Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán THCS: Quỹ tích - Tập hợp điểm i.C¸c bµi to¸n t×m tËp hîp ®iÓm Bµi 1: Cho ®êng trßn (O; R) vµ tam gi¸c c©n ABC cã AB = AC néi tiÕp ®êng trßn (O; R) KÎ ®êng kÝnh AI. Gäi M lµ mét ®iÓm bÊt k× trªn cung nhá AC. Mx lµ tia ®èi cña tia MC. Trªn tia ®èi cña tia MB lÊy ®iÓm D sao cho MD = MC. a) Chøng minh r»ng MA lµ tia ph©n gi¸c cña cña gãc BMx. b) Gäi K lµ giao thø hai cña ®êng th¼ng DC víi ®êng trßn (O). Tø gi¸c MIKD lµ h×nh g×? v× sao? c) Gäi G lµ träng t©m cña tam gi¸c MDK. Chøng minh r»ng khi M di ®éng trªn cung nhá AC th× G lu«n n»m trªn mét ®êng trßn cè ®Þnh. d) Gäi N lµ giao ®iÓm thø hai cña ®êng th¼ng AD víi ®êng trßn (O). P lµ giao ®iÓm thø hai cña ph©n gi¸c gãc IBM víi ®êng trßn. Chøng minh r»ng, ®êng th¼ng DP lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh khi M di ®éng trªn cung nhá AC. Híng dÉn: a) Gãc AMB = (1/2)s®AB (gãc néi tiÕp (O) ch¾n AB ) Gãc AMx = 180®é - Gãc AMC = 180®é - D x A G M N O K B C I (1/2)s®cungABC = (1/2)s®cungAC =(1/2)s®cungAB vËy: Gãc AMB = Gãc AMx hay MA lµ tia ph©n gi¸c cña Gãc BMx b) +Tam gi¸c MCD c©n => Gãc MCD = Gãc MDC = (1/2)Gãc BMC ( gãc ngoµi cña tam gi¸c) l¹i cã Tam gi¸c ABC c©n => I lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña cung BC => Gãc IMC = Gãc IMB = (1/2)Gãc BMC Vò §øc Kiªn - Trêng Thùc Hµnh S Ph¹m – C§SP Qu¶ng Ninh 1 Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán THCS: Quỹ tích - Tập hợp điểm vËy Gãc MCD = Gãc IMC => IM song song víi CD + Gãc MCD = Gãc MDC = Gãc BMI => BI = MK =>Gãc MIK = Gãc IMB => IK song song víi MD VËy MIKD lµ h×nh b×nh hµnh. c) D thuéc ®êng trßn (A; AC) Gäi N lµ ®iÓm trªn AI sao cho NA = (1/3)AI.=> NG = (2/3)AD = (2/3)AC = hs => G thuéc ®êng trßn (N; (2/3)AC) ---------------------------Bµi 2: Cho tam gi¸c ABC ngo¹i tiÕp ®êng trßn (O; R). Gäi D lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña cung BC kh«ng chøa A. VÏ ®êng trßn qua D vµ tiÕp xóc víi AB t¹i B. VÏ ®êng trßn qua D vµ tiÕp xóc víi AC t¹i C. Gäi E lµ giao ®iÓm thø hai cña hai ®êng trßn nµy. a) Chøng minh 3 ®iÓm B, C, E th¼ng hµng. b) Mét ®êng trßn t©m K di ®éng lu«n ®i qua A vµ D, c¾t AB, AC theo thø tù t¹i M vµ N. Chøng minh r»ng BM = CN. c) T×m quü tÝch trung ®iÓm I cña ®o¹n th¼ng MN. A M K I E B Híng dÉn: a) + gãc BED = gãc DBx = gãc ACB 2 C D N y x Vò §øc Kiªn - Trêng Thùc Hµnh S Ph¹m – C§SP Qu¶ng Ninh Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán THCS: Quỹ tích - Tập hợp điểm + gãc CED = gãc DCy = gãc ABD => gãc BEC = gãcABD + gãcACD = 180 ®é. => B, E, C