1)!(2006 − k)! k ≥ 1002 ⇔  ⇔ 1002 ≤ k ≤ 1003, k ∈ N. k ≤ 1003 ⇔ k = 1002 hoaëc k = 1003. 59. (ÑH khoái D 2005 döï bò 2) Ta coù: 2Pn + 6 An2 − PnAn2 = 12 (n ∈ N, n > 1) 6.n! n! n! − n! = 12 ⇔ (6 − n!) − 2(6 − n!) = 0 (n − 2)! (n − 2)! (n − 2)! 6 − n! = 0 n = 3 n! = 6  ⇔  n! ⇔  ⇔  2 −2=0 n − n − 2 = 0 n(n − 1) − 2 = 0  (n − 2)! ⇔ 2n! + n = 3 ⇔  n = 2 (vì n ≥ 2) Vaäy: n = 2 hoaëc n = 3. 60. (ÑH khoái A 2006) 2 n 20 • Töø giaû thieát suy ra: C02n+1 + C12n+1 + C2n +1 + ... + C2n+1 = 2 Vì Ck2n+1 = 2n+1−k C2n =1 (1) , ∀k, 0 ≤ k ≤ 2n + 1 neân: 1 0 2 2n+1 C2n+1 + C12n+1 + C2n +1 + ... + C2n+1 2 Töø khai trieån nhò thöùc Newton cuûa (1 + 1)2n+1 suy ra: 2 n C02n+1 + C12n+1 + C2n +1 + ... + C2n+1 = ( 2 2n+1 2n+1 C02n+1 + C12n+1 + C2n = 22n+1 +1 + ... + C2n+1 = (1+ 1) ) (2) (3) töø (1), (2), (3) suy ra: 2 = 2 ⇔ n = 10. 2n 10  1 7 • Ta coù:  4 + x ÷ x  Heä soá cuûa x laø 26 k C10 = 20 10 k (x−4 )10−k ( x7 ) ∑ C10 k =0 k = 10 k 11k − 40 x ∑ C10 k =0 vôùi k thoaû maõn: 11k–40 = 26 ⇔ k = 6 6 Vaäy heä soá cuûa x26 laø C10 = 210. 61. (ÑH khoái B 2006) Soá taäp con k phaàn töû cuûa taäp hôïp A baèng Ckn . Töø giaû thieát suy ra: Cn4 = 20Cn2 ⇔ n2 – 5n – 234 = 0 ⇔ n = 18 (vì n ≥ 4) Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp Do k +1 C18 k C18 = 26 Traàn Só Tuøng 18 − k 2 9 > 1 ⇔ k < 9, neân: C118 < C18 < ... < C18 k +1 9 10 18 > C18 > ... > C18 ⇒ C18 Vaäy soá taäp con goàm k phaàn töû cuûa A laø lôùn nhaát khi vaø chæ khi k = 9. 62. (CÑ Baùn coâng Hoa Sen khoái A 2006) ÑK: x ∈ N, y ∈ N*, x ≤ y. Töø phöông trình thöù hai suy ra x = 4 Thay vaøo phöông trình thöù nhaát ta ñöôïc:  y = 1(loaïi) y2 – 9y + 8 = 0 ⇔  . Vaäy: x = 4; y = 8. y = 8 63. (CÑ KT–KT Caàn Thô khoái AB 2006) ÑK: n ∈ N, n ≤ 4 1 1 1 − n = n ⇔ n!(4 − n)! − n!(5 − n)! = n!(6 − n)! n C4 C5 C6 4! 5! 6! n = 15 (loaïi) ⇔ n2 – 17n + 30 = 0 ⇔  n = 2 Vaäy: n = 2. 64. (CÑ Sö phaïm TPHCM khoái A 2006) n ∈ N,n ≥ 2  n(n − 1) • Cn0 + C1n + Cn2 = 211 ⇔  1+ n + 2 = 211 n ∈ N,n ≥ 2 ⇔  2 ⇔ n = 20 n + n − 420 = 0 • (k + 1).Ckn A1k+1 = (k + 1)Ckn = Ckn (k = 1, 2, …, n) (k + 1)! k! 20 Do ñoù: vôùi n = 20 ta coù: S = C020 + C120 + ... + C20 = 220. 