LỜI CẢM ƠN Trong thời gian thực đề tài khóa luận tốt nghiệp, cố gắng thân em nhận khích lệ, quan tâm nhiều nhà trường, thầy cô, gia đình bạn bè. Em xin bày tỏ lời cảm ơn sâu sắc đến quý thầy, cô giáo trường Đại học Quảng Bình truyền đạt kiến thức quý báu cho chúng em thời gian học tập trường. Đặt biệt, em xin chân thành cảm ơn ThS.Trần Hồng Nga – người trực tiếp hướng dẫn em trình thực đề tài. Cảm ơn tập thể lớp Cao đẳng Sư phạm Toán K54, bạn bè gia đình động viên em học tập sống. Xin trân trọng cảm ơn! Người thực Lê Thị Minh Hằng MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN . PHẦN 1. MỞ ĐẦU . I. Lí chọn đề tài IV. Phạm vi nghiên cứu V. Phương pháp nghiên cứu VI. Bố cục khóa luận tốt nghiệp . PHẦN 2. NỘI DUNG . Chương I - KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1. Đường tròn ngoại tiếp tam giác 1.1.1. Khái niệm 1.1.3. Dấu hiệu nhận biết đường tròn ngoại tiếp tam giác . 1.2. Tứ giác nội tiếp 1.2.1. Khái niệm Chương II - CÁC DẠNG BÀI TẬP VỀ ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP TAM GIÁC, TỨ GIÁC NỘI TIẾP ĐƯỜNG TRÒN . 2.1. Các dạng tập đường tròn ngoại tiếp tam giác 2.2. Các dạng toán chứng minh tứ giác nội tiếp . 18 PHẦN 3. KẾT LUẬN . 58 TÀI LIỆU THAM KHẢO . 59 PHẦN 1. MỞ ĐẦU I. Lí chọn đề tài Mục tiêu việc dạy môn Toán dạy cho học sinh kiến thức Toán, cách giải tập, rèn luyện kỹ giải toán.Từ đó, yêu cầu đặt giáo viên phải dạy cho học sinh phương pháp giải, chứng minh dạng toán. Chương trình Toán trung học sở hai lĩnh vực đại số hình học có nhiều dạng tập khác nhau. Đặc biệt, phần hình học có nhiều dạng toán chứng minh tam giác đồng dạng, chứng minh tam giác nhau, toán quỹ tích dựng hình dạng toán chứng minh đa giác nội tiếp, Các toán chứng minh đa giác nội tiếp phong phú, phạm vi nghiên cứu rộng. Và dạng toán quan tâm nhiều kỳ thi học kỳ, kỳ thi chuyển cấp kỳ thi tuyển chọn học sinh giỏi cấp trung học sở. Tuy nhiên, Sách giáo khoa chưa có hệ thống phương pháp chứng minh cách cụ thể dẫn đến học sinh lúng túng tìm cách chứng minh đa giác nội tiếp đường tròn. Việc cung cấp cho học sinh phương pháp giải dạng toán đa giác nội tiếp cần thiết. Để giải toán đòi hỏi học sinh cần nắm lý thuyết mà phải biết vận dụng kiến thức cách hợp lý, linh hoạt. Để giúp cho học sinh thấy điều thiết thực Toán học đồng thời tạo nên thích thú cho học sinh trình giải toán. Đó lí em chọn đề tài “ Các dạng toán chứng minh đa giác nội tiếp”. Đề tài hệ thống lại dạng toán chứng minh đa giác nội tiếp bậc trung học sở, cụ thể dạng toán chứng minh tam giác nội tiếp, tứ giác nội tiếp đường tròn thông qua nghiên cứu đề tài “ Các dạng toán chứng minh đa giác nội tiếp”. II. Mục tiêu nghiên cứu Mục tiêu khóa luận giới thiệu cho học sinh dạng toán chứng minh đa giác nội tiếp để học sinh hệ thống toán giải toán tốt hơn. Để học sinh thấy tính thiết thực ứng dụng chứng minh đa giác nội tiếp nói riêng Toán học nói chung sống. Rèn luyện cho học sinh kỹ tư giải toán hình học. III. Đối tượng nghiên cứu Khóa luận nghiên cứu dạng toán chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác, tứ giác nội tiếp đường tròn. IV. Phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu phần hình học chương trình lớp 6, 7, 8, 9. V. Phương pháp nghiên cứu Trong trình nghiên cứu em sử dụng phương pháp sau: - Nghiên cứu lý luận: Em đọc sách, phân tích đối chiếu tài liệu Toán học, lý luận dạy học môn Toán, tài liệu hướng dẫn giảng dạy. - Phương pháp rút kinh nghiệm:Tổng kết kinh nghiệm thân,bạn bè,anh chị để hệ thống lại kiến thức vấn đề nghiên cứu đầy đủ. - Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: Lấy ý kiến giảng viên trực tiếp hướng dẫn giảng viên khác để hoàn thiện mặt nội dung hình thức khóa luận. VI. Bố cục khóa luận tốt nghiệp Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, nội dung khóa luận chia làm chương. Chương trình bày kiến thức sở liên quan đến khái niệm, tính chất, định lý đường tròn ngoại tiếp tam giác tứ giác nội tiếp đường tròn. Chương trình bày dạng toán chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác tứ giác nội tiếp đường tròn. PHẦN 2. NỘI DUNG Chương I - KIẾN THỨC CƠ SỞ Đường tròn qua tất đỉnh đa giác gọi đườn tròn ngoại tiếp đa giác đa giác đa giác nội tiếp đường tròn. Ở trường trung học sở ta học đường tròn ngoại tiếp tam giác tứ giác nội tiếp đường tròn. 1.1. Đường tròn ngoại tiếp tam giác 1.1.1. Khái niệm A O B C Qua ba điểm không thẳng hàng ta vẽ đường tròn. Đường tròn qua ba đỉnh tam giác gọi đường tròn ngoại tiếp tam giác. Khi đó, tam giác gọi tam giác nội tiếp đường tròn. 1.1.2. Định lí 1.1.2.1. Định lí Trong tam giác vuông đường trung tuyến ứng với cạnh huyền cạnh huyền. 1.1.2.2. Định lí Trong tam giác có đường trung tuyến ứng với cạnh nửa cạnh tam giác tam giác vuông. 1.1.2.3. Định lí Ba đường trung trực tam giác qua điểm. Điểm cách ba đỉnh tam giác tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác. Chứng minh: Gọi O giao điểm hai đường trung trực ứng với cạnh AB AC ∆ABC. Ta chứng minh O nằm đường trung trực ứng với cạnh BC tam giác OA = OB = OC. A O B C Vì O nằm đường trung trực b đoạn thẳng AC nên: OA = OC (1) Vì O nằm đường trung trực c đoạn thẳng AB nên: OA = OB (2) Từ (1) (2) suy ra: OB = OC (= OA) Do điểm O nằm đường trung trực cạnh BC (theo tính chất đường trung trực). Vậy ba đường trung trực ∆ABC qua điểm O ta có: OA = OB = OC. 1.1.3. Dấu hiệu nhận biết đường tròn ngoại tiếp tam giác - Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác giao ba đường trung trực. - Tam giác có ba đỉnh cách điểm (ta xác định được). Điểm tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác. 1.2. Tứ giác nội tiếp 1.2.1. Khái niệm B A C O D Một tứ giác có bốn đỉnh nằm đường tròn gọi tứ giác nội tiếp đường tròn (Gọi tắt tứ giác nội tiếp). 1.2.2. Định lí 1.2.2.1. Định lí Trong tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện 1800. 1.2.2.2. Định lí Nếu tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện 1800 tứ giác nội tiếp đường tròn. 1.2.3. Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp -Tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện 1800. -Tứ giác có góc đỉnh góc đỉnh đối diện. -Tứ giác có bốn đỉnh cách điểm (mà ta xác định được). Điểm tâm đường tròn tứ giác nội tiếp. -Tứ giác có hai đỉnh kề nhìn cạnh chứa hai đỉnh lại góc α. Chương II - CÁC DẠNG BÀI TẬP VỀ ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP TAM GIÁC, TỨ GIÁC NỘI TIẾP ĐƯỜNG TRÒN 2.1. Các dạng tập đường tròn ngoại tiếp tam giác 2.1.1. Tìm tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác a)Phương pháp A O B C - Xét toán: Giả sử tam giác ABC có: OA = OB = OC = r (như hình vẽ). Khi đó, tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O. b)Một số ví dụ Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông A O trung điểm cạnh huyền BC. Hãy xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Giải: B O A C Ta có: AO đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC Suy ra, OA = OB = OC = BC.Tức A, B, C cách điểm O. Nên O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Vậy tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC trung điểm O cạnh huyền BC. Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có BC đường kính đường tròn (O; R) ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh tam giác ABC vuông. Giải: A B C O Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC. Khi đó, OA = OB = OC (1) Mặt khác, BC đường kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên O trung điểm BC. Do đó, OB = OC = BC (2) Từ (1) (2) suy ra, OA = OB = OC = BC. Vậy tam giác ABC vuông A. Ví dụ 3: (Đề thi tốt nghiệp THCS Huế - 2003) Cho hình vuông ABCD , M điểm cạnh BC (M khác B C).Đường tròn đường kính AM cắt đoạn thẳng BD B N. a) Chứng minh tam giác ANM tam giác vuông cân. b) Chứng minh N tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AMC. Giải: 10 Từ (1) (2) suy không? Xét vị trí hai góc tứ giác PQTS để kết luận tứ giác PQTS có nội tiếp hay không? (dựa vào chứng minh tứ giác nội dạng 2). c) Bài tập vận dụng: Bài tập 1: Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R. Kẻ tiếp tuyến Bx với nửa đường tròn.Gọi C, D hai điểm di động đường tròn. Các tia Ac, Bx cắt E F ( F nằm B E ) a) Chứng minh ∆ABF ~∆BDF. b) Chứng minh tứ giác CEFD nội tiếp được. Bài tập 2: Cho tam giác ABC vuông A (AB>AC), đường cao AH. Trên nửa mặt phẳng bờ BC có chứa điểm A, vẽ nửa đường tròn đường kính BH cắt AB E, vẽ nửa đường tròn đường kính HC cắt AC F. a) Chứng minh tứ giác AFHE hình chữ nhật. b) Chứng minh BEFC tứ giác nội tiếp. c) Chứng minh: AE.AB = AF.AC. Bài tập 3: Cho tam giác ABC vuông A điểm D nằm A B. Đường tròn BD cắt BC E. Các đường thẳng CD , AE cắt đường tròn điểm thứ hai F,G.Chứng minh: a) Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD. b) Tứ giác ADFC AFBC nội tiếp được. 2.2.4. Tứ giác có bốn đỉnh cách điểm a)Phương pháp A D O B 44 C Xét toán: Giả sử tứ giác ABCD có: OA = OB = OC = OD = r. Suy tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O. b)Một số ví dụ Ví dụ 1: Cho hai đường tròn (O) (O’) gặp A B, tiếp tuyến A đường tròn (O) gặp (O’) M; tiếp tuyến S đường tròn (O’) gặp (O) N. Lấy điểm E đối xứng với A qua B. Chứng minh tứ giác AMEN nội tiếp đường tròn. Gợi ý: Chứng minh tứ giác ANEM nội tiếp đường tròn (1). Ta thấy E đối xứng với A qua B => tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ANEM nằm đường trung trực đoạn AE => tâm đường tròn nằm trung trực AN AM. Vậy để chứng minh AMEN nội tiếp đường tròn ta chứng minh chứng minh tứ giác có bốn đỉnh cách điểm để sử dụng tính chất đường trung trực đoạn thẳng suy ra. Cách 1: Gọi I giao hai trung trực AN AM thì: (1) IA=IN=IE=IM (2) Thật vậy: OI // AO’ (cùng ⊥ AN) AO // O’I ( ⊥ AM). 45 Suy ra: AOIO’ hình bình hành => = = . Vậy OIBO’ tứ giác nội tiếp (hai góc liên tiếp nhìn cạnh góc nhau). Mà : OI = AO’ = O’B suy OIBO’ hình thang cân suy IB // OO’. IB ⊥ AB IB đường trung trực AE IA = IN = IE = IM Tứ giác AMEN nội tiếp đường tròn. Chú ý: Có thể chứng minh IB ⊥ AB cách chứng minh OO’ đường trung bình ∆AIB. Cách 2: ∆ABN ∾ ∆MBA (g.g). => = => ∆ABN ∾MBA (g.g). AB BN  BE BN = ⇐ = ( 6)  BM AB =>  BM BE  NBˆ E = EBˆ M (7)  => ∆EBN ∾MBE. 46 => chắn ½ số đo cung AB đường tròn (O). => = => + = 1800 = . => đpcm Cách 3: A K O O’ H I B M N ≡E Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN. E ’ Giả sử đường ngoại tiếp tam giác AMN cắt AB kéo dài E’, ta chứng minh E ≡ E’ Bằng cách chứng minh AB = BE’ (vì E đối xứng với A qua B) Gọi K H giao điểm OO’ với AI AB. Ta có: KA = KI (do AOIO’ hình bình hành) AH = HB (do OO’ đường nối hai tâm). Do đó: HK//BI => BI//OO’ Mà: AB⊥OO’ suy ra: IB⊥AB Nên AB = BE’ (do AIE’ cân I), nghĩa E’≡E. 47 2.2.5. Chứng minh nhiều điểm thuộc đường tròn a) Phương pháp Để chứng minh nhiều điểm thuộc đường tròn ta thực theo bước sau đây: Bước 1: Chọn bốn điểm, chẳng hạn A1,A2,A3,A4 tạo thành tứ giác nội tiếp (sử dụng dạng để chứng minh tứ giác nội tiếp). Bước 2: Tiếp tục chọn bốn điểm khác nhau, chẳng hạn A1,A2,A3,A5 tạo thành tứ giác nội tiếp. Cứ tiếp tục chứng minh trên, ta đường tròn ngoại tiếp tứ giác chung điểm A1,A2,A3. Do đường tròn phải trùng suy A1,A2,A3, ,An thuộc đường tròn. b)Một số ví dụ Ví dụ 1: Cho góc vuông xAy . Trên tia Ax lấy điểm B cố định,trên tia Ay lấy điểm C di động. Vẽ đường tròn (O) nội tiếp ∆ ABC, tiếp xúc với cạnh BC , CA , AB D, E, F .Hai đường thẳng DE OA cắt G. a) Chứng minh điểm O , D , G , B , F thuộc đường tròn. b) Đường thẳng DE qua điểm cố định. y Giải : a) ∆ OFG = ∆ OEG (c.c.c) => Mà 1 = = G C D nên = E => Tứ giác ODGF nội tiếp đường tròn. => O, D, G, F thuộc đường tròn. (1) Mặt khác, tứ giác ODBF nội tiếp đường tròn. => O, D, B, F thuộc đường tròn. (2) 48 O x A F B Từ (1) (2) suy điểm O, D, G, B, F thuộc đường tròn, đường tròn (ODF) b) Ta có = 900 ; = = 450 Vậy ∆ GAB vuông cân G. Vì AB cố định nên G cố định . Đường thẳng DE qua điểm cố định điểm G. Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông A, điểm E thuộc BC. Kẻ hai trung trực AB AC gặp I. Trung trực AE cắt hai trung trực F,K. Chứng minh điểm A,E,F,I,K nằm đường tròn. Gợi ý: Chứng minh điểm A, E, F, I, K nằm đường tròn (1) Chứng minh hai tứ giác nội tiếp AKIE AKIF (có điểm chung A, K, I) (2) Thật vậy, từ giả thiết suy I ∈ BC IB =IC ( = 900). Vì IK trung trực AC, KF trung trực AE. = KA = KC = KE => (= ). Tứ giác AKIE nội tiếp (3) Lại có: = = = (Các góc nội tiếp chắn cung tính chất đường trung trực). Hay = suy AKIF nội tiếp (4) Từ (3) (4) => (2) => (1) đpcm Chú ý: Ở ví dụ kẻ đường cao AH ∆ABC. Hình vẽ ứng với điểm E thuộc đoạn HC hai trường hợp E thuộc đoạn HB E nằm đoạn BC chứng minh tương tự. Ví dụ 3: Từ điểm A đường tròn (O), kẻ tiếp tuyến AB, AC với đường tròn ( B, C tiếp điểm). Trên tia đối tia BC, lấy điểm D. 49 Gọi E giao điểm DO AC. Qua E, vẽ tiếp tuyến thứ hai với đường tròn (O), có tiếp điểm M; tiếp tuyến cắt đường thẳng AB K. a) Chứng minh bốn điểm D, B, O, K thuộc đường tròn. b) Chứng minh D, B, O, M, K thuộc đường tròn. Gợi ý: a) - So sánh - So sánh và - Hai điểm O B nhìn đoạn thẳng DM góc nhau. Vậy kết luận tứ giác DBOM? b) Chứng minh B, O, M, K thuộc đường tròn ( Tứ giác có tổng số đo hai góc 1800). Rồi kết luận điểm B, O, M, K, D thuộc đường tròn. Ví dụ 4: Cho hình vuông ABCD. Kẻ tia Ax Ay cho ·xAy = 450 . Tia Ax cắt CB ND E P. Tia Ay cắt CD BD F Q. a) Chứng minh EBAQ FDAP nội tiếp đường tròn. b) Chúng minh năm điểm Q, P, E, C, F nằm đường tròn. Gợi ý: a) Chứng minh EBAQ nội tiếp: - BD đường chéo hình vuông ABCD nên =? - Dựa vào dạng để chứng minh EBAQ nội tiếp ( Hướng dẫn HS lập luận sau: Hai đỉnh A B hai góc QAE BQE nhìn đoạn thẳng QE chứa hai đỉnh lại tứ giác EBAQ góc 450 nên EBAQ nội tiếp đường tròn) - Chứng minh tương tự tứ giác FPAD. 50 b) Chứng minh năm điểm Q, P, E, C, F nằm đường tròn - góc đỉnh Q tứ giác nội tiếp EBAQ nên góc nào? Và độ? - góc đỉnh P tứ giác nội tiếp APFD nên góc nào? Và độ? - Xét điểm P, Q, C có nhìn đoạn thẳng EF góc vuông không? Vậy P, Q, C thuộc đường tròn nào? Từ kết luận điểm Q, P, E, C, F nằm đường tròn. Các cách chủ yếu cách chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn dựa vào chứng minh góc. 2.2.6. Chứng minh tứ giác nội tiếp phương pháp chứng minh đẳng thức cạnh a) Phương pháp Xét toán sau: Cho tứ giác ABCD, gọi O giao điểm hai đường chéo I giao điểm hai cạnh bên AD BC. Chứng minh rằng: a) Tứ giác ABCD nội tiếp OA.OC = OB.OD b) Tứ giác ABCD nội tiếp IA. ID = IB. IC Để chứng minh toán ta đưa việc chứng minh tam giác đồng dạng suy kết quả. Giải: 51 B A M D C Xét tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn. Giả sử BA CD cắt M. Suy : Vậy = MAC ∾ Đảo lại . MDB. MAC ∾ MDB A thuộc đoạn BM D thuộc đoạn CM suy tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn. Thật vậy, MAC ∾ MDB suy = suy tứ giác ABCD nội tiếp (B ,C nửa mặt phẳng bờ AD nhìn AD góc nhau). 