th¼ng hµng. b) cung BD = cung DC => gãc BAD = gãc CAD => cung DN = cung DM => DM = DN cung BD = cung DC => DB = DC gãc DCN = gãc DBM => Tam gi¸c BMD = tam gi¸c CND => BM = CN. c) TÝnh ®îc DI = 2KD sin2 (A/2) =>(DI/DK) =2 sin2(A/2) =hs K thuéc trung trùc cña AD => I thuéc ®êng th¼ng vu«ng gãc víi AD c¾t AD t¹i P sao cho (DP/DA )=sin2(A/2) ----------------------------------Bµi 3: Cho tam gi¸c ABC c©n t¹i A. C¸c ®iÓm M, N theo thø tù chuyÓn ®éng trªn c¸c c¹nh AB, AC sao cho AM = CN. a) Chøng minh ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c AMN lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh kh¸c A. b) T×m quü tÝch t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c AMN. A Híng dÉn: a) §êng cao AH c¾t ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c AMN t¹i P => tam gi¸c AMP = tam gi¸c CNP => PA = PC => P lµ t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC => P cè ®Þnh. b) T©m I cña ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam B gi¸c AMN n»m trªn ®êng trung trùc cña AP. ------------------------------ M I P N C H Vò §øc Kiªn - Trêng Thùc Hµnh S Ph¹m – C§SP Qu¶ng Ninh 3 Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán THCS: Quỹ tích - Tập hợp điểm Bµi 4. T×m quü tÝch ®Ønh C c¸c tam gi¸c ABC cã AB cè ®Þnh, ®êng cao BH b»ng c¹nh AC. E C Híng dÉn: KÎ ®êng th¼ng vu«ng gãc víi AB t¹i A, trªn ®ã lÊy E sao cho AE = AB => tam gi¸c ACE = tam gi¸c BHA => gãc ACE = 90 ®é => C thuéc cung chøa gãc 90 ®é dùng trªn AE. H B A Bµi 5: Tø gi¸c låi ABCD cã AC cè ®Þnh, gãc A =45 0, gãc B = gãc C = 900. a) Chøng minh r»ng BD cè ®é dµi kh«ng ®æi. b) Gäi E lµ giao cña BC vµ AD, F lµ giao cña DC vµ AB. Chøng minh EF cã ®é dµi kh«ng ®æi. c) T×m quü tÝch t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c AEF. F B H C Híng dÉn: a) gãc B = gãc D = 90 ®é => B, D thuéc ®êng trßn ®êng kÝnh AC O J A D I 4 Vò §øc Kiªn - Trêng Thùc Hµnh S Ph¹m – C§SP Qu¶ng Ninh E Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán THCS: Quỹ tích - Tập hợp điểm gãc A = 45 ®é => BD = R 2 = hs. b) Tam gi¸c CDE vu«ng c©n => CD = ED tam gi¸c ADF vu«ng c©n => DA = DF =>Tam gi¸c ACD = tam gi¸c FED => EF = AC = hs c) Trung trùc cña AF c¾t trung trùc cña AE t¹i J, c¾t (O) t¹i H vµ I => H, I lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña hai cung AC => H, I cè ®Þnh. gãc HJI = gãc BCD = 135 ®é => J thuéc cung chøa gãc 135 ®é dùng trªn HI. ---------------------------------Bµi 6: Cho ®o¹n th¼ng AB cè ®Þnh. Mét ®iÓm M di ®éng trªn ®o¹n AB. Dùng vÒ cïng mét nöa mÆt ph¼ng cã bê lµ ®êng th¼ng AB