TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÝ ====== LƢU THỊ HIỀN PHƢƠNG ỨNG DỤNG CỦA NHÓM GIÁN ĐOẠN VÀO VẬT LÝ NEUTRINO Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và Vật lý Toán KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học TS. PHÙNG VĂN ĐỒNG HÀ NỘI - 2015 LỜI CẢM ƠN Đề tài thực tập này đƣợc hoàn thành tại Viện vật lý dƣới sự hƣớng dẫn của TS. Phùng Văn Đồng. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới TS.Phùng Văn Đồng – ngƣời đã tận tình truyền dạy, định hƣớng nghiên cứu học tập cho tôi hoàn thành đề tài này.Đó chính là cơ sở, nền tảng để giúp tôi hoàn thành luận văn này. Đồng thời tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn tới các thầy Hoàng Ngọc Long, cô Đỗ Thị Hƣơng đã giúp đỡ tôi trong quá trình học hỏi dƣới viện vật lý. Tôi cũng xin cảm ơn các anh, chị đang học cao học dƣới viện vật lý đã cùng tôi học hỏi và trao đổi những tình cảm trong cuộc sống. MỤC LỤC MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1 CHƢƠNG 1: NHÓM GIÁN ĐOẠN ................................................................ 4 1.1. Cơ sở của lý thuyết nhóm ...................................................................... 4 1.2. Nhóm S3 ................................................................................................. 5 1.2.1. Cấu tạo và phép biến đổi của nhóm S3. ......................................... 5 1.2.2.Các lớp liên hợp. .............................................................................. 7 1.2.3. Biễu diễn bất khả quy...................................................................... 7 1.2.4. Bảng đặc biểu của nhóm S3........................................................... 10 1.2.5. Quy tắc nhân biểu diễn.................................................................. 11 1.3. Nhóm A4 ............................................................................................... 15 1.3.1 Cấu tạo và phép biến đổi của nhóm A4 .......................................... 15 1.3.2.Các lớp liên hợp ............................................................................. 18 1.3.3 Bảng đặc biểu ................................................................................. 18 1.3.4. Biểu diễn bất khả quy.................................................................... 19 1.3.5.Quy tắc nhân biểu diễn................................................................... 20 CHƢƠNG 2: MÔ HÌNH CHUẨN CỦA S3 VÀO VẬT LÝ NEUTRINO..... 30 2.1. Mô hình chuẩn...................................................................................... 30 2.2. Mô hình S3 ............................................................................................ 30 2.2.1. Phần lepton mang điện. ................................................................. 30 2.2.2 Khối lƣợng neutrino. ...................................................................... 33 CHƢƠNG 3: MÔ HÌNH CHUẨN CỦA A4 VÀO VẬT LÝ NEUTRINO .... 36 3.1. Phần lepton mang điện ......................................................................... 36 3.2 Phần neutrino. ....................................................................................... 39 KẾT LUẬN ..................................................................................................... 44 TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................... 45 MỞ ĐẦU Vật chất vận động là do 4 lực cơ bản: hấp dẫn, điện từ, yếu, mạnh. Các hiện tƣợng điện và hiện tƣợng từ đƣợc con ngƣời biết đến từ rất sớm từ cách đây hàng ngàn năm, nhƣng chúng vẫn đƣợc xem là độc lập cho đến khi các công trình thực nghiệm của Oersted và sau đó Faraday chứng minh mối liên hệ giữa điện và từ. Trên cơ sở đó, năm 1865 Maxwell đƣa ra lý thuyết thống nhất tƣơng tác đầu tiên trong lịch sử (cũng có ngƣời cho là thứ 2 sau lý thuyết hấp dẫn của Newton), thống nhất tƣơng tác điện và tƣơng tác từ thành tƣơng tác điện từ (quang học là một hệ quả). Không nhƣ tƣơng tác điện từ vốn đƣợc con ngƣời biết đến rất sớm, tƣơng tác yếu đƣợc biết rất muộn. Năm 1896, Becquerel là ngƣời đầu tiên phát hiện sự phân rã của  . Sau đó, năm 1911 Meitner và Hahn đã chỉ ra rằng phổ năng lƣợng của electron trong tia  là liên tục, và vì vậy vi phạm bảo toàn năng lƣợng ( sau đó ngƣời ta cũng nghi nhận sự vi phạm bảo toàn góc và spin). Mãi đến năm 1930, Pauli đề xuất bằng giải quyết vấn đề này bằng sự góp mặt của hạt neutrino. Năm 1933-1934, Enrico Fermi đƣa ra lý thuyết tƣơng tac yếu vạn năng V-A cho mọi hiện tƣợng rã  nhƣng gặp nhiều khó khăn do nó không tái chuẩn hóa đƣợc. Về sau, Glashow ( năm 1961) dùng lý thuyết trƣờng chuẩn của Yang và Mills để giải quyết khó khăn về tính tái chuẩn hóa, theo đó dạng V-A của tƣơng tác yếu đòi hỏi phải đƣợc mô tả với sự có mặt của tƣơng tác điện từ và hai loại tƣơng tác cơ sở này đƣợc thống nhất trong một lý thuyết đơn, gọi là tƣơng tác điện yếu, dựa trên nhóm đối xứng chuẩn SU (2) L U (1)Y . Tƣơng tác mạnh mà ngày nay con ngƣời đƣợc biết đến phải kể đến những khám phá đầu tiên của Ernest Rutherford, Hans Geiger và Ernest Marsden về cấu trúc nguyên tử (1909). Ngƣời ta biết rằng hạt nhân cấu thành 1 từ các nucleon và chúng đƣợc liên kết với nhau bởi lực hạt nhân ( không có lực này, hạt nhân sẽ tan rã do lực đẩy điện từ giữa các proton). Trái với tƣơng tác yếu Fecmi, ta có thể dễ dàng xây dựng đƣợc một lý thuyết tái chuẩn hóa cho