65. (CÑ Sö phaïm TPHCM khoái BT 2006) Soá haïng thöù k + 1 trong khai trieån (1 – 2x)n laø: Tk+1 = Ckn (−2)k .xk Töø ñoù ta coù: a0 + a1 + a2 = 71 ⇔ Cn0 − 2C1n + 4Cn2 = 71 n ∈ N, n ≥ 2 n ∈ N, n ≥ 2  n(n − 1) ⇔  ⇔  2 ⇔n=7 n + 2n − 35 = 0 1− 2n + 4 2 = 71 Vôùi n = 7, ta coù heä soá cuûa x5 trong khai trieån (1 – 2x)n laø: Xem theâm : wWw.ThanhBinh1.Com Traàn Só Tuøng Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp 27 a5 = C57 (−2)5 = – 672. 66. (CÑ Ñieän löïc TPHCM 2006) n(n − 1)(n − 2) = 13n Ta coù: C1n + Cn3 = 13n ⇔ n + 6 n = 10 ⇔ n2 – 3n – 70 ⇔  n = −7 (loaïi) Soá haïng toång quaùt cuûa khai trieån nhò thöùc laø: k k 20− 5k (x2 )10−k (x−3 )k = C10 x Tk+1 = C10 Tk+1 khoâng chöùa x ⇔ 20 – 5k = 0 ⇔ k = 4 4 Vaäy soá haïng khoâng chöùa x laø: T5 = C10 = 210. 67. (CÑ Kinh teá TPHCM 2006) 2 4n+ 2 4n+ 2 • Caùch 1: Ta coù: C04n+ 2 + C14n+ 2 + C4n + 2 + ... + C4n+ 2 = 2 2 4 4n+ 2 4n+1 C04n+ 2 + C4n + 2 + C4n+ 2 + ... + C4n+ 2 = 2 2 4 2n 4n C04n+ 2 + C4n + 2 + C4n+ 2 + ... + C4n+ 2 = 2 Vaäy coù: 24n = 256 ⇔ n = 2 2 4 2n • Caùch 2: Ñaët Sn = C04n+ 2 + C4n + 2 + C4n+ 2 + ... + C4n+ 2 2 4 2n Thì Sn+1 = C04n+ 6 + C4n + 6 + C4n+ 6 + ... + C4n+ 6 2k Vì C2k 4n+ 6 ≥ C4n+ 2 (0 ≤ k ≤ n) neân Sn+1 > Sn ⇒ daõy (Sn) taêng. 0 2 4 + C10 + C10 Khi n = 2 thì S2 = C10 = 256 Vaäy Sn = 256 ⇔ n = 2. 68. (CÑ Kinh teá ñoái ngoaïi khoái AD 2006) 20 1  A = x − 2 ÷ x   10 1  +  x3 − ÷ x  20 k k k 20−k ( −2 ) x + = ∑ (−1) C20 x = k =0 20 ∑ ( −1) k =0 k Ck20 x20−3k + 10 10 n ( 3) x ∑ (−1)n C10 ( x−1) n n=0 ∑ ( −1) n= 0 10−k n n 30− 4n C10 x Xeùt tröôøng hôïp 20 – 3k = 30 – 4n ⇔ 10 – n = 3(n – k) Vì 0 ≤ n ≤ 10 vaø 10 – n phaûi laø boäi soá cuûa 3 neân n = 4 hay n= 7 hay n= 10 ⇒ coù 3 soá haïng trong hai khai trieån treân coù luyõ thöøa cuûa x gioáng nhau. Vaäy sau khi khai trieån vaø ruùt goïn thì bieåu thöùc A seõ goàm: Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp Traàn Só Tuøng 28 21 + 11 – 3 = 29 soá haïng. 