Lời cảm ơn Trước hết em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy Trần Mạnh Hùng- Người trực tiếp hướng dẫn, bảo tận tình để em hoàn thành khóa luận mình. Em xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Quảng Bình, giúp đỡ mặt quý thầy cô khoa Khoa học tự nhiên cung cấp cho em kiến thức quý báu thời gian học tập suốt trình thực khóa luận. Lời cuối em xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè, bạn sinh viên lớp Đại học sư phạm Toán K53 giúp đỡ động viên, chia sẻ khó khăn em. Mục lục Lời cảm ơn MỤC LỤC MỞ ĐẦU Kiến thức sở 1.1 Nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Vành . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3 Trường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.4 Iđêan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.5 Không gian afin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Đường cong đơn thức không gian afin 2.1 23 Đa tạp afin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.1.1 Tập đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.1.2 Tôpô Zariski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2 2.1.3 Tập đại số bất khả quy . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.1.4 Đa tạp afin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Đường cong đơn thức không gian afin . . . . . . . 32 KẾT LUẬN 45 TÀI LIỆU THAM KHẢO 46 MỞ ĐẦU 1. Lí chọn đề tài Một vấn đề quan trọng Toán học suốt ba kỉ qua việc nghiên cứu tìm lời giải cho toán Fermat. Đây toán thuộc lĩnh vực Lý thuyết số thu hút quan tâm nghiên cứu nhiều nhà khoa học. Điều thú vị trình tìm kiếm lời giải cho giả thuyết Fermat người ta phải sử dụng tới nhiều kiến thức kĩ thuật phương pháp nghiên cứu nhiều ngành khác Lý thuyết số, Đại số giao hoán, Giải tích . đặc biệt số có đóng góp quan trọng ngành Hình học đại số. Lý thuyết đa tạp, đường cong đại số . kết nghiên cứu liên quan tiệm cận lời giải Định lí Fermat. Tôi lựa chọn đề tài thuộc lĩnh vực Hình học đại số với ý tưởng tìm hiểu số kiến thức chuyên sâu đa tạp nghiên cứu sâu sắc đa tạp đại số, đường cong đơn thức không gian không gian afin. 2. Mục đích nghiên cứu Thực đề tài “Đường cong đơn thức không gian afin”, hướng đến mục đích rèn luyện khả tiếp cận, tìm hiểu nghiên cứu vấn đề Toán học thân. Từ đó, hình thành khả trình bày khái niệm toán học trừu tượng cách lôgic có hệ thống. Trình bày kiến thức liên quan đến đề tài. Tổng hợp kiến thức bổ trợ cho đề tài: Nhóm, vành, trường, iđêan không gian afin đa tạp afin. Nghiên cứu sâu đường cong đơn thức không gian afin. 3. Đối tượng nghiên cứu phạm vi nghiên cứu - Củng cố lại kiên thức liên quan nhóm, vành, trường, iđêan. - Các kiến thức không gian afin ánh xạ afin, ảnh tạo ảnh qua ánh xạ afin. - Các kiến thức liên quan đến đa tạp afin tập đại số, tập đại số bất khả quy, đa tạp afin đường cong đơn thức không gian afin. 4. Phương pháp nghiên cứu Các phương pháp sử dụng trình nghiên cứu đề tài: - Phương pháp nghiên cứu lý luận: Đọc, phân tích, tổng hợp tài liệu làm rõ nội dung lý thuyết. Sau trình