PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ, VECTƠ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH 2012 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ, VECTƠ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH Ngô Hoàng Toàn Lớp YD-K38 Đại Học Y Dược Cần Thơ Email:ngohoangtoan@gmail.com Khi giải một bài toán, điều quan trọng không phải là ta chỉ tìm ra kết quả mà là tìm ra cách giải hay,phù hợp với đặc thù của từng bài. Như nhà toán học Euler đã từng nói trong lá thư gởi nhà toán học Gôn-Bach về việc tìm nghiệm tự nhiên của phương trình 4xy - x - y  z 2 ;4 xy  x  1  z 2 như sau :” Thú thật là tôi không ngờ rằng ông lại có một cách chứng minh dễ dàng và đẹp mắt như vậy. Từ đó, tôi tin rằng phần lớn định lý của Fermat cũng có thể chứng minh bằng cách tương tự như vậy và vì thế tôi cảm ơn ông đã cho tôi biết cách chứng minh đẹp đẽ này.” Chính vì vậy chúng tôi đã viết chuyên đề này với mục đích tìm ra cách giải đẹp cho các loại phương trình đại số nhất là phương trình vô tỷ. Phương pháp tọa độ, vectơ là một cách thức vận dụng hình học giải tích trong mặt phẳng với hai đối tượng thường dùng là tọa độ điểm và vectơ sau đó dùng những công thức và phương pháp tính toán đã biết để giải. Sau đây là một kiến thức vận dụng :   Tích vô hướng: Cho a  ( x1 ; y1 ) , b  ( x2 ; y2 )  ab  x1 x2  y1 y2  a  x12  y12 Khi giải phương trình f ( x)  g ( x) . Ta biến đổi f ( x) thành vế trái, g ( x) thành vế phải ứng với:    ab  a b     a  b  ab     a  b  ab Hoặc biến đổi một vế, giả sử f ( x) về dạng BĐT rồi xét dấu “=”    ab  a b     a  b  ab     a  b  ab      dấu “=” xảy ra khi a  kb (k  0)       dấu “=” xảy ra khi b  0 hoặc a , b ngược hướng Nếu dùng hình học giải tích thì ta chú ý các kiến thức về đường tròn, đường thẳng… (tham khảo thêm SGK Hình học 10 nâng cao ) Sau đây là một số ví dụ : 1) Giải phương trình: 9 x3  18 x 2  36 x 2  9 x 3  9  x 2 Con đường dẫn đến thành công là sự tôi luyện của bản thân Page 1 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ, VECTƠ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH 2012 ĐK: 2  x  4 Phân tích: bài này ta chưa thể xác định được tọa điểm nhưng ta hãy chú ý đến    ab  a b nếu ta xét 1 trong 2 vectơ có tọa độ (1;1) . Trở lại bài toán. Gọi VT  f ( x) , VP  g ( x) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy ta chọn các vectơ:   a  1;1 , b  9 x3  18 x 2 ; 36 x 2  9 x3   Ta có: a  2 , b  3 2x    a b  6x  ab  9 x3  18 x 2  36 x 2  9 x 3    mà f ( x)  ab  a b  6 x   g ( x)  9  x 2  2 9 x 2  6 x Suy ra f ( x)  6 x  g ( x)   Dấu “=” xảy ra khi a, b cùng phương và 9  x 2  9 x3  18 x 2 36 x 2  9 x3    1 1  x2  9   9( x  3)  0  x  0 (l )   x  3 ( n) Vậy S  3  Nhận xét: Thật ra phương pháp xét vectơ a  (1;1) là một cách lợi dụng tính ưu việt của BĐT B-C-S như sau: ĐK: 2  x  4 Ta có: 9  x 2  1(9 x3  18 x 2 )  1(36 x 2  9 x3 )  (1  1)(9 x3  18 x 2  36 x 2  9 x 3 )  6 x 9 x3  18 x 2  36 x 2  9 x 3  x  0 (l )   x  3 ( n) Dấu “=” xảy ra khi Ta cũng có thể giải bài toán này bằng nhiều cách khác. 2) Giải phương trình: 1 2 ĐK:   x  1  2x  1  2 x  1 2x 1 2x  1  2x 1  2x 1 2 Con đường dẫn đến thành công là sự tôi luyện của bản thân Page 2 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ, VECTƠ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH 2012 Phân tích: Lần này bài toán thấy khó giải quyết khi VP không ở dạng tọa độ  A  x; y  hay a  ( x; y) nhưng ta có thể thấy: Ta có : VP  2 ( do BĐT Cauchy) (1) Xét VT : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy chọn   u  (1;1)  u  2   v  1  2 x ; 1  2x  v  2      VT  1  2 x  1  2 x  uv  u v  2 (2) Từ (1), (2)  VT  2  VP Dấu “=” xảy ra khi x  0 Vậy S  0 Ta cũng có thể tổng quát bài toán trong không gian Oxyz. Ta xét ví dụ sau: 3) Giải phương trình: sin x  2  sin 2 x  sin x 2  sin 2 x  3 Trong không gian Oxyz chọn   u  sin x;1; 2  sin 2 x  u  3   v  1; 2  sin 2   x ;sin x   v  3    VT  sin x  2  sin 2 x  sin x 2  sin 2 x  uv  u v  3  VP Dấu “=” xảu ra khi sin x 1 2  sin 2 x   1 sin x 2  sin 2 x sin 2 x  1    sin x  1  x   k 2 ( k  Z ) 2 sin x  0   Vậy S    k 2 k  Z  2  4) Giải phương trình: 1 2 1 2 16 32 1 2 1 2 4 8 x 2 x  x  x  4 x  10  x  x   4  2 2 (1) 2 2 5 5 2 2 5 5 (Cải biên đề thi Olympic toán khu vực miền Trung và Tây Nguyên) Phân tích: Bài toán khó nếu đặt ẩn phụ hay đánh giá, nhưng ta phát hiện giá trị 1 2 1 x . Nếu ta đưa ra khỏi căn thì ta được các cụm tổng bình phương. 2 2 Con đường dẫn đến thành công là sự tôi luyện của bản thân Page 3 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ, VECTƠ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH 2012 1 2 16 8  x  2 2   x       2 5  5   2 (1)  2  x  4 2 2 2 4 8    22   x        4  2 2 5 5    Trong mặt phẳng Oxy chọn:  a   x; 2    16 8  bx ;  5 5   c   4  x; 2    4 8 d    x;  5 5 Ta có:   ac  4 2   bd  4 Ta có:     a  c  ac     b  d  bd          a  b  c  d  a c  b d  4 4 2 1 4  4 2  4  2 2  VP 2 Dấu “=” xảy ra khi x  2 Vậy S  2  VT    Nhận xét: Nếu bài toán có nhiều hơn một ẩn ta cũng có thể giải theo hướng như trên. Ta xét ví dụ: phương 5) Giải 2b2  6b  9  2b 2  10 13 13 2 ab  a 2  a  4a  4  13 3 9 9 2 trình: (1) 2 2 2 2 2  b  a    b  a    a  2    a   13 3   3  Trong mặt phẳng Oxy chọn   2  2   M  a; a  ; N  b; b   MN   a  b; a  b  3  3       2   A  0;3 ; B  2;0   NA   b; b  3 , MB   2  a;  a  , AB   2; 3  3   2 2 (1)  b   b  3  Con đường dẫn đến thành công là sự tôi luyện của bản thân Page 4 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ, VECTƠ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH 2012 Ta có:     VT  AN  NM  MB  AB  13  VP  Dấu “=” xảy ra khi AB cp AN cp NM 18 6  a , b 13 5  18 6   ;   13 5   Vậy S   Kết Luận: Qua chuyên đề chúng ta có được nhiều hiểu biết hơn về công cụ vectơ không chỉ dùng trong hình học mà còn cả trong đại số.Chính vì thế mong nhận được những ý kiến của các bạn về chuyên đề này và các phương pháp khác mà chúng tôi chưa đề cập. Tài liệu tham khảo: [1] Chuyên đề nâng cao Đại số và Giải Tích THPT-Phạm Quốc Phong-NXB Đại học Sư Phạm -2005 [2] Dùng hình học giải tích để giải phương trình ,bất phương trình,hệ phương trình,bất đẳng thức-Trần Đình Thì-NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội-2008. Con đường dẫn đến thành công là sự tôi luyện của bản thân Page 5  ... xảy Ta giải toán nhiều cách khác 2) Giải phương trình: ĐK:   x   2x   x  1 2x 1 2x   2x  2x Con đường dẫn đến thành công luyện thân Page PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ, VECTƠ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH...PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ, VECTƠ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH 2012 ĐK:  x  Phân tích: ta chưa thể xác định tọa điểm ta ý đến    ab  a b ta xét vectơ có tọa độ (1;1) Trở lại toán... Luận: Qua chuyên đề có nhiều hiểu biết công cụ vectơ không dùng hình học mà đại số.Chính mong nhận ý kiến bạn chuyên đề phương pháp khác mà chưa đề cập Tài liệu tham khảo: [1] Chuyên đề nâng cao