PHẦN I: MỞ ĐẦU LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Ngay từ ngồi ghế nhà trường thấy chuyên đề phương trình, bất phương trình chuyên đề xuyên suốt năm học học sinh, toán “Tìm x biết” dành cho học sinh lớp đến việc cụ thể hóa vấn đề phương trình hồn thiện nội dung phương trình đại số cấp hai Đến bậc phổ thông chuyên nghiệp kiến thức phương trình chuyên sâu, đa dạng đồng nghĩa với độ khó khăn phức tạp Đây nội dung quan trọng bắt buộc học sinh phải nắm bắt có kĩ giải cách thành thạo Qua giải phương trình học sinh nắm kiến thức tập hợp, quan hệ thứ tự, tập hợp số… Tuy nhiên vấn đề phương trình lại vấn đề khó, u cầu khơng nắm vững kiến thức bản, mà phải biết vận dụng linh hoạt phương pháp để giải tốn phương trình Đó trở ngại khơng nhỏ khiến cho nhiều học sinh gặp toán giải loại phương trình học tập với học sinh tham gia kì thi học sinh giỏi Hơn nữa, có nhiều dạng phương trình nên việc tập hợp, phân loại, hệ thống khiến cho em gặp khó khăn Bản thân em người giáo viên dạy tốn tương lai muốn hồn thành nhiệm vụ từ sinh viên cần phải biết nỗ lực tìm tịi kiến thức, tổng hợp cho thân kinh nghiệm làm hành trang cho tương lai Từ khó khăn thân học sinh việc học giải phương trình em tìm kiếm tài liệu tổng hợp kiến thức để làm đề tài “ Phân loại số dạng phương trình thường gặp bậc trung học phổ thông phương pháp giải ” mong hình thành kiến thức, tạo tảng giúp cho em học sinh có điều kiện giải Tốn mà khơng bị sai lầm, góp phần đổi nâng cao chất lượng dạy học trường phổ thông MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Giới thiệu phân loại số dạng phương trình thường gặp bậc trung học vận dụng số phương pháp giải phương trình ví dụ cụ thể.Trên sở kinh nghiệm giảng dạy thực tiễn học tập học sinh, cung cấp cho học sinh kiến thức tổng quát loại phương trình đồng thời tìm phương pháp giải số phương trình cách hiệu ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU Các loại phương trình thường gặp bậc trung học phổ thông số phương pháp Thể nhiều học sinh khác nhau: học sinh khá, giỏi học sinh trung bình mơn tốn NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU Đưa số phương trình thường gặp bậc trung học phổ thơng cách giải để từ tổng qt lên dạng đưa phương pháp giải PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU -Phương pháp nghiên cứu lý luận -Phương pháp phân tích, tổng hợp -Phương pháp thống kê, phân loại -Nghiên cứu sách: sách giáo khoa, sách tham khảo phương trình -Tham khảo internet: diendantoanhoc.net; tailieu.vn; vn.math.com; violet.com -Tham khảo ý kiến giáo viên hướng dẫn; giáo viên trường thực tập PHẦN II: NỘI DUNG CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN Để dể dàng việc giải toán người giải phải biết phân dạng, phân tích để khai thác hết giả thiết, điều kiện yêu cầu đề bài, thể loại tốn, để từ định hướng cách giải Đại phận học sinh không hiểu rõ quan trọng cần thiết việc phân tích nhận định hướng giải, nhiều em khơng học lí thuyết mà vận dụng ngay, khơng giải chán nản, bỏ khơng giải giở sách giải chép vv Trong trình học tập tìm hiểu, ta thấy dạng phương trình đa dạng phong phú mà ta phải vận dụng nhiều kĩ biến đổi đại số sử dụng đẳng thức đáng nhớ số đẳng thức mở rộng, dùng phép biến đổi tương đương phép biến đổi đại số, phân tích đa thức thành nhân tử Cơng cụ giải phương trình khơng đồi hỏi cao xa quan trọng học sinh phải n ắm vững kiến thức, phải có lập luận chặt chẽ, phải biết xét đầy đủ khía cạnh, trường hợp cụ thể vấn đề Đặc biệt yêu cầu học sinh khá, giỏi; phải biết sáng tạo, linh hoạt giải phương trình, biết đặc biệt hóa tổng quát hóa vấn đề cần thiết I NGUỒN GỐC SỰ RA ĐỜI CỦA PHƯƠNG TRÌNH Lý thuyết phương trình đại số có lịch sử lâu đời Từ năm 2000 trước Công Nguyên, người Ai Cập biết giải phương trình bậc nhất, người Babylon biết giải phương trình bậc hai tìm bảng đặc biệt để giải phương trình bậc ba.Tất nhiên hệ số phương trình xét số cho cách giải người xưa chứng tỏ họ biết đến quy tắc tổng quát.Trong toán học người Hi Lạp, lý thuyết phương trình đại số phát triển sở hình học, liên quan đến việc phát minh tính vơ ước số đoạn thẳng.Vì lúc đó, người Hi Lạp biết số nguyên dương phân số dương nên họ phương trình x2 = vơ nghiệm Tuy nhiên, phương trình lại giải phạm vi đoạn thẳng nghiệm đường chéo hình vng có cạnh Đến kỷ VII, lý thuyết phương trình bậc bậc hai nhà toán học Ấn Độ phát triển, họ cho đời phương pháp giải phương trình bậc hai cách bổ sung thành bình phương nhị thức Sau đó, người Ấn Độ ứng dụng rộng rãi số âm, số Ả Rập với cách viết theo vị trí chữ số Đến kỷ thứ XVI, nhà toán học La Mã Tartlia (1500 - 1557), Cardano (1501 - 1576) nhà toán học Ferrari (1522 – 1565) giải phương trình bậc ba bậc bốn Đầu kỷ XIX, nhà tốn học người Nauy Henrik Abel cho khơng thể giải phương trình tổng quát bậc ba lớn bốn phương pháp tốn học