Đang tải... (xem toàn văn)
... đóng bị chận R3 Hàm f(x,y,z) xác định Ω Phân hoạch Ω thành miền Ωk với thể tích V(Ωk), d đường kính phân hoạch Trên miền con, lấy điểm Mk tùy ý, gọi tổng tích phân n Sn = ∑ f (Mk )V (Ωk ) k =1 n... khoâng daãm ∫∫∫ Ω UΩ f= ∫∫∫ ∫∫∫ Ω Ω f+ f g Cách tính tích phân bội ba •Giả sử Ω vật thể hình trụ giới hạn mặt cong z = z2(x, y), mặt z = z1(x, y), bao xung quanh mặt trụ có đường sinh // Oz đường... (Ωk ) k =1 ∫∫∫ Ω f ( x , y , z)dxdydz = lim Sn d →0 gọi bội ba f Ω Tính chất hàm khả tích Cho Ω miền đóng bị chận / V (Ω ) = ∫∫∫ (thể tích Ω) 1dxdydz Ω 2/ ∫∫∫ ∫∫∫ c.f = c Ω ∫∫∫ f, Ω Ω (f + g
TÍCH PHÂN BỘI BA ĐỊNH NGHĨA Cho Ω đóng và bị chận trong R3. Hàm f(x,y,z) xác định trong Ω. Phân hoạch Ω thành những miền con Ωk với thể tích V(Ωk), d là đường kính phân hoạch. Trên mỗi miền con, lấy điểm Mk tùy ý, gọi tổng tích phân là n Sn = ∑ f (Mk )V (Ωk ) k =1 n Sn = ∑ f (Mk )V (Ωk ) k =1 ∫∫∫ Ω f ( x , y , z)dxdydz = lim Sn d →0 gọi là tp bội ba của f trên Ω. Tính chất hàm khả tích Cho Ω là miền đóng và bị chận 1 / V (Ω ) = ∫∫∫ (thể tích Ω) 1dxdydz Ω 2/ ∫∫∫ ∫∫∫ c.f = c. Ω ∫∫∫ f, Ω Ω (f + g ) = ∫∫∫ ∫∫∫ f+ Ω Ω 3 / Ω = Ω1 U Ω 2 , Ω1 vaø Ω 2 khoâng daãm nhau ∫∫∫ Ω UΩ 1 f= 2 ∫∫∫ ∫∫∫ Ω Ω f+ 1 2 f g Cách tính tích phân bội ba •Giả sử Ω là vật thể hình trụ được giới hạn trên bởi mặt cong z = z2(x, y), mặt dưới là z = z1(x, y), bao xung quanh là mặt trụ có đường sinh // Oz và đường chuẩn là biên của miền D đóng và bị chận trong Oxy. •Hình chiếu của Ω lên Oxy là D. ∫∫∫Ω f ( x , y , z )dxdydz = z2 ( x , y ) f ( x , y , z )dz ÷dxdy ÷ z1 ( x ,y ) ∫∫D ∫ Lưu ý về cách xác định biến tính trước và miền D 1.Biến tính trước được chọn tương ứng với biến chỉ xuất hiện 2 lần trong định nghĩa Ω. 2. Hình chiếu D xác định như khi tính thể tích. VÍ DỤ 1/ Tính: I = ∫∫∫ Ω ydxdydz 2 Ω Là miền ghạn bởi : y = x , z + y = 1, z = 0 Cách 1: z xuất hiện 2 lần, biến tính trước là z (z1, z2 là 1 trong 2 hàm z = 1 – y, z = 0). D = hc Ω : y = x 2 ,1 − y = 0 Oxy 2 D : y = x ,1 − y = 0 ∫∫∫ z = 1− y, z = 0 1 ydxdydz Ω = ∫∫ ∫ D = 1− y ydz ÷dxdy ÷ 0 ∫∫ D 1 -1 1 y (1 − y )dxdy 1 1 1 x4 x6 8 = dx y (1 − y )dy = 2 − + ÷dx = 6 2 3 35 2 −1 x 0 ∫ ∫ ∫ Lưu ý: có thể viết dưới dạng tp lặp ∫∫∫ ydxdydz = Ω 1− y ydz ÷dxdy ÷ 0 ∫∫ ∫ D 1 1 1− y −1 x2 0 1 = ∫ dx ∫ dy ∫ ydz -1 1 2 Ω : y = x , z + y = 1, z = 0 Cách 2: y xuất hiện 2 lần, biến tính trước là y y = x2, y = 1− z D = hc Ω : z = 0,1 − z = x x 2 1 Oxz ∫∫∫ Ω = ydxdydz 1− z ydy ÷dxdz 2 ÷ x ∫∫D ∫ 1 -1 1− z ∫∫ ∫ D 2 x x 1 ÷ ydy dxdz = dx ÷ 2 −1 1 ∫ 1− x 2 (1 − z ) ( ∫ 2 4 ) − x dz 0 1 1 1 z -1 6 1 1 2x 8 4 = − x ÷dx = + 2 3 3 35 −1 ∫ y + z =1 D = hc Ω : Oxz y = x2 z=0 D = hc Ω : Oxy 2/ Tính: I = ∫∫∫ ( x + y )dxdydz, Ω Ω gh bởi: x + y + z = 3, 3x + y = 3, 3x + 2y = 6, y = 0, z = 0 z xuất hiện 2 lần, biến tính trước là z : z = 3 – y – x và z = 0 D = hc Ω : 3x y +2 =6 =3 3x+y Oxy 3– x 3x + y = 3,3x + 2 y = 6, y = 0, –y =0 (3 − x − y = 0) I = ∫∫∫ ( x + y )dxdydz, D ∫ = dy 0 2− 2y 3 ∫ 1− y 3 = 3x+y 3 3 0 11 ( x + y )(3 − x − y )dx = 4 =6 ∫∫ ∫ ( x + y )dz ÷dxdy ÷ y +2 = 3− x − y 3x Ω 3– x –y =0 3/ Vẽ miền lấy tp cho tp sau: 2 x 2 4 ∫0 ∫0 ∫0 I = dx dy zdz ∫ ∫ ∫ sau đó viết lại I theo thứ tự :I = dy dz zdx Mặt trên: z = 4, mặt dưới: z = 0 (các hàm xác định trên R2 và 2 mặt không có giao tuyến) Hình chiếu lên Oxy của miền :0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ x/2 Hình chiếu lên Oxy của miền :0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ x/2 Vậy miền lấy tp gh bởi các mặt sau: y 2 / x = z = 0, z = 4, x = 2y, x = 2, y=0 2 z = 0, z = 4, x = 2y, x = 2, y = 0 z = 0, z = 4, x = 2y, x = 2, y = 0 z = 0, z = 4, x = 2y, x = 2, y = 0 z = 0, z = 4, x = 2y, x = 2, y = 0 z = 0, z = 4, x = 2y, x = 2, y = 0 z = 0, z = 4, x = 2y, x = 2, y = 0 z = 0, z = 4, x = 2y, x = 2, y = 0 I = ∫ dy ∫ dz ∫ zdx D = hc Ω : Oyz y = 0, y = 1, z = 0, z = 4 1 4 2 0 0 2y I = ∫ dy ∫ dz ∫ zdx 3/ Tính: I = ∫∫∫ zdxdydz, Ω Ω: x2 + y2 ≤ 2z, x2 + y2 + z2 ≤ 3 Ω Là miền nằm trong paraboloid. 2 2 x +y 2 2 D = hc Ω : x + y + ≤ 3⇔ x + y ≤ 2 ÷ Oxy 2 2 2 2 2 Mặt trên: z = 3 − x − y I= ∫∫∫ = 2 2 x + y ≤2 (D ) ∫∫ 1 2 ∫∫ ( D x +y Mặt dưới: z = 2 2 zdxdydz Ω = 2 2 3− x − y ∫ x2 +y 2 2 2 2 ÷ zdz ÷ ÷ ÷ 3− x − y 2 ) 2 2 2 x +y − ÷ dxdy 2 2 2 1 2 ∫∫ ( D 2 3− x − y 2 ) 2 2 2 x +y − ÷ dxdy 2 2 x = r cos ϕ , y = r sin ϕ 2π I= 2 ∫ ∫ dϕ 0 0 4 5π 2 r 3 − r − ÷rdr = 4 3 2 2 4/ Tính: I = ∫∫∫ xdxdydz, Ω Ω: y = 1 + x2, z = 3x, y = 5, z = 0 D = hc Ω : y = 1 + x 2 , y = 5,(3x = 0) Oxy 5 D2 3x I = xdz ÷dxdy ÷ D1 0 ∫∫ ∫ D1 1 -2 2 0 + xdz ÷dxdy ÷ D2 3 x ∫∫ ∫ Ω: y = 1 + x2, z = 3x, y = 5, z = 0