bày lại tính chất theo hệ thống có lôgic. - Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: Xemina, lấy ý kiến giảng viên hướng dẫn để hoàn thành mặt nội dung hình thức đề tài nghiên cứu. - Nghiên cứu, phân tích, tổng hợp tài liệu nhà khoa học nghiên cứu vấn Hình học đại số trước đây. - Nghiên cứu đa tạp afin cách chuyên sâu qua mở vấn đề đường cong đơn thức không gian afin. 5. Bố cục khóa luận Ngoài phần mở đầu, kết luận, mục lục tài liệu tham khảo, nội dung khóa luận gồm chương: Chương 1: Kiến thức sở Chương hệ thống gồm số kiến thức nhóm, vành, trường, đặc số trường, iđêan, tập sinh iđêan, không gian afin ánh xạ afin. Chương 2: Đường cong đơn thức không gian afin Chương hệ thống hóa kiến thức liên quan đa tạp afin tập đại số, tập đại số bất khả quy. Cũng nghiên cứu sâu đường cong đơn thức không gian afin. Chương Kiến thức sở Chương hệ thống gồm số kiến thức nhóm, vành, trường, đặc số trường, iđêan, tập sinh iđêan, không gian afin ánh xạ afin. 1.1 Nhóm Định nghĩa 1.1.1. Phép toán hai (gọi tắt phép toán) tập hợp X ánh xạ f : X × X −→ X (x, y) −→ f (x, y). Ta dùng kí hiệu xf y thay cho f (x, y). Như vậy, ứng với phép toán ∗, ◦, +, . ta có kí hiệu x ∗ y, x ◦ y, x + y, . Khi kí hiệu phép toán . ta gọi phép nhân thường viết xy thay cho x.y mà ta gọi tích x y. Còn kí hiệu phép toán + ta gọi phép toán cộng x + y tổng x y. Ví dụ. 1. Phép cộng phép nhân thông thường tập hợp N, Z, Q, R, C phép toán hai ngôi. Phép trừ thông thường phép toán tập hợp Z, Q, R, C không phép toán N. 2. Phép cộng phép nhân ma trận phép toán M (n, R) gồm ma trận vuông cấp n với hệ số thực. Định nghĩa 1.1.2. Cho phép toán ∗ tập hợp X. Ta nói phép toán ∗: (i) Giao hoán với x, y ∈ X, x ∗ y = y ∗ x. (ii) Kết hợp với x, y, z ∈ X, (x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z). (iii) Có phần tử trung hòa trái (phân tử trung hòa phải) e e ∈ X với x ∈ X, e ∗ x = x (tương ứng x ∗ e = x). Nếu e vừa phần tử trung hòa trái vừa phần tử trung hòa phải ta nói e phần tử trung hòa phép toán ∗. Mệnh đề 1.1.3. Một phép toán có nhiều phần tử trung hòa. Định nghĩa 1.1.4. Cho ∗ phép toán tập hợp X có phần tử trung hòa e x phần tử tùy ý X. Ta gọi x khả đối xứng trái (tương ứng khả đối xứng phải) tồn x ∈ X cho x ∗ x = e (tương ứng x ∗ x = e). Khi x gọi phần tử đối xứng trái (tương ứng phần tử đối xứng phải) x. Trường hợp x vừa khả đối xứng trái, vừa khả đối xứng phải ta nói x khả đối xứng phần tử x ∈ X thỏa mãn x ∗ x = x ∗ x = e gọi phần tử đối xứng x. Chú ý: 1. Đối với phép toán cộng: Phần tử trung hòa gọi phần tử không kí hiệu 0, phần tử đối xứng x gọi phần tử đối x kí hiệu −x. 2. Đối với phép toán nhân: Phần tử trung hòa gọi phần tử đơn vị kí hiệu e 1, phần tử đối xứng x gọi phần tử nghịch đảo x kí hiệu x−1 . Định nghĩa 1.1.5. Cho tập hợp X với phép toán nhân. Ta nói (X, .) ( gọi tắt X) là: (i) Một nửa nhóm phép toán nhân kết hợp X. (ii) Một vị nhóm phép toán nhân kết hợp X có phần tử trung hòa X. Một nửa nhóm gọi giao hoán phép toán tương ứng giao hoán. Ví dụ. 1. Với phép cộng thông