lực hạt nhân giữa các nucleon, ví dụ nhƣ lý thuyết Yukawa. Tuy nhiên, những lý thuyết này gặp một vấn đề khác, vì lực hạt nhân là lực mạnh lý thuyết sẽ càng sai khi khai triển nhiễu loạn bậc cao hơn. Sự phát triển có ý nghĩa nhất với lý thuyết tƣơng tác mạnh nói chung và lực hạt nhân nói riêng chính là việc đƣa ra ý tƣởng về hạt quark do Gell-Mann, Nishijima, Ne’eman và Zweig. Vào năm 1965, ngƣời ta nhận thấy rằng các quark phải có thêm một tích mới ( sau này gọi là mầu tích) và không có hàm ý nào khác chính là một biểu diễn cơ sở của nhóm đối xứng chuẩn mới SU(3)C. Mô hình chuẩn với hai phần cơ sở là lý thuyết điện yếu EW hay GWS và sắc động lực lƣợng tử QCD dựa trên nhóm đối xứng chuẩn SU (3)C  SU (2) L U (2)Y là nền tảng của vật lý hạt cơ bản ngày nay. Các fecmion trong mô hình chuẩn đƣợc sắp xếp theo các thế hệ: thế hệ 1 gồm e , e, u, d , thế hệ 2 gồm  ,  , c, s và thế hệ thứ 3 gồm  , , t , b . Mỗi fecmion đƣợc tách thành hai thành phần  L ( phân cực trái) và  R ( phân cực phải). Trong mô hình chuẩn, neutrino chỉ có phân cực trái vì không có thành phần phân cực phải trong thực nghiệm. Các thành phần trái phải là cấu thành cơ sở của mô hình chuẩn: hạt trái đƣợc xếp vào lƣỡng tuyến của SU(2) L, trong khi hạt phải biến đổi nhƣ đơn tuyến của nhóm này. Các quark nằm trong biểu diễn tam tuyến của nhóm mầu, trong khi lepton là đơn tuyến mầu. Siêu tích yếu đƣợc xác định nhƣ sau Y = Q – T3, ở đây T3 toán tử spin yếu và Q là toán tử điện tích. Phá vỡ đối xứng điện yếu và sinh khối lƣợng cho các hạt đƣợc sắp xếp bằng cách đƣa vào một lƣỡng tuyến   (  ,  0 )  (GW , v  H  iGz) . Đối xứng chuẩn bị phá vỡ nhƣ sau: 2 vô hƣớng SU (3)C  SU (2) L U (2)Y  SU (3)C U (1)Q . Các boson chuẩn truyền tƣơng tác yếu W  , Z , quark và lepton mang điện nhận khối lƣợng tỉ lệ với v. Photon truyền tƣơng tác điện từ gắn với U(1)Q và các gluon truyền tƣơng tác mạnh gắn với SU(3)C có khối lƣợng bằng không. Trong thành phần lƣỡng tuyến vô hƣớng, GW và GZ là ba trƣờng Glodstone boson có khối lƣợng bằng không và bị ăn bởi các boson chuẩn khối lƣợng W  và Z ( chúng không phải là hạt vật lý). Tất cả các fecmion nói chung đều có khối lƣợng và giữa chúng có sự trộn lẫn. Ví dụ nhƣ khi một neutrino muon đi đƣợc quãng đƣờng đủ lớn sẽ chuyển hóa thành neutrino tau. Sự dao động của neutrino đã đƣợc quan sát từ thực nghiệm và chỉ đƣợc giải thích khi neutrino có khối lƣợng và đƣợc trộn lẫn. Ta cũng thấy các quá trình chuyển hóa giữa các hardon trung hòa nhƣ: K 0 _ K 0 ; B0 _ B0 ; D0 _ D0 ... Những quá trình này chỉ đƣợc giải thích khi các quark đƣợc trộn lẫn. Bằng thực nghiệm, ngƣời ta đã xác định đƣợc rằng các quark trộn nhỏ (ma trận trộn bằng ma trận đơn vị ), trong khi các góc trộn của neutrino lại lớn và đƣợc xác định theo dạng tri-bimaximal ( ba góc thì có 2 góc trộn lớn). Tuy nhiên về mặt lý thuyết, ma trận trộn trên là bất kì. Có một hƣớng nghiên cứu rất mạnh để giải thích các dạng ma trận trộn quan sát thấy trong tự nhiên và đƣa vào đối xứng gián đoạn những mô hình đƣợc xây dựng gọi là các lý thuyết đối xứng vị. Vì vậy, nó thúc đẩy tôi đi tìm hiểu về lĩnh vực này với đề tài của luận văn là: “ỨNG DỤNG CỦA NHÓM GIÁN ĐOẠN VÀO VẬT LÝ NEUTRINO”. 3 CHƢƠNG 1 NHÓM GIÁN ĐOẠN 1.1. Cơ sở của lý thuyết nhóm Tập hợp các phần tử A,B,C,D.. là 1 nhóm nếu thỏa mãn 4 tính chất của nhóm, tức là phải tồn tại yếu tố đơn vị, thỏa mãn tính chất giao hoán, tồn tại phần tử nghịch đảo và cuối cùng là thỏa mãn tính chất kết hợp. Có thể phân loại một nhóm dựa trên cấc phần tử của nó là gián đoạn hay liên tục. Nếu các phần tử của nhóm là gián đoạn ta có nhóm gián đoạn và ngƣợc lại ta có nhóm liên tục. Nếu luật nhân nhóm là giao hoán, nghĩa là với mọi g1 , g2  G thì g1.g2  g2 .g1 thì nhóm đƣợc gọi là nhóm Abel hay nhóm giao hoán, ngƣợc lại là nhóm non-Abel hay nhóm không giao hoán. Nếu a  G đƣợc gọi là liên hợp với b  G thì yếu tố liên hợp c  G sao cho c-1.a.c = b hoặc c.b.c-1 = a. Quan hệ liên hợp là quan hệ tƣơng đƣơng, tức là nếu a liên hợp với b thì b liên hợp với a. Khi đó, mọi yếu tố của nhóm G liên hợp với cùng 1 yếu tố a thuộc G thì tạo thành lớp các yếu tố liên hợp của a. Các biểu diễn của cùng một lớp đƣợc xem nhƣ nhau, nên cần nêu lên các đặc trƣng nội tại cho toàn lớp biểu diễn, nghĩa là tìm các đại lƣợng liên quan đến biểu diễn, nhƣng bất biến đối với các biến đổi ( khả nghịch) cơ sở của không gian biểu diễn. Một trong những đặc trƣng nêu lên ở trên chính là vết: n TrD( g )   Di ( g ) . Nhƣ vậy vết của biểu diễn gọi là đặc biểu của biểu diễn và i 1 kí hiệu là  ( g )  TrD( g ) . 4 1.2. Nhóm S3 1.2.1. Cấu tạo và phép biến đổi của nhóm S3. S3 là nhóm non- abel ( không giao hoán) nhỏ nhất có bậc bằng 6. Số bậc của nhóm chính là số phần tử của nhóm. Nó là nhóm hoán vị của 3 số 1,2,3 gồm 6 phần tử, đƣợc kí hiệu là (e, a1, a2, a3, a4, a5) 1  e  1   1  a1   2   1  a2   3   1  a3   2   1  a4   1   1  a5   3   2 3  2 3   (1, 2,3)  (1, 2,3)   2 3  3 1   (2,3,1)  (123)   2 3  1 2   (3,1, 2)  (321)   2 3  1 3   (2,1,3)  (12)   2 3  3 2   (1,3, 2)  (23)   2 3  2 1   (3, 2,1)  (31)   Trong biểu thức trên, số hạng thứ nhất là kí hiệu đầy đủ của phép hoán vị, số hạng thứ 2 là kết quả của phép hoán vị , số hạng thứ 3 là cách viết theo chu trình. Ví dụ : a1 là phép biến đổi 1  2  3  1 , a3 là phép biến đổi 1  2, 2  1,3 không đổi. S3 chính là phép biến đổi của một tam giác đều thành chính nó, bao gồm : 5 + Phép biến đổi đồng nhất ( phép biến đổi phần tử đơn vị ) + Phép phản xạ quanh trục (11’) , (22’) và (33’) + Phép quay quanh các góc 2 / 3, 4 / 3 theo chiều ngƣợc chiều kim đồng hồ. Ví dụ : sự phản xạ quanh trục (3,3’) dẫn tới sự thay đổi trục 1 và 2 và cứ nhƣ vậy. Do đó chúng ta sẽ có 3 phép biến đổi trục tƣơng ứng là (12), (23), và (31). Quay ngƣợc chiều kim đồng hồ bởi góc (2 / 3),(4 / 3) sẽ hoán vị vòng cả 3 kí hiệu này. Nó tƣơng ứng với phép biến đổi (123) và (321). Từ đây, chúng ta sẽ hình thành đƣợc bảng nhân nhóm S3. e a1 a2 a3 a4 a5 e e a1 a2 a3 a4 a5 a1 a1 a2 e a5 a3 a4 a2 a2 e a1 a4 a5 a3 a3 a3 a4 a5 e a1 a2 a4 a4 a5 a3 a2 e a1 a5 a5 a3 a4 a1 a2 e 6 1.2.2.Các lớp liên hợp. S là lớp liên hợp của G nếu : S .g  g.S g  G S s   g 1.s.g , g  G   s  ( định nghĩa để xây dựng các lớp liên hợp) (1) Từ định nghĩa để xây dựng các lớp liên hợp, ta có số liên hợp của S3 là: e  e C1  a1   a21.a1.a2  a21.e  a1  a1   a31.a1.a3  a31.a5  a3 .a5  a2  a1   a41.a1.a4  a41.a3  a4 .a3  a2  a1   a51.a1.a5  a51.a4  a5 .a4  a2 Vậy  a1   a1 , a2  C2 Chứng minh tƣơng tự :  a3    a4    a5  C3 Vậy S3 có 3 lớp liên hợp là e , a1 , a 2  , a3 , a4 , a 5  Bảng liên hợp của nhóm S3. C1 (1,2,3)  e C2 (123)  a1; (312)  a2 C3 (12)  a3 ; (23)  a4 ; (31)  a5 1.2.3. Biễu diễn bất khả quy Áp dụng định ly Burn side: n12  n22  nm2  N (2) N: bậc của G m: số lớp liên hợp. 7 ni: chiều của biểu diễn bất khả quy thứ i. Ta có : n12  n22  n32  6 Suy ra n1 = 1 ; n2 = 1 và n3 = 2 Vậy S3 có 2 biểu diễn 1 chiều và 1 biểu diễn 2 chiều. Mặt khác, S3 có 2 nhóm con bất biến là Z3 và Z2 nên : Biểu diễn 1 chiều của S3 là : 1 : D (e) = D (a1) = D (a2) = 1 D ( a3) =D (a4) = D (a5) = 1 1' : D (e) = D (a1) = D (a2) = 1 D (a3) = D (a4) = D ( a5) = - 1 Biểu diễn 2 chiều của S3 dựa trên phép biến đổi đối xứng của 1 tam giác x y đều có dạng:   z t  1 0 D (e) =   0 1 8 y 1 3 1  A ;   2 2  3  C  1;0  x o 1  3 2  B ;   2 2   x y D(a1 )    z t  A  C ; C  B; B  A x  z y x  . A  C;  t z y x  .C  B;  t z y  .B  A t Giải 4 phƣơng trình 4 ẩn ta tìm đƣợc x, y, z, t  1 Ma trận biểu diễn D(a1) =  2  3  2  2  1  2   3 Tƣơng tự ta cũng tính đƣợc các ma trận biểu diễn : 9  1 2 D (a2) =   3  2  2  ; D (a ) = 3  1  2  1  2   3  2  1 1 0   2 D (a4) =   ; D (a5) =   0 1  3  2  3 3  2  1  2  3  2  1  2  Biểu diễn cơ sở 2 chiều của nhóm S3 trong không gian thực có dạng : 1 0 C1 :   0 1  1  2 C2 :   3  2   1 2 ; 2   1   3 2  2  3  1  2 C3 :   3  2   1 2  2 ; 1   3 2   2  3 3 3  2  1  2   2  1 0   ; 1   0 1 2  (2) Các biểu diễn (2) chính là biểu diễn tối giản unita 2 chiều của S3. Điều đặc biệt ở đây là biểu diễn tối giản unita có số chiều lớn hơn 1. Đối với nhóm không giao hoán, phải tồn tại ma trận mà không phải là số, vì chỉ có ma trận mới biểu diễn đƣợc quy tắc nhân không giao hoán. 1.2.4. Bảng đặc biểu của nhóm S3 Dựa vào hệ thức trực giao cho đặc biểu :  g K  . ( g ).b ( g )   ab (3) N Với  : hàm số của lớp liên hợp ( vết của đặc biểu); N: số phần tử của nhóm K : số phần tử của lớp liên hợp   : chỉ số vectơ ( chiều của không gian) 10 Bảng đặc biểu của nhóm S3: 1 1' 2 C1 1 1 2 C2 1 1 -1 C3 1 -1 0 1.2.5. Quy tắc nhân biểu diễn. Số lần biểu diễn bất khả quy a xuất hiện trong một biểu diễn D là maD ( với D là biểu diễn tích tenxơ) maD    K  1 . ( g ). D ( g )   . ( g ). D ( g ) N g N Với D  D1  D2 ;  D ( g )   D ( g ). D ( g ) 1 2 Đối với nhóm gián đoạn S3 gồm có 2 biểu diễn 1 chiều và 1 biểu diễn 2 chiều. 1 m1D  .(1.1.22  2.1.(1) 2  3.1.02 )  1 6 1 m1'D  .(1.1.22  2.1.(1) 2  3.(1).02 )  1 6 1 m2D  .(1.2.22  2.(1).(1) 2  3.0.02 )  1 6 Vậy D  2  2  1 1'  2 Để xác định các hệ số Clebsch-Gordan tƣơng ứng với từng biểu diễn ta sử n N dụng toán tử chiếu: Pa   a . a ( g ).D( g ) g Với D là biểu diễn bất kì tác dụng trong không gian vecto V, D a là biểu diễn bất khả quy tác dụng trong không gian vecto Va, na là chiều của biểu 11 diễn bất khả quy Da, N là số phần tử của nhóm. Khi đó Pa là toán tử chiếu trong không gian vecto V lên không gian con Va. Yếu tố ma trận của biểu diễn D = Da  Db đƣợc xác định nhƣ sau:  Da  Db  jyix   Da  ji . Db yx Xác định vecto trong không gian biểu diễn 2  2 không gian 4 chiều a 2  1  a2 b 2  1  b2    2 a1 1  a2 2     2 b1 1  b2 2  2  2 (a1 1  a2 2 )  (b1 1  b2 2 a1b1 11  a1b2 12  a2b1 21  a2b2 22  a1b1    a1b2   ( 11 12 21 22 )  a2b1     a2b2  Toán tử chiếu 2  2 về 1,1', 2 1  0 D22 (e)   0  0 0 1 0 0 0 0 1 0  1  4 0    3 0 4 ; D22 (a1 )   0  3  4  1   3  4 3 1 4 4 3 4  3 4 12 3 3 1 4 4 4  3 4         1  4  3 4 3 4 3 4     D22 (a2 )            D22 (a4 )        1 4 3 4 3 4 3 4 1 4 3 4 3 4 3 4  3 1 4 4 3 3 3 1 3 4 4 4 4 4  3 4  3 3   1  4  4    3   3 4  ; D (a )   4 22 3  3  3  4 4    1   3 4   4 3 4 4 1 4 3 4 3 3 1 4 4 3 4 3 4  4  1 0 0   3   0 1 0 4 ; D22 (a5 )    0 0 1  3   4 0 0 0  1  4  3 4 4 1 4  3 4 0 0 0  n 1 0 3 3 P1'  a . 1 ( g ).D( g )   N g 6  0 3 3  0 0 0  3  2  2 2 0  P2  .  2 ( g ).D( g )  N g 6 0   3   2  3 0 3 3 2 2 0 0 0 0 0   0  1  0 1 1  0  2  0 1 1   0 0 0 0 3  2 1 3 0  1 0 2   3 0  2  0 2    1 3  0 2 0 13 0  0 0  0 0 0 1  1 1 0 1 1 0  0 0 1 0  0 0  1  3 3 4 4 1 3 4 4         1  4  3 4 3 4 3 4 1  1 0 P1  2 0  1 0 0 1  0 0 0 0 0 0  0 0 1   a1b1   a1b1  a2b2        ab 0 1   a1b1  a2b2 .  P1   1 2   .   a2b1  2   0  2       a2b2   a1b1  a2b2    1'   2 0   0   1  2 1' 1 1 ( 11  22 ) 2  1 (a1b1  a2b2 ) 0 0 0  1 0 1 1 P1'  .  