c¸c h×nh vu«ng AMDE, MBGH. Gäi O, O' t¬ng øng lµ t©m c¸c h×nh vu«ng trªn. a) T×m quü tÝch trung ®iÓm I cña ®o¹n OO'. b) Chøng minh r»ng AH vµ EG ®i qua giao ®iÓm N kh¸c M cña c¸c ®êng trßn ngo¹i tiÕp c¸c h×nh vu«ng AMDE vµ MBGH. c) Chøng minh r»ng ®êng th¼ng MN lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh. Bµi 7: Cho hai ®êng trßn (O; R) vµ (O'; R') c¾t nhau t¹i A vµ D cã c¸c ®êng kÝnh AOB vµ AO'C vu«ng gãc víi nhau t¹i A. Mét ®êng th¼ng d ®i qua A vµ c¾t c¸c nöa ®êng trßn kh«ng chøa ®iÓm D cña (O), (O') t¬ng øng t¹i c¸c ®iÓm M, N kh¸c A. a) Chøng minh tam gi¸c ABM vµ tam gi¸c CAN ®ång d¹ng. b) T×m quü tÝch giao ®iÓm P cña OM vµ O'N khi d di ®éng. c) TiÕp tuyÕn M cña (O) c¾t AD t¹i I. Chøng minh r»ng: IM2 = IA. ID. d) T×m vÞ trÝ cña c¸t tuyÕn d ®Ó cho tiÕp tuyÕn t¹i M cña (O) vµ tiÕp tuyÕn t¹i N cña (O') c¾t nhau t¹i mét ®iÓm thuéc ®êng th¼ng AD. d) X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña d sao cho tø gi¸c MNCB cã diÖn tÝch lín nhÊt. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt ®ã theo R vµ R'. Vò §øc Kiªn - Trêng Thùc Hµnh S Ph¹m – C§SP Qu¶ng Ninh 5 Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán THCS: Quỹ tích - Tập hợp điểm I Híng dÉn M a) Tam gi¸c AMB A vµ tam gi¸c CAN ®ång d¹ng N b) gãc PMA + gãc O' PNA = gãc OAM + O gãc O'AN = 90 ®é => gãc OPO' =90 ®é => P thuéc ®êng P trßn ®êng kÝnh OO' B C D c) Tam gi¸c IMA vµ tam gi¸c IDM ®ång d¹ng => IM2 = IA.ID d) t¬ng tù c©u c gi¶ sö tiÕp tuyÕn t¹i N cña (O') c¾t AD t¹i I' => I'M 2 = I'A.I'D . VËy I trïng I' IM = I'N I thuéc trung trùc cña NM VËy khi I lµ giao cña AD vµ trung trùc cña MN th× tiÕp tuyÕn t¹i M cña (O) vµ tiÕp tuyÕn t¹i N cña (O') c¾t nhau t¹i mét ®iÓm thuéc ®êng th¼ng AD. e) diÖn tÝch Tø gi¸c BMNC lín nhÊt (S BMA +SANC)min (SBMA)min 2 (BM.AM)min l¹i cã: BM2 + AM2 = R2 vËy: BM.AM ≤ R dÊu b»ng khi 2 BM = AM d t¹o víi AB mét gãc 45 ®é Khi ®ã diÖn tÝch tø gi¸c BMNC lµ: ( ) 1 R.R' + R 2 + R' 2 . 2 Bµi 8: Mét ®iÓm A ®i ®éng trªn nöa ®êng trßn ®êng kÝnh BC cè ®Þnh. §êng th¼ng qua C song song víi BA c¾t ®êng ph©n gi¸c ngoµi cña gãc BAC cña tam gi¸c ABC t¹i D. T×m quü tÝch D. 6 Vò §øc Kiªn - Trêng Thùc Hµnh S Ph¹m – C§SP Qu¶ng Ninh Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán THCS: Quỹ tích - Tập hợp điểm D j E A B O C Híng dÉn AD c¾t (O) t¹i E => E cè ®Þnh l¹i cã gãc CDE = 45 ®é VËy D thuéc cung chøa gãc 45 ®é dùng trªn CE. Bµi 9: Cho ®êng trßn (O; R) cè ®Þnh vµ ®êng th¼ng d c¾t (O; R) t¹i hai ®iÓm A, B cè ®Þnh. Mét ®iÓm M di ®éng trªn d vµ ë bªn ngoµi ®o¹n AB. VÏ c¸c tiÕp tuyÕn MP