52 + Từ có: MAC ∾ MDB, A ∈ B, D ∈ MC. => Tứ giác ABCD nội tiếp. + Theo tính chất tam giác đồng dạng ta lại có: = MAC ∾ MDB suy ra: MA.MB = MC.MD Vậy ta có cách chứng minh tứ giác nội tiếp tỉ lệ thức: MA.MB = MC.MD, A∈ BM, D∈ MC => Tứ giác ABCD nội tiếp. Qua toán cho ta ý tưởng chứng minh tứ giác nội tiếp chứng minh đẳng thức cạnh.Hãy dùng ý tưởng để giải toán sau: a) Một số ví dụ Ví dụ 1: Cho đường tròn (O), A điểm nằm đường tròn. Một cát tuyến qua A cắt (O) B C. Vẽ tiếp tuyến QP với (O) (P tiếp điểm), gọi H hình chiếu P OA. Chứng minh điểm O, H, B, C thuộc đường tròn. Gợi ý: 53 P C B A H O Chúng ta thấy BC OH cắt A, để chứng minh tứ giác OHBC nội tiếp ta nghĩ đến việc chứng minh AH.AO = AB.AC. Thật ta có: AH.AO = AP2 (hệ thức lượng tam giác vuông APO) AB.AC = AP2 (∆APB ∾ ∆ACP). Từ ta có AH.AO = AB.AC, theo ta có điều cần chứng minh. Ví dụ 2: Cho tam giác cân ABC (AB = AC). Đường tròn tâm O tiếp xúc với AB B tiếp xúc với AC C. Gọi H giao điểm OA BC. Vẽ dây cung DE (O) qua H. Chứng minh tứ giác ADOE nội tiếp. Gợi ý: A D H B C O E 54 ∆OCA vuông C, CH đường cao nên ta có: HO.HA = HC2. Dây cung BC DE (O) cắt H nên ta có: HD.HE = HB.HC = HC2. Từ đó, ta có: HA.HO = HD.HE, chứng minh tương tự ví dụ ta có tứ giác ADOE nội tiếp. b) Một số toán luyện thi học sinh giỏi Bài toán 1: Cho đường tròn (O; R) điểm M cố định không nằm đường tròn. Qua M kẻ hai đường thẳng. Đường thẳng thứ cắt (O) A B, đường thẳng thứ hai cắt (O) C D. Chứng minh MA.MB = MC.MD. Hướng dẫn: Để chứng minh toán xét hai trường hợp M nằm nằm đường tròn (O). Trong trường hợp chứng minh tam giác MAC tamg giác MCD đồng dạng, từ ta suy kết cần chứng minh. Bài toán 2: Nếu M không nằm đường tròn (O; R), đường thẳng thay đổi qua M cắt (O) A B. Khi tích MA. MB không đổi . Hướng dẫn: Vẽ đường thẳng qua M O cắt (O) C, D. Sau chứng minh tương tự toán ta kết quả. Bài toán ( Năng Khiếu 2004 – 2005 Chuyên toán) Cho đường tròn (O) điểm A khác O nằm đường tròn. Một đường thẳng thay đổi qua A không qua O cắt (O) M N. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN qua điểm cố định khác O. 55 P N A M O Hướng dẫn: Gọi P giao điểm đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN tia đối tia AO. Ta có AP.AO = AM.AN => AP = không đổi A (O) cố định. Hơn P thuộc tia đối tia AO cố định nên P điểm cố định. Bài toán 4: (NK 2006 – 2007 Chuyên toán) Cho đường tròn (O), AB dây cung cố định E trung điểm AB. Một đường thẳng thay đổi qua A cắt đường tròn tâm O bán kính OE P Q. Chứng minh tích AP. AQ không đổi đường tròn ngoại tiếp tam giác BPQ qua điểm cố định. B A I E P O Q J Hướng dẫn: Vì E trung điểm AB nên OE vuông góc với AB, suy AB tiếp tuyến (O; OE). Ta chứng minh AP.AQ = AE2 = ( )2 không đổi.Gọi I giao điểm đường tròn ngoại tiếp tam giác BPQ AB. 56 Khi ta có: AI.AB = AP.AQ => AI = không đổi. Suy I điểm cố định. Bài toán 5: (HSG Q. Tân Bình 2005 – 2006) Từ điểm A nằm đường tròn (O) vẽ tuyến ABC (B, C thuộc (O)). Chứng minh cát tuyến thay đổi tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OBC thuộc đường thẳng cố định. B C I A E F O Hướng dẫn: Gọi E giao điểm đường tròn ngoại tiếp tam giác OBC AO. Tương tự hai ta chứng minh E điểm cố định. Từ suy tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OBC thuộc đường trung trực OE. 57 PHẦN 3. KẾT LUẬN Trong khóa luận em đưa ba dạng toán chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác sáu dạng toán chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn. Mong với khối lượng kiến thức phần giúp bạn học sinh, sinh viên việc giải khó khăn gặp tập chứng minh đa giác nội tiếp đường tròn. Do hạn chế thời gian kiến thức khóa luận chưa tiếp cận nhiều dạng toán đa giác nội tiếp. Trong tương lai em hy vọng có điều kiện để tiếp tục nghiên cứu vấn đề này. Cuối cho phép em gửi lời cảm ơn chân thành đến ThS.Trần Hồng Nga tận tình bảo giúp đỡ em hoàn thành khóa luận này. Em chân thành cảm ơn ! 58 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Võ Đại Mau (2009), Tuyển chọn đề thi môn Toán, NXB Đại học quốc gia TP.HCM. 2. Trần Xuân Tiếp (2011), Đề kiểm tra Toán 9, NXB Đại học sư phạm. 3. Sách giáo khoa Toán 9, NXB giáo dục Việt Nam. 4. Sách giáo khoa Toán 8, NXB giáo dục Việt Nam. 5. Sách giáo khoa Toán 7, NXB giáo dục Việt Nam. 6. http://diendan.violet.vn/threads/cac-phuong-phap-chng-minh-t-giac-nitip.766/ 7. http://d.violet.vn//uploads/resources/263/2583075/preview.swf 8. http://123doc.org/document/686022-cac-dang-bai-tap-chung-minh-tu-giacnoi-tiep.htm 9. http://123doc.org/bai-viet/13496-ly-thuyet-duong-tron-ngoai-tiep-duongtron-noi-tiep.htm 10.http://diendan.hocmai.vn/showthread.php?t=113855 59 [...]... tập 4: Cho tam giác ABC, các đường phân giác của góc trong tại B và C gặp nhau tại S ,các đường thẳng chứa phân giác của hai góc ngoài B và C gặp nhau tại E Chứng minh BSCE là một tứ giác nội tiếp đường tròn 27 Phân tích: A S C B O E Muốn chứng minh tứ giác BSCE nội tiếp ta cần chứng minh: Tứ giác BSCE có tổng hai góc đối bằng 1800 Tức là, muốn chứng minh tứ giác BSCE nội tiếp ta cần chứng minh: = 1800... điểm của các tiếp tuyến của (O) tại A, B là P Qua A, B kẻ dây AC, BD song song với nhau, gọi giao điểm của các dây AD, BC là Q Chứng minh tứ giác AQBP nội tiếp được A P C O Q B D Gợi ý: Để chứng minh tứ giác AQBP nội tiếp (1) Ta có thể chứng minh: + = 1800 (2) Thật vậy, theo giả thiết ta có: = 90o + 90o + ⇒ Tứ giác AOBP nội tiếp ⇒ + = 1800 Vậy để chứng minh (2) ta chứng minh : = (3), chứng minh (3)... dạng toán chứng minh tứ giác nội tiếp 2.2.1 Tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng 1800 a) Phương pháp: 18 D A C B Nếu tứ giác ABCD có: + = 1800 hoặc = 1800 suy ra tứ giác ABCD nội tiếp một đường + tròn D A C B Đặc biệt hóa bài toán: Tứ giác ABCD có: Suy ra: + = 900 = = 900 + 900 = 1800 Vậy tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính BD b) Một số ví dụ Ví dụ 1:.Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường... tứ giác nội tiếp 2 ABCD là tứ giác nội tiếp => 1 = 3 => SM = EM => 2= 1 3 = 3 (nội tiếp cùng chắn cung AB) ( hai góc nội tiếp đường tròn (O) chắn hai cung bằng nhau) CA là tia phân giác của Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông ở A và một điểm D nằm giữa A và B Đường tròn đường kính BD cắt BC tại E Các đường thẳng CD, AE lần lượt cắt đường tròn tại F,G Chứng minh: 30 a) Tam giác ABC đồng dạng với tam giác. .. EFMK là tứ giác Mà nội tiếp Ví dụ 3: Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB.Kẻ tiếp tuyến Bx