2  0 1 1  0 0 0 (1.1) 0  0 0  0  0  0  a1b1      1       ab ab a b 1 ab a b 2 P1' .  1 2   .  1 2 2 1   1 2 2 1 .   a2b1  2  a1b2  a2b1   1  2     2  0    a2b1   0    2' 1'  1 ( 12  21 ) 2 Vậy 1' (a1b2  a2b1 ) (1.2) 14 1  1 0 P2  2 0   1 0 0 1  1 1 0 1 1 0  0 0 1   a1b1   a1b1  a2b2        a1b2  1  a1b2  a2b1  1  P2   . ( a1b2  a2b1 ).   a2b1  2  a1b2  a2b1   2       a2b2   a1b1  a2b2    0     1   2  (a1b1  a2b2 ).  1   2    0   3' 3'  0   1  2  1  2  0   4' 1 1 ( 12  21 ); 4 '  ( 11  22 ); 2 2 a b  a b  Vậy 2  1 2 2 1   a1b1  a2b2  (1.3) Tóm lại: 1. Quy tắc nhân không tầm thường của S3 là: 12  21 2(1, 2)  2(1, 2)  1(11  22) 1'(12  21)  2   11  22  (1.4) 2.Ta có thể chứng minh được: 1  1'  1'(11)  11  1 2  2   12   11  1'  2  2    12  1.3. Nhóm A4 1.3.1 Cấu tạo và phép biến đổi của nhóm A4 A4 là đối xứng của tứ diện đều (tập hợp các phép biến đổi biến tứ diện đều thành chính nó). Nó là nhóm hoán vị chẵn của 4 số 1,2,3,4 gồm 12 phần tử, đƣợc kí hiệu là: e, a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8, a9, a10, a11. 15 1 2 3 4  1 2 3 4 e   e; a1     (123); 1 2 3 4  3 1 2 4 1 2 3 4 1 2 3 4 a2     (124); a3     (132);  4 1 3 2  2 3 1 4 1 2 3 4 1 2 3 4 a4     (134); a5     (142);  4 2 1 3 2 4 3 1 1 a6   3 1 a8   1 2 3 4 1   (143); a7   2 4 1 1 2 3 4 1   (243); a9   3 4 2 2 2 3 4   (234); 4 2 3 2 3 4   (12)(34); 1 4 3 1 2 3 4 1 2 3 4 a10     (13)(24); a11     (14)(23); 3 4 1 2 4 3 2 1 Trong biểu thức trên, số hạng thứ nhất là kí hiệu đầy đủ của phép hoán vị, số hạng thứ 2 là kết quả của phép hoán vị theo chu trình Ví dụ: a1 là phép biến đổi 1  2  3  1 , 4 giữ nguyên (không đổi), a9 là phép hoán vị của 1  2, 2  1;3  4, 4  3 . 16 Từ đây chúng ta sẽ hình thành đƣợc bảng nhân nhóm cho A4 e a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 e e a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a1 a1 a3 a10 e a7 a6 a11 a9 a2 a4 a8 a5 a2 a2 a11 a5 a4 a10 e a8 a1 a9 a6 a3 a7 a3 a3 e a8 a1 a9 a11 a5 a4 a10 a7 a2 a6 a4 a4 a2 a9 a11 a6 a7 e a10 a3 a1 a5 a8 a5 a5 a7 e a10 a3 a2 a9 a11 a6 a8 a4 a1 a6 a6 a9 a1 a8 e a10 a4 a5 a11 a2 a7 a3 a7 a7 a10 a4 a5 a11 a9 a1 a8 e a3 a6 a2 a8 a8 a6 a11 a9 a2 a3 a10 e a7 a5 a1 a4 a9 a9 a8 a7 a6 a5 a4 a3 a2 a1 e a11 a10 a10 a10 a5 a6 a7 a8 a1 a2 a3 a4 a11 e a9 a11 a11 a4 a3 a2 a1 a8 a7 a6 a5 a10 a9 e 17 1.3.2.Các lớp liên hợp Từ định nghĩa xây dựng các lớp liên hợp (1) , ta có số liên hợp của A4 là:  e  e C1  a1   a21.a1.a2  a21.a10  a4  a1   a31.a1.a3  a31.e  a1  a1   a41.a1.a4  a41.a7  a5  a1   a51.a1.a5  a51.a6  a8  a1   a61.a1.a6  a61.a10  a8  a1   a71.a1.a7  a71.a9  a5  a1   a81.a1.a8  a81.a2  a4  a1   a91.a1.a9  a91.a4  a5  a1   a101.a1.a10  a101.a5  a1  a1   a111.a1.a11  a111.a5  a8 Vậy  a1   a1 , a4 , a5 , a8  C2 Chứng minh tƣơng tự :  a2   a2 , a6 , a7 , a3 C3  a9   a9 , a10 , a11 C4 Vậy A4 có 4 lớp liên hợp là e ;a1 , a4 , a5 , a8  ;a2 , a6 , a7 , a3;a9 , a10 , a11; Bảng liên hợp của nhóm A4: C1 e C2 a1, a4, a5, a8 C3 a2, a6, a7, a3 C4 a9, a10, a11 1.3.3 Bảng đặc biểu Dựa vào hệ thức trực giao cho đặc biểu (3) ta có bảng đặc biểu cho nhóm A4 18 1 1' 1'' 3 C1 1 1 1 3 C2 1 w w2 0 C3 1 w2 w 0 C4 1 1 1 -1 i 2 Với w  e 3 ,1  w 2  w  0 1.3.4. Biểu diễn bất khả quy Áp dụng định ly Burn side (2) ta có : n12  n22  n32  n42  12  n1  n2  n3  1; n4  3 ' '' Vậy D4 có : 3 biểu diễn 1 chiều: 1;1;1 ; 1 biểu diễn 2 chiều : 3 Dựa vào các lớp liên hợp và bảng đặc biểu của A4 ta có thể xây dựng các biểu diễn 1 chiều của A4: Biểu diễn 1 chiều : 1 D (e) = D (a1) = D (a4) = D (a5) = D (a8) = 1 D (a2) = D (a6) = D (a7) = D (a3) = 1 D (a9) = D (a10) = D (a11) = 1 1' D (e) = D ( a9) = D (a10) = D(a11) = 1 D (a1) = D (a4) = D (a5) = D (a8) = w D ( a2) = D (a6) = D (a7) = D (a3) = w2 1'' D (e) = D (a9) = D (a10) = D (a11) = 1 D (a1) = D (a4) = D (a5) = D (a8) = w2 D (a2) = D (a6) = D (a7) = D (a3) = w 19 Các biểu diễn 3 chiều của A4 trong không gian Oxyz biến tứ diện đều thành chính nó. 1 0 0 Lớp C1:  0 1 0  ; 0 0 1    0 1 0   0 0 1   0 0 1  0 0  1 Lớp C2:  0 0 1  ;  1 0 0  ;  1 0 0  ; 1 0 0   1 0 0   0 1 0   0  1 0   0 1 0           0 1 0   0 1 0   0 1 0   0  1 0  Lớp C3:  0 0 1  ;  0 0 1 ;  0 0 1  ; 0 0  1  1 0 0   1 0 0    1 0 0   1 0 0           1 0 0   1 0 0    1 0 0  Lớp C4:  0 1 0  ;  0 1 0  ;  0 1 0   0 0 1  0 0 1  0 0 1        1.3.5.Quy tắc nhân biểu diễn Xét tích không tầm thƣờng D = 3  3 ,các biểu diễn thành phần của tích tensor: 1 .(1.1.32  4.1.02  4.1.02  3.1.(1)2 )  1 12 1 m1D'  .(1.1.32  4w.02  4.w 2 .02  3.1.(1)2 )  1 12 1 m1D''  .(1.1.32  4.w 2 .02  4.w.02  3.1.(1)2 )  1 12 1 m3D  .(1.3.32  4.0.02  4.0.02  3.(1).(1)2 )  2 12 m1D  Vậy D  3  3  1 1' 1''  3  3 20 Để xác định các hệ số clebsch-Gordan tƣơng ứng với từng biểu diễn ta sử n N dụng toán tử chiếu: Pa   a . a ( g ).D( g ) g Với D là biểu diễn bất kì tác dụng trong không gian vecto V, D a là biểu diễn bất khả quy tác dụng trong không gian vecto Va, na là chiều của biểu diễn bất khả quy Da, N là số phần tử của nhóm. Khi đó Pa là toán tử chiếu trong không gian vecto V lên không gian con Va. Yếu tố ma trận của biểu diễn D = Da  Db đƣợc xác định nhƣ sau:  Da  Db  jyix   Da  ji . Db yx Nếu có 2 tam tuyến trong hệ cơ sở  1 , 2 , 3 :  a1  3    3 a1 1  a2 2  a3 3  a2   b1  3    3 b1 1  b2 2  b3 3  b2  3  3  a1 1  a2 2  a3 3   (b1 1  b2 2  b3 3 ) a1 b1 11  a1b2 12  a1b3 13  a2b1 21  a2b2 22  a2b3 23  a3b1 31  a3b2 32  a3b3 33 ) Trong cơ sở: 11 , 12 , 13 , 21 , 22 , 23 , 31 , 32 , 33  