Phương trình lượng giác và ứng dụng (nâng cao) cực hay

Thông tin tài liệu

Phương trình lượng giác và ứng dụng (nâng cao) cực hay tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bà...

Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) www.VNMATH.com Ths. Lê Văn Đoàn MỤC LỤC Trang Công thức lượng giác cần nắm vững ------------------------------------------------------------------------ 2 A – Phương trình lượng giác cơ bản ------------------------------------------------------------------ 5 Bài tập áp dụng ------------------------------------------------------------------------------------------ 5 Hướng dẫn giải bài tập áp dụng ----------------------------------------------------------------------- 8 Bài tập rèn luyện ---------------------------------------------------------------------------------------- 29 B – Phương trình bậc hai và bậc cao đối với một hàm lượng giác --------------------------- 32 Bài tập áp dụng ------------------------------------------------------------------------------------------ 33 Hướng dẫn giải bài tập áp dụng ----------------------------------------------------------------------- 35 Bài tập rèn luyện ---------------------------------------------------------------------------------------- 56 C – Phương trình bậc nhất theo sin và cos ---------------------------------------------------------- 59 Bài tập áp dụng ------------------------------------------------------------------------------------------ 59 Hướng dẫn giải bài tập áp dụng ----------------------------------------------------------------------- 62 Bài tập rèn luyện ---------------------------------------------------------------------------------------- 81 D – Phương trình lượng giác đẳng cấp --------------------------------------------------------------- 84 Bài tập áp dụng ------------------------------------------------------------------------------------------ 85 Hướng dẫn giải bài tập áp dụng ----------------------------------------------------------------------- 87 Bài tập rèn luyện ---------------------------------------------------------------------------------------- 92 E – Phương trình lượng giác đối xứng --------------------------------------------------------------- 93 Bài tập áp dụng ------------------------------------------------------------------------------------------ 94 Bài tập rèn luyện ---------------------------------------------------------------------------------------- 96 F – Phương trình lượng giác chứa căn thức và trị tuyệt đối ----------------------------------- 97 Bài tập áp dụng ------------------------------------------------------------------------------------------ 97 Bài tập rèn luyện ---------------------------------------------------------------------------------------- 99 G – Phương trình lượng giác không mẫu mực ---------------------------------------------------- 101 Bài tập áp dụng ------------------------------------------------------------------------------------------ 102 Bài tập rèn luyện ---------------------------------------------------------------------------------------- 104 H – Phương trình lượng giác chứa tham số – Hai phương trình tương đương ---------- 106 Bài tập áp dụng ------------------------------------------------------------------------------------------ 106 Bài tập rèn luyện ---------------------------------------------------------------------------------------- 112 I – Hệ phương trình lượng giác ------------------------------------------------------------------------ 116 Bài tập áp dụng ------------------------------------------------------------------------------------------ 117 J – Hệ thức lượng trong tam giác – Nhận dạng tam giác --------------------------------------- 121 Bài tập áp dụng ------------------------------------------------------------------------------------------ 122 Bài tập rèn luyện ---------------------------------------------------------------------------------------- 125 " Cần cù bù thông minh…………" Page 1 Ths. Lê Văn Đoàn Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC NẮM VỮNG   Công thức cơ bản ● t an x. cot x = 1 ● sin 2 x + cos2 x = 1 ● cot x = cos x sin x ● 1 + t an 2 x = 1 cos2 x ● t an x = sin x cos x ● 1 + cot 2 x = 1 sin 2 x  Công thức cung nhân đôi – Công thức hạ bậc – Công thức cung nhân ba écos2 x - sin 2 x ● cos 2x = ê ê2 cos2 x - 1 = 1 - 2 sin 2 x ê ë 1 + cos2x ● cos2 x = 2 ● cos 3x = 4 cos 3 x - 3 cos x ● sin 2x = 2 sin x. cos x 1 - cos2x 2 ● sin 3x = 3 sin x - 4 sin 3 x ● sin 2 x =  Công thức cộng cung ● sin ( a ± b ) = sin a. cos b ± cos a. sin b ● cos ( a ± b ) = cos a. cos b m sin a. sin b t an a + t an b 1 - t an a. t an b æπ ö 1 + t an x ÷ ÷ + x = ç ● t an ç ÷ ç ÷ è4 ø 1 - t an x ● t an ( a - b ) = t an a - t an b 1 + t an a. t an b æπ ö 1 - t an x ÷ ÷ x = ç ● t an ç ÷ ç ÷ 1 + t an x è4 ø ● t an ( a + b ) =  Công thức biến đổi tổng thành tích a+ b a- b . cos 2 2 a+b a- b ● sin a + sin b = 2 sin . cos 2 2 sin ( a + b ) ● t an a + t an b = cos a. cos b a+ b a- b . sin 2 2 a+ b a- b ● sin a - sin b = 2 cos . sin 2 2 sin ( a - b ) ● t an a - t an b = cos a. cos b ● cos a + cos b = 2 cos ● cos a - cos b = - 2 sin  Công thức biến đổi tích thành tổng ● cos a. cos b = ● sin a. sin b = cos ( a + b ) + cos ( a - b ) ● sin a. cos b = 2 sin ( a + b ) + sin ( a - b ) 2 cos ( a - b ) - cos ( a + b ) 2  Một số công thức thông dụng khác æ πö æ πö æ πö æ ÷ ÷ ÷ ç ç ç ççx + ÷ ÷ ÷ sin x + cos x = 2 sin x + = 2 cos x sin x cos x = 2 sin x = 2 cos ç ç ç ● ● ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ çè 4 ø çè 4 ø çè 4 ø ç è ● cos 4 x + sin 4 x = 1 - Page 2 1 2 3 + 1 cos 4x sin 2x = 2 4 ● cos6 x + sin 6 x = 1 - ö π÷ ÷ ÷ 4÷ ø 3 2 5 + 3 cos 4x sin 2x = 4 8 " All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) www.VNMATH.com Ths. Lê Văn Đoàn Để giải được phương trình lượng giác cũng như các ứng dụng của nó, các bạn học sinh cần nắm vững tất cả những công thức lượng giác. Đó là hành trang, là công cụ cần thiết nhất để chinh phục thế giới mang tên: "Phương trình lượng giác"  Một số lưu ý: ésin x = a  Điều kiện có nghiệm của phương trình ê êcos x = a là: - 1 £a£ 1 . ê ë  Khi giải phương trình có chứa các hàm số t an hoặc cot , có mẫu số hoặc căn bậc chẵn thì nhất thiết phải đặt điều kiện để phương trình xác định. p  Phương trình chứa t an x , điều kiện: cos x ¹ 0 Û x ¹ + kp ( k Î ¢ ) . 2  Phương trình chứa cot x , điều kiện: sin x ¹ 0 Û x ¹ k p ( k Î ¢ ) . p (k Î ¢). 2  Khi tìm được nghiệm phải kiểm tra (so) với điều kiện. Ta thường dùng một trong các cách sau đây để kiểm tra điều kiện:  Kiểm tra trực tiếp bằng cách thay giá trị của x vào biểu thức điều kiện. Nếu khi thế vào, giá trị ấy làm đẳng thức đúng thì nhận nghiệm, nếu sai thì loại nghiệm.  Dùng đường tròn lượng giác, nghĩa là biểu diễn các ngọn cung của điều kiện và cung của nghiệm. Nếu các ngọn cung này trùng nhau thì ta loại nghiệm, nếu không trùng thì ta nhận nghiệm. ¼ có Cách biểu diễn cung – góc lượng giác trên đường tròn: " Nếu cung hoặc góc lượng giác AM ö k.3600 ÷ k2p æ 0 ç ÷ hay a + ç số đo là a + với k Î ¢ , n Î ¥ + thì có n điểm M trên đường tròn ÷ ç ÷ ç n ø n è lượng giác cách đều nhau". ¼ = p + k2p thì có một điểm M tại vị trí p (ta chọn k = 0 ). Ví dụ 1: Nếu sđ AM 3 3 ¼ = p + kp thì có 2 điểm M tại vị trí p và 7p (ta chọn k = 0, k = 1 ). Ví dụ 2: Nếu sđ AM 6 6 6 ¼ = p + k. 2p thì có 3 điểm M tại các vị trí p ; 11p và 19p , ( k = 0;1;2) . Ví dụ 3: Nếu sđ AM 4 3 4 12 12 ¼ = p + k. p = p + k2p thì có 4 điểm M tại các vị trí p , 3p , 5p ; 7p Ví dụ 4: Nếu sđ AM 4 2 4 4 4 4 4 4 (ứng với các vị trí k = 0,1, 2, 3 ). p p Ví dụ 5: Tổng hợp hai cung x = + kp và x = + k p 6 3 p p 5p Biểu diễn cung x = và + kp trên đường tròn thì có 2 điểm tại các vị trí: 6 6 6  Phương trình chứa cả t an x và cot x , điều kiện: x ¹ k. " Cần cù bù thông minh…………" Page 3 Ths. Lê Văn Đoàn Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) p p 4p và . + kp trên đường tròn thì có 2 điểm tại các vị trí: 3 3 3 Tổng hợp hai cung gồm 4 điểm như hình vẽ và p p cung tổng hợp là: x = + k 3 2 π/3 é 2 é 5π/6 êcos x = 1 êcos x = ± 1 ê 2Û ê 2 ta không nên giải  Đối với phương trình ê ê êsin 2 x = 1 êsin x = ± 1 O ê ê 2 2 ë ë –π/6 trực tiếp vì khi đó có tới 4 nghiệm, khi kết hợp và so sánh với điều kiện rất phức tạp, ta nên hạ bậc là tối ưu nhất. Nghĩa là: 4π/3 é 2 1 êcos x = é2 cos2 x - 1 = 0 écos 2x = 0 ê ê 2 Û ê 2 Û ê ê êcos 2x = 0 . Tương tự đối với phương trình 1 2 sin x 1 = 0 2 êsin x = ê ê ë ë ê 2 ë ésin 2 x = 1 ésin x = ±1 ê ê êcos2 x = 1 Û êcos x = ±1 ta không nên giải như thế, mà nên biến đổi dựa vào công thức ê ê ë ë ésin 2 x = 1 écos2 x = 0 écos x = 0 ê ê ê 2 2 Û Û . Lú c đó : sin x + cos x = 1 êcos2 x = 1 êsin 2 x = 0 êsin x = 0 ê ê ê ë ë ë  Sử dụng thành thạo câu thần chú: '' Cos đối – Sin bù – Phụ chéo ''  Đây có thể xem là câu thần chú ''đơn giản, dễ nhớ'' trong lượng giác nhưng nó lại đóng vai trò là một trong những nhân tố cần thiết, hiệu quả nhất khi giải phương trình lượng giác.  Cos đối, nghĩa là cos của hai góc đối nhau thì bằng nhau, tức là cos ( - a ) = cos a , còn các cung Biểu diễn cung x = góc lượng giác còn lại thì bằng '' – '' chính nó: sin ( - a ) = - sin a, t an ( - a ) = - t an a, cot ( - a ) = - t an a  Sin bù, nghĩa là sin của hai góc bù nhau thì bằng nhau, tức là sin ( p - a ) = sin a , còn các cung góc lượng giác còn lại thì bằng '' – '' chính nó: cos ( p - a ) = - cos a, t an ( p - a ) = - t an a, cot ( p - a ) = - t an a  Phụ chéo, nghĩa là với hai góc phụ nhau (có tổng bằng 900) thì sin góc này bằng cos góc kia và ngược lại, tức là: æ ö æ ö æ ö æ ö p p p p ÷ ÷ ÷ ç ç ç ÷ ÷ ÷ ÷ sin ç - a÷ = cos a , cos a = sin a , t an a = cot a , cot a = t an a ç ç ç ç ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ç ç ÷ ÷ ÷ ÷ 2 2 2 2 è ø è ø è ø è ø  Ta hãy thử đến với ví dụ nhỏ sau đây để thấy được hiệu quả của '' câu thần chú '' này: Giải phương trình lượng giác: sin u = cos v Rõ ràng, ở phần phương trình lượng giác cơ bản, ta chỉ biết cách giải sao cho phương trình sin u = sin v , vậy còn phương trình sin u = cos v thì sao ? æ ö p ÷ ÷ v ç Câu trả lời ở đây chính là phụ chéo, bởi: sin u = cos v Û sin u = sin ç ÷ ç ÷ 2 è ø u= p p - v + k2pÚ u = + v + k2pÎ, ( k 2 2 ¢) . æ ö 2p ÷ ç - x÷ Qua ví dụ này, chắc hẳn nếu trong bài gặp những phương trình dạng như sin x = cos ç ÷ ÷ ç è3 ø thì các bạn học sinh sẽ không còn cảm thấy lúng túng nữa. Page 4 " All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) www.VNMATH.com Ths. Lê Văn Đoàn  Một số cung góc hay dùng khác: ìï sin ( x + k2p) = sin x ï ìï sin ( x + p + k2p) = - sin x í ï ïï cos ( x + k2p) = cos x í ïî và ïïïî cos ( x + p + k2p) = - cos x (k Î ¢) . A – PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN éu = v + k2p ê sin u = sin v Û  Dạng: êu = p - v + k2p ê ë Đặc biệt: éu = v + k2p ê cos u = cos v Û  Dạng: êu = - v + k2p ê ë Đặc biệt: t an u = t an v Û u = v + k p  Dạng: p Ðk : u, v ¹ + kp 2 Đặc biệt: cot u = cot v Û u = v + k p Ðk : u, v ¹ k p Đặc biệt:  Dạng: ìï ïï sin x = 0 Þ x = k p ïï ïï p í sin x = 1 Þ x = + k2p ïï 2 ïï p ïï sin x = - 1 Þ x = - + k2p 2 ïî ìï ïï cos x = 0 Þ x = p + k p ïï 2 ïí cos x = 1 Þ x = k2p ïï ïï cos x = - 1 Þ x = p + k2p ïï î ìï t an x = 0 Û x = k p ïï í ïï t an x = ±1 Û x = ± p + k p ïïî 4 ìï ïï cot x = 0 Û x = p + k p ï 2 í ïï p ïï cot x = ±1 Û x = ± + k p 4 ïî BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 2. ù , "x Î é ê ë0;14 ú û Giải phương trình: ( 2 cos x - 1) ( 2 sin x + cos x ) = sin 2x - sin x ( * ) Bài 3. Giải phương trình: cos 3x + cos 2x - cos x - 1 = 0 Bài 4. Giải phương trình: sin x + cos x + 1 + sin 2x + cos 2x = 0 Bài 5. Giải phương trình: sin x ( 1 + cos 2x ) + sin 2x = 1 + cos x Bài 6. 1 + Giải phương trình: sin x Bài 1. Giải phương trình: cos 3x - 4 cos 2x + 3 cos x - 4 = 0 " Cần cù bù thông minh…………" ( *) ( *) ( *) ( *) æ ö 1 7p ÷ = 4 sin ç ç - x÷ ( *) ÷ æ 3pö ÷ ç 4 è ø ÷ ÷ sin ç xç ÷ ç ÷ 2ø è Page 5 Ths. Lê Văn Đoàn Bài 7. Bài 8. Bài 9. Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) 4 4 Giải phương trình: sin x + cos x = æ pö æ ö 7 p ÷ ÷ ç ÷ ÷ cot ç x + cot x ç ç (*) ÷ ÷ ç ç ÷ è6 ÷ 8 3ø è ø sin 4 2x + cos 4 2x = cos4 4x ( * ) æ ö æ ö Giải phương trình: p p ÷ ÷ t an ç t an ç ç - x÷ ç + x÷ ÷ ÷ ÷ è ÷ ç ç4 è4 ø ø æ æp 3x ö 3p x ö 1 ÷ ç ÷ ÷ = sin ç - ÷ ç + Giải phương trình: sin ç ( 1) ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç 2ø è10 2 ø 2 è10 æ æ pö pö ç ÷ ÷ = sin 2x sin ç3x - ÷ çx + ÷ Bài 10. Giải phương trình: sin ç ( 1) ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç 4ø 4ø è è æ pö 3 ÷ = cos 3x çx + ÷ Bài 11. 8 cos ç ÷ ÷ ç 3ø è ( 1) æ pö ÷ 2 sin 3 ç = 2 sin x ( 1) çx + ÷ ÷ ÷ ç 4ø è æ pö 3 ÷ = 2 sin x ( 1) çx - ÷ Bài 13. Giải phương trình: sin ç ÷ ÷ ç 4ø è Bài 12. Giải phương trình: ( *) Bài 14. Giải phương trình: cos x + cos 2x + cos 3x + cos 4x = 0 3 2 2 2 2 Bài 16. Giải phương trình: sin x + sin 2x + sin 3x = 2 Bài 15. Giải phương trình: sin 2 x + sin 2 2x + sin 2 3x = ( *) . ( *) . 2 2 2 2 Bài 17. Giải phương trình: sin x + sin 3x = cos 2x + cos 4x 2 2 2 2 Bài 18. Giải phương trình: sin 3x - cos 4x = sin 5x - cos 6x ( *) ( *) æ 5x ö 9x 2 p ÷ ÷ + - 2 cos2 ç Bài 19. Giải phương trình: cos 3x + sin 7x = 2sin ç ÷ ç ÷ 2ø 2 è4 2 2 2 Bài 20. Giải phương trình: sin x = cos 2x + cos 3x ( *) ( *) 2 Bài 21. Giải phương trình: 2 sin 2x + sin 7x - 1 = sin x ( *) Bài 22. Giải phương trình: sin x + sin 2x + sin 3x = 1 + cos x + cos 2x ( *) ( *) 3 3 3 Bài 23. Giải phương trình: sin x cos 3x + cos x sin 3x = sin 4x 2 3 Bài 24. Giải phương trình: cos10x + 2 cos 4x + 6 cos 3x cos x = cos x + 8 cos x cos 3x ( * ) 3 3 2 Bài 25. Giải phương trình: 4 sin x + 3 cos x - 3 sin x - sin x cos x = 0 ( *) 2 Bài 26. Giải phương trình: ( 2 sin x + 1) ( 3 cos 4x + 2 sin x - 4 ) + 4 cos x = 3 ( 6 6 8 8 Bài 27. Giải phương trình: sin x + cos x = 2 sin x + cos x ( x = 2 ( sin ) ( *) ) Bài 28. Giải phương trình: sin 8 x + cos 8 x = 2 sin 10 x + cos10 x + 3 3 Bài 29. Giải phương trình: sin x + cos 5 x + cos 5 x ) 4 2 2 4 Bài 30. Giải phương trình: 3 cos x - 4 cos x sin x + sin x = 0 Page 6 ( *) 5 cos 2x 4 ( *) ( *) ( *) " All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) www.VNMATH.com Ths. Lê Văn Đoàn Bài 31. Giải phương trình: cos 3x cos 3 x - sin 3x sin 3 x = 2 - 3 2 8 1 Bài 32. Giải phương trình: cos x cos 2x cos 4x cos 8x = ( *) 16 3 Bài 33. Giải phương trình: 4 sin 3x cos 2x = 1 + 6 sin x - 8 sin x ( *) ( *) Bài 34. Giải phương trình: cos x + cos 2x + cos 3x + cos 4x + cos 5x = - 1 2 (*) sin 2x + 2 cos x - sin x - 1 = 0 ( *) t an x + 3 1 + sin 2x + cos 2x = 2 sin x sin 2x ( * ) Bài 36. Giải phương trình: 1 + cot 2 x Bài 37. Giải phương trình: t an x + cot x = 2 ( sin 2x + cos 2x ) ( * ) Bài 35. Giải phương trình: ( *) 2 Bài 38. Giải phương trình: t an x - t an x t an 3x = 2 Bài 39. Giải phương trình: t an 2 x + cot 2 x + cot 2 2x = 11 3 æ p÷ ö 2 x 2 x t an x - cos2 = 0 ç - ÷ Bài 40. Giải phương trình: sin ç ÷ ç 2 è2 4 ÷ ø 2 Bài 41. Giải phương trình: sin 2x ( cot x + t an 2x ) = 4 cos x ( *) ( *) ( *) cot 2 x - t an 2 x = 16 ( 1 + cos 4x ) ( *) cos 2x 1 Bài 43. Giải phương trình: 2 t an x + cot 2x = 2 sin 2x + ( *) 2 sin 2x 3 ( sin x + t an x ) Bài 44. Giải phương trình: - 2 ( 1 + cos x ) = 0 ( *) t an x - sin x Bài 42. Giải phương trình: Bài 45. Giải phương trình: (1- 2 cos x ) + ( 1 + cos x ) 4 ( 1 - sin x ) 2 - t an 2 x sin x = Bài 46. Giải phương trình: cos 3x t an 5x = sin 7x 1 1 + sin x ) + t an 2 x ( * ) ( 2 ( *) 1 1 = 2 cot x ( *) 2 sin x sin 2x sin 4 x + cos 4 x 1 Bài 48. Giải phương trình: = ( t an x + cot 2x ) ( *) sin 2x 2 2 2 2 2 Bài 49. Giải phương trình: t an x. cot 2x. cot 3x = t an x - cot 2x + cot 3x Bài 47. Giải phương trình: sin 2x + sin x - æ ç1 + t an x t an Bài 50. Giải phương trình: cot x + sin x ç ç è " Cần cù bù thông minh…………" xö ÷ ÷ =4 ÷ ÷ 2ø ( *) ( *) Page 7 Ths. Lê Văn Đoàn Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) HƯỚNG DẪN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN  ù , "x Î é ê0;14 û ú ë Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối D năm 2002 Bài 1. Giải phương trình: cos 3x - 4 cos 2x + 3 cos x - 4 = 0 ( *)  Lời bình: Từ việc xuất hiện ba cung x, 2x, 3x , giúp ta liên tưởng đến việc đưa chúng về cùng một cung. Nhưng đưa về cung x hay cung 2x ? Các bạn có thể trả lời câu hỏi đó dựa vào quan niệm sau: " Trong phương trình lượng giác tồn tại ba cung x, 2x, 3x , ta nên đưa về cung trung gian 2x nếu trong biểu thức có chứa sin2x (hoặc cos2x). Còn không chứa sin2x (hoặc cos2x), nên đưa về cung x ". Bài giải tham khảo ( * ) Û ( 4 cos 3 ) ( ) x - 3 cos x - 4 2 cos2 x - 1 + 3 cos x - 4 = 0 Û 4 cos 3 x - 8 cos 2 x = 0 écos x = 0 ( N ) p Û 4 cos2 x ( cos x - 2) = 0 Û ê êcos x = 2 L Û x = 2 + k p , ( k Î ¢ ) . ( ) ê ë ìï - 0, 5 ££k » 3, 9 ìï p 3p 5p 7pïü ï ; ; ; ý ï. ù, k Î ¢ Û 0 £ p + k p £ 14 Û ïí Do x Î é 0;14 Þ x Î í ê ú ë û ï ï ï k Î ¢ 2 ïî ïî 2 2 2 2 ïþ Bài 2. Giải phương trình: ( 2 cos x - 1) ( 2 sin x + cos x ) = sin 2x - sin x ( *) Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối D năm 2004 Bài giải tham khảo ( * ) Û ( 2 cos x - 1) ( 2 sin x + cos x ) = 2 sin x cos x - sin x Û ( 2 cos x - 1) ( 2 sin x + cos x ) - sin x ( 2 cos x - 1) = 0 ù= 0 Û ( 2 cos x - 1) ( sin x + cos x ) = 0 Û ( 2 cos x - 1) é ê( 2 sin x + cos x ) - sin x û ú ë é2 cos x - 1 = 0 Û ê êsin x + cos x = 0 Û ê ë é é p êx = ± p + k2p êcos x = cos ê 3 ê Û ê ( k;l Î ¢ ) . 3 ê p ê t an x = - 1 ê êx = - + lp ë 4 ë ( *) Bài 3. Giải phương trình: cos 3x + cos 2x - cos x - 1 = 0 Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối D năm 2006  Lời bình: Từ việc xuất hiện các cung 3x và 2x , chúng ta nghĩ ngay đến việc đưa chúng về cùng một cung x bằng công thức nhân ba và công thức nhân đôi của hàm cos Bài giải tham khảo ( *) Û 4 cos 3 x - 3 cos x + 2 cos2 x - 1 - cos x - 1 = 0 Û 2 cos 3 x + cos 2 x - 2 cos x - 1 = 0 ( ) Û cos2 x ( 2 cos x + 1) - ( 2 cos x + 1) = 0 Û ( 2 cos x + 1) cos 2 x - 1 = 0 Page 8 " All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) www.VNMATH.com Ths. Lê Văn Đoàn ésin x = 0 éx = kp ê ê ê Û - ( 2 cos x + 1) sin x = 0 Û ê Û ( k; l Î ¢ ) . êcos x = - 1 êx = ± 2p + l2p ê ê 2 3 ë ë 2 ( *) Bài 4. Giải phương trình: sin x + cos x + 1 + sin 2x + cos 2x = 0 Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối B năm 2005 Bài giải tham khảo ( * ) Û ( sin x + cos x ) + 2 sin x cos x + 2 cos x = 0 Û ( sin x + cos x ) + 2 cos x ( sin x + cos x ) = 0 Û ( sin x + cos x ) ( 1 + 2 cos x ) = 0 2 é ésin x = - cos x ét an x = - 1 êx = - p + kp ê ê ê 4 Û ê Û ê Û ê ( k;l Î ¢ ) . êcos x = - 1 êcos x = cos 2p 2p ê + l2p ê ê êx = ± 2 3 ë ë 3 ë Bài 5. Giải phương trình: sin x ( 1 + cos 2x ) + sin 2x = 1 + cos x ( *) Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối D năm 2008  Lời bình: Từ việc xuất hiện của cung 2x và cung x mà ta nghĩ đến việc chuyển cung 2x về cung x bằng công thức nhân đôi của hàm sin và cos, từ đó xuất hiện nhân tử chung ở hai vế ( *) Û ( ) sin x 1 + 2 cos2 x - 1 + 2 sin x cos x = 1 + cos x Û 2 sin x cos2 x + 2 sin x cos x = 1 + cos x Û 2 sin x cos x ( cos x + 1) - ( 1 + cos x ) = 0 é é êx = ± 2p + k2p êcos x = - 1 ê 3 Û ( cos x + 1) ( sin 2x - 1) = 0 Û ê Û ê ( k, l Î ¢ ) . 2 ê p ê sin 2x = 1 ê êx = + lp ë 4 ë 1 + Bài 6. Giải phương trình: sin x æ ö 1 7p ÷ = 4 sin ç ç - x÷ ( *) ÷ æ 3p÷ ö ÷ ç 4 è ø ÷ sin ç xç ç ÷ 2÷ è ø Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối A năm 2008 3p 7p và - x giúp ta suy nghĩ đến việc đưa hai cung 2 4 khác nhau này về cùng một cung chung là x . Để làm được điều đó, ta có thể dùng công thức cộng cung hoặc dùng câu thần chú "cos đối – sin bù – phụ chéo''. Ta thực hiện hai ý tưởng đó qua hai cách giải sau đây  Lời bình: Từ việc xuất hiện hai cung x - Bài giải tham khảo Cách giải 1. Sử dụng công thức cộng cung: sin ( a ± b ) = sin a. cos b ± cos a. sin b " Cần cù bù thông minh…………" Page 9 Ths. Lê Văn Đoàn ( *) Û 1 + sin x Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) 1 æ 7p ö 7p ÷ ÷ = 4ç sin cos x sin x cos ç ç ÷ 4 4÷ è ø 3p 3p - sin cos x 2 2 é 2 ù 1 1 ê Û + = 4. êsin x + cos x ) ú ( ú sin x cos x 2 ê ú ë û sin x + cos x Û = - 2 2 ( sin x + cos x ) sin x cos x sin x cos Điều kiện: sin x cos x ¹ 0 Û sin 2x ¹ 0 . ( Û ( sin x + cos x ) + 2 2 sin x cos x ( sin x + cos x ) = 0 Û ( sin x + cos x ) 1 + ) 2 sin 2x = 0 é êx = - p + kp ê 4 ét an x = - 1 ésin x + cos x = 0 ê ê p Û ê Û ê Û ê x = - + lp ( k, l, m Î ¢ ) . ê ê 2 êsin 2x = 8 1 + 2 sin 2x = 0 ê ê ê ë ê 5p 2 ë êx = + mp ê 8 ë Cách giải 2. Sử dụng "cos đối – sin bù – phụ chéo'' éæ æ 3p÷ ö öù ïìï p ÷ ê- ç ú= cos x ÷ ÷ ïï sin ç = sin 2 p x çx ç ÷ ÷ ê ÷ ÷ ç ç 2ø 2 ï è øú ê ú ëè û Ta có: ïí é ù æ ö æ ö æ pö ïï 7 p p 1 ÷ ÷ ç ú= - sin ç ÷ ÷ ÷ - x÷ = sin ê 2 p x + x + = ïï sin ç ç ç ç ( sin x + cos x ) ÷ ÷ ÷ ê ú ç ÷ ÷ ÷ ç ç 4 4 è4 ø è ø è ø ïïî 2 ê ú ë û é 1 ù 1 1 ( * ) Û sin x + cos x = 4. êê- ( sin x + cos x ) úú. Giải tương tự như cách giải 1. ë 2 û æ p÷ ö æ ö 7 p ÷ ç ÷ cot ç cot x çx + ÷ ç ( *) ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç 8 3 6 è ø è ø Trích đề thi tuyển sinh Đại học Giao Thông Vận Tải Tp. HCM năm 1999 4 4 Bài 7. Giải phương trình: sin x + cos x = p p p + - x = giúp ta liên tưởng đến câu ''phụ chéo'' , thật vậy: 3 6 2 ép æ æ p÷ ö æ ö æ pö öù æ p÷ ö æ pö p p ÷ ÷ ÷ ç ç ê - ç ú= cot ç ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ cot ç x+ ÷ cot x = cot x + cot + x x + t an ç x+ ÷ = 1. ç ç ç ç ç ç ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ê ú ç ç ç ç ç ç ÷ ÷ ê2 è3 ÷ ÷ 3÷ 3ø 3÷ 3ø è ø è6 ø è øû è ø è ú ë  Lời bình: Từ tổng hai cung x + Công việc còn lại của chúng ta là dùng công thức: sin 4 x + cos 4 x = 1 - 1 2 sin 2x . Nếu 2 cos , rồi qui đồng thì bài toán sin trở nên rất phức tạp, chưa tính đến việc đối chiếu nghiệm với điều kiện. không có nhận xét này, mà ta tiến hành biến đổi tan cot = Bài giải tham khảo ìï æ pö ïï sin ç ÷ x+ ÷ ¹ 0 ç ÷ ç ïï æ pö æ ö æ æ ÷ p 1 pö pö 3ø è ÷ ÷ ÷ ç ç ç ÷ ÷ ÷ ÷ Û sin ç x+ ÷ sin x ¹ 0 Û cos 2x ¹ 0 Û cos 2x ¹ 0. ç ç ç ç ĐK: í ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ç ç æ ö ÷ ÷ ÷ ÷ ïï p 3 6 2 6 6 è ø è ø è ø è ø ÷ ç - x÷ ¹ 0 ïï sin ç ÷ ç ÷ è6 ø ïïî Page 10 " All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) ( *) Û 1- www.VNMATH.com Ths. Lê Văn Đoàn 1 2 7 1 1 p kp sin 2x = Û sin 2 2x = Û 1 - cos 4x = Û x = + , (k Î ¢) . 2 8 4 2 12 2 sin 4 2x + cos4 2x = cos 4 4x ( * ) æ ö æ ö Bài 8. Giải phương trình: p p ÷ ÷ t an ç t an ç ç - x÷ ç + x÷ ÷ ÷ ÷ è ÷ ç ç4 è4 ø ø Trích đề thi tuyển sinh Đại học Xây Dựng năm 1997 Bài giải tham khảo æ ö ïìï p ÷ - x÷ ¹ 0 ïï cos ç ç ÷ ç æ ö æ ö ÷ p p 1æ pö è4 ø ï ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ÷ Û cos ç - x÷ cos + x ¹ 0 Û cos 2x + cos ¹ 0 Û cos 2x ¹ 0 . ç ç ç ĐK: í ÷ ÷ ÷ ç ç ç æ ö ÷ ÷ ÷ ïï p 4 4 2 2 è ø è ø è ø ÷ ç + x÷ ¹ 0 ïï cos ç ÷ ç ÷ è4 ø ïïî ép æ ù æ ö æ ö æ ö ö æ ö æ ö p p p p p p ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ç ê - ç ú= t an ç ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ - x÷ t an + x = t an x t an + x x cot x =1. ç ç ç ç ç ç Ta có: t an ç ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ê ú ç ç ç ç ç ç ÷ è4 ÷ ÷ ê2 è4 ÷ú ÷ è4 ÷ è4 ø ø è4 ø ø è4 ø ø ë û 1 2 1 sin 4x = cos4 4x Û 1 1 - cos2 4x = cos 4 4x Û 2 cos 4 x - cos2 4x - 1 = 0 2 2 ïìï ét = 1 ( N) ïï ê 2 ïì 2t - t - 1 = 0 ê ï Û ïí Û í êt = - 1 ( L ) Û cos2 4x = 1 Û sin 2 4x = 0 Û sin 4x = 0 ïï t = cos2 4x ³ 0 ïï ê 2 ë ïî ïï 2 ïïî t = cos 4x ³ 0 ìï sin 2x = 0 ( N ) kp ï Û í Û x= , (k Î ¢) . ïï cos 2x = 0 ( L ) 2 ïî ( *) Û  1- ( ) Lưu ý, ta có thể thực hiện biến đổi mẫu số bằng công thức cộng theo tan như sau p p t an - tan x t an + t an x æ ö æ ö p p 1 - t an x 1 + t an x 4 4 ÷ ÷ t an ç - x÷ . t an ç + x÷ = . = . =1. ç ç ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ p p 1 + t an x 1 - t an x è4 ø è4 ø 1 + t an t an x 1 - t an t an x 4 4 æ3p x ÷ ö 1 æp 3x ö ÷ ç ÷ ÷ = sin + ç ç Bài 9. Giải phương trình: sin ç ( 1) ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ 2ø è10 2 ø 2 è10 Trích đề thi tuyển sinh Đại học Thủy Lợi năm 2001  Lời bình: Nhìn vào phương trình này, ta nghĩ dùng công thức cộng cung theo sin……, hoặc xét tổng cung của chúng, ……. nhưng đừng vội làm như thế, nó sẽ khó đi đến kết quả. Ta hãy xem 3p x p 3x giữa hai cung và có mối liên hệ gì hay không ? Thật vậy: + 10 2 10 2 " Cần cù bù thông minh…………" Page 11 Ths. Lê Văn Đoàn Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) é æp ù æp 3x ö æ ö æ 3x ö 9p 3x ÷ 3p x ö ÷ ÷ ç êp - ç ú= sin ç ÷ ÷ ÷ ÷ sin ç + = sin + = sin 3 - ÷ ç ç ç ç . Từ đó, ta sẽ ÷ ÷ ÷ ÷ ê ú ç ç ç ç ÷ ÷ ÷ ÷ 10 2 10 2 10 2 10 2 è ø è ø è ø è ø ê ú ë û 3p x đặt t = và sử dụng công thức nhân ba là tối ưu nhất. 10 2 Bài giải tham khảo é æp 3x ö ÷ êp ÷ = sin ç + Ta có: sin ç ÷ ê ÷ ç 2ø è10 ê ë ù æp 3x ö æ ö æ 9p 3x ÷ 3p x ö ÷ ç ç ú= sin ç ÷ ÷ ÷ + = sin 3 - ÷ ç ç ç . ÷ ÷ ÷ ú ç ç ÷ ÷ ÷ ç 2 øú 10 2 10 2 è10 è ø è ø û æ æ 3p x ö 1 3p x ö ÷ ÷ = sin 3 ç ç - ÷ ( 1) Û sin ççç10 - 2 ÷ ( 2) . ÷ ÷ ÷ 2 ÷ ç10 2 ø è ø è 3p x 1 1 - . Và ( 2) Û sin t = sin 3t Û sin t = 3 sin t - 4 sin 3 t Û sin t 1 - sin 2 t = 0 10 2 2 2 é é 3p x ét = k p ê êx = 3p - k2p = k p ésin t = 0 ê ê ê 5 Û ê Û ê10 2 Û ê ( k, l Î ¢ ) . p êcos t = 0 Û ê ê 3 ppp x 2 t = + l p ê ê ê ë = + lp - l2p ê ê êx = ë 2 2 5 ë10 2 ë ( Đặt t = ) ( ) æ ö æ p÷ ö p÷ ç ÷ ÷ 3x = sin 2x sin x + ç ç Bài 10. Giải phương trình: sin ç ( 1) ç ç ÷ ÷ 4÷ 4÷ è ø è ø Trích đề thi tuyển sinh Học Viện Bưu Chính Viễn Thông năm 1999 Bài giải tham khảo é æ æ ö pö p ÷ ç êp ÷ ÷ 3x - ÷ = sin 3x = sin ç ç Ta có: sin ç ÷ ÷ ê ç ç4 ÷ ÷ 4ø è è ø ê ë æ öù é ù æ pö p ç ú= - sin ê3p + 3x ú= - sin 3 ç ÷ ÷ - 3x ÷ x+ ÷ ç ç ÷ ÷ ú ç ç ê ú ÷ú ÷ 4 4 è4 ø è ø ë û û æ pö p p ÷ 2t - ÷ . sin t ç Đặt t = x + Þ x = t . Lúc đó ( 1) Û - sin 3t = sin ç ÷ ç ÷ 2ø è 4 4 ésin t = 0 ésin t = 0 ê Û 4 sin 3 t - 3 sin t + cos 2t sin t = 0 Û ê Û ê4 sin 2 t - 3 + 1 - 2 sin 2 t = 0 êsin 2 t = 1 ê ê ë ë é ét = kp êx = - p + kp ésin t = 0 ê p p ê 4 Û ê Û ê Û x = - + m , ( k, l, m Î ¢ ) . p êcos t = 0 Û ê êt = + lp 4 2 êx = p + lp ê ë ê ê ë 2 4 ë æ pö 3 ÷ x+ ÷ = cos 3x ( 1) ç Bài 11. Giải phương trình: 8 cos ç ÷ ç ÷ 3ø è Trích đề thi tuyển sinh Đại học Quốc Gia Hà Nội năm 1999 Bài giải tham khảo é æ pöù ê3 ç ú. ÷ cos 3x = cos p + 3x = cos x+ ÷ Ta có: ( ) ÷ êç ú ç ÷ 3 è ø ê ú ë û Page 12 " All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) www.VNMATH.com Ths. Lê Văn Đoàn é æ pöù æ p÷ ö 3 ê3 ç ú ( 2) . ÷ = cos çx + ÷ çx + ÷ Phương trình: ( 1) Û 8 cos ç ÷ ÷ ê ÷ ÷ ç ç 3ø 3 øú è ê ú ëè û p 3 3 3 Đặt t = x + . Lúc đó: ( 2) Û 8 cos t = - cos 3t Û 8 cos t = - 4 cos t + 3 cos t 3 ( ) Û 12 cos 3 t - 3 cos t = 0 Û cos 3t 4 cos2 t - 1 = 0 Û cos 3t ( 2 cos 2t + 1) = 0 é p êt = + k pp ê 2 écos 3t = 0 ê ê p ê Û Û ê t = + lp Û 1 ê êcos 2t = 3 ê ê 2 ê ë p êt = - + m p ê 3 ë é êx = + k p ê 6 ê êx = lp ( k; l;m Î ¢ ) . ê 2p ê + mp êx = ê 3 ë æ p÷ ö ÷ 2 sin 3 ç x + = 2 sin x ( 1) ç ÷ ç 4÷ è ø Trích đề thi tuyển sinh Phân Viện Báo Chí Truyền Thông năm 1998 Bài 12. Giải phương trình: Bài giải tham khảo Cách giải 1. Đặt t = x + æ p÷ ö p p 3 Û sin 3 t = sin t - cos t çt - ÷ . Lúc đó: ( 1) Û sin t = 2 sin ç Þ x=t÷ ÷ ç 4 è ø 4 4 ( ) Û sin 3 t = sin t - cos t Û sin 3 t = sin 2 t + cos 2 t ( sin t - cos t ) ( (·) ) Û cos t - sin 2 t + sin t cos t - cos 2 t = 0 æ ö 1 ÷ Û cos t ç =0Û ç sin 2t - 1÷ ÷ ÷ ç è2 ø écos t = 0 ( N ) p p ê êsin 2t = 2 L Û t = 2 + k p Û x = 4 + k p, ( k Î ¢ ) . ( ) ê ë  Lời bình: Trong ( · ) , tôi đã sử dụng kĩ thuật ghép công thức 1 = sin 2 t + cos2 t . Vậy trong giải phương trình lượng giác, dấu hiệu như thế nào để biết ghép như thế ? Câu trả lời rất đơn giản: " Khi bậc của sin và cos không đồng bậc và hơn kém nhau hai bậc, ta nên ghép 1 = sin 2 t + cos2 t để phương trình trở nên đơn giản hơn ". Cách giải 2. 