và lấy hai điểm C và D thuộc nửa đường tròn Các tia AC và AD cắt Bx lần lượt ở E, F (F ở giữa B và E) a) Chứng minh AC.AE không đổi b) Chứng minh = c) Chứng minh rằng CEFD là tứ giác nội tiếp Giải: 21 X E C F D A O B a) C thuộc nửa đường tròn nên: = 900 (nội tiếp chắn nửa đường tròn) = 900 ( Bx là tiếp tuyến)... => DFGE nội tiếp được Cách 2: Ta có thể chứng minh Mà: => 1 + + 1= 2 = 2 = 1800 (hai góc kề bù) 1800 => điều phải chứng minh 26 HS có thể áp dụng phương pháp này để làm các bài tập 54, 58 (SGK Toán 9 tập 2) Bài tập 3: Cho tam giác ABC vuông tại A ( AB< AC ) nội tiếp trong đường tròn tâm I; bán kính r Gọi P là trung điểm của AC; AH là đường cao của tam giác ABC Chứng minh tứ giác APIH nội tiếp được trong... (3), chứng minh (3) có nhiều cách Chẳng hạn: AC // BD (gt) Nên AB = CD => = (cùng bằng số đo cung AB của (O)) => (3) được chứng minh => (2) => (1) đpcm Bài tập 2: Cho điểm A là điểm chính giữa của cung BC từ A kẻ hai dây cung AD và AE bất kỳ, cắt BC tại F và G Chứng minh tứ giác DFGE nội tiếp được 25 Gợi ý: A F G B C D E Cách 1: Để chứng minh tứ giác DFGE nội tiếp ta cần chứng minh + 1 = 1800 Vậy thử xét... 2.1.2 Chứng minh nhiều điểm cùng thuộc một đường tròn a)Phương pháp Để chứng minh nhiều điểm cùng thuộc một đường tròn ta thực hiện theo các bước sau đây: Bước 1: Chọn ra ba điểm, chẳng hạn A1,A2,A3 tạo thành một tam giác nội tiếp Bước 2: Tiếp tục chọn ra ba điểm khác nhau, chẳng hạn A1,A2,A4 tạo thành một tam giác nội tiếp 11 Cứ tiếp tục như trên, ta được các đường tròn ngoại tiếp các tam giác đều chung... tròn 2.1.3 Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác luôn di chuyển trên một đường thẳng cố định a) Phương pháp Để chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác luôn di chuyển trên một đường thẳng cố định ta thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Xác định rõ các yếu tố cố định đã biết 14 Bước 2: Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác liên quan đến đường thẳng cố định Bước 3: Chứng minh tâm đường... 22 Mặt khác: và là hai góc đối của tứ giác CEFD Do đó, CEFD là tứ giác nội tiếp Ví dụ 4: Cho tam giác vuông ở A (AB > AC), đường cao AH Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A, vẽ nửa đường tròn đường kính BH cắt AB tại E Nửa đường tròn đường kính HC cắt AC tại F a) Chứng minh AFHE là hình chữ nhật b) BEFC là tứ giác nội tiếp c) AE.AB = AF.AC d) Chứng minh EF là tiếp tuyến chung của hai nửa đường tròn . “ Các dạng toán chứng minh đa giác nội tiếp . Đề tài đã hệ thống lại các dạng toán về chứng minh đa giác nội tiếp ở bậc trung học cơ sở, cụ thể là các dạng toán chứng minh tam giác nội tiếp, . sinh các dạng toán chứng minh đa giác nội tiếp để học sinh hệ thống được các bài toán và giải toán tốt hơn. Để học sinh thấy được tính thiết thực cũng như các ứng dụng trong chứng minh đa giác. toán về chứng minh đa giác nội tiếp, Các bài toán về chứng minh đa giác nội tiếp rất phong phú, phạm vi nghiên cứu rất rộng. Và đó là một trong những dạng toán được quan tâm nhiều trong các kỳ