thường, tập hợp N, Z, Q, R, C trở thành vị nhóm giao hoán. 2. Với phép cộng thông thường, tập hợp N∗ trở thành nửa nhóm giao hoán không vị nhóm. Kí hiệu: Trong nửa nhóm (X, .) phép toán nhân kết hợp nên với x, y, z. (xy)z = x(yz). Giá trị chung hai vế đẳng thức kí hiệu xyz gọi tích phần tử x, y, z theo thứ tự đó. Bằng quy nạp ta định nghĩa tích n phần tử x1 , x2 , ., xn sau: x1 .xn = x1 (x2 .xn ). Từ ta có định lí sau: Định lí 1.1.6. Cho x1 , x2 , ., xn n phần tử tùy ý nửa nhóm (X, .) với n ≥ 3. Khi đó: x1 .xn = (x1 .xi )(xi+1 .xj ) (xk+1 xn ). Trong ≤ i < j < . < k < n. Định lí 1.1.7. Trong nửa nhóm giao hoán, tích n phần tử tùy ý không phụ thuộc vào thứ tự phần tử. Định nghĩa 1.1.8. Nhóm vị nhóm mà phần tử có phần tử đối xứng. Nói cách khác, tập hợp G khác rỗng với phép toán nhân gọi nhóm tính chất sau thỏa mãn: (i) ∀x, y, z ∈ G, (xy)z = x(yz). (ii) ∃e ∈ G cho ∀x ∈ G, ex = xe = x. (iii) ∀x ∈ G, ∃x−1 ∈ G cho xx−1 = x−1 x = e. Nếu phép toán G phép cộng tính chất trở thành: (i) ∀x, y, z ∈ G, (x + y) + z = x + (y + z). (ii) ∃0 ∈ G cho ∀x ∈ G, + x = x + = x. (iii) ∀x ∈ G, ∃ − x ∈ G cho x + (−x) = (−x) + x = 0. 10 V tập hợp tất điểm p = (a1 , ., an ) ∈ An (L) thỏa mãn fi (p) = 0, ∀i = 1, r. Khi ta kí hiệu V = V(f1 , ., fr ) nói K- đa tạp afin V xác định đa thức f1 , ., fr . Với iđêan I K [x1 , ., xn ] I hữu hạn sinh, K- đa tạp afin xác định phần tử sinh I gọi K- đa tạp afin xác định iđêan I kí hiệu V(I). Định nghĩa 2.1.11. Một tập X ⊆ An bất khả quy không hợp hữu hạn đa tạp thực sự, nghĩa đa tạp X1 , X2 ⊆ An cho X = X1 ∪ X2 dẫn đến X = X1 X = X2 . Mệnh đề 2.1.12. Bất kì đa tạp X phân tích hợp hữu hạn đa tạp bất khả quy X = X1 ∪ X2 ∪ .Xm với Xi Xj , ∀i = j. Phép phân tích (sai khác phép hoán vị). Định nghĩa 2.1.13. 1. Trong An (L) xét tập X tùy ý. Tập hợp I(X) = {f ∈ K [x1 , ., xn ] |f (p) = 0, ∀p ∈ X} , iđêan K [x1 , ., xn ] gọi iđêan triệt tiêu X. 2. Cho I iđêan R. Khi tập hợp √ I = {f ∈ R|∃m ∈ N∗ , f m ∈ I} , iđêan R gọi I (hoặc kí hiệu Rad I). √ √ √ Rõ ràng I ⊂ I (nói chung I = I). Nếu I = I gọi iđêan căn. 31 Mệnh đề 2.1.14. 1. Nếu L vô hạn I(An (L)) = (0). 2. I(ø) = K [x1 , ., xn ] = (1) (iđêan sinh 1). 3. Với X ⊂ An (L) I(X) iđêan căn. 4. Với V ⊂ An (L) I(X) K- đa tạp afin V(I(V )) = V . 5. Cho V1 , V2 K- đa tạp afin. Khi (a)V1 V2 ⇔ I(V1 ) I(V2 ). (b)I(V1 ∪ V2 ) = I(V1 ) ∩ I(V2 ). V1 ∪ V2 = V(I(V1 ).I(V2 )). 6. Cho (Vα )α∈Λ , với Vα K- đa tạp afin. Khi Vα = V( α∈Λ 2.2 I(Vα )). α∈Λ Đường cong đơn thức không gian afin Định nghĩa 2.2.1. Cho trường K s1 < . < sn số nguyên dương thỏa gcd(s1 .sn )=1. Một đường cong đơn thức An (K) cho phương trình tham số   x1 = ts1       x2 = ts2 ,   .     x = tsn n t ∈ K kí hiệu C(s1 , ., sn ). 32 Định lí 2.2.2. Đường cong đơn thức C = C(s1 .sn ) An (K) đa tạp afin có số chiều trường K đóng đại số C bất khả quy. Chứng minh Xét đồng cấu vành π : K[x1 .xn ] → K[t] xi → tsi Khi ta có C = V(Ker(π)). Thật vậy, rõ ràng C ⊂ V(Ker(π)) ta chứng minh V(Ker(π)) ⊂ C. Gọi P = (x1 .xn ) ∈ V(Ker(π)). Nếu tồn i cho xi = s xj = ∀j xi j − xsj i ∈ Ker(π), suy p ∈ C. Do cần xét xi = ∀i. Gọi a1 , ., an số nguyên cho a1 s1 + . + an sn = 1. Đặt t = xa11 .xann , ∀i = 1, ., n ta có tsi = (xa11 )si (xa22 )si .