a1 b1     a1 b2   a1 b3     a2 b1  Ta có thể viết 3  3   a2 b2     a2 b3  a b   3 1  a3 b2     a3 b3  Các ma trận 3  3 cho các yếu tố của nhóm A4 trong cơ sở trên là: 21 1  0 0  0 Lớp C1:  0  0 0  0 0  0 0 0 0 0 0 0 0  1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0  0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0  0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0  0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1  Lớp C2: 0  0 0  0 1  0 0  0 0  0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0   0 0 0 0 0 0 0 0 0 0   0   0 0 1 0 0 ; 1 0 0 0   0   0 1 0 0 0 0 0 0 0   0   0 0 0 1 0   0 0 0 0 22 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1  0 0  0 0  0 0  0 0  0 0 0 0  0 0 0 0 0 0 0 0   0 0 1 0 1 0 0 0   0 1 0 0 0 0 0 0   0 0 0 1 0 0 0 0  1 0 0 1 0 0   1 0 0   0 0 0 1 0 0 0   0 0 0 0 0 0 0 0;1 0   0 0 0   0 1 0 0 0 0 0   0 0 0 0 0 0 0 0   0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0  0 0 0 0  0 0 0 1  0 0 0 0 0 0 0 0  0 0 0 0  0 1 0 0   0 0 1 0 1 0 0 0  1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1  0 0 1 0   0 0 0 0  0 0 0 0  0 0 0 0  0 Lớp C3: 0  0 0  0 0  0 0  0 1  0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0   0 0 0 0 0 0   0 0 0 1; 0 0   0 0 0 0   0 1   0 0 0 0   1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0   0 0 0 0   0 0 1 ; 0   0 0 0 0   0 0 0   1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 23 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0  0 0  0 1  0 0  0 0  0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0  0 0  0 1  0 0  0 0  Lớp C4: 1 0 0 0   0 1 0 0  0 0 1 0   0 0 0 1 0 0 0 0  0 0 0 0 0 0 0 0  0 0 0 0 0 0 0 0  1 0   0 1 0 0  0 0 0 0  0 0 0 0  0 0 0 0  0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1   0 0 0 0   0 0 0 ; 0   0 0 0 0   0 0 1   0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0  0 0  0 0  0 0  0 1  0  0 0  0 0  0 0  0 1  Từ đây ta xác định đƣợc toán tử chiếu P1 lên vecto 3  3 ta thu đƣợc: 1  0 0  0 1 P1  1 3 0 0  0 1  0 0 0 1 0 0 0 1  0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0  0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1  0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0  0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1  24 Tác dụng P1 lên 3  3 ta thu đƣợc:  a1   a1  a1   a2 P1.  a2   a2 a  3  a3 a  3 b1  1 0 0 0 1 0   b2  0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 b3    b1  0 0 0 0 0 0 1   b2  . 1 0 0 0 1 0  3  b3  0 0 0 0 0 0  0 0 0 0 0 0 b1   b2  0 0 0 0 0 0  1 0 0 0 1 0 b3    (a1 b1  a2b2  a3b3 ) 1' 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1   a1  0   a1 0   a1  0   a2 1  .  a2  0   a2 0   a3  0   a3 1   a3 b1   b2  b3   b1  b2   b3  b1   b2  b3  1   0 0   0 1   Với 1'  . 1 3   0 0   0 1   Hệ số Clebsh- Gordan tƣơng ứng với biểu diễn 1 là: 1 = ( a1b1 + a2b2 + a3b3) (1.5) Tƣơng tự ta cũng xác định đƣợc toán tử chiếu cho biểu diễn 1'  1   0  0   0 1 P1'  w 3  0  0   0  2 w 0 0 0 w2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 w 0 0 0 w  0  0   0  w2   0  0  0   1  25 Tác dụng P1' lên 3  3 ta thu đƣợc:  a1   a1  a1   a2 P1' .  a2   a2 a  3  a3 a  3 b1   1 0 0 0 w2   b2   0 0 0 0 0  0 0 0 0 0 b3    b1   0 0 0 0 0 1 b2   .  w 0 0 0 1  3  b3   0 0 0 0 0  0 0 0 0 0  b1   b2   0 0 0 0 0  2  b3  w 0 0 0 w  (a1 b1  w 2 a2b2  wa3b3 ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 w   a1  0   a1 0   a1  0   a2 w 2  .  a2  0   a2 0   a3  0   a3  1   a3 b1   b2  b3   b1  b2   b3  b1   b2  b3  2'  1     0   0     0  1   Với 2 '  . w 3    0   0     0   w2    Hệ số Clebsh- Gordan tƣơng ứng với biểu diễn 1' là: 2 1' = ( a1b1 +w a2b2 +w a3b3) (1.6) Toán tử chiếu P1'' lên vecto 3  3 ta thu đƣợc: 26  1   0  0   0 1 2 P1''  w 3  0  0   0  w 0 0 0 w 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 w2   0 0 0 0  0 0 0 0   0 0 0 0  0 0 0 w  0 0 0 0  0 0 0 0  0 0 0 0   0 0 0 1  0 0 0 w2 Tác dụng P1'' lên 3  3 ta thu đƣợc:  a1   a1  a1   a2 P1'' .  a2   a2 a  3  a3 a  3 b1   1   b2   0  0 b3    b1   0 1 b2   .  w 2  3  b3   0  0  b1   b2   0   b3  w 0 0 0 w 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 w2 0 0 0 w 2   a1  0 0 0 0   a1 0 0 0 0   a1  0 0 0 0   a2 0 0 0 w  .  a2  0 0 0 0   a2 0 0 0 0   a3  0 0 0 0   a3  0 0 0 1   a3 b1   b2  b3   b1  b2   b3  b1   b2  b3   (a1 b1  wa2b2  w 2 a3b3 ) 3'  1     0   0     0  1  2 Với 3'  . w 3    0   0     0  w   Hệ số Clebsh- Gordan tƣơng ứng với biểu diễn 1 là: 2 1'' = ( a1b1 + wa2b2 + w a3b3 ) (1.7) 27 Toán tử chiếu P3 lên vecto 3  3 ta thu đƣợc: 0  0 0  0 P3   0  0 0  0 0  0 0 0 0 0 0 0 0  1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0  0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0  0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0  0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0  Tác dụng P1'' lên 3  3 ta thu đƣợc:  a1   a1  a1   a2 P3 .  a2   a2 a  3  a3 a  3 b1   0 0  b2   0 1 b3   0 0   b1   0 0 b2    0 0   b3   0 0 b1   0 0   b2   0 0 b3   0 0  (a2 b3  0   0  0   0 Với 4 '   1   0  0   0 w  0 0 1 0 0 0 0 0 0 4' 0   a1  0   a1 0   a1  0   a2 0  .  