BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA VẬT LÝ Nguyễn Thị Tuyến TÌM HIỂU MỘT SỐ NHÓM QUAY TRONG KHÔNG GIAN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Ngành: Vật lý lý thuyết Người hướng dẫn: TS. Nguyễn Huy Thảo Hà Nội - 2015 LỜI CẢM ƠN Tôi xin gửi lời cảm ơn tới thầy cô giáo khoa Vật lý, thầy cô tổ Vật lý lý thuyết giúp đỡ tạo điều kiện để hoàn thành khóa luận này. Đặc biệt xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy giáo TS.Nguyễn Huy Thảo trực tiếp hướng dẫn định hướng cho suốt trình làm khóa luận. Mặc dù cố gắng song thời gian có hạn kinh nghiệm thân hạn chế nên khóa luận không tránh khỏi thiếu sót. Rất mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô bạn. Hà Nội, ngày 02 tháng 05 năm 2015 Sinh viên Nguyễn Thị Tuyến LỜI CAM ĐOAN Khóa luận kết suốt trình học tập nghiên cứu sở hướng dẫn thầy giáo TS. Nguyễn Huy Thảo. Tôi xin khẳng định kết khóa luận không trùng lặp với kết đề tài khác. Hà Nội, ngày 02 tháng 05 năm 2015 Sinh viên Nguyễn Thị Tuyến Mục lục Lời giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii Chương 1. Đại cương nhóm biểu diễn nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1. Đại cương nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1. Khái niệm nhóm số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2. Nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3. Bổ đề xếp nhóm đối xứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Biểu biễn nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1. Khái niệm biểu biễn nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2. Biểu biễn bất khả quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Chương 2. Một số nhóm quay không gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1. Nhóm SO(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1. Nhóm quay SO(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2. Hàm SO(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.1.3. Biểu diễn bất khả quy SO(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.1.4. Phép đo tích phân bất biến, hệ trực chuẩn đủ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.1.5. Nhóm tịnh tiến liên tục chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.1.6. Véc tơ liên hợp sở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2. Nhóm SO(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2.1. Sự mô tả nhóm SO(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2.2. Nhóm tham số, hàm, đại số Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2.3. Biểu diễn bất khả quy đại số Lie SO(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2.4. Tính chất ma trận quay D J (α, β, γ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.2.5. Ứng dụng vào hạt trường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.2.6. Sự biến đổi tính chất hàm sóng toán tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.2.7. Biểu diễn tích trực tiếp tối giản chúng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.2.8. Tenso bất khả quy định lý Wigner-Eckart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 i LỜI GIỚI THIỆU 1. Lý chọn đề tài Toán học ngành khoa học phục vụ hữu ích cho phát triển tất ngành khoa học, có vật lý học. Để phản ánh chất tượng vật lý, tìm quy luật mới, tổng quát quy luật biết định luật định lượng ta cần phải sử dụng phương pháp toán học. Hiện nay, với phát triển vật lý lý thuyết đại, phép biến đổi không gian thường gặp nhiều lĩnh vực vật lý lượng tử, vật lý hạt nhân, vật lý nguyên tử, vật lý hạt sơ cấp. Bên cạnh xuất thuật ngữ phép quay, nhóm quay tìm hiểu phép quay không gian quanh trục tọa độ tạo thành nhóm quay. Lý thuyết nhóm cung cấp ngôn ngữ toán học nghiên cứu vấn đề này. Để tìm hiểu vai trò quan trọng nhóm quay vật lý, đặc biệt vật lý hạt nhân vật lý phân tử xét đến phần tử vật chất bước đầu làm quen với số vấn đề lý thuyết nhóm chọn đề tài " Một số nhóm quay không gian". 2. Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu vấn đề lý thuyết nhóm. 3. Đối tượng nghiên cứu Một số nhóm quay không gian. 4. Nhiệm vụ nghiên cứu Đưa sở lý thuyết biểu diễn nhóm. Nêu số toán ứng dụng nhóm quay không gian. 5. Phương pháp nghiên cứu Phương pháp vật lý lý tuyết vật lý toán. iii Chương Đại cương nhóm biểu diễn nhóm 1.1. Đại cương nhóm 1.1.1. Khái niệm nhóm số ví dụ Định nghĩa nhóm Một tập hợp { G : a, b, c . . . } gọi tạo thành nhóm có toán tử phép nhân nhóm thỏa mãn điều kiện sau: • Nếu a, b ∈ G a.b ∈ G; • Quan hệ kết hợp: a.(b.c) = (a.b).c với a,b,c∈ G; • Trong phần tử G, có phần tử e gọi phần tử đơn vị a.e = a với a∈ G; • Với a∈ G có phần tử a−1 ∈ G, gọi nghịch đảo a, cho a.a−1 = e. Ví dụ 1: Nhóm đơn giản gồm phần tử, phần tử đơn vị e. Phần tử nghịch đảo e e quy tắc nhân nhóm e.e = e. Dễ thấy tất điều kiện nhóm thỏa mãn. Số với phép nhân thông thường tạo thành nhóm mà ta biểu thị C1 . Ví dụ 2: Nhóm đơn giản có hai phần tử, phải có phần tử đơn vị; ta kí hiệu {e, a}. Ta phải có e.e = e e.a = a.e = a. Vậy a.a phải theo lý thuyết, a.a = e hay a.a = a? Khả thứ hai dẫn đến a = e, điều sai. Quy tắc nhân tổng kết ngắn gọn bảng nhân nhóm 1.1. Nhóm kí hiệu C2 . Nhóm C2 xuất tất ngành nghiên cứu vật lý toán. Ví dụ đổi chỗ hai vật với với phần tử đơn vị tạo thành nhóm hoán vị phần tử. Ngoài phép nghịch đảo không gian biến x → − x với phần tử đơn vị tạo thành nhóm. e a e a a a e e Bảng 1.1: Bảng nhân nhóm C2 Ví dụ 3: Có nhóm ba phần tử gọi C3 . Bảng phân nhóm đưa bảng 1.2. Vì a−1 = b, ta kí hiệu ba phần tử {e, a, a−1 } với điều kiện a3 = e. Những ví dụ cụ thể nhóm C3 : (i) Các số (1, ei2π/3 , e−i2π/3 ) với quy tắc nhân thông thường. (ii) Toán tử đối xứng tam giác mặt phẳng quay góc 0, 2π/3 4π/3. e a b a b e b e a Bảng 1.2: Bảng nhân nhóm C3 Nhóm abelian Một nhóm G gọi nhóm abelian phép nhân nhóm giao hoán a.b = b.a∀ a, b ∈ G. Bậc nhóm Bậc nhóm số phần tử nhóm ( hữu hạn). Ví dụ 4: Nhóm không tuần hoàn đơn giản có bậc bốn thường gọi nhóm bốn hay nhóm nhị diện kí hiệu D2 . Nếu kí hiệu bốn phần tử {e, a, b, c} bảng nhân nhóm đưa bảng 1.3. e a b c a e c b b c e a c b a e Bảng 1.3: Bảng nhân nhóm D2 1.1.2. Nhóm Một tập hợp H nhóm G làm thành nhóm (theo định nghĩa) với quy tắc nhân với nhóm G gọi nhóm G. Ví dụ 1: Nhóm D2 có ba nhóm riêng biệt {e, a}, {e, b} ,{e, c}. Bình phương a trường hợp e. Do đó{e, a} ≡ C2 hai tập hợp lại vậy. Ví dụ 2: Nhóm S3 có bốn nhóm riêng biệt bao gồm:{e, (12)},{e, (23)},{e, (31)} {e, (123), (321)}. Ba nhóm đầu giống hệt nhóm C2 , nhóm lại giống với nhóm C3 . 