(xann )si = (xs1i )a1 (xs2i )a2 (xsni )an = (xsi )a1 (xsi )a2 .(xsi n )an = xi . Suy P ∈ C, điều có nghĩa V(Ker(π)) ⊂ C. Mặt khác, Ker(π) iđêan nguyên tố nên C bất khả quy. Hơn nữa, dim(C) = dimK[x1 , ., xn ]/I(C) = dimK[ts1 , ts2 , tsn ] = dim K[t] = 1. 33 Định nghĩa 2.2.3. Trong K[x1 , x2 , x3 ], xét đường cong đơn thức C = C(s1 , s2 , s3 ). Đặt: m12 m13 f1 = x m − x2 x3 , m21 m23 f2 = x m − x1 x3 , m31 m32 f3 = x m − x1 x2 . Trong mi số nguyên dương nhỏ cho tồn mij (i, j = 1, 2, 3) không âm thỏa mãn phương trình mi si = mij sj . j=i Mệnh đề 2.2.4. Cho đường cong đơn thức C = C(s1 , s2 , s3 ) đa thức f1 , f2 , f3 Định nghĩa 2.2.3. Khi xảy hai trường hợp sau: 1. mij = ∀i = j. mkj mki k 2. Tồn i, j cho fi = −fj đa thức lại fk = xm k − xi xj có mki mkj dương. Chứng minh Nếu trường hợp 1. không xảy ra. Giả sử m13 = 0, ta chứng minh f2 = −f1 . Trước hết ta có m23 = giả sử m23 = mâu thuẫn với giả thiết. Thật vậy, tính chất nhỏ mi ta có m2 ≤ m12 . Từ giả thiết gcd(s1 , s2 , s3 ) = suy m21 > 0. Ta lại có m2 m12 −m2 m13 x3 f1 = xm − x2 x2 34 m21 m23 m12 −m2 m13 = xm x3 , − (f2 + x1 x3 )x2 m21 m12 −m2 m23 suy p = xm x3 ∈ Ker(π). Do đa thức − x1 x2 p = p/xm ∈ Ker(π) (mâu thuẫn với tính chât nhỏ m1 ). m12 m21 Như f1 = xm f2 = xm − x2 − x1 . Do tính chất nhỏ m1 , ta có gcd(m1 , m12 ) = 1. Khi (m21 , m2 ) bội số (m1 , m12 ), suy m1 = m21 m2 = m12 . Mệnh đề 2.2.5. Cho đồng cấu π định nghĩa chứng minh định lí 2.2.2 đa thức f1 , f2 , f3 định nghĩa 2.2.3. Ta đặt I = Ker(π), I = f1 , f2 , f3 . Chứng minh Ta cần chứng minh I ⊂ f1 , f2 , f3 . Thật vậy, I tổ hợp tuyến tính K đa thức xα1 xα2 xα3 − xβ1 xβ2 xβ3 , I iđêan sinh đa thức dạng β β xj j . Gọi J = f1 , f2 , f3 . Nếu I ⊂ J, chọn xαi − xαi − j=i xj j có bậc j=i nhỏ I\J. Do tính nhỏ mi ta có α ≥ mi . Với i = 1, xét m12 m13 b = xα−m x2 x3 − xβ2 xβ3 . Ta thấy b ∈ I \ J b − b ∈ f1 . Nếu m12 m13 khác tồn b j = j = cho b = xj b . Bậc b nhỏ bậc b nên b ∈ J, suy b ∈ J (mâu thuẫn). Do xảy 35 hai trường hợp m12 = β3 = m13 = β2 = 0. Giả sử m13 = β2 = 0, ta có b = x1α−m1 xm12 − xβ3 α − m1 > 0. Do tính nhỏ m3 ta β3 ≥ m3 , 12 31 m32 b = x1α−m1 xm − xβ3 −m3 xm ∈ I \ J. 1 x2 Vì b − b ∈ f3 m31 , m32 dương. Như chia b cho hai biến x1 x2 , điều mâu thuẫn với tính nhỏ deg b. Nhận xét: Trong định nghĩa đường cong đơn thức, ta thay giả thiết gcd(n1 , n2 , n3 = d) đặt C1 = C( nd1 , nd2 , nd3 ) C = C1 K đóng đại số ánh xạ K→K t → td toàn ánh. Trường hợp K không đóng đại số điều nói chung không đúng. Chẳng hạn chọn K = R đường cong C(2, 2, 4) A3 (R) C(2, 2, 4) = C1 (1, 1, 2) (−1, −1, 1) ∈ C1 \ C. Mệnh đề 2.2.6. Các đa thức m12 m13 m2 m21 m23 m3 m31 m32 f1 = xm − x2 x3 , f2 = x2 − x1 x3 , f3 = x3 − x1 x2 định nghĩa 2.2.3 thỏa mãn điều kiện m1 = m21 + m31 . m2 = m12 + m32 . 