69. (CÑ KT Y teá I 2006) −1 2n−1 2n + C2n Ta coù: 42n = (1 + 3)2n = C02n + C12n 31 + C22n 32 + ... + C2n 2n 3 2n 3 −1 2n−1 2n + C2n 22n = (1 – 3)2n = C02n − C12n 31 + C22n 32 − ... − C2n 2n 3 2n 3 ⇒ ( 2n 42n + 22n = 2 C02n + C22n 32 + ... + C2n 2n 3 ) ⇒ 4 + 2 = 2.2 (2 + 1) ⇒ (22n – 216)(22n + 216 + 1) = 0 ⇒ 22n = 216 ⇒ n = 8. 70. (CÑ Xaây döïng soá 2 2006) Theo khai trieån nhò thöùc Newton ta coù: 2n 2n 15 16 (a + b)n = Cn0an + C1nan−1b + ... + Cnnbn • Vôùi a = 3, b = – 1 ⇒ 2n = (3 – 1)n = Cn0 3n − C1n 3n−1 + ... + (−1)n Cnn • Vôùi a = 1, b = 1 ⇒ 2n = (1 + 1)n = Cn0 + C1n + ... + Cnn Vaäy: Cn0 3n − C1n 3n−1 + ... + (−1)n Cnn = Cn0 + C1n + ... + Cnn 71. (CÑ KT Y teá 1 2005) ÑK: x ∈ N, x ≥ 2 (x + 1)! x! +3 − 20 < 0 BPT ⇔ 2 2!(x − 1)! (x − 2)! ⇔ x(x + 1) + 3x(x – 1) – 20 < 0 ⇔ 2x2 – x – 10 < 0 ⇔ – 2 < x < Keát hôïp ñieàu kieän ⇒ x = 2. 72. (CÑBC Hoa Sen khoái D 2006) k (−1)k x45− 2k yk Soá haïng toång quaùt: C15  45 − 2k = 29 ⇒  ⇔k=8 k = 8 8 Vaäy heä soá cuûa x29y8 laø: C15 = 6435. 73. (CÑ Sö phaïm TPHCM khoái DM 2006) Soá haïng thöù k + 1 trong khai trieån (1 – 2x)n laø: Tk+1 = Ckn (−2)k xk Töø ñoù ta coù: a0 + a1 + a2 = 71 ⇔ Cn0 − 2C1n + 4Cn2 = 71 n ∈ N, n ≥ 2  n(n − 1) ⇔  ⇔ 1− 2n + 4 2 = 71 Xem theâm : wWw.ThanhBinh1.Com n ∈ N, n ≥ 2  2 ⇔ n = 7. n + 2n − 35 = 0 5 2 Traàn Só Tuøng 29 Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp [...]... Bậc của x trong 3 số hạng đầu nhỏ hơn 8, bậc của x trong 4 số hạng cuối lớn hơn 8 Vậy x8 chỉ có trong các số hạng thư tư, thứ năm, với hệ số tương ứng là: C38 C32 ; C84 C04 Suy ra: a8 = 168 + 70 = 238 54 (ĐH khối D 2004) 7 1  3 Ta có:  x + 4 ÷ = x  7 ∑ k =0 7 −k  1 Ck7 3 x 4 ( ) k  ÷ =  x 7 ∑ k =0 28−7k k C7 x 12 Tuyển tập Đại số tổ hợp Trần Só Tùng 24 Số hạng không chứa x là số hạng tương ứng... 10 2n 10  1 7 • Ta có:  4 + x ÷ x  Hệ số của x là 26 k C10 = 20 10 k (x−4 )10−k ( x7 ) ∑ C10 k =0 k = 10 k 11k − 40 x ∑ C10 k =0 với k thoả mãn: 11k–40 = 26 ⇔ k = 6 6 Vậy hệ số của x26 là C10 = 210 61 (ĐH khối