a2  0 0 1 0 0 0   a2 0 0 0 1 0 0   a3  0 0 0 0 1 0   a3 0 0 0 0 0 0   a3  a3b1 5'  a1b2 6 ' )  (a3b2 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 b1   b2  b3   b1  b2   b3  b1   b2  b3  7 '  a1b3 8'  a2b1 9 ' )  0 0 0 0 0             0 1 0 0 0  0 0 0 1 0             0 0 0 0 1  ; 5'   0  ; 6 '   0  ; 7 '   0  ; 8'   0  ; 9 '   0              1 0 0 0 0  0 0 1 0 0             0 0 0 0 0  w w w w            w 28 Hệ số Clebsh- Gordan tƣơng ứng với biểu diễn 3 là: 3s   a2 b3 , a3b1 , a1b2  (1.8) 3A   a3 b2 , a1b3 , a2b1  Vậy 3  3  1(11  22  33)  1'(11  w 2 22  w33)  1''(11  w22  w 2 33) 3s (23,31,12)  3A (32,13, 21) 29 (1.9) CHƢƠNG 2 MÔ HÌNH CHUẨN CỦA S3 VÀO VẬT LÝ NEUTRINO 2.1. Mô hình chuẩn Trong tự nhiên có 4 loại tƣơng tác cơ bản đó là: tƣơng tác mạnh, tƣơng tác yếu, tƣơng tác điện từ và tƣơng tác hấp dẫn. Trong 4 loại tƣơng tác trên thì sự thống nhất của 3 loại tƣơng tác mạnh, yếu, điện từ thống nhất tạo thành một lý thuyết và đƣợc gọi đó là mô hình chuẩn. Các tƣơng tác đƣợc thực hiện thông qua các hạt truyền tƣơng tác: photon truyền tƣơng tác điện từ, các boson vector W  và Z truyền tƣơng tác yếu, các gluon truyền tƣơng tác mạnh. Sự thành công của mô hình chuẩn nhờ sự khám phá ra các neutrino dòng trung hòa và nhiều thí nghiệm khác hơn 40 năm qua. Tuy nhiên, bên cạnh những thành công đó thì mô hình chuẩn còn có những hạn chế nhất định. Chẳng hạn nhƣ mô hình chuẩn không giải thích đƣợc khối lƣợng và sự chuyển hóa của neutrino đã đƣợc thực nghiệm xác nhận cũng nhƣ sự gián đoạn về điện tích, hay tại sao neutrino lại có khối lƣợng rất bé, và tại sao các góc trộn lẫn nhỏ ( ma trận trộn gần với ma trận đơn vị ) trong khi các góc trộn lẫn neutrino lớn với các góc trộn xác định dạng Tri-bimaximall, điều này sẽ đƣợc giải thích trong khóa luận tốt nghiệp. 2.2. Mô hình S3 Ta sẽ xây dựng mẫu chuẩn dựa vào S3 và rút ra ma trận khối lƣợng cho neutrino. 2.2.1. Phần lepton mang điện. Ba thế hệ lepton của mô hình này đƣợc sắp xếp nhƣ sau thế hệ thứ nhất của lepton phân cực trái đƣợc sắp xếp vào đơn tuyến: eL    eL   1L   1, 2, 1,1 30 (2.1) Thế hệ thứ 2,3 của lepton phân cực trái đƣợc sắp xếp vào lƣỡng tuyến:    iL   iL  (1, 2, 1, 2) với i = 2,3  eiL  (2.2) Thế hệ thứ nhất của lepton phân cực phải đƣợc sắp xếp vào đơn tuyến: eR (1,1, 2,1) (2.3) Thế hệ thứ 2,3 của lepton phân cực phải đƣợc sắp xếp vào lƣỡng tuyến: eiR (1,1, 2, 2) (2.4) Để sinh khối lƣợng cho lepton mang điện, ta cần đƣa vào thêm trƣờng vô hƣớng  :  1  v (1, 2,1,1), 10  0  2  1     v' 2   2 0  (1, 2,1,1'), 20  2  2  1   Với nhóm S3: 2  2  1 1'  2 (2.5) (2.6) nên trƣờng vô hƣớng thêm vào phải là đơn tuyến hoặc lƣỡng tuyến. Vì đơn tuyến không có trung bình chân không nên ta không xét tới mà chỉ xét phản lƣỡng tuyến để sinh khối lƣợng cho lepton mang điện. Cụ thể, gọi các phản lƣỡng tuyến là  và s, ta có:   110 i     12   12   (1,3, 2, 2)  12  Giá trị trung bình chân không: i  u 2 1   2   s110 s   s21 s12    s22  31 u1 u u  2  2 2 2 (1,3, 2,1) (2.7) Với s110  u' 2 Ta đi xây dựng tƣơng tác lagrangian Yukawa bất biến cho lepton mang điện dựa trên tính bất biến của các tích tensor:  C    C Llep Y  h( L eR )11  h '( L eR )1' 2  f ( 1L e1R )11  x( L L )1 s  y   L  L  2 .   H .c  1 Đối với electron: LY  f ( 1L eR )1 1  H .c  0   .eR  f ( L eL )  v   2  fv fv  .eL eR  H .c  .ee 2 2 fv  me   2 Đối với  , thì:   LY  h  L e R 1 1  h '  L e R 1' 2  H .c 2  2  1(12  21)  1'(12  21)  2(22,11) Mà trong cơ sở phức thì:  2 L   3 L   2 L  L     2  2   L       3 L   3 L   2 L   3 L   e2 R          2 L e2 R  3 L e3 R  2 L   e3 R  1 Nên  L eR 1   Tƣơng tự:  L eR 1'   3L e3R  2 L e2 R Khi đó lagrangian cho  , là: 32  0   0    h '( 3 L e3 R  2 L e2 R )    H .c LY  h( 2 L e2 R  3 L e3 R )  v    v  2 2   hv h 'v  e2 L e2 R  e3 L e3 R  e3 L e3 R  e2 L e2 R 2 2 v v  (h  h ')e3e3  (h  h ')e2e2 2 2 v v  m   (h  h '); m   (h  h ') 2 2     Nhận xét: Ta rút ra đƣợc biểu thức cho lagrangian cho lepton mang điện nhƣ sau: LY  me eL eR  m  L  R  m  L R  H .c  me   ( eL  L L )  0  0  0 m 0 0  eR    0   R   H .c  m    R  Với me , m , m là các khối lƣợng với ma trận trộn lepton mang điện: VeL  VeR  1 2.2.2 Khối lượng neutrino. Từ biểu thức của hàm lagrangian ta thấy: 33 LY  x.( 2CL 3 L  3CL 2 L ). s   3CL  3 L    2 y.    C  2 L      2L  1    H .c    x( 2CL  3 L  3CL 2 L ) s  y (  3CL 3 L  1    x  2CL e2CL     2CL 2 L  2  H .c  u' 0   3 L       3CL e3CL 2   0   e3 L   0    u' 0  2 L      2    e2 L   0  0  u 0  2 L     H .c   2    e2 L   0  0   u 0   3 L  C C       2CL e2CL 2 y 3 L e3 L    0   e3 L   0  u' C u'  x. 2 L3 L  x. 3CL2 L 2 2 u C u' y. 3 L3 L  y. 2CL2 L  H .c 2 2   yu 2  xu ' 2  2 L  1   . 2CL 3CL     H .c '  2  xu 2  yu 2 3 L             yu 2 Đặt M   '   xu 2  xu ' 2   a b    ; L   2L     yu 2   a b   3 L  Chéo hóa ma trận M ta đƣợc: 1 LY   . LC M  L 2 1   . LC .'VTL .M .V L  L' ;  L  V L  L' 2 0   m M '  VTL .M .V L     0 m      cos  sin   2b  V L       , tan 2  aa 4  sin  cos  V L  1 1 1   2 1 1  Chú ý: ma trận trộn lepton 34 U   VeL  V L   V L  Với góc trộn        4 Ta thấy kết quả trên trùng với thực nghiệm và e có khối lƣợng triệt tiêu và không trộn với  , 35 CHƢƠNG 3 MÔ HÌNH CHUẨN CỦA A4 VÀO VẬT LÝ NEUTRINO Đƣa A4 vào mẫu chuẩn. Ta sẽ xây dựng mẫu chuẩn dựa vào A4 và rút ra ma trận khối lƣợng cho neutrino. 