36 m3 = m13 + m23 . Chứng minh Nếu ta đặt v1 = (−m1 , m12 , m13 ), v2 = (m21 , −m2 , m23 ), v3 = (m31 , m32 , −m3 ) v = v1 + v2 + v3 = (a1 , a2 , a3 ) a1 s1 + a2 s2 + a3 s3 = 0. Ta giả sử a2 , a3 dấu, a1 = |a1 | = | − m1 + m21 + m31 | ≥ m1 (do tính nhỏ m1 ). Điều thứ hai không xảy < mj1 < m1 , a1 = 0, suy a2 = a3 = 0. Định lí 2.2.7. Cho đường cong đơn thức C = C(s1 , s2 , s3 ) đa tạp C ∪ L với L = V(x1 , x2 ) xác định hai đa thức f1 , f2 cho định nghĩa 2.2.3. Chứng minh Rõ ràng C ∪ L ⊂ V(f1 , f2 ). Ta cần chứng minh V(f1 , f2 ) ⊂ C ∪ L. Thật vậy, gọi P = (a, b, c) ∈ V(f1 , f2 ). Ta xét hai trường hợp a = a = 0. Nếu a = b = f2 (P ) = 0, suy P = (0, 0, c) ∈ Oxy. Nếu a = b = c = f1 (P ) = 0, từ f1 (P ) = ⇒ am1 = bm12 cm13 ⇒ cm13 = am1 b−m12 , f2 (P ) = ⇒ bm2 = am21 cm23 ⇒ cm23 = a−m21 bm2 . Suy cm3 = cm13 cm23 = am1 −m21 bm2 −m12 = am31 bm23 , nghĩa f3 (P ) = 0, suy P ∈ C = V(f1 , f2 , f3 ). Bổ đề 2.2.8. Bằng cách thực phép cộng trừ bội b+nm12 c+nm13 f1 vào đơn thức xa1 xb2 xc3 ta thu đơn thức xa−nm x2 x3 . Chứng minh 37 Quy nạp theo n 1. Với n = 1, m12 m13 a−m1 b+m12 c+m13 x2 x3 . xa1 xb2 xc3 − x1a−m1 xb2 xc3 (xm − x2 x3 ) = x1 2. Giả sử mệnh đề với n - 1, tức ta thu a−(n−1)m1 b+(n−1)m12 c+(n−1)m13 x2 x3 . x1 Trừ đơn thức cho đơn thức b+(n−1)m12 c+(n−1)m13 m1 x3 (x1 x1a−m1 x2 12 m13 − xm x3 ), ta thu b+nm12 c+nm13 xa−m x2 x3 . Định lí 2.2.9. Cho đường cong đơn thức C = C(s1 , s2 , s3 ), tồn g ∈ I(C) có dạng g = ±xα3 + h h ∈ (x1 , x2 ), α số nguyên dương cho f2 ∈ Rad(g, f1 ) C = V(g, f1 ). Như đường cong đơn thức A3 (K) tương giao đầy đủ. Chứng minh a. Giả sử tồn g ∈ I(C) cho f2 ∈ Rad(g, f1 ) g = ±xα3 + h h ∈ (x1 , x2 ) α số nguyên dương. Ta có (g, f1 ) ⊂ I(C) suy C = V(I(C)) ⊂ V(g, f1 ). Ngược lại, giả sử P = (a, b, c) ∈ V(g, f1 ), ta chứng minh P ∈ C. Nếu a = 0, b = c = f2 (P ) = g(P ) = 0. Như P = (0, 0, 0) ∈ C. 38 Nếu a = 0, giả sử b = hay c = f1 (P ) = suy a = ( mâu thuẫn), a, b, c khác 0. Theo giả thiết f1 (P ) = ⇒ am1 = bm12 cm13 ⇒ cm13 = am1 b−m12 , f2 (P ) = ⇒ bm2 = am21 cm23 ⇒ cm23 = a−m21 bm2 . Do ta có: cm3 = cm13 cm23 = am1 −m21 bm2 −m12 = am31 bm23 . Suy f3 (P ) = 0, nghĩa P ∈ C. Như C giao hai siêu mặt g = f1 = 0. b. Sự tồn g. Trước hết ta viết lại m21 m23 m2 m21 m1 m23 m1 f2m1 = (xm x3 . − x1 x3 ) = x2 k ± x1 Trong k ∈ (x1 , x2 ). Cộng trừ đa thức cho đa thức m (m21 −1) m12 m13 +m1 m23 x2 x3 m21 m1 m23 x1m21 −m1 x3m23 m1 f1 = xm x3 − x1 1 12 chia cho xm ta m1 (m21 −1) m13 +m1 m23 32 g = xm x . k±x m1 (m21 −1) m13 +m1 m23 32 Nếu m21 = g = xm x = ±xα3 + h, k±x h2 ∈ (x1 , x2 ) α = m13 + m1 m23 . Nếu m21 = 1, theo công thức khai triển nhị thức Newton m21 m23 m1 f2m1 = (xm = − x1 x3 ) m1 (m −j)m21 jm2 (m1 −j)m23 (−1)j ( )x1 x2 x3 . j=0 j m1 • Khi j = 0, áp dụng Bổ đề với n = m21 cho m21 m1 m23 xm x3 . 39 Ta đơn thức (m1 m23 +m21 m13 ) 21 m12 xm x3 . • Khi j = m21 , 21 m31 m12 m21 m32 m21 m23 m31 x1m21 m31 x2m2 m21 x3m23 m31 = xm x2 x2 x1 . • Khi ≤ j ≤ m21 − 1, áp dụng bổ đề với n = (m21 − 1) cho đơn thức (m1 −j)m21 jm2 (mi −j)m2 x2 x3 . x1 Ta đơn thức (m1 −j)m21 m21 −(m21 −1)m1 jm2 +(m21 −1)m12 (m1 −j)m2 +(m21 −1)m13 x2 x1 . x1 Như ta thu đa thức 21 m12 m1 m23 +m21 m13 g0 = xm x3 + h0 . 