3 ( 1) Û é1 ù æ pö ÷ ç ú = 2 sin x Û ÷ 2ê . 2 sin x + ç ÷ ê ÷ ç 4 øú è ê ú ë2 û 3 é1 ù 2 ê ( sin x + cos x ) ú = 2 sin x ê ú ë2 û 3 2 Û ( sin x + cos x ) = 4 sin x Û ( sin x + cos x ) ( sin x + cos x ) = 4 sin x Û ( sin x + cos x ) ( 1 + 2 sin x cos x ) = 4 sin x Û - 3 sin x + 2 cos2 x sin x + 2 sin 2 x cos x + cos x = 0 Û sin x ( - 3 + 2 cos2 x ) + cos x ( 2 sin 2 x + 1) = 0 ( ) ( ) Û - sin x 2 sin 2 x + 1 + cos x 2 sin 2 x + 1 = 0 " Cần cù bù thông minh…………" Page 13 Ths. Lê Văn Đoàn Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) é0 = 2 sin 2 x + 1 > 0 Û 2 sin x + 1 ( cos x - sin x ) = 0 Û ê êcos x - sin x = 0 ê ë p Û t an x = 1 Û x = + k p , ( k Î ¢ ) . 4 Cách giải 3. ( 2 ) 3 ( 1) Û 3 é1 ù æ pö ÷ ç ú = 2 sin x Û ÷ 2ê . 2 sin x + ç ÷ ê ú ÷ ç 4 è ø 2 ê ú ë û 3 Û ( sin x + cos x ) = 4 sin x ( VN ) é1 ù 2 ê ( sin x + cos x ) ú = 2 sin x ê ú ë2 û ( 2) Vì cos x = 0 ( hay sin x = 1) không phải là nghiệm của phương trình ( 2) nên chia hai vế của 3 phương trình ( 2) cho cos 3 x , ta được: ( 2) Û ( t an x + 1) = 4 t an x. 1 + t an 2 x Giải phương trình theo tanx ta được nghiệm: t an x = 1 Û x = ( ) p + k pÎ, ( k 4 ¢). æ pö 3 ÷ x- ÷ = 2 sin x ( 1) ç Bài 13. Giải phương trình: sin ç ÷ ç ÷ 4ø è Trích đề thi tuyển sinh Đại học Quốc Gia Tp.HCM năm 1998 Bài giải tham khảo Cách giải 1. p p 3 Þ x = t + . Lúc đó: ( 1) Û sin t = 2 sin t + 4 4 3 Û sin t = ( sin t + cos t ) sin 2 t + cos2 t ( Đặt t = x - ( ) 4 Û sin 3 t = sin t + cos t ) Û sin 3 t = sin 3 t + sin t cos 2 t + cos t sin 2 t + cos 3 t Û cos t ( sin t cos t + 1) = 0 écos t = 0 p 3p p Û ê êsin 2t = - 2 L Û t = 2 + kp Û x = 4 + kp º - 4 + k p , ( k Î ¢ ) . ( ) ê ë Cách giải 2 và cách giải 3 (tương tự ví dụ 13). Bạn đọc tự giải Bài 14. Giải phương trình: cos x + cos 2x + cos 3x + cos 4x = 0 ( *)  Lời bình: Bài toán có các cung khác nhau theo một hàm bậc nhất lượng giác cos (hoặc sin hoặc cả sin và cos) dạng tổng (hoặc hiệu). Ta nên ghép các số hạng này thành cặp sao cho hiệu (hoặc tổng) các cung của chúng bằng nhau, tức là trong trường hợp này để ý ( x + 4x ) = 5x và ( 2x + 3x ) = 5x . Tại sao phải ghép như vậy ? Lý do rất đơn giản, chúng ta cần những "thừa số chung" để nhóm ra ngoài, đưa bài toán về dạng phương trình tích số. Bài giải tham khảo ( * ) Û ( cos x + cos 4x ) + ( cos 2x + cos 3x ) = 0 Û Page 14 2 cos 5x 3x 5x x cos + 2 cos cos = 0 2 2 2 2 " All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) 5x æ 3x xö ç ÷= 0 Û cos + cos ÷ ç ÷ 2 ç 2 2÷ è ø é5x é 5x ê = p + kp êcos ê2 2 ê 2 =0 ê p ê Û êcos x = 0 Û ê êx = + lp Û 2 ê ê ê x ê x p êcos = 0 ê = + mp ê 2 ë ê 2 ë2 Û 2 cos www.VNMATH.com Ths. Lê Văn Đoàn 4 cos 5x x cos x cos = 0 2 2 é êx = p + k2p ê 5 5 ê p êx = + lp ( k; l; m Î ¢ ) . ê 2 ê êx = p + 2m p ê ê ë 3 ( *) . 2 Trích đề thi tuyển sinh Cao đẳng Sư Phạm Hưng Yên khối A năm 2000 Bài 15. Giải phương trình: sin 2 x + sin 2 2x + sin 2 3x =  Lời bình: Với những phương trình có những hạng tử bậc hai theo sin và cos, ta thường dùng công thức hạ bậc để bài toán trở nên đơn giản hơn. Bài giải tham khảo 1 1 1 3 ( * ) Û 2 ( 1 - cos 2x ) + 2 ( 1 - cos 4x ) + 2 ( 1 - cos 6x ) = 2 Û ( cos 2x + cos 6x ) + cos 4x = 0 Û 2 cos 4x cos 2x + cos 4x = 0 Û cos 4x ( 2 cos 2x + 1) = 0 é écos 4x = 0 ê4x = p + k p ê ê 2 Û ê Û ê Û êcos 2x = cos 2p 2p ê + l2p ê ê2x = ± 3 ë 3 ë é êx = p + k p ê 8 4 ê p êx = ± + lp ê 3 ë 2 2 2 Bài 16. Giải phương trình: sin x + sin 2x + sin 3x = 2 ( k, l Î ¢ ) . ( *) . Trích đề thi tuyển sinh Đại học Sư Phạm Kĩ Thuật Tp. HCM khối A năm 2001 Bài giải tham khảo 1 1 1 ( * ) Û 2 ( 1 - cos 2x ) + 2 ( 1 - cos 4x ) + 2 ( 1 - cos 6x ) = 2 1 1 Û - ( cos 2x + cos 4x + cos 6x ) = Û ( cos 2x + cos 6x ) + ( cos 4x + 1) = 0 2 2 2 Û 2 cos 4x cos 2x + 2 cos 2x = 0 Û 2 cos 2x ( cos 4x + cos 2x ) = 0 é êx = p + kp ê écos x = 0 2 ê ê p p ê ê Û 4 cos 2x cos 3x cos x = 0 Û êcos 2x = 0 Û êx = + l 4 2 ê ê cos 3x = 0 ê ê p p ë êx = + m ê 6 3 ë 2 2 2 2 Bài 17. Giải phương trình: sin x + sin 3x = cos 2x + cos 4x ( k, l, m Î ¢ ) . ( *) Trích đề thi tuyển sinh Đại học Kinh tế Quốc Dân năm 1999 " Cần cù bù thông minh…………" Page 15 Ths. Lê Văn Đoàn Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) Bài giải tham khảo 1 1 1 1 ( * ) Û 2 ( 1 - cos 2x ) + 2 ( 1 - cos 6x ) = 2 ( 1 + cos 4x ) + 2 ( 1 + cos 8x ) Û - ( cos 2x + cos 6x ) = cos 4x + cos 8x Û - 2 cos 4x cos 2x = 2 cos 6x cos 2x Û 2 cos 2x ( cos 6x + cos 4x ) = 0 Û 4 cos 2x cos 5x cos x = 0 écos x = 0 ê æ ö æ æp m pö p p pö ÷ ÷ ÷ ç ç ç ÷ ÷ ÷ Û ê cos 2x = 0 Û x = + k p Ú x = + l Ú x = + ; ( k, l, m Î ¢ ) . ç ç ç ê ÷ ÷ ÷ ç ç ç ÷ ÷ ÷ 2 4 2 10 5 è ø è ø è ø ê cos 5x = 0 ê ë 2 2 2 2 Bài 18. Giải phương trình: sin 3x - cos 4x = sin 5x - cos 6x ( *) Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối B năm 2002 Bài giải tham khảo 1 1 1 1 1 + cos 8x ) = ( 1 - cos10x ) - ( 1 + cos12x ) ( 2 2 2 Û cos 6x + cos 8x = cos10x + cos12x Û 2 cos 7x cos x = 2 cos11x cos x é êx = p + k p ê 2 ê écos x = 0 lp ê Û cos x ( cos 7x - cos11x ) = 0 Û ê ( k, l, m Î ¢ ) . êcos 7x = cos11x Û êx = - 2 ê ê ë ê mp êx = ê 9 ë ( *) Û 2 (1- cos 6x ) - æ 5x ö 9x 2 p ÷ ÷ - 2 cos2 ç + Bài 19. Giải phương trình: cos 3x + sin 7x = 2sin ç (*) ÷ ÷ ç 2ø 2 è4 Trích đề thi tuyển sinh Đại học Thể Dục Thể Thao năm 2001 Bài giải tham khảo æ ö p ÷ cos 3x + sin 7x = 1 - cos ç + 5x ÷ - 1 - cos 9 x Û cos 3x + sin 7x = sin 5x - cos 9 x ç ÷ ç ÷ è2 ø Û cos 3x + cos 9x + sin 7x - sin 5x = 0 Û 2 cos 6x cos 3x + 2 cos 6x sin x = 0 é êx = p + k p ê 12 écos 6x = 0 6 ê ê p æ ö Û cos 6x ( cos 3x + sin x ) = 0 Û ê Û ê p ( k, l, m Î ¢ ) . êx = + lp ÷ êcos 3x = cos ç ÷ + x 4 ç ê ÷ ê ÷ ê ç è2 ø p mp ê ë êx = - + ê 8 2 ë ( *) Û 2 2 2 Bài 20. Giải phương trình: sin x = cos 2x + cos 3x ( *) Trích đề thi tuyển sinh Đại học Quốc Gia Hà Nội năm 1998 Bài giải tham khảo Page 16 " All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) www.VNMATH.com Ths. Lê Văn Đoàn 1 - cos 2x 1 + cos 4x 1 + cos 6x = + Û ( cos 2x + cos 4x ) + ( 1 + cos 6x ) = 0 2 2 2 Û 2 cos 3x cos x + 2 cos2 3x = 0 Û 2 cos 3x ( cos x + cos 3x ) = 0 ( *) Û é êx = p + k p ê écos x = 0 6 3 ê ê p lp ê ê Û 4 cos 3x cos 2x cos x = 0 Û êcos 2x = 0 Û êx = + Û 4 2 ê ê cos 3x = 0 ê ê p ë êx = + m p ê 2 ë 2 Bài 21. Giải phương trình: 2 sin 2x + sin 7x - 1 = sin x é êx = p + k p ê 6 3 ( k, l, m Î ¢ ) . ê p l p êx = + ê 4 2 ë ( *) Trích đề thi tuyển sinh Đại học năm khối A năm 2007 7x + x  Lời bình: Từ việc xuất hiện các cung ( x ) , ( 2x ) , ( 7x ) và nhận xét = 4x , ta có thể định 2 2 hướng nhóm ( sin 7x - sin x ) , 2 sin 2x - 1 lại với nhau, để sau khi dùng công thức ( ) tổng thành tích và hạ bậc nhằm xuất hiện nhân tử chung và cuối cùng đưa ta được phương trình tích số đơn giản hơn. Bài giải tham khảo ( * ) Û ( sin 7x - ( ) sin x ) - 1 - 2 sin 2 2x = 0 Û 2 cos 4x sin 3x - cos 4x = 0 é écos 4x = 0 êx = p + ê ê Û cos 4x ( 2 sin 3x - 1) = 0 Û ê Û ê 18 1 êsin 3x = êx = 5p + ê ê 2 ë 18 ë k2p 3 ( k, l Î ¢ ) . l2p 3 Bài 22. Giải phương trình: sin x + sin 2x + sin 3x = 1 + cos x + cos 2x ( *) Bài giải tham khảo ( * ) Û ( sin x + sin 3x ) + sin 2x = ( 1 + cos 2x ) + cos x Û 2 sin 2x cos x + sin 2x = 2 cos 2 x + cos x Û sin 2x ( 2 cos x + 1) - cos x ( 2 cos x + 1) = 0 Û ( 2 cos x + 1) ( sin 2x - cos x ) = 0 Û ( 2 cos x + 1) ( 2 sin x cos x - cos x ) = 0 é êx = p + kp é ê êcos x = 0 êé 2 p ê êê ê êêx = + l2p 1 6 Û cos x ( 2 sin x - 1) ( 2 cos x + 1) = 0 Û êsin x = Û êê ( k, l, m, n Î ¢ ) . ê ê 5 p 2 ê ê êêx = + m2p êcos x = - 1 êë 6 ê ê 2 ë êx = ± 2p + n2p ê 3 ë 3 3 3 Bài 23. Giải phương trình: sin x cos 3x + cos x sin 3x = sin 4x ( *) Trích đề thi Tuyển sinh Đại học Ngoại Thương năm 1999 " Cần cù bù thông minh…………" Page 17 Ths. Lê Văn Đoàn Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) Bài giải tham khảo ( *) Û ( ) ( ) sin 3 x 4 cos 3 x - 3 cos x + cos 3 x 3 sin x - 4 sin 3 x = sin 3 4x Û 4 sin 3 x cos 3 x - 3 sin 3 x3 cos x + 3 cos 3 x sin x - 4 cos 3 x sin 3 x = sin 3 4x Û 3 sin x cos x ( cos2 x - sin 2 x ) = sin 3 4x Û 3 3 sin 2x cos 2x = sin 3 4x Û sin 4x = sin 3 4x 2 4 kp , (k Î ¢) . 12 Û 3 sin 4x - 4 sin 3 4x = 0 Û sin 12x = 0 Û 12x = k p Û x = 2 3 Bài 24. Giải phương trình: cos10x + 2 cos 4x + 6 cos 3x cos x = cos x + 8 cos x cos 3x ( * ) Bài giải tham khảo ( *) Û ( cos10x + ( 1 + cos 8x ) = cos x + 2 cos x 4 cos 3 3x - 3 cos 3x ) Û ( cos10x + cos 8x ) + 1 = cos x + 2 cos x cos 9x Û 2 cos 9x cos x + 1 = cos x + 2 cos x cos 9x Û cos x = 1 Û x = k2p, ( k Î ¢ ) . 3 3 2 Bài 25. Giải phương trình: 4 sin x + 3 cos x - 3 sin x - sin x cos x = 0 ( *) Bài giải tham khảo ( *) Û Û Û ( ) ( ) sin x ( 4 sin x - 3) - cos x é sin x - 3 ( 1 - sin x ) ù =0 ê ú ë û ( 4 sin x - 3) ( sin x - cos x ) = 0 sin x 4 sin 2 x - 3 - cos x sin 2 x - 3 cos2 x = 0 2 2 2 2 Û é 2 1 - cos 2x ) - 3ù sin x - cos x ) = 0 ê ú ë( û( é é é 1 2 p 2 p êx = ± 2p + kp êcos 2x = - = cos ê2x = ± + k2p ê 3 Û ê Û ê ( k; l Î ¢ ) . 2 3 Û ê 3 ê ê p ê sin x = cos x t an x = 1 ê ê êx = + lp ë ë 4 ë 2 Bài 26. Giải phương trình: ( 2 sin x + 1) ( 3 cos 4x + 2 sin x - 4 ) + 4 cos x = 3 ( *) Bài giải tham khảo ( * ) Û ( 2 sin x + 1) ( 3 cos 4x + 2 sin x - 4) + 4 ( 1 - sin x ) - 3 = 0 Û ( 2 sin x + 1) ( 3 cos 4x + 2 sin x - 4 ) + ( 1 - 2 sin x ) ( 1 + 2 sin x ) = 0 Û ( 2 sin x + 1) ( 3 cos 4x + 2 sin x - 4 + 1 - 2 sin x ) = 0 2 Page 18 " All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) www.VNMATH.com Ths. Lê Văn Đoàn Û 3 ( cos 4x - 1) ( 2 sin x + 1) = 0 é ê4x = k2p ê écos 4x = 1 ê ê p Û ê Û êx = - + l2p Û 1 ê êsin 2x = 6 ê ê 2 ë êx = 7p + m2p ê 6 ë é êx = kp ê 2 ê êx = - p + l2p ê 6 ê ê 7p + m2p êx = ê 6 ë ( k; l; m Î ¢ ) . ( 6 6 8 8 Bài 27. Giải phương trình: sin x + cos x = 2 sin x + cos x ) ( *) Trích đề thi tuyển sinh Đại học Quốc Qua Hà Nội Khối B năm 1999 Bài giải tham khảo ( *) Û ( ) ( ) sin 6 x - 2 sin 8 x + cos 6 x - 2 cos 8 x = 0 Û sin 6 x 1 - 2 sin 2 x - cos 6 x 2 cos 2 x - 1 = 0 ( ) Û sin 6 x cos 2x - cos6 x cos 2x = 0 Û cos 2x sin 6 x - cos 6 x = 0 écos 2x = 0 écos 2x = 0 ê Û ê 6 Û ê 6 êt an x = ±1 Û sin x = cos x ê ê ë ë é êx = p + kp ê 4 2 Û x = p + kp , ( k Î ¢ ) . ê 4 2 êx = ± p + k p ê 4 ë 5 cos 2x ( * ) 4 Trích đề thi tuyển sinh Đại học Ngoại Thương Tp.HCM khối D 2000 ( ) Bài 28. Giải phương trình: sin 8 x + cos 8 x = 2 sin 10 x + cos10 x + Bài giải tham khảo 5 cos 2x = 0 4 5 Û cos8 x 2 cos2 x - 1 - sin 8 x 1 - 2 cos2 x + cos 2x = 0 4 æ 8 5 5ö 8 ÷ Û cos8 x. cos 2x - sin 8 x cos 2x + cos 2x = 0 Û cos 2x ç =0 çcos x - sin x + ÷ ÷ ÷ ç 4 4ø è é écos 2x = 0 ê2x = p + k p ê p kp ê 2 Û ê 8 Û ê Û x= + ,( k Î ¢ ) . 5 8 êcos x - sin x + = 0 5 4 2 8 8 ê ê êsin x = cos x + > 1 ( VN ) 4 ë 4 ë ( * ) Û ( 2 cos 10 ) ( ) x - cos 8 x - sin 8 x - 2 sin 10 x + ( ) ( ) ( 3 3 5 5 Bài 29. Giải phương trình: sin x + cos x = 2 sin x + cos x ) ( *) Trích đề thi tuyển sinh Đại học Quốc gia Hà Nội khối D 1998 Bài giải tham khảo  Cách giải 1 ( * ) Û ( sin 3 ) ( x ) - cos x ( 2 cos ) x - 2 sin 5 x - 2 cos 5 x + cos 3 x = 0 ( Û sin 3 x 1 - 2 sin 2 " Cần cù bù thông minh…………" 3 2 ) x - 1 = 0 Û sin 3 x cos 2x - cos 3 x cos 2x = 0 Page 19 Ths. Lê Văn Đoàn Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) écos 2x = 0 p mp Û cos 2x sin 3 x - cos 3 x = 0 Û ê êt an 3 x = 1 Û x = 4 + 2 , ( m Î ¢ ) . ê ë  Cách giải 2 ( ( * ) Û ( sin 3 ) )( ) x + cos 3 x sin 2 x + cos2 x - 2 sin 5 x - 2 cos5 x = 0 ( ) ( x ) - cos x ( cos ) Û sin 3 x cos2 x - sin 5 x - cos 5 x - cos 3 sin 2 x = 0 ( Û sin 3 x cos2 x - sin 2 écos 2x = 0 Û ê êsin 3 x - cos 3 x = 0 Û ê ë 3 2 ) ( ) x - sin 2 x = 0 Û cos 2x sin 3 x - cos 3 x = 0 écos 2x = 0 p mp ê êt an 3 x = 1 Û x = 4 + 2 , ( m Î ¢ ) . ê ë 4 2 2 4 Bài 30. Giải phương trình: 3 cos x - 4 cos x sin x + sin x = 0 ( *) Trích đề thi tuyển sinh Đại học Quốc Qua Tp.HCM 1998 – 1999 đợt 1 Bài giải tham khảo 2 æ ö 2x ÷ ÷ - sin 2 2x + ( * ) Û 3 ççç1 + cos ÷ ÷ 2 è ø ( ) 2 æ ö 1 - cos 2x ÷ ç ÷ =0 ç ÷ ç ÷ 2 è ø ( ) ( ) Û 3 1 + 2 cos 2x + cos2 2x - 4 1 - cos2 2x + 1 - 2 cos 2x + cos 2 2x = 0 Û 8 cos2 2x + 4 cos 2x = 0 Û 4 cos 2x ( 2 cos 2x + 1) = 0 é écos 2x = 0 êx = p + kp º ± p + k p ê ê 4 2 4 Û ê Û ê êcos 2x = - 1 p êx = ± + m p ê ê 2 ë 3 ë  Cách khác ( k, m Î ¢ ) . Do cos x = 0 hay sin x = 1 không là nghiệm của phương trình ( * ) Chia hai vế của ( * ) cho cos 4 x , ta được: ïìï t 2 - 4t + 3 = 0 2 4 ( * ) Û 3 - 4 t an x + t an x = 0 Û íï t = t an 2 x ³ 0 ïïî ìï ét = 1 ïï ê ét an x = ±1 ét an 2 x = 1 ï ê ê Û í êt = 3 Û ê Û Û ê êt an 2 x = 3 ïï ë t an x = ± 3 ê ê ë ë ïï t = t an 2 x î é êx = ± p + k p ê 4 ( k, m Î ¢ ) . ê p êx = ± + m p ê 3 ë Bài 31. Giải phương trình: cos 3x cos 3 x - sin 3x sin 3 x = 2 - 3 2 8 ( *) Bài giải tham khảo  Lời bình: Ta nhận thấy trong phương trình có chứa cos 3x lẫn sin 3x , nếu ta sử dụng công thức nhân ba để khai triễn cũng đi đến kết quả cuối cùng, nhưng nó tương đối phức tạp. Page 20 " All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) www.VNMATH.com Ths. Lê Văn Đoàn Chính vì thế, ở đây ta khéo léo phân tích để áp dụng công thức tích thành tổng có xuất hiện số 1 nhằm tối giản được với số 2 - 3 2 phức tạp bên vế phải của phương trình. 2 8 ( * ) Û ( cos 3x cos x ) cos Û 2 x - ( sin 3x sin x ) sin 2 x = 2- 3 2 8 1 1 2- 3 2 cos 4x + cos 2x ) cos2 x - ( cos 2x - cos 4x ) sin 2 x = ( 2 2 8 Û cos 4x cos2 x + cos 2x cos2 x - cos 2x sin 2 x + cos 4x sin 2 x = ( ) ( ) Û cos 4x cos2 x + sin 2 x + cos 2x cos 2 x - sin 2 x = Û cos 4x + cos2 2x = 2- 3 2 4 2- 3 2 4 2- 3 2 1 2- 3 2 Û cos 4x + ( 1 + cos 4x ) = 4 2 4 Û 4 cos 2x + 2 ( 1 + cos 4x ) = 2 - 3 2 Û cos 4x = - 2 p kp Û x =± + ,( k Î ¢ ) . 2 16 2 1 ( *) 16 Trích đề thi tuyển sinh Đại học Kinh tế Quốc Dân năm 1998 Bài 32. Giải phương trình: cos x cos 2x cos 4x cos 8x = Bài giải tham khảo  Lời bình: Trong bài toán xuất hiện bốn cung x, 2x, 4x, 8x khác nhau, giúp ta liên tưởng đến việc đưa chúng về cùng một cung. Để làm việc này ta sẽ suy nghĩ đến việc dùng công thức cos 2x = 2 cos2 x - 1 = 1 - 2 sin 2 x , nhưng nó thì không khả quan cho mấy, bởi thế phương trình sẽ trở thành phương trình bậc cao, việc giải sẽ gây khó khăn. Nhưng để ý rằng, các cung này lần lượt gấp đôi nhau, ta chợt nhớ đến công thức nhân đôi của sin , bằng cách nhân thêm hai vế của ( * ) cho sin x . Để đảm trong phép nhân, ta nên kiểm tra xem sin x = 0 có phải là nghiệm hay không trước khi nhân. ● Nhận thấy: sin x = 0 Û x = k p ( hay cos x = ±1) Û cos 2x = cos 4x = cos 8x = 1 nên 1 (vô nghiệm) nên sin x = 0 Û x = k p không là nghiệm của ( * ) 16 ● Nhân cả 2 vế của phương trình ( * ) cho 16 sin x ¹ 0 , ta được: ( *) Û ±1 = ïì 16 sin x cos x cos 2x cos 4x cos 8x = sin x ïìï 8 sin 2x cos 2x cos 4x cos 8x = sin x í ïï sin x ¹ 0 0 ïî î ïì 4 sin 4x cos 4x cos 8x = sin x ïì 2 sin 8x cos 8x = sin x ïì sin 16x = sin x Û ïí Û ïí Û ïí ïï sin x ¹ 0 ïï sin x ¹ 0 ïï sin x ¹ 0 î î î ïìï é k2p é x= ïï ê ê êx = k2p 15 ïï ê 17p - 1 15 p lp Û ê Û íê với k ¹ 15n; l ¹ ; ( k, l, m, n, p Î ¢ ) . ê + ïï êx = p lp ê 2 + ïï ë 17 17 êx = ë 17 17 ïï x ¹ m p ïî ( * ) ÛÛïíï sin x ¹ " Cần cù bù thông minh…………" Page 21 Ths. Lê Văn Đoàn Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) 3 Bài 33. Giải phương trình: 4 sin 3x cos 2x = 1 + 6 sin x - 8 sin x ( *) Bài giải tham khảo ( *) Û ( ) 4 sin 3x cos 2x = 1 + 2 3 sin x - 4 sin 3 x Û 4 sin 3x cos 2x = 1 + 2 sin 3x ( ) Û 2 sin 3x ( 2 cos 2x - 1) = 1 Û 2 sin 3x 4 cos2 x - 3 = 1 ( o) p + k pÎ, ( k ¢ ) không là nghiệm phương trình ( o) , nên nhân hai vế ( o) cho 2 3 cos x ¹ 0 , ta được: ( o) Û 2 sin 3x 4 cos x - 3 cos x = cos x Û 2 sin 3x cos 3x = cos x Do cos x = 0 Û x = ( ) æ ö p ÷ Û sin 6x = cos x Û cos x = cos ç Û ç - 6x ÷ ÷ ÷ ç è2 ø é êx = p + l2p ê 14 7 ê p m2 p êx = + ê 5 ë 10 ( l, k Î ¢ ) . Bài 34. Giải phương trình: cos x + cos 2x + cos 3x + cos 4x + cos 5x = - 1 2 (*) Bài giải tham khảo ¢ ) thì ( * ) Û 5 = - 1 Þ ( * ) không có nghiệm x = k2pÎ, ( k ¢ ) . 2 x x ● Khi x ¹ k2p, ( k Î ¢ ) Þ sin ¹ 0 . Nhân hai vế của ( * ) cho 2 sin ¹ 0 , ta được: 2 2 ( * ) Û 2 sin x2 cos x + 2 sin x2 cos 2x + 2 sin x2 cos 3x + 2 sin x2 cos 4x + 2 sin x2 cos 5x = - sin x2 3x x 5x 3x 7x 5x 9x 7x 11x 9x x Û sin - sin + sin - sin + sin - sin + sin - sin + sin - sin = - sin . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 11x 11x 2m p Û sin =0Û = mp Û x = , ( m ¹ 11, m Î ¢ ) . 2 2 11 ● Khi x = k2pÎ, ( k Bài 35. Giải phương trình: sin 2x + 2 cos x - sin x - 1 t an x + = 0 ( *) 3 Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối D năm 2011 Bài giải tham khảo  Lời bình: Khi giải phương trình lượng giác có chứa tan hoặc cot, có ẩn ở mẫu hay căn bậc chẳn, … ta phải đặc điều kiện để phương trình xác định. Đặc biệt đối với những bài toán có sin æ cos ö ÷ ÷ ,ç ç chứa tan (hoặc cot), ta hãy thay thế chúng bằng nhằm mục đích " đơn ÷ ç ÷ cos èsin ø giản hóa " và chỉ còn lại hai giá trị lượng giác là sin và cos mà thôi. Ta sẽ dùng các cách sau đây để kiểm tra xem có nhận nghiệm hay không  Thay các giá trị x tìm được vào điều kiện xem có thỏa không. Nếu thỏa thì ghi nhận nghiệm ấy, nếu không thỏa thì loại. Page 22 " All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) www.VNMATH.com Ths. Lê Văn Đoàn  Hoặc biểu diễn các ngọn cung điều kiện và ngọn cung nghiệm trên cùng một đường tròn lượng giác. Ta sẽ loại bỏ ngọn cung của nghiệm khi có trùng với ngọn cung của điều kiện.  Hoặc so với điều kiện trong quá trình giải phương trình. ìï t an x ¹ - 3 ï ● Điều kiện: í ïï cos x ¹ 0 ïî ( * ) Û sin 2x + 2 cos x - sin x - 1 = 0 Û 2 cos x ( sin x + 1) - ( sin x + 1) = 0 é êx = ± p + k2p ê 3 ( k, l Î ¢ ) . ê êx = - p + l2p ê 2 ë p ● So với điều kiện, họ nghiệm của phương trình là x = + k2pÎ, ( k ¢ ) . 3 é êcos x = 1 Û ( sin x + 1) ( 2 cos x - 1) = 0 Û ê 2 Û ê sin x = 1 ê ë Bài 36. Giải phương trình: 1 + sin 2x + cos 2x = 2 sin x sin 2x ( * ) 1 + cot 2 x Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối A năm 2011 Bài giải tham khảo ● Điều kiện: sin x ¹ 0 ( *) Û sin 2 x(1 + sin 2x + cos 2x) = 2 2 sin 2 x cos x Û 1 + sin 2x + cos 2x = 2 2 cos x ( Û 2 cos2 x + 2 cos x sin x - 2 2 cos x = 0 Û 2 cos x cos x + sin x - ) 2 =0 é êx = p + kp ê 2 ( k, l Î ¢ ) . ê p êx = + l2p ê 4 ë p p ● So với điều kiện, họ nghiệm phương trình là x = + kpÚ x = + l2pÎ, ( k, l 2 4 écos x = 0 écos x = 0 ê ê æ pö Û ê Û Û ê ÷ êcos ç ÷ x = 1 cos x + sin x = 2 ç ê ê ç ÷ ë 4÷ ø ê ë è Bài 37. Giải phương trình: t an x + cot x = 2 ( sin 2x + cos 2x ) ¢) . ( *) Trích đề thi tuyển sinh Đại học Giao Thông Vận Tải Tp.HCM năm 1998 Bài giải tham khảo ìï sin x ¹ 0 p ï Û 2 sin x cos x ¹ 0 Û sin 2x ¹ 0 Û 2x ¹ k p Û x ¹ k , ( k Î ¢ ) . ● Điều kiện: í ïï cos x ¹ 0 2 î sin x cos x sin 2 x + cos2 x ( * ) Û cos x + sin x = 2 ( sin 2x + cos 2x ) Û sin x cos x = 2 ( sin 2x + cos 2x ) 1 1 Û = 2 ( sin 2x + cos 2x ) Û = ( sin 2x + cos 2x ) sin x cos x sin 2x Û sin 2x ( sin 2x + cos 2x ) = 1 Û sin 2 2x + sin 2x cos 2x - 1 = 0 Û sin 2x cos 2x - cos2 2x = 0 Û cos 2x ( sin 2x - cos 2x ) = 0 " Cần cù bù thông minh…………" Page 23 Ths. Lê Văn Đoàn Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) é êx = p + ê 4 Û ê p êx = + ê 8 ë p ● Kết hợp với điều kiện, phương trình có 2 họ nghiệm: x = + kpÚ 4 æ pö ÷ 2 cos 2x sin ç 2x - ÷ =0Û ç ÷ ç ÷ 4ø è écos 2x = 0 ê ê æ Û pö ÷ êsin ç ÷ 2x =0 ç ÷ ê ç ÷ 4ø ê ë è 2 Bài 38. Giải phương trình: t an x + t an x t an 3x = 2 kp p l 2 ( k, l Î ¢ ) . x= p p + l , ( k, l Î ¢ ) . 8 2 ( *) Trích đề thi tuyển sinh Đại học Quốc Gia Hà Nội năm 1996 Bài giải tham khảo ìï cos x ¹ 0 p kp ï Û cos 3x ¹ 0 Û x ¹ + ,( k Î ¢ ) . ● Điều kiện: í 3 ïï cos 3x = 4 cos x - 3 cos x ¹ 0 6 3 ïî sin x æsin x sin 3x ö ÷ =2 ( * ) Û t an x ( t an x + t an 3x ) = 2 Û cos x çççcos x + cos 3x ÷ ÷ ÷ è ø Û sin x ( sin x cos 3x + cos x sin 3x ) = 2 cos 2 x cos 3x Û sin x sin ( - 2x ) = 2 cos2 x cos 3x Û - 2 sin 2 x cos x = 2 cos2 x cos 3x Û - sin 2 x = cos x cos 3x ( do cos x ¹ 0) 1 1 1 - cos 2x ) = ( cos 4x + cos 2x ) ( 2 2 p lp Û cos 4x = - 1 Û x = + ,( l Î ¢ ) 4 2 ● So nghiệm với điều kiện: Û - æ 3p l3pö 2 p lp ÷ ÷ + =± ¹ 0 (nhận). thì cos 3x = cos ç + ç ÷ ç ÷ 2 ø 2 4 2 è4  Cách 2: Biểu diễn các ngọn cung điều kiện và ngọn cung nghiệm, ta thấy không có ngọn cung p lp nào trùng nhau. Do đó: x = + là nghiệm của π/2 4 2 phương trình. (Cách 2 này mất nhiều thời gian). 3π/4 π/4 π/6 5π/6 3p l3p p  Cách 3: Nếu 3x = + = + k p thì 4 2 2 3 + 6l = 2 + 4k Û 2k - 3l = 0, 5 7π/6 11π/6 (vô lí vì k, l Î ¢ ).  Cách 1: Khi x = 5π/4 p lp Vậy họ nghiệm của phương trình là: x = + ,( l Î ¢ ) . 4 2 Bài 39. Giải phương trình: t an 2 x + cot 2 x + cot 2 2x = 11 3 7π/4 3π/2 ( *) Bài giải tham khảo Page 24 " All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) www.VNMATH.com Ths. Lê Văn Đoàn ìï cos x ¹ 0 ïï ï ● Điều kiện: í sin x ¹ 0 Û sin 2x ¹ 0 . ïï ïï sin 2x ¹ 0 î æ 1 ö æ 1 ö æ 1 ö 11 1 1 1 20 ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ÷ + 1 + 1 = Û + + = ç ç ( * ) Û çççcos2 x - 1÷ ÷ ÷ ÷ 2 2 2 2 2 2 ç ç ÷ ÷ ÷ 3 3 cos x sin x 4 sin x cos x è ø èsin x ø èsin 2x ø 4 sin 2 x + 4 cos 2 x + 1 20 5 20 3 1 3 Û = Û = Û sin 2 2x = Û ( 1 - cos 4x ) = 2 2 2 3 3 4 2 4 4 sin x cos x sin 2x æ 1 2pö p kp ÷ ÷ Û cos 4x = - = cos ç Û x =± + ,( k Î ¢ ) . ç ÷ ç ÷ 2 6 2 è3 ø ● Thay vào nghiệm vào điều kiện, thỏa. Vậy họ nghiệm của phương trình là p kp x =± + , (k Î ¢) . 6 2 æ p÷ ö 2 x 2 x ÷ t an x - cos2 = 0 ç Bài 40. Giải phương trình: sin ç ÷ ç 2 è2 4 ÷ ø ( *) Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối D năm 2003 Bài giải tham khảo Điều kiện: cos x ¹ 0 Û sin x ¹ ±1 . ùsin 2 x 1 1 - sin x ) 1 - cos2 x æ pö ( 1é ÷ ç ú - ( 1 + cos x ) = 0 ( * ) Û 2 êê1 - cos ççx - 2 ÷ ÷ úcos2 x - 2 ( 1 + cos x ) = 0 Û ÷ 1 - sin 2 x è ø ê ú ë û æ ö 1 - cos2 x 1 - cos x ÷ ÷ Û - ( 1 + cos x ) = 0 Û ( 1 + cos x ) ç 1 =0 ç ÷ ç ÷ 1 + sin x è1 + sin x ø ( ) éx = p + k2p écos x = - 1 ( N ) ê ê Û ( 1 + cos x ) ( - cos x - sin x ) = 0 Û ê Û ( k; l Î ¢ ) . êt an x = - 1 N êx = - p + l2p ( ) ê ê ë 4 ë 2 Bài 41. Giải phương trình: sin 2x ( cot x + t an 2x ) = 4 cos x ( *) Trích đề thi Tuyển Sinh Đại học Mỏ – Địa chất năm 2000 Bài giải tham khảo ìï cos x ¹ ±1 ï ïíï ïï cos x ¹ ± 2 ïïî 2 cos x sin 2x cos 2x cos x + sin 2x sin x cos x Ta có: cot x + t an 2x = . + = = sin x cos 2x sin x cos 2x sin x cos 2x æ 2 ö sin 2x cos x 2 cos2 x 2 ÷ ÷ = 4 cos x Û - 4 cos2 x = 0 Û cos2 x ç 4 =0 ç Lúc đó: ( * ) Û ÷ ç ÷ sin x cos 2x cos 2x ècos 2x ø ïìï sin x ¹ 0 Û Điều kiện: í ïï cos 2x ¹ 0 î ïìï sin x ¹ 0 Û í ïï 2 cos2 x - 1 ¹ 0 ïî " Cần cù bù thông minh…………" Page 25 Ths. Lê Văn Đoàn Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) écos x = 0 ê Û ê 1 Û ê = 2 ê ëcos 2x é écos x = 0 ( N ) êx = p + k p ê ê 2 ê Û ê 1 êcos 2x = ( N ) êx = ± p + lp ê ê 2 ë 6 ë Bài 42. Giải phương trình: ( k; l Î ¢ ) . cot 2 x - t an 2 x = 16 ( 1 + cos 4x ) cos 2x ( *) Bài giải tham khảo ìï sin 2x ¹ 0 ï Û sin 4x ¹ 0 . Điều kiện: í ïï cos 2x ¹ 0 î cos2 x sin 2 x cos 4 x - sin 4 x 4 cos 2x 2 2 Ta có: cot x - t an x = . = = 2 2 2 2 sin x cos x sin x cos x sin 2 2x 4 ( * ) Û sin 2 2x = 16 ( 1 + cos 4x ) Û 1 = 4 ( 1 + cos 4x ) sin 2 2x Û 1 = 2 ( 1 + cos 4x ) ( 1 - cos 4x ) 1 (Nhận do sin 4x ¹ 0 ) Û 1 = 2 1 - cos2 4x Û 1 = 2 sin 2 4x Û sin 2 4x = 2 1 1 p kp Û ( 1 - cos 8x ) = Û cos 8x = 0 Û x = + ,( k Î ¢ ) . 2 2 16 8 ( ) 1 ( *) sin 2x Trích đề thi tuyển sinh Đại học Quốc Gia Tp.HCM năm 1998 – 1999 Bài 43. Giải phương trình: 2 t an x + cot 2x = 2 sin 2x + Bài giải tham khảo ìï sin 2x ¹ 0 ï Û Điều kiện: í ïï cos x ¹ 0 î ìï sin 2x ¹ 0 ï í ïï cos 2x ¹ ±1 î 2 sin x cos 2x 1 + = 2 sin 2x + Û 4 sin 2 x + cos 2x = 2 sin 2 2x + 1 cos x sin 2x sin 2x 2 2 Û 4 sin x + 1 - 2 sin x = 8 cos2 x sin 2 x + 1 Û 2 sin 2 x 1 - 4 cos 2 x = 0 ( *) Û ( ) ( ) ésin x = 0 ( L) ê p é ù ê Û 2 sin x ê1 - 2 ( 1 + cos 2x ) ú= 0 Û Û x = ± + k p, ( k Î ¢ ) . ë û êcos 2x = - 1 ( N ) 3 ê 2 ë 2 Bài 44. Giải phương trình: 3 ( sin x + t an x ) - 2 ( 1 + cos x ) = 0 ( *) t an x - sin x Trích đề thi tuyển sinh Đại học Tài Chính – Kế Toán năm 2000 Bài giải tham khảo ĐK: t an x - sin x ¹Û0 Page 26 sin x ( 1 - cos x ) sin x - sin x ¹Û¹Û¹Û¹ 0 cos x cos x 0 ìï sin x ¹ 0 ïï ï cos x 0 í ïï ïï cos x ¹ 1 î sin 2x 0 " All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) ( *) Û www.VNMATH.com Ths. Lê Văn Đoàn 3 ( sin x + t an x ) cot x 3 ( cos x + 1) . - 2 ( 1 + cos x ) = 0 Û - 2 ( 1 + cos x ) = 0 t an x - sin x cot x ( 1 - cos x ) æ 3 ö ÷ Û ( 1 + cos x ) ç - 2÷ =0Û ç ÷ ÷ ç è1 - cos x ø Û x=± é1 + cos x = 0 ê ê1 + 2 cos x = 0 Û ê ë écos x = - 1 (Loại do sin x ¹ 0 ) ê ê êcos x = - 1 (Nhận) ê 2 ë 2p + k2p , ( k Î ¢ ) . 3 Bài 45. Giải phương trình: (1- 2 cos x ) + ( 1 + cos x ) 4 ( 1 - sin x ) 2 - t an 2 x sin x = 1 ( 1 + sin x ) + t an 2 x ( * ) 2 Bài giải tham khảo Điều kiện: sin x ¹ 1 Ù cos x ¹ 0 . 2 1 + cos2 x sin 3 x 1 sin 2 x * Û = 1 + sin x + ( ) ( ) 1 - sin 2 x 2 1 - sin 2 x 4 ( 1 - sin x ) ( ) ( ) ( 1 + cos x ) ( 1 + sin x ) = ( 1 + sin x ) cos ( ) Û 1 + cos2 x ( 1 + sin x ) - 2 sin 3 x = ( 1 + sin x ) 1 - sin 2 x + 2 sin 2 x Û 2 2 x + 2 sin 2 x ( 1 + sin x ) ésin x = - 1 ( L ) é1 + sin x = 0 ê Û ê Û ê 2 2 2 ê1 = 1 - 2 cos 2x Û cos 2x = 0 1 + cos x = cos x + 2 sin x ê ê ë ë p p kp (nhận do cos x ¹ 0 ) Û 2x = + kp Û x = + 2 4 2 Bài 46. Giải phương trình: cos 3x t an 5x = sin 7x ( *) Trích đề thi Tuyển sinh Cao đẳng Kinh tế Công Nghiệp Tp. HCM năm 2007 Bài giải tham khảo ● Điều kiện: cos 5x ¹ 0 . sin 5x = sin 7x Û sin 5x cos 3x = sin 7x cos 5x ( * ) Û cos 3x cos 5x 1 1 Û ( sin 8x + sin 2x ) = ( sin 12x + sin 2x ) Û sin 8x = sin 12x 2 2 é êx = kp é12x = 8x + k2p ê 2 Û ê Û ê ( k;l Î ¢ ) . ê12x = p - 8x + l2ppp l ê ê ë + êx = 20 10 ë ● So với điều kiện: kp 5k p kp Với x = thì cos 5x = cos loại nếu k lẻ. = cos 2 2 2 " Cần cù bù thông minh…………" Page 27 Ths. Lê Văn Đoàn Với x = Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) æ ö p lp ÷ p lp ÷ + ¹ 0 (nhận). ç thì cos 5x = cos ç + ç ÷ 2÷ è4 ø 20 10 Bài 47. Giải phương trình: sin 2x + sin x - 1 1 = 2 cot x 2 sin x sin 2x ( *) Bài giải tham khảo Điều kiện: sin x ¹ 0 Ù cos x ¹ 0 . ( * ) Û sin 2 2x + sin 2x sin x - cos x - 1 = 2 cos 2x Û 4 cos2 x sin 2 x + 2 cos x sin 2 x - cos x + 1 - 4 cos 2 x = 0 Û 4 cos2 x ( 1 - cos2 x ) + 2 cos x ( 1 - cos2 x ) - cos x + 1 - 4 cos 2 x = 0 ( ) Û 4 cos2 x + 2 cos 3 x + cos x - 1 = 0 Û ( cos x + 1) 4 cos 3 x - 2 cos 2 x + 2 cos x - 1 = 0 écos x = - 1 ê Û ( cos x + 1) ( 2 cos x - 1) 2 cos2 x + 1 = 0 Û ê Û êcos x = 1 ê 2 ë ( Bài 48. Giải phương trình: ) éx = p + k2p ê ê ( k, l Î ¢ ) . êx = ± p + l2p ê 3 ë sin 4 x + cos 4 x 1 = ( t an x + cot 2x ) ( *) sin 2x 2 Trích đề thi tuyển sinh Đại học Bách Khoa năm 2000 Bài giải tham khảo Điều kiện: sin 2x ¹ 0 . ìï 4 2 ïï sin x + cos 4 x = sin 2 x + cos2 x - 2 sin 2 x cos 2 x = 1 - 1 sin 2 2x ï 2 Ta có: ïí cos ( 2x - x ) ïï sin x cos 2x sin 2x sin x + cos x cos 2x 1 + = = = ïï t an x + cot 2x = cos x sin 2x cos x sin 2x cos x sin 2x sin 2x ïî 1 1 - sin 2 2x 1 1 1 (Nhận do sin 2x ¹ 0 ) 2 = Û 1 - sin 2 2x = Û sin 2 2x = 1 ( * ) Û sin 2x 2 sin 2x 2 2 p p p Û cos2 2x = 0 Û 2x = + k p Û x = + k , ( k Î ¢ ) . 