3.1. Phần lepton mang điện Các hạt của mô hình đƣợc sắp xếp nhƣ sau: các lepton phân cực trái đƣợc sắp xếp vào các lƣỡng tuyến:  L   (2, 1,3)  eL  L   (3.1) Chú ý: sắp xếp e,  , vào tam tuyến, điều đó có nghĩa là:   1L     2 L  3  A4    3L  (3.2) Với 1,2,3 là các chỉ số thế hệ của lepton. Các lepton phân cực phải đƣợc sắp xếp vào các đơn tuyến: l1R (1, 2,1); l2 R (1, 2,1'); l3R (1, 2,1'') (3.3) Để sinh khối lƣợng cho lepton mang điện ta cần dƣa vào thêm trƣờng vô hƣớng  :    (2,1,3) 0      (3.4) Chú ý: Do  iL 3 nên  phải dƣới dạng 3 dƣới nhóm A4 mới thỏa mãn tính bất biến của tƣơng tác Yakawa. Ta có:  1     2  3    3 (3.5) 36 Với 1 , 2 , 3 là lƣỡng tuyến. Vậy trong mô hình này, cần ba lƣỡng tuyến cho 3 thế hệ fecmion. Ta xây dựng tƣơng tác Yakawa bất biến cho các lepton mang điện dựa trên tính bất biến của các tích tensor:    Llep Y  h1  L  1 l1R  h2  L  1'' l2 R  h3  L  1' l3 R  H .c (3.6) Với h1, h2, h3 là các hệ số tƣơng tác. Khai triển (1.5), (1.6), (1.7) ta đƣợc: 2 Llep Y  h1 ( 1L1   2 L2   3 L3 )l1R  h2 ( 1L1  w 2 L2  w  3 L3 )l2 R  h3 ( 1L1  w 2 2 L2  w 3 L3 )l3 R  H .c (3.7) Dƣới tác dụng của nhóm A4 giá trị trung bình chân không (VEV) của  đƣợc xác định là: 0 i    hay   (v1,v2 , v3 )  vi  (3.8) Ta có, với v1 = v2 = v3 = v( từ điều kiện cực tiểu thế) thì nhóm A4 bị phá vỡ về nhóm Z3. Vậy để tìm ma trận khối lƣợng, thay trung bình chân không vào biểu thức tƣơng tác Yakawa (3.7) ta đƣợc: 2 Llep mass  hv (l1L  l2 L  l3 L )l1R  h2 v (l1L  w l2 L  w l3 L )l2 R  h3v(l1L  w 2 l2 L  wl3 L )l3 R  H .c (3.9) Biểu diễn dƣới dạng ma trận của (3.9): lep mass L   l1R l2 R l3 R  h2v h3v  l1L   h1v    2  h1v w h2v w h3v  l2 L   H .c  h v w 2 h v w h v  l  2 3  3 L   1 (3.10) Ma trận khối lƣợng của lepton có dạng: M lep h2v h3v   h1v     h1v wh2v w 2 h3v   h v w 2 h v wh v  2 3   1 37 (3.11) Chéo hóa ma trận khối lƣợng bằng cách viết: M lep 1 1 1   1 w2  3 1 w 1   3h1v  w  0  w 2   0  0 3h2v 0   0  .1  3h3v  0 (3.12) Khi đó, ta có:  3h1v  U L1M lepU R   0   0   m   e 0  0   3h3v   0 0 0 3h2v 0 0 m 0 0  0  m  (3.13) Trong đó: 1 1 1  U lR  1,U L  1 w 3  2 1 w 1   w 2   U lL w  Là các ma trận chuyển cơ sở của  L và lR 38 (3.14) 3.2 Phần neutrino. Đối với neutrino, dùng ngay lƣỡng tuyến trong mô hình có dạng (3.1). Khi đó, để có khối lƣợng, dựa vào tính bất biến của các tích tensor ta lấy:  LC L (2, 1,3)  (2, 1,3) (3.15) Để có tƣơng tác Yakawa thì phải có một vô hƣớng  nằm trong tổ hợp trên. Dƣới SU(2)L ta có: 2  2  1 3 , nhƣ vậy trƣờng vô hƣớng  thêm vào có thể là đơn tuyến hoặc tam tuyến. Tuy nhiên, đơn tuyến không có trung bình chân không (VEV) nên ở đây ta không xét mà chỉ xét phản tam tuyến  để sinh khối lƣợng cho neutrino. Dƣới A4, dựa vào công thức (1.9) thì  có thể là đơn tuyến hoặc tam tuyến. Khi đó:  (3 , 2,1  3) (3.16) Cụ thể, gọi các phản tam tuyến là  và s, ta có:   110      12  s0 s   11  s12  12  (3 , 2,1)    12  s12    (3 , 2,3) s12  (3.17) (3.18) Chú ý: điện tích của các thành phần của  phải thòa mãn tính bất biến lagrange. Chẳng hạn xét tƣơng tác  1CL 1L (3.19)  1CL 1L  1CL1L11  e1CL1L 21  1CL e1L12  e1CL1L 22 Ta thu đƣợc: q11 = -(0+0) = 0; q22 = - (-1+(-1)) = 2;q12 = q21 = -(0-1) = 1 Xác định tƣơng tác các thành phần của s. Từ đây ta viết lagrangian tƣơng tác cho neutrino:   LY  x  LC  L 1   y  LC  L 3 s  H .c Dựa vào công thức (1.5) và (1.8) khai triển ta có: 39 (3.20)  2CL  3 L    LY  x  1CL  1L  2CL 2 L  3CL 3 L )  y  3CL  1L  s  H .c    1CL  2 L     (3.21) Giá trị trung bình chân không VEV của  đƣợc xác định là: u 0   0 0   (3.22) Giá trị trung bình của s là: s  ( s1 , s2 , s3 ) (3.23)  t 0 s2  s3  0, s1    0 0 (3.24) Thì nhóm A4 bị phá vỡ về nhóm Z2. Nhƣ vậy khi đƣa ra giá trị trung bình chân không vào, ta rút ra đƣợc lagrangian khối lƣợng cho neutrino. LY  x(1CL1L  2CL2 L  3CL3L )u  y2CL3Lt  H .c (3.25) Viết dƣới dạng ma trận của (3.25)  LY  1CL 2CL 3CL    xu  0   0   0    1L  1   yt 2 L   H .c 2    3 L  xu   0 xu 1 yt 2 (3.26) Ma trận khối lƣợng neutrino có dạng:   xu  M   0   0  0 xu 1 yt 2 40  0   1  yt 2   xu   (3.27)  x1  Ta đi chéo hóa, gọi  là trị riêng, X   x2  là vecto riêng thì ta có phƣơng x   3 trình trị riêng: (3.28) det( M    I )  0 xu   0 0 xu   0 1 yt 2 hay 0 1 yt  0 2 xu   Tìm đƣợc 3 giá trị  thỏa mãn pt (3.28) là: 1 1 yt ; 2  xu; 3  xu  yt ; 2 2   1   xu 0 0  xu  yt  2    1    M  0 xu yt  U L  0  2     1 0  0 yt xu    2  1  xu  41 0 xu 0     0  U L 1  xu  yt  2  0 (3.29) Lần lƣợt tìm từng vecto riêng tƣơng ứng với các trị riêng trên: 1  xu   1  2 yt Với   0    0  1 yt 2 0 1 yt 2 1 yt 2  0    x1  1   yt x2  0 2     x 1   3  yt  2  1    2 ytx1  0  1 1 Suy ra hệ:  ytx2  ytx3  0 2 2 1 1   2 ytx2  2 ytx3  0  Chọn x1 = 0, x2 = x3 = (3.31) 1 , vecto riêng có dạng: 2 0 1   X1  1 2   1 (3.32) Tƣơng tự tìm đƣợc các trị riêng tƣơng ứng với X2, X3 lần lƣợt là : 1 0 1     X2   0; X3  1 2   0    1 Chú ý: cách chọn vecto riêng trên nhằm thỏa mãn điều kiện trực chuẩn. Từ đó, ta tìm đƣợc ma trận chuyển cơ sở có dạng: U L          0 1 2 1 2 1 0 0  0   1  2  1   2 42 (3.33) Kết hợp với U và UlL ta thu đƣợc ma trận trộn Harison-Perkins-scott: U lLU L  2  3   U HPS P    1 6   1  6    3  1  1 i 3 2  1 1 i  3 2  1 0 1 0 0  Trong đó: P   0 1 0   0 0 i    P bị loại bỏ bởi định nghĩa lại trƣờng nên ma trận trộn Harison-PerkinsScott: U HPS  2  3    1 6   1  6    3  1  1  3 2  1 1  3 2  1 0 Đó chính là ma trận trộn neutrino có dạng Tri-bimaximal đã đƣợc thực nghiệm kiểm chứng. 43 KẾT LUẬN Khóa luận tốt nghiệp: ”ỨNG DỤNG CỦA NHÓM GIÁN ĐOẠN VÀO VẬT LÝ NEUTRINO” đã thu đƣợc những kết quả chính sau đây: 1. Biết đƣợc cấu tạo của nhóm S3 gồm 6 phần tử, là nhốm đối xứng tam giác đều và nhóm A4 gồm 12 phần tử, là nhóm đối xứng tứ diện đều. Từ các phép biến đổi của S3 và A4 ta sẽ lập đƣợc bảng nhân nhóm của S3 và A4. 