12 m21 12 m21 Trong h0 ∈ (x1 , x2 ) chia hết cho xm . Chia g0 cho xm ta 2 m23 +m21 m13 g = xm +h với h ∈ (x1 , x2 ) Ví dụ. 1. Xét C = (1, 2, 3) xác định phương trình tham số    x = t1   x2 = t2 ,    x = t3 tới t ∈ K, lúc I(C) = (f1 = x21 − x2 , f2 = x2 − x21 , f3 = x3 − x1 x2 ). 40 2. Xét C = C(2, 3, 5) I(C) = (f1 = x31 − x22 , f2 = x32 − x21 x3 , f3 = x3 − x1 x2 ). Lấy tổng f23 = (x32 − x21 x3 )3 = x92 − 3x21 x62 x3 + 3x41 x62 x23 − x61 x33 , x31 x33 f1 = x61 x33 − x31 x22 x33 . Sau chia cho x22 , ta thu đa thức x72 − 3x22 x42 x3 + 3x41 x2 x23 − x31 x33 . Cộng thêm vào đa thức x33 f1 = x31 x33 − x22 x33 . Ta x72 − 3x21 x42 x3 + 3x41 x2 x23 − x22 x33 . Lại cộng thêm vào đa thức 3x1 x2 x23 f1 . Ta có đa thức x72 − 3x21 x42 x3 + 3x1 x32 x23 − x22 x33 . Cuối chia cho x22 g = x52 − 3x21 x22 x3 + 3x1 x2 x23 − x33 . Như C giao hai siêu mặt V(g) V(f1 ). 41 Chú ý: Khi ta nói đường cong đơn thức C giao hai siêu mặt điều nghĩa iđêan I(C) sinh hai phần tử. Ta thấy điều qua ví dụ sau Ví dụ. Xét đường cong C = C(3, 4, 5) xác định iđêan I(C) = (f1 = x31 − x2 x3 , f2 = x22 − x1 x3 , f3 = x23 − x21 x2 ), tồn đa thức g = x41 − 2x1 x2 x3 + x32 . Thỏa f12 = x22 f3 + x21 g, f22 = x21 f3 + x2 g. Nên C = V(g, f3 ). Giả sử tồn p, q ∈ I(C) cho I(C) = (p, q). Với deg(x1 ) = 3, deg(x2 ) = 4, deg(x3 ) = 5. Ta có deg(f1 ) = 9, deg(f2 ) = 8, deg(f3 ) = 10. Khi với f (x1 , x2 , x3 ) ∈ I(C) b(i, j, k)xi1 xj2 xk3 , b(i, j, k) ∈ K, (i, j, k) ∈ N∗ . f (x1 , x2 , x3 ) = i,j,k Vì f(t3 , t4 , t5 ) = nên b(i, j, k)t3i+4j+5k = 0. i,j,k Đặt n = 3i + 4j + 5k(i, j, k ∈ N). Nếu • n = (i, j, k) = (0, 0, 0) suy b(0, 0, 0) = 0, • n = không tồn (i, j, k), 42 • n = không tồn (i, j, k), • n = (i, j, k) = (1, 0, 0) suy b(1, 0, 0) = 0, • n = (i, j, k) = (0, 1, 0) suy b(0, 1, 0) = 0, • n = (i, j, k) = (0, 0, 1) suy b(0, 0, 1) = 0, • n = (i, j, k) = (2, 0, 0) suy b(2, 0, 0) = 0, • n = (i, j, k) = (1, 1, 0) suy b(1, 1, 0) = 0, • n = (i, j, k) = (1, 0, 1) (0, 2, 0) suy b(1, 0, 1) + b(0, 2, 0) = 0, Khi ta có x22 − x1 x3 = f2 . • n = (i, j, k) = (3, 0, 0) (0, 1, 1) suy b(3, 0, 0) + b(0, 1, 1) = 0, ta có x31 − x2 x3 = f1 . • n = 10 (i, j, k) = (2, 1, 0) (0, 0, 2) suy b(2, 1, 0) + b(0, 0, 2) = 0, ta có x21 x2 − x2 x3 = f3 . Chú ý f1 ∈ (f2 , f3 ), f2 ∈ (f3 , f1 ), f3 ∈ (f1 , f2 ). Vì p, q ∈ (f1 , f2 , f3 ) nên bậc p q phải lớn 8. Giả sử p = a1 f1 + a2 f2 + a3 f3 + ., ∈ K, q = b1 f1 + b2 f2 + b3 f3 + ., bi ∈ K. Vì f1 , f2 , f3 ∈ (p, q) nên tồn αi , βi , γi ∈ K, i = 1, cho    f = α1 p + α2 q   f2 = β1 p + β2 q ⇒ a1 : b1 = a2 : b2 = a3 : b3 (không xảy ra).    