AÙNH XAÏ AÙnh xaï f töø A vaøo B laø moät quan heä cuûa A vaø B (taäp con cuûa A × B) thoaû hai tính chaát : (∀a ∈ A)(∃b ∈ B)( (a, b) ∈ f ) vaø (∀a, b, b’)( ((a, b) ∈ f) ∧ ((a, b’) ∈ f) → (b = b’) ). Kyù hieäu f : A → B. Coù theå vieát döôùi daïng : (∀a ∈ A)(∃!b ∈ B)( (a, b) ∈ f ). Nguyễn Quang Châu- Khoa CNTT- Trường CN Tp.HCM BAØI TAÄP AÙNH XAÏ Cho bieát quan heä sau coù phaûi laø aùnh xaï hay khoâng. c b a d e 4 1 2 3 6 5 Nguyễn Quang Châu- Khoa CNTT- Trường CN Tp.HCM AÙNH XAÏ 1-1 & TREÂN AÙnh xaï 1-1. AÙnh xaï treân. c b a d e 4 1 2 3 6 5 Nguyễn Quang Châu- Khoa CNTT- Trường CN Tp.HCM AÙNH XAÏ 1-1 & TREÂN AÙnh xaï f : A → B. Aùnh xaï 1-1 : (∀a, b ∈ A)( (f(a) = f(b)) → (a = b) ). Aùnh xaï treân : (∀b ∈ B)( (∃a ∈ A) (f(a) = b) ). AÙnh xaï 1-1treân laø 1-1 vaø treân. Nguyễn Quang Châu- Khoa CNTT- Trường CN Tp.HCM AÙNH XAÏ ÑAÛO Ñieàu kieän naøo ñeå aùnh xaï f coù chieàu ngöôïc laïi cuõng laø aùnh xaï. f b a c e d 2 1 6 3 5 4 g laø aùnh xaï ? f phaûi treân vaø 1-1 ñeå g laø aùnh xaï. g ñöôïc goïi laø aùnh xaï ñaûo cuûa f vaø kyù hieäu laø f −1. Nguyễn Quang Châu- Khoa CNTT- Trường CN Tp.HCM AÛNH CUÛA TAÄP CON AÙnh xaï f : A → B vaø S ⊆ A. b S a c e d f 2 1 6 3 5 4 Aûnh cuûa taäp S qua f kyù hieäu laø f*(S) hay f(S). f(S) = { y (∀y ∈ B)(∃x ∈ S)( y = f(x)) } Nguyễn Quang Châu- Khoa CNTT- Trường CN Tp.HCM IM(f) AÙnh xaï f : A → B. Tröôøng hôïp ñaëc bieät laáy S = A. f b a c e d 2 1 6 3 5 4 Aûnh cuûa taäp A qua f kyù hieäu laø Im(f) hay f(A). Im(f) = { y (∀y ∈ B)(∃x ∈ A)( y = f(x)) } Nguyễn Quang Châu- Khoa CNTT- Trường CN Tp.HCM AÛNH NGÖÔÏC AÙnh xaï f : A → B vaø T ⊆ B. f b a c e d 2 1 6 3 5 4 Aûnh ngöôïc cuûa taäp T qua f kyù hieäu laø f*(T) hay f−1(T). f−1(T) = { x (∀x ∈ A)(f(x) ∈ T) } Nguyễn Quang Châu- Khoa CNTT- Trường CN Tp.HCM KER(f) AÙnh xaï f : A → B. f f h b a c e 6 1 i d 2 3 5 4 g Ñaây laø moät phaân hoaïch treân taäp A. Nguyễn Quang Châu- Khoa CNTT- Trường CN Tp.HCM KER(F) Cho aùnh xaï f : A → B. Quan heä töông öùng vôùi phaân hoaïch treân laø Ker(f). Ker(f) = { (x, y) (∀x, y ∈ A)(f(x) = f(y)) } Ker(f) ñöôïc goïi laø nhaân cuûa aùnh xaï f. Ker(f) laø quan heä töông ñöông. ∀x ∈ A, (x, x) ∈ Ker(f). Neáu (x, y) ∈ Ker(f) thì (y, x) ∈ Ker(f). Neáu (x, y) ∈ Ker(f) vaø (y, z) ∈ Ker(f) thì (x, z) ∈ Ker(f). Nguyễn Quang Châu- Khoa CNTT- Trường CN Tp.HCM KER(F) Meänh ñeà : Ker(f) = f : f−1. Phaân tích baøi toaùn tröôùc khi chöùng