2 4 2 ( ) 2 2 2 2 Bài 49. Giải phương trình: t an x. cot 2x. cot 3x = t an x - cot 2x + cot 3x ( *) Trích đề thi tuyển sinh Đại học Dược Hà Nội năm 2001 Bài giải tham khảo ìï cos x ¹ 0 ïï ìï sin 2x ¹ 0 ï ï Điều kiện: í sin 2x ¹ 0 Û í ïï ïï sin 3x ¹ 0 î ïï sin 3x ¹ 0 î ( * ) Û cot 3x t an 2 x cot 2 2x - 1 = t an 2 x - cot 2 2x ( Page 28 ) " All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) www.VNMATH.com Ths. Lê Văn Đoàn æ ö 1 - cos 2x 1 + cos 4x 1 - cos 2x 1 + cos 4x ÷ Û cot 3x ç . - 1÷ = ç ÷ ç ÷ 1 + cos 2x 1 - cos 4x è1 + cos 2x 1 - cos 4x ø Û cot 3x é 1 - cos 2x ) ( 1 + cos 4x ) - ( 1 + cos 2x ) ( 1 - cos 4x ) ù ê ú ë( û = ( 1 - cos 2x ) ( 1 - cos 4x ) - ( 1 + cos 2x ) ( 1 + cos 4x ) Û cot 3x ( 2 cos 4x - 2 cos 2x ) = - 2 ( cos 4x + cos 2x ) Û cos 3x ( - 4 sin 3x sin x ) = - 4 cos 3x cos x sin 3x é êx = p + kp ê 6 3 ( k, l Î ¢ ) . ê p êx = + lp ê 4 ë 2 2 2 2 Cách khác: ( * ) Û cot 3x t an x cot 2x - 1 = t an x - cot 2x écos 3x = 0 Û cos 3x sin x = cos 3x cos x Û ê êt an x = 1 Û ê ë ( Û cot 3x = ) t an 2 x - cot 2 2x t an 2 2x t an 2 x - 1 ( 1 + t an 2x t an x ) ( 1 - t an 2x t an x ) = = t an 2 x cot 2 2x - 1 t an 2 x - t an 2 2x ( t an 2x - t an x ) ( t an 2x + t an x ) écos 3x = 0 Û cot 3x = cot x cot 3x Û ê êsin x = cos x (Giải tương tự như trên) ê ë æ xö ÷ ÷ 1 + t an x t an =4 ç Bài 50. Giải phương trình: cot x + sin x ç ( *) ÷ ç ÷ 2ø è Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối B năm 2006 Bài giải tham khảo ìï sin x ¹ 0 ïï ìï sin 2x ¹ 0 ïï ï x Û x¹ Điều kiện: í cos ¹ 0 Û ïí ïï ïï cos x ¹ 0 2 ïï cos x ¹ 0 ïïî 2 ïïî æ xö ç ÷ sin ÷ ç ÷ cos x sin x ç 2 ç ÷ =4Û ( * ) Û sin x + sin x çç1 + cos x . x ÷ ÷ ÷ ÷ ç cos ÷ ç ÷ ç è 2ø æ xö ÷ cos ç çx - ÷ ÷ ÷ ç 2ø cos x è Û + sin x. =4Û sin x x cos x cos 2 é ê2x = p + k2p 1 ê 6 Û sin 2x = Û ê Û 2 ê2x = 5p + l2p ê 6 ë " Cần cù bù thông minh…………" kp , (k Î ¢) . 2 æ x xö ç ÷ cos x cos + sin x sin ÷ ç ÷ cos x ç ÷ 2 2 ç ÷ + sin x ç =4 ÷ ç ÷ sin x x ÷ ç ÷ cos x cos ç ÷ ç è ø 2 cos x sin x + = 4 Û 1 = 4 sin x cos x sin x cos x é êx = p + k p ê 12 ê êx = 5p + lp ê 12 ë ( k, l Î ¢ ) . Page 29 Ths. Lê Văn Đoàn Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) So với điều kiện, họ nghiệm của phương trình là x = p 5p + kpÚ x = + lpÎ; ( k, l 12 12 ¢) . BÀI TẬP RÈN LUYỆN Câu 1. Câu 2. Giải phương trình: 2 sin x cos x - 2 cos x + 3 = 3 sin x . Giải phương trình: 2 t an x cos x + 1 = 2 cos x + t an x . Câu 3. Giải phương trình: sin 3 x cos x - cos 3 x sin x = Câu 4. Câu 5. Câu 6. Câu 7. 2. 8 Giải phương trình: cos2 x + cos2 2x + cos 2 3x = 1 . æ ö 17p 2 2 ÷ ÷ + 10x ç Giải phương trình: sin 2x - cos 8x = sin ç . ÷ ç ÷ è2 ø Giải phương trình: cos 4 x + sin 6 x = cos 2x . 1 - cos 4x sin 4x Giải phương trình: = 0. 2 sin 2x 1 + cos 4x 2 + 1. 2 æ x pö ÷ 2 - 3 cos x - 2 sin 2 ç ç - ÷ ÷ ÷ . ç è2 4 ø =1 2 cos x - 1 sin 4x + 3 sin 2x = t an x . cos10x + 2 cos2 4x + 6 cos 3x cos x = cos x + 8 cos x cos 3 3x . 2 cos2 x + 2 cos2 2x + 2 cos2 3x - 3 = cos 4x ( 2 sin 2x + 1) . Câu 8. Giải phương trình: sin x cos x + cos2 x = Câu 9. Giải phương trình: Câu 10. Giải phương trình: Câu 11. Giải phương trình: Câu 12. Giải phương trình: ( ) æ æ 7pö æ 5x ö p ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ 2x + 3 cos x = 1 + 2 sin x , " Îp ç ç ç Câu 13. Giải phương trình: sin ç ÷ ÷ ç ç ç3 ; 3 ÷ ÷ 2ø 2ø è è è ö ÷ ÷ . ÷ ÷ ø æ pö 2 2 ÷ 0; ÷ ç Câu 14. Giải phương trình: sin 4x - cos 6x = sin ( 10, 5p + 10x ) , " Î ç . ÷ ç ÷ è 2ø Câu 15. Giải phương trình: t an 2x - t an 3x - t an 5x = t an 2x t an 3x t an 5x . sin x + sin 2x + sin 3x Câu 16. Giải phương trình: = 3. cos x + cos 2x + cos 3x 1 + cos x Câu 17. Giải phương trình: t an 2 x = . 1 - sin x 4 Câu 18. Giải phương trình: cos x = cos2 x . 3 æ pö 1 1 ÷ x+ ÷ = + ç Câu 19. Giải phương trình: 2 2 sin ç . ÷ ç ÷ sin x cos x 4ø è Câu 20. Giải phương trình: 2 t an x + cot 2x = 3 + 2 . sin 2x 2 . sin 4x Câu 22. Giải phương trình: sin 2 x + sin 2 2x + sin 2 3x = 2 . Câu 21. Giải phương trình: 3 t an 3x + cot 2x = 2 t an x + Page 30 " All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) www.VNMATH.com Ths. Lê Văn Đoàn 25 - 4x ( 3 sin 2px + 8 sin px ) = 0 . Câu 23. Giải phương trình: sin 2x + 2 cos x = 0 . 1 + sin 2x sin x cot 5x Câu 25. Giải phương trình: = 1. cos 9x 2 Câu 26. Giải phương trình: 3 t an 6x = 2 t an 2x - cot 4x . sin 8x 1 + cos x Câu 27. Giải phương trình: t an 2 x = . 1 - sin x Câu 24. Giải phương trình: Câu 28. Giải phương trình: cos 3 x cos 3x + sin 3 x sin 3x = æö æö 5 4 x÷ 4 çx ÷ ÷ ÷ + cos = . ç ç Câu 29. Giải phương trình: sin ç ÷ ÷ ç ç3 ø ÷ ÷ 8 è3 ø è ( 2. 4 ) 2 Câu 30. Giải phương trình: 2 sin 3x 1 - 4 sin x = 1 . Câu 31. Giải phương trình: cos 3 x - 4 sin 3 x - 3 cos x sin 2 x + sin x = 0 . x x Câu 32. Giải phương trình: sin 4 + cos 4 = 1 - 2 sin x . 2 2 æ ö æ pö p ç ÷ ÷ = sin 2x sin ç3x - ÷ çx + ÷ Câu 33. Giải phương trình: sin ç . ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç 4ø 4ø è è Câu 34. Giải phương trình: t an 4 x + 1 = (2- ) sin 2 x sin 3x 4 cos x . æ ö x 2 ÷ ç1 + t an t an x ÷ Câu 35. Giải phương trình: t an x + cos x - cos x = sin x ç . ÷ ÷ ç 2 è ø æ p xö 7 2 2 ÷ , " x - 1 < 3. ç - ÷ Câu 36. Giải phương trình: sin x cos 4x - 2 sin 2x = 4 sin x ç ÷ ÷ 2 ç è4 2 ø Câu 37. Giải phương trình: sin x + sin 2x + sin 3x = 1 + cos x + cos 2x . Câu 38. Giải phương trình: cos2 x + cos2 2x + cos2 3x + cos2 4x = 2 . Câu 39. Giải phương trình: Câu 40. Giải phương trình: Câu 41. Giải phương trình: Câu 42. Giải phương trình: Câu 43. Giải phương trình: cos2 x ( cos x - 1) = 2 ( 1 + sin x ) . sin x + cos x sin x + sin 2x + sin 3x + sin 4x + sin 5x + sin 6x = 0 . cos x + cos 3x + 2 cos 5x = 0 . 9 sin x + 6 cos x - 3 sin 2x + cos 2x = 8 . ( cos x - sin x ) cos x sin x = cos x cos 2x . 2 Câu 44. Giải phương trình: ( 2 sin x + 1) ( 3 cos 4x + 2 sin x - 4 ) + 4 cos x = 3 . Câu 45. Giải phương trình: 2 sin 3 x - sin x = 2 cos 3 x - cos x + cos 2x . Câu 46. Giải phương trình: sin x + sin 2 x + sin 3 x + sin 4 x = cos x + cos2 x + cos 3 x + cos 4 x . 2 Câu 47. Giải phương trình: sin x ( t an x + 1) = 3 sin x ( cos x - sin x ) + 3 . Câu 48. Giải phương trình: t an 2x + cot x = 8 cos2 x . " Cần cù bù thông minh…………" Page 31 Ths. Lê Văn Đoàn Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) Câu 49. Giải phương trình: 3 ( cot x - cos x ) - 5 ( t an x - sin x ) = 2 . æ pö 1 1 ÷ x+ ÷ = + ç Câu 50. Giải phương trình: 2 2 sin ç . ÷ ç ÷ sin x cos x 4ø è B – PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ BẬC CAO ĐỐI VỚI MỘT HÀM LƯỢNG GIÁC  Dạng Đặt ẩn phụ a sin 2 x + b sin x + c = 0 a cos2 x + b cos x + c = 0 t = sin x t = cos x a t an 2 x + b t an x + c = 0 t = t an x a cot 2 x + b cot x + c = 0 t = cot x Điều kiện - 1 ££t 1 - 1 ££t 1 p + kp , (k Î ¢ ) 2 x ¹ kp , ( k Î ¢ ) x¹ Nếu đặt t = sin 2 x hoặc t = sin x thì điều kiện là 0 £ t £ 1 (tương tự cho cos ) Một số hằng đẳng thức lượng giác và mối liên hệ ● 1 + sin 2x = sin 2 x + cos2 x + 2 sin x cos x = ( sin x + cos x ) ● 1 - sin 2x = sin 2 x + cos2 x - 2 sin x cos x = ( sin x - cos x ) 2 2 sin 2x 2 3 3 ● sin x + cos x = ( sin x + cos x ) ( 1 - sin x cos x ) ● sin x cos x = 3 3 ● sin x - cos x = ( sin x - cos x ) ( 1 + sin x cos x ) sin x cos x sin 2 x + cos2 x 2 + = = cos x sin x sin x cos x sin 2x 2 2 cos x sin x cos x - sin x 2 cos 2x ● cot x - t an x = = = = 2 cot x sin x cos x sin x cos x sin 2x 1 1 1 3 + 1cos 4x ● sin 4 x + cos 4 x = 1 - sin 2 2x = + cos 2 2x = 2 2 2 4 4 4 2 2 2 2 ● cos x - sin x = sin x + cos x cos x - sin x = cos 2x ● t an x + cot x = ( )( ) 3 2 5 + 3 cos 4x sin 2x = 4 8 6 6 4 4 2 2 ● cos x - sin x = cos 2x sin x + cos x + sin x cos x ● sin 6 x + cos 6 x = sin 4 x + cos 4 x - sin 2 x cos 2 x = 1 - ( ● 1 + t an x t an Page 32 ) x 1 = 2 cos x " All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) www.VNMATH.com Ths. Lê Văn Đoàn æ p÷ ö æ p÷ ö ç ÷ x± ÷ = 2 cos x m ç ç ● sin x ± cos x = 2 sin ç ç ç ÷ ÷ 4÷ 4÷ è ø è ø cos x cos2 x 1 - sin 2 x 1 + sin x = = = ● (mối liên hệ giữa sinx và cosx) 1 - sin x cos x cos x ( 1 - sin x ) cos x ( 1 - sin x ) BÀI TẬP ÁP DỤNG ( *) x + cos 4x = 0 ( * ) Bài 51. 2 Giải phương trình: cos 4x + 12 sin x - 1 = 0 Bài 52. 4 4 Giải phương trình: cos x - sin Bài 53. æ cos 3x + sin 3x ö ÷ ÷ sin x + ç Giải phương trình: 5 ç ÷= 3 + cos 2x ç ÷ 1 + 2 sin 2x ø è Bài 54. Giải phương trình: Bài 55. Bài 56. sin 3x sin 5x = ( *) 3 5 sin 5x Giải phương trình: = 1 ( *) 5 sin x 2 2 Giải phương trình: cos 3x cos 2x - cos x = 0 ( *) , " x Îp( 0;2 ( 1) Bài 57. æ pö æ ö 3 p÷ 4 4 ÷ ç ÷ ÷ x sin 3x ç ç Giải phương trình: cos x + sin x + cos ç ÷ ç ÷- 2 = 0 ç ÷ 4ø 4÷ è è ø Bài 58. æ ö æ 7 p÷ ö æ 5p ÷ p ç ç ÷ ÷ 2x + 3 cos x = 1 + 2 sin x; " x Îp ;2 ç ç ç Giải phương trình: sin ç ÷ ÷ ç ç ç ÷ ÷ 2ø 2ø è è è2 Bài 59. 2 Giải phương trình: 5 sin x - 2 = 3 ( 1 - sin x ) t an x Bài 60. Bài 61. ( Giải phương trình: sin 2x + Giải phương trình: ( 2 ) 2 cos6 x + sin 6 x - sin x cos x 2 - 2 sin x Bài 62. Bài 63. Bài 64. Bài 65. Bài 66. Bài 67. ( ö ÷ ÷ ÷( * ) ÷ ø =0 (*) ( *) æ pö ç ÷ 1 + sin x + cos 2x sin çx + ÷ ( ) ÷ ÷ 1 ç 4ø Giải phương trình: è = cos x 1 + t an x 2 1 1 Giải phương trình: 2 sin 3x = 2 cos 3x + ( *) sin x cos x Giải phương trình: (*) ( *) æ pö ÷ 3 cos 2x - 5 = cos ç 2x - ÷ ç ÷ ç ÷ 6ø è ) ) ( *) ) cos x 2 sin x + 3 2 - 2 cos2 x - 1 = 1 ( *) 1 + sin 2x x 3x x 3x 1 Giải phương trình: cos x cos cos - sin x sin sin = ( *) 2 2 2 2 2 sin 4 x + cos 4 x 1 1 Giải phương trình: = cot 2x ( *) 5 sin 2x 2 8 sin 2x ( ) 2 2 Giải phương trình: 3 cot x + 2 2 sin x = 2 + 3 2 cos x " Cần cù bù thông minh…………" ( *) Page 33 Ths. Lê Văn Đoàn Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) Bài 68. 6 2 Giải phương trình: 3 cos 4x - 8 cos x + 2 cos x + 3 = 0 Bài 69. Giải phương trình: cot x = t an x + Bài 70. Giải phương trình: cot x - t an x + 4 sin 2x = Bài 71. 2 2 Giải phương trình: 2 sin x + t an x = 2 Bài 72. Giải phương trình: sin 8 x + cos 8 x = 2 cos 4x sin 2x ( *) 2 sin 2x Bài 75. Bài 76. Giải phương trình: 2 cos2 Bài 74. Bài 77. Bài 78. 6x 8x + 1 = 3 cos 5 5 æ pö 3 ÷ x- ÷ = t an x - 1 ç Giải phương trình: t an ç ÷ ç ÷ 4ø è sin 4 2x + cos4 2x æ ö æ Giải phương trình: p p ÷ t an ç t an ç ç - x÷ ç + ÷ ÷ è ç ç4 è4 ø ( *) ( *) 1 ( *) 8 17 Giải phương trình: sin 8 x + cos 8 x = cos2 2x ( * ) 16 5x x Giải phương trình: sin = 5 cos 3 x sin ( *) 2 2 2 Giải phương trình: sin 2x ( cot x + t an 2x ) = 4 cos x Bài 73. ( *) ( *) ( *) ( *) ( *) = cos4 4x ö ÷ x÷ ÷ ÷ ø 1 2 ( 1 + cot 2x cot x ) = 0 ( * ) 4 cos x sin 2 x 5 Bài 80. Giải phương trình: sin 8 x + cos 8 x = 2 sin 10 x + cos10 x + cos 2x 4 cos 2x 1 Bài 81. Giải phương trình: cot x - 1 = + sin 2 x - sin 2x ( * ) 1 + t an x 2 Bài 82. Giải phương trình: sin 2x + 2 t an x = 3 ( *) Bài 79. Giải phương trình: 48 - ( ) Bài 83. Giải phương trình: ( 1 - t an x ) ( 1 + sin 2x ) = 1 + t an x Bài 84. 2 Giải phương trình: cos 2x + cos x 2 t an x - 1 = 2 Bài 85. 3 Giải phương trình: sin 2x ( cos x + 3) - 2 3 cos x - 3 3 cos 2x + 8 Bài 86. æ 2 æ 1 ö 1 ö ÷ ÷ ç ÷ ÷ sin x + + 4 sin x + - 7=0 ç ç Giải phương trình: 4 ç ÷ ÷ 2 ç ç ÷ è ÷ sin x ø sin x ø è Bài 87. 2 Giải phương trình: t an x - t an x t an 3x = 2 ( ) ( *) ( *) Page 34 Giải phương trình: sin 2x + sin x - ( ) 3 cos x - sin x = 3 3 ( *) ( *) 1 1 = 2 cot 2x 2 sin x sin 2x 1 Bài 89. Giải phương trình: 2 cos 2x - 8 cos x + 7 = ( *) cos x Bài 90. Giải phương trình: 4 ( sin 3x - cos 2x ) = 5 ( sin x - 1) ( *) Bài 88. ( *) ( *) " All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) www.VNMATH.com Ths. Lê Văn Đoàn 1 1 = sin 2 x ( *) sin x sin 2 x æ 1 1 ö 2 ÷ ç ÷ 2 cos x + =1 ç Bài 92. Giải phương trình: cos x + ÷ 2 ç ÷ cos x ø cos x è Bài 91. Giải phương trình: sin x - ( *) 1 ( *) sin 2x 2 2 Bài 94. Giải phương trình: t an x + cot x + 2 ( 1 + t an x + cot x ) = 0 Bài 93. Giải phương trình: 2 t an x + cot x = 2 sin 2x + 11 - sin 2x 8 ( *) ( *) Bài 95. Giải phương trình: sin 4 x + cos 4 x = Bài 96. Giải phương trình: 4 sin 5 x cos x - 4 cos 5 x sin x = sin 2 4x ( *) æ æ pö pö ÷ ÷ ç ÷ ÷ 2x + + cos 2x + 4 sin x = 2 + 2 ( 1 - sin x ) ç ç Giải phương trình: cos ç ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ 4ø 4ø è è Bài 97. Bài 98. Giải phương trình: cos2 x + cos2 2x + cos2 3x + cos2 4x = Bài 99. Giải phương trình: sin 6 x + cos 6 x 1 = t an 2x 2 2 4 cos x - sin x Bài 100. Giải phương trình: sin 6 x + cos 6 x = sin 2x 3 2 ( *) ( *) ( *) ( *) HƯỚNG DẪN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ BẬC CAO ĐỐI VỚI MỘT HÀM LƯỢNG GIÁC  2 Bài 51. Giải phương trình: cos 4x + 12 sin x - 1 = 0 ( *) (Trích đề thi tuyển sinh Cao đẳng khối A, B, D năm 2011)  Lời bình: Trong bài toán toán có chứa hai cung x và 4x nên ta đưa về cùng một cung là 2x bằng công thức nhân đôi của cos 4x = 2 cos2 2x - 1 và công thức hạ bậc sin 2 x = ( *) Û 1 - cos 2x . Từ đó, đưa ta về phương trình bậc hai theo cos 2x . 2 Bài giải tham khảo 2 cos2 2x - 1 + 6 ( 1 - cos 2x ) - 1 = 0 Û cos 2 2x - 3 cos 2x + 2 = 0 ïìï t 2 - 3t + 2 = 0 Û í Û ïï t = cos 2x, t £ 1 ïî ét = 1 Ú t = 2 ê êt = cos 2x, t £ 1 Û cos 2x = 1 Û x = k p , ( k Î ¢ ) . ê ë 4 4 Bài 52. Giải phương trình: cos x - sin x + cos 4x = 0 ( *) (Trích đề thi tuyển sinh Cao đẳng Xây dựng số 2 năm 2007) " Cần cù bù thông minh…………" Page 35 Ths. Lê Văn Đoàn Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao)  Lời bình: Trong ví dụ này, cũng tồn tại hai cung khác nhau x và 4x nên ta đưa về cùng một cung là 2x , nhưng lần này cần phải kết hợp giữa hằng đẳng thức và công thức nhân đôi: 2 ( cos x ) - ( sin x ) 2 2 2 ( )( ) = cos2 x - sin 2 x sin 2 x + cos2 x = cos 2x . Còn cos 4x ta sẽ áp dụng công thức nhân đôi như trên để được phương trình bậc hai theo cos 2x . Bài giải tham khảo ( * ) Û ( cos 2 )( ) x - sin 2 x cos2 x + sin 2 x + 2 cos2 2x - 1 = 0 é êx = p + k p ê 2 ( k, l Î ¢ ) . ê êx = ± p + lp ê 6 ë écos 2x = - 1 ê 2 Û 2 cos 2x + cos 2x - 1 = 0 Û ê Û êcos 2x = 1 ê 2 ë æ cos 3x + sin 3x ö ÷ ÷ sin x + = 3 + cos 2x ç Bài 53. Giải phương trình: 5 ç ÷ ç ÷ 1 + 2 sin 2x ø è ( *) , " x Îp( 0;2 ) (Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối A năm 2002)  Lời bình: Trong bài toán này, có chứa đồng thời ba cung x, 2x, 3x và ta không thể đưa cung x của sin x về cung 2x được (không có công thức lượng giác nào), do đó chỉ còn cách duy nhất là đưa ba cung này về cùng cung x . Nhận thấy rằng, trong vế trái phương trình có chứa cos 3x + sin 3x , ta nên phân tích hai thành phần này trước để tránh lập lại và dài dòng khi giải phương trình. Còn cos 2x tất nhiên đưa về cung x bằng công thức nhân đôi: cos 2x = cos2 x - sin 2 x = 2 cos2 x - 1 = 1 - 2 sin 2 x , nhưng trong ba công thức đó, ta sẽ áp dụng công thức nào ? Câu trả lời là "dựa vào sự biến đổi của vế trái để chọn công thức phù hợp". ● Điều kiện: 1 + 2 sin 2x ¹Û¹ 0 ( Bài giải tham khảo 1 sin 2x - . 2 ) ( 3 3 Ta có: cos 3x + sin 3x = 4 cos x - 3 cos x + 3 sin x - 4 sin x ) ( ) = - 3 ( cos x - sin x ) + 4 ( cos x - sin x ) = ( cos x - sin x ) é - 3 + 4 ( cos x + cos x sin x + sin x ) ù ê ú ë û = - 3 ( cos x - sin x ) + 4 cos 3 x - sin 3 x 3 2 3 2 = ( cos x - sin x ) ( 1 + 2 sin 2x ) . æ ( cos x - sin x ) ( 1 + 2 sin 2x ) ö÷ ç ÷ ç * Û 5 sin x + = 3 + cos 2x ÷ ( ) ç ÷ ç ÷ 1 + 2 sin 2x ÷ ç è ø Û 5 ( sin x + cos x - sin x ) = 2 cos2 x - 1 é êcos x = 1 p 2 Û 2 cos x - 5 cos x - 1 = 0 Û ê Û x = ± + k2p , ( k Î ¢ ) . 2 ê 3 cos x = 2 ( L ) ê ë p ● Kết hợp với điều kiện, ta được họ nghiệm là x = ± + k2pÎ, ( k ¢ ) do sin 2x = ± 3 ¹ - 1 . 3 2 2 Page 36 " All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) www.VNMATH.com Ths. Lê Văn Đoàn é êx = p ê 3 ● Do x Î ( 0;2p) nên ê 5 êx = p ê 3 ë sin 3x sin 5x = ( *) 3 5 (Trích đề thi tuyển sinh Đại học Thủy Lợi năm 2000)  Lời bình: Từ việc xuất hiện hai cung 3x, 5x = x + 4x , ta có thể đưa chúng về cùng một cung x theo công thức nhân ba và cộng cung để xuất hiện nhân tử chung (cách giải 1). Hơn nữa, trong bài xuất hiện số 3 và 5 , ta cũng có thể tách 5 = 2 + 3 và nhóm chúng một cách khéo léo lại với nhau, áp dụng công thức tổng thành tích (cách giải 2). Bài 54. Giải phương trình: Bài giải tham khảo ● Cách giải 1 ( *) Û ( ) 5 sin 3x = 3 sin ( x + 4x ) Û 5 3 sin x - 4 sin 3 x = 3 ( sin x cos 4x + cos x sin 4x ) ( ) 5 sin x ( 3 - 4 sin x ) = 3 sin x ( cos 4x + 4 cos x cos 2x ) sin x é 5 3 - 4 sin x ) - 3 ( cos 4x + 4 cos x cos 2x ) ù =0 ê ú ë( û sin x ( - 12 cos 2x + 4 cos 2x + 8 ) = 0 Û sin x ( 3 cos 2x + cos 2x - 2) = 0 Û 5 sin x 3 - 4 sin 2 x = 3 ( sin x cos 4x + 2 cos x sin 2x cos 2x ) Û Û Û 2 2 2 2 2 2 é é ê ê êsin x = 0 êx = k p ê ê Û êcos 2x = 1 Û êx = lp Û ê ê 2 a ê ê êcos 2x = êx = ± + m2p ê ê 3 2 ë ë ● Cách giải 2 ( *) Û éx = kp æ ê 2ö ÷ ç ê ÷ , k, l, m Î ¢ ; cos a = ç . a ÷ ç êx = ± + m2p è ÷ 3ø ê 2 ë 5 sin 3x = 3 sin 5x Û 2 sin 3x = 3 ( sin 5x - sin 3x ) ( ) ( ) Û 2 sin x 3 - 4 sin 2 x = 6 cos 4x sin x Û 2 sin x 3 - 4 sin 2 x - 3 cos 4x = 0 Û sin x é 3 - 2 ( 1 - cos 2x ) - 3 2 cos2 2x - 1 ù = 0 Û sin x 3 cos2 2x + cos 2x - 2 = 0 . ê ú ë û Giải tương tự như trên. ( Bài 55. Giải phương trình: Điều kiện: sin x ¹ 0 ) ( ) sin 5x = 1 ( *) 5 sin x (Trích đề thi tuyển sinh Đại học Mỏ – Địa Chất năm 1997) Bài giải tham khảo ● Cách giải 1 " Cần cù bù thông minh…………" Page 37 Ths. Lê Văn Đoàn ( *) Û Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) sin 5x - sin x = 4 sin x Û 2 cos 3x sin 2x = 4 sin x Û 4 cos 3x sin x cos x - 4 sin x = 0 Û 4 sin x ( cos 3x cos x - 1) = 0 Û 2 sin x ( cos 4x + cos 2x - 1) = 0 ésin x = 0 ( L ) Û sin x 2 cos2 2x + cos 2x - 3 = 0 Û ê ê2 cos2 2x + cos 2x - 3 = 0 ê ë écos 2x = 1 2 Û ê êcos 2x = - 1, 5 L Û 1 - cos 2x = 0 Û 2 sin x = 0 Û sin x = 0 ( L ) ( ) ê ë Vậy phương trình vô nghiệm. ( ) ● Cách giải 2 ( *) Û sin ( 2x + 3x ) = 5 sin x Û sin 2x cos 3x + sin 3x cos 2x = 5 sin x ( ) ( )( ) ( Û 2 sin x cos x 4 cos 3 x - 3 cos x + 3 sin x - 4 sin 3 x cos 2 x - sin 2 x = 5 sin x sin 2 x + cos2 x ( ) 2 ) Û 12 sin 5 x + 20 cos2 x sin 3 x = 0 Û sin 3 x 12 sin 2 x + 20 cos2 x = 0 ésin 3 x = 0 ( L) Û sin x 12 + 8 cos x = 0 Û ê ê0 < 12 + 8 cos2 x = 0 L ( ) ê ë Vậy phương trình vô nghiệm. 3 ( 2 ) WWW.VNMATH.COM 2 2 Bài 56. Giải phương trình: cos 3x cos 2x - cos x = 0 ( 1) (Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối A năm 2005) Bài giải tham khảo 1 + cos 6x 1 + cos 2x . cos 2x = 0 Û cos 6x cos 2x - 1 = 0 2 2 Cách giải 1 ( 1) Û ( 2) Û ( 4 cos 3 ( 2) ) 2x - 3 cos 2x cos 2x - 1 = 0 Û 4 cos 4 2x - 3 cos 2 2x - 1 = 0 écos2 2x = 1 ê Û ê 2 êcos 2x = - 1 ê 4 ë Cách giải 2 ( L) ( 2) Û 21 ( cos 8x + cos 4x ) - Û sin 2x = 0 Û 2x = k p Û x = kp , (k Î ¢) . 2 1 = 0 Û cos 8x + cos 4x - 2 = 0 Û 2 cos 2 4x + cos 4x - 3 = 0 écos 4x = 1 ê kp Û ê Û 4x = k2p Û x = , (k Î ¢) . 3 êcos 4x = 2 L ( ) ê 2 ë Cách giải 3. Phương trình lượng giác không mẫu mực écos 6x = cos 2x = 1 ( 2) Û êêcos 6x = cos 2x = - 1 Û x = k2p , ( k Î ¢ ) . ê ë Page 38 " All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) www.VNMATH.com Ths. Lê Văn Đoàn Cách giải 4. Phương trình lượng giác không mẫu mực ( 2) Û cos 8x + cos 4x - 2 = 0 Û cos 8x = cos 4x = 1 Û x = kp , (k Î ¢) . 2 æ p÷ ö æ ö 3 p÷ 4 4 ç ÷ ÷ x sin 3x = 0 (*) ç ç Bài 57. Giải phương trình: cos x + sin x + cos ç ÷ ÷ ç ç 4÷ 4÷ è ø è ø 2 (Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối D năm 2005) Bài giải tham khảo ù 3 ö 1 2 1é æ p÷ ç ú÷ sin 2x + ê sin 4x + sin 2x ç ÷ ê ú 2 =0 ÷ ç 2 2ê 2 è ø ú ë û 1 1 1 Û - sin 2 2x - ( - cos 4x + sin 2x ) =0 2 2 2 1 1 1 1 Û - sin 2 2x 1 - 2 sin 2 2x + sin 2x =0 2 2 2 2 ésin 2x = 1 p Û sin 2 2x + sin 2x - 2 = 0 Û ê êsin 2x = - 2 L Û x = 4 + k p, ( k Î ¢ ) . ( ) ê ë ( *) Û 1- ( ) æ æ 7p ö æ 5pö p ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ 3 cos x = 1 + 2 sin x; " x Îp ç2x + ç ç ;2 Bài 58. Giải phương trình: sin ç ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ç2 2ø 2ø è è è  Lời bình: Từ việc xuất hiện các số ö ÷ ÷ ( *) ÷ ÷ ø 5p 7p p là những bội số của , làm ta liên tưởng đến câu , 2 2 2 "cos đối – sin bù – phụ chéo", thật vậy, các bạn để ý cách giải sau: Bài giải tham khảo ép ù ép ù sin ê - ( - 2x - 2p) ú- 3 cos ê - ( - x + 4p) ú= 1 + 2 sin x ê2 ú ê2 ú ë û ë û Û cos é - 2x + 2p) ù - 3 sin ( - x + 4p) = 1 + 2 sin x Û cos 2x + 3 sin x = 1 + 2 sin x ê ú ë( û éx = kp ê ésin x = 0 êé ê êx = p + l2p 2 Û - 2 sin x + sin x = 0 Û ê Û êê ( k; l; m Î ¢ ) . ê 1 6 êsin x = êê ê 5p êê 2 ë + m2p êêx = ê 6 ëë ìï x = k p ìï p ì ïï ïï < kp < 2p ïïï 1 < k < 2 æ öÞ í 2 Û í2 Þ k =1Þ x =p . ● Với ïí p ïï k Î ¢ , x Î ç ïï k Î ¢ ïï k Î ¢ ÷ ç ;2p÷ ÷ ÷ ïîï ç ïïî è2 ø îïï ( *) Û " Cần cù bù thông minh…………" Page 39 Ths. Lê Văn Đoàn Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) ìï ïï x = p + l2p ï 6 ● Với ïí æ öÞ p ïï ÷ ç ÷ l Î ¢ , x Î ;2 p ç ïï ÷ ÷ ç è2 ø ïî nghiệm x = ìï p p ìï 1 11 ï ï ïí < + l2p < 2p Û ïí < l < 12 Þ Không tồn tại l Î ¢ nên loại ïï l2Î ¢ 6 ïï l6Î ¢ ïîï ïïî p + l2p . 6 ìï ïï x = 5p + m2p ï 6 Þ ● Với ïí æ ö p ïï ÷ ç ;2p÷ ïï m Î ¢ , x Î ç ÷ ç ÷ 2 è ø ïî ìï p 5p ìï 1 ï < ï- < l < 7 5p + m2 p < 2 p ïí ï Û í 6 Þ m =0Þ x = . 2 6 12 ïï m Î ¢ ïï m Î ¢ 6 ïîï ïïî 2 Bài 59. Giải phương trình: 5 sin x - 2 = 3 ( 1 - sin x ) t an x ( *) (Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối B năm 2004) Bài giải tham khảo Điều kiện: cos x ¹ 0 Û sin x ¹ ±1 . sin 2 x sin 2 x * Û 5 sin x 2 = 3 1 sin x Û 5 sin x 2 = 3 1 sin x ( ) ( ) cos2 x ( ) 1 - sin 2 x sin 2 x Û 5 sin x - 2 = 3 Û 2 sin 2 x + 3 sin x - 2 = 0 1 + sin x é é 1 êx = p + k2p êsin x = N ( ) Û êê 6 Û ê 2 ( k, l Î ¢ ) . ê 5p ê sin x = 2 L ê ( ) êx = + l2p ë 6 ë ( Bài 60. Giải phương trình: sin 2x + 2 æ pö ÷ 3 cos 2x - 5 = cos ç 2x - ÷ ç ç ÷ 6÷ è ø ) ( *) Bài giải tham khảo 2 æ æ p pö pö ÷ ç ÷ ÷ 5 = cos 2x ç ( * ) Û 4 çççcos 2x cos 6 + sin 2x sin 6 ÷ ÷ ÷ ç ÷ ÷ 6ø è ø è æ æ pö pö ÷ ÷ ç ÷ ÷ Û 4 cos2 ç 2x cos 2x - 5=0 ç ç ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ 6ø 6ø è è é æ pö ÷ êcos ç ÷ 2x =- 1 ç ÷ ê ç ÷ p 7p 6 è ø ê Û ê Û 2x = p + k2p Û x = + kp , ( k Î ¢ ) . æ ö p 5 6 12 ÷ êcos ç 2x - ÷ = > 1 ( L) ÷ ê ç ç ÷ 4 6ø è ê ë Bài 61. Giải phương trình: Page 40 ( ) 2 cos6 x + sin 6 x - sin x cos x = 0 ( *) 2 - 2 sin x flower ofsinh tomorrow arec in thei seeks of today……" (Trí"cAll h đềthethi tuyển Đại họ khố A năm 2006) Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) www.VNMATH.com Ths. Lê Văn Đoàn Bài giải tham khảo ● Điều kiện: 2 - 2 sin x ¹Û¹0 sin x 2. 2 æ 1 2 ÷ ö 1 x + sin 6 x - sin x cos x = 0 Û 2 ç - sin 2x = 0 ç1 - sin 2x ÷ ÷ ÷ ç è 2 ø 2 ésin 2x = 1 p 2 Û - 2 sin 2x - 2 sin 2x + 4 = 0 Û ê êsin 2x = - 2 L Û x = 4 + k p , ( k Î ¢ ) ( ) ê ë æ ö p 2 p ÷ ÷ + k p = ±1 ¹ ● Thay vào đk: sin ç nên họ nghiệm phương trình là x = + k pÎ, ( k ç ÷ ç ÷ 2 è4 ø 4 ( * ) Û 2 ( cos ) 6 æ ö p÷ ÷ ÷ 4÷ 1 ø = cos x ( * ) 1 + t an x 2 (Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối A năm 2010) ( 1 + sin x + cos 2x ) sin çççèx + Bài 62. Giải phương trình: Bài giải tham khảo ïìï 1 + t an x ¹¹ 0 ïì t an x - 1 Û ïí ● Điều kiện: í ïï cos x ¹ 0 ïï sin x ¹ ±1 î î æ pö æ sin x ö 2 ÷ ç ÷ ÷ 1 + sin x + 1 2 sin x = cos x 1+ ç ( * ) Û 2 sin çççx + 4 ÷ ÷ ÷ ç ÷ ÷ è ø è cos x ø ( ( ( sin x + cos x ) ( - 2 sin ) ) x + sin x + 1) = 0 Û ( sin x + cos x ) - 2 sin 2 x + sin x + 2 = cos x + sin x Û 2 é êt an x = - 1 L ( ) éêx = - p + k2p ê ésin x + cos x = 0 ê ê 6 Û ê sin x = 1 L) Û ê ( ( k, l Î ¢ ) . ê- 2 sin 2 x + sin x + 1 = 0 Û ê 7 p ê ê ê ë + l2p 1 ê êx = 6 N) ë êsin x = ( ê 2 ë Bài 63. Giải phương trình: 2 sin 3x - 1 1 = 2 cos 3x + sin x cos x ( *) Bài giải tham khảo ìï sin x ¹ 0 ï Û sin 2x ¹ 0 ● Điều kiện: í ïï cos x ¹ 0 î " Cần cù bù thông minh…………" ¢) . Page 41 Ths. Lê Văn Đoàn ( * ) Û 2 ( sin 3x - Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) cos 3x ) = 1 1 + sin x cos x ( ) Û 2 3 sin x - 4 sin 3 x - 4 cos 3 x + 3 cos x = Û 2é 3 ( sin x + cos x ) - 4 sin 3 x + cos 3 x ê ë ( ) ùúû= sin x + cos x sin x cos x sin x + cos x sin x cos x Û 2é 3 ( sin x + cos x ) - 4 ( sin x + cos x ) sin 2 x - cos x sin x + cos 2 x ê ë ù- sin x + cos x = 0 Û 2 ( sin x + cos x ) é ê3 - 4 ( 1 - sin x cos x ) û ú sin x cos x ë é æ 1 ö 2 ù ÷ ç ú= 0 ÷ Û ( sin x + cos x ) ê 3 4 1 sin 2x ç ÷ ê ú ç ÷ 2 sin 2x è ø ê ú ë û ( ( ) ùúû= sinsinxx+coscosxx ) Û ( sin x + cos x ) 2 sin 2 2x - sin 2x - 1 = 0 é êx = ± p + kp ét an x = - 1 ê ê 4 ê ésin x + cos x = 0 ê 1 p ê ê Û ê ê2 sin 2 2x - sin 2x - 1 Û êsin 2x = - 2 Û êx = - 12 + lp ( k, l, m Î ¢ ) . ê ê ê ë ê 7p êsin 2x = 1 êx = + mp ê ë ê 12 ë p p 7p ● Vậy họ nghiệm cần tìm là x = ± + kpÚ x = + lpÚ x = + m pÎ ( k, l, m 4 12 12 Bài 64. Giải phương trình: ( ) cos x 2 sin x + 3 2 - 2 cos2 x - 1 1 + sin 2x =1 ¢) . ( *) Bài giải tham khảo Điều kiện: sin 2x ¹ - 1 Û x ¹ - ( *) Û p + kp 4 2 sin x cos x + 3 2 cos x - 2 cos2 x - 1 = 1 + sin 2x écos x = 2 ê Û 2 cos2 x - 3 2 cos x + 2 = 0 Û ê ê 2 êcos x = ê 2 ë Bài 65. Giải phương trình: cos x cos é êx = p + k2p ( N ) ê 4 Û ê ( N ) êêx = - p + l2p ( L) 4 ë ( L) x 3x x 3x 1 cos - sin x sin sin = 2 2 2 2 2 ( *) Bài giải tham khảo 1 1 1 cos x ( cos 2x + cos x ) + sin x ( cos 2x - cos x ) = 2 2 2 2 Û cos x cos 2x + cos x + sin x cos 2x - sin x cos x = 1 ( *) Û Page 42 " All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) www.VNMATH.com Ths. Lê Văn Đoàn Û cos 2x ( cos x + sin x ) = 1 - cos2 x + sin x cos x Û cos 2x ( cos x + sin x ) = sin 2 x + sin x cos x Û cos 2x ( cos x + sin x ) - sin x ( sin x + cos x ) = 0 Û ( sin x + cos x ) ( cos 2x - sin x ) = 0 ( ) Û ( sin x + cos x ) 1 - 2 sin 2 x - sin x = 0 é êx ê é ê ê êx êt an x = - 1 ésin x + cos x = 0 ê ê ê Û ê 2 Û êsin x = - 1 Û ê ê 2 sin x + sin x - 1 = 0 ê ê ë êx 1 ê ê êsin x = ê ê 2 ë êx ê ë Bài 66. Giải phương trình: p + kp 4 p = - + l2p 2 p = + m2p 6 5p = + n2p 6 =- ( k, l, m, n Î ¢ ) . sin 4 x + cos4 x 1 1 = cot 2x ( *) 5 sin 2x 2 8 sin 2x (Trích đề thi dự bị 2 tuyển sinh Đại học khối A năm 2002) Bài giải tham khảo ● Điều kiện: sin 2x ¹ 0 Û cos 2x ¹ ±1 1 1 - sin 2 2x æ 1 2 ÷ ö 2x 1 ÷ Û 8ç 1 sin 2x = 20 cos 2x - 5 ç ( * ) Û 5 2sin 2x = 21 cos ÷ ç ÷ sin 2x 8 sin 2x è 2 ø Û 4 sin 2 2x + 20 cos 2x - 13 = 0 Û - 4 cos2 2x + 20 cos 2x - 9 = 0 é êcos 2x = 9 ( L ) p ê 2 Û ê Û x = ± + kp , ( k Î ¢ ) . 6 êcos 2x = 1 N ( ) ê 2 ë ( ) 2 2 Bài 67. Giải phương trình: 3 cot x + 2 2 sin x = 2 + 3 2 cos x ( *) Bài giải tham khảo ● Điều kiện: sin x ¹ 0 Û cos x ¹ ±1 . cos2 x cos x 2 * Do sin x ¹ 0 nên chia hai vế ( ) cho sin x , ta được: ( * ) Û 3 + 2 2 = 2+ 3 2 4 sin x sin 2 x écos x ìï ïìï 3t 2 + 2 + 3 2 t - 2 2 = 0 ïï t = 2 Ú t = 2 ê = 2 ïï êsin 2 x ï 3 Û í Û Û í ê ïï t = cos x ïï cos x 2 êcos x t = = 2 ïï ï ê sin x ïïî î êsin 2 x 3 sin 2 x ë ( ( ) ) " Cần cù bù thông minh…………" Page 43 Ths. Lê Văn Đoàn Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) écos x - 2 sin 2 x = 0 é 2 cos2 x + cos x - 2 = 0 ê Û ê 2 Û ê ê 2 ê2 sin x - 3 cos x = 0 ê2 cos x + 3 cos x - 2 = 0 ë ë é écos x = - 2 L ( ) éêcos x = - 2 ( L) êêx = ± p + k2p ê 4 Û ê Ú ê Û ê ( k, l Î ¢ ) . ê 2 êcos x = 1 p ê N ( ) N) êcos x = ( ê êx = ± + l2p 2 ë ê 2 ë 3 ë 6 2 Bài 68. Giải phương trình: 3 cos 4x - 8 cos x + 2 cos x + 3 = 0 ( *) (Trích đề thi dự bị 1 Đại học khối B năm 2003) Bài giải tham khảo ( * ) Û 3 ( 2 cos 2 ) 6 2x - 1 - 8 cos x + 2 cos2 x + 3 = 0 Û 3 cos2 2x - 4 cos 6 x + cos2 x = 0 ( ) 2 Û 3 2 cos2 x - 1 - 4 cos 6 x + cos2 x = 0 Û - 4 cos6 x + 12 cos4 x - 11cos2 x + 3 = 0 é 1 êt = ( N ) é 2 ê 2 é2 cos2 x - 1 = 0 ïì - 4t 2 + 12t - 11t + 3 = 0 êcos x = 1 ê ê ï Û í Û êt = 1 ( N ) Û ê 2Û ê 2 ê ïï t = cos2 x ³ 0 ê êsin x = 0 cos2 x = 1 ê ïî ë ê 3 ë êt = ( L ) ê ë 2 é écos 2x = 0 êx = p + k p ê Û ê Û ê 4 2 ( k, l Î ¢ ) . ê sin x = 0 ê x = lp ë ê ë Bài 69. Giải phương trình: cot x - t an x = 2 cos 4x sin 2x ( *) (Trích đề thi dự bị 1 khối B năm 2003)  Lời bình: Từ việc xuất hiện cot x - t an x và sin 2x , ta xem chúng có mối hệ như thế nào ? Có đưa về nhân tử chung hay cùng một cung hay không ? Câu trả lời nằm ở đầu đề: "các hằng đẳng thức lượng giác và mối liên hệ". Thật vậy, ta có: cos x sin x cos2 x - sin 2 x 2 cos 2x . cot x - t an x = = = sin x cos x sin x cos x sin 2x Bài giải tham khảo ìï sin x ¹ 0 ìï sin x ¹ ±1 ïï ïï ï ï ● Điều kiện: í cos x ¹ 0 Û í cos x ¹ ±1 ïï ïï ïï sin 2x ¹ 0 ïï cos 2x ¹ ±1 î î cos 2x 2 cos 4x = Û 2 cos2 2x - cos 2x - 1 = 0 ( * ) Û 2sin 2x sin 2x Page 44 " All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) www.VNMATH.com Ths. Lê Văn Đoàn écos 2x = 1 ( L ) ê 2p p Û ê Û 2x = ± + k2p Û x = ± + kp , ( k Î ¢ ) . 