1.1.3. Bổ đề xếp nhóm đối xứng Bổ đề: Nếu p, b, c ∈ G, pb = bc, b = c. Chứng minh: Nhân hai vế phương trình với p−1 , ta thu kết b = c. Kết có ý nghĩa: b c phần tử khác G pb pc khác nhau. Do đó, tất phần tử G xếp dãy nhân vào bên trái phần tử p, dãy thu xếp lại dãy gốc. Tất nhiên, áp dụng phép nhân vào vế phải. Xét trường hợp nhóm hữu hạn bậc n, kí hiệu phần tử nhóm { g1 , g2 , . . . , gn }. Phép nhân phần tử với phần tử cố định h ta có kết quả: {hg1 , hg2 , . . . , hgn } = { gh1 , gh2 , . . . , ghn } 2.2.4. Tính chất ma trận quay D J (α, β, γ) Unita Tất biểu diễn khả quy SO(3) mô tả mục trước xây dựng unita, ma trận D thỏa mãn hệ thức: D + (α, β, γ) = D −1 (α, β, γ) = D (−α, − β, −γ) Định thức đơn vị (đặc biệt) Có thể chứng minh định thức ma trận D 1.Thật vậy, sử dụng tham số góc - trục, ta có: detD [ Rn (ψ)] = detD [ RR3 (ψ) R−1 ] = detD [ R3 (ψ)] Mà sở tắc D [ R3 (ψ)] chéo, nên j detD [ R3 (ψ)] = ∏ e−imψ = m=− j Vậy detD (α, β, γ) = với phép quay. Phần thực d( β) Theo định luật Condon-Shortley, ma trận d j ( β) thực trực giao. J± có phần tử thực nên J2 phức, kéo theo exp(−iβJ2 ) thực. Bởi vậy: d−1 ( β) = d(− β) = d T ( β) số mũ T kí hiệu phép chuyển vị ma trận. Liên hợp phức D Vì J3 thực nên biểu thị ma trận liên hợp phức D [ R3 (ψ)] qua số hạng ma trận ban đầu phép biến đổi đồng dạng: D ∗ [ R3 (ψ)] = D ∗ [e−iψJ3 ] = D [eiψJ3 ] = D [ R3 (−ψ)] = D [ R2 (π ) R3 (ψ) R2 (−π )] Cũng viết: D ∗ [ R2 (ψ)] = D [ R2 (ψ)] = D [ R2 (π ) R2 (ψ) R2 (−π )] 30 Nếu ′ ′ m j−m Ymm = δ− m (−1) Y ≡ D [ R2 (π )] D ∗ (α, β, γ) = YD (α, β, γ)Y −1 Hệ thức đối xứng ′ ′ ′ ′ ′ j m j −m j−m −m m −m d j ( β)m = d j ( β)− m = d (− β)m′ = d (π − β)m (−1) m (−1) Hệ thức hàm điều hòa cầu (i) Với giá trị nguyên j, kí hiệu l, hàm D có quan hệ chặt chẽ với hàm điều hòa cầu Ylm hàm Legendre. 2l + 4π Ylm (θ, ψ) = 1/2 [ D l (φ, θ, 0)0m ]∗ (l + m )! Plm (cosθ ) = (−1) (l − m )! Pl (cosθ ) = Pl0 (cosθ ) = dl (θ )00 1/2 m dl (θ )0m Trong Pl (z) đa thức Legendre thường Plm (z) hàm kết hợp Legendre. ( a,b ) ′ (ii) Với j tùy ý, d j ( β)m m thành phần tỷ lệ đa thức Jacobin Pl (cosβ) với a = m′ − m, b = m′ + m, l = j − m′ ′ (iii) Hàm D j (α, β, γ)m m thỏa mãn điều kiện trực chuẩn đủ. Đặc biểu Đặc biểu nhóm SO(3) biểu diễn bất khả quy thu theo cách tổng quát. Như tất phép quay góc ψ quanh trục thuộc lớp, thỏa mãn để biểu thị đặc biểu R3 (ψ). Với sở tắc, ta có: j j χ (ψ ) = ∑D m j = ∑ m = − je−imψ = [ R3 (ψ)]m m sin( j + 1/2)ψ sin(ψ/2) Với j = 1/2, χ1/2 (ψ) = sinψ = 2cos(ψ/2) sin(ψ/2) 31 Và với j = 1, thì: χ1 ( ψ ) = sinψcos(ψ/2) sin(ψ + ψ/2) = cosψ + sin(ψ/2) sinψ/2 = cosψ + 2cos2 (ψ/2) = 2cosψ + 2.2.5. Ứng dụng vào hạt trường Chúng ta ứng dụng lý thuyết nhóm để phát triển khái niệm hệ quen thuộc học lượng tử - hạt trường năng( hai hạt tương tác lẫn ). Thực tế hàm V (r ) phụ thuộc độ lớn r vector tọa độ x biểu thị phép quay đối xứng hệ. Trong toán học nguyên lí đối xứng phát biểu là: [ H, U ( R)] = (2.12) với R ∈ SO(3). Trong H hàm Hamilton hệ, U ( R) toán tử unita không gian vector trạng thái biểu diễn phép quay R. Từ phương trình: [ H, Ji ] = với i = 1, 2, 3. Đặc biểu trạng thái Trạng thái học lượng tử hệ chọn vector riêng phép giao hoán toán tử { H, J , J3 }. Các vector riêng kí hiệu | E, l, m >. Chúng thỏa mãn: H | E, l, m >= | E, l, m > E J | E, l, m >= | E, l, m > m J3 | E, l, m >= | E, l, m > m với l nguyên, m = −l, . . . , l. Hàm sóng Schodinger vector là: ¨ ψElm =< x | E, l, m > (2.13) | x > vector riêng toán tử X. Ta sử dụng tọa độ cầu (r, θ, φ) cho vector tọa độ x đặt | x >≡ |r, θ, φ > |r, θ, φ >= U (ψ, θ, 0)|r zˆ >= e−iφJ3 e−iθ J2 |r, 0, > 32 (2.14) Chú ý, ta chọn để xác định tất vector thành phần vector chuẩn |r zˆ >= |r, 0, >; biểu diễn vector trục z cách gốc khoảng r. Với hạt, ngầm giả định vector phải bất biến phép quay quanh trục z: e−iψJ3 |r, 0, >= |r, 0, > Từ đó: J3 |r, 0, >= Kết hợp (2.13),(2.14): ψElm (r, θ, φ) =< r, 0, 0|U + (φ, θ, 0)| E, l, m >= < r, 0, 0| E, l, m′ > [ D l (ψ, θ, 0)+ ]m m ′ Suy ra: < r, 0, 