minh : Ker(f) = { (x, y) (∀x, y ∈ A)(f(x) = f(y)) } f = { (x, y) (∀x ∈ A)(∃!y ∈ B) (f(x) = y) } f −1 = { (y, x) (∀x ∈ A)(∃!y ∈ B) (f(x) = y) } Caàn chöùng minh Ker(f) ⊆ f : f−1 vaø Ker(f) ⊇ f : f−1. Nguyễn Quang Châu- Khoa CNTT- Trường CN Tp.HCM KER(F) Chöùng minh Ker(f) ⊆ f : f−1 : Laáy (x, y) ∈ Ker(f), → f(x) = f(y) = z. → (x, z) ∈ f vaø (y, z) ∈ f. → (x, z) ∈ f vaø (z, y) ∈ f−1. → (x, y) ∈ f : f−1. Chöùng minh Ker(f) ⊇ f : f−1 : Töông töï nhö treân. Nguyễn Quang Châu- Khoa CNTT- Trường CN Tp.HCM KER(F) Chuù yù : Ker(f) = { (x, y) (∀x, y ∈ A)(f(x) = f(y)) } f = { (x, y) (∀x ∈ A)(∃!y ∈B) (f(x) = y) } f−1 = { (y, x) (∀x ∈ A)(∃!y ∈B) (f(x) = y) } Traùnh vieát : “Laáy (x, y) ∈ Ker(f)” Neân vieát : “Laáy (a, b) ∈ Ker(f)”. Vì caùc x, y truøng vôùi bieán ñònh nghóa cuûa Ker(f), f vaø f−1. Toát nhaát caùc ñònh nghóa neân vieát : Ker(f) = { (∆, ∇) (∀∆, ∇ ∈ A)(f(∆) = f(∇)) } f = { (∆, ∇) (∀∆ ∈ A)(∃!∇ ∈ B) (f(∆) = ∇) } Nguyễn Quang Châu- Khoa CNTT- Trường CN Tp.HCM KYÙ HIEÄU f−1 AÙnh xaï f : A → B. b a ce d f 2 1 6 3 5 4 Kyù hieäu f−1 coù caùc caùch söû duïng sau : f−1 → quan heä ñaûo f−1(y), ∀y∈B → aùnh xaï ñaûo f−1(T), ∀T ⊆ B → aûnh ngöôïc Nguyễn Quang Châu- Khoa CNTT- Trường CN Tp.HCM HÔÏP NOÁI 2 AÙNH XAÏ Tìm ñöôøng ñi töø taäp ñaàu cuûa aùnh xaï thöù 1 ñeán taäp cuoái cuûa aùnh xaï thöù 2. Nguyễn Quang Châu- Khoa CNTT- Trường CN Tp.HCM ÑIEÀU KIEÄN HÔÏP NOÁI Cho aùnh xaï f : A → B vaø g : C → D. Ñieàu kieän ñeå hôïp noái ñöôïc 2 aùnh xaï laø : f(A) ⊆ C. Kyù hieäu: hôïp noái laø gf hay (g°f). Nguyễn Quang Châu- Khoa CNTT- Trường CN Tp.HCM ÑIEÀU KIEÄN HÔÏP NOÁI A B D C Tröôøng hôïp ñaëc bieät : B ⊆ C hay B = C. Hôïp noái chính laø tích töông ñoái hai quan heä f vaø g. Nguyễn Quang Châu- Khoa CNTT- Trường CN Tp.HCM SÖÛ DUÏNG KER(f)-IM(f) Bieán aùnh xaï ϕ bình thöôøng (khoâng 1-1treân ) thaønh 1-1treân. ϕ ϕ f A a g c h b e i d 1 2 3 4 5 6 B ϕ) Im( A/Ker(ϕ) Nguyễn Quang Châu- Khoa CNTT- Trường CN Tp.HCM SÖÛ DUÏNG KER(f)-IM(f) Phaân tích aùnh xaï ϕ bình thöôøng thaønh hôïp noái cuûa 1-1 vaø treân. ϕ f A g a h b c e d i 1 2 3 4 5 6 B i f A/Ker(ϕ) ϕ g h c d Nguyễn Quang Châu- Khoa CNTT- Trường CN Tp.HCM AÙNH XAÏ THEO QUAN ÑIEÅM PHAÏM TRUØ Aùnh xaï ñaûo Cho 2 aùnh xaï g : T → S, f : S → T. f T S Neáu fg = 1T thì : g f laø nghòch ñaûo traùi cuûa g vaø g laø nghòch ñaûo phaûi cuûa f. fg = 1T vaø gf = 1S thì f laø nghòch ñaûo cuûa g. Nguyễn