f = γ p + γ q Vậy I(C) sinh đa thức. 43 Nhận xét: 1. Đường cong đơn thức C = (s1 , s2 , s3 ) A3 (K) xác định đa thức m12 m13 f1 = x m − x2 x3 , m21 m23 f2 = x m − x1 x3 , m31 m32 f3 = x m − x1 x2 . Thỏa mãn điều kiện m1 = m21 + m31 , m2 = m12 + m32 , m3 = m13 + m23 , tức có iđêan sinh định thức cấp ma trận   m21 m32 m13 x x2 x3  . m12 m23 m31 x2 x3 x1 2. Xét đường cong đơn thức A4 (K). Bersinsky chứng minh đường cong đơn thức C(s1 , s2 , s3 , s4 ) A4 (K) tương giao đầy đủ s1 , s2 , s3 , s4 nửa nhóm đối xứng. 44 KẾT LUẬN Với nội dung nghiên cứu trình bày, khóa luận "Đường cong đơn thức không gian afin" giải vấn đề đặt ra. Nội dung lý thuyết vấn đề nghiên cứu đa tạp afin, nội dung thứ hai nghiên cứu sâu đường cong đơn thức không gian afin. Qua trình nghiên cứu giúp hiểu sâu đa tạp afin đường cong đơn thức không gian afin nắm vững kiến thức Hình học đại số. Nội dung khóa luận dừng lại việc xây dựng khái niệm định lí đường cong đơn thức không gian afin nên chưa khai thác triệt để ứng dụng lí thuyết chuyên ngành khác toán học nên tương lai cố gắng nghiên cứu sâu toàn diện vấn đề này. Vấn đề đường cong đơn thức không gian afin vấn đề mẻ hay chưa có nhiều tài liệu tham khảo nước nên kiến thức mà khóa luận đưa nguồn tài liệu giúp ích nhiều cho bạn đọc yêu toán ham thích tìm hiểu khoa học. 45 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Bresinsky H (1975), Symmetric Semigroups of Integers Generated by Ele-ments. 2. Hoàng Xuân Sính Trần Phương Dung (2004), Đại số đại cương, Nxb Đại học sư phạm. 3. Hồ Sỹ Long (2011), Về đa tạp xuyến afin, Luận văn thạc sĩ toán học, trường Đại học Vinh. 4. Trần Hoài Ngọc Nhân (2006), Số phương trình xác định số dạng đa tạp đại số đặc biệt, Luận văn thạc sĩ toán học, trường Đại học sư phạm Đồng Tháp. 46 [...]... phương g(W) (ii) Nếu α là cái phẳng trong A với phương W và nếu f −1 (α ) = ∅ thì f −1 (α ) là cái phẳng trong A với phương g −1 (W ) 22 Chương 2 Đường cong đơn thức trong không gian afin Chương này sẽ hệ thống hóa các kiến thức liên quan đến đường cong đơn thức trong không gian afin Cũng như nghiên cứu sâu hơn về đường cong đơn thức trong không gian afin 2.1 2.1.1 Đa tạp afin Tập đại số Để tìm hiểu về... + dx + ey + f = 0 Trong đó a, b, c không đồng thời bằng không Ví dụ Trong không gian, các mặt cong thường được xác định bởi đồ thị của một phương trình ba ẩn số f (x, y, z) = 0 Ví dụ một mặt phẳng trong không gian được xác định bởi đồ thị của một phương trình tuyến tính ax + by + cz + d = 0 Trong đó a, b, c không đồng thời bằng không Tuy nhiên không phải hình học nào trong không gian cũng có thể mô... đa tạp afin thì V(I(V )) = V 5 Cho V1 , V2 là các K- đa tạp afin Khi đó (a)V1 V2 ⇔ I(V1 ) I(V2 ) (b)I(V1 ∪ V2 ) = I(V1 ) ∩ I(V2 ) V1 ∪ V2 = V(I(V1 ).I(V2 )) 6 Cho (Vα )α∈Λ , với Vα là các K- đa tạp afin Khi đó Vα = V( α∈Λ 2.2 I(Vα )) α∈Λ Đường cong đơn thức trong không gian afin Định nghĩa 2.2.1 Cho trường K và s1 < < sn là những số nguyên dương thỏa gcd(s1 sn )=1 Một đường cong đơn thức trong An... duy nhất một −→ − điểm N của A sao cho M N = u − → −→ − → − − − (ii) Với mọi bộ ba điểm M, N, P của A luôn có M N + N P = M P 20 K- không gian afin( A, f, V ) còn được gọi là không gian afin A liên kết với không gian vectơ V hoặc vắn tắt là không gian afin A Không gian afin A gọi là n chiều nếu dim V = n, kí hiệu dim A = n −→ − Tính chất (i) Với mọi điểm M của A thì M M = 0 −→ − (ii) Với mọi cặp điểm... xạ afin f f : A → A (iv) Cho n+1 