0| E, l, m′ >= δm′ .0 ψ˜ El (r ) Nên ψElm (r, θ, φ) = ψ˜ El (r )[ D l (ψ, θ, 0)0m ]∗ Cuối thu được: ψElm (r, θ, φ) = ψEl (r )Ylm (θ, φ) ψEl (r ) = ψ˜ El (r )(4π/2l + 1)1/2 Phương trình phân tích ψ( x ) thành thành phần góc Ylm (θ, φ) hàm bán kính ψEl (r ), phụ thuộc vào hàm V (r ). Ylm (θ, φ) phép phân tích xem kết trực tiếp đối xứng cầu, không phụ thuộc chi tiết vào hệ động lực học. Sự tiến triển theo thời gian hàm sóng Xét tán xạ hạt trường V (r ). Cho động lượng vector tiệm cận lúc đầu theo trục z , pi = ( p, θ = = φi ); vector cuối theo hướng (θ, φ), p f = ( p, θ, φ) biên độ tán xạ viết: < p f | T | pi >=< p, θ, φ| T | p, 0, > 33 (2.15) toán tử tán xạ T phụ thuộc vào hàm Hamilton. Tính chất T mà ta sử dụng phép quay bất biến. Có nghĩa là, áp dụng với vector momen xung lượng, T cho số lượng tử không đổi (l, m). < p, l, m| T | p, l ′ , m′ >= δll ′ δmm′ T1 ( p) (2.16) Vậy < p f | T | pi > = = ∑ ∑′ Ylm (θ, φ) < p, l, m|T | p, l ′ , > Yl∗′ (0, 0) lm l ∑ l 2l + T (E) Pl (cosθ ) 4π l Tóm lại, ví dụ minh họa ứng dụng vào vấn đề lý: cho phép phân biệt rõ ràng tác dụng động học tính đối xứng (Ylm Pl ) từ tác dụng động lực học. Kết đơn giản hóa vấn đề để tìm hàm sóng , có giảm phương trình vi phân theo ba biến thành phương trình vi phân thông thường theo biến bán kính r. Tương tự, biên độ tán xạ từ phụ thuộc vào ba biến (E, θ, φ) xuống phụ thuộc vào biến E. 2.2.6. Sự biến đổi tính chất hàm sóng toán tử Trong lý ứng dụng, biến đổi tính chất hàm sóng toán tử hữu ích để xét biến đổi tính chất hàm sóng toán tử. Cụ thể, ta bắt đầu với biểu diễn tọa độ học lượng tử. Các kết tổng quát áp dụng cho biểu diễn xung lượng lĩnh vực khác vật lí cổ điển lý thuyết trường lượng tử. Xét hệ thức: U [ R]| x > = | x ′ > x ′ = Rx ( x ′i = Rij x j ) x, x ′ tọa độ không gian vector, | x > | x ′ > trạng thái tương ứng x, x ′ , R ∈ SO(3) phép quay. Với |ψ > vecto trạng thái bất kì, thì: |ψ >= 34 | x > ψ ( x ) d3 x ψ( x ) hàm sóng c biễu diễn tọa độ. Câu hỏi đặt ψ( x ) biến đổi phép quay R, đặc biệt nếu: |ψ′ >= U [ R]|ψ = | x > ψ ′ ( x ) d3 x ψ′ ( x ) ψ( x ) có mối liên hệ nào? Định lí 2.2.6 (Công thức biến đổi cho hàm sóng) Hàm sóng trạng thái biến đổi phép quay là: ψ ( x ) → ψ ′ ( x ) = ψ ( R−1 x ) Chứng minh: Áp dụng toán tử quay cho vế thu được: U [ R]|ψ = = U [ R]| x > ψ( x )d3 x = | x ′ > ψ ( R −1 x ′ ) d3 x ′ = | x ′ > ψ ( x ) d3 x | x > ψ ( R −1 x ′ ) d3 x Vậy: ψ ′ ( x ) = ψ ( R−1 x ) Ví dụ 1: Cho |ψ >= | p > trạng thái sóng phẳng, ψ( x ) = eip.x , áp dụng định lí trên, thu được: ψ′ ( x ) = ψ( R−1 x ) = eip.R −1 x = eiRp.x Ta thấy: ψ′ ( x ) =< x |U [ R]| p >=< x | p′ >= ψ p′ ( x ) với p′ = Rp Ví dụ 2: Cho |ψ >= | E, l, m >, ψ( x ) = ψEl (r )Ylm ( xˆ ), xˆ kí hiệu cực phương vị góc ˆ Mặt khác, vector đơn vị x. ′ ψ′ ( x ) =< x |U [ R]|ψ >= U [ R]| E, l, m >= | E, l, m′ > D l [ R]m m, từ đó: ψ′ ( x ) = ψEl (r )Ylm′ ( xˆ ) D l [ R]m m 35 ′ Đây tính chất biết hàm điều hòa cầu. Để tổng quát xem xét hàm sóng mang số rời rạc. Cụ thể, xét trường hợp hàm sóng hệ tọa độ không gian, lúc spin 1/2 hàm sóng spin Pauli. Vecto sở {| x, σ >, σ = ±1/2} chúng biến đổi là: U [ R]| x, σ >= | Rx, λ > D1/2 [ R]λσ D1/2 [ R] ma trận quay momen động lượng 1/2.Với trạng thái có spin 1/2, viết là: |ψ >= ∑ σ | x, σ > ψσ ( x )d3 x ψσ ( x ) hàm sóng Pauli hai thành phần |ψ > ψσ ( x ) biến đổi phép quay nào? Ta có |ψ′ >= U [ R]|ψ = Vì: ψ → ψ′ nên | Rx, λ > D1/2 [ R]λσ ψσ ( x )d3 x = | x, λ > D1/2 [ R]λσ ψσ ( R−1 x )d3 x = | x, λ > ψ′λ ( x )d3 x ψ′λ ( x ) = D1/2 [ R]λσ ψσ ( R−1 x ) Định nghĩa 2.2.3 (Hàm sóng bất khả quy trường): Một tập hợp hàm đa thành phần {φm ( x ), m = − j, . . . , j} vector tọa độ gọi tạo thành hàm sóng bất khả quy trường bất khả quy spin j chúng biến đổi phép quay là: φ R φ′ ; − → n −1 φ ′m ( x ) = D j [ R] m n φ (R x) D j [ R]m n ma trận biểu diễn bất khả quy momen xung lượng j SO(3). Trong vật lý lượng tử, điện trường Ei ( x ), từ trường Bi ( x ) trường vận tốc vi ( x ) trường spin 1(j = 1), hàm sóng Pauli ψσ ( x ) trường spin 1/2, hàm sóng Dirac trường khả quy gồm tổng trực tiếp hai trường bất khả quy spin 1/2 tenso ứng xuất trường spin 2. 36 Tiếp theo, ta xét biến đổi tính chất toán tử không gian vector trạng thái. Toán tử vecto tọa độ X i xác định phương trình trị riêng: X i | x >= | x > xi Định lí 2.2.7 (Công thức biến đổi cho toán tử vector) Các thành phần toán tử vector tọa độ X (khi tất toán tử vector xác định ) biến đổi phép quay: j U [ R ] Xi U [ R ] − = X j R i (2.17) j Ri ma trận × SO(3). Chứng minh: Áp dụng toán tử U [ R] vào phương trình trị riêng, ta vế trái là: U [ R] X i U [ R]−1 U [ R]| x >= U [ R] Xi U [ R]−1 | x ′ Vế phải : U [ R]| x > xi = | x > xi = | x ′ > ( R−1 )ij x ′ j Khi đó, U [ R] X i U [ R]−1 | x >= | x > x j ( R−1 )ij Nên U [ R] X i U [ R]−1 = ( R−1 )ij X j Chúng ta viết kết dạng thuận tiện với ý: (i) tính trực giao ma trận R kéo theo ( R−1 )ij = ( RT )ij = Rij , (ii) không gian Ơclit chiều không phân biệt số dưới, đó: j U [ R ] X i U [ R ] − = X j Ri Toán tử xung lượng Pi toán tử vector. Chúng ta dự đoán rằng: j U [ R ] P i U [ R ] − = P j Ri (2.18) Chú ý vế phải phương trình tương tự vector tọa độ đơn vị tọa độ thành phần. Liên hệ với J, biểu thị cấu trúc nhóm SO(3), hai phương trình (2.16), (2.17) có dạng giống nhau. Bởi vậy, toán tử momen xung lượng J biến 37 đổi toán tử vector. Toán tử vector không phải trường hợp toán tử, trường hợp đặc biệt toán tử bất khả quy hay tenso bất khả quy.Ví dụ đơn giản toán tử bất khả quy phép quay toán tử Hamilton, bất biến, s = 0. Để kết thúc phần này, ta xét biến đổi tính chất toán tử phụ thuộc vào biến không gian x, toán tử hai thành phần với giá trị spin Pauli Ψσ ( x ). Chúng ta tìm Ψ biến đổi phép quay R. Để trả lời hỏi phải biết hệ thức liên hệ toán tử Ψ hàm sóng c. Nếu |ψ > trạng thái hạt thì: < 0|Ψσ ( x )|ψ >= ψσ ( x ) (2.19) ψσ ( x ) hàm sóng Pauli c trạng thái |0 > trạng thái không hay 0-hạt. Dưới phép quay bất kì, U [ R]|ψ >= |ψ′ >, sử dụng mối liên hệ ψ′σ ( x ) ψσ ( x ), nên viết phương trình là: < 0|U [ R]|Ψσ ( x )U [ R]−1 |ψ′ >= Ψσ ( x ) = D1/2 [ R−1 ]σλ ψ′λ ( Rx ) Mặt khác nhân vế trái phương trình (2.18) với D1/2 [ R−1 ] sau thay ψ ψ′ x ′ = Rx cho x thu được: < 0| D1/2 [ R−1 ]σλ Ψλ ( Rx )|ψ′ = D1/2 [ R−1 ]σλ ψ′λ ( Rx ) So sánh phương trình ta có: U [ R]|Ψσ ( x )U [ R]−1 = D1/2 [ R−1 ]σλ Ψλ ( Rx ) (2.20) Vì D [ R] đơn vị nên D [ R−1 ]σλ = D + [ R]σλ = ( D [ R]σλ )∗ Thay vào vế phải (2.20), sau lấy liên hợp hai vế: + 1/2 U [ R]|Ψ+ [ R]λσ σ ( x )U [ R] = Ψλ ( x ) D (2.21) Các toán tử có spin nguyên chọn Hermite, với toán tử có spin bán nguyên chúng không tự Hermite, hai phương trình (2.20),(2.21) khác biệt. 38 Kết tổng quát trường. Cho { Am ( x ); m = 1, 2, . . . , N } tập hợp trường toán tử mà chúng biến đổi phép quay ta phải có: n U [ R] Am ( x )U [ R]−1 = D [ R−1 ]m n A ( Rx ) { D [ R]} biểu biễn (N- chiều) SO(3). Nếu biểu biễn bất khả quy tương đương với j = s, { A} gọi có spin s. 2.2.7. Biểu diễn tích trực tiếp tối giản chúng ′ Cho D j D j hai biểu