Quang Châu- Khoa CNTT- Trường CN Tp.HCM AÙNH XAÏ THEO QUAN ÑIEÅM PHAÏM TRUØ Ñònh lyù f coù mieàn trò khaùc troáng : f laø 1-1 ↔ f coù nghòch ñaûo traùi. f laø treân ↔ f coù nghòch ñaûo phaûi. Nguyễn Quang Châu- Khoa CNTT- Trường CN Tp.HCM AXIOM OF CHOICE  Phaàn töû khoâng    choïn ñöôïc Phaàn töû Phaàn töû Phaàn töû Khoâng gian naøy khoâng laø taäp hôïp Nguyễn Quang Châu- Khoa CNTT- Trường CN Tp.HCM AXIOM OF CHOICE ∅ {a} {b} {c} {d} {a, b} {a, c} {a, d} {b, c} {c, d} {b, d} a b {a, b, c} {b, c, d} c d {a, b, d} {a, c, d} Taäp hôïp X {a, b, c, d} Nguyễn Quang Châu- Khoa X Taäp hôïCNTTp2 Trường CN Tp.HCM AXIOM OF CHOICE Tìm aùnh xaï γ ñeå γ(A)∈A ∅ {a} {b} {c} {d} {a, b} {a, c} {a, d} {b, c} {c, d} {b, d} {a, b, c} {b, c, d} {a, b, d} {a, c, d} a b X c d {a, b, c, d} 2 X Nguyễn Quang Châu- Khoa CNTT- Trường CN Tp.HCM AXIOM OF CHOICE Neáu taäp X ≠ ∅ thì coù aùnh xaï γ : 2X → X, sao cho (∀A ∈ 2X) (γ(A) ∈ A). γ ñöôïc goïi laø aùnh xaï choïn. Nguyễn Quang Châu- Khoa CNTT- Trường CN Tp.HCM AXIOM OF CHOICE Phaùt bieåu ñaày ñuû : Neáu taäp X ≠ ∅ thì coù aùnh xaï γ : (2X − {∅}) → X, sao cho (∀A ∈ (2X − {∅})) (γ(A) ∈ A). Nguyễn Quang Châu- Khoa CNTT- Trường CN Tp.HCM AXIOM OF CHOICE Aùnh xaï choïn γ : (2X − {∅}) → X, (∀A ∈ (2X − {∅})) (γ(A) ∈ A). Tröôøng hôïp söû duïng : Laáy X ∈ 2X thì γ(X) ∈ X. γ(X) chính laø 1 phaàn töû choïn ñöôïc trong X. Nguyễn Quang Châu- Khoa CNTT- Trường CN Tp.HCM LYÙ THUYEÁT TAÄP HÔÏP HEÁT CHÖÔNG Nguyễn Quang Châu- Khoa CNTT- Trường CN Tp.HCM [...]... cách sử dụng sau : f−1 → quan hệ đảo f−1(y), ∀y∈B → ánh xạ đảo f−1(T), ∀T ⊆ B → ảnh ngược Nguyễn Quang Châu- Khoa CNTT- Trường CN Tp.HCM HP NỐI 2 ÁNH XẠ Tìm đường đi từ tập đầu của ánh xạ thứ 1 đến tập cuối của ánh xạ thứ 2 Nguyễn Quang Châu- Khoa CNTT- Trường CN Tp.HCM ĐIỀU KIỆN HP NỐI Cho ánh xạ f : A → B và g : C → D Điều kiện để hợp nối được 2 ánh xạ là : f(A) ⊆ C Ký hiệu: hợp nối là gf hay (g°f)... Biến ánh xạ ϕ bình thường (không 1-1trên ) thành 1-1trên ϕ ϕ f A a g c h b e i d 1 2 3 4 5 6 B ϕ) Im( A/Ker(ϕ) Nguyễn Quang Châu- Khoa CNTT- Trường CN Tp.HCM SỬ DỤNG KER(f)-IM(f) Phân tích ánh xạ ϕ bình thường thành hợp nối của 1-1 và trên ϕ f A g a h b c e d i 1 2 3 4 5 6 B i f A/Ker(ϕ) ϕ g h c d Nguyễn Quang Châu- Khoa CNTT- Trường CN Tp.HCM ÁNH XẠ THEO QUAN ĐIỂM PHẠM TRÙ nh xạ đảo Cho 2 ánh xạ g... gf = 1S thì f là nghòch đảo của g Nguyễn Quang Châu- Khoa CNTT- Trường