B 2006) Số tập con k phần tử của tập hợp A bằng Ckn Từ giả thiết suy ra: Cn4 = 20Cn2 ⇔ n2 – 5n – 234 = 0 ⇔ n = 18 (vì n ≥ 4) Tuyển tập Đại số tổ hợp Do k +1 C18 k C18 = 26 Trần Só Tùng 18... n=0 ∑ ( −1) n= 0 10−k n n 30− 4n C10 x Xét trường hợp 20 – 3k = 30 – 4n ⇔ 10 – n = 3(n – k) Vì 0 ≤ n ≤ 10 và 10 – n phải là bội số của 3 nên n = 4 hay n= 7 hay n= 10 ⇒ có 3 số hạng trong hai khai triển trên có luỹ thừa của x giống nhau Vậy sau khi khai triển và rút gọn thì biểu thức A sẽ gồm: Tuyển tập Đại số tổ hợp Trần Só Tùng 28 21 + 11 – 3 = 29 số hạng 69 (CĐ KT Y tế I 2006) −1 2n−1 2n + C2n Ta... ∑ C15 15 x 3 3 k =0 Trần Só Tùng Tuyển tập Đại số tổ hợp 23 Gọi ak là hệ số của x trong khai triển: 1 k k ak = 15 C15 2 ; k = 0, 1, 2, …, 15 3 Xét sự tăng giảm của dãy ak: k k −1 k −1 k k −1 k 2 < C15 2k ⇔ C15 < 2C15 ak–1 < ak ⇔ C15 32 , k = 0, 1, , 15 3 Từ đó: a0 < a1 < a2 < … < a10 Đảo dấu BĐT trên ta được: 32 ak–1 > ak ⇔ k > ⇒ a10 > a11 > … > a15 3 ⇔k< Vậy hệ số lớn nhất phải tìm là: a10 = 210... (CĐ Sư phạm TPHCM khối BT 2006) Số hạng thứ k + 1 trong khai triển (1 – 2x)n là: Tk+1 = Ckn (−2)k xk Từ đó ta có: a0 + a1 + a2 = 71 ⇔ Cn0 − 2C1n + 4Cn2 = 71 n ∈ N, n ≥ 2 n ∈ N, n ≥ 2  n(n − 1) ⇔  ⇔  2 ⇔n=7 n + 2n − 35 = 0 1− 2n + 4 2 = 71 Với n = 7, ta có hệ số của x5 trong khai triển (1 – 2x)n là: Xem thêm : wWw.ThanhBinh1.Com Trần Só Tùng Tuyển tập Đại số tổ hợp 27 a5 = C57 (−2)5 = – 672... Hệ số của x là 31 40 ∑ k =0 Ck40 40−k 1 ÷  x2   Ck40 xk  = 40 ∑ Ck40x3k−80 k =0 với k thoả mãn điều kiện: 3k – 80 = 31 ⇔ k = 37 37 3 Vậy: hệ số của x31 là C40 = C40 = 40.39.38 = 40.13.19 = 9880 1.2.3 13 (ĐH Thuỷ lợi 2000) Chứng minh bằng phương pháp qui nạp 1 1 2 * Với n = 2, đpcm ⇔ 2 = 2 ⇔ A2 = 2 đúng A2 * Giả sử BĐT cần chứng minh đúng với n = k (k ≥ 2), tức là ta có: Tuyển tập Đại số tổ hợp. .. Vinh khối AB 2001) Ta có: Ckn = Ckn n! n! n−k +1 và Ckn−1 = ⇒ k −1 = k!(n − k)! (k − 1)!