1 êcos 2x = 3 3 ê 2 ë Bài 70. Giải phương trình: cot x - t an x + 4 sin 2x = 2 sin 2x ( *) Bài giải tham khảo ìï sin x ¹ 0 ìï sin x ¹ ±1 ïï ïï ï ï ● Điều kiện: í cos x ¹ 0 Û í cos x ¹ ±1 ïï ïï ïï sin 2x ¹ 0 ïï cos 2x ¹ ±1 î î x sin x 2 2 cos 2x 2 + 4 sin 2x = Û + 4 sin x = ( * ) Û cos sin x cos x sin 2x sin 2x sin 2x 2 2 Û cos 2x + 2 sin 2x - 1 = 0 Û 2 cos 2x - cos 2x - 1 = 0 écos 2x = 1 ( L ) ê 2p p Û ê Û 2x = ± + k2p Û x = ± + kp , ( k Î ¢ ) . êcos 2x = - 1 3 3 ê 2 ë 2 2 Bài 71. Giải phương trình: 2 sin x + t an x = 2 ( *) Bài giải tham khảo ● Điều kiện: cos x ¹ 0 Û x ¹ p + kp . 2 ● Cách giải 1 ( *) Û 2 sin 2 x 1 . cos2 x + t an 2 x = 2 Û 2 t an 2 x. + t an 2 x = 2 2 2 cos x 1 + t an x Û 2 t an 2 x + t an 2 x + t an 4 x = 2 + 2 t an 2 x Û t an 4 x + t an 2 x - 2 = 0 ét an 2 x = 1 p Û ê êt an 2 x = - 2 L Û t an x = ±1 Û x = ± 4 + k2p , ( k Î ¢ ) . ( ) ê ë ● Cách giải 2 sin 2 x = 2 Û 2 sin 2 x cos2 x + sin 2 x - 2 cos2 x = 0 2 cos x 2 Û 2 1 - cos x cos2 x + 1 - cos2 x - 2 cos2 x = 0 Û 2 cos 4 x + cos2 x - 1 = 0 ( * ) Û 2 sin 2 x + ( ) écos2 x = - 1 ( L ) ê p kp p Û ê 2 Û 2 cos2 x - 1 = 0 Û cos 2x = 0 Û x = + = ± + k p, ( k Î ¢ ) . 1 êcos x = 4 2 4 ê 2 ë 1 ( *) 8 Trích đề thi tuyển sinh Học Viện Quân Y năm 1997 Page 45 Bài 72. Giải phương trình: sin 8 x + cos8 x = " Cần cù bù thông minh…………" Ths. Lê Văn Đoàn Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) Bài giải tham khảo ( Ta có: sin 8 x + cos 8 x = sin 4 x + cos 4 x ) 2 - 2 sin 4 x cos 4 x 2 2 é ù 1 = êsin 2 x + cos2 x - 2 sin 2 x cos2 x ú - sin 4 2x ê ú ë û 8 ( ) 2 æ 1 2 ÷ ö 1 4 =ç - sin 2x ç1 - sin 2x ÷ ÷ ÷ ç è 2 ø 8 = 1 - sin 2 2x + 1 4 sin 2x 8 1 4 1 sin 2x = Û sin 4 2x - 8 sin 2 2x + 7 = 0 8 8 ésin 2 2x = 7 > 1 ( L ) p kp Û ê Û cos 2x = 0 Û x = + ,( k Î ¢ ) . êsin 2 2x = 1 4 2 ê ë ( *) Û 1 - sin 2 2x + 17 cos2 2x ( * ) 16 (Trích đề thi tuyển sinh Đại học Ngoại Thương năm 1995) Bài 73. Giải phương trình: sin 8 x + cos 8 x = Bài giải tham khảo ( Ta có: sin 8 x + cos 8 x = sin 4 x + cos 4 x ) 2 - 2 sin 4 x cos 4 x 2 2 é ù 1 = êsin 2 x + cos2 x - 2 sin 2 x cos2 x ú - sin 4 2x ê ú 8 ë û ( ) 2 æ 1 2 ÷ ö 1 4 1 =ç - sin 2x = 1 - sin 2 2x + sin 4 2x ç1 - sin 2x ÷ ÷ ÷ ç 8 è 2 ø 8 æ 1 4 ö 17 2 ç ÷ * Û 16 1 sin 2x + sin 2x ÷ = 1 - sin 2 2x Û 2 sin 4 2x + sin 2 2x - 1 = 0 ç ( ) ÷ ÷ ç 8 è ø 16 ésin 2 2x = - 1 ( L ) ê 1 1 p kp Û ê 2 Û ( 1 - cos 4x ) = Û cos 4x = 0 Û x = + ,( k Î ¢ ) . 1 êsin 2x = 2 2 8 4 ê 2 ë ( Bài 74. Giải phương trình: sin ) 5x x = 5 cos3 x sin 2 2 ( *) Bài giải tham khảo x ,( k ● Do cos = 0 Û x = p + k2pÎÛ 2 Page 46 ¢) ìï cos x = - 1 ïï í ïï sin x = ±1 ïïî 2 " All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) www.VNMATH.com Ths. Lê Văn Đoàn ìï æ ö æ ö 5p p ÷ ÷ ïï VT : ( * ) Û sin ç ç ÷ ÷ + 5k p = sin + 5k p = ±1 ç ç x ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç2 Þ cos = 0 không là nghiệm ( * ) . Nên ïí è2 ø è ø ïï 2 3 ïïî VP : ( * ) Û 5 cos x sin x = ±5 x ● Nhân hai vế ( * ) cho cos ¹ 0, ( Û cos x ¹ - 1 Û sin x ¹ 0) , ta được: 2 ( * ) Û sin 5x2 cos x2 = 5 cos2 x sin x2 cos x2 1 5 Û ( sin 3x + sin 2x ) = cos 3 x sin x 2 2 3 Û 3 sin x - 4 sin x + 2 sin x cos x = 5 cos 3 x sin x ( ) Û sin x 3 - 4 sin 2 x + 2 cos x - 5 cos 3 x = 0 ésin x = 0 Û ê ê5 cos 3 x - 4 cos2 x - 2 cos x - 1 = 0 ê ë ésin x = 0 ê êcos x = 1 ìï éx = k2p ïï cos a = - 1 - 21 ê ê ê ï 10 Û êcos x = - 1 - 21 = cos a Û ê x = ±a + l2p ( k, l, m Î ¢ ) với ïí ê ê ï ê ïï cos β = - 1 + 21 10 ê x = ±b + m2p ê ïïî ê ë 10 êcos x = - 1 + 21 = cos β ê 10 ë 2 Bài 75. Giải phương trình: sin 2x ( cot x + t an 2x ) = 4 cos x ( *) Bài giải tham khảo ìï cos 2x ¹ 0 ìï sin 2x ¹ ±1 ï Û ïí ● Điều kiện: í ïï sin x ¹ 0 ïï cos x ¹ ±1 î î cos x sin 2x cos x cos 2x + sin x sin 2x cos x ● Ta có: cot x + t an 2x = + = = sin x cos 2x sin x cos 2x sin x cos 2x x = 4 cos2 x ( * ) Û 2 sin x cos x sin cos x cos 2x 2 cos x Û = 2 cos2 x cos 2x Û cos2 x - 2 cos2 x cos 2x = 0 Û cos2 x ( 1 - 2 cos 2x ) = 0 écos2 x = 0 Û ê ê1 - 2 cos 2x = 0 Û ê ë é écos x = 0 ( N ) êx = p + kp ê ê 2 ê Û ê ( k, l Î ¢ ) . 1 êcos 2x = ( N ) p ê ê êx = ± + l p 2 ë 6 ë Bài 76. Giải phương trình: 2 cos2 " Cần cù bù thông minh…………" 6x 8x + 1 = 3 cos 5 5 ( *) Page 47 Ths. Lê Văn Đoàn Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) Bài giải tham khảo æ ö æ ö 12x 2 4x ÷ ç ÷ ÷ + 1 = 3 2 cos 1 ç ( * ) Û ççç1 + cos 5 ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ç 5 è ø è ø 4x 4x 4x - 3 cos - 6 cos 2 + 5=0 5 5 5 é 4x êcos =1 ( N) é ê 5 ê êx = 5k p ê 4x 1 - 21 ê 2 Û êcos = N) Û ê ( ( k, l Î ¢ ) . ê 5 4 êx = ± 5a + l 5p ê ê 4 2 êcos 4x = 1 + 21 L ë ( ) ê 4 ê ë 5 Û 4 cos3 æ pö 3 ÷ x- ÷ = t an x - 1 ç Bài 77. Giải phương trình: t an ç ÷ ç ÷ 4ø è ( *) Bài giải tham khảo Đặt: t = x - p p Þ x=t+ 4 4 p ìï t an + t an t æ ö ïï t an 3 t = 1 + t an t - 1 p 3 3 ÷ 4 ç ÷ Û t an t = 1 * Û t an t = t an t + 1 Û í ç ( ) 1 - t an t ÷ ç ïï t an t ¹ 1 Ù cos t ¹ 0 p è 4÷ ø 1 - t an t an t ïïî 4 ìï t an 3 t - t an 4 t = 2 t an t ïì t an t t an 3 t - t an 2 t + 2 = 0 Û ïí Û ïí ïï t an t ¹ 1 Ù cos t ¹ 0 ïï t an t ¹ 1 Ù cos t ¹ 0 ïî ïî ìï ét an t = 0 ét = k p ïï ê ê t an t = - 1 Û ê Û ïí ê ( k, l Î ¢ ) . ê êt = - p + l 2p ïï ë ê ïï t an t ¹ 0 4 ë î ( ) sin 4 2x + cos 4 2x = cos4 4x ( * ) æ ö æ ö Bài 78. Giải phương trình: p p ÷ ÷ t an ç t an ç ç - x÷ ç + x÷ ÷ ÷ ÷ è ÷ ç ç4 è4 ø ø Trích đề thi tuyển sinh Đại học Xây Dựng năm 1997 Bài giải tham khảo ìï ìï ìï æ ö æ ö æ ö æ ö p p p p ÷ ÷ ÷ ïï cos ç ï ïï sin ç ç ç ÷ ÷ ÷ ÷ x ¹ 0 2 sin x cos x ¹ 0 - 2x ÷ ¹ 0 ï ç ç ç ç ÷ ÷ ÷ ÷ ïï ïï ïï ÷ ÷ è ÷ ÷ ç ç4 ç4 ç2 è4 ø è ø ø è ø Û í Û í Điều kiện: í æ ö æ ö æ ö æ ö ïï ïï ïï p p p p ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ç ç ÷ ÷ ÷ ÷ + x ¹ 0 2 sin + x cos + x ¹ 0 cos + 2x ¹ 0 ç ç ç ïï cos ç ï ï ÷ ÷ ÷ ÷ ç ïï ïï ÷ ÷ è ÷ ÷ ç4 ç4 ç2 è4 ø è ø ø è ø ïîï ïî îï Û cos 2x ¹ 0 Û sin 2x ¹ ±1 . ép æ ù æ æ ö æ ö ö ö æ ö æ p p p p p p ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ç ê - ç út an ç ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ t an + x = t an + x + x = cot + x t an ç - x÷ ç ç ç ç ç + Ta có: t an ç ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ê ú ÷ è ÷ ÷ú è ÷ ÷ è ç ç4 ç ç4 ç4 ç4 è4 ø ø ø ø è ø ê ë2 è4 û Page 48 ö ÷ x÷ =1 ÷ ÷ ø " All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) www.VNMATH.com Ths. Lê Văn Đoàn sin 4 2x + cos 4 2x = cos 4 4x Û 1 - 1 sin 2 4x = 1 - sin 2 4x Û sin 2 4x = 0 2 ésin 2x = 0 ( N ) kp . Û sin 4x = 0 Û 2 sin 2x cos 2x = 0 Û ê êcos 2x = 0 L Û x = 2 , ( k Î ¢ ) ( ) ê ë ( *) Û Bài 79. Giải phương trình: 48 - 1 2 ( 1 + cot 2x cot x ) = 0 cos4 x sin 2 x ( *) Trích đề thi tuyển sinh Đại học Mỏ – Địa Chất năm 2001 Bài giải tham khảo ìï sin x ¹ 0 ï Û sin 2x ¹ 0 Û cos x ¹ ±1 . Điều kiện: í ïï cos x ¹ 0 î cos 2x cos x cos x cos 2x + sin x sin x cos x 1 Ta có: 1 + cot 2x cot x = 1 + . = = = sin 2x sin x 2 sin 2 x cos x 2 sin 2 x cos x 2 sin 2 x 1 1 1 1 ( * ) Û 48 - cos4 x - sin 4 x = 0 Û sin 4 x + cos4 x = 48 Û sin 4 x + cos4 x = 48 sin 4 x cos 4 x 4 1 Û sin 4 x + cos 4 x = 3 ( 2 sin x cos x ) Û 1 - sin 2 2x = 3 sin 4 2x 2 é 2 êsin 2x = - 2 ( L ) p kp ê 4 2 3 Û 6 sin 2x + sin 2x - 2 = 0 Û ê Û cos 4x = 0 Û x = + ,( k Î ¢ ) . 8 4 êsin 2 2x = 1 ( N) ê 2 ë ( ) Bài 80. Giải phương trình: sin 8 x + cos 8 x = 2 sin 10 x + cos10 x + 5 cos 2x 4 ( *) Trích đề thi tuyển sinh Đại học Ngoại Thương năm 2000 Bài giải tham khảo 5 sin 8 x - 2 sin 10 x + cos8 x - 2 cos10 x - cos 2x = 0 4 5 sin 8 x 1 - 2 sin 2 x + cos 8 x 1 - 2 cos10 x - cos 2x = 0 4 5 sin 8 x cos 2x - cos 8 x cos 2x - cos 2x = 0 4 æ 8 ö 5 8 ÷ cos 2x ç =0 çsin x - cos x - ÷ ÷ ÷ ç 4ø è ( *) Û ( Û Û Û ) ( ( ) ) ( ) écos 2x = 0 ( 1) Û ê ê 8 8 4 sin x - cos x = 5 ( 2) ê ë p p kp Giải ( 1) Û 2x = + k p Û x = + ,( k Î ¢ ) 2 4 2 8 8 VT = 4 sin 8 x - cos 8 x £ 4 = 5 = VP (vô lý) Giải ( 2) : Ta có sin x - cos x £Þ1 ( ) ( " Cần cù bù thông minh…………" ) Page 49 Ths. Lê Văn Đoàn Þ ( 2) : Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) Vô nghiệm. Vậy họ nghiệm của phương trình là: x = p kp + ,( k Î ¢ ) . 4 2 Bài 81. Giải phương trình: cot x - 1 = Lời bình. cos 2x 1 + sin 2 x - sin 2x ( * ) 1 + t an x 2 (Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối A năm 2003) Khi gặp phương trình lượng giác dạng R ( t an X, cot X, sin 2X, cos 2X, t an 2X ) với R là hàm hữu tỷ thì ta đặt t = t an X . Khi đó: 2t 2t 1 - t2 . Hiển nhiên, lúc này phương trình t an 2X = ; sin 2X = ; cos 2X = 1 - t2 1 + t2 1 + t2 đã cho đưa về phương trình đại số với biến t mà ta có thể giải dễ dàng tìm t ® X . Lưu ý x x x rằng, ở đây X có thể là ..., , , , x, 2x, 3x, 4x,... 4 3 2 Bài giải tham khảo ìï sin x ¹ 0 ïï ï ● Điều kiện: í cos x ¹ 0 Û ïï ïï t an x ¹ - 1 î t = t an x , t ¹ - 1. ● Đặt ìï sin 2x ¹ 0 ï í ïï t an x ¹ - 1 î 1 2t 1- t2 1 1æ 1- t2 ö ÷ 2 ç ÷ Þ cot x = ; sin 2x = ; cos 2x = ; sin x = ( 1 - cos 2x ) = ç 12 2 2÷ ç ÷ ç 1+ t ø t 2 2è 1+ t 1+ t ö 1 2t 1 1 - t2 1 1æ 1- t2 ÷ ç - . ( * ) Û t - 1 = 1 + t 2 . 1 + t + 2 ççç1 - 1 + t 2 ÷ ÷ 2 ÷ è ø 2 1+ t ét = 1 ( N ) Û (1- t) 1 + t = (1- t) t Û ê ê2t 2 - t + 1 = 0 VN ( ) ê ë p Û t an x = 1 Þ x = + k p, ( k Î ¢ ) (Nhận do sin 2x = 1 ¹ 0 ) 4 ( 2 2 ) Bài 82. Giải phương trình: sin 2x + 2 t an x = 3 ( *) Trích đề thi tuyển sinh Đại học Quốc Gia Hà Nội khối A năm 2001 Bài giải tham khảo ● Điều kiện: cos x ¹ 0 ● Đặt: t = t an x Þ sin 2x = ( *) Û 2t 1 + t2 2t p 3 2 + 2t = 3 Û 2t 3t + 4t 3 = 0 Û t = 1 Û x = + k pÎ, ( k 4 1 + t2 Bài 83. Giải phương trình: ( 1 - t an x ) ( 1 + sin 2x ) = 1 + t an x Page 50 ¢). ( *) " All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) www.VNMATH.com Ths. Lê Văn Đoàn Bài giải tham khảo ● Điều kiện: cos x ¹ 0 ● Đặt t = t an x Þ sin 2x = 2t 1 + t2 ét = - 1 2 ê æ ö t + 1 ( ) 2t ÷ ç ê1 - t 1 + t ÷ * Û 1 t 1 + = 1 + t Û 1 t = 1 + t Û ç ( ) ( ) ç 1 + t2 ÷ ( ) 1 + t2 )( ) Û ê( ÷ è ø =1 ê ê 1 + t2 ë ìï x = k p ét = 0 ìï t an x = 0 ïï ï Û ê Û Û í í ( k, l Î ¢ ) . p êt = - 1 ï t an x = - 1 ï x = + l 2 p ê ï ï ë î ïïî 4 ( ) ét = - 1 ê êt = 0 ê ë ( *) 2 Bài 84. Giải phương trình: cos 2x + cos x 2 t an x - 1 = 2 (Trích đề thi dự bị 1 Đại học khối A năm 2003) Bài giải tham khảo ● Điều kiện: cos x ¹ 0 Û sin x ¹ ±1 æ 2 sin 2 x - cos2 x ö ç ÷ =2 ( * ) Û cos 2x + cos x ççç cos2 x ÷ ÷ ÷ è ø Û cos 2x cos x + 2 sin 2 x - cos 2 x - 2 cos x = 0 Û cos x ( 2 cos2 x - 1) + 2 - 2 cos2 x - cos 2 x - 2 cos x = 0 Û 2 cos 3 x - 3 cos2 x é êcos x = 2 ( L) ê ê Û êcos x = - 1 ( N ) Û ê 1 ê êcos x = ê 2 ë 3 cos x + 2 = 0 éx = p + k2p ê ê ( k, l Î ¢ ) . êx = ± p + l 2p ê 3 ë Bài 85. Giải phương trình: sin 2x ( cos x + 3) - 2 3 cos 3 x - 3 3 cos 2x + 8 ( ) ( *) 3 cos x - sin x = 3 3 Bài giải tham khảo ( *) Û 2 sin x cos2 x + 6 sin x cos x - 2 3 cos 3 x - 6 3 cos x + 3 3 + 8 ( Û 2 cos2 x sin x - ( Û sin x - ) ( 3 cos x + 6 cos x sin x - )( ) ( ( 3 cos x - 8 sin x - ) 3 cos x - sin x = 3 3 ) 3 cos x = 0 ) 3 cos x 2 cos2 x + 6 cos x - 8 = 0 ésin x - 3 cos x = 0 Û ê Û ê 2 cos2 x + 6 cos x - 8 = 0 ê ë ét an x = 3 é ê êx = p + k p ê Û ê ( k, l Î ¢ ) êcos x = 1 3 ê ê x = l 2p ê êcos x = 4 ( L ) ë ë æ 2 æ 1 ö 1 ö ÷ ÷ ç ÷ ÷ sin x + + 4 sin x + - 7=0 ç ç Bài 86. Giải phương trình: 4 ç ÷ ÷ 2 ç ç ÷ ÷ sin x sin x ø è è ø " Cần cù bù thông minh…………" ( *) Page 51 Ths. Lê Văn Đoàn Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) Bài giải tham khảo ● Điều kiện: sin x ¹ 0 2 éæ ù æ 1 ö 1 ö êç ú ç ÷ ÷ ÷ 2 + 4 sin x + - 7=0 ç ( * ) Û 4 êççsin x + sin x ÷ ú ÷ ÷ ç ÷ ÷ sin x ø ø êè ú è ë û é 2 êsin x + 1 = 3 æ ö æ ö 1 1 ê ÷ ÷ sin x 2 ÷ ÷ Û 4ç + 4ç - 15 = 0 Û ê çsin x + çsin x + ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç 1 5 sin x ø sin x ø è è êsin x + =ê sin x 2 ë 2 ( 1) Û 2 sin x - 3 sin x + 2 = 0 ( VN ) ( 1) ( 2) é ésin x = - 2 ( L ) êx = - p + k2p ê ê 6 Û ê ( 2) Û 2 sin 2 x + 5 sin x + 2 = 0 Û êê ( k, l Î ¢ ) 1 7p ê sin x = ê + l 2p êx = 2 ë 6 ë ( *) 2 Bài 87. Giải phương trình: t an x - t an x t an 3x = 2 (Trích đề thi Tuyển sinh Đại học Quốc Gia Hà Nội năm 1996) Bài giải tham khảo ìï cos x ¹ 0 ï ● Điều kiện: í ïï cos 3x ¹ 0 î ( * ) Û t an x ( t an x - t an 3x ) = 2 sin x sin ( x - 3x ) - sin x sin 2x - 2 sin 2 x . =2Û = 2 Û =2 cos x cos x cos 3x cos x cos 3x cos2 x cos 3x Û 2 sin 2 x + 2 cos x cos 3x = 0 Û 1 - cos2 x + cos x 4 cos 3 x - 3 cos x = 0 Û ( Û 4 cos 3 x - 4 cos2 x + 1 = 0 Û cos2 x = Bài 88. Giải phương trình: sin 2x + sin x - ) 1 p kp Û cos 2x = 0 Û x = + ,( k Î ¢ ) . 2 4 2 1 1 = 2 cot 2x 2 sin x sin 2x ( *) Bài giải tham khảo ïìï sin x ¹ 0 ïì cos x ¹ ±1 Û ïí ● Điều kiện: í ïï sin 2x ¹ 0 ïï cos 2x ¹ ±1 î î 2 ( * ) Û sin 2x + sin x sin 2x - cos x - 1 = 2 cos 2x Û 4 sin 2 x cos 2 x + 2 sin 2 x cos x - cos x + 1 - 4 cos 2 x = 0 ( ) ( ) Û 4 1 - cos2 x cos2 x + 2 1 - cos2 x cos x - cos x - 4 cos 2 x + 1 = 0 Û 4 cos 4 x + 2 cos 3 x + cos x - 1 = 0 Page 52 " All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) www.VNMATH.com Ths. Lê Văn Đoàn ( ) Û ( cos x + 1) 4 cos 3 x - 2 cos2 x + 2 cos x - 1 = 0 écos x = - 1 ê Û ê Û êcos x = 1 ê 2 ë éx = p + k2p ê ê ( k, l Î ¢ ) . êx = ± p + l2p ê 3 ë 1 ( *) cos x (Trích đề thi Tuyển sinh Đại học Ngoại Thương năm 2000) Bài 89. Giải phương trình: 2 cos 2x - 8 cos x + 7 = Bài giải tham khảo ● Điều kiện: cos x ¹ 0 ( *) Û ( ) 2 cos x 2 cos2 x - 1 - 8 cos2 x + 7 cos x - 1 = 0 Û 4 cos 3 x - 8 cos2 x + 5 cos x - 1 = 0 écos x = 1 ( N ) éx = k2p ê ê Û ê Û ê ( k, l Î ¢ ) . 1 êcos x = ( N ) êx = ± p + l 2p ê ê 3 2 ë ë Bài 90. Giải phương trình: 4 ( sin 3x - cos 2x ) = 5 ( sin x - 1) ( *) (Trích đề thi Tuyển sinh Đại học Luật năm 2000) Bài giải tham khảo ( * ) Û 4 ( 3 sin x - ) 4 sin 3 x - 1 + 2 sin 2 x - 5 sin x + 5 = 0 Û - 16 sin 3 x + 8 sin 2 x + 7 sin x + 1 = 0 é êx = p + k2p ésin x = 1 ê 2 ê ê Û ê Û x = a + l 2p ( k, l, m Î ¢ ) . ê êsin x = - 1 = sin a ê ê êx = p - a + m2p 4 ë ê ë Bài 91. Giải phương trình: sin x - 1 1 = sin 2 x sin x sin 2 x ( *) Bài giải tham khảo ● Điều kiện: sin x ¹ 0 Û cos x ¹ ±1 . ● Đặt t = sin x ; t £ 1 1 1 = t 2 - 2 Û t 2 - t = t 4 - 1 Û t ( t - 1) = ( t - 1) ( t + 1) t 2 + 1 t t p Û ( t - 1) é t 3 + t 2 + 1ù = 0 Û t = 1 Û sin x = 1 Û x = + k2p, ( k Î ¢ ) . ê ú ë û 2 ( *) Û 1- 2 Bài 92. Giải phương trình: cos x + " Cần cù bù thông minh…………" ( æ 1 1 ö ÷ ç ÷ 2 cos x + + 2=0 ç ÷ 2 ç ÷ cos x ø cos x è ) ( *) Page 53 Ths. Lê Văn Đoàn Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) Bài giải tham khảo ● Điều kiện: cos x ¹ 0 2 æ ö æ 1 1 ö ÷ ÷ ç ÷ 2 2 cos x + + 2=0 ç ( * ) Û çççcos x + cos x ÷ ÷ ÷ ç ÷ ÷ cos x ø è ø è 2 æ ö æ 1 ÷ 1 ö ÷ ç ÷ ÷ Û ç cos x + 2 cos x + =0Û ç ç ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ cos x cos x è ø è ø ( 1) Û ( 2) Û é êcos x + 1 = 0 ê cos x ê êcos x + 1 = 2 ê cos x ë ( 1) ( 2) cos2 x + 1 = 0 : VN cos2 x - 2 cos x + 1 = 0 Û cos x = 1 Û x = k2p, ( k Î ¢ ) Bài 93. Giải phương trình: 2 t an x + cot x = 2 sin 2x + 1 sin 2x ( *) Bài giải tham khảo ïìï cos x ¹ ● Điều kiện: í ïï sin x ¹ î sin x cos x + ( * ) Û 2 cos x sin x sin x sin 2x Û 2 + cos x ïì sin 2x ¹ 0 0 Ù sin 2x ¹ 0 Û ïí ïï cos 2x ¹ ±1 0 î 1 = 2 sin 2x + sin 2x cos 2x - 2 sin 2 2x - 1 = 0 ( ) Û 4 sin 2 x + cos 2x - 2 1 - cos2 2x - 1 = 0 Û 2 ( 1 - cos 2x ) + cos 2x - 3 + cos2 2x = 0 Û 2 cos2 2x - cos 2x - 1 = 0 écos 2x = 1 ( L ) ê p Û ê Û x = ± + k p, ( k Î ¢ ) . 1 êcos 2x = 3 ê 2 ë 2 2 Bài 94. Giải phương trình: t an x + cot x + 2 ( 1 + t an x + cot x ) = 0 Bài giải tham khảo ìï sin x ¹ 0 ï Û sin 2x ¹ 0 Û cos 2x ¹ ±1 . ● Điều kiện: í ïï cos x ¹ 0 î Cách giải 1 ( *) Û t an 2 x + cot 2 x + 2 ( 1 + t an x + cot x ) = 0 æ sin x cos x ÷ ö sin 2 x cos2 x ç ÷ Û + + 2 1 + + ç ÷= 0 ç cos2 x sin 2 x è cos x sin x ÷ ø Page 54 " All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) www.VNMATH.com Ths. Lê Văn Đoàn Û sin 4 x + cos 4 x + 2 sin 2 x cos2 x + 2 sin 3 x cos x + 2 sin x cos 3 x = 0 1 1 Û 1 - sin 2 2x + sin 2 2x + sin 2x = 0 2 2 p Û sin 2x = - 1 ( N ) Û x = - + k p, ( k Î ¢ ) . 4 Cách giải 2 (Phương trình đối xứng theo tan và cot) t an 2 x + cot 2 x = t 2 - 2 . ● Đặt t = t an x + cot x ; t ³Þ2 ét = 0 ( L ) 2 2 ê * Û t 2 + 2 1 + t = 0 Û t + 2t = 0 Û ( ) ( ) êt = - 2 N ( ) ê ë sin x cos x p Û t an x + cot x = 2 Û + = - 2 Û sin 2x = - 1 ( N ) Û x = - + k p, ( k Î ¢ ) . cos x sin x 4 Bài 95. Giải phương trình: sin 4 x + cos 4 x = 11 - sin 2x 8 ( *) Bài giải tham khảo 1 2 11 sin 2x = - sin 2x 2 8 2 Û 4 sin 2x - 8 sin 2x + 3 = 0 é é êsin 2x = 1 ( N ) êx = p + k p ê ê 2 Û ê Û ê 12 ( k, l Î ¢ ) êsin 2x = 3 L êx = 5p + l p ( ) êë 12 ê 2 ë ( *) Û 1- 5 5 2 Bài 96. Giải phương trình: 4 sin x cos x - 4 cos x sin x = sin 4x ( *) Bài giải tham khảo ( *) Û ( ) 4 sin x cos x sin 4 x - cos 4 x = sin 2 4x ( )( ) Û 2 sin 2x sin 2 x - cos2 x sin 2 x + cos 2 x - sin 2 4x = 0 Û - 2 sin 2x cos 2x - sin 2 4x = 0 Û sin 2 4x + sin 4x = 0 é é4x = k p êx = kp ésin 4x = 0 ê ê 4 Û ê Û ê ( k, l Î ¢ ) . p êsin 4x = - 1 Û ê ê pp l 4x = + l 2 p ê ê ë ê ê4x = - + 2 ë 8 2 ë æ æ ö pö p÷ ÷ ç ÷ ÷ 2x + + cos 2x + 4 sin x = 2 + ç ç Bài 97. Giải phương trình: cos ç ÷ ç ç ÷ ÷ 4ø 4÷ è è ø 2 ( 1 - sin x ) ( *) Bài giải tham khảo " Cần cù bù thông minh…………" Page 55 Ths. Lê Văn Đoàn Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) p p p p + 2x 2x + - 2x + 4 4 cos 4 4 + 4 sin x = 2 + ( * ) Û 2 cos 2 2 p Û 2 cos 2x cos + 4 sin x - 2 - 2 + 2 sin x = 0 4 2x + Û ( 2 cos 2x + 4 + ( Û 2 2 sin 2 x - 4 + ) 2 sin x - 2 - 2 ( 1 - sin x ) 2 =0 ) 2 sin x + 2 = 0 é é êx = p + k2p êsin x = 1 ê 6 Û ê Û ê 2 ( k, l Î ¢ ) ê 5 p ê êsin x = 2 > 1 ( L ) + l 2p êx = ë 6 ë Bài 98. Giải phương trình: cos2 x + cos2 2x + cos 2 3x + cos2 4x = 3 2 ( *) Bài giải tham khảo 1 + cos 2x 1 + cos 4x 1 + cos 6x 3 + + + cos2 4x = 2 2 2 2 ( cos 2x + cos 6x ) + cos 4x Û + cos2 4x = 0 Û 2 cos 4x cos 2x + cos 4x + 2 cos 2 4x = 0 2 Û cos 4x ( 2 cos 2x + 1 + 2 cos 4x ) = 0 Û cos 4x 4 cos 2 2x + 2 cos 2x - 1 = 0 ( *) Û ( é é êcos 4x = cos p êcos 4x = 0 ê ê 2 ê ê 1 + 5 2 pp Û ê Û ê Û êcos 2x = cos êcos 2x = 4 5 ê ê ê ê 4p êcos 2x = cos êcos 2x = - 1 + 5 ê ê 5 4 ë ë ) é êx = p + kp ê 8 4 ê êx = ± + l p k, l, m Î ¢ ( ). ê 5 ê ê 2p êx = ± + mp ê 5 ë sin 6 x + cos 6 x 1 Bài 99. Giải phương trình: = t an 2x 2 2 4 cos x - sin x ( *) Bài giải tham khảo ● Điều kiện: cos 2x ¹ 0 Û sin 2x ¹ ±1 . sin 6 x + cos 6 x 1 sin 2x 3 1 = Û 1 - sin 2 2x = sin 2x Û 3 sin 2 2x + sin 2x - 4 = 0 cos 2x 4 cos 2x 4 4 ésin 2x = 1 ( L) ê Û ê Þ ( * ) Vô nghiệm. êsin 2x = - 4 ( L ) ê 3 ë ( *) Û 6 6 Bài 100. Giải phương trình: sin x + cos x = sin 2x ( *) Trích đề thi tuyển sinh Đại học Xây Dựng năm 1994 Page 56 " All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) www.VNMATH.com Ths. Lê Văn Đoàn Bài giải tham khảo 3 2 sin 2x = sin 2x Û 3 sin 2 2x + 4 sin 2x - 4 = 0 4 ésin x = - 2 ( L ) éx = a + k2p æ ê 2ö ê ç ÷ Û ê Û çk, l Î ¢ ; sin a = ÷ . 2 ÷ ê êsin x = = sin a ÷ ç x = p a + l 2 p 3 è ø ê ë ê 3 ë ( *) Û 1- BÀI TẬP RÈN LUYỆN Câu 51. Giải phương trình: 4 cos 3 x + 3 2 sin 2x = 8 cos x Câu 52. Giải phương trình: 6 sin 2 3x + cos12x = 14 Câu 53. Giải phương trình: 3 t an x + cot x = 1 + 3 Câu 54. Giải phương trình: t an x - 3 cot x + 1 = 3 1 3 Câu 55. Giải phương trình: + =4 2 2 sin x cos x sin x cos x 1 Câu 56. Giải phương trình: - 4 t an x + 2 = 0 cos2 x 1 Câu 57. Giải phương trình: = cot x + 3 sin 2 x ( Câu 58. Giải phương trình: 1 - 2 + ) 2 sin x = - 2 2 1 + cot 2 x 4 + cos x - 9 = 0 1 + t an 2 x æ ö 17p 4 4 ÷ - 2x ÷ =0 ç Câu 60. Giải phương trình: 2 sin x + cos x - cos ç ÷ ÷ ç è2 ø Câu 61. Giải phương trình: sin 4x = t an x æ pö æ pö 9 4 4 4ç ÷ ÷ ÷ x + + sin x- ÷ = ç ç Câu 62. Giải phương trình: sin x + sin ç ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ 4ø 4ø 8 è è Câu 59. Giải phương trình: ( ) Câu 63. Giải phương trình: t an x + cot x = 4 Câu 64. Giải phương trình: ( ) sin x 3 2 - 2 cos x - 2 sin 2 x - 1 1 - sin 2x =1 Câu 65. Giải phương trình: 4 cos 4 x + 3 2 sin 2x = 8 cos x 1 1 2 Câu 66. Giải phương trình: + = cos x sin 2x sin 4x æ pö ÷ x- ÷ =1 ç Câu 67. Giải phương trình: sin 2x + 2 sin ç ÷ ç ÷ 4ø è Câu 68. Giải phương trình: " Cần cù bù thông minh…………" æ æ pö pö ÷ ÷ 2 ( 2 sin x - 1) = 4 ( sin x - 1) - cos ç - sin ç ç2x + ÷ ç2x + ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç 4ø 4ø è è Page 57 Ths. Lê Văn Đoàn Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) 4x = cos2 x 3 x t an cos x + sin 2x = 0 2 1 + 3 t an x = 2 sin 2x 3x 4x 2 cos2 + 1 = 3 cos 5 5 cot x = t an x + 2 t an 2x 3x 2 cos2 + 1 = 3 cos 2x 2 3 cos 4x - 2 cos2 3x = 1 x cos x + t an = 1 2 3 t an 2x - 4 t an 3x = t an 2 3x t an 2x Câu 69. Giải phương trình: cos Câu 70. Giải phương trình: Câu 71. Giải phương trình: Câu 72. Giải phương trình: Câu 73. Giải phương trình: Câu 74. Giải phương trình: Câu 75. Giải phương trình: Câu 76. Giải phương trình: Câu 77. Giải phương trình: Câu 78. Giải phương trình: cos x cos 4x + cos 2x cos 3x + cos2 4x = 3 2 Câu 79. Giải phương trình: ( 1 - t an x ) ( 1 + sin 2x ) = 1 + t an x 13 cos2 2x 8 1 Câu 81. Giải phương trình: sin 6 x + cos 6 x = cos 2x + 16 2 Câu 82. Giải phương trình: 5 sin x - 2 = 3 t an x ( 1 - sin x ) Câu 80. Giải phương trình: sin 6 x + cos 6 x = 4 Câu 83. Giải phương trình: sin 4 x + ( sin x - 1) = Câu 84. Giải phương trình: cos 1 8 8x 2x = cos2 3 3 x 2 Câu 86. Giải phương trình: cos 5x cos x = cos 4x cos 2x + 4 - 3 sin 2 x Câu 87. Giải phương trình: 2 cos x cos 2x = 1 + cos 2x + cos 3x Câu 88. Giải phương trình: sin 3x + cos 2x = 2 ( sin 2x cos x - 1) Câu 85. Giải phương trình: cos 2x - 3 cos x = 4 cos2 ( ) 4 4 Câu 89. Giải phương trình: 2 cos 2x - sin 2x + cos 8x - cos 4x = 0 æ ö 17 1 æ ö x 5p 9p ÷ ç ÷ ÷ - 10 cos ç = sin x ç - x÷ ç ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç 2 2 2 2 2 è ø è ø æ pö 5 ÷ cos ç = ç2x + ÷ ÷ ÷ 2 ç 3ø è 2 Câu 90. Giải phương trình: 2 cos ( 2p - 2x ) + cos æ ö p ÷ + ç - x÷ Câu 91. Giải phương trình: 4 cos ç ÷ ÷ ç è3 ø 5 - 2 sin x 2 1 Câu 93. Giải phương trình: sin 6 x + cos 6 x = sin 2x 4 2 2 3 sin 2x + 8 sin x - 11 - 3 cos 2x Câu 94. Giải phương trình: =0 sin 2x Câu 92. Giải phương trình: sin 4 x + cos 4 x = Page 58 " All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) Câu 95. Giải phương trình: ( www.VNMATH.com Ths. Lê Văn Đoàn ) cos 2x 3 2 + 2 sin x + 3 - 2 sin 2 x sin 2x + 1 - 1=0 sin x + 1 =1 1 + cos 2x cos 2x + 3 cot 2x + sin 4x Câu 97. Giải phương trình: =2 cot 2x - cos 2x x x sin 4 + cos 4 2 2 = cos4 x Câu 98. Giải phương trình: æ ö æ ö p p ÷ ÷ t an ç t an ç ç - x÷ ç + x÷ ÷ ÷ ÷ è ÷ ç ç4 è4 ø ø Câu 96. Giải phương trình: 1 1 = cos x + 2 cos x cos x Câu 100. Giải phương trình: cos 2x + 5 = 2 ( 2 - cos x ) ( sin x - cos x ) Câu 99. Giải phương trình: cos2 x + " Cần cù bù thông minh…………" Page 59 Ths. Lê Văn Đoàn Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) C – PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT THEO SIN VÀ COS (PT CỔ ĐIỂN)  ( * ) , ( a, b Î Dạng: a sin x + b cos x = c ¡ \ { 0} )  Phương pháp 1:  Điều kiện để phương trình có nghiệm: a 2 + b 2 ³ c2  Chia 2 vế phương trình cho a 2 + b 2 ¹ 0 , ta được: a b c ( * ) Û 2 2 sin x + 2 2 cos x = 2 2 . a + b a + b a + b a b ù . Phương trình trở thành: ; cos a = , aÎ é  Đặt sin a = ê ë0;2pú û 2 2 2 2 a + b a + b c c sin a sin x + cos a cos x = Û cos(x - a ) = đã biết cách giải. a 2 + b2 a 2 + b2  Phương pháp 2: x x p  Kiểm tra xem cos = 0 Û = + kpÛ x = p + k2p có phải là nghiệm hay không ? Nếu 2 2 2 phải thì ghi nhận nghiệm này. x x p  Với cos ¹ 0 Û ¹ + kp Û x ¹ p + k2p , ta đặt: 2 2 2 ( ) x 2t 1 - t2 . Thay vào phương trình, ta được: Þ sin x = , cos x = 2 1 + t2 1 + t2 ( * ) Û (b + c)t 2 - 2at + c - b = 0 ( * * ) . t = t an ( )  Vì x ¹ p + k2p Û b + c ¹ 0 nên * * có nghiệm khi: D ' = a 2 - (c2 - b 2 ) ³ 0 Û a 2 + b 2 ³ c2 . ( )  Giải phương trình * * , ứng với mỗi nghiệm t ta có phương trình: t an x =t Þ x 2 BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 101. Giải phương trình: cos 7x - 3 sin 7x = - 2 ( *) , " x Î æ 2p 6pö ç ÷ ; ÷ ç ÷ ç ÷ 5 7ø è 2 æ x xö ÷ Bài 102. Giải phương trình: ç sin + cos ÷ + ç ÷ ç ÷ 2ø è 2 ( *) 3 cos x = 2 æ 1 ö ÷ ÷ 2 cos x =0 ç Bài 103. Giải phương trình: t an x - sin 2x - cos 2x + 2 ç ÷ ç ÷ cos x ø è Bài 104. Giải phương trình: Page 60 (1- 2 sin x ) cos x ( 1 + 2 sin x ) ( 1 - sin x ) = 3 ( *) ( *) " All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) www.VNMATH.com Ths. Lê Văn Đoàn 3 1 + cos x sin x Bài 105. Giải phương trình: 8 sin x = ( 3 cos 3x = 2 cos 4x + sin 3 x Bài 106. Giải phương trình: sin x + cos x sin 2x + Bài 109. Giải phương trình: Bài 110. Giải phương trình: Bài 111. Giải phương trình: Bài 112. Giải phương trình: Bài 113. Giải phương trình: ) ( *) ( *) 3 cos 9x = 1 + 4 sin 3 3x Bài 107. Giải phương trình: 3 sin 3x Bài 108. Giải phương trình: ( *) ( *) 9 sin x + 6 cos x - 3 sin 2x + cos 2x = 8 ( * ) sin 2x + 2 cos 2x = 1 + sin x - 4 cos x ( * ) 2 sin 2x - cos 2x = 7 sin x + 2 cos x - 4 ( * ) sin 2x - cos 2x = 3 sin x + cos x - 2 ( * ) 2 cos x + cos 2x + sin x = 0 ( * ) 3 cos 5x - 2 sin 3x cos 2x - sin x = 0 3 Bài 114. Giải phương trình: 1 + cot 2x = 1 - cos 2x sin 2 2x ( ) Bài 115. Giải phương trình: 4 sin 4 x + cos 4 x + ( *) ( *) 3 sin 4x = 2 Bài 116. Giải phương trình: 1 + sin 3 2x + cos 3 2x = 1 sin 4x 2 ( Bài 117. Giải phương trình: t an x - 3 cot x = 4 sin x + ( *) 3 cos x ( *) ( *) 3 3 Bài 118. Giải phương trình: sin x + cos x = sin x - cos x æ pö 1 4 4 ÷ x+ ÷ = ç Bài 119. Giải phương trình: cos x + sin ç ÷ ç ÷ 4 4ø è ) ( *) Bài 120. Giải phương trình: 4 sin 3 x cos 3x + 4 cos3 x sin 3x + 3 3 cos 4x = 3 ( *) Bài 121. Giải phương trình: 2 2 ( sin x + cos x ) cos x = 3 + cos 2x Bài 122. Giải phương trình: ( 2 cos x - 1) ( sin x + cos x ) = 1 Bài 123. Giải phương trình: 2 cos 2x = 6 ( cos x - sin x ) Bài 124. Giải phương trình: 2 cos 3x + 3 sin x + cos x = 0 Bài 125. Giải phương trình: sin x + 3 cos x + Bài 126. Giải phương trình: cos x + 3 sin x = sin x + Bài 127. Giải phương trình: sin x + cos x = cos 2x Bài 128. Giải phương trình: 4 sin 3 x - 1 = 3 sin x Bài 129. Giải phương trình: cos 7x cos 5x - ( *) ( *) ( *) 3 sin x - 1 ( *) ( *) 3 cos 3x ( *) 3 sin 2x = 1 - sin 7x sin 5x Bài 130. Giải phương trình: 4 sin 2x - 3 cos 2x = 3 ( 4 sin x - 1) " Cần cù bù thông minh…………" (*) 3 cos x = 2 2 cos x + ( *) ( *) ( *) Page 61 Ths. Lê Văn Đoàn Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) Bài 131. Giải phương trình: t an x - sin 2x - cos 2x = - 4 cos x + Bài 132. Giải phương trình: ( 2- æx pö ÷ 3 cos x - 2 sin 2 ç ç - ÷ ÷ ÷ ç è2 4 ø =1 2 cos x - 1 2 cos x ) ( *) ( *) 2 ( *) Bài 133. Giải phương trình: ( 3 cos x - 4 sin x - 6) + 2 = - 3 ( 3 cos x - 4 sin x - 6) Bài 134. Giải phương trình: sin x - sin 2x = 3 cos x - cos 2x Bài 135. Giải phương trình: sin 3x - ( *) cos x - sin 2x = 3 2 cos2 x - sin x - 1 1 Bài 137. Giải phương trình: t an x - 3 = ( *) cos x Bài 136. Giải phương trình: Bài 138. Giải phương trình: 3 sin 5x - ( *) 3 cos 3x = 2 sin 2x ( *) 3 cos15x = 1 + 4 sin 3 5x Bài 139. Giải phương trình: cos 3 x cos 3x - sin 3 x sin 3x = Bài 140. Giải phương trình: 10 cos x = 3 cot x + 4 5 8 ( *) (*) ( *) Bài 141. Giải phương trình: cos 3x - sin x = 3 ( cos x - sin 3x ) ( *) æ 3pö ÷ ÷ =0 ç3x + Bài 142. Giải phương trình: 4 sin 2x - 3 cos 2x - 5 cos ç ÷ ÷ ç 2ø è 2 Bài 143. Giải phương trình: 4 sin x 2 Bài 144. Giải phương trình: cos 2x - æ 3pö ÷ ÷ 3 cos 2x = 1 + 2 cos2 ç çx ( * ) , " x Îp( 0; ÷ ÷ ç 4ø è 3 sin 2x 3 Bài 145. Giải phương trình: ( sin x + cos x ) Bài 146. Giải phương trình: 3 sin x - cos x + 4 = 0 3 sin 2 x - 1 = 0 2 Bài 147. Giải phương trình: ( 1 + 2 sin x ) cos x = 1 + sin x + cos x Bài 148. Giải phương trình: 4 sin 3 x - 1 = 3 sin x - 3 cos 3x ) (*) 2 ( sin 2x + 1) + sin x + cos x = 2 3 cos2 x + 2 sin x cos x - ( ( *) ( *) ( *) (*) ( *) ) Bài 149. Giải phương trình: 8 sin 6 x + cos 6 x - 3 3 cos 2x = 11 - 3 3 sin 4x - 9 sin 2x Bài 150. Giải phương trình: Page 62 3 sin 2x ( 2 cos x + 1) + 3 cos x + 2 = cos 2x + cos 3x ( *) ( *) " All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) www.VNMATH.com Ths. Lê Văn Đoàn HƯỚNG DẪN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT THEO SIN VÀ COS (PT CỔ ĐIỂN)  æ 2p 6pö ç ÷ * , " x Î ; ÷ ç ( ) ÷ ÷ ç è5 7 ø Trích đề thi tuyển sinh Đại học Kinh tế Quốc Dân năm 1997 – 1998 Bài 101. Giải phương trình: cos 7x - 3 sin 7x = - 2 Bài giải tham khảo p p p - cos 7x sin = sin 6 6 4 é p p êx = 5p + k2p = + k2p ê 84 7 6 4 Û ê ( k, l Î ¢ ) p 3p 11 p l 2p ê = + l2p + êx = 6 4 84 7 ë é êx = é2p 5p k2p 6p ê é1,19 < k < 2, 79 ék = 2 ê < ê ê ê + < æ ö 2p 6p ÷ ê5 ê ê ç 84 7 7 ÷ Do x Î ç ; ÷Û ê Û ê0, 94 < l < 2, 54 Û êl = 1 Û ê êx = ç ÷ è 5 7 ø ê2p < 11p + l 2p < 6p ê ê ê k, l Î ¢ l =2 ê ê ê ê ë ë 84 7 7 ë5 êx = ê ë 53p 5p 59p Vậy nghiệm cần tìm của phương trình là: x = . ;x= ;x= 84 12 84 3 1 2 Û sin 7x - cos 7x = 2 2 2 é ê7x æ ö p÷ p ê ç Û sin ç 7x - ÷ = sin Û ê ÷ ç ÷ 6ø 4 è ê7x ê ë ( *) Û sin 7x cos 53p 84 5p 12 59p 84 2 æ x xö ÷ ç Bài 102. Giải phương trình: çsin + cos ÷ = 3 cos x = 2 ( * ) ÷ ç ÷ 2ø è 2 Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối D năm 2007 Bài giải tham khảo p p p 3 cos x = 2 Û 1 sin x + 3 cos x = 1 Û sin x cos + cos x sin = sin 3 3 6 2 2 2 é p p é ê êx = - p + k2p x + = + k2 p æ pö p ê ê 6 6 ÷ Û sin ç = sin Û ê 3 Û ê çx + ÷ ( k, l Î ¢ ) . ÷ ÷ ç 3ø 6 è êx + p = 5p + l 2p êx = p + l 2p ê ê 6 2 ë 3 ë ( *) Û 1 + sin x + æ 1 ö ÷ ç ÷ t an x sin 2x cos 2x + 2 2 cos x = 0 ( *) ç Bài 103. Giải phương trình: ÷ ÷ ç cos x ø è Trích đề thi tuyển sinh Đại học Luật năm 1998 Bài giải tham khảo " Cần cù bù thông minh…………" Page 63 Ths. Lê Văn Đoàn Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) ● Điều kiện: cos x ¹ 0 Û sin x ¹ ±1 ( *) Û ( * *) sin x - 2 sin x cos x cos x - cos x cos 2x + 2 cos 2x = 0 ( ) Û sin x 1 - 2 cos2 x - cos 2x ( cos x - 2) = 0 Û sin x cos 2x + cos 2x ( cos x - 2 ) = 0 Û cos 2x ( sin x + cos x - 2) = 0 é ê2x = p + k p écos 2x = 0 ê p p 2 Û ê Û x = + k ,( k Î ¢ ) æ ö êsin x + cos x = 2 Û ê p ê ç 4 2 ê ÷ x+ ÷ = 2 ( L) ë êsin ç ÷ ç ÷ 4ø ê ë è p p ● Thay vào ( * * ) , ta được họ nghiệm phương trình là: x = + k , ( k Î ¢ ) . 