2. Trong phần lớp liên hợp tôi đã chỉ ra đƣợc nhóm S3 gồm 3 lớp liên hợp và A4 gồm 4 lớp liên hợp, từ đó xây dựng đƣợc bảng đặc biểu của S 3 và A4 dựa vào các lớp liên hợp. 3. Ở biểu diễn bất khả quy, tôi đã chỉ ra 2 biểu diễn 1 chiều và 1 biểu diễn 2 chiều của S3 và 3 biểu diễn 1 chiều và 1 biểu diễn 3 chiều của A4. 4. Tìm đƣợc các quy tắc nhân biểu diễn của S3 và A4 và hệ số CleshGrodan tƣơng ứng. 5. Các kết quả tìm đƣợc đƣợc sử dụng trong mô hình vật lý cho giải thích về sự trộn của neutrino có dạng Tri-bimaximall trùng với thực nghiệm mà mô hình chuẩn vẫn chƣa giải thích đƣợc điều này. 44 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. H. Georgi, Lie Algebras in Particle Physics, Perseus Books (1999). 2. Nguyễn Huy Thảo, Bài giảng lý thuyết nhóm, ĐHSPHN2. 3. Phùng Văn Đồng, Bài giảng lý thuyết nhóm, Viện Vật lý-Viện Hàn Lâm KHCN Việt Nam. 45 [...]... mới biểu diễn đƣợc quy tắc nhân không giao hoán 1.2.4 Bảng đặc biểu của nhóm S3 Dựa vào hệ thức trực giao cho đặc biểu :  g K   ( g ).b ( g )   ab (3) N Với  : hàm số của lớp liên hợp ( vết của đặc biểu); N: số phần tử của nhóm K : số phần tử của lớp liên hợp   : chỉ số vectơ ( chiều của không gian) 10 Bảng đặc biểu của nhóm S3: 1 1' 2 C1 1 1 2 C2 1 1 -1 C3 1 -1 0 1.2.5 Quy tắc nhân... nhân không tầm thường của S3 là: 12  21 2(1, 2)  2(1, 2)  1(11  22) 1'(12  21)  2   11  22  (1.4) 2.Ta có thể chứng minh được: 1  1'  1'(11)  11  1 2  2   12   11  1'  2  2    12  1.3 Nhóm A4 1.3.1 Cấu tạo và phép biến đổi của nhóm A4 A4 là đối xứng của tứ diện đều (tập hợp các phép biến đổi biến tứ diện đều thành chính nó) Nó là nhóm hoán vị chẵn của 4 số 1,2,3,4 gồm... lƣợng cho neutrino 2.2.1 Phần lepton mang điện Ba thế hệ lepton của mô hình này đƣợc sắp xếp nhƣ sau thế hệ thứ nhất của lepton phân cực trái đƣợc sắp xếp vào đơn tuyến: eL    eL   1L   1, 2, 1,1 30 (2.1) Thế hệ thứ 2,3 của lepton phân cực trái đƣợc sắp xếp vào lƣỡng tuyến:    iL   iL  (1, 2, 1, 2) với i = 2,3  eiL  (2.2) Thế hệ thứ nhất của lepton phân cực phải đƣợc sắp xếp vào đơn... chuyển hóa của neutrino đã đƣợc thực nghiệm xác nhận cũng nhƣ sự gián đoạn về điện tích, hay tại sao neutrino lại có khối lƣợng rất bé, và tại sao các góc trộn lẫn nhỏ ( ma trận trộn gần với ma trận đơn vị ) trong khi các góc trộn lẫn neutrino lớn với các góc trộn xác định dạng Tri-bimaximall, điều này sẽ đƣợc giải thích trong khóa luận tốt nghiệp 2.2 Mô hình S3 Ta sẽ xây dựng mẫu chuẩn dựa vào S3 và... 0  w w w w            w 28 Hệ số Clebsh- Gordan tƣơng ứng với biểu diễn 3 là: 3s   a2 b3 , a3b1 , a1b2  (1.8) 3A   a3 b2 , a1b3 , a2b1  Vậy 3  3  1(11  22  33)  1'(11  w 2 22  w33)  1''(11  w22  w 2 33) 3s (23,31,12)  3A (32,13, 21) 29 (1.9) CHƢƠNG 2 MÔ HÌNH CHUẨN CỦA S3 VÀO VẬT LÝ NEUTRINO 2.1 Mô hình chuẩn Trong tự nhiên có 4 loại tƣơng tác cơ bản đó là: tƣơng... với nhóm gián đoạn S3 gồm có 2 biểu diễn 1 chiều và 1 biểu diễn 2 chiều 1 m1D  (1.1.22  2.1.(1) 2  3.1.02 )  1 6 1 m1'D  (1.1.22  2.1.(1) 2  3.(1).02 )  1 6 1 m2D  (1.2.22  2.(1).(1) 2  3.0.02 )  1 6 Vậy D  2  2  1 1'  2 Để xác định các hệ số Clebsch-Gordan tƣơng ứng với từng biểu diễn ta sử n N dụng toán tử chiếu: Pa   a  a ( g ).D( g ) g Với D là biểu diễn bất kì tác dụng. .. toán tử chiếu: Pa   a  a ( g ).D( g ) g Với D là biểu diễn bất kì tác dụng trong không gian vecto V, D a là biểu diễn bất khả quy tác dụng trong không gian vecto Va, na là chiều của biểu diễn bất khả quy Da, N là số phần tử của nhóm Khi đó Pa là toán tử chiếu trong không gian vecto V lên không gian con Va Yếu tố ma trận của biểu diễn D = Da  Db đƣợc xác định nhƣ sau:  Da  Db  jyix   Da ... ).D( g ) g Với D là biểu diễn bất kì tác dụng trong không gian vecto V, D a là biểu diễn bất khả quy tác dụng trong không gian vecto Va, na là chiều của biểu 11 diễn bất khả quy Da, N là số phần tử của nhóm Khi đó Pa là toán tử chiếu trong không gian vecto V lên không gian con Va Yếu tố ma trận của biểu diễn D = Da  Db đƣợc xác định nhƣ sau:  Da  Db  jyix   Da  ji  Db yx Xác định vecto trong...  a1 , a4 , a5 , a8  C2 Chứng minh tƣơng tự :  a2   a2 , a6 , a7 , a3 C3  a9   a9 , a10 , a11 C4 Vậy A4 có 4 lớp liên hợp là e ;a1 , a4 , a5 , a8  ;a2 , a6 , a7 , a3;a9 , a10 , a11; Bảng liên hợp của nhóm A4: C1 e C2 a1, a4, a5, a8 C3 a2, a6, a7, a3 C4 a9, a10, a11 1.3.3 Bảng đặc biểu Dựa vào hệ thức trực giao cho đặc biểu (3) ta có bảng đặc biểu cho nhóm A4 18 1 1' 1'' 3 C1... tuyến: eR (1,1, 2,1) (2.3) Thế hệ thứ 2,3 của lepton phân cực phải đƣợc sắp xếp vào lƣỡng tuyến: eiR (1,1, 2, 2) (2.4) Để sinh khối lƣợng cho lepton mang điện, ta cần đƣa vào thêm trƣờng vô hƣớng  :  1  v (1, 2,1,1), 10  0  2  1     v' 2   2 0  (1, 2,1,1'), 20  2  2  1   Với nhóm S3: 2  2  1 1'  2 (2.5) (2.6) nên trƣờng vô hƣớng thêm vào phải là đơn tuyến hoặc lƣỡng tuyến ... đƣa vào đối xứng gián đoạn mô hình đƣợc xây dựng gọi lý thuyết đối xứng vị Vì vậy, thúc đẩy tìm hiểu lĩnh vực với đề tài luận văn là: ỨNG DỤNG CỦA NHÓM GIÁN ĐOẠN VÀO VẬT LÝ NEUTRINO CHƢƠNG NHÓM... trộn neutrino có dạng Tri-bimaximal đƣợc thực nghiệm kiểm chứng 43 KẾT LUẬN Khóa luận tốt nghiệp: ỨNG DỤNG CỦA NHÓM GIÁN ĐOẠN VÀO VẬT LÝ NEUTRINO thu đƣợc kết sau đây: Biết đƣợc cấu tạo nhóm. .. loại nhóm dựa cấc phần tử gián đoạn hay liên tục Nếu phần tử nhóm gián đoạn ta có nhóm gián đoạn ngƣợc lại ta có nhóm liên tục Nếu luật nhân nhóm giao hoán, nghĩa với g1 , g2  G g1.g2  g2 g1 nhóm