(n − k + 1)! k Cn Do đó: Ckn > Ckn−1 ⇔ Bảng biến thiên: n−k +1 n+1 >1 ⇔ k < k 2 Tuyển tập Đại số tổ hợp 16 Trần Só Tùng n+1 2 ⇒ Ckn lớn nhất nếu k là số tự nhiên lớn nhất không vượt quá 30 (ĐH Vinh khối DTM 2001) Ta có: 2001 ∑ Ck2001.xk (x + 1)2001 = (–x + 1)2001 = k =0 2001 ∑ Ck2001.(−x)k k =0 Cộng lại ta được: (x... + + C2n +1 = 1024 ⇒ 2n = 10 Ta có: (2 – 3x) = 10 10 k 10−k 2 (3x)k ∑ (−1)k C10 k =0 7 7 3 3 2 Suy ra hệ số của x là −C10 7 58 (ĐH khối D 2005 dự bò 1) +1 Ck2005 ≥ Ck2005 (k ∈ N) Ck2005 lớn nhất ⇔  k k −1 C2005 ≥ C2005 Xem thêm : wWw.ThanhBinh1.Com (1) (2) Trần Só Tùng Tuyển tập Đại số tổ hợp 25 2005! 2005!   k!(2005 − k)! ≥ (k + 1)!(2004 − k)! k + 1 ≥ 2005 − k  ⇔  ⇔  2005! 2005!  2006... a0 n! n! n(n − 1)(n − 2) =5 = 5n ⇔ 3!(n − 3)! (n − 1)! 6 ⇔ Xem thêm : wWw.ThanhBinh1.Com Trần Só Tùng Tuyển tập Đại số tổ hợp 17 n = −4 (loại) ⇔ n2 – 3n – 28 = 0 ⇔  n = 7 Với n = 7 ta có: C37 (2 )(2 ) x −1 2 −x 3 3 = 140 ⇔ 35.22x–2.2–x = 140 ⇔ 2x–2 = 4 ⇔ x = 4 Vậy n = 7, x = 4 33 (ĐH khối B 2002) Số tam giác có các đỉnh là 3 trong 2n điểm A1, A2, …, A2n là C32n Gọi đường chéo của đa giác đều A 1A2…A2n... ⇔ (n – 1)n(n + 1) = 3.4.5 ⇔ n = 4 42 (CĐ Xây dựng số 3 – 2002) Ta có khai triển: ⇔ −1 2n (x + 1)2n = C02nx 2n + C12nx 2n−1 + C22nx2n− 2 + + C2n 2n x + C2n Cho x = –1 ta được: 2 4 −1 2n − C32n + C2n − − C2n 0 = C02n − C12n + C2n 2n + C2n −1 0 2 2n ⇔ C12n + C32n + + C2n 2n = C2n + C2n + + C2n 43 (CĐ Sư phạm Bến Tre khối A 2002) Tuyển tập Đại số tổ hợp Trần Só Tùng 20 x ≥ 1 x ≥ 2 x ≥ 3  ⇔ 1 Điều ... wWw.ThanhBinh1.Com Trần Só Tùng Tuyển tập Đại số tổ hợp Gọi a1, a2, …, a11 hệ số khai triển sau: (x + 1)10.(x + 2) = x11 + a1x10 + a2x9 + … + a11 Hãy tính hệ số a5 38 (ĐH khối A 2003) Tìm hệ số số hạng chứa x... a9x9 + a10x10 (ak ∈ R) tìm hệ số ak lớn (0 ≤ k ≤ 10) Tuyển tập Đại số tổ hợp Trần Só Tùng 29 (ĐH Vinh khối AB 2001) Cho n số nguyên dương cố đònh Chứng minh Ckn lớn k số tự nhiên lớn không vượt... (đẳng thức ⇔ k = 1000) (ĐHQG HN khối B 2000) Số hạng tổng quát khai triển là: Tuyển tập Đại số tổ hợp k C17 Trần Só Tùng 10 (x ) (x ) − 17 −k 3 k Để số hạng không chứa x k = C17 17 34 12 k − x4