4 2 Bài 104. Giải phương trình: (1- 2 sin x ) cos x ( 1 + 2 sin x ) ( 1 - sin x ) = 3 ( *) Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối A năm 2009 Lời bình. Đối với phương trình bậc nhất với sin và cos dạng: a sin x + b cos x = c thì các bạn học sinh có thể giải một cách dễ dàng bằng cách chia hai vế cho a 2 + b 2 ³ c2 . Nhưng nếu éa sin x + b cos x = a ' sin kx ( 1) ê ê gặp dạng: êa sin x + b cos x = a ' cos kx ( 2) ( k ¹ 1) thì hướng giải quyết ê êa sin x + b cos x = a ' sin kx + b ' cos kx ( 3 ) ë như thế nào ? Cứ bình tĩnh, ta xem vế trái của ( 1) , ( 2) là phương trình bậc nhất theo sin và cos thì cách làm cũng tương tự như dạng: a sin x + b cos x = c . Còn đối với dạng ( 3) , ta coi hai vế của phương trình là hai phương trình bậc nhất đối với sin và cos, hiển nhiên cách giải cũng tương tự. Nhưng lưu ý rằng, ta phải chuyển vế sao cho vế trái là cùng một cung, vế phải là cùng một cung. Hãy chiêm nghiệm hướng suy nghĩ đó qua lời giải sau. Bài giải tham khảo ìï sin x ¹ 1 ìï cos x ¹ 0 ï ï ïí Û ● Điều kiện: ïí ïï sin x ¹ - 1 ïï sin x ¹ - 1 2 2 ïïî ïïî ( *) Û ( ( * *) cos x - sin 2x = 3 1 - sin x + 2 sin x - 2 sin 2 x Û cos x - sin 2x = 3 cos 2x + ) 3 sin x 3 1 1 3 cos 2x + sin 2x = cos x sin x 2 2 2 2 p p p p Û cos 2x cos + sin sin 2x = cos x cos - sin sin x 6 6 3 3 Û Page 64 " All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) www.VNMATH.com Ths. Lê Văn Đoàn é êx = p + k2p ê 2 ( k, l Î ¢ ) . ê êx = - p + l 2p ê 18 3 ë p l 2p ● Thay vào ( * * ) , ta được nghiệm của phương trình là: x = + ,( l Î ¢ ) . 18 3 æ æ pö pö ç ÷ ÷ Û cos ç = cos x+ ÷ Û ç2x - ÷ ç ÷ ÷ ç ÷ ÷ ç 6 3ø è ø è Bài 105. Giải phương trình: 8 sin x = 3 1 + cos x sin x ( *) Bài giải tham khảo ìï cos x ¹ 0 ï Û sin 2x ¹ ±1 ● Điều kiện: í ïï sin x ¹ 0 î ( *) Û ( * *) 8 sin 2 x cos x = 3 sin x + cos x Û 4 cos x ( 1 - cos 2x ) = 3 sin x + cos x Û 3 cos x - 4 cos 2x cos x = 3 sin x Û 3 cos x - 2 ( cos 3x + cos x ) = 3 sin x Û cos x - 3 sin x = 2 cos 3x 3 sin x 2 é êx = p + k p æ pö ê 6 ÷ Û cos 3x = cos ç x+ ÷ Û ê ç ÷ ç ÷ 3 è ø êx = - p + lp ê 12 2 ë Û cos 3x = 1 cos x 2 ( k, l Î ¢ ) p p lp ● Thay vào ( * * ) , ta được họ nghiệm phương trình là: x = + kpÚ x = + , ( k, l Î ¢ ) . 6 12 2 Bài 106. Giải phương trình: sin x + cos x sin 2x + ( 3 cos 3x = 2 cos 4x + sin 3 x ) ( *) Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối B năm 2009 Bài giải tham khảo ( *) Û sin x + sin 2x cos x + 3 cos 3x = 2 cos 4x + 3 sin x - sin 3x 2 Û 2 sin x + 2 sin 2x cos x + 2 3 cos 3x = 4 cos 4x + 3 sin x - sin 3x 1 Û 2 sin x + 2. ( sin 3x + sin x ) + 2 3 cos 3x = 4 cos 4x + 3 sin x - sin 3x 2 Û 2 sin 3x + 2 3 cos 3x = 4 cos 4x Û 3 1 cos 3x + sin 3x = cos 4x 2 2 " Cần cù bù thông minh…………" Page 65 Ths. Lê Văn Đoàn Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) é êx = - p + k2p æ ö p ê 6 ÷ Û cos ç 3x - ÷ = cos 4x Û ê ç ( k, l Î ¢ ) . ÷ ç ÷ p l 2p 6 è ø êx = + ê 42 7 ë Bài 107. Giải phương trình: 3 sin 3x - 3cos9x = 1 + 4 sin 3 3x ( *) Bài giải tham khảo ( * ) Û ( 3 sin 3x - ) 4 sin 3 3x - 3 cos 9x = 1 Û sin 9x - 3 cos 9x = 1 p p 1 Û sin 9x cos - cos 9x sin = 3 3 2 æ ö p p ÷ Û sin ç 9x - ÷ = sin ç ÷ ç 3÷ 6 è ø é ê9x ê Û ê ê9x ê ë p p = + k2p 3 6 Û p p = p+ l 2p 3 6 Bài 108. Giải phương trình: é êx = p + k2p ê 18 9 ( k, l Î ¢ ) . ê 7 p l 2 p êx = + ê 54 9 ë 3 cos 5x - 2 sin 3x cos s2x - sin x = 0 ( *) Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối D năm 2009 Bài giải tham khảo ( *) Û 3 cos 5x - sin 5x - sin x - sin x = 0 3 1 cos 5x - sin x = sin x 2 2 æ ö p ÷= sin x Û sin ç ç5x - ÷ ÷ ç 3÷ è ø Û é ê5x ê Û ê ê5x ê ë p = x + k2p 3 Û p = p - x + l 2p 3 é êx = p + k p ê 12 2 ê 2 p l p êx = + ê 9 3 ë ( k, l Î ¢ ) . Bài 109. Giải phương trình: 9 sin x + 6 cos x - 3 sin 2x + cos 2x = 8 ( *) Trích đề thi tuyển sinh Đại học Ngoại Thương năm 1997 – 1998 Bài giải tham khảo ( *) Û 9 sin x + 6 cos x - 6 sin x cos x + 2 cos 2 x = 9 Û 9 ( sin x - 1) + 6 cos x ( 1 - sin x ) + 2 cos2 x = 0 Page 66 " All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) www.VNMATH.com Ths. Lê Văn Đoàn Û ( sin x - 1) ( 9 - 6 cos x ) + 2 cos2 x = 0 Û ( 1 - sin x ) ( 6 cos x - 9) + 2 ( 1 - sin x ) ( 1 + sin x ) = 0 Û ( 1 - sin x ) ( 6 cos x - 9 + 2 + 2 sin x ) = 0 ésin x = 1 ( 1) Û ê ê6 cos x + 2 sin x = 7 2 ( ) ê ë p ● Giải ( 1) Û x = + k2p, ( k Î ¢ ) 2 ● Giải 6 cos x + 2 sin x = 7 Þ Phương trình vô nghiệm do 62 + 22 < 7 2 . p ● Vậy họ nghiệm của phương trình là: x = + k2pÎ, ( k ¢ ) . 2 Bài 110. Giải phương trình: sin 2x + 2 cos 2x = 1 + sin x - 4 cos x ( *) Bài giải tham khảo ( *) Û 2 sin x cos x + 4 cos2 x - 2 = 1 + sin x - 4 cos x ( ) Û 4 cos2 x - 1 + sin x ( 2 cos x - 1) + 2 ( 2 cos x - 1) = 0 Û ( 2 cos x - 1) ( 2 cos x + 1 + sin x + 2) = 0 é2 cos x - 1 = 0 p p Û ê ê2 cos x + sin x = - 3 VN Û cos x = cos 3 Û x = ± 3 + k2p, ( k Î ¢ ) . ( ) ê ë Bài 111. Giải phương trình: 2 sin 2x - cos 2x = 7 sin x + 2 cos x - 4 ( *) Trích đề thi tuyển sinh Đại học Quốc Gia Tp.HCM năm 2001 Bài giải tham khảo ( *) Û 2 sin 2x - 2 cos x - cos 2x + 4 - 7 sin x = 0 Û 2 cos x ( 2 sin x - 1) - 1 + 2 sin 2 x + 4 - sin x - 6 sin x = 0 Û 2 cos x ( 2 sin x - 1) + sin x ( 2 sin x - 1) - 3 ( 2 sin x - 1) = 0 Û ( 2 sin x - 1) ( 2 cos x + sin x - 3) = 0 é é êx = êsin x = 1 = sin p ê ê Û Û ê 2 6 ê êx = 2 cos x + sin x - 3 = 0 ( VN ) ê ê ë ë p + k2p 6 ( k, l Î ¢ ) . 5p + l2p 6 Bài 112. Giải phương trình: sin 2x - cos 2x = 3 sin x + cos x - 2 ( *) Trích đề thi tuyển sinh Đại học Nông Nghiệp I khối B năm 2001 Bài giải tham khảo " Cần cù bù thông minh…………" Page 67 Ths. Lê Văn Đoàn ( *) Û Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) 2 sin x cos x - 1 + 2 sin 2 x - 3 sin x - cos x + 2 = 0 ( ) Û ( 2 sin x cos x - cos x ) + 2 sin 2 x - sin x - ( 2 sin x - 1) = 0 Û cos x ( 2 sin x - 1) + sin x ( 2 sin x - 1) - ( 2 sin x - 1) = 0 Û ( 2 sin x - 1) ( cos x + sin x - 1) = 0 é êsin x = é2 sin x - 1 = 0 ê ê Û ê Û ê æ ê ç êcos x + sin x = 1 xë êcos ç ç è ê ë 1 p = sin 2 6 pö p ÷ ÷ = cos ÷ ÷ 4ø 4 é êx = p + k2pÚ x = 5p + l2p ê 6 6 Û ê ( k, l, m, n Î ¢ ) . êx = p + m2pÚ x = n2p ê 2 ë 3 Bài 113. Giải phương trình: 2 cos x + cos 2x + sin x = 0 ( *) Bài giải tham khảo ( *) Û 2 cos 3 x + 2 cos2 x + ( sin x - 1) = 0 Û 2 cos2 x ( cos x + 1) + ( sin x - 1) = 0 Û 2 ( 1 - sin x ) ( 1 + sin x ) ( cos x + 1) - ( 1 - sin x ) = 0 Û ( 1 - sin x ) é 2 1 + sin x ) ( 1 + cos x ) - 1ù =0 ê ú ë( û Û ( 1 - sin x ) ( 1 + 2 cos x + 2 sin x + 2 sin x cos x ) = 0 2 é ù Û ( 1 - sin x ) ê( sin x + cos x ) + 2 ( sin x + cos x ) ú= 0 ê ú ë û é ù æ p÷ ö æ pö 2ç ÷ ç ú= 0 ÷ ÷ Û ( 1 - sin x ) ê 2 sin x + + 2 2 sin x + ç ç ÷ ÷ ê ú ç ç ÷ ÷ 4 4 è ø è ø ê ú ë û é1 - sin x = 0 ê æ pö æ p÷ ö Û ê ÷ ê2 sin 2 ç ç ÷ ÷ x + + 2 2 sin x + =0 ç ç ÷ ÷ ê ç ç ÷ ÷ 4 4 è ø è ø ê ë é ê êsin x = 1 é ê êx = p + k2p ê æ pö ê çx + ÷ 2 ÷ Û ê =0 Û ê ( k, l Î ¢ ) . ÷ êsin ç ÷ ç p 4 è ø ê ê êx = - + lp ê æ pö 4 ë ÷ êsin ç x+ ÷ = - 2 ( L) ÷ ê ç ç 4÷ ø ë è Bài 114. Giải phương trình: 1 + cot 2x = Page 68 1 - cos 2x sin 2 2x (*) " All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) www.VNMATH.com Ths. Lê Văn Đoàn Bài giải tham khảo ● Điều kiện: sin 2x ¹ 0 Û cos 2x ¹ ±1 ( *) Û ( * *) sin 2x + cos 2x 1 - cos 2x = sin 2x ( 1 - cos 2x ) ( 1 + cos 2x ) Û ( sin 2x + cos 2x ) ( 1 + cos 2x ) = sin 2x Û sin 2x + sin 2x cos 2x + cos 2x + cos 2 2x - sin 2x = 0 Û cos 2x ( sin 2x + cos 2x + 1) = 0 écos 2x = 0 ê p p p p æ ö Û ê Ú x = + lp Ú x = + mp p÷ 3p Û x = + k êcos ç ÷ 2x = cos 4 2 2 4 ç ÷ ê ç 4÷ 4 ø ê ë è p p ● Thay vào ( * * ) Þ họ nghiệm phương trình là x = + k , ( k Î ¢ ) . 4 2 Bài 115. Giải phương trình: 1 + cot 2x = 1 - cos 2x sin 2 2x ( *) Bài giải tham khảo ( *) Û 4 3 + cos 4x + 4 3 sin 4x = 2 3 1 sin 4x + cos 4x = - 1 2 2 æ pö p p p ÷ ÷ Û cos ç 4x = - 1 Û 4x = p + k2p Û x = + k , ( k Î ¢ ) . ç ÷ ç ÷ 3ø 3 3 2 è Û Bài 116. Giải phương trình: 1 + sin 3 2x + cos 3 2x = 1 sin 4x 2 ( *) Bài giải tham khảo ( *) Û 1 sin 4x 2 æ 1 ö ÷ =0 ( sin 2x + cos 2x ) ççç1 - 2 sin 4x ÷ ÷ ÷ è ø 1 + ( sin 2x + cos 2x ) ( 1 - sin 2x cos 2x ) = æ 1 ö ÷ Û ç 1 - sin 4x ÷ + ç ÷ ç ÷ è 2 ø æ 1 ö ÷ ÷ Û ç 1 sin 4x ç ( sin 2x + cos 2x + 1) = 0 ÷ ç ÷ è 2 ø é 1 ésin 4x = 2 ê1 - sin 4x = 0 ( L) ê Û Û ê 2 êsin 2x + cos 2x = - 1 ê ê sin 2x + cos 2x + 1 = 0 ë ê ë " Cần cù bù thông minh…………" Page 69 Ths. Lê Văn Đoàn Û Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) é êx = - p + kp æ ö æ ö p p 3 p ê 4 ÷ ÷ 2 cos ç 2x - ÷ = - 1 Û cos ç 2x - ÷ = cos Û ê ç ç ( k, l Î ¢ ) . ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ p 4 4 4 è ø è ø êx = + l p ê 2 ë ( Bài 117. Giải phương trình: t an x - 3 cot x = 4 sin x + 3 cos x ) ( *) Bài giải tham khảo ìï sin x ¹ 0 ï Û sin 2x ¹ 0 Û cos 2x ¹ ±1 . ● Điều kiện: í ïï cos x ¹ 0 î sin x 3 cos x = 4 sin x + 3 cos x ( * ) Û cos x sin x ( ) ( Û sin 2 x - 3 cos2 x - 4 sin x cos x sin x + ( Û ( sin x + Û sin x - )( 3 cos x ) ( sin x - 3 cos x sin x + ) ) 3 cos x = 0 ( 2 sin 2x ) = 0 3 cos x - 2 sin 2x sin x + 3 cos 2x - ) 3 cos x = 0 é ét an x = - 3 ésin x + 3 cos x = 0 êx = - p + kp ê ê ê 3 ö Û ê Û ê Û ê ( k, l Î ¢ ) . p÷ ê æ ê1 3 ç 4 p l p ÷ sin x = sin 2x ê ç ê cos 2x = sin 2x ê sin x ÷ + ç ÷ êx = 3ø ê ê 2 ë2 ë è 9 3 ë 3 3 Bài 118. Giải phương trình: sin x + cos x = sin x - cos x ( *) Trích đề thi tuyển sinh Đại học Thủy Sản năm 1996 Bài giải tham khảo ( *) Û sin 3 x - sin x + cos 3 x + cos x = 0 ( ) Û sin x sin 2 x - 1 + cos 3 x + cos x = 0 Û - sin x cos2 x + cos 3 x + cos x = 0 Û cos x ( - sin x cos x + cos2 x + 1) = 0 æ1 ö 1 + cos 2x ÷ ÷ Û cos x ç sin 2x + + 1 =0 ç ÷ ç ÷ 2 è 2 ø æ - sin 2x + cos 2x + 3 ö ÷ ÷ Û cos x ç =0 ç ÷ ç ÷ 2 è ø écos x = 0 p Û ê ê- sin 2x + cos 2x = - 3 VN do : 1 + 1 < 9 Û x = 2 + kp, ( k Î ¢ ) . ( o ) ê ë æ p÷ ö 1 4 4 ÷ x + = ç Bài 119. Giải phương trình: cos x + sin ç ÷ ç 4÷ è ø 4 Page 70 ( *) " All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) www.VNMATH.com Ths. Lê Văn Đoàn Bài giải tham khảo 2 é ù æ pö ÷ ê1 - cos ç ú ÷ 2x 2 ç ÷ ê ú 1 æ ö ÷ ç 2 1 + cos 2x è ø ê ú= ÷ + ( * ) Û ççç 2 ÷ ÷ ê ú 4 ÷ 2 è ø ê ú ê ú ê ú ë û 2 2 Û ( 1 + cos 2x ) + ( 1 + sin 2x ) = 1 Û cos 2x + sin 2x = - 1 é êx = p + kp æ ö p 1 3p ê 2 ÷ Û cos ç 2x - ÷ == cos Û ê ç ( k, l Î ¢ ) . ÷ ç ÷ 4 4 è ø êx = - p + lp 2 ê 4 ë Bài 120. Giải phương trình: 4 sin 3 x cos 3x + 4 cos 3 x sin 3x + 3 3 cos 4x = 3 ( *) Trích đề thi tuyển sinh Học Viện Bưu Chính Viễn Thông năm 2001 Bài giải tham khảo ( *) Û ( ) ( ) 4 sin 3 x 4 cos 4 x - 3 cos x + 4 cos 3 x 3 sin x - 4 sin 3 x + 3 3 cos 4x = 3 Û - 12 sin 3 x cos x + 12 cos3 x sin x + 3 3 cos 4x = 3 ( ) Û 4 sin x cos x - sin 2 x + cos2 x + Û 2 sin 2x cos 2x + Û sin 4x + 3 cos 4x = 1 3 cos 4x = 1 3 cos 4x = 1 1 3 1 sin 4x + cos 4x = 2 2 2 é êx = - p + kp æ ö p p ê 24 2 ( k, l Î ¢ ) . ÷ Û sin ç = sin Û ê ç4x + ÷ ÷ ÷ ç p l p 3ø 6 è êx = + ê 8 2 ë Û Bài 121. Giải phương trình: 2 2 ( sin x + cos x ) cos x = 3 + cos 2x ( *) Bài giải tham khảo ( *) Û 2 2 sin x cos x + 2 2 cos 2 x - cos 2x = 3 Û 2 sin 2x + Û 2 sin 2x + 2 2 ( 1 + cos 2x ) 2 ( ) - cos 2x = 3 2 - 1 cos 2x = 3 - " Cần cù bù thông minh…………" 2 Page 71 Ths. Lê Văn Đoàn Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) 2 2 ìï 2 ïï a + b 2 = 2 + 2 - 1 = 5 - 2 2 Phương trình đã cho vô nghiệm do ïí 2 ïï 2 2 2 ïï c = 3 - 2 = 11 - 6 2 > a + b î ( ) ( ) ( ) Bài 122. Giải phương trình: ( 2 cos x - 1) ( sin x + cos x ) = 1 ( *) Bài giải tham khảo ( *) Û 2 sin x cos x + 2 cos2 x - sin x - cos x = 1 Û sin 2x + 2 cos2 x - 1 = sin x + cos x Û sin 2x + cos 2x = sin x + cos x æ æ pö pö ÷ ÷ Û sin ç = sin ç ç2x + ÷ çx + ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç 4ø 4ø è è é ê2x + ê Û ê ê2x + ê ë p p = x + + k2p 4 4 Û p p = p- x + l 2p 4 4 éx = k2p ê ê ( k, l Î ¢ ) . êx = p + l 2p ê 6 3 ë Bài 123. Giải phương trình: 2 cos 2x = 6 ( cos x - sin x ) ( *) Bài giải tham khảo ( * ) Û 2 ( cos 2 ) x - sin 2 x - 6 ( cos x - sin x ) = 0 ésin x - cos x = 0 ( 1) 6 =0Û ê ê ê2 sin x + 2 cos x = 6 ( 2) ë æ ö p p p ÷ = 0 Û x + = + kp Û x = + kp, ( k Î ¢ ) ( 1) Û 2 cos çççx + p4 ÷ ÷ ÷ 4 2 4 è ø é p p é ê êx = 5p + l2p x = + l 2 p æ pö 3 p ê 4 ê 6 12 ÷ Û ê ( 2) Û cos çççx - 4 ÷ ( k, l Î ¢ ) ÷= 2 = cos 6 Û ê p ÷ p p è ø êx ê = - + m2p + m2p ê êx = 6 ë 4 ë 12 ( Û ( sin x - cos x ) 2 sin x + 2 cos x - Bài 124. Giải phương trình: 2 cos 3x + ) 3 sin x + cos x = 0 ( *) Bài giải tham khảo ( *) Û Page 72 1 3 cos x + sin x = - cos 3x 2 2 " All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) www.VNMATH.com Ths. Lê Văn Đoàn é êx æ pö ê ÷ ç Û cos çx - ÷ = cos ( p - 3x ) Û ê ÷ ÷ ç 3ø è êx ê ë Bài 125. Giải phương trình: sin x + p = p - 3x + k2p p kp 3 Û x= + , ( k, l Î ¢ ) . p 3 2 = - p + 3x + l 2p 3 3 cos x + sin x + ( *) 3 cos x = 2 Bài giải tham khảo æ ö æ pö 3 ÷ ç1 ç ÷ ÷ sin x + cos x = 2 sin x+ ÷ ● Ta có: sin x + 3 cos x = 2 ç ç ÷ ç ÷ ÷ ç ÷ ç 2 2 3 ÷ è ø è ø æ pö ÷ x+ ÷ Þ££ 0 t 2 ç ● Đặt t = sin x + 3 cos x = 2 sin ç ÷ ç ÷ 3ø è ét = 1 ( N) 2 ( * ) Û t + t - 2 = 0 Û êêt = - 2 L ( ) ê ë é êx = - p + k2p æ pö æ ö p 1 ê 6 ÷ ÷ Û 2 sin ç x+ ÷ = 1 Û sin ç x+ ÷ = Û ê ç ç ( k, l Î ¢ ) . ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ 3ø 3ø 2 è è êx = p + l 2p ê 2 ë Bài 126. Giải phương trình: cos x + 3 sin x = 2 cos x + 3 sin x - 1 (*) Bài giải tham khảo ● Ta có: cos x + æ ö æ p÷ ö 3 ÷ ç1 ç ÷ ÷ 3 sin x = 2 ç cos x + sin x = 2 cos x ç ÷ ç ÷ ÷ ç ç 2 3÷ ÷ è ø è2 ø Bunhiacopxki ● Đặt t = cos x + ìï - 2 ££t ï Do đó: í ïï t ¹ 1 î 3 sin x . Ta có: cos x + 3 sin x £ æ2 ç 1 + ç ç è 2ö 3 ÷ ÷sin 2 x + cos2 x = 2 ÷ ÷ ø ( ) ( ) 2 ét = 1 ( L) ê êt = - 2 N ( ) ê ë é p p é êx = + k2p æ pö êx = 2p + k2p ê ÷ ç 3 3 Û 2 cos ç x- ÷ =1Û ê Û ê ( k, l Î ¢ ) . 3 ÷ ç ÷ ê 3ø è êx - p = - p + l 2p x = l 2p ê ê ë 3 ë 3 ( *) Û t= 3 Û t2 + t - 2 = 0 Û t+1 Bài 127. Giải phương trình: sin x + cos x = cos 2x " Cần cù bù thông minh…………" ( *) Page 73 Ths. Lê Văn Đoàn Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) Bài giải tham khảo ( * ) Û ( sin x + cos x ) - ( cos x - sin x ) = 0 Û ( sin x + cos x ) - ( cos x - sin x ) ( cos x + sin x ) = 0 Û ( sin x + cos x ) ( 1 - cos x + sin x ) = 0 2 2 é æ ê 2 cos ç çx ésin x + cos x = 0 ê ç è ê Û ê Û ê ê æ sin x - cos x = - 1 ê ê 2 cos ç ë x+ ç ê ç è ê ë é æ pö êcos ç ÷ =0 çx - ÷ ÷ ê è ÷ ç 4 ø ê ê æ pö 3p ÷ êcos ç ÷ = cos ç ÷ ê è çx + 4 ø ÷ 4 ê ë é êx = 3p + kp é p p ê 4 êx ê = + kp p ê 2 Û ê 4 Û ê x = + l 2p ( k, l, m Î ¢ ) . ê 2 êx + p = 3p + l 2pÚ x + p = - 3p + m2p ê ê ê x = p + m2p 4 4 4 ë 4 ê ê ë pö ÷ ÷ =0 ÷ ÷ 4ø Û pö ÷ ÷ =- 1 ÷ ÷ 4ø Bài 128. Giải phương trình: 4 sin 3 x - 1 = 3 sin x - 3 cos 3x ( *) Bài giải tham khảo ( *) Û 3 sin x - 4 sin 3 x - 3 cos 3x = - 1 3 1 cos 3x - sin 3x 2 2 é ê3x + p = p + k2p æ ö p p ê 6 3 ÷ Û cos ç = cos Û ê Û ç3x + ÷ ÷ ÷ ç p 6 3 è ø ê3x + = - p + l 2p ê 6 3 ë Û sin 3x - 3 cos 3x = - 1 Û Bài 129. Giải phương trình: cos 7x cos 5x - = 1 2 é êx = p + k2p ê 18 3 ( k, l Î ¢ ) ê p l êx = - + 2p ê 6 3 ë 3 sin 2x = 1 - sin 7x sin 5x ( *) Bài giải tham khảo ( * ) Û ( cos 7x cos 5x + sin 7x sin 5x ) Û cos ( 7x - 5x ) - 3 sin 2x = 1 3 sin 2x = 1 Û cos 2x - 3 sin 2x = 1 Û 1 cos 2x 2 3 1 sin 2x = 2 2 éx = k p æ ö ê p p ÷ Û cos ç = cos Û ê ç2x + ÷ ( k, l Î ¢ ) ÷ êx = - p + l p ç 3÷ 3 è ø ê 3 ë Bài 130. Giải phương trình: 4 sin 2x - 3 cos 2x = 3 ( 4 sin x - 1) ( *) Bài giải tham khảo Page 74 " All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) ( *) Û www.VNMATH.com Ths. Lê Văn Đoàn 8 sin x cos x - 6 cos2 x + 3 - 12 sin x + 3 = 0 Û 4 sin x cos x - 3 cos2 x - 6 sin x + 3 = 0 Û 4 sin x cos x - 6 sin x - 3 ( cos2 x - 1) = 0 Û 4 sin x cos x - 6 sin x + 3 sin 2 x = 0 Û sin x ( 4 cos x + 3 sin x - 6) = 0 ésin x = 0 Û ê ê4 cos x + 3 sin x = 6 VN do : 42 + 32 < 62 Û x = kp , ( k Î ¢ ) . ê o ë ( ) Bài 131. Giải phương trình: t an x - sin 2x - cos 2x = - 4 cos x + 2 cos x ( *) Bài giải tham khảo ● Điều kiện: cos x ¹ 0 Û sin x ¹ ±1 . sin x 2 - 2 sin x cos x - cos2 x + sin 2 x + 4 cos x =0 ( * ) Û cos x cos x Û sin x - 2 sin x cos2 x - cos 3 x + sin 2 x cos x + 4 cos 2 x - 2 = 0 Û ( sin x - 2) - 2 sin x cos2 x + 4 cos 2 x - cos 3 x + sin 2 x cos x = 0 ( ) Û ( sin x - 2) - 2 cos2 x ( sin x - 2) - cos x cos2 x - sin 2 x = 0 ( ) Û ( sin x - 2) 1 - 2 cos2 x - cos x cos 2x = 0 Û cos 2x ( sin x - 2) + cos x cos 2x = 0 Û cos 2x ( sin x - 2 + cos x ) = 0 écos 2x = 0 p p Û ê êsin x + cos x = 2 VN : 12 + 12 < 22 Û x = + k , ( k Î ¢ ) . 4 2 ê o ë ( ) Bài 132. Giải phương trình: æx p÷ ö 2 sin 2 ç - ÷ ç ÷ ç è2 4 ÷ ø =1 2 cos x - 1 ( 2 - 3 ) cos x - ( *) Bài giải tham khảo ● Điều kiện: cos x ¹ ( *) Û 1 2 ( 1) . æ ( 2 - 3 ) cos x - 1 + cos çççèx - Û 2 cos x - pö ÷ ÷ - 2 cos x + 1 = 0 ÷ ÷ 2ø 3 cos x + sin x - 2 cos x æ 1 3 Û sin x + cos x = 0 Û sin ç x+ ç ç 2 2 è " Cần cù bù thông minh…………" =0 pö p p ÷ ÷ = 0 Û x + = k p Û x = - + k p, ( k Î ¢ ) . ÷ ÷ 6ø 6 6 Page 75 Ths. Lê Văn Đoàn Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) p ● Thay nghiệm vào ( 1) , họ nghiệm phương trình là: x = + kpÎ, ( k 6 ¢) . 2 Bài 133. Giải phương trình: ( 3 cos x - 4 sin x - 6) + 2 = - 3 ( 3 cos x - 4 sin x - 6) ( *) Bài giải tham khảo 2ù é2 2 2 ê3 + ( - 4) ú. sin x + cos x = 5 ê ú ë û Û - 5 £ 3 cos x - 4 sin x £ 5 Û - 11 £ 3 cos x - 4 sin x - 6 £ - 1 . ù. ● Đặt t = 3 cos x - 4 sin x - 6 ; t Î é ê- 11; - 1û ú ë ét = - 1 Î é- 11; - 1ù ( 1) 2 ( * ) Û t + 3t + 2 = 0 Û êêt = - 2 Î êëé- 11; - 1úûù 2 ê ê ú ë û( ) ë ( ● Ta có: 3 cos x - 4 sin x £ ( 1) Û ) 3 cos x - 4 sin x = 5 3 4 cos x - sin x = 1 Û cos x cos a - sin x sin a = 1 Û cos ( x + a ) = 1 5 5 æ p p 3 Û x + a = + k2p Û x = - a + k2p , ç k Î ¢ ; cos a = ; sin a = ç ç 2 2 5 è Û ( 2) Û 3 cos x - 4 sin x = 4 Û 4ö ÷ ÷ . ÷ ÷ 5ø 3 4 4 cos x - sin x = 5 5 5 æ ö p ÷ Û cos x cos a - sin x sin a = sin a Û cos ( x + a ) = sin a Û cos ( x + a ) = cos ç ç - a÷ ÷ ÷ ç è2 ø é é êx + a = p - a + l 2p êx = p - 2a + l2p ê ê 2 2 Û ê Û ê ( l, m Î ¢ ) . êx + a = - p + a + m2p êx = - p + m2p ê ê 2 2 ë ë Bài 134. Giải phương trình: sin x - sin 2x = 3 ( *) cos x - cos 2x Trích đề thi tuyển sinh Cao đẳng khối A năm 2004 Bài giải tham khảo ● Điều kiện: cos x - cos 2x ¹Û0 ( *) Û - 2 cos 2 x + cos x + 1 ¹Û0 Page 76 ( * *) sin x - sin 2x = 3 ( cos x - cos 2x ) 1 3 1 sin x cos x = sin 2x 2 2 2 æ æ p÷ ö pö ç ÷ ÷ Û sin ç 2x - ÷ = sin x ç ç ç ç ÷ ÷ 6÷ 6÷ è ø è ø Û écos x ¹ 1 ê ê êcos x ¹ - 1 ê 2 ë 3 cos 2x 2 " All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) é ê2x ê Û ê ê2x ê ë p p =x+ k2p 6 6 Û p p = p - x + + l2p 6 6 www.VNMATH.com Ths. Lê Văn Đoàn éx = k2p ê ê ( k, l Î ¢ ) . êx = 2p + l 2p ê 9 3 ë 2p l 2p ● Thay vào ( * * ) , họ nghiệm phương trình là x = + , (l Î ¢) . 9 3 Bài 135. Giải phương trình: sin 3x - ( *) 3 cos 3x = 2 sin 2x Trích đề thi tuyển sinh Cao đẳng năm 2008 Bài giải tham khảo 3 cos 3x = sin 2x 2 é ê3x æ ö p÷ ê ç Û sin ç 3x - ÷ = sin 2x Û ê ÷ ç 3÷ è ø ê3x ê ë ( *) Û 1 sin 3x 2 Bài 136. Giải phương trình: p = 2x + k2p 3 Û p = p - 2x + l 2p 3 cos x - sin 2x = 3 2 cos2 x - sin x - 1 é êx = p + k2p ê 3 ( k, l Î ¢ ) . ê 4 êx = p + l 2p ê 15 5 ë ( *) Bài giải tham khảo 2 ● Điều kiện: 2 cos x - sin x - 1 ¹Û0 ( *) Û 2 - 2 sin x - sin x + 1 ¹Û0 ìï sin x ¹ - 1 ïï í ïï sin x ¹ 1 ïïî 2 (e ) cos x - sin 2x = 3 ( cos 2x - sin x ) 1 3 3 1 cos x sin x = cos 2x + sin x 2 2 2 2 é é ê2x - p = x + p + k2p êx = p + k2p æ ö æ ö p p ê ê 6 3 2 ÷ ÷ Û ê Û ê Û cos ç = cos ç ç2x - ÷ çx + ÷ ( k, l Î ¢ ) . ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç p p p l 2p 6ø 3ø ê è è ê =- x+ l2p + ê2x êx = 6 3 18 3 ë ë p p l 2p ● Thay vào ( e ) , họ nghiệm phương trình là: x = + k2pÚ x = + , ( k, l Î ¢ ) . 2 18 3 Û cos x - 3 sin x = 3 cos 2x + sin x Û Bài 137. Giải phương trình: t an x - 3= 1 cos x ( *) Bài giải tham khảo ● Điều kiện: cos x ¹ 0 (e ) " Cần cù bù thông minh…………" Page 77 Ths. Lê Văn Đoàn Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) 1 1 3 1 Û sin x - 3 cos x = 1 Û sin x cos x = cos x 2 2 2 é p p é êx êx = p + k2p = + k2p æ p÷ ö p ê ê 3 6 2 ÷ Û sin ç x = sin Û Û ç ( k, l Î ¢ ) . ê ê ÷ ç ÷ p p 7 p 3ø 6 è êx ê = p+ l 2p + l 2p ê êx = 6 6 ë 3 ë 7p ● Thay vào ( e ) , họ nghệm phương trình là: x = + l 2pÎ, ( l ¢ ) . 6 ( *) Û sin x cos x 3= 3 cos15x = 1 + 4 sin 3 5x Bài 138. Giải phương trình: 3 sin 5x - ( *) Bài giải tham khảo ( *) Û 3 sin 5x - 4 sin 3 5x - Û sin 15x é ê15x ê Û ê ê15x ê ë 3 cos15x = 1 3 cos15x = 1 Û p p = + k2p 3 6 Û p p = p+ l 2p 3 6 æ 3 1 pö p ÷ cos15x = Û sin ç = sin ç15x - ÷ ÷ ÷ ç 2 2 3ø 6 è 1 sin 15x 2 é êx = p + k2p ê 30 15 ( k, l Î ¢ ) . ê êx = 7p + l 2p ê 90 15 ë Bài 139. Giải phương trình: cos 3 x cos 3x - sin 3 x sin 3x = 5 8 ( *) Bài giải tham khảo ( *) Û ( ) ( ) cos3 x 4 cos 3 x - 3 cos x - sin 3 x 3 sin x - 4 sin 3 x = ( ) ( ) Û 4 cos6 x + sin 6 x - 3 cos 4 x + sin 4 x = 5 8 5 8 5 + 3 cos 4x 3 ( 3 + cos 4x ) 5 = 8 4 8 Û 20 + 12 cos 4x - 18 - 6 cos 4x - 5 = 0 1 p kp Û 6 cos 4x - 3 = 0 Û cos 4x = Û x = ± + , (k Î ¢) . 