Đang tải... (xem toàn văn)
... điểm (1, 0) đến (π, 0) Các đường cong lấy ngược chiều KĐH y x P=− , Q = , x + y2 x2 + y 2 2 2 x + y − 2x y −x ′ Qx′ = = = P y 2 2 2 (x + y ) (x + y ) a)C đtr x2 + y2 = R2, R > tùy ý Vì P, Q đạo... lim Sn n →∞ AB đường loại P, Q AB Quy ước: Ñ ∫ Pdx + Qdy C tích phân chu tuyến (đường cong kín) C TÍNH CHẤT TP ĐƯỜNG LOẠI 1.Tp đường loại phụ thuộc vào chiều đường B ∫A Đổi chiều đường đổi dấu... x.x.y ′( x ) dx 1 = ( x + x )dx = ∫ 2 b/ Parabol: x = y2 , y : → 1 ∫ 2 I = ( y ) 2y + y y dy = (2 y + y )dy = 12 ∫0 c/ x2+y2 = 2y ⇔ x2+(y – 1 )2 = 1, lấy ngược chiều KĐH x = cost, y
TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI NỘI DUNG 1.Định nghĩa đường loại 2.Tính chất đường loại 3.Cách tính đường loại 4.Định lý Green 5.Tích phân không phụ thuộc đường ĐỊNH NGHĨA Trong mp Oxy, cho cung AB hàm số P(x,y), Q(x,y) xác định AB Phân hoạch AB điểm {A0, A2, , An}, với A0 = A, An = B Giả sử Ak = (xk, yk), k = 0,…,n Gọi ∆xk = xk+1 – xk , ∆yk = yk+1 – yk, k = 0,…, n-1 Trên cung AkAk+1, lấy điểm Mk, xét tổng Mk ∆y k A ≡ A0 B ≡ An Ak +1 Ak ∆xk n −1 Sn = ∑ [ P (Mk )∆xk + Q (Mk )∆y k ] k =0 n −1 Sn = ∑ [ P (Mk )∆xk + Q (Mk )∆y k ] k =0 ∫ P ( x , y )dx + Q ( x , y )dy = lim Sn n →∞ AB đường loại P, Q AB Quy ước: Ñ ∫ Pdx + Qdy C tích phân chu tuyến (đường cong kín) C TÍNH CHẤT TP ĐƯỜNG LOẠI 1.Tp đường loại phụ thuộc vào chiều đường B ∫A Đổi chiều đường đổi dấu A ∫B Pdx + Qdy = − Pdx + Qdy 2.Nếu C = C1 ∪ C2 ∫ C Pdx + Qdy = ∫ C1 Pdx + Qdy + ∫ C2 Pdx + Qdy CÁCH TÍNH TP ĐƯỜNG LOẠI Khi tham số hóa đường cong, lưu ý chiều đường TH1: (C) viết dạng tham số x = x(t), y = y(t), t1 :điểm đầu, t2: điểm cuối ∫ P ( x , y )dx + Q ( x , y )dy C t2 = ′(t ) + Q ( x (t ), y (t )) y ′(t ) ] dt P ( x ( t ), y ( t )) x [ ∫ t1 TH2: (C) viết dạng y = y(x), x = a : điểm đầu, x = b : điểm cuối ∫ C = P ( x , y )dx + Q ( x , y )dy b ′( x ) ] dx P ( x , y ( x )) + Q ( x , y ( x )) y [ ∫ a TH3: (C) viết dạng x = x(y), y = c : điểm đầu, y = d : điểm cuối d ∫ P ( x , y )dx + Q ( x , y )dy = ∫ [ P ( x ( y ), y ) x ′( y ) + Q ( x ( y ), y ) ] dy C c Nhắc lại Khi tham số hóa cho cung trịn, elippse, ngược chiều kim đồng hồ tham số tăng dần, chiều kim đồng hồ tham số giảm dần Cách tính Tp đường loại không gian ∫ I = P ( x , y , z )dx + Q ( x , y , z )dy + R ( x , y , z )dz C Cách tính: (C) x = x(t), y = y(t), z = z(t), t1 :điểm đầu, t2: điểm cuối ∫ C t2 = Pdx + Qdy + Rdz [∫ P ( x (t ), y (t ), z(t )) x′(t ) + Q(− , − , − ) y ′(t ) + R (− , − , − )z′(t ) ] dt t1 Nhận xét: đường tròn C, x2 + y2 = R2, thay vào ta có − ydx + xdy I = Pdx + Qdy = R C C y x Lúc : P = − ,Q = , xác định (0, 0) R R ∫ ∫ ⇒ Áp dụng ct Green − ydx + xdy I= = R ∫ C ∫∫ x + y ≤R − −1 dxdy = 2π 2÷ R R b)C đtr (x – 3)2 + (y – 1)2 = Áp dụng ct Green hình trịn biên C ∫ I = Pdx + Qdy = C ∫∫ ( x −3) + ( y −1) ≤ =0 ( Qx′ − Py′ ) dxdy y x c)C ={(x,y)/ max { |x|, |y|} = 1} P = − 2 ,Q = 2 , x +y x +y Không thể áp dụng ct Green miền hình vng (P, Q khơng xác định (0,0) Dùng đường tròn C’ đủ nhỏ bao gốc O (hoặc đtròn đủ lớn bao đường cong C) Áp dụng ct Green hình vành khăn (HVK) giới hạn C C’( hình vành khăn không chứa (0,0)) 2 ′ C : x + y = R lấy chiều KĐH I= Pdx + Qdy ∫ C ∪C ′ = ′ − Py′ ) dxdy Q ( x ∫∫ =0 HVK ∫ ∫ ⇒ Pdx + Qdy = − Pdx + Qdy = 2π (theo câu a) C C′ Nhận xét: tính câu c) theo cách này, khơng sử dụng tham số hóa đc (C), Nếu C đường cong tùy ý bao gốc O? d)C đường cong bao quanh gốc O nối từ (1,0) đến (π,0) Nối vào C C’ với π C’: y = 0, x : π → Khi C ∪ C’ đường cong kín bao gốc O, áp dụng kết câu c) TÍCH PHÂN KHƠNG PHỤ THUỘC ĐƯỜNG ĐI D miền mở đơn liên P, Q đạo hàm riêng liên tục D Các điều sau tương đương: ∂P ∂Q 1/ = ∂y ∂x B / ∫ Pdx + Qdy không phụ thuộc đường nối A, B A 3/ Ñ ∫ Pdx + Qdy với chu tuyến D C 4/ Tồn hàm U(x, y) thỏa: dU = Pdx + Qdy (Biểu thức dấu vp toàn phần U) Áp dụng Thông thường ta kiểm tra điều kiện (nếu hàm U đốn nhanh) Nếu thỏa, có cách tính từ A đến B C1: Đổi đường lấy thông thường theo đoạn thẳng // với trục tọa độ B A Lưu ý miền D Áp dụng C2: với hàm U đk B ∫A Pdx + Qdy = U (B ) − U ( A) Cách tìm U: C1: Tìm U từ hệ :U’x = P, U’y = Q C2: chọn (x0, y0) tùy ý D x U (x, y ) = ∫ P (t , y )dt + ∫ Q( x, t )dt x0 hay y U (x, y ) = x y0 y ∫ P (t , y )dt + ∫ Q( x , t )dt x0 y0 VÍ DỤ ∫ 1/ Tính : I = ydx + xdy C C: đoạn thẳng nối điểm (1, -1), (2,1) P’y = Q’x R2 nên không phụ thuộc đường (2, −1) (2,1) I= (1,−1) -1 ∫ ydx + xdy + ∫1 ∫ ydx + xdy (2, −1) ∫ = −1dx + 2dy = −1 Cách khác: nhận thấy hàm U(x, y) = xy thỏa dU = ydx + xdy R2 nên I = U(2, 1) – U(1, -1) = + = (0,2) 2/ Tính : I = ∫ (2, −1) ( x + y )dx + ydy ( x + y )2 Theo đường không cắt đường thẳng x + y = P’y = Q’x, ∀(x,y): x + y ≠ 2 ydy ( x + 4)dx I= + (2 + y ) ( x + 2) −1 ∫ = ln − -1 x + y =0 ∫ Hoặc(tính U): chọn (x0, y0) = (1, 0) x y (t + 0)dt tdt U (x, y ) = + 2 (t + 0) (x + t ) ∫ x = ln | x + y | + −1 x+y ∫ 3/ Tìm số a, b cho B ∫A 2 (axy + 3y )dx + [(b − 2) x y + (a + b) x ]dy không phụ thuộc đường Sau đó, với a, b vừa tìm được, tính với A(-1, 2), B(0,3) Py′ = Qx′ ⇒ ∫ B A a = ,b = 2 2 U ( x , y ) = x y + 3xy Pdx + Qdy = U (B ) − U ( A) = −5 4/ Tìm hàm số h(y) thỏa h(1) = cho B ∫A (2 xy + 3)h( y )dy − y 2h( y )dx không phụ thuộc đường Sau đó, với h vừa tìm được, tính với A(-1,1), B(1,1) theo đường tròn x2 + y2 = 2y, lấy chiều KĐH B ∫A I = (2 xy + 3)h( y )dy − y 2h( y )dx Py′ = Qx′ ⇒ h( y ) = y dx x I= − + + ÷dy theo nửa đường ( −1,1) y y y ∫ (1,1) tròn Đổi đường lấy tp: chọn đường thẳng nối A, B dx I = − = −2 −1 ∫