vµ MN víi (O; R). Gäi N, P lµ hai tiÕp ®iÓm. a) Chøng minh r»ng khi M di ®éng, ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c MNP lu«n ®i qua hai ®iÓm cè ®Þnh. b) T×m quü tÝch t©m I cña ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c MNP. c) Tr×nh bµy c¸ch dùng ®iÓm M sao cho tam gi¸c MNP lµ tam gi¸c ®Òu. Híng dÉn: a) Gi¶ sö (I) c¾t AB t¹i H kh¸c M => gãc OHM = 90 ®é => HA = HB hay H cè ®Þnh. VËy (I) ®i qua O vµ H cè ®Þnh. b) IO = IH => I thuéc trung trùc cña OH. c) Tam gi¸c MNP ®Òu gãc OMN = 30 ®é OM = 2ON = 2R VËy M thuéc (O; 2R) Vò §øc Kiªn - Trêng Thùc Hµnh S Ph¹m – C§SP Qu¶ng Ninh 7 Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán THCS: Quỹ tích - Tập hợp điểm P O I A d B H M N Bµi 10: Cho h×nh vu«ng ABCD cè ®Þnh. Mét ®iÓm I di ®éng trªn c¹nh AB (I kh¸c A vµ B). Tia DI c¾t tia CB t¹i E. §êng th¼ng CI c¾t ®êng th¼ng AE t¹i M. §êng th¼ng BM c¾t ®êng th¼ng DE t¹i F. T×m quü tÝch ®iÓm F. E Híng dÉn: Trªn BC lÊy G sao cho AI = BG => AI v«ng gãc víi ED ¸p dông ®Þnh lÝ Meleneut trong tam gi¸c AEB víi 3 ®iÓm th¼ng hµng C, I, M CB IA ME cã = 1 (1) CE IB MA l¹i cã M F B A I CB CD IB thay vµo (1) => = = CE CE BE ME BE BE => MB song song víi AG = = MA IA BG hay gãc DFB vu«ng VËy F thuéc ®êng trßn ®êng kÝnh BD ( cung nhá AB ). 8 G D Vò §øc Kiªn - Trêng Thùc Hµnh S Ph¹m – C§SP Qu¶ng Ninh C Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán THCS: Quỹ tích - Tập hợp điểm Bµi 11: Cho ®êng trßn (O; R) vµ mét ®iÓm A cè ®Þnh trªn ®êng trßn. §iÓm M lu ®éng trªn tiÕp tuyÕn xy t¹i A cña (O; R). Qua M vÏ tiÕp tuyÕn thø hai víi (O; R). Gäi tiÕp ®iÓm lµ B. a) T×m quü tÝch t©m c¸c ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c AMB. b) T×m quü tÝch trùc t©m H cña tam gi¸c AMB. B O Híng dÉn: H E a) §êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c AMB lµ ®êng trßn ®êng kÝnh OM A M => E thuéc trung trùc cña OA b) Tø gi¸c AOBH lµ h×nh thoi => AH = R. VËy H thuéc ®êng trßn (A; R) ( thuéc nöa mÆt ph¼ng bê xy chøa B) Bµi 12: Cho tam gi¸c ABC néi tiÕp ®êng trßn t©m O. §êng ph©n gi¸c cña gãc A c¾t ®êng trßn t¹i ®iÓm D. Mét ®êng trßn (L) thay ®æi nhng lu«n ®i qua hai ®iÓm A vµ D. (L) c¾t hai ®êng th¼ng AB, AC ë giao ®iÓm thø hai lµ M, N (cã thÓ trïng víi A). a) Chøng minh r»ng: BM = CN. b) T×m quü tÝch trung ®iÓm K A cña MN. Híng dÉn: a) gãc BAD = gãc DAN => DB = DC; DM = DN L M K C Vò §øc Kiªn - Trêng Thùc Hµnh S Ph¹m – C§SP Qu¶ng Ninh B D N 9 Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán THCS: Quỹ tích - Tập hợp điểm l¹i cã gãc MBD = gãc NCD; gãc BMD = gãc NCD => gãc BDM = gãc CDN vËy tam gi¸c BDM = tam gi¸c CDN => BM = CN. b) T¬ng tù c©u c bµi 2 Bµi 13: Cho gãc vu«ng xOy. Mét chiÕc ªke ABC trît trong mÆt ph¼ng cña gãc xOy sao cho ®Ønh B di chuyÓn trªn c¹nh Ox, ®Ønh C di chuyÓn trªn c¹nh Oy vµ ®Ønh gãc vu«ng A di chuyÓn trong gãc xOy. T×m quü tÝch ®iÓm A. x Híng dÉn: Tø gi¸c OBAC néi tiÕp => gãc yOA = gãc CBA = α VËy A thuéc tia t¹o víi tia Oy mét gãc α ( phÇn n»m trong gãc xOy ) B A O C y Bµi 14: Cho ®êng trßn t©m O b¸n kÝnh R vµ mét ®iÓm P cè ®Þnh ë ngoµi ®êng trßn. VÏ tiÕp tuyÕn PA vµ c¸t tuyÕn PBC bÊt k× (A, B, C trªn (O; R)). Gäi H lµ trùc t©m cña tam gi¸c ABC. Khi c¸t tuyÕn PBC quay quanh P. a) T×m quü tÝch ®iÓm ®èi xøng cña O qua BC. b) T×m quü tÝch ®iÓm H. 10 Vò §øc Kiªn - Trêng Thùc Hµnh S Ph¹m – C§SP Qu¶ng Ninh Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán THCS: Quỹ tích - Tập hợp điểm A K H O C B P O' Híng dÉn: a) ta cã PO' = PO = hs; P cè ®Þnh => O' thuéc ®êng trßn ( P; PO) b) Tø gi¸c OO'HA lµ h×nh b×nh hµnh vÏ h×nh b×nh hµnh AOPK => K cè ®Þnh. => HO'PK còng lµ h×nh b×nh hµnh => HK = O'P = OP = hs. VËy H thuéc ®êng trßn (K; OP). Bµi 15: Cho h×nh vu«ng ABCD cã t©m O. VÏ ®êng th¼ng d quay quanh O c¾t hai c¹nh AD vµ BC lÇn lît t¹i E vµ F ( E vµ F kh«ng trïng víi c¸c ®Ønh cña h×nh vu«ng). Tõ E, F lÇn lît vÏ c¸c ®êng th¼ng song song víi DB, AC chóng c¾t nhau t¹i I. a) T×m quü tÝch I. b) Tõ I vÏ ®êng th¼ng vu«ng gãc víi EF t¹i H. Chøng tá H thuéc mét ®êng cè ®Þnh vµ ®êng th¼ng IH ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh. Bµi 16: Cho tam gi¸c ABC c©n t¹i A. Mét ®iÓm P di ®éng trªn c¹nh BC. VÏ PQ song song víi AC ( Q thuéc AB), vÏ PR song song víi AB ( R thuéc AC). T×m quü tÝch c¸c ®iÓm D ®èi xøng víi P qua QR. Bµi 17: Cho gãc vu«ng xOy. C¸c ®iÓm A vµ B t¬ng øng thuéc tia Ox, Oy sao cho OA = OB. Mét ®êng th¼ng d ®i qua A vµ c¾t OB t¹i M n»m gi÷a O Vò §øc Kiªn - Trêng Thùc Hµnh S Ph¹m – C§SP Qu¶ng Ninh 11 Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán THCS: Quỹ tích - Tập hợp điểm vµ B. Tõ B h¹ ®êng th¼ng vu«ng gãc víi AM c¾t AM t¹i H vµ c¾t ®êng th¼ng OA t¹i I. a) Chøng minh r»ng OI = OM vµ tø gi¸c OMHI néi tiÕp. b) Gäi K lµ h×nh chiÕu cña O lªn BI. Chøng minh r»ng OK = HK. c) T×m quü tÝch ®iÓm K khi M di ®éng trªn ®o¹n OB. Bµi 18: Cho tam gi¸c ®Òu ABC néi tiÕp ®êng trßn (O) vµ M di ®éng trªn cung BC. a) Trªn tia ®èi cña tia CM, lÊy ®o¹n CE = MB. T×m tËp hîp c¸c ®iÓm E khi M di ®éng. b) Trªn tia ®èi cña tia MC, lÊy ®o¹n MF = MB. T×m tËp hîp c¸c ®iÓm F khi M di ®éng. Bµi 19: Cho hai ®êng trßn b»ng nhau (O) vµ (O') c¾t nhau