2 12 2 Û 4. Bài 140. Giải phương trình: 10 cos x = 3 cot x + 4 ( *) Bài giải tham khảo ( *) Û Page 78 10 cos x = 3 cos x 3 4 + 4 Û 10 sin x cos x = 3 cos x + 4 sin x Û sin 2x = cos x + sin x sin x 5 5 " All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) www.VNMATH.com Ths. Lê Văn Đoàn æ ö p ÷ Û sin 2x = cos x cos a + sin x sin a Û sin 2x = cos ( x - a ) Û sin 2x = sin ç - x + a÷ ç ÷ ç ÷ è2 ø é é ê2x = p - x + a + k2p êx = p + a + k2p æ 3ö ê ê 2 6 3 3 ç ÷. Û ê Û ê çk, l Î ¢ ; cos a = ÷ ÷ 5÷ è ø ê2x = p - p + x - a + l2p êx = p - a + l2p ç ê ê 2 2 ë ë Bài 141. Giải phương trình: cos 3x - sin x = 3 ( cos x - sin 3x ) ( *) Bài giải tham khảo 1 3 3 1 cos 3x + sin 3x = cos x + sin x 2 2 2 2 é é ê3x - p = x - p + k2p êx = p + k p æ ö æ ö p p ê ê 3 6 ÷ ÷ Û cos ç 3x - ÷ = cos ç x- ÷ Û ê Û ê 12 ç ç ( k, l Î ¢ ) . ÷ ÷ ç ç 3÷ 6÷ è ø è ø ê3x - p = - x + p + l 2p êx = p + lp ê ê 3 6 8 2 ë ë ( *) Û cos 3x + 3 sin 3x = 3 cos x + sin x Û æ 3pö ÷ ÷ 3x + =0 ç Bài 142. Giải phương trình: 4 sin 2x - 3 cos 2x - 5 cos ç ÷ ç ÷ 2 è ø ( *) Bài giải tham khảo é p ù 4 sin 2x - 3 cos 2x - 5 cos êp + - ( - 3x ) ú= 0 Û 4 sin 2x - 3 cos 2x = 5 sin 3x ê 2 ú ë û 4 3 Û sin 2x - cos 2x = sin 3x Û sin 3x = sin 2x cos a - cos 2x sin a 5 5 éx = - a + k2p é3x = 2x - a + k2p ê Û sin 3x = sin ( 2x - a ) Û ê ( k, l Î ¢ ) . ê3x = p - 2x + a + l 2p Û ê êx = p + a + l 2p ê ë ê 5 5 5 ë ( *) Û 2 Bài 143. Giải phương trình: 4 sin x 2 æ 3pö ÷ ÷ 3 cos 2x = 1 + 2 cos2 ç çx ( * ) , " x Îp( 0; ) ÷ ÷ ç 4 è ø Trích đề thi Dự bị 1 Đại học khối A năm 2005 Bài giải tham khảo ( * ) Û 2( 1 Û cos x ) - æ 3pö ÷ ÷ 3 cos 2x = 1 + 1 + cos ç Û 2 - 2 cos x ç2x ÷ ÷ ç 2 è ø 3 cos 2x - sin 2x = - 2 cos x Û " Cần cù bù thông minh…………" 3 cos 2x = 2 - sin 2x 3 1 cos 2x - sin 2x = cos x 2 2 Page 79 Ths. Lê Văn Đoàn Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) é êx = 5p + k2p æ ö p ê 18 3 ÷ Û cos ç 2x + ÷ = cos ( p - x ) Û ê ç ( k, l Î ¢ ) ÷ ç ÷ 7 p 6 è ø êx = + l 2p ê 6 ë 5p 17p 5p ● Do x Î ( 0; p) Þ x 1 = . ; x2 = ; x3 = 18 18 6 Bài 144. Giải phương trình: cos 2x - 3 sin 2x - 3 sin x - cos x + 4 = 0 (*) Trích đề thi tuyển sinh Học Viện Kỹ Thuật Quân Sự năm 1998 Bài giải tham khảo æ 1 ( * ) Û çççç2 cos 2x è ö 3 ÷ sin 2x ÷ ÷ ÷ 2 ÷ ø æ pö ÷ Û cos ç 2x + ÷ ç ÷ ç ÷ 3ø è æ3 ö 1 ÷ ç ÷ ç sin x + cos x ÷ + 2=0 ç ÷ ç2 2 ÷ è ø é æ pöù æ pö æ pö ÷ ê2. ç ú- sin ç ÷ ÷ ÷ sin ç x+ ÷ + 2 = 0 Û cos x + x+ ÷ + 2=0 ç ç ç ÷ ÷ ÷ ê ú ç ç ç ÷ ÷ ÷ 6ø 6 6 è è ø è ø ê ú ë û ö æ p÷ ö æ pö æ pö p÷ 2ç ÷ ç ç ÷ ÷ ÷ ÷ sin x + + 2 = 0 Û 2 sin x + + sin x+ ÷ - 3=0 ç ç ç ÷ ÷ ÷ ç ç ç ÷ ÷ ÷ ÷ 6÷ 6 6 6ø ø è ø è ø è æ Û 1 - 2 sin 2 ç x+ ç ç è é æ pö êsin ç ÷ x+ ÷ =1 ÷ ê ç ÷ ç p 6 è ø Û ê Û x = + k2p ; ( k Î ¢ ) . ê æ pö 3 3 ÷ êsin ç x+ ÷ =( L) ÷ ê ç ç ÷ 6 2 è ø ê ë 3 Bài 145. Giải phương trình: ( sin x + cos x ) - 2 ( sin 2x + 1) + sin x + cos x = 2 ( *) Trích đề thi Cao đẳng Sư phạm Thể Dục TW2 năm 2002 Bài giải tham khảo ( * ) Û ( sin x + cos x ) Û ( sin x + cos x ) 3 2 2 2 ( sin x + cos x ) + ( sin x + cos x ) - 2 =0 ( sin x + cos x - 2 ) + éêë( sin x + cos x ) - 2ù =0 ú û - 2 Û é (ësin x + cos x ) - 2 ùúûéêê( sin x + cos x ) + 1ùúú= 0 ê ë û ésin x + cos x - 2 = 0 æ pö ) ê( p ç ÷ Û ê Û cos x+ ÷ = 1 Û x = - + k2p, ( k Î ¢ ) . ç 2 ÷ ç ÷ 4ø 4 ê0 < ( sin x + cos x ) + 1 = 0 ( VN ) è ê ë Bài 146. Giải phương trình: 3 cos2 x + 2 sin x cos x - 3 sin 2 x - 1 = 0 ( *) Trích đề thi tuyển sinh Cao đẳng Kiểm Sát phía Nam năm 2000 Bài giải tham khảo ( *) Û Page 80 ( ) 3 cos2 x - sin 2 x - ( 1 - 2 sin x cos x ) = 0 " All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) Û www.VNMATH.com Ths. Lê Văn Đoàn 2 3 ( sin x - cos x ) ( sin x + cos x ) - ( sin x - cos x ) = 0 Û ( sin x - cos x ) ( 3 sin x + ésin x - cos x = 0 Û ê ê 3 sin x + cos x = sin x ê ë é êx = p + k p ê 4 Û ê ( k, l Î ¢ ) . êx = + p + lp ê 12 ë ) 3 cos x - sin x + cos x = 0 é æ êcos ç x+ ê ç ç è Û ê ê æ 3 cos x êsin ç x+ ê ç ç è ê ë Bài 147. Giải phương trình: cos 3x = 1 - pö ÷ ÷ =0 ÷ ÷ 4ø æ pö pö ÷ ç ÷ ÷ = sin x- ÷ ç ÷ ÷ ç ÷ ÷ 6ø 3ø è (*) 3 sin 3x Trích đề thi tuyển sinh Cao đẳng Sư Phạm năm 2005 Bài giải tham khảo éìï êï cos 3x = 1 - 3 sin 3x êíï êïï cos 3x > 0 êî ( * ) ÛÛÛ êïì - cos 3x = 1 - 3 sin 3x êïí êï cos 3x < 0 ê ëïîï éìï êï cos 3x + 3 sin 3x = 1 êíï êïï cos 3x > 0 êî êïì 3 sin 3x - cos 3x = 1 êïí êï cos 3x < 0 ê ëïîï éìï êïï x = k2p êí 3 êï êïïî cos 3x > 0 kp Û ê Û x= , (k Î ¢) . êìïï p l 2p 3 êï x = + êí 6 3 êïï cos 3x < 0 ê ëïïî Bài 148. Giải phương trình: 4 sin 3 x - 1 = 3 sin x - 3 cos 3x éïì æ êïï cos ç 3x ç êïí ç è êï êïï cos 3x > êîï êìï æ êï 3x ç êïï sin ç ç êí è êïï ï cos 3x > ê ëïî pö ÷ ÷ =1 ÷ ÷ 3ø 0 pö ÷ ÷ =1 ÷ ÷ 6ø 0 ( *) Trích đề thi Cao đẳng Hải Quan năm 1998 – 1999 Bài giải tham khảo ( *) Û 3 sin x - 4 sin 3 x - 3 cos 3x = - 1 Û 3 cos 3x - sin 3x = 1 æ pö p k2p ÷ Û cos ç 3x + ÷ =1 Û x =- + ,( k Î ¢ ) ç ÷ ç 3÷ 9 3 è ø ( ) Bài 149. Giải phương trình: 8 sin 6 x + cos 6 x - 3 3 cos 2x = 11 - 3 3 sin 4x - 9 sin 2x " Cần cù bù thông minh…………" Page 81 Ths. Lê Văn Đoàn Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) Bài giải tham khảo æ 3 2 ÷ ö P T Û 8ç 1 - sin 2x ÷ + 3 3 sin 4x - 11 = 3 3 cos 2x - 9 sin 2x ç ÷ ç ÷ è 4 ø Û 8 - 6 sin 2 2x + 3 3 sin 4x - 11 = 3 3 cos 2x - 9 sin 2x Û - 3 - 6 sin 2 2x + 3 3 sin 4x = 3 3 cos 2x - 9 sin 2x Û 2 sin 2 2x - 2 3 sin 2x cos 2x + 1 + ( ) 3 cos 2x - 3 sin 2x = 0 Û 2 sin 2 2x - 3 sin 2x + 1 - 3 cos 2x ( 2 sin 2x - 1) = 0 Û ( sin 2x - 1) ( 2 sin 2x - 1) - 3 cos 2x ( 2 sin 2x - 1) = 0 ( Û ( 2 sin 2x - 1) sin 2x - 1 é êsin 2x = ê Û ê æ ê ç 2x êsin ç ç è ê ë ) 3 cos 2x = 0 é 1 p = sin êx = p + kpÚ x = 5p + l p 2 6 Û ê 12 12 ( k, l, m, n Î ¢ ) . ê pö p p p ÷ ê ÷ = sin ÷ êx = + m pÚ x = + n p ÷ 6ø 6 6 2 ë Bài 150. Giải phương trình: 3 sin 2x ( 2 cos x + 1) + 3 cos x + 2 = cos 2x + cos 3x ( *) Bài giải tham khảo ( *) Û 3 sin 2x ( 2 cos x + 1) = cos 3x + cos 2x - 3 cos x - 2 Û 3 sin 2x ( 2 cos x + 1) = 4 cos 3 x - 3 cos x + 2 cos 2 x - 1 - 3 cos x - 2 Û 3 sin 2x ( 2 cos x + 1) = 4 cos 3 x + 2 cos2 x - 6 cos x - 3 Û 3 sin 2x ( 2 cos x + 1) = ( 2 cos x + 1) 2 cos2 x - 3 ( Û ( 2 cos x + 1) ( Û ( 2 cos x + 1) ( ) ) 3 sin 2x - 2 cos2 x + 3 = 0 ) 3 sin 2x - cos 2x + 2 = 0 æ3 ö 1 1 ÷ ç ç Û ( 2 cos x + 1) ç sin 2x - cos 2x + 1÷ =0 ÷ ÷ ç 2 2 ÷ è2 ø é æ ù pö ÷ ç ú= 0 ÷ Û ( 2 cos x + 1) ê sin 2x + 1 ÷ ê ç ú ÷ ç 6 è ø ê ú ë û é é êcos x = - 1 êx = ± 2p + k2p ê ê 2 3 Û ê æ Û ê ( k, l Î ¢ ) . ö p ê ç p ÷ ê ÷ sin 2x = 1 ê ç ÷ êx = - + l p ÷ ç 6ø ê 6 ë ë è Page 82 " All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) www.VNMATH.com Ths. Lê Văn Đoàn BÀI TẬP RÈN LUYỆN æ ö 1- 3 æ 9p 5p ÷ cos ç + sin ç ç - x÷ ç + ÷ ÷ 2 2 ç ç2 è2 ø è 2 2 1 + sin x 1 Câu 102. Giải phương trình: = 1 + cos x 2 æ pö ÷= 2 ç2x - ÷ Câu 103. Giải phương trình: 3 cos 2x + sin 2x + 2 sin ç ÷ ç 6÷ è ø Câu 101. Giải phương trình: 1+ 3 æ ö 21p ÷ + 2x ÷ + ç Câu 104. Giải phương trình: sin ç ÷ ÷ ç è2 ø ö 2 ÷ x÷ = ÷ ÷ ø 2 2 3 sin ( p - 2x ) = cos 2x + 2 sin 2 x æ pö æ pö 3 2 ÷ ç ÷ ÷ x + + sin x- ÷ = Câu 105. Giải phương trình: 2 sin ç ç ç ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ 4ø 4ø 2 è è æ ö p ÷ ÷ 3 sin x = 2 cos ç x ç ÷ ç è3 ø Câu 106. Giải phương trình: cos x - Câu 107. Giải phương trình: sin x = 2 sin 5x - cos x Câu 108. Giải phương trình: sin x + cos x = 2 2 sin x cos x Câu 109. Giải phương trình: sin 5x + cos 5x = 2 cos13x Câu 110. Giải phương trình: cos 7x - sin 5x = 3 ( cos 5x - sin 7x ) Câu 111. Giải phương trình: sin 8x - cos 6x = 3 ( sin 6x + cos 8x ) 2 Câu 112. Giải phương trình: ( sin x - 1) ( 1 + cos x ) = cos x 5 + 8=0 12 cos x + 5 sin x + 14 x x 2 + cos x + 3 sin x = sin + 3 cos 2 2 cos x - sin x cot x - t an x = sin x cos x 1 sin x + t an x = - cos x cos x 1 4 sin x + 3 cos x = 4 ( 1 + t an x ) cos x Câu 113. Giải phương trình: 12 cos x + 5 sin x + Câu 114. Giải phương trình: Câu 115. Giải phương trình: Câu 116. Giải phương trình: Câu 117. Giải phương trình: Câu 118. Giải phương trình: sin 5x + 3 cos 5x = 2 sin 7x Câu 119. Giải phương trình: 3 sin x + cos x = 1 Câu 120. Giải phương trình: sin x + 5 cos x = 1 ( ( 3 ) cos x = 2 , " x Îp( 0; ) æ p 13pö ÷ ÷ ç ; Câu 122. Giải phương trình: sin 3x + ( 3 - 2) cos 3x = 1 , " x Î ç ÷ ÷ ç 9 9 è ø Câu 123. Giải phương trình: ( 3 - 2 ) sin x + ( 3 + 2 ) cos x = 20 Câu 121. Giải phương trình: 1 + " Cần cù bù thông minh…………" ) 3 sin x + 1 - Page 83 Ths. Lê Văn Đoàn Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) Câu 124. Giải phương trình: sin x ( 1 - sin x ) = cos x ( 1 - cos x ) Câu 125. Giải phương trình: 3 cos2 x = sin 2 x + sin 2x Câu 126. Giải phương trình: 3 sin 3x - 3 cos 9x = 1 + sin 3 3x Câu 127. Giải phương trình: cos 7x cos 5x - 3 sin 2x = 1 - sin 7x sin 5x æ p÷ ö æ pö æ pö ÷ ÷ + 4 sin ç + 5 sin ç =0 çx - ÷ çx + ÷ ç5x + ÷ Câu 128. Giải phương trình: 3 sin ç ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ç 3÷ 6ø 6ø è ø è è Câu 129. Giải phương trình: sin x + 3 cos x + sin x + 3 cos x = 2 1 3 sin x + cos x = 3 + Câu 130. Giải phương trình: 3 sin x + cos x + 1 6 Câu 131. Giải phương trình: 3 cos x + 4 sin x + =6 3 cos x + 4 sin x + 1 1 + cos x + cos 2x + cos 3x 2 = 3 - 3 sin x Câu 132. Giải phương trình: 3 2 cos2 x + cos x - 1 ( ( ) Câu 133. Giải phương trình: cos 2x - 3 sin 2x - ) 3 sin x - cos x + 4 = 0 Câu 134. Giải phương trình: 3 sin 2x - 3 cos 6x = 1 + 4 sin 3 2x 3 Câu 135. Giải phương trình: cos x + 3 sin x = 3 3 sin x + cos x + 1 Câu 136. Giải phương trình: cos 9x - 2 cos 6x - 2 = 0 sin x - sin 2x Câu 137. Giải phương trình: = 3 cos x - cos 2x ( 2 Câu 138. Giải phương trình: 2 cos x + 3 sin 2x + 1 = 3 sin x + 3 cos x ) Câu 139. Giải phương trình: sin 2x + cos 2x + 3 sin x - cos x - 2 = 0 æx + 5pö æx - 8pö ÷ ÷ ç ÷ ÷ sin = cos 3x - 1 ç ç Câu 140. Giải phương trình: 2 cos ç ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ 2 2 è ø è ø Câu 141. Giải phương trình: 4 sin x cos 3x + 2 sin 2x = 3 sin x + cos x 1 3 cot x =1+ - cot 2 x sin x sin x æ p÷ ö æ pö æ pö ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ + 4 sin x + + 5 sin 5x + =0 çx - ÷ ç ç Câu 143. Giải phương trình: 3 sin ç ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ç 3ø 6ø 6ø è è è Câu 144. Giải phương trình: cos 2x + 3 sin 2x + 5 sin x - 3 cos x = 3 4 cos3 x + 2 cos2 x ( 2 sin x - 1) - sin 2x - 2 ( sin x + cos x ) Câu 145. Giải phương trình: =0 2 sin 2 x - 1 Câu 142. Giải phương trình: 2 3 cot x - 3 Câu 146. Giải phương trình: sin 2x ( cos x + 3) - 2 3 cos x - 3 3 cos 2x + 8 2 Câu 147. Giải phương trình: sin x + 4 sin x + ) 3 cos x - sin x = 3 3 ( 3 sin 2x + 3 cos2 x - 2 = ( 1 + 2 sin x ) sin x + Câu 148. Giải phương trình: cos2 x Câu 149. Giải phương trình: cos2 x - 3 sin 2x = 1 + sin 2 x Câu 150. Giải phương trình: sin 3x + 3 cos 3x + sin 2x + Page 84 ( 3 cos x ) 3 sin 2x = sin 3 x + 1 3 cos 2x = sin x + 3 cos x " All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) www.VNMATH.com Ths. Lê Văn Đoàn D – PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ĐẲNG CẤP   Dạng 1. a. sin 2 X + b. sin X cos X + c. cos2 X = d ( 1) " a, b, c, d Î ¡ .  Phương pháp 1. Chia hai vế cho cos2 X (hay sin 2 X ). ìï cos X = 0 p ï X = + k pÎÛ , k ¢ ( ) í 2 ( Hay X = kp) có phải là nghiệm  Bước 1. Kiểm tra xem ïï sin x = 1 2 ïî của phương trình ( 1) hay không ? Nếu phải thì ghi nhận nghiệm này. ìï cos X ¹ 0 p + k p, ( k Î ¢ ) Û ïí 2 ( Hay X ¹ kp) . Chia hai vế của ( 1) cho ïï sin x ¹ 1 2 ïî 2 2 (hay ), ta đượ c : cos X sin X 2 sin X sin X cos X cos2 X d 1 Û a. + b. + c. = () 2 2 2 cos X cos X cos X cos2 X Û a t an 2 X + b t an X + c = d 1 + t an 2 X  Bước 2. Khi X ¹ ( ) Û ( a - d ) t an 2 X + b t an X + c - d = 0 .  Bước 3: Đặt t = t an X để đưa về phương trình bậc hai mà biết cách giải.  Phương pháp 2: Sử dụng công thức hạ bậc và nhân đôi 1 - cos 2X 1 + cos 2X sin 2X  Bước 1: Thế sin 2 X = và sin X cos X = vào ( 1) và ; cos2 X = 2 2 2 rút gọn lại, ta được: b sin 2X + ( c - a ) cos 2X = 2d - a - c ( * )  Bước 2: Giải phương trình ( * ) , tìm nghiệm. Đây là phương trình bậc nhất đối với sin 2X và cos 2X (phương trình cổ điển) mà đã biết cách giải. éa. sin 3 X + b. sin 2 X cos X + c. sin X cos2 X + d. cos 3 X = 0 ê  Dạng 2. ê a. sin 4 X + b. sin 3 X cos X + c. sin 2 X cos2 X + d. sin X cos 3 X + e. cos4 X ê ë ( 2) ( 3) Phương pháp: Chia hai vế của ( 2) cho cos 3 X (hay sin 3 X ) hoặc chia hai vế của ( 3) cho cos 4 X (hay sin 4 X ) và giải tương tự như trên. " Cần cù bù thông minh…………" Page 85 Ths. Lê Văn Đoàn Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 151. Giải phương trình: cos2 x - ( *) 3 sin 2x = 1 + sin 2 x 3 3 2 Bài 152. Giải phương trình: cos x - 4 sin x - 3 cos x sin x + sin x = 0 4 2 2 4 Bài 153. Giải phương trình: 3 cos x - 4 sin x cos x + sin x = 0 ( *) ( *) ( *) Bài 154. Giải phương trình: sin 2x + 2 t an x = 3 3 Bài 155. Giải phương trình: sin x sin 2x + sin 3x = 6 cos x ( *) cos 2x 1 + sin 2 x - sin 2x 1 + t an x 2 Bài 157. Giải phương trình: sin 3x + cos 3x + 2 cos x = 0 ( * ) Bài 156. Giải phương trình: cot x - 1 = (*) 5 sin 4x cos x ( *) 2 cos 2x Bài 159. Giải phương trình: sin x - 4 sin 3 x + cos x = 0 2 2 Bài 160. Giải phương trình: t an x sin x - 2 sin x = 3 ( cos 2x + sin x cos x ) Bài 158. Giải phương trình: 6 sin x - 2 cos 3 x = ( *) 3 2 Bài 161. Giải phương trình: cos x + sin x - 3 sin x cos x = 0 2 Bài 162. Giải phương trình: sin x ( t an x + 1) = 3 sin x ( cos x - sin x ) + 3 2 Bài 163. Giải phương trình: cos ( 3p - 2x ) - ( *) ( *) æ ö 9p÷ ÷ 3 cos ç 4x = 1 + sin 2 ( p - 2x ) , " x Î ç ÷ ç 2÷ è ø 1 - cos 3 x ( *) 1 - sin 3 x 3 2 2 3 Bài 165. Giải phương trình: sin x - 5 sin x cos x - 3 sin x cos x + 3 cos x = 0 é ù ê- p ;2pú( 1) ê 3 ú ë û Bài 164. Giải phương trình: t an 2 x = ( *) 3 2 Bài 166. Giải phương trình: cos x + sin x - 3 sin x cos x = 0 Bài 167. Giải phương trình: 1 + t an x = 2 2 sin x ( *) 3 3 Bài 168. Giải phương trình: sin x + cos x = sin x - cos x ( *) 2 2 Bài 169. Giải phương trình: 3 t an x + 4 t an x + 4 cot x + 3 cot x + 2 = 0 2 Bài 170. Giải phương trình: 3 t an x - t an x + 3 3 Bài 171. Giải phương trình: 4 cos x + 2 sin x - 3 sin x = 0 3 Bài 172. Giải phương trình: 6 sin x - 2 cos x = 5 sin 2x cos x ( *) ( 4 4 Bài 175. Giải phương trình: 3 sin x + 5 cos x - 3 = 0 Page 86 sin x + cos x =1 sin 2x ( *) ( *) ( *) 3 3 5 5 Bài 174. Giải phương trình: sin x + cos x = 2 sin x + cos x Bài 176. Giải phương trình: ( *) æ xö 3 + 3 sin x 2 çp ÷ 8 cos =0 ç - ÷ ÷ 2 ÷ ç cos x è4 2 ø Bài 173. Giải phương trình: 1 + 3 t an x = 2 sin 2x ( *) ) ( *) ( *) ( *) " All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) Bài 177. Giải phương trình: sin 3 x - www.VNMATH.com Ths. Lê Văn Đoàn 3 cos 3 x = sin x cos2 x - 3 sin 2 x cos x ( ( *) ) 2 3 Bài 178. Giải phương trình: cot x + 2 2 sin x = 2 + 3 2 cos x æ p÷ ö 3 ÷ x = 2 sin x ç Bài 179. Giải phương trình: sin ç ç ÷ 4÷ è ø ( *) æ pö 3 ÷ x+ ÷ = cos 3x ç Bài 180. Giải phương trình: 8 cos ç ÷ ç ÷ 3ø è ( *) æ pö ÷ 2 sin 3 ç x+ ÷ = 2 sin x ( * ) ç ÷ ç ÷ 4ø è æ pö 3 ÷ x- ÷ - 3 cos x - sin x = 0 ç Bài 182. Giải phương trình: 2 2 cos ç ÷ ç ÷ 4ø è ( *) Bài 181. Giải phương trình: ( ) ( *) 3 3 Bài 183. Giải phương trình: 4 sin x + cos x = cos x + 3 sin x ( *) Bài 184. Giải phương trình: 4 3 sin x cos x + 4 cos 2 x = 2 sin 2 x + 5 2 ( *) (*) 2 Bài 185. Giải phương trình: sin x - 3 sin x cos x + 1 = 0 1 cos2 2x ( * ) 2 3 5 1 Bài 187. Giải phương trình: sin 4 x + cos 4 x = - sin 2x cos 2x - cos2 2x 2 4 4 Bài 186. Giải phương trình: sin 4 x + cos 4 x = 2 sin 2x cos 2x - Bài 188. Giải phương trình: sin 2 x + 3 sin x cos x + 2 cos2 x = Bài 189. Giải phương trình: sin 2 x + sin 2x + æ 15p + ç Bài 190. Giải phương trình: 2 sin x cos ç ç è2 ( *) 3 cos2 x = 3 ö æ 17p ÷ x÷ + sin ç + ç ÷ ç ÷ ø è2 æ13p Bài 191. Giải phương trình: 4 sin ( 3p - x ) cos ççç è2 ö ÷ x÷ cos x = 3 sin ( 7 p ÷ ÷ ø æ5p ö æ3p çç ÷ 4 sin ( p + x ) sin ççç - x ÷ + 2 sin ÷ ÷ è2 ø èç 2 ö ÷ x÷ + ÷ ÷ ø æ 5p 2 + ç Bài 192. Giải phương trình: 3 sin ( 3p - x ) + 2 sin ç ç è2 1 cos x 1 Bài 194. Giải phương trình: 4 sin x + 6 cos x = cos x Bài 193. Giải phương trình: 3+ 2 2 3 sin x + cos x = ö æ p ÷ x÷ cos ç + ç ÷ ç ÷ è2 ø ö ÷ x÷ ÷ ÷ ø ( *) ( *) 3 3 2 Bài 196. Giải phương trình: 4 sin x + 3 cos x - 3 sin x - sin x cos x = 0 Bài 198. Giải phương trình: 2 + cos x = 2 t an " Cần cù bù thông minh…………" x 2 æ ö 9p ÷ ÷ x ) sin ç x ç ÷ ç ÷ è2 ø ö ÷ x÷ cos ( p + x ) = 1 ÷ ÷ ø æ ö 3p ÷ 5 sin 2 ç + x÷ = 0 ( *) ç ÷ ç2 ÷ è ø ( *) Bài 195. Giải phương trình: 7 sin 2 x + 2 sin 2x - 3 cos2 x - 3 3 15 = 0 Bài 197. Giải phương trình: 1 + 3 sin 2x = 2 t an x ( *) ( *) ( *) ( *) Page 87 Ths. Lê Văn Đoàn Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) Bài 199. Giải phương trình: cot x = t an x + 2 t an 2x ( * ) æ ö 7p ÷ ÷ x =0 ç Bài 200. Giải phương trình: sin 3x + cos 3x - 2 sin ç ÷ ç ÷ è2 ø ( 1) HƯỚNG DẪN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ĐẲNG CẤP  Bài 151. Giải phương trình: cos2 x - 3 sin 2x = 1 + sin 2 x ( *) Bài giải tham khảo p + k pÎÛ ,( k ¢ ) cos x = 0 Ù sin x = ±1 thì ( * ) vô nghiệm. 2 ● Do cos x = 0 không là nghiệm của ( * ) nên chia hai vế ( * ) cho cos2 x ¹ 0 , ta được: ● Khi x = ( *) Û cos2 x 2 3 sin x cos x 1 sin 2 x = + cos2 x cos2 x cos2 x cos2 x Û 1 - 2 3 t an x = 1 + t an 2 x + t an 2 x ïì t = t an x Û ïí 2 Û ïï 2t + 2 3t = 0 îï ïì t = t an x ïí ïï t = 0 Ú t = îï ìï x = kp ïì t an x = 0 ï ï ï Û í Û í ( k, l Î ¢ ) . ïï t an x = - 3 ïï x = - p + l p 3 îï ïïî 3 3 3 2 Bài 152. Giải phương trình: cos x - 4 sin x - 3 cos x sin x + sin x = 0 ( *) Bài giải tham khảo p + k pÎÛ ,( k ¢ ) cos x = 0 Ù sin x = ±1 thì ( * ) vô nghiệm. 2 ● Do cos x = 0 không là nghiệm của ( * ) nên chia hai vế ( * ) cho cos3 x ¹ 0 , ta được: ● Khi x = cos 3 x sin 3 x 3 cos x sin 2 x sin x 1 4 + . =0 3 3 3 cos x cos 3 x cos x cos x cos x Û 1 - 4 t an 3 x - 3 t an 2 x + t an x 1 + t an 2 x = 0 ( *) Û ( ) Û 3 t an 3 x + 3 t an 2 x - t an x - 1 = 0 Û 3 t an 2 x ( t an x + 1) - ( t an x + 1) = 0 ( ) Û ( t an x + 1) 3 t an 2 x - 1 = 0 é ét an x = - 1 êx = - p + k p ê ê 4 Û ê Û ê ( k, l Î ¢ ) . 3 êt an x = ± p ê ê êx = ± + l p 3 ë 6 ë 4 2 2 4 Bài 153. Giải phương trình: 3 cos x - 4 sin x cos x + sin x = 0 Page 88 ( *) " All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) www.VNMATH.com Ths. Lê Văn Đoàn Bài giải tham khảo p + k pÎÛ ,( k ¢ ) cos x = 0 Ù sin x = ±1 thì ( * ) vô nghiệm. 2 ● Do cos x = 0 không là nghiệm của ( * ) nên chia hai vế ( * ) cho cos 4 x ¹ 0 , ta được: é êx = ± p + kp ét an x = ±1 ét an 2 x = 1 ê ê ê 4 ( * ) Û 3 - 4 t an 2 x + t an 4 x = 0 ÛÛÛÎ ( k, l ê ê êt an 2 x = 3 p t an x = ± 3 ê ê ê ë ë êx = ± + l p 3 ë ● Khi x = Bài 154. Giải phương trình: sin 2x + 2 t an x = 3 ¢) . ( *) Bài giải tham khảo p + k pÎÛ ,( k ¢ ) cos x = 0 Ù sin x = ±1 thì ( * ) vô nghiệm. 2 ● Do cos x = 0 không là nghiệm của ( * ) nên chia hai vế ( * ) cho cos2 x ¹ 0 , ta được: ● Khi x = 2 sin x cos x 1 1 + 2 t an x. = 3. Û 2 t an x + 2 t an x 1 + t an 2 x = 3 1 + t an 2 x 2 2 cos x cos x cos x p Û 2 t an 3 x - 3 t an 2 x + 4 t an x - 3 = 0 Û t an x = 1 Û x = + k p, ( k Î ¢ ) . 4 ( ( *) Û 3 Bài 155. Giải phương trình: sin x sin 2x + sin 3x = 6 cos x ) ( ( *) Bài giải tham khảo p + k pÎÛ ,( k ¢ ) cos x = 0 Ù sin x = ±1 thì ( * ) vô nghiệm. 2 ● Do cos x = 0 không là nghiệm của ( * ) nên chia hai vế ( * ) cho cos 3 x ¹ 0 , ta được: ● Khi x = 2 sin x sin x cos x 3 sin x - 4 sin 3 x 6 cos 3 x + = cos 3 x cos3 x cos 3 x sin 2 x sin x 1 sin 3 x Û 2 + 3. . 4. =6 cos x cos2 x cos2 x cos 3 x ( *) Û ( ) Û 2 t an 2 x + 3 t an x t an 2 x + 1 - 4 t an 3 x - 6 = 0 Û t an 3 x - 2 t an 2 x - 3 t an x + 6 = 0 éx = a + k p ét an x = 2 = t an a ê ê Û ê Û ê ( k, l Î ¢ ) . êx = ± p + l p t an x = ± 3 ê ê ë 3 ë Bài 156. Giải phương trình: cot x - 1 = cos 2x 1 + sin 2 x - sin 2x 1 + t an x 2 ( *) Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối A năm 2003 " Cần cù bù thông minh…………" Page 89 ) Ths. Lê Văn Đoàn Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) Bài giải tham khảo ìï sin x ¹ 0 ïï ï ● Điều kiện: í cos x ¹ 0 Û ïï ïï t an x ¹ - 1 î ìï sin 2x ¹ 0 ï í ïï t an x ¹ - 1 î (e ) cos 2x cos2 x - sin 2 x ( cos x - sin x ) ( cos x + sin x ) = = = cos x ( cos x - sin x ) ● Ta có: 1 + t an x . sin x cos x + sin x 1+ cos x cos x x - 1 = cos2 x - sin x cos x + sin 2 x - sin x cos x ( * ) Û cos sin x cos x - sin x Û = 1 - 2 sin x cos x sin x 2 cos x - sin x Û - ( sin x - cos x ) = 0 sin x æ1 ö ÷ Û ( sin x - cos x ) ç + sin x - cos x ÷ =0 ç ÷ ç ÷ èsin x ø ( ) Û ( sin x - cos x ) sin 2 x - sin x cos x + 1 = 0 ésin x - cos x = 0 ésin x = cos x ê ê Û êsin 2 x sin x cos x Û 1 êt an 2 x - t an x + 1 + t an 2 x = 0 ê + =0 ê êcos2 x 2 2 ë cos x cos x ë ét an x = 1 p Û ê ê2 t an 2 x - t an x + 1 = 0 VN Û x = 4 + kp , ( k Î ¢ ) ( ) ê ë p ● Thay vào ( e ) , họ nghiệm phương trình: x = + kpÎ, ( k ¢ ) . 4 Bài 157. Giải phương trình: sin 3x + cos 3x + 2 cos x = 0 ( 1) Bài giải tham khảo ( 1) Û ( 3 sin x - ) ( ) 4 sin 3 x + 4 cos 3 x - 3 cos x + 2 cos x = 0 Û 3 sin x - 4 sin 3 x + 4 cos 3 x - cos x = 0 ( *) p + k pÎÛ ,( k ¢ ) cos x = 0 Ù sin x = ±1 thì ( * ) vô nghiệm. 2 ● Do cos x = 0 không là nghiệm của ( * ) nên chia hai vế ( * ) cho cos3 x ¹ 0 , ta được: ● Khi x = 3 sin x 1 4 sin 3 x 4 cos 3 x cos x 1 . + . =0 2 3 3 cos x cos x cos x cos2 x cos x cos x Û 3 t an x 1 + t an 2 x - 4 t an 3 x + 4 - 1 + t an 2 x = 0 ( *) Û ( ) ( ) é êx = - p + kp ét an x = - 1 ê 4 Û - t an 3 x - t an 2 x + 3 t an x + 3 = 0 Û ê Û ê ( k, l Î ¢ ) . ê p t an x = ± 3 ê ê ë êx = ± + l p 3 ë Page 90 " All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) www.VNMATH.com Ths. Lê Văn Đoàn 5 sin 4x cos x 2 cos 2x Bài 158. Giải phương trình: 6 sin x - 2 cos 3 x = ( 1) Bài giải tham khảo 2 2 ● Điều kiện: cos 2x ¹ 0 Û cos x - sin x ¹ 0 Û t an x ¹ 1 Û t an x ¹ ±1 2 (e ) . 10 sin 2x cos 2x cos x 2 cos 2x 3 Û 6 sin x - 2 cos x = 10 sin x cos2 x ( * ) ( 1) Û 6 sin x - 2 cos 3 x = p + k pÎÛ ,( k ¢ ) cos x = 0 Ù sin x = ±1 thì ( * ) vô nghiệm. 2 ● Do cos x = 0 không là nghiệm của ( * ) nên chia hai vế ( * ) cho cos 3 x ¹ 0 , ta được: ● Khi x = sin x 1 cos 3 x 10 sin x cos 2 x . 2 = cos x cos2 x cos 3 x cos 3 x Û 6 t an x t an 2 x + 1 - 2 - 10 t an x = 0 ( *) Û 6 ( ) Û 6 t an 3 x - 4 t an x - 2 = 0 Û t = 1 ( L) Þ Phương trình vô nghiệm. WWW.VNMATH.COM 3 Bài 159. Giải phương trình: sin x - 4 sin x + cos x = 0 ( *) Bài giải tham khảo p + k pÎÛ ,( k ¢ ) cos x = 0 Ù sin x = ±1 thì ( * ) vô nghiệm. 2 ● Do cos x = 0 không là nghiệm của ( * ) nên chia hai vế ( * ) cho cos 3 x ¹ 0 , ta được: ● Khi x = sin x 1 sin 3 x cos x 1 . 4 + . =0 2 3 cos x cos x cos x cos x cos2 x Û t an x 1 + t an 2 x - 4 t an 3 x + 1 + t an 2 x = 0 ( *) Û ( ) ( ) Û - 3 t an 3 x + t an 2 x + t an x + 1 = 0 Û t an x = 1 Û x = p + k p, ( k Î ¢ ) . 4 2 2 Bài 160. Giải phương trình: t an x sin x - 2 sin x = 3 ( cos 2x + sin x cos x ) ( *) Bài giải tham khảo ● Điều kiện: cos x ¹ 0 (e ) . ● Do cos x ¹ 0 nên chia hai vế ( * ) cho cos2 x ¹ 0 , ta được: æ sin 2 x 2 sin 2 x cos2 x sin 2 x sin x cos x ö ÷ ç ÷ * Û t an x 3 + =0 ç ( ) ÷ 2 2 2 2 2 ç ÷ çcos x cos x cos x cos x cos x ø è ( ) Û t an 3 x - 2 t an 2 x - 3 1 - t an 2 x + t an x = 0 " Cần cù bù thông minh…………" Page 91 Ths. Lê Văn Đoàn Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) é êx = - p + kp ét an x = - 1 ê 3 2 ê 4 Û t an x + tan x - 3 t an x - 3 = 0 Û ê Û ê ( k, l Î ¢ ) . t an x = ± 3 êx = ± p + l p ê ë ê 3 ë p p ● Thay vào ( e ) , họ nghiệm phương trình là: x = + k pÚ x = ± + l pÎ; ( k, l ¢ ) . 4 3 3 2 Bài 161. Giải phương trình: cos x + sin x - 3 sin x cos x = 0 (*) Bài giải tham khảo p + k pÎÛ ,( k ¢ ) cos x = 0 Ù sin x = ±1 thì ( * ) vô nghiệm. 2 ● Do cos x = 0 không là nghiệm của ( * ) nên chia hai vế ( * ) cho cos3 x ¹ 0 , ta được: ● Khi x = cos 3 x sin x 1 3 sin 2 x cos x + . . =0 cos 3 x cos x cos2 x cos2 x cos x Û 1 + t an x ( t an x + 1) - 3 t an 2 x = 0 Û 2 t an 2 x - t an x - 1 = 0 ( *) Û ét an x = 1 é ê êx = x + k p Û ê Û ê 4 êt an x = - 1 = t an a ê x = a + lp ê ê 2 ë ë æ 1ö ç ÷ . çk, l Î ¢ , t an a = - ÷ ÷ ÷ ç 2ø è 2 Bài 162. Giải phương trình: sin x ( t an x + 1) = 3 sin x ( cos x - sin x ) + 3 ● Điều kiện: cos x ¹ 0 . ( *) Bài giải tham khảo ● Do cos x ¹ 0 nên chia hai vế ( * ) cho cos2 x ¹ 0 , ta được: sin 2 x 3 sin x cos x - 3 sin 2 x 1 + 3. ( * ) Û cos2 x ( t an x + 1) = 2 cos x cos2 x Û t an 2 x ( t an x + 1) = 3 t an x - 3 t an 2 x + 3 1 + t an 2 x ( ) Û t an 3 x + t an 2 x - 3 t an x + 3 t an 2 x - 3 t an 2 x - 3 = 0 é êx = - p + kp ét an x = - 1 ê 4 Û t an 3 x + tan 2 x - 3 t an x - 3 = 0 Û ê Û ê ( k, l Î ¢ ) . ê p t an x = ± 3 ê ê ë êx = ± + l p 3 ë Bài 163. Giải phương trình: cos2 ( 3p - 2x ) - æ ö é p ù 9p÷ ÷ 3 cos ç = 1 + sin 2 ( p - 2x ) , " x Î ê- ;2pú ( 1) ç4x ÷ ê 3 ú ç 2÷ è ø ë û Bài giải tham khảo ( 1) Û Page 92 cos2 2x - 3 sin 4x = 1 + sin 2 2x ( *) " All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) www.VNMATH.com Ths. Lê Văn Đoàn p p + k , ( k ÎÛ¢ ) cos 2x = 0 Ù sin 2x = ±1 thì ( * ) vô nghiệm. 4 2 ● Do cos 2x = 0 không là nghiệm của ( * ) nên chia hai vế ( * ) cho cos2 x ¹ 0 , ta được: ● Khi x = cos2 2x 2 3 sin 2x cos 2x 1 sin 2 2x + + ( * ) Û cos2 2x cos2 2x cos 2 2x cos 2 2x Û 1 - 2 3 t an 2x = 1 + t an 2 2x + t an 2 2x Û 2 t an 2 2x + 2 3 t an 2x = 0 é é2x = kp êx = kp ét an 2x = 0 ê ê 2 Û ê Û ê Û ê ( k, l Î ¢ ) . p ê ê p lp t an 2x = - 3 2x = + l p ê ê ê ë êx = - + 3 ë 6 2 ë BÀI TẬP RÈN LUYỆN Câu 151. Giải phương trình: sin 2 x + 2 cos2 x = 3 sin x cos x Câu 152. Giải phương trình: sin 2 x - 3 sin x cos x = - 1 Câu 153. Giải phương trình: 2 sin 2 x + 3 cos2 x - cos 2x - 5 sin 2x = 0 Câu 154. Giải phương trình: 4 sin 3 x + 3 cos 3 x - 3 sin x - sin 2 x cos x = 0 æ ö æ ö 9p 7p 2 ÷ ÷ ç ÷ ÷ x cos + x - 4 cos2 ( 2p + x ) = 0 ç ç Câu 155. Giải phương trình: sin ( p - x ) + 3 sin ç ÷ ÷ ç ç ÷ è2 ÷ è2 ø ø æ ö é pù 2 3p 2 ÷ ê0; ú ÷ x + 3 3 sin x cos x cos 3 p x = 2 , " x Î ç Câu 156. Giải phương trình: 2 cos ç ( ) ÷ ç ê 2ú ÷ è2 ø ë û é p ù 2 2 - ;2pú Câu 157. Giải phương trình: cos 2x - 3 sin 4x = 1 + sin 2x , " x Î ê ê 3 ú ë û ép ù 3 3 ;3 ú Câu 158. Giải phương trình: cos x - 3 sin x + cos x sin 2x = 0 , " x Îpê ê4 ú ë û Câu 159. Giải phương trình: 2 sin 2x + 3 t an x = 5 Câu 160. Giải phương trình: sin 3 x + 3 cos 3 x + sin x = 0 Câu 161. Giải phương trình: cos x - sin x - 4 cos x sin 2 x = 0 2 Câu 162. Giải phương trình: sin x ( t an x - 2) = 3 ( cos 2x + sin x cos x ) 2 Câu 163. Giải phương trình: sin x ( t an x + 1) - sin x ( cos x - sin x ) - 1 = 0 1 1 + sin x cos x 4 2 4 Câu 165. Giải phương trình: 3 cos ( p - x ) - sin 2x + sin ( 3p - x ) = 0 Câu 164. Giải phương trình: 4 sin x = æ ö 7p ÷ ÷ x =0 ç Câu 166. Giải phương trình: sin 3x + cos 3x - 2 sin ç ÷ ç ÷ è2 ø Câu 167. Giải phương trình: 3 sin 2x ( 2 cos x + 1) + 2 = cos 3x + cos 2x - 3 cos x Câu 168. Giải phương trình: 2 cos3 x = sin 3x " Cần cù bù thông minh…………" Page 93 Ths. Lê Văn Đoàn Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) Câu 169. Giải phương trình: 1 + sin 3 2x + cos 3 2x = ( 6 6 1 sin 4x 2 ) Câu 170. Giải phương trình: 8 sin x + cos x + 3 3 sin 4x = 3 3 cos 2x - 9 sin 2x + 11 Câu 171. Giải phương trình: 4 sin 3 x + 3 cos 3 x - 3 sin x - sin 2 x cos x = 0 E – PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ĐỐI XỨNG   Dạng 1. a ( sin x + cos x ) + b sin x cos x + c = 0 Þ P P : t = sin x + cos x, t £  Dạng 2. t2 - 1 . 2 a ( sin x - cos x ) + b sin x cos x + c = 0 Þ P P : t = sin x - cos x, t £  Dạng 3. 2 Þ sin x cos x = ( 2 Þ sin x cos x = 1 - t2 . 2 ) a t an 2 x + cot 2 x + b ( t an x + cot x ) + c = 0 ìï sin x ¹ 0 kp ÐK : ïí Û sin 2x ¹ 0 Û x ¹ ,( k Î ¢ ) . ïï cos x ¹ 0 2 î Þ P P : t = t an x + cot x , t ³ 2 Þ t an 2 x + cot 2 x = t 2 - 2 .  Dạng 4. ( ) a t an 2 x + cot 2 x + b ( t an x - cot x ) + c = 0 ìï sin x ¹ 0 kp ÐK : ïí Û sin 2x ¹ 0 Û x ¹ ,( k Î ¢ ) . ïï cos x ¹ 0 2 î Þ P P : t = t an x - cot x , t ³ 2 Þ t an 2 x + cot 2 x = t 2 + 2 .  Dạng 5. ( ) a sin 4 x + cos4 x + b sin 2x + c = 0 Þ P P : t = sin 2x, t £ 1 Þ sin 4 x + cos 4 x = 1  Dạng 6. ( ) a sin 4 x + cos 4 x + b cos 2x + c = 0 Þ P P : t = cos 2x, t £ 1 Þ sin 4 x + cos 4 x = 1  Dạng 7. ( Page 94 1 2 1 1 1 1 sin 2x = + cos 2 2x = + t 2 . 2 2 2 2 2 ) a sin 6 x + cos6 x + b sin 2x + c = 0 Þ P P : t = sin 2x, t £ 1 Þ sin 6 x + cos 6 x = 1  Dạng 8. 1 2 1 sin 2x = 1 - t 2 . 2 2 ( 3 2 3 sin 2x = 1 - t 2 . 4 4 ) a sin 6 x + cos 6 x + b cos 2x + c = 0 " All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) www.VNMATH.com Ths. Lê Văn Đoàn Þ P P : t = cos 2x, t £ 1 Þ sin 6 x + cos 6 x = 1  Dạng 9. 3 2 1 3 1 3 sin 2x = + cos 2 2x = + t 2 . 