CN Tp.HCM ÁNH XẠ THEO QUAN ĐIỂM PHẠM TRÙ Đònh lý f có miền trò khác trống : f là 1-1 ↔ f có nghòch đảo trái f là trên ↔ f có nghòch đảo phải Nguyễn Quang Châu- Khoa CNTT- Trường CN Tp.HCM AXIOM OF CHOICE  Phần tử không    chọn được Phần tử Phần tử Phần tử Không gian này không là tập hợp Nguyễn Quang Châu- Khoa CNTT- Trường CN... X Tập hợCNTTp2 Trường CN Tp.HCM AXIOM OF CHOICE Tìm ánh xạ γ để γ(A)∈A ∅ {a} {b} {c} {d} {a, b} {a, c} {a, d} {b, c} {c, d} {b, d} {a, b, c} {b, c, d} {a, b, d} {a, c, d} a b X c d {a, b, c, d} 2 X Nguyễn Quang Châu- Khoa CNTT- Trường CN Tp.HCM AXIOM OF CHOICE Nếu tập X ≠ ∅ thì có ánh xạ γ : 2X → X, sao cho (∀A ∈ 2X) (γ(A) ∈ A) γ được gọi là ánh xạ chọn Nguyễn Quang Châu- Khoa CNTT- Trường CN Tp.HCM... CNTT- Trường CN Tp.HCM AXIOM OF CHOICE Phát biểu đầy đủ : Nếu tập X ≠ ∅ thì có ánh xạ γ : (2X − {∅}) → X, sao cho (∀A ∈ (2X − {∅})) (γ(A) ∈ A) Nguyễn Quang Châu- Khoa CNTT- Trường CN Tp.HCM AXIOM OF CHOICE nh xạ chọn γ : (2X − {∅}) → X, (∀A ∈ (2X − {∅})) (γ(A) ∈ A) Trường hợp sử dụng : Lấy X ∈ 2X thì γ(X) ∈ X γ(X) chính là 1 phần tử chọn được trong X Nguyễn Quang Châu- Khoa CNTT- Trường CN Tp.HCM LÝ THUYẾT... = { (y, x) (∀x ∈ A)(∃!y ∈B) (f(x) = y) } Tránh viết : “Lấy (x, y) ∈ Ker(f)” Nên viết : “Lấy (a, b) ∈ Ker(f)” Vì các x, y trùng với biến đònh nghóa của Ker(f), f và f−1 Tốt nhất các đònh nghóa nên viết : Ker(f) = { (∆, ∇) (∀∆, ∇ ∈ A)(f(∆) = f(∇)) } f = { (∆, ∇) (∀∆ ∈ A)(∃!∇ ∈ B) (f(∆) = ∇) } Nguyễn Quang Châu- Khoa CNTT- Trường CN Tp.HCM KÝ HIỆU f−1 Ánh xạ f : A → B b a ce d f 2 1 6 3 5 4 Ký hiệu...KER(F) Mệnh đề : Ker(f) = f : f−1 Phân tích bài toán trước khi chứng minh : Ker(f) = { (x, y) (∀x, y ∈ A)(f(x) = f(y)) } f = { (x, y) (∀x ∈ A)(∃!y ∈ B) (f(x) = y) } f −1 = { (y, x) (∀x ∈ A)(∃!y ∈ B) (f(x) = y) } Cần chứng minh Ker(f) ⊆ f : f−1 ... Quang Châu- Khoa CNTT- Trường CN Tp.HCM ÁNH XẠ ĐẢO Điều kiện để ánh xạ f có chiều ngược lại ánh xạ f b a c e d g ánh xạ ? f phải 1-1 để g ánh xạ g gọi ánh xạ đảo f ký hiệu f −1 Nguyễn Quang Châu-...BÀI TẬP ÁNH XẠ Cho biết quan hệ sau có phải ánh xạ hay không c b a d e Nguyễn Quang Châu- Khoa CNTT- Trường CN Tp.HCM ÁNH XẠ 1-1 & TRÊN Ánh xạ 1-1 Ánh xạ c b a d e Nguyễn... NỐI ÁNH XẠ Tìm đường từ tập đầu ánh xạ thứ đến tập cuối ánh xạ thứ Nguyễn Quang Châu- Khoa CNTT- Trường CN Tp.HCM ĐIỀU KIỆN HP NỐI Cho ánh xạ f : A → B g : C → D Điều kiện để hợp nối ánh xạ : f(A)