t¹i A vµ B. Mét c¸t tuyÕn (d) bÊt k× qua B c¾t (O0 t¹i C vµ (O') t¹i C'. T×m tËp hîp trung ®iÓm I cña ®o¹n CC' khi d quay quanh B. Bµi 20: Cho hai ®êng th¼ng xx' vµ yy' vu«ng gãc víi nhau t¹i O vµ mét ®iÓm P cè ®Þnh. Mét gãc vu«ng ®Ønh P quay quanh P. c¸c c¹nh cña gãc vu«ng nµy c¾t xx' t¹i A vµ yy' t¹i B. T×m tËp hîp trung ®iÓm I cña ®o¹n AB. Bµi 21: Trªn mçi b¸n kÝnh OM cña ®êng trßn (O) lÊy ®o¹n OI b»ng kho¶ng c¸ch tõ M ®Õn ®êng kÝnh cè ®Þnh AB. T×m tËp hîp c¸c ®iÓm I. Bµi 22: Cho ®êng trßn (O) cè ®Þnh vµ mét d©y AB cè ®Þnh. Trªn cung nhá AB, ta lÊy ®iÓm C di ®éng. T×m tËp hîp t©m I cña ®êng trßn néi tiÕp tam gi¸c ABC. Bµi 23: Cho ®êng trßn (O) vµ mét d©y AB cè ®Þnh. KÓ mét d©y AC. Trªn ®êng th¼ng AC lÊy hai ®iÓm M, M' sao cho CM = CM' = CB, M n»m ngoµi ®êng trßn. T×m tËp hîp c¸c ®iÓm M vµ M' khi C v¹ch cung AB. Bµi 24: Cho ®êng trßn (O; R), 2 ®iÓm B, C cè ®Þnh trªn (O) vµ mét ®iÓm A di ®éng trªn (O). T×m tËp hîp c¸c trùc t©m H cña tam gi¸c ABC. 12 Vò §øc Kiªn - Trêng Thùc Hµnh S Ph¹m – C§SP Qu¶ng Ninh Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán THCS: Quỹ tích - Tập hợp điểm Bµi 25: Cho tam gi¸c ABC. T×m tËp hîp nh÷ng ®iÓm M trong mÆt ph¼ng sao cho h×nh chiÕu cña M trªn ba c¹nh cña tam gi¸c lµ ba ®iÓm th¼ng hµng. Bµi 26: Cho ®o¹n th¼ng AB vµ M lµ ®iÓm tuú ý trªn ®o¹n AB. Dùng trªn cïng mét nöa mÆt ph¼ng bê lµ ®êng th¼ng AB c¸c h×nh vu«ng ANCD vµ BMEF. C¸c ®êng trßn ngo¹i tiÕp chóng t©m P vµ Q c¾t nhau t¹i M vµ N. a) Chøng minh r»ng: AE, BC ®i qua N. b) Chøng minh r»ng: MN ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh khi M di ®éng. c) T×m tËp hîp trung ®iÓm I cña PQ khi M di ®éng. Bµi 27: Cho ®êng trßn (O; R) vµ mét ®iÓm P cè ®Þnh trong ®êng trßn kh«ng trïng víi O. Qua P dùng d©y cung APB, c¸c tiÕp tuyÕn cña (O) t¹i A vµ B c¾t nhau t¹i M. T×m tËp hîp c¸c ®iÓm M khi d©y AB quay quanh P. Bµi 32: Hai ®êng trßn (O) vµ (O') giao nhau t¹i A vµ B. Mét c¸t tuyÕn di ®éng qua A c¾t (O) t¹i C vµ (O') t¹i D. T×m tËp hîp t©m I cña c¸c ®êng trßn néi tiÕp tam gi¸c BCD. Bµi 33: Cho tam gi¸c c©n ABC néi tiÕp ®êng trßn (O; R) cã AB = AC = R 2 a) TÝnh ®é dµi BC theo R b) M lµ mét ®iÓm di ®éng trªn cung nhá AC, ®êng th¼ng AM c¾t ®êng th¼ng BC t¹i D. Chøng minh r»ng AM.AD lu«n lu«n lµ h»ng sè c) Chøng minh t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c MCD di ®éng trªn mét ®êng cè ®Þnh khi M di ®éng trªn cung nhá AC. A Híng dÉn: a) BC lµ ®êng kÝnh cña (O). b) Tam gi¸c AMC ®ång d¹ng víi tam gi¸c ACD => AM.AD = AC2 = R 2 . M I B O C Vò §øc Kiªn - Trêng Thùc Hµnh S Ph¹m – C§SP Qu¶ng