4 4 4 4 4 a sin 4 x + b cos 4 x + c cos 2x + d = 0 2 ìï ìï 2 ïï 4 1- t) ( 1 cos 2x 1 t ïï sin x = ï sin x = = 2 2 Þ ïíï 4 Þ P P : t = cos 2x, t £ 1 Þ ïí 2 ïï ï 1 + cos 2x 1 + t 2 1 + t ï ( ) cos x = = ïï ïï cos 4 x = 2 2 îï ïïî 4 BÀI TẬP ÁP DỤNG ( *) 2 3 Bài 201. Giải phương trình: sin x + sin x + cos x = 0 Bài 202. Giải phương trình: sin 3 x + cos 3 x - 1 = Bài 203. Giải phương trình: 3 sin 2x 2 ( *) 2 ( sin x + cos x ) = t an x + cot x ( *) Bài 204. Giải phương trình: 3 ( cot x - cos x ) - 5 ( t an x - sin x ) = 2 Bài 205. Giải phương trình: 3 t an 3 x - t an x + 3 ( 1 + sin x ) cos2 x ( *) æ ö p x÷ = 8 cos2 ç - ÷ ç ÷ ç è4 2 ÷ ø 3 3 Bài 206. Giải phương trình: 2 sin x - sin x = 2 cos x - cos x + cos 2x (*) ( *) 2 3 4 2 3 4 Bài 207. Giải phương trình: sin x + sin x + sin x + sin x = cos x + cos x + cos x + cos x ( * ) ( ) 2 3 3 Bài 208. Giải phương trình: t an x 1 - sin x + cos x - 1 = 0 ( *) 3 Bài 209. Giải phương trình: cos2 2x + 2 ( sin x + cos x ) - 3 sin 2x = 3 Bài 210. Giải phương trình: 2 sin x + cot x = 2 sin 2x + 1 ( *) Bài 211. Giải phương trình: cos 2x + 5 = 2 ( 2 - cos x ) ( sin x - cos x ) 3 3 Bài 212. Giải phương trình: cos x + sin x = cos 2x 3 3 Bài 213. Giải phương trình: cos x - sin x = 1 ( *) ( *) ( *) ( *) 2 2 Bài 214. Giải phương trình: 2 cos 2x + sin x cos x + sin x cos x = 2 ( sin x + cos x ) 2 2 Bài 215. Giải phương trình: 3 t an x + 4 t an x + 4 cot x + 3 cot x + 2 = 0 ( *) (*) 2 3 2 3 Bài 216. Giải phương trình: t an x + t an x + t an x + cot x + cot x + cot x = 6 ( *) 2 + 2 t an 2 x + 5 t an x + 5 cot x + 4 = 0 ( * ) 2 sin x 1 5 Bài 218. Giải phương trình: + cot 2 x + ( t an x + cot x ) + 2 = 0 ( * ) 2 2 cos x 3 3 Bài 219. Giải phương trình: 1 + cos x - sin x = sin x ( *) Bài 217. Giải phương trình: 3 2 Bài 220. Giải phương trình: cos x + cos x + 2 sin x - 2 = 0 ( *) Bài 221. Giải phương trình: cos 2x + 5 = 2 ( 2 - cos x ) ( sin x - cos x ) " Cần cù bù thông minh…………" ( *) Page 95 Ths. Lê Văn Đoàn Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) ( *) Bài 222. Giải phương trình: cot x - t an x = sin x + cos x ( *) Bài 223. Giải phương trình: 1 + t an x = sin x + cos x Bài 224. Giải phương trình: sin 2x + æ pö ÷ 2 sin ç x- ÷ =1 ç ÷ ç ÷ 4ø è ( *) Bài 225. Giải phương trình: sin 2x - 12 ( sin x - cos x ) + 12 = 0 sin x + cos x = 1 ( *) sin 2x + 1 1 - cos 2x 1 - cos 3 x Bài 227. Giải phương trình: = 1 + cos 2x 1 - sin 3 x ( *) Bài 226. Giải phương trình: ( *) Bài 228. Giải phương trình: 5 ( sin x + cos x ) + sin 3x - cos 3x = 2 2 ( 2 + sin 2x ) ( *) Bài 229. Giải phương trình: 1 + sin x + cos x + sin 2x + 2 cos 2x = 0 ( *) 2 2 Bài 230. Giải phương trình: sin x cos x - cos 2x + sin x = cos x sin x + cos x Bài 231. Giải phương trình: cos 2x + 5 = 2 ( 2 - cos x ) ( sin x - cos x ) ( ) (*) ( *) 2 3 Bài 232. Giải phương trình: cos x + sin x + cos x = 0 Bài 233. Giải phương trình: 4 sin 3 x - 1 = 3 sin x - 3 cos 3x ( ( *) ) ( *) 2 2 Bài 234. Giải phương trình: 1 + sin x cos x + 1 + cos x sin x = 1 + sin 2x Bài 235. Giải phương trình: sin x cos x + 2 sin x + 2 cos x = 2 ( *) ( *) Bài 236. Giải phương trình: 1 + t an x = 2 2 sin x Bài 237. Giải phương trình: 2 ( cot 2x - cot 3x ) = t an 2x + cot 3x 2 2 Bài 238. Giải phương trình: t an x + cot x + 2 ( t an x + cot x ) = 6 2 Bài 239. Giải phương trình: 3 t an 2x - 4 t an 3x = t an 3x t an 2x 2 Bài 240. Giải phương trình: t an 2x + cot x = 8 cos x 3 Bài 241. Giải phương trình: t an x = cot x + 2 cot 2x ( ) Bài 242. Giải phương trình: 4 sin 4 x + cos 4 x + (*) (*) ( *) 3 sin 4x = 2 6 6 Bài 243. Giải phương trình: sin x + cos x = sin 2x Bài 246. Giải phương trình: 6 t an x + 5 cot 3x = t an 2x ( *) ( *) Bài 244. Giải phương trình: t an x + cot x = 2 ( sin 2x + cos 2x ) Bài 245. Giải phương trình: cot x = t an x + 2 t an 2x ( *) ( *) ( *) ( *) ( *) ( *) 2 ( *) sin x 2 2 2 2 Bài 248. Giải phương trình: t an x t an 3x t an 4x = t an x - t an 3x + t an 4x Bài 247. Giải phương trình: 2 t an x + cot x = 3 + 2 2 2 2 Bài 249. Giải phương trình: t an x cot 2x cot 3x = t an x - cot 2x + cot 3x 2 2 Bài 250. Giải phương trình: 3 t an x + 4 t an x + 4 cot x + 3 cot x + 2 = 0 Page 96 ( *) ( *) ( *) " All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) www.VNMATH.com Ths. Lê Văn Đoàn BÀI TẬP RÈN LUYỆN Câu 172. Giải phương trình: sin 2x - 2 2(sin x + cos x) = 5 cos2 x ( cos x - 1) = 2 ( 1 + sin x ) sin x + cos x æ p÷ ö 2 x- ÷ = 2 sin 2 x - t an x ç Câu 174. Giải phương trình: 2 sin ç ÷ ç 4÷ è ø Câu 173. Giải phương trình: æ p÷ ö æ p÷ ö 3 3 ç ÷ ÷ x + t an x ç ç Câu 175. Giải phương trình: sin x - cos x = cos 2x t an ç ç ç ÷ ÷ 4÷ 4÷ è ø è ø Câu 176. Giải phương trình: 3 cos 4 x - 4 sin 2 x cos2 x + sin 4 x = 0 Câu 177. Giải phương trình: 3 ( cot x - cos x ) - 5 ( t an x - sin x ) = 2 Câu 178. Giải phương trình: sin x - cos x = 4 sin 2x = 1 Câu 179. Giải phương trình: sin x cos x + sin x + cos x = 1 1 1 10 + sin x + = cos x sin x 3 4 4 2 2 Câu 181. Giải phương trình: cos x + sin x - 2 1 - sin x cos x sin x cos x = sin x + cos x Câu 180. Giải phương trình: cos x + ( ( Câu 182. Giải phương trình: 1 + ) ) 2 ( sin x - cos x ) + 2 sin x cos x = 1 + 2 Câu 183. Giải phương trình: sin x + cos x = 2 3 1 + sin x cos x 3 sin x cos x + 7 sin 2x = 1 Câu 184. Giải phương trình: Câu 185. Giải phương trình: sin 3x - cos 3x + 2 ( sin x + cos x ) = 1 æ1 ö 1 ÷ + + t an x + cot x ÷ =0 ç Câu 186. Giải phương trình: 2 + ( 2 + sin 2x ) ç ÷ ÷ ç èsin x cos x ø Câu 187. Giải phương trình: cos x - sin x + 1 1 2 =sin x cos x 3 Câu 188. Giải phương trình: cos 3x cos 3 x - sin 3x sin 3 x = 2 + 3 2 8 Câu 189. Giải phương trình: 3 ( t an x + cot x ) = 2 ( 2 + sin 2x ) 1 1 5 + ( t an x + cot x ) + 1 = 0 sin 2 x cos2 x 2 2 2 Câu 191. Giải phương trình: t an x + cot x + 3 ( t an x - cot x ) = 6 Câu 190. Giải phương trình: Câu 192. Giải phương trình: 2 ( 1 - sin x - cos x ) + t an x + cot x = 0 3 æ x xö ÷ Câu 193. Giải phương trình: ç çsin + cos ÷ ÷ ÷ ç 2ø è 2 Câu 194. Giải phương trình: 2 sin x + sin x x + cos - 2 2 = 0 2 2 ö 1 1æ 1 1 ÷ ç ÷ sin 3x + cos 3x + 1 + t an 3x + cot 3x + + =0 ç ( ) ÷ 2 2ç cos 3x cos 3x ÷ è ø " Cần cù bù thông minh…………" Page 97 Ths. Lê Văn Đoàn Câu 195. Giải phương trình: Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) 1 1 + 2 t an 2x + + 2 cot 2x - 8 = 0 cos2 2x sin 2 2x 2 Giải phương trình: t an 4 x + cot 4 x - 8 ( t an x + cot x ) + 9 = 0 WWW.VNMATH.COM Câu 196. F – PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHỨA CĂN VÀ CHỨA TRỊ TUYỆT ĐỐI  Phương pháp:  Phương trình chứa căn thức: Áp dụng công thức ìï B ³ 0 ïìï A ³ 0 ïìï B ³ 0 ï ● A = B ÛÛí ● A =BÛ í í ïï A = B ïï A = B ïï A = B 2 î î ïî Lưu ý: Khi giải B ³ 0 , ta áp dụng phương pháp thử lại.  Phương trình chứa giá trị tuyệt đối Cách 1. Mở giá trị tuyệt đối dựa vào định nghĩa Cách 2. Áp dụng công thức éìï A ³ 0 êï êíï A = B êîï êì êïï A < 0 êí êïï A = - B ëî ìï B ³ 0 ïï A=B ● A = B ÛÛïí é ïï ê ïï ê êA = - B îë éA = B ● A = B Û ê êA = - B ê ë BÀI TẬP ÁP DỤNG 5 cos x - cos 2x + 2 sin x = 0 Bài 251. Giải phương trình: ( *) ( *) Bài 252. Giải phương trình: sin 3 x + cos 3 x + sin 3 x cot x + cos 3 x t an x = 2 sin 2x Bài 253. Giải phương trình: æ ö p÷ ÷ 1 + 8 sin 2x cos2 2x = 2 sin ç 3x + ç ÷ ç 4÷ è ø Bài 254. Giải phương trình: 1 - sin 2x + 1 + sin 2x = 4 cos x sin x Bài 255. Giải phương trình: sin x + 3 cos x + sin x + ( *) ( *) 3 cos x = 2 ( *) Bài 256. Giải phương trình: 3 t an x + 1 ( sin x + 2 cos x ) = 5 ( sin x + 3 cos x ) Bài 257. Giải phương trình: ( 1 - cos x + ) cos x cos 2x = 1 sin 4x 2 ( *) Bài 258. Giải phương trình: sin 3 x ( 1 + cot x ) + cos 3 x ( 1 + t an x ) = 2 sin x cos x Page 98 ( *) ( *) " All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) www.VNMATH.com Ths. Lê Văn Đoàn Bài 259. Giải phương trình: cos 2x + Bài 260. Giải phương trình: 1 + sin x + cos x = 0 Bài 261. Giải phương trình: cos 4x - cos2 x 3 =0 1 - t an 2 x Bài 262. Giải phương trình: sin x + ( *) ( *) 3 cos x = 2 + cos 2x + Bài 264. Giải phương trình: 2 3 sin x = 3 t an x ( *) 2 sin x - 1 sin 2x + cos 4 2x - 1 =0 Bài 265. Giải phương trình: sin x cos x 2 Bài 266. Giải phương trình: 8 cos 4x cos2 2x + ( *) 3 - ( *) 1 - cos 3x + 1 = 0 Bài 267. Giải phương trình: sin x + sin x + sin 2 x + cos x = 1 Bài 268. Giải phương trình: 5 - 3 sin 2 x - 4 cos x = 1 - 2 cos x 3 sin 3x Bài 271. Giải phương trình: 3 sin x + 2 cos x - 2 = 0 ( *) ( *) ( *) ( *) ( *) Bài 272. Giải phương trình: sin x cos x + sin x + cos x = 1 Bài 273. Giải phương trình: sin x - cos x + 2 sin 2x = 1 ( *) 4 4 Bài 274. Giải phương trình: sin x - cos x = sin x + cos x ( *) 3 sin 2x - 2 cos2 x = 2 2 + 2 cos 2x Bài 275. Giải phương trình: ( *) ( *) Bài 269. Giải phương trình: cos 2x = cos2 x 1 + t an x Bài 270. Giải phương trình: cos 3x = 1 - sin 3x - sin x ( *) = sin 2x + cos 2x , " x Îp( 0, 2 1 - sin 2x Bài 276. Giải phương trình: sin x - cos x = 1 - 4 sin 2x ( *) Bài 276. Giải phương trình: Bài 278. Giải phương trình: 4 sin x + 3 cos x = 3 Bài 279. Giải phương trình: t an x = cot x + Bài 280. Giải phương trình: 1 cos x (*) 3 sin 2x sin 2 2x - 2 sin x + 2 = 2 sin x - 1 Bài 263. Giải phương trình: (*) 1 + sin 2x = 2 sin x + cos x ) ( *) ( *) ( *) 1 1 1 + sin x 1 - cos x 1 + cos x 2 =- æ ö 1 + 3 cos2 x ÷ ÷ 2ç ç ç ÷ ç sin 2 x ÷ è ø ( *) 1 ( *) sin x Bài 282. Giải phương trình: 2 cos x - sin x = 1 ( * ) Bài 281. Giải phương trình: cot x = t an x + " Cần cù bù thông minh…………" Page 99 Ths. Lê Văn Đoàn Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) 1 + cos x + 1 - cos x = 4 sin x cos x æ 1 - cos 2x 1ö ÷ = 2ç çcos x - ÷ ( *) ÷ ÷ ç sin x 2ø è Bài 283. Giải phương trình: Bài 284. Giải phương trình: Bài 285. Giải phương trình: cos 2x + 1 + sin 2x = Bài 286. Giải phương trình: cos x + sin 3x = 0 ( *) sin 3 x + cos 3 x 2 ( *) ( *) 1 ( *) sin x Bài 288. Giải phương trình: cos x + 2 sin 2x - cos 3x = 1 + 2 sin x - cos 2x Bài 287. Giải phương trình: cot x = t an x + t an 2 x 1 = t an x + 1 + Bài 289. Giải phương trình: t an x - 1 t an x - 1 Bài 290. Giải phương trình: sin x - cos x + sin x + cos x = 2 2 Bài 291. Giải phương trình: cot x = 2 Bài 292. Giải phương trình: t an x = Bài 293. Giải phương trình: sin x + 1 - sin x ( *) ( *) ( *) cos x - 1 1 - cos x ( *) 1 + sin x ( *) 2 - sin 2 x + sin x 2 - sin 2 x = 3 Bài 294. Giải phương trình: 3 sin x - ( *) 4 sin 2 x - 1 = 1 Bài 295. Giải phương trình: 2 - 3 cos 2x = sin x Bài 296. Giải phương trình: 3 + 4 cos 2x = 2 cos x Bài 297. Giải phương trình: 2 + cos 2x + ( *) ( *) 3 sin 2x = 3 sin 2x + cos 2x æ pö ÷ 1 + 8 sin 2x. cos2 2x = 2 sin ç 3x + ÷ ç ( *) ÷ ç ÷ 4ø è Bài 298. Giải phương trình: Bài 299. Giải phương trình: cos 2x + Bài 300. Giải phương trình: 1 + sin x + ( *) 1 + sin 2x = sin x + cos x 1 - sin x = k cos x ( *) ( *) ( *) với k = 1, k = 2 BÀI TẬP RÈN LUYỆN Câu 197. Giải phương trình: 1 + cos x + sin x = 0 ( Câu 198. Giải phương trình: 3 cos x 1 - ) sin x - cos 2x = 2 sin 2 x sin x - 1 æ 9pö ÷ ÷ = 4 sin 2x ( 1 + cos 4x ) + 1 ç3x + Câu 199. Giải phương trình: 2 sin ç ÷ ÷ ç 4ø è Câu 200. Giải phương trình: 3 7 + cot x + 3 2 - cot x = 3 Câu 201. Giải phương trình: cos2 2x + 2 cos 2x - 2 2 - sin x - sin x + 4 = 0 Page 100 " All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) Câu 202. Giải phương trình: www.VNMATH.com Ths. Lê Văn Đoàn 3 - sin x = 2 + sin x + 1 æ p÷ ö x- ÷ Câu 203. Giải phương trình: sin x + cos x = 2 + sin 2014 ç ç ç ÷ 4÷ è ø Câu 204. Giải phương trình: 5 cos x - cos 2x + 2 sin x = 0 Câu 205. cos x + 2 sin 2x - cos 3x = 1 + 2 sin x - cos 2x 1 - sin 2x + 1 + sin 2x = 4 cos x sin x Câu 206. Giải phương trình: Câu 207. Giải phương trình: 2 2 + sin x = 3 + cos 2x Câu 208. Giải phương trình: 1 + sin x - 2 sin 2 x + 5 + sin x - 2 sin 2 x = 2 Câu 209. Giải phương trình: sin x + 2 - sin 2 x + sin x 2 - sin 2 x = 3 Câu 210. Giải phương trình: 4 cos2 x + 1 + 4 sin 2 x + 3 = 4 Câu 211. Giải phương trình: 8 sin 3 x + 1 = 2 3 4 sin x - 1 3 æ pö ÷ ç0; ÷ Câu 212. Giải phương trình: 8 sin x + 27 cos x = 97 4 , " x Î ç ÷ ÷ ç è 2ø Câu 213. Giải phương trình: sin x 1 1 2 - 1 + cos x - 1= sin x cos x sin x + cos x Câu 214. Giải phương trình: 5 - 4 sin x - 3 cos2 x = 1 - sin x Câu 215. Giải phương trình: 3 + sin x - 1 = 2 - sin x Câu 216. Giải phương trình: cos 4x + 1 + sin 4x = 2 sin 2x + cos 2x Câu 217. Giải phương trình: 4 1 - cos x + 2 1 + cos x = 1 2 Câu 218. Giải phương trình: 4 10 + 8 cos2 x - Câu 219. Giải phương trình: 3 2 - cot x + Câu 220. Giải phương trình: 3 1 - cos 2x + 4 8 8 sin 2 x - 1 = 1 cot x - 1 = 1 3 1 + cos 2x = 2 Câu 221. Giải phương trình: cos 4x + cos 3x + 3 - cos 6x =3 2 1 1 - 1 + cos 3x - 1 =1 cos x cos 3x 1 1 - cos 2x + cos 2x cos 4x = sin 8x 2 Câu 222. Giải phương trình: cos x Câu 223. Giải phương trình: ( ) Câu 224. Giải phương trình: cos2 x - 2 cos x + 5 + Câu 225. Giải phương trình: 1 - cos x + 1 + cos x = 4 sin x cos x Câu 226. Giải phương trình: 4 cos 2x ( cos 2x + 1) + Câu 227. Giải phương trình: cos x = cos2 " Cần cù bù thông minh…………" cos2 x + 4 cos x + 8 = 5 1 - cos x + 1 = 0 x x 1 + t an 2 2 Page 101 Ths. Lê Văn Đoàn Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) Câu 228. Giải phương trình: cos x = 12 3 sin x 2 æ p÷ ö çx - ÷ Câu 229. Giải phương trình: sin x cos x - 1 = 2 sin ç ÷ ç 4÷ è ø 4 Câu 230. Giải phương trình: sin x x x x - cos4 = sin - cos 2 2 2 2 G – PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÔNG MẪU MỰC  ìï A ³ 0 ïï Þ  Loại 1. Tổng hai số không âm: ïí B ³ 0 ïï ïï A + B = 0 î ìï A = 0 ï í ïB =0 îï ìï A £ M ïï  Loại 2. Phương pháp đối lập dạng 1: ïí B ³ M Þ ïï ïï A = B î ìï A = M ï í ïï B = M î ìï ìï A £ M ïï ï ïí Þ  Loại 3. Phương pháp đối lập dạng 2: í ïïî B £ N ïï ïï A + B = M + N î Đặc biệt Page 102 ìï A = M ï í ïB =N îï ìï sin u = 1 ï ● sin u ± sin v = 2 Û í ïï sin v = ±1 î ìï sin u = - 1 ï ● sin u + sin v = - 2 Û í ïï sin v = - 1 î ìï cos u = 1 ï ● cos u ± cos v = 2 Û í ïï cos v = ±1 î ìï cos u = - 1 ï ● cos u + cos v = - 2 Û í ïï cos v = - 1 î éìï sin u = 1 êï êíï sin v = 1 êï ● sin u. sin v = 1 Û êîì êïï sin u = - 1 êí êïï sin v = - 1 ëî éìï sin u = - 1 êï êíï sin v = 1 êï ● sin u. sin v = - 1 Û êîì êïï sin u = 1 êí êïï sin v = - 1 ëî éìï cos u êï êíï cos v êï ● cos u. cos v = 1 Û êîì êïï cos u êí êïï cos v ëî éìï cos u = - 1 êï êíï cos v = 1 êï ● cos u. cos v = - 1 Û êîì êïï cos u = 1 êí êïï cos v = - 1 ëî =1 =1 =- 1 =- 1 " All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) www.VNMATH.com Ths. Lê Văn Đoàn BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 301. Giải phương trình: 4 cos2 x + 3 t an 2 x - 4 3 cos x + 2 3 t an x + 4 = 0 Bài 302. Giải phương trình: 8 cos 4x cos 2 2x + Bài 303. Giải phương trình: sin 2 x + 1 - cos 3x + 1 = 0 ( ) 2 Bài 306. Giải phương trình: 3 - cos x - cos x = 2 cos 2x ( *) ( 1) ( 1) cos x + 1 = 2 sin 3 x - cos3 x sin x + ( *) sin 2 3x cos 3x sin 3 x + sin 3x cos 3 x = sin x sin 2 3x 3 sin 4x Bài 304. Giải phương trình: ( cos 2x - cos 4x ) = 6 + 2 sin 3x Bài 305. Giải phương trình: ( *) (*) æ p÷ ö 2 2 5 x+ ÷ ç Bài 307. Giải phương trình: t an x + cot x = 2 sin ç ( 1) ÷ ç 4÷ è ø Bài 308. Giải phương trình: cos 3x + ( 2 - cos2 3x = 2 1 + sin 2 2x ) ( 1) ( *) 4 4 Bài 309. Giải phương trình: sin x - cos x = sin x + cos x 3x - 2 = 0 ( *) 4 Bài 311. Giải phương trình: cos 2x + cos 4x + cos 6x = cos x cos 2x cos 3x + 2 Bài 310. Giải phương trình: cos 2x + cos Bài 312. Giải phương trình: cos 2x - 3 sin 2x - ( *) 3 sin x - cos x + 4 = 0 Bài 313. Giải phương trình: 4 cos x - 2 cos 2x - cos 4x = 1 ( *) ( *) 1 =0 sin x cos 2x cos 3x 2 2 Bài 315. Giải phương trình: cos 3x cos 2x - cos x = 0 ( * ) Bài 314. Giải phương trình: t an 2x + t an 3x + 4 6 8 10 Bài 316. Giải phương trình: sin x + sin x = sin x + sin x ( *) ( *) æ pö ÷ x- ÷ ç Bài 317. Giải phương trình: sin 4x - cos 4x = 1 + 4 2 sin ç ( *) ÷ ç ÷ 4ø è Bài 318. Giải phương trình: sin 2 x + Bài 319. Giải phương trình: 2 cos x + 1 2 sin 3x = sin x sin 2 3x 4 ( *) 2 sin 10x = 3 2 + 2 cos 28x sin x ( *) 2 Bài 320. Giải phương trình: ( cos 4x - cos 2x ) = 5 + sin 3x Bài 321. Giải phương trình: Bài 322. Giải phương trình: Bài 323. Giải phương trình: Bài 324. Giải phương trình: ( *) sin x + cos x = 2 ( 2 - sin 3x ) ( * ) sin 3x ( cos 2x - 2 sin 3x ) + cos 3x ( 1 + sin 2x t an x + t an 2x = - 3 sin 3x cos 2x ( * ) cos x + sin x = 1 ( * ) " Cần cù bù thông minh…………" 13 2 cos 3x ) = 0 ( *) 14 Page 103 Ths. Lê Văn Đoàn Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) Bài 325. Giải phương trình: cos 2x - cos 6x + 4 ( sin 2x + 1) = 0 ( *) (*) 3 3 4 Bài 326. Giải phương trình: sin x + cos x = 2 - sin x ( *) Bài 327. Giải phương trình: 3 cot 2 x + 4 cos2 x - 2 3 cot x - 4 cos x + 2 = 0 Bài 328. Giải phương trình: 2 sin x ( *) + sin x = sin 2 x + cos x é pù sin x = cos x , " x Î ê0; ú Bài 329. Giải phương trình: 2 ê 2ú ë û x2 = cos x ( * ) 2 2 3 Bài 331. Giải phương trình: lg sin x - 1 + sin x = 0 ( *) Bài 330. Giải phương trình: 1 - ( ) (*) 2 2 2 2 Bài 332. Giải phương trình: cos 4x + cos 6x = sin 12x + sin 16x + 2 ( *) , " x Îp( 0; Bài 333. Giải phương trình: sin 1979 x + cos1991 x + sin 2x + cos 2x = 1 + 2 ( *) ( *) Bài 334. Giải phương trình: - 4 cos2 x + 3 t an 2 x + 2 3 t an x = 4 sin x - 6 ( *) Bài 335. Giải phương trình: cos 7x. sin 2x = - 1 Bài 336. Giải phương trình: cos 6x + sin ( Bài 337. Giải phương trình: sin x + 5x =2 2 3 cos x ) 2 ( *) æ pö ÷ ÷ = 5 + cos ç 4x + ç ÷ ÷ ç 3ø è ( *) 1 + 2 t an x + 1 = 0 cos2 x Bài 339. Giải phương trình: sin ( x + y ) + cos ( x - y ) = 2 ( * ) Bài 338. Giải phương trình: sin 2 2x + 2 sin 2x + ( 1 - cos x + ( *) ( *) Bài 340. Giải phương trình: sin x sin 2x sin 5x = 1 Bài 331. Giải phương trình: ) 1 sin 4x 2 ) 1 + cos x cos 2x = ( *) ( *) 5 5 Bài 332. Giải phương trình: sin x + cos x = 1 sin 10 x + cos10 sin 6 x + cos 6 x = ( *) 4 4 cos2 2x + sin 2 2x 1 Bài 334. Giải phương trình: cos 5 x + sin 7 x + cos 3 x + sin 5 x sin 2x = cos x + sin x 2 Bài 333. Giải phương trình: ( Bài 335. Giải phương trình: Bài 336. Giải phương trình: ) sin x + sin 2 x + sin x + cos x = 1 6 - 4x - x 2 = 5 y y sin cos x x ( *) ( *) ( *) 4 4 2 2 2 Bài 337. Giải phương trình: t an x + t an y + 2 cot x cot y = 3 + sin ( x + y ) ( *) 2 2 2 Bài 338. Giải phương trình: t an x + t an y + cot ( x + y ) = 1 Page 104 " All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) www.VNMATH.com Ths. Lê Văn Đoàn 2 æ 2 1 ö ÷ ÷ Bài 339. Giải phương trình: ç sin x + + ç ÷ 2 ç ÷ sin x ø è 2 æ 2 1 ö 1 ÷ ç ÷ cos x + = 12 + sin y ç ÷ 2 ç ÷ 2 cos x ø è ( *) 4 æ cos 2x ö ÷ ÷ Bài 340. Giải phương trình: 3 ç + 4 t an 6 x = 7 ç1 + ÷ 2 ÷ ç è cos x ø 1 Bài 341. Giải phương trình: sin 1975 x - cos1975 x = 2007 ( *) - 1 ( *) 2007 sin x cos x Bài 342. Giải phương trình: cos 5x + cos x = sin 3x - cos 3x ( *) 3 Bài 343. Giải phương trình: ( 2 cos 3x + 6 cos x + 1) = 162 cos x - 27 ( *) æ æ 5pö æ ö 5pö 5p÷ 2 2ç ÷ ÷ ç ÷ ÷ ÷ 2x + + sin x + + sin x sin 3x + ç ç ç Bài 344. Giải phương trình: t an x = cos ç ÷ ÷ ç ç ç ÷ ÷ ÷ 12 ø 12 ø 6÷ è è è ø æ3 + sin x + cos x ö ÷ ÷ ç Bài 345. Giải phương trình: sin x + cos x - sin x cos x = 1 - ln ç ÷ ç ÷ 4 + sin x cos x è ø ( *) ( *) 5 (*) 2 2 2 2 Bài 347. Giải phương trình: t an x + t an 2x + cot 3x = 1 ( * ) Bài 346. Giải phương trình: sin x + sin 2x + sin 3x = Bài 348. Giải phương trình: 2 log 3 t an x = log2 sin x 2009x + 3 cos x - 32009x + cos Bài 349. Giải phương trình: 3 3 x ( *) - 3 cos 3x = 0 ( *) Bài 350. Giải phương trình: sin x 2008 sin 2 x + 2008 - ( cos x + 1) 2008 cos2 x + 2 cos x + 2009 = cos x - sin x + 1 ( *) BÀI TẬP RÈN LUYỆN Câu 231. Giải phương trình: 3 sin 5 x + 5 cos5 x = 5 Câu 232. Giải phương trình: sin 7x + cos 2x = 2 5x Câu 233. Giải phương trình: cos 3x + cos - 2=0 4 Câu 234. Giải phương trình: 8 sin 3 x - sin 3 3x - 6 sin x - cos2 x - 1 = 0 Câu 235. Giải phương trình: 4 cos x + 2 cos 2x + cos 4x + 7 = 0 Câu 236. Giải phương trình: 2 sin 2 x + 3 t an 2 x - 6 t an x - 2 2 sin x + 4 = 0 Câu 237. Giải phương trình: 5 sin 2 x + 3 cos2 x + 3 sin 2x + 2 sin x + 2 = 2 3 cos x Câu 238. Giải phương trình: sin 2 x + sin 2 y = sin x sin y + sin x + sin y - 1 = 0 Câu 239. Giải phương trình: 2 sin 2x - 2 sin x + 3 2 cos x - 1 = 0 2 Câu 240. Giải phương trình: cos x - 4 cos x + 3 = x ( 2 sin x - x ) Câu 241. Giải phương trình: 4 - cos 2x + 2 sin 2x + 2 2 sin x = 0 x2 + x = 2x + 2- x 2 Câu 243. Giải phương trình: 2 sin 5x + cos 4x = 3 + cot 2 x Câu 242. Giải phương trình: 2 cos2 " Cần cù bù thông minh…………" Page 105 Ths. Lê Văn Đoàn Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) Câu 244. Giải phương trình: sin x + cos x = 2 ( 2 - sin 3x ) ( Câu 245. Giải phương trình: sin x + cos x = 2 2 - sin 7 x ) Câu 246. Giải phương trình: sin 5 x + cos5 x = 1 ( Câu 247. Giải phương trình: 2 + 2 ) sin 2 x ( - 2+ 2 ) cos 2 x ( + 2- ( 2 8 8 14 14 Câu 248. Giải phương trình: sin x + cos x = 64 cos x + sin x ) cos 2x cos 2x æ 2ö ÷ ç ÷ ç = ç1 + ÷ ÷ ç 2 ÷ è ø ) Câu 249. Giải phương trình: cos 7 x + sin 4x = 1 x x x Câu 250. Giải phương trình: sin x cos + 2 cos2 = 3 - cos x sin 4 2 4 Câu 251. Giải phương trình: sin x sin 2x = 1 Câu 252. Giải phương trình: sin 4x cos16x = 1 Câu 253. Giải phương trình: sin x sin 2x cos 5x = 1 æ xö x x 2 2 p ÷ ç - ÷ Câu 254. Giải phương trình: sin sin x - cos sin x + 1 = 2 cos ç ÷ ÷ ç 2 2 è4 2 ø x2 =0 2 sin x cos x æö æö 5÷ 5÷ ç ç ÷ Câu 256. Giải phương trình: ç ÷ ÷ cos x = ç ÷ sin x ç ç2 ø ÷ ÷ è2 ø è Câu 255. Giải phương trình: 1 - cos x - Câu 257. Giải phương trình: cos2014 x - sin 2014 = 1 Câu 258. Giải phương trình: sin 2013 x + cos2014 x = 1 Câu 259. Giải phương trình: sin 2012 x + cos2012 x = 1 Câu 260. Giải phương trình: sin 5 x + cos 5 x + cos 2x + sin 2x = 1 + 2 Câu 261. Giải phương trình: x + 2x sin ( xy ) + 1 = 0 2 Câu 262. Giải phương trình: sin x = x 2 + x + 1 Câu 263. Giải phương trình: 3 sin x = cos x Câu 264. Giải phương trình: sin x + cos x + 2 sin 3x = 2 2 2 Câu 265. Giải phương trình: ( cos 2x - cos 4x ) = 4 + cos 3 3x Câu 266. Giải phương trình: sin 3 x + cos 3 x = 2 2 æ ö ÷ ç ÷ ç ç 3x 1 ÷ ÷ ÷ Câu 267. Giải phương trình: ç sin + ç ÷+ ç 2 3 x÷ ç ÷ sin ÷ ç ÷ ç è 2ø Câu 268. Giải phương trình: 5 - 4x - x 2 = sin 4 x 2 æ ö ÷ ç ÷ ç ç 1 ÷ 81 2 3 x ÷ ç ÷ cos + = cos 4x ç ÷ ç 2 4 3 x÷ ÷ ç cos ÷ ç ÷ ç è 2ø 9 2y sin x Câu 269. Giải phương trình: 3 sin px - x 2 + 5x - 37 =0 4 Câu 270. Giải phương trình: cos x - cos 7x = 3 3 sin x Page 106 " All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) www.VNMATH.com Ths. Lê Văn Đoàn Câu 271. Giải phương trình: 2013 cos x = 2013 + x 2 Câu 272. Giải phương trình: sin 3 x + 4 cos 3 x = 3 cos x 3 Câu 273. Giải phương trình: ( 2 cos 3x + 6 cos x + 1) + 27 = 162 cos x 2 Câu 274. Giải phương trình: - cos ( 7px ) = x - 6x + 1 Câu 275. Giải phương trình: 3cos x - 2cos x = cos x Câu 276. Giải phương trình: ( ) 3 + 4 6 - 16 3 - 8 2 cos x = 4 cos x - 3 ép ù 3x - 9x 2 - 16x - 80 ú= 1 Câu 277. Giải phương trình: cos ê ê4 ú ë û é ù æ p ö 2 p 2 ÷ ÷ sin x + 2 cos2 x ú- 1 = t an ç x + t an x ç Câu 278. Giải phương trình: cos ê ÷ ç ê4 ú ÷ 4 è ø ë û ( ) ( ) H – PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CÓ CHỨA THAM SỐ HAI PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG NHAU  Phương pháp: Ta có những phương pháp thông dụng thường gặp như sau:  Phương pháp lượng giác: ( ) ( ) Phương trình có dạng: a cos f ( x ) + b sin f ( x ) = c có nghiệm khi và chỉ khi: a Lưu ý: Nếu miền f ( x ) trên không phải là ¡ thì nó chỉ là điều kiện cần.  Phương trình có dạng: cos f x = m hay sin f x = m có nghiệm khi và chỉ khi: m £ 1 .  2 + b 2 ³ c2 .  Phương pháp đại số:  Tách m ra khỏi tham số, và đặt hàm còn lại là g ( x ) .  Khảo sát hàm g ( x ) trên miền xác định để suy ra giá trị m cần tìm.  Hai phương trình tương đương: Nếu hai phương trình lượng giác được gọi là tương đương nhau khi và chỉ khi nghiệm của phương trình này cũng là nghiệm của phương trình kia. BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 351. Cho phương trình: cos 2x - ( 2m + 1) cos x + m + 1 = 0 ( *) 3 a/ Giải phương trình ( * ) khi m = . 2 æ p 3pö ÷ ; ÷ ç b/ Tìm tham số m để phương trình ( * ) có nghiệm trên ç . ÷ ç ÷ è2 2 ø 2 Bài 352. Cho phương trình: ( cos x + 1) ( cos 2x - m cos x ) = m sin x " Cần cù bù thông minh…………" ( *) Page 107 Ths. Lê Văn Đoàn Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) a/ Giải phương trình ( * ) khi m = - 2 . é 2p ù 0; ú b/ Tìm tham số m để phương trình ( * ) có đúng hai nghiệm trên ê ê 3 ú. ë û 2 Bài 353. Cho phương trình: ( 1 - m ) t an 2 x + 1 + 3m = 0 ( * ) cos x 1 a/ Giải phương trình ( * ) khi m = . 2 æ pö ÷ 0; ÷ ç b/ Tìm tham số m để phương trình ( * ) có nhiều hơn một nghiệm trên ç . ÷ ç ÷ è 2ø æ p÷ ö ÷ 0; ç c/ Tìm tham số m để phương trình ( * ) có hai nghiệm phân biệt trên ç ÷. ç è 4÷ ø Bài 354. Cho phương trình: cos 4x + 6 sin x cos x = m ( *) a/ Giải phương trình ( * ) khi m = 1 . é pù 0; ú b/ Tìm tham số m để phương trình ( * ) có hai nghiệm trên ê ê 4 ú. ë û 2 2 Bài 355. Cho phương trình: cos 4x = cos 3x + m sin x ( *) a/ Giải phương trình ( * ) khi m = 1 . æ p÷ ö ÷ 0; ç b/ Tìm tham số m để phương trình ( * ) có nghiệm trên ç ÷. ç è 12 ÷ ø 2 2 Bài 356. Cho phương trình: 2 sin x - sin x cos x - cos x = m ( *) a/ Giải phương trình ( * ) khi m = - 1 . b/ Tìm tham số m để phương trình ( * ) có nghiệm. æ3p ö ÷ 5 + 4 sin ç - x÷ ç ÷ ç ÷ Bài 357. Cho phương trình: 6 t an x è2 ø = sin x 1 + t an 2 a p a/ Giải phương trình ( * ) khi a = - . 4 b/ Tìm tham số a để phương trình ( * ) có nghiệm. ( *) 1 + cot 2 x + m ( t an x + cot x ) + 2 = 0 2 cos x 5 a/ Giải phương trình ( * ) khi m = . 2 b/ Tìm tham số m để phương trình ( * ) có nghiệm. Bài 358. Cho phương trình: 6 6 Bài 359. Cho phương trình: sin x + cos x = m sin 2x ( *) ( *) a/ Giải phương trình ( * ) khi m = 1 . b/ Tìm tham số m để phương trình ( * ) có nghiệm. Page 108 " All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) www.VNMATH.com Ths. Lê Văn Đoàn sin 6 x + cos 6 x Bài 360. Cho phương trình: = 2m t an 2x cos2 x - sin 2 x 1 a/ Giải phương trình ( * ) khi m = . 8 b/ Tìm tham số m để phương trình ( * ) có nghiệm. Bài 361. Cho phương trình: sin 4x = m t an x ( *) ( *) 1 a/ Giải phương trình ( * ) khi m = . 6 b/ Tìm tham số m để phương trình ( * ) có nghiệm x ¹ kp, ( k Î ¢ ) . Bài 362. Cho phương trình: cos 3x - cos 2x + m cos x - 1 = 0 ( *) a/ Giải phương trình ( * ) khi m = 2 . æp ö ÷ ÷ ;2 p ç b/ Tìm tham số m để phương trình ( * ) có đúng 7 nghiệm trên ç . ÷ ç ÷ è 2 ø ( ) ( ) ( *) 4 4 6 6 2 Bài 363. Cho phương trình: 4 sin x + cos - 4 sin x + cos x - sin 4x = m a/ Giải phương trình ( * ) khi m = 1 . b/ Tìm tham số m để phương trình ( * ) có nghiệm. Bài 364. Cho phương trình: sin 4 x + cos 4x + m sin 4x 4 1 a/ Giải phương trình ( * ) khi m = . 4 ( 2m + 1) 4 sin 2 x = 0 ( *) æ ö p p÷ ÷ ; ç b/ Tìm tham số m để phương trình ( * ) có hai nghiệm phân biệt trên ç ÷. ç è4 2 ÷ ø ( 6 6 4 4 Bài 365. Cho phương trình: sin x + cos x = m sin x + cos x ) (*) 1 a/ Giải phương trình ( * ) khi m = . 2 b/ Tìm tham số m để phương trình ( * ) có nghiệm. m sin x - 2 m cos x - 2 = m - 2 cos x m - 2 sin x a/ Giải phương trình ( * ) khi m = 1 . ( *) Bài 366. Cho phương trình: b/ Khi m ¹ 0 và m ¹ 2 thì phương trình ( * ) có bao nhiêu nghiệm trên é20p; 30pù. ê ú ë û 2 sin x + cos x + 1 = m ( *) sin x - 2 cos x + 3 1 a/ Giải phương trình ( * ) khi m = . 3 b/ Tìm tham số m để phương trình ( * ) có nghiệm. Bài 367. Cho phương trình: Bài 368. Cho phương trình: sin 2x ( sin x + cos x ) = m " Cần cù bù thông minh…………" ( *) Page 109 Ths. Lê Văn Đoàn a/ Chứng minh rằng nếu m > Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) 2 thì phương trình ( * ) vô nghiệm. b/ Giải phương trình khi m = 2 . Bài 369. Cho phương trình: sin 2x + 4 ( cos x - sin x ) = m ( *) a/ Giải phương trình ( * ) khi m = 4 . b/ Tìm tham số m để phương trình ( * ) có nghiệm. Bài 370. Cho phương trình: sin x cos x - m ( sin x + cos x ) + 1 = 0 ( *) a/ Giải phương trình ( * ) khi m = 2 . b/ Tìm tham số m để phương trình ( * ) có nghiệm. 3 + 3 t an 2 x = m ( t an x + cot x ) + 1 2 sin x a/ Giải phương trình ( * ) khi m = 6 . Bài 371. Cho phương trình: ( *) b/ Tìm tham số m để phương trình ( * ) có nghiệm. 3 2 Bài 372. Cho phương trình: ( 4 - 6m ) sin x + 3 ( 2m - 1) sin x + 2 ( m - 2) sin x cos x = ( 4m - 3) cos x ( * ) a/ Giải phương trình ( * ) khi m = 2 . é pù 0; ú b/ Tìm tham số m để phương trình ( * ) có duy nhất một nghiệm trên ê ê 4 ú. ë û 2 2 Bài 373. Cho phương trình: sin x + 2 ( m - 1) sin x cos x - ( m + 1) cos x = m ( *) a/ Giải phương trình ( * ) khi m = - 2 . b/ Tìm tham số m để phương trình ( * ) có nghiệm. 2 2 Bài 374. Cho phương trình: 2 cos 2x + sin x cos x + cos x sin x = m ( sin x + cos x ) ( *) a/ Giải phương trình ( * ) khi m = 2 . é pù 0; ú b/ Tìm tham số m để phương trình ( * ) có ít nhất một nghiệm thuộc ê ê 2 ú. ë û m cos x m + sin x ( *) Bài 375. Cho phương trình: 2 cos 2x - 1 = 2 cos x - 3 sin 2 x t an x ( ) 1 a/ Giải phương trình ( * ) khi m = . 4 b/ Tìm tham số m để phương trình ( * ) có nghiệm. 6 6 Bài 376. Cho phương trình: sin x + cos x = m sin 2x ( *) 1 a/ Giải phương trình ( * ) khi m = . 