diễn bất khả quy SO(3) xác định không gian vector ′ V V’. Tích biểu diễn D J × J xác định không gian vecto V × V ′ (2j + 1)(2j′ + 1) chiều . Nó tự nhiên để bắt đầu với vector sở |m, m′ >, dạng tích vector sở tắc V V’: |m, m′ >= | jm > ×| jm′ > ′ ′ U ( R)|m, m′ >= |n, n′ > D j ( R)nm D j ( R)nm′ Ta thấy (i) phương trình xác định biểu diễn của SO(3); (ii) biểu diễn đơn trị j + j′ số nguyên lưỡng trị j + j′ bán nguyên. Nếu j j′ không, tích biểu diễn không khả quy. Để nghiên cứu tối giản biểu diễn tích, cần thiết lập mối quan hệ toán tử không gian tích V × V ′ không gian V, V ′ . Cuối cùng, xét phép ˆ quay vô bé quanh trục n, ′ D j [ Rn (dψ)] D j [ Rn (dψ)] = D j× j [ Rn (dψ)] Xét bậc dψ, vế trái phương tình là: j j′ ′ ′ j ′ j′ [ E j − idψJn ][ E j − idψJn ] = E j × E j − idφ[ Jn × E j + E j × Jn ] Mặt khác vế phải: j× j′ ′ E j× j − idψJn ] Đồng biểu thức, ta có: j× j′ Jn j ′ j′ = Jn × E j + E j × Jn 39 Định lý 2.2.8 Hàm biểu diễn tích trực tiếp tổng hàm tương ứng cấu thành nên biểu diễn đó. Từ định lý suy |m, m′ > vector riêng J3 , J3 |m, m′ >= |m, m′ > (m + m′ ) Vì − j ≤ m ≤ j − j′ ≤ m′ ≤ j′ , trị riêng lớn J3 j + j′ . Thật vậy, có vector ứng với trị riêng | j, j′ >, có hai vecto có trị riêng J3 = j + j′ − | j − 1, j′ > | j, j′ − >, chúng minh họa hình 2.6, điểm biểu diễn vector sở. Các trạng thái với trị riêng J3 (kí hiệu M) liên hệ nét gạch. Hình 2.6: Vector cộng momen động lượng Chúng ta xây dựng vector riêng { J , J3 } với trị riêng { J ( J + 1), M}. Vì vector với M = j + j′ không vector có trị riêng lớn J3 , phải lớn sở bất khả quy với J = j + j′ | J = j + j′ , M = j + j′ >= | j + j′ > Ta tổng quát trạng thái | J, M > với M = j + j′ − 1, . . . , − j − j′ cách áp dụng lại J− : | J = j + j′ , M = j + j′ − > [2( j + j′ )]1/2 40 = J− | J = j + j′ , M = j + j′ >= J− | j + j′ > = | j − 1, j′ > (2j)1/2 + | j, j′ − > (2j′ )1/2 vector hai dòng thuộc sở | J, M > hai dòng cuối xem sở ban đầu |m, m′ > Vì có hai vector độc lập tuyến tính với M = j + j′ − số chứa không gian bất biến J = j + j′ , nên phải có J = j + j′ − 1, kí hiệu vector | J = j + j′ − 1, M = j + j′ − >, ta có không gian bất biến khác tương ứng với J = j + j′ − cách áp dụng lại toán tử J− ; sở có 2( j + j′ − 1) + = 2( j + j′ ) − vector. Xây dựng vector sở {| J, M >; M = − J, . . . , J; J = | j − j′ |, . . . , ( j + j′ )} trực chuẩn, xem vector gốc. Phép biến đổi ma trận tập hợp, phần tử gọi hệ số Clebsch-Gordan, unita: | J, M >= |mm′ >< mm′ ( jj′ ) JM > |m, m′ >= | J, M >< JM( jj′ )mm′ > | J, M >< JM( jj′ )mm′ >=< mm′ ( jj′ ) JM >∗ Định luật Condon-Shortley xác định rằng: < mm′ ( jj′ ) JM > thực j, J − j( jj′ ) J J > dương với j, j’,J. Một số tính chất hệ số Clebsch- Gordan: Quy tắc lựa chọn momen động lượng < mm′ ( jj′ ) JM >= trừ m + m′ = M | j − j′ | ≤ J ≤ j + j′ Tính trực giao đầy đủ J ∑′ < JM( jj′ )mm′ >< mm′ ( jj′ ) J ′ M′ >= δJ δMM′ mm 41 ∑ < mm′ ( jj′ ) JM >< JM( jj′ )nn′ >= δnm δnm′ ′ JM Hệ thức đối xứng ′ < mm′ ( jj′ ) JM >= (−1) j+ j − J < m′ m( j′ j) JM > ′ = (−1) j+ j − J < −m, −m′ ( jj′ ) J, − M > ′ = (−1) j− J +m < M, −m′ ( Jj′ ) jm > [(2J + 1)/(2j + 1)]1/2 Vậy phương trình tối giản biểu diễn tích: ′ j ) ′ D J ( R)m n D ( R m n′ = ′ ′ < mm′ ( jj′ ) JM > D j ( P) M N < JN ( jj )nn ∑ JMN Nghịch đảo với hệ thức là: ′ J ′ ′ ′ j m j m ′ ′ ′ ′ δ J ′ D J ( R) M M ′ =< JM ( jj )mm > D ( R)n D ( R)n ′ < nn ( jj ) J M > 2.2.8. Tenso bất khả quy định lý Wigner-Eckart Định nghĩa 2.2.4 (Tenso bất khả quy cầu) Chúng ta gọi tập hợp toán tử {Oλs , λ = −s, . . . , s} biến đổi phép quay U ( R)Oλs U ( R)−1 = ∑′ Oλs ′ Ds (R)λλ ′ λ ten sơ bất khả quy cầu momen xung lượng s SO(3) toán tử tập hợp gọi phần tử cầu tenso. Định lý 2.2.9 (Vi phân đặc biểu tenso cầu bất khả quy) Nếu Oλs phần tử tenso cầu định nghĩa thì: [ J , Oλs ] = s(s + 1)Oλs [ J , Oλs ] = λOλs [ J± , Oλs ] = [s(s + 1) − λ(λ ± 1)]1/2 Oλs ±1 42 Chứng minh Xét phép quay vô nhỏ quanh trục l, áp dụng phương trình định nghĩa, thu vế trái: Oλs − idψ[ Jl , Oλs ] Mà vế phải: Oλs − idψOλs ′ ( Jls )λλ ′ Jls ma trận mà hàm J1 ánh xạ s-biểu diễn . Định nghĩa 2.2.5 (Toán tử vector) (i) toán tử { Al , l = 1, 2, 3} thành phần Cartesian vector chúng thỏa mãn hệ thức giao hoán với hàm phép quay: [ Jk , Al ] = iεklm Am (ii) Tập hợp toán tử { Tl1 .ln ; li = 1, 2, 3} thành phần tenso hạng n chúng thỏa mãn hệ thức giao hoán với Jk , [ Jk , Tl1 .ln ] = i {εklm Tml2 .ln + · · · + εkln m Tl1 .ll −1 m } Như { J1 } biến đổi vector, giống với toán tử động lượng { Pi = 1, 2, 3}. Nếu hệ vector {Oλs } biến đổi theo s-biểu diễn, phần tử ma trận chúng thỏa mãn định lí Wigner-Gordan. Ta có: < j′ m′ |Oλs | jm >=< j′ m′ (s, j)λm >< j′ ||Os || j > Trong đó, phần tử bên vế phải hệ số Clebsch-Gordan, < j′ ||Os || j > phần tử ma trận tối giản ( phụ thuộc vào O không phụ thuộc m, m′ λ). Hệ suy từ phương trình trên: (i) Quy tắc lựa chọn: | j − s| ≤ j′ ≤ j + s m′ = λ + m (ii) . < j′ m′ |Oλs | jm > < j′ m′ (s, j)λm > = . < j′ n′ |Oσs | jn > < j′ n′ (s, j)σn > 43 Kết luận Đối chiếu với mục đích nghiên cứu, e tài hoàn thành mục tiêu đặt đạt số kết quả: • Giới thiệu số khái niệm lý thuyết nhóm biểu biễn nhóm. • Tìm hiểu số nhóm quay không gian, cụ thể phép quay mặt phẳng - nhóm SO(2) không gian - nhóm SO(3) xác định biểu diễn bất khả quy chúng. Do bước đầu làm quen với việc nhiên cứu lý thuyết nhóm thời gian có hạn tầm hiểu biết hạn chế nên đề tài không tránh khỏi thiếu sót. Do vậy, mong nhận sự đóng góp ý kiến thầy cô giáo bạn để khóa luận hoàn thiện hơn. Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Hoàng Phương, Nhập môn học lượng tử, Nhà xuất khoa học kĩ thuật, 2006. [2] Wi - Ki Tung, Group Theory in Physics. [3] Vũ Văn Hiệu, Lý thuyết nhóm ứng dụng vật lý lượng tử, Khóa luận tốt nghiệp đại học, 2007. 45 [...]... ∈ G → 1 tạo thành một biểu diễn Phép biểu diễn nhóm Cho một không gian tuyến tính n chều Vn và một nhóm D các phép biến đổi nào đó trong không gian đó Lại cho một nhóm G nào đó Phép đồng cấu: G→D gọi là một phép biểu diễn của nhóm G trong không gian Vn Ta gọi Vn là không gian biểu diễn, n là chiều biểu diễn; gọi là phép biểu diễn tuyến tính, nếu D là nhóm biến đổi tuyến tính (hay nhóm ma trận) Trái... biến của V đối với U ( g) Một không gian con bất biến là riêng nếu nó không chứa bất kì một không gian con bất biến không tầm thường nào đối với U ( g) Ví dụ không gian con bất biến tầm thường của V đối với U ( g) là: (i) chính không gian V, (ii) không gian con chỉ chứa vector không Định nghĩa tổng trực tiếp Cho U (G ) là một biểu diễn của nhóm G trên không gian vecto Vn Với một sự chọn vecto cơ sở... ′ 1.2 Biểu biễn nhóm 1.2.1 Khái niệm về biểu biễn nhóm Biểu biễn 4 Nếu có một đồng cấu từ nhóm G tới một nhóm của toán tử U (G ) trên không gian tuyến tính V, ta nói rằng U (G ) tạo thành một biểu biễn của nhóm G Số chiều của biểu biễn là số chiều của không gian vector Một biểu biễn được gọi là khớp nếu đẳng cấu cũng là đồng cấu Một biểu biễn suy biến là biểu biễn mà không khớp Xét một cách rõ ràng... Người ta