Lý thuyết phương trình đường thẳng

Vectơ chỉ phương của đường thẳng 1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng Định nghĩa :  vectơ  được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ nếu  ≠  và giá của  song song hoặc trùng với ∆ Nhận xét : - Nếu  là một vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ thì k ( k≠ 0) cũng là một vectơ chỉ phương của ∆ , do đó một đường thẳng có vô số vectơ chỉ phương. - Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết môt điểm và một vectơ chỉ phương của đường thẳng đó. 2. Phương trình tham số của đường thẳng - Phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua điểm M0(x0 ;y0) và nhận vectơ   = (u1 ; u2) làm vectơ chỉ phương là : ∆ :  -Khi hệ số u1 ≠ 0 thì tỉ số k=  được gọi là hệ số góc của đường thẳng. Từ đây, ta có phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm M0(x0 ;y0) và có hệ số góc k là: y – y0 = k(x – x0) Chú ý: Ta đã biết hệ số góc k = tanα với góc α là góc của đường thẳng ∆ hợp với chiều dương của trục Ox 3. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng  Định nghĩa: Vectơ  được gọi là vec tơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ nếu   ≠  và  vuông góc với vectơ chỉ phương của ∆ Nhận xét: - Nếu   là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ thì k (k ≠ 0) cũng là một vectơ pháp tuyến của ∆, do đó một đường thẳng có vô số vec tơ pháp tuyến. - Một đường thẳng được hoàn toàn xác định nếu biết một và một vectơ pháp tuyến của nó. 4. Phương trình tổng quát của đường thẳng Định nghĩa: Phương trình ax + by + c = 0 với a và b không đồng thời bằng 0, được gọi là phương trinh tổng quát của đường thẳng. Trường hợp đặc biết: +  Nếu a = 0 => y = ;  ∆ // Ox + Nếu b = 0 => x = ; ∆ // Oy + Nếu c = 0 => ax + by = 0 =>  ∆ đi qua gốc tọa độ + Nếu ∆ cắt Ox tại (a; 0) và Oy tại B (0; b) thì ta có phương trình đường thẳng ∆ theo đoạn chắn:                  +  = 1 5. Vị trí tương đối của hai đường thẳng Xét hai đường thẳng  ∆1 và ∆2  có phương trình tổng quát lần lượt là : a1x+b1y + c1 = 0 và a 2+ b2y +c2 = 0 Điểm M0(x0 ;y0) là điểm chung của  ∆1 và ∆2  khi và chỉ khi (x0 ;y0) là nghiệm của hệ hai phương trình:   (1)    Ta có các trường hợp sau: a) Hệ (1) có một nghiệm: ∆1 cắt ∆2 b) Hệ (1) vô nghiệm: ∆1 // ∆2 c) Hệ (1) có vô số nghiệm: ∆1 = ∆2 6.Góc giữa hai đường thẳng Hai đường thẳng ∆1 và ∆2 cắt nhau tạo thành 4 góc. Nếu ∆1 không vuông góc với ∆2thì góc nhọn trong số bốn góc đó được gọi là góc giữa hai đường thẳng ∆1 và ∆2. Nếu ∆1 vuông góc với  ∆2 thì ta nói góc giữa ∆1 và ∆2bằng  900  .Trường hợp  ∆1 và ∆2 song song hoặc trùng nhau thì ta quy ước góc giữa  ∆1 và ∆2 bằng 00. Như vậy gương giữa hai đường thẳng luôn bé hơn hoặc bằng  900   Góc giữa hai đường thẳng ∆1 và ∆2 được kí hiệu là  Cho hai đường thẳng  ∆1 = a1x+b1y + c1 = 0                                 ∆2 =  a 2+ b2y +c2 = 00  Đặt  =                    cos   =  Chú ý: +  ∆1  ⊥ ∆2 <=> n1 ⊥  n2  <=> a1a2+ b1b2 = 0 + Nếu ∆1 và ∆2 có phương trình y = k1 x + m1 và y = k2 x + m2 thì   ∆1  ⊥ ∆2 <=>  k1.k2 = -1. 7.Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng ∆ có phương trình ax+by + c = 0 và điểm M0(x0 ;y0).Khoảng cách từ điểm M0 đến đường thẳng  ∆ kí hiệu là (M0 ;∆), được tính bởi công thức                      d(M0 ;∆) =