2 b/ Tìm tham số m để phương trình ( * ) có nghiệm. Bài 377. Cho phương trình: cos 2x = m cos2 x 1 + t an x Page 110 ( *) " All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) www.VNMATH.com Ths. Lê Văn Đoàn a/ Giải phương trình ( * ) khi m = 1 . é pù 0; ú b/ Tìm tham số m để phương trình ( * ) có nghiệm trên ê ê 3 ú. ë û Bài 378. Cho phương trình: sin x + cos x + m sin 2x = 1 ( *) a/ Giải phương trình ( * ) khi m = 1 . b/ Tìm tham số m > 0 để phương trình ( * ) có nghiệm. Bài 379. Cho phương trình: sin x - cos x + 4 sin 2x = m ( *) a/ Giải phương trình ( * ) khi m = 0 . b/ Tìm tham số m để phương trình ( * ) có nghiệm. sin 6 x + cos6 x =m æ pö æ pö Bài 380. Cho phương trình: ÷ ÷ ç ç t an çx - ÷ t an çx + ÷ ÷ ÷ ÷ è ÷ ç ç 4ø 4ø è ( *) 1 a/ Giải phương trình ( * ) khi m = - . 4 b/ Tìm tham số m để phương trình ( * ) có nghiệm. 4 Bài 381. Cho phương trình: sin 4 x + ( 1 - sin x ) = m ( *) 1 a/ Giải phương trình ( * ) khi m = . 8 b/ Tìm tham số m để phương trình ( * ) có nghiệm. 2 Bài 382. Cho phương trình: 9 cos x + æ 4 2 ö ÷ ç ÷ = m 3 cos x +5 ç ÷ 2 ç ÷ cos x cos x è ø ( *) a/ Giải phương trình ( * ) khi m = - 2 . b/ Tìm tham số m để phương trình ( * ) có nghiệm. 2 Bài 383. Cho phương trình: sin x + æ ö 4 2 ÷ ç ÷ = m sin x + - 2 ç ç ÷ sin x ÷ sin 2 x è ø ( *) a/ Giải phương trình ( * ) khi m = - 1 . b/ Tìm tham số m để phương trình ( * ) có nghiệm. 2 Bài 384. Cho phương trình: ( 2 sin x - 1) ( 2 cos 2x + 2 sin x + m ) = 3 - 4 cos x (*) a/ Giải phương trình ( * ) khi m = 1 . ù. b/ Tìm tham số m để phương trình ( * ) có đúng hai nghiệm trên é ê0; pû ú ë Bài 385. Cho phương trình: 2 cos x. cos 2x. cos 3x + m = 7 cos 2x ( *) a/ Giải phương trình ( * ) khi m = - 7 . " Cần cù bù thông minh…………" Page 111 Ths. Lê Văn Đoàn Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) é- 3p - p ù ú. ; b/ Tìm tham số m để phương trình ( * ) có nhiều hơn một nghiệm trên ê ê8 ú 8 ë û æ pö ÷ 2x + ÷ - m sin 2 x = 0 ( * ) ç Bài 386. Cho phương trình: cos ç ÷ ç ÷ 6ø è a/ Giải phương trình ( * ) khi m = 1 . ù. b/ Giải và biện luận phương trình trên é ê0;2pû ú ë Bài 387. Cho phương trình: 1 + sin x + 1 - sin x = m cos x ( *) a/ Giải phương trình ( * ) khi m = 2 . b/ Giải và biện luận phương trình ( * ) theo m. 6 4 Bài 388. Cho hàm số f ( x ) = 3 cos 2x + sin 2x + cos 4x - m a/ Giải phương trình f ( x ) = 0 khi m = 0 . b/ Cho g ( x ) = 2 cos2 2x 3 cos 2 2x + 1 . Tìm m để phương trình f ( x ) = g ( x ) có nghiệm. Bài 389. Cho phương trình: 1 + 2 cos x + 1 + 2 sin x = m ( *) a/ Giải phương trình ( * ) khi m = 2 . b/ Tìm tham số m để phương trình ( * ) có nghiệm. Bài 390. Tìm tham số m để hai phương trình sau tương đương 1 - cos x + cos 2x = 0 4 cos x + 2m cos 2x - ( 2m + 1) cos x + 2m = 0 3 ( 1) ( 2) Bài 391. Tìm tham số m để hai phương trình sau tương đương 2 cos2 x + sin 3x = 2 ( 1 + sin x cos 2x ) ( 1) ( ) sin 3x - m sin x + 2 - m cos 2x = 2 - m ( 2) Bài 392. Tìm tham số m để hai phương trình sau tương đương 3 2 m sin x - 2 cos x = 3m - 2 sin x - sin 2014x. cos x = ( 1) ( 2) Bài 393. Tìm tham số a và b để hai phương trình sau tương đương ( a sin 2x - ) 2 sin x = 2 cos x - ( 1) 2 æ pö ÷ 2 sin ç - cos x + b - 1 = 0 ç2x + ÷ ÷ ÷ ç 4ø è Bài 394. Tìm tham số m để hai phương trình sau tương đương 3 cos x - cos 3x = 2 sin x sin 2x - cos2 x 2 ( sin x - b ) sin x + ( ( 2) ) 4m cos x + ( 4 - 8m ) sin x + 4 ( m - 1) cos x + 8m - 4 = 0 3 2 ( 1) ( 2) Bài 395. Tìm tham số m để hai phương trình sau tương đương sin 2x - 2m cos x = sin x - m ( 1) 2 cos 2x + m 2 = 5m cos x - 2 ( 2) Bài 396. Tìm tham số m để hai phương trình sau tương đương Page 112 " All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) www.VNMATH.com Ths. Lê Văn Đoàn cos 3x = 4 cos ( 3p + x ) æ p m cos2 x + ( 1 - m ) sin ç + ç ç è2 ( 1) ( 2) ö ÷ x÷ =0 ÷ ÷ ø Bài 397. Tìm tham số m để hai phương trình sau tương đương ( ) sin 3x = m sin x + 4 - 2 m sin 2 x sin 3x + cos 2 x = 1 + 2 sin x. cos 2x ( 1) ( 2) Bài 398. Tìm tham số m để hai phương trình sau tương đương 1 sin 5x 2 m cos 2x + m cos 4x + cos 6x = 1 sin x. cos 2x = sin 2x. cos 3x - ( 1) ( 2) Bài 399. Tìm tham số m để hai phương trình sau tương đương: 2 cos x cos 2x = 1 + cos 2x + cos 3x 4 cos x - cos 3x = m cos x + ( 4 2 ( 1) m ) ( 1 + cos 2x ) ( 2 ) Bài 400. Tìm tham số m để hai phương trình sau tương đương: 2 sin 7 x + ( m - 1) sin 3 x + 2m 3 - 2m - 1 sin x = 0 ( ) 2 cos6 x + ( 2 - m ) cos2 x + 2m 3 - m - 2 = 0 ( 1) ( 2) BÀI TẬP RÈN LUYỆN æ pö ÷ 2 sin ç = m có nghiệm x Î çx + ÷ ÷ ÷ ç 4ø è æ ö p 3p÷ ÷ ; ç Câu 280. Tìm tham số m để phương trình: cos 2x = m - 1 có nghiệm x Î ç ? ÷ ç è4 4 ÷ ø Câu 279. Tìm tất cả các tham số m để phương trình: æ pö ç ÷ ç0; ÷ ? ÷ ÷ ç è 4ø æ pö é pù ÷ x+ ÷ = m - 1 có nghiệm x Î ê0; ú ? ç Câu 281. Tìm tham số m để phương trình: sin ç ÷ ç ê 2ú ÷ 4ø è ë û Câu 282. Xác định tham số m để phương trình: æ ö æ 5p÷ ö 13p ç ÷ ÷ m cos ç - x÷ + 2m 1 sin 9 p x + 5m = 7 + 2 cos x ç ç có đúng một nghiệm ( ) ( ) ÷ ÷ ÷ ç ç 2÷ è2 ø è ø æ p 5p÷ ö xÎ ç ç- ; ÷ ÷? ç è 6 6÷ ø Câu 283. Giải và biện luận phương trình: ( 2m - 1) cos x + 5 = m cos x Câu 284. Giải và biện luận phương trình: 4 t an x = ( m + 1) t an x + m 2 Câu 285. Giải và biện luận phương trình: ( 3m - 2) cos 2x + 4m sin x + m - 2 = 0 Câu 286. Tìm tham số m để phương trình: sin 6 x + cos 6 x = m vô nghiệm ? æ 7pö ÷ ÷ x+ - ( 3m + 2) cos ( 4p - x ) + m = 2 ç Câu 287. Cho phương trình: ( 2 + m ) sin ç ÷ ç ÷ 2ø è a/ Tìm tham số m để phương trình có nghiệm ? " Cần cù bù thông minh…………" Page 113 Ths. Lê Văn Đoàn Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) é p ù - ;2pú? b/ Tìm tham số m để phương trình có đúng ba nghiệm x Î ê ê 3 ú ë û a Câu 288. Cho phương trình: 2a sin x + ( a + 1) cos a = . Tìm a để phương trình có nghiệm ? cos x 2 Câu 289. Cho phương trình: ( 2 sin x - 1) ( 2 cos 2x + 2 sin x + m ) = 3 - 4 cos x . Tìm m để phương trình có 2 nghiệm thỏa : 0 £ x £ p . 2 Câu 290. Cho phương trình: cos x + 2 ( 1 - m ) cos x + 2m - 1 = 0 . Tìm m để phương trình có nghiệm ? Câu 291. Cho phương trình: cos2 x + 6 sin x = 4m 2 - 2 . Tìm tham số m để phương trình có nghiệm ? Câu 292. Cho phương trình: cos 2x + ( 2m - 1) cos x + 1 - m = 0 . Tìm m để phương trình có nghiệm æ ö p ÷ ÷ xÎ ç ; p ç ÷. ç è2 ÷ ø Câu 293. Tìm tham số m để phương trình: 2 có nghiệm ? æ p p÷ ö ç- ; ÷ Câu 294. Xác định tham số m để: cos2 x - 2m cos x + 6m - 9 = 0 có nghiệm x Î ç ÷? ç è 2 2÷ ø 2 sin x + m cos x = m - é pù ê0; ú ? ê 2ú ë û é pù 0; ú Câu 296. Xác định tham số m để: 2 sin 2 2x - 3 sin 2x + m - 1 = 0 có nghiệm x Î ê ê 4 ú? ë û 2 Câu 295. Xác định tham số m để: 2 cos x - ( m + 2) cos x + m = 0 có nghiệm x Î ( ) ( ) 4 4 6 6 2 Câu 297. Xác định tham số m để: 4 sin x + cos x - 4 sin x + cos x = m + sin ( p + 4x ) có nghiệm ? ép p ù 4 ; ú Câu 298. Xác định tham số m để phương trình: cos4 x + ( cos x - 1) = m có nghiệm x Î ê ê6 2 ú? ë û x Câu 299. Tìm tất cả các giá trị nguyên dương của m để phương trình: 3 + 2 cos 2x - 8 cos2 = 3m có 2 nghiệm ? Câu 300. Cho phương trình: sin 2x - 2m 2 ( sin x + cos x ) + 1 - 6m 2 = 0 . Tìm m để phương trình có nghiệm ? Câu 301. Cho phương trình: sin 6 x + cos6 x = m sin 2x . Tìm m để phương trình có nghiệm ? 3 Câu 302. Cho phương trình: 4 cos x + ( m - 3) cos x - 1 = cos 2x ( 1) . Tìm m để ( 1) có đúng 4 nghiệm thuộc æp ÷ ö ç ç- ; p÷ . ÷ ç è 2 ÷ ø Câu 303. Cho phương trình: sin 2x + m = sin x + 2m cos x ( 1) . Tìm m để ( 1) có đúng 2 nghiêm é 3p ù 0; ú phân biệt thuộc ê ê 4 ú. ë û 2 2 Câu 304. Cho phương trình: 2 cos 2x + sin x cos x + sin x cos x = m ( sin x + cos x ) . Tìm m để é pù 0; ú phương trình có ít nhất 1 nghiệm Î ê ê 2 ú. ë û Page 114 " All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) www.VNMATH.com Ths. Lê Văn Đoàn 6 6 Câu 305. Tìm a để sin x + cos x = a sin 2x có nghiệm. Câu 306. Cho phương trình: m ( sin x + cos x + 2) = 2 ( 1 + sin x cos x + sin x + cos x ) . Tìm m để phương trình có nghiệm ? Câu 307. Giải và biện luận phương trình: 2m ( sin x + cos x ) = 2m 2 + cos x - sin x + 8 8 ( Câu 308. Cho phương trình: sin x + cos x - 2 sin 10 3 ? 2 ) x + cos10 x = m cos 2x ( 1) . Tìm m để ( 1) có p p + k , (k Î ¢) . 4 2 Câu 309. Cho phương trình: sin 3 x + ( 2m + 1) sin 2 x cos x + ( 3m - 1) sin x cos 2 x + ( m - 1) cos 3 x = 0 nghiệm x ¹ æp ÷ ö - ; 0÷ ç Xác định m để phương trình có ba nghiệm phân biệt x Î ç ÷. ç è 2 ÷ ø Câu 310. Cho phương trình: sin 3 x - sin 2 x cos x + 18m sin x cos2 x - 2m cos 3 x = 0 æ pö ÷ 0; ÷ ç Xác định m để phương trình có ba nghiệm phân biệt x Î ç . ÷ ç ÷ è 2ø ( ) ( ) 2 3 2 3 Câu 311. Giải và biện luận phương trình: 8m + 1 cos x - 4m + 1 cos x + 2m sin x = 0 Câu 312. Cho phương trình: m sin 2 x - 4 2 sin x cos x + ( m - 2) cos 2 x = 0 æ pö ÷ ç0; ÷ Xác định m để phương trình có nghiệm x Î ç . ÷ ÷ ç è 6ø Câu 313. Giải và biện luận phương trình: 2 sin 2 x - 7 sin x cos x - 3 cos2 x + m = 0 Câu 314. Xác định tham số m để phương trình: 2 ( 2 - 3m ) sin 3 x + 3 ( 2m - 1) sin x + 2 ( m - 2) sin 2 x cos x = ( 4m - 3) cos x có nghiệm é pù 0; ú duy nhất x Î ê ê 4 ú. ë û Câu 315. Cho phương trình: 2 ( m - 1) ( sin x + cos x ) + m sin 2x + 4m - 1 = 0 æ p 3p÷ ö ç- ; ÷ Xác định m để phương trình có nghiệm x Î ç . ÷ ç è 2 4÷ ø ( Câu 316. Cho phương trình: sin 2x - 2m + ) 2 ( sin x + cos x ) + 2m 2 + 1 = 0 . Xác định m để æ 5pö ÷ 0; ÷ ç phương trình có đúng hai nghiệm x Î ç . ÷ ç ÷ è 4ø æ pö 1æ 1 1 ö ÷ ÷ ç ÷ ÷ 2 cos ç x + 1 + t an x + cot x + + = m . Tìm tham ç ç ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ 2ø 2è sin x cos x ø è æ pö ÷ 0; ÷ ç số m để phương trình có nghiệm x Î ç . ÷ ç ÷ è 2ø Câu 317. Cho phương trình: " Cần cù bù thông minh…………" Page 115 Ths. Lê Văn Đoàn Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) æ ö 3p ÷ 5 + 4 sin ç - x÷ ç ÷ ç ÷ Câu 318. Tìm a để phương trình: 6 t an a có nghiệm ? è2 ø = sin x 1 + t an 2 a 1 1 Câu 319. Cho phương trình: + + m ( t an x + cot x ) + 1 = 0 . Tìm tham số m để phương 2 sin x cos2 x trình vô nghiệm. Câu 320. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình: æ ö 1 1 ÷ ç ÷ cos2 x + = 2 cos x + m có nghiệm ? ç ÷ ç cos x ÷ cos2 x è ø 2 2 Câu 321. Tìm tham số m để phương trình: t an x + cot x + 3 ( t an x - cot x ) - m = 0 có nghiệm. ( ) Câu 322. Giải và biện luận phương trình: sin 2x + 4m 2 sin x - cos x + 1 - 8m = 0 2 2 Câu 323. Tìm tham số m để phương trình: sin x + ( 2m - 2) sin x cos x - ( m + 1) cos x = m có nghiệm ? Câu 324. Tìm tham số m để phương trình: sin 2x + 4 ( sin x - cos x ) = m có nghiệm ? 2 2 Câu 325. Cho phương trình: 2 cos 2x + sin x cos x + sin x cos x = m ( sin x + cos x ) . Xác định tham æ p p÷ ö ç- ; ÷ số m để phương trình có ít nhất một nghiệm x Î ç ÷. ç è 4 4÷ ø Câu 326. Tìm tham số m để phương trình: sin 3 x + cos 3 x = 1 + ( æ 3p÷ ö m ç ÷ x Î p ; ç có nghiệ m sin 2x ÷. ç è 2÷ ø 2 ) 2 2 Câu 327. Tìm tham số m để phương trình: 3 t an x + cot x + m ( t an x + cot x ) + 2 = 0 có nghiệm ( ) 2 2 Câu 328. Giải và biện luận phương trình: ( m - 1) t an x + cot x - 2m ( t an x - cot x ) = m - 6 Câu 329. Xác định tham số a để phương trình: 2 cos2 2x - cos2 3x - a sin 2 x = 1 có nghiệm æ p÷ ö ÷ xÎ ç 0; ç ÷. ç è 12 ÷ ø æ p÷ ö 3 2 ÷ x + + sin x = cos x ç Câu 330. Giải và biện luận phương trình: 2m - 2m 2 sin ç ÷ ç 4÷ 2 è ø 2 Câu 331. Xác định tham số m để: ( 2 sin x + 3) ( 3 cos x + 2 sin x - 4 + m ) + 4 cos x + 5 = 0 có æ p p÷ ö ÷ ; ç nghiệm duy nhất x Î ç ÷ ç è 4 4÷ ø 3 2 Câu 332. Xác định tham số m để: cos x + ( m - 2) cos x - ( 3m + 1) cos x + 2m + 2 = 0 có nghiệm æ 3p pö ÷ ;- ÷ ç duy nhất x Î ç ÷ ç ÷ 4 4ø è Câu 333. Xác định tham số m để: sin 3 æp pö ÷ xÎ ç ç ; ÷ ÷ ÷ ç è24 8 ø x 3x 3x x 3 sin 2x - sin 6x + m có nghiệm cos + sin cos 3 = 2 2 2 2 4 2 Câu 334. Giải và biện luận phương trình: 2 ( 1 - m ) sin x - 2 ( m + 2) cos x + m + 5 = 0 Page 116 " All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) www.VNMATH.com Ths. Lê Văn Đoàn é pù 0; ú Câu 335. Xác định m để: 2 cos x cos 2x cos 3x + m = 7 cos 2x có nghiệm duy nhất trên x Î ê ê 4ú ë û 2 x - 2 cos ( ax + b ) ù Câu 336. Các tham số a, b thỏa mãn điều kiện gì để phương trình: x + 5 = 2 é ê ú ë ûcó nghiệm ? Câu 337. Xác định tham số m để phương trình: sin 2 x + sin 2 3x - m cos2 2x = 0 có nghiệm ? Câu 338. Xác định tham số m để phương trình: sin x + 2 - sin 2 x + sin x 2 - sin 2 x = m có nghiệm ? Câu 339. Tìm a để phương trình sau có nghiệm ? ( cos 8x - 2 ( )( ) cos 4x ) = a 2 + 6a + 8 a 2 + 6a + 11 + 7 + sin 6x Câu 340. Giải và biện luận phương trình: Câu 341. Cho phương trình: 1 + sin 2x + 3 - sin x - cos2 x + 1 - sin 2x = m cos 2x ( 1 + sin x ) ( 2 - sin x ) = 2m . Tìm tham số m để é p pù - ; ú phương trình có nghiệm x Î ê ê 2 2 ú. ë û Câu 342. Cho phương trình: 1 + 2 cos x + 1 + 2 sin x = m . Xác định m để phương trình có nghiệm Câu 343. Cho phương trình: 3 1 + cot x ( 2 sin x + cos x ) = m ( 3 sin x + cos x ) . Xác định tham số m æ pö ÷ ç0; ÷ để phương trình có nghiệm duy nhất x Î ç . ÷ ÷ ç è 2ø Câu 344. Cho phương trình: trình có nghiệm ? cos2 x - 2 cos x + 5 + cos2 x + 4 cos x + 8 = m . Xác định phương ( ) Câu 345. Cho phương trình: 2 cos2 x 3 cos2 x + 1 = cos 4 x 3 cos2 x + 1 - m . Xác định m để phương trình có nghiệm ? Câu 346. Cho phương trình: cos x = m cos2 x x 1 + t an . Xác định m để phương trình duy nhất 2 2 é 2p ù 0; ú thuộc đoạn ê ê 3 ú? ë û 2 2 Câu 347. Cho phương trình: 81sin x + 81cos x = m . Xác định m để phương trình có nghiệm ? Câu 348. Tìm tất cả các giá trị m để phương trình: mx 2 + 2 cos x = 2 có đúng hai nghiệm phân biệt é pù 0; ú trong x Î ê ê 2ú ë û I – HỆ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC  Phương pháp: Ta có những phương pháp thông dụng thường gặp như sau  Phương pháp thế.  Phương pháp cộng.  Phương pháp đặt ẩn phụ. " Cần cù bù thông minh…………" Page 117 Ths. Lê Văn Đoàn Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao)  Phương pháp bất đẳng thức, tổng hai số không âm (hệ không mẫu mực). BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 401. Giải hệ phương trình: Bài 402. Giải hệ phương trình: Bài 403. Giải hệ phương trình: Bài 404. Giải hệ phương trình: Bài 405. Giải hệ phương trình: Bài 406. Giải hệ phương trình: Bài 407. Giải hệ phương trình: Bài 408. Giải hệ phương trình: Bài 409. Giải hệ phương trình: Bài 410. Giải hệ phương trình: Bài 411. Giải hệ phương trình: Page 118 ìï cos 2x - 1 = 0 ( 1) ïï ïí ïï sin 2x = 3 ( 2) ïïî 2 ìï sin x + sin y = 1 ïï í ïï x + y = p ïïî 3 ìï ïï 2x - 3y = p ïï 3 í ïï 3 ïï sin 2x cos 3y = 4 ïî ìï sin x + sin y = 2 ( 1) ïï í ïï cos x + cos y = 2 ( 2) ïî ìï ïï t an x + t an y = 2 3 ïï 3 í ïï 2 3 ïï cot x + cot y = 3 ïî ìï cos x 1 ïï = ïï cos y 2 í ïï p ïï x + y = 3 ïî ïìï 2 1 2 ïï sin x + sin y = 2 í ïï p ïï x - y = 3 ïî ìï ïï x - y = p ïï 3 í ïï 2 2 2 ïï cos x + cos y = 1 + 4 ïî ìï t an x - t an y - t an x t an y = 1 ïï í ïï cos 2x + 3 cos 2x = - 1 ïî ìï cos3 x - cos x + sin y = 0 ( 1) ï í 3 ïï sin x - sin y + cos x = 0 ( 2) ïî ìï ïï sin x cos y = - 1 ( 1) í 2 ïï t an x cot y = 1 ( 2) ïîï ( 1) ( 2) " All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) ìï 1 ïï - cos y = 2 Bài 412. Giải hệ phương trình: í sin x ïï sin x cos y = - 1 ïïî ìï ïï sin x - sin 2y = 3 ï 2 Bài 413. Giải hệ phương trình: ïí ïï 1 ïï cos x + cos 2y = 2 ïî ìï ïï t an x + t an y = 2 3 ï 3 Bài 414. Giải hệ phương trình: ïí ïï 2 3 ïï cot x + cot y = 3 ïî Bài 415. Giải hệ phương trình: Bài 416. Giải hệ phương trình: Bài 417. Giải hệ phương trình: Bài 418. Giải hệ phương trình: Bài 419. Giải hệ phương trình: Bài 420. Giải hệ phương trình: Bài 421. Giải hệ phương trình: Bài 422. Giải hệ phương trình: Bài 423. Giải hệ phương trình: " Cần cù bù thông minh…………" www.VNMATH.com Ths. Lê Văn Đoàn ( 1) ( 2) ìï ïï sin x + cos y = 1 sin y - cos y ïí 2 ïï 3 ïï 2 sin 2x = + sin 2y 2 îï ìï 2 cos x = 1 + cos y ïï í ïï 2 sin x = sin y ïî ìï sin x - 7 cos y = 0 ï í ïï 5 sin y - cos x = 6 î ìï t an x + 2 sin y = sin 2x ï í ïï 2 sin y cos ( x - y ) = sin x ïî ìï sin x = sin 2y ïï ïï é ù ïí x Î é0; pù, y Î ê- p ; p ú ê ë ú û ê 4 4ú ïï ë û ïï cos x = 2 cos y ïï î ìï ïï sin ( px ) . cos ( py ) = 1 ïï 4 ï 3 t an px = t an py í ( ) ( ) ïï ïï 0 < x + y < 2 ïï î ìï cos x - cos 2y = x - 2y ( 1) ï í ïï t an x = 3 t an y ( 2) ïî æ p÷ ö ïìï y+ ÷ ïï t an x + cot x = 2 sin ç ç ç ÷ 4÷ è ø ï í æ p÷ ö ïï ÷ x ç ïï t an y + cot y = 2 sin ç ç ÷ 4÷ è ø ïïî ìï sin x + sin y = sin ( x + y ) ï í ïï x + y = 1 ïî ( 1) ( 2) Page 119 Ths. Lê Văn Đoàn Bài 424. Giải hệ phương trình: Bài 425. Giải hệ phương trình: Bài 426. Giải hệ phương trình: Bài 427. Giải hệ phương trình: Bài 428. Giải hệ phương trình: Bài 429. Giải hệ phương trình: Bài 430. Giải hệ phương trình: Bài 431. Giải hệ phương trình: Bài 432. Giải hệ phương trình: Bài 433. Giải hệ phương trình: Bài 434. Giải hệ phương trình: Bài 435. Giải hệ phương trình: Page 120 Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) ìï ïï sin x cos y sin ( x + y ) + 1 = 0 í 8 ïï x = y + z ïïî ìï 2 ïï sin x - 2 sin x cos 2y = cos x + y + cos x - y - 2 í 2 2 ïï 2 cos x + cos y 2 sin 2y = 0 ïïî ìï cot x - cot y = x - y ïï ïí 5x + 8y = 2p ïï ïï 0 < x, y < p î ìï cos ( x + y ) = 2 cos ( x - y ) ïï í ïï cos x cos y = 3 ïïî 4 æ 3p ÷ ö ïìï ÷ yïï t an x + cot x = 2 sin ç ç ç ÷ 4÷ è ø ï í æ p÷ ö ïï ÷ x + ç ïï t an y + cot y = 2 sin ç ÷ ç 4÷ è ø ïïî ìï ïï ex- y = sin x ïï sin y ïï 6 4 í 10 x + 1 = 3 y + 2 ïï æ 5pö ïï ÷ p; ÷ ç ïï x, y Î ç ÷ ç ÷ è 4ø ïïî ìï sin x + sin y = 2 ï í 2 ïï sin x + sin 2 y = 2 ïî ìï t an x + t an y + t an x t an y = 1 ï í ïï 3 sin 2y - 2 = cos 4x î ìï ïï sin x sin y = - 1 ï 2 í ïï 1 ïï cos x cos y = 2 ïî 2 ìï sin x = cos x cos y ï í ïï cos2 x = sin x sin y ïî ìï ïï sin x cos y = 1 í 4 ïï 3 t an x = t an y ïïî ìï t an x + t an y = 1 ïï í ïï t an x + t an y = 2 ïïî 2 2 ( ) " All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) Bài 436. Giải hệ phương trình: Bài 437. Giải hệ phương trình: Bài 438. Giải hệ phương trình: Bài 439. Giải hệ phương trình: Bài 440. Giải hệ phương trình: Bài 441. Giải hệ phương trình: Bài 442. Giải hệ phương trình: Bài 443. Cho hệ phương trình: ìï t g2 x + t g2 y = 6 ï í ïï t gx. cot gy + t gy. cot gx = - 6 ïî ìï sin x. cos y = 0 ïï í ïï 2 sin 2 x - cos 2y - 2 = 0 ïî ìï x ± y = φ ïï í sin x ïï =m ïïî sin y ìï x ± y = φ ïï í cos x ïï =m ïïî cos y ìï x ± y = φ ïï í t an x ïï =m ïïî t an y ìï x ± y = φ ï í ïï t an x. t an y = m î ìï x ± y = φ ï í ïï cot x. cot y = m î ìï ïï sin x + sin y = 1 í 2 ïï cos 2x + cos 2y = m ïïî a/ Giải hệ phương trình khi m = - Bài 444. Bài 445. Bài 446. Bài 447. www.VNMATH.com Ths. Lê Văn Đoàn 1 . 2 b/ Tìm tham số m để hệ có nghiệm. ìï x - y = m ï Cho hệ phương trình: í ïï 2 ( cos 2x + cos 2y ) - 1 - 4 cos 2 m = 0 ïî Tìm tham số m để hệ phương trình có nghiệm. ìï cos x cos y = m + 1 ï Cho hệ phương trình: í ïï sin x sin y = 4m 2 + 2m ïî 1 a/ Giải hệ phương trình khi m = - . 4 b/ Tìm tham số m để hệ có nghiệm. ìï y 2 + t an 2 x = 1 ï Cho hệ phương trình: í . Tìm tham số m để hệ có nghiệm duy nhất. ïï y + 1 = ax 2 + a + sin x ïî ìï sin x + sin 2x = m ï Cho hệ phương trình: í ïï cos x + cos 2x = m î a/ Giải hệ phương trình khi m = 0 . b/ Tìm tham số m để hệ có nghiệm. " Cần cù bù thông minh…………" Page 121 Ths. Lê Văn Đoàn Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) ìï 2 x + x = cos x + x 2 + a ï Bài 448. Cho hệ phương trình: ïí 2 . Tìm tham số a để hệ có nghiệm duy nhất. ïï x + cos2 x = 1 ïî ìï sin x + cos y = a ï Bài 449. Tìm điều kiện cần và điều kiện đủ để hệ sau có nghiệm: í ïï sin y + cos x = b î ìï sin 2 x + m t an y = m ï Bài 450. Cho hệ phương trình: í ïï tan 2 y + m sin x = m ïî a/ Giải hệ phương trình khi m = - 4 . b/ Tìm tham số m để hệ có nghiệm. J – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC – NHẬN DẠNG TAM GIÁC   Định lí hàm số sin và cosin µ B, µ C µ và R, S tương ứng là bán kính đường Cho ∆ABC có a, b, c lần lượt là ba cạnh đối diện của A, tròn ngoại tiếp và diện tích ∆ABC. A a b c · = = = 2R sin A sin B sin C b c · a 2 = b 2 + c2 - 2bc cos A = b 2 + c2 - 4S. cot A · b 2 = a 2 + c2 - 2ac cos B = a 2 + c2 - 4S. cot B B · c2 = a 2 + b 2 - 2ab cos C = a 2 + b 2 - 4S. cot C  Định lí về đường trung tuyến C a A Cho ∆ABC có trung tuyến AM thì BC 2 AB + AC = 2AM + 2 2 a hay : c2 + b 2 = 2m 2a + 2 2 2 c 2 B b ma M a C  Diện tích tam giác Gọi S : là diện tích ∆ABC. R : bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ABC. r : bán kính đường tròn nội tiếp ∆ABC. p : nửa chu vi của ∆ABC. 1 1 1 1 1 1 ● S = a.h a = b.h b = c.h c ● S = ab sin C = ac sin B = bc sin A 2 2 2 2 2 2 abc a+ b+ c ● S= ● S = pr, p = 4R 2 ● S = p ( p - a ) ( p - b ) ( p - c)  Bán kính đường tròn Gọi Page 122 R : bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ABC. " All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) www.VNMATH.com Ths. Lê Văn Đoàn r : bán kính đường tròn nội tiếp ∆ABC. a abc = 2 sin A 4S S ● r= p  Định lí hàm số tan và cot A- B t an a- b 2 ; ... = ● a+ b A+ B t an 2 ● r = ( p - a ) t an ● R= A B C = ( p - b ) tan = ( p - c) t an 2 2 2 ● cot A + cot B + cot C = a 2 + b 2 + c2 4S BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 451. Chứng minh các đẳng thức cơ bản trong ∆ABC A B C cos cos 2 2 2 A B C cos A + cos B + cos C = 1 + 4 sin sin sin 2 2 2 sin 2A + sin 2B + sin 2C = 4 sin A sin B sin C cos 2A + cos 2B + cos 2C = - 1 - 4 cos A cos B cos C sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C = 2 + 2 cos A cos B cos C cos2 A + cos 2 B + cos2 C = 1 - 2 cos A cos B cos C A B C A B C sin 2 + sin 2 + sin 2 = 1 - 2 sin sin sin 2 2 2 2 2 2 A B C A B C cos2 + cos2 + cos2 = 2 + 2 sin sin sin 2 2 2 2 2 2 t an A + t an B + t an C = t an A t an B t an C A B B C C A t an t an + t an t an + t an t an = 1 2 2 2 2 2 2 a/ sin A + sin B + sin C = 4 cos b/ c/ d/ e/ f/ g/ h/ i/ j/ Bài 452. Chứng minh trong ∆ABC, ta luôn có: t an kA + t an kB + t an kC = t an kA t an kB t an kC , ( k Î ¥ ) A B 1 t an = . Chứng minh: a + b = 2c . 2 2 3 Bài 454. Cho ∆ABC có ba góc A, B, C theo thứ tự tạo thành cấp số nhân công bội q = 2 . Chứng minh: Bài 453. Cho ∆ABC. Biết t an 1 1 1 + + =8. 2 2 sin A sin B sin 2 C 5 c/ cos2 A + cos2 B + cos 2 C = . 4 a/ b/ cos A cos B cos C = d/ 1 . 8 1 1 1 = + . a b c A C Bài 455. Cho D ABC, BC = a, CA = b, AB = c . Chứng minh: 2b = a + c Û cot cot = 3 2 2 sin A sin B sin C = = Bài 456. Cho ∆ABC. Biết rằng: . Tính các góc của ∆ABC. 1 2 3 " Cần cù bù thông minh…………" Page 123 Ths. Lê Văn Đoàn Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) Bài 457. Cho ∆ABC. Biết rằng có ba góc A, B, C tạo thành một cấp số nhân có công bội q = 2 . µ < B µ [...]... lng giac co cha tan hoc cot, co õn mõu hay cn bõc chn, ta phai c iờu kiờn ờ phng trinh xac inh c biờt ụi vi nhng bai toan co sin ổ cos ử ữ ữ ,ỗ ỗ cha tan (hoc cot), ta hay thay thờ chung bng nhm muc ich " n ữ ỗ ữ cos ốsin ứ gian hoa " va chi con lai hai gia tri lng giac la sin va cos ma thụi Ta se dung cac cach sau õy ờ kiờm tra xem co nhõn nghiờm hay khụng Thay cac gia tri x tim c vao iờu kiờn xem... nghi dung cụng thc cụng cung theo sin, hoc xet tụng cung cua chung, nhng ng vụi lam nh thờ, no se kho i ờn kờt qua Ta hay xem 3p x p 3x gia hai cung va co mụi liờn hờ gi hay khụng ? Thõt võy: + 10 2 10 2 " Cõn cu bu thụng minh" Page 11 Ths Lờ Vn on Phng trinh lng giac va ng dung (Nõng cao) ộ ổp ự ổp 3x ử ổ ử ổ 3x ử 9p 3x ữ 3p x ử ữ ữ ỗ ờp - ỗ ỳ= sin ỗ ữ ữ ữ ữ sin ỗ + = sin + = sin 3 - ữ ỗ ỗ ỗ ỗ T o,... lt gõp ụi nhau, ta cht nh ờn cụng thc nhõn ụi cua sin , bng cach nhõn thờm hai vờ cua ( * ) cho sin x ờ am trong phep nhõn, ta nờn kiờm tra xem sin x = 0 co phai la nghiờm hay khụng trc khi nhõn Nhõn thõy: sin x = 0 x = k p ( hay cos x = 1) cos 2x = cos 4x = cos 8x = 1 nờn 1 (vụ nghiờm) nờn sin x = 0 x = k p khụng la nghiờm cua ( * ) 16 Nhõn ca 2 vờ cua phng trinh ( * ) cho 16 sin x ạ 0 , ta c:... Phng trinh lng giac va ng dung (Nõng cao) ộ0 = 2 sin 2 x + 1 > 0 2 sin x + 1 ( cos x - sin x ) = 0 ờ ờcos x - sin x = 0 ờ ở p t an x = 1 x = + k p , ( k ẻ Â ) 4 Cach giai 3 ( 2 ) 3 ( 1) 3 ộ1 ự ổ pử ữ ỗ ỳ = 2 sin x ữ 2ờ 2 sin x + ỗ ữ ờ ỳ ữ ỗ 4 ố ứ 2 ờ ỳ ở ỷ 3 ( sin x + cos x ) = 4 sin x ( VN ) ộ1 ự 2 ờ ( sin x + cos x ) ỳ = 2 sin x ờ ỳ ở2 ỷ ( 2) Vi cos x = 0 ( hay sin x = 1) khụng phai la nghiờm... khao ( * ) ( cos x + cos 4x ) + ( cos 2x + cos 3x ) = 0 Page 14 2 cos 5x 3x 5x x cos + 2 cos cos = 0 2 2 2 2 " All the flower of tomorrow are in the seeks of today" Phng trinh lng giac va ng dung (Nõng cao) 5x ổ 3x xử ỗ ữ= 0 cos + cos ữ ỗ ữ 2 ỗ 2 2ữ ố ứ ộ5x ộ 5x ờ = p + kp ờcos ờ2 2 ờ 2 =0 ờ p ờ ờcos x = 0 ờ ờx = + lp 2 ờ ờ ờ x ờ x p ờcos = 0 ờ = + mp ờ 2 ở ờ 2 ở2 2 cos www.VNMATH.com Ths Lờ Vn... phng trinh: sin x + sin 3x = cos 2x + cos 4x ( k, l, m ẻ Â ) ( *) Trich ờ thi tuyờn sinh ai hoc Kinh tờ Quục Dõn nm 1999 " Cõn cu bu thụng minh" Page 15 Ths Lờ Vn on Phng trinh lng giac va ng dung (Nõng cao) Bai giai tham khao 1 1 1 1 ( * ) 2 ( 1 - cos 2x ) + 2 ( 1 - cos 6x ) = 2 ( 1 + cos 4x ) + 2 ( 1 + cos 8x ) - ( cos 2x + cos 6x ) = cos 4x + cos 8x - 2 cos 4x cos 2x = 2 cos 6x cos 2x 2 cos 2x... sin x = cos 2x + cos 3x ( *) Trich ờ thi tuyờn sinh ai hoc Quục Gia Ha Nụi nm 1998 Bai giai tham khao Page 16 " All the flower of tomorrow are in the seeks of today" Phng trinh lng giac va ng dung (Nõng cao) www.VNMATH.com Ths Lờ Vn on 1 - cos 2x 1 + cos 4x 1 + cos 6x = + ( cos 2x + cos 4x ) + ( 1 + cos 6x ) = 0 2 2 2 2 cos 3x cos x + 2 cos2 3x = 0 2 cos 3x ( cos x + cos 3x ) = 0 ( *) ộ ờx = p + k... 3 3 Bai 23 Giai phng trinh: sin x cos 3x + cos x sin 3x = sin 4x ( *) Trich ờ thi Tuyờn sinh ai hoc Ngoai Thng nm 1999 " Cõn cu bu thụng minh" Page 17 Ths Lờ Vn on Phng trinh lng giac va ng dung (Nõng cao) Bai giai tham khao ( *) ( ) ( ) sin 3 x 4 cos 3 x - 3 cos x + cos 3 x 3 sin x - 4 sin 3 x = sin 3 4x 4 sin 3 x cos 3 x - 3 sin 3 x3 cos x + 3 cos 3 x sin x - 4 cos 3 x sin 3 x = sin 3 4x 3 sin... ( 1 - 2 sin x ) ( 1 + 2 sin x ) = 0 ( 2 sin x + 1) ( 3 cos 4x + 2 sin x - 4 + 1 - 2 sin x ) = 0 2 Page 18 " All the flower of tomorrow are in the seeks of today" Phng trinh lng giac va ng dung (Nõng cao) www.VNMATH.com Ths Lờ Vn on 3 ( cos 4x - 1) ( 2 sin x + 1) = 0 ộ ờ4x = k2p ờ ộcos 4x = 1 ờ ờ p ờ ờx = - + l2p 1 ờ ờsin 2x = 6 ờ ờ 2 ở ờx = 7p + m2p ờ 6 ở ộ ờx = kp ờ 2 ờ ờx = - p + l2p ờ 6 ờ ờ... ) x - 2 sin 5 x - 2 cos 5 x + cos 3 x = 0 ( sin 3 x 1 - 2 sin 2 " Cõn cu bu thụng minh" 3 2 ) x - 1 = 0 sin 3 x cos 2x - cos 3 x cos 2x = 0 Page 19 Ths Lờ Vn on Phng trinh lng giac va ng dung (Nõng cao) ộcos 2x = 0 p mp cos 2x sin 3 x - cos 3 x = 0 ờ ờt an 3 x = 1 x = 4 + 2 , ( m ẻ Â ) ờ ở Cach giai 2 ( ( * ) ( sin 3 ) )( ) x + cos 3 x sin 2 x + cos2 x - 2 sin 5 x - 2 cos5 x = 0 ( ) ( x ) - ... ờn kờt qua Ta hay xem 3p x p 3x gia hai cung va co mụi liờn hờ gi hay khụng ? Thõt võy: + 10 10 " Cõn cu bu thụng minh" Page 11 Ths Lờ Vn on Phng trinh lng giac va ng dung (Nõng cao) ộ ổp ự ổp... co cha tan hoc cot, co õn mõu hay cn bõc chn, ta phai c iờu kiờn phng trinh xac inh c biờt ụi vi nhng bai toan co sin ổ cos ữ ữ ,ỗ ỗ cha tan (hoc cot), ta hay thay thờ chung bng nhm muc ich... cho sin x am phep nhõn, ta nờn kiờm tra xem sin x = co phai la nghiờm hay khụng trc nhõn Nhõn thõy: sin x = x = k p ( hay cos x = 1) cos 2x = cos 4x = cos 8x = nờn (vụ nghiờm) nờn sin x =

Ngày đăng: 04/10/2015, 06:49

Xem thêm: Phương trình lượng giác và ứng dụng (nâng cao) cực hay, Phương trình lượng giác và ứng dụng (nâng cao) cực hay

Phương trình lượng giác và ứng dụng (nâng cao) cực hay

Thông tin tài liệu

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

Tài liệu liên quan