chỉ ra rằng bất kì biểu biễn của một nhóm hữu hạn nào cũng hoàn toàn khả quy" 8 Chương 2 Một số nhóm quay trong không gian 2.1 Nhóm SO(2) 2.1.1 Nhóm quay SO(2) Xét phép quay trong mặt phẳng của một hệ đối xứng quanh điểm O cố định với các vector đơn vị trực giao trong hệ tọa độ Đề - các với góc quay φ kí hiệu R(φ) (hình 1.1), ta có: ˆ ˆ ˆ R(φ)e1 = e1 cosφ + e1 sinφ ˆ ˆ ˆ R(φ)e2 = −e1 sinφ +... biến đổi (phép quay) SO(3) So sánh biểu thức này với tham số góc - trục để có hệ thức giữa các biến (α, β, γ) và (ψ, θ, φ): φ = (π + α − γ)/2 tan( β/2) tanθ = sin(γ + α)/2 α+γ β cosψ = 2cos2 cos2 2 2 23 −1 2.2.2 Nhóm con một tham số, hàm, và đại số Lie ˆ ˆ Cho một trục cố định theo hướng n, phép quay theo n tạo thành một nhóm con của SO(3) Mỗi nhóm con là một đẳng cấu với nhóm của phép quay trong mặt phẳng... D ( g) là một ma trận biểu biễn biểu biễn của U ( g), thì χ( g) = ∑ D ( g)i i Tất cả các phần tử của trong một lớp cho trước của nhóm G có cùng đặc biểu, bởi vì TrD ( p) D ( g) D ( p−1 ) = TrD ( g) Định nghĩa không gian con bất biến Cho U (G ) là một biểu biễn của G trên không gian vector V, V1 là một không gian con của V sao cho U ( g) x | >∈ V1 với mọi x ∈ V1 và g ∈ G thì V1 là không gian con bất... nghĩa (Phép đo tích phân bất biến): Một tham số R(ξ ) trong không gian nhóm kết hợp với một hàm khối lượng ρ R (ξ ) cho một tích phân bất biến Do dτR = dτSR nên điều kiện trên hàm khối lượng, ρ R (ξ ) dξ = SR ρSR (ξ ) dξ R Điều kiện này thỏa mãn nếu định nghĩa: ρ R (ξ ) = dξ E dξ R trong đó ξ E là tham số nhóm của phần tử đơn vị E và ξ E = ξ ER là tham số tương ứng R Trong vế phải của phương trình trên,... định nghĩa R(φ = 0) = E, R(φ)−1 = R(−φ) = R(2π − φ), các phép quay hai chiều { R(φ)} tạo thành một nhóm gọi là R2 hay nhóm SO(2) Các phần tử của SO(2) kí hiệu bởi các biến thực liên tục φ nằm trong miền 0 ≤ φ < 2π tương ứng với tất cả các điểm trên vòng tròn đơn vị, xác định không gian tôpô của tham số nhóm không gian (hình 2.2) Tham số này không phải duy nhất, nên bất kì hàm đơn điệu ξ (φ) của φ với... SO(3) Phần tử cơ sở của đại số Lie là hàm của phép quay vô cùng bé, ta thấy rằng mỗi biểu diễn của nhóm tương ứng là biểu diễn của đại số Lie Ngược lại, một biểu diễn của đại số Lie cũng cho một biểu diễn của nhóm Trong phần này, chúng ta sẽ xây dựng biểu diễn bất khả quy của đại số Lie của SO(3) Chọn các vector cơ sở của không gian biểu diễn V làm các vector riêng của một tập hợp các hàm giao hoán... thấy, T ( x ) được viết theo dạng trên thỏa mãn các tính chất nhóm Phép lấy đạo hàm này giống như đã làm đối với nhóm quay SO(2), chỉ khác là tham số x trong T ( x ) không còn giới hạn trong một phạm vi hữu hạn như φ trong R(φ) Như đã biết, tất cả các biểu diễn bất khả quy của nhóm tịnh tiến là một chiều Đối với biểu diễn Unita, hàm P tương ứng một toán tử Hecmite với trị riêng thực, kí hiệu là p Với phép . tài " Một số nhóm quay trong không gian& quot;. 2. Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu các vấn đề cơ bản của lý thuyết nhóm. 3. Đối tượng nghiên cứu Một số nhóm quay trong không gian. 4. Nhiệm vụ. quy". 8 Chương 2 Một số nhóm quay trong không gian 2.1. Nhóm SO(2) 2.1.1. Nhóm quay SO(2) Xét phép quay trong mặt phẳng của một hệ đối xứng quanh điểm O cố định với các vector đơn vị trực giao trong hệ. đó g ∈ G → 1 tạo thành một biểu diễn. Phép biểu diễn nhóm Cho một không gian tuyến tính n chều V n và một nhóm D các phép biến đổi nào đó trong không gian đó. Lại cho một nhóm G nào đó. Phép đồng