điểm độc lập M0 , M1 , , Mn trong đó K- không gian afin n chiều A và cho n+1 điểm tùy ý M0 , M1 , , Mn trong đó K- không gian afin A Khi đó có một và chỉ một ánh xạ afin f : A → A sao cho f (Mi ) = Mi , i = 1, 2, Định nghĩa 1.5.4 Cho ánh xạ afin f : A → A liên kết với ánh xạ tuyến tính g : V → V (i) Nếu α là cái phẳng trong A có phương W thì f(α) là cái phẳng trong. .. Định nghĩa 2.2.3 Trong K[x1 , x2 , x3 ], xét đường cong đơn thức C = C(s1 , s2 , s3 ) Đặt: f1 = xm1 − xm12 xm13 , 1 2 3 f2 = xm2 − xm21 xm23 , 2 1 3 f3 = xm3 − xm31 xm32 3 1 2 Trong đó mi là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho tồn tại mij (i, j = 1, 2, 3) không âm thỏa mãn phương trình mi si = mij sj j=i Mệnh đề 2.2.4 Cho đường cong đơn thức C = C(s1 , s2 , s3 ) và các đa thức f1 , f2 , f3 trong Định nghĩa... Hệ m+1 điểm A0 , A1 , , Am , (m ≥ 1) của không −− −− − − −→ −→ − → gian afin A gọi là độc lập nếu m vectơ A0 A1 , A0 A2 , A0 Am , là độc lập tuyến tính Hệ một điểm bất kì luôn được xem là độc lập Định nghĩa 1.5.3 Cho hai K- không gian afin A và A liên kết lần lượt với các không gian vectơ V và V Ánh xạ f : A → A được gọi là ánh xạ afin giữa các không gian afin A và A nếu có ánh xạ tuyến tính g : V... bởi duy nhất một phương trình Khác với đường cong trong mặt phẳng, một đường thẳng trong không gian được xác định bởi một hệ hai phương trình tuyến tính:  a1 x + b1 y + c1 z + d1 = 0 a x + b y + c z + d = 0 2 2 2 2 Điều này ứng với việc đường thẳng này là giao của hai mặt phẳng của hai phương trình tuyến tính trên Có thể xem các hình hình học trong không gian n- chiều là các tập nghiệm của các... một trong hai biến x1 hoặc x2 , điều này mâu thuẫn với tính nhỏ nhất của deg b Nhận xét: Trong định nghĩa của đường cong đơn thức, nếu ta thay giả thiết gcd(n1 , n2 , n3 = d) và đặt C1 = C( n1 , n2 , n3 ) thì C = C1 khi K d d d là đóng đại số vì khi đó ánh xạ K→K t → td là toàn ánh Trường hợp K không đóng đại số thì điều trên nói chung là không đúng Chẳng hạn chọn K = R và đường cong C(2, 2, 4) trong. .. một số ví dụ sau: Ví dụ Trong mặt phẳng, các hình hình học cơ bản là các đường cong, thường được xác định bởi đồ thị của một phương trình hai ẩn số f (x, y) = 0, hàm f (x, y) thường là một đa thức hai biến Ví dụ phương trình tổng quát của một đường thẳng có dạng ax + by + c = 0 Trong đó các hệ số a, b, c không đồng thời bằng không, còn phương 23 trình tổng quát của một đường cong bậc hai có dạng ax2 . kiến thức chuyên sâu của đa tạp và nghiên cứu sâu sắc về đa tạp đại số, đường cong đơn thức trong các không gian nhất là trong không gian afin. 2. Mục đích nghiên cứu Thực hiện đề tài Đường cong. thức về không gian afin như ánh xạ afin, ảnh và tạo ảnh qua ánh xạ afin. - Các kiến thức liên quan đến đa tạp afin như tập đại số, tập đại số bất khả quy, đa tạp afin và đường cong đơn thức trong. vấn đề đường cong đơn thức trong không gian afin. 5. Bố cục khóa luận Ngoài các phần mở đầu, kết luận, mục lục và tài liệu tham khảo, nội dung khóa luận gồm 2 chương: 5 Chương 1: Kiến thức cơ