Ninh D 13 Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán THCS: Quỹ tích - Tập hợp điểm c) gãc ACM = gãc MDC = 1/2 s® cung CM => AC lµ tiÕp tuyÕn cña ( I ) => IC vu«ng gãc víi AC cè ®Þnh => I thuéc ®êng th¼ng qua C vµ vu«ng gãc víi CA. Bµi 34: Cho h×nh vu«ng ABCD cã t©m O. VÏ ®êng th¼ng (d) quay quanh O c¾t AD, BC t¹i E, F. Tõ E, F lÇn lît vÏ c¸c ®êng th¼ng song song víi DB, AC chóng c¾t nhau t¹i I. a) Chøng minh r»ng I thuéc mét ®êng th¼ng cè ®Þnh b) Tõ I kÎ IH vu«ng gãc víi EF t¹i H. Chøng minh H thuéc mét ®êng cè ®Þnh vµ IH ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh. K A I B F E O H D 14 Vò §øc Kiªn - Trêng Thùc Hµnh S Ph¹m – C§SP Qu¶ng Ninh C [...]... hai điểm M, M' sao cho CM = CM' = CB, M nằm ngoài đờng tròn Tìm tập hợp các điểm M và M' khi C vạch cung AB Bài 24: Cho đờng tròn (O; R), 2 điểm B, C cố định trên (O) và một điểm A di động trên (O) Tìm tập hợp các trực tâm H của tam giác ABC 12 Vũ Đức Kiên - Trờng Thực Hành S Phạm CĐSP Quảng Ninh Chuyờn bi dng hc sinh gii toỏn THCS: Qu tớch - Tp hp im Bài 25: Cho tam giác ABC Tìm tập hợp những điểm. .. đoạn CE = MB Tìm tập hợp các điểm E khi M di động b) Trên tia đối của tia MC, lấy đoạn MF = MB Tìm tập hợp các điểm F khi M di động Bài 19: Cho hai đờng tròn bằng nhau (O) và (O') cắt nhau tại A và B Một cát tuyến (d) bất kì qua B cắt (O0 tại C và (O') tại C' Tìm tập hợp trung điểm I của đoạn CC' khi d quay quanh B Bài 20: Cho hai đờng thẳng xx' và yy' vuông góc với nhau tại O và một điểm P cố định Một... quay quanh P các cạnh của góc vuông này cắt xx' tại A và yy' tại B Tìm tập hợp trung điểm I của đoạn AB Bài 21: Trên mỗi bán kính OM của đờng tròn (O) lấy đoạn OI bằng khoảng cách từ M đến đờng kính cố định AB Tìm tập hợp các điểm I Bài 22: Cho đờng tròn (O) cố định và một dây AB cố định Trên cung nhỏ AB, ta lấy điểm C di động Tìm tập hợp tâm I của đờng tròn nội tiếp tam giác ABC Bài 23: Cho đờng tròn... chúng cắt nhau tại I a) Tìm quỹ tích I b) Từ I vẽ đờng thẳng vuông góc với EF tại H Chứng tỏ H thuộc một đờng cố định và đờng thẳng IH đi qua một điểm cố định Bài 16: Cho tam giác ABC cân tại A Một điểm P di động trên cạnh BC Vẽ PQ song song với AC ( Q thuộc AB), vẽ PR song song với AB ( R thuộc AC) Tìm quỹ tích các điểm D đối xứng với P qua QR Bài 17: Cho góc vuông xOy Các điểm A và B tơng ứng thuộc... ba điểm thẳng hàng Bài 26: Cho đoạn thẳng AB và M là điểm tuỳ ý trên đoạn AB Dựng trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đờng thẳng AB các hình vuông ANCD và BMEF Các đờng tròn ngoại tiếp chúng tâm P và Q cắt nhau tại M và N a) Chứng minh rằng: AE, BC đi qua N b) Chứng minh rằng: MN đi qua một điểm cố định khi M di động c) Tìm tập hợp trung điểm I của PQ khi M di động Bài 27: Cho đờng tròn (O; R) và một điểm. .. Hành S Phạm CĐSP Quảng Ninh 11 Chuyờn bi dng hc sinh gii toỏn THCS: Qu tớch - Tp hp im và B Từ B hạ đờng thẳng vuông góc với AM cắt AM tại H và cắt đờng thẳng OA tại I a) Chứng minh rằng OI = OM và tứ giác OMHI nội tiếp b) Gọi K là hình chiếu của O lên BI Chứng minh rằng OK = HK c) Tìm quỹ tích điểm K khi M di động trên đoạn OB Bài 18: Cho tam giác đều ABC nội tiếp đờng tròn (O) và M di động trên... tuyến của (O) tại A và B cắt nhau tại M Tìm tập hợp các điểm M khi dây AB quay quanh P Bài 32: Hai đờng tròn (O) và (O') giao nhau tại A và B Một cát tuyến di động qua A cắt (O) tại C và (O') tại D Tìm tập hợp tâm I của các đờng tròn nội tiếp tam giác BCD Bài 33: Cho tam giác cân ABC nội tiếp đờng tròn (O; R) có AB = AC = R 2 a) Tính độ dài BC theo R b) M là một điểm di động trên cung nhỏ AC, đờng thẳng...Chuyờn bi dng hc sinh gii toỏn THCS: Qu tớch - Tp hp im A K H O C B P O' Hớng dẫn: a) ta có PO' = PO = hs; P cố định => O' thuộc đờng tròn ( P; PO) b) Tứ giác OO'HA là hình bình hành vẽ hình bình hành AOPK => K cố định => HO'PK... AC A Hớng dẫn: a) BC là đờng kính của (O) b) Tam giác AMC đồng dạng với tam giác ACD => AM.AD = AC2 = R 2 M I B O C Vũ Đức Kiên - Trờng Thực Hành S Phạm CĐSP Quảng Ninh D 13 Chuyờn bi dng hc sinh gii toỏn THCS: Qu tớch - Tp hp im c) góc ACM = góc MDC = 1/2 sđ cung CM => AC là tiếp tuyến của ( I ) => IC vuông góc với AC cố định => I thuộc đờng thẳng qua C và vuông góc với CA Bài 34: Cho hình vuông... vẽ các đờng thẳng song song với DB, AC chúng cắt nhau tại I a) Chứng minh rằng I thuộc một đờng thẳng cố định b) Từ I kẻ IH vuông góc với EF tại H Chứng minh H thuộc một đờng cố định và IH đi qua một điểm cố định K A I B F E O H D 14 Vũ Đức Kiên - Trờng Thực Hành S Phạm CĐSP Quảng Ninh C ... quay quanh P a) Tìm quỹ tích điểm đối xứng O qua BC b) Tìm quỹ tích điểm H 10 Vũ Đức Kiên - Trờng Thực Hành S Phạm CĐSP Quảng Ninh Chuyờn bi dng hc sinh gii toỏn THCS: Qu tớch - Tp hp im A K H... thẳng AC lấy hai điểm M, M' cho CM = CM' = CB, M nằm đờng tròn Tìm tập hợp điểm M M' C vạch cung AB Bài 24: Cho đờng tròn (O; R), điểm B, C cố định (O) điểm A di động (O) Tìm tập hợp trực tâm H... - Trờng Thực Hành S Phạm CĐSP Quảng Ninh Chuyờn bi dng hc sinh gii toỏn THCS: Qu tớch - Tp hp im Bài 25: Cho tam giác ABC Tìm tập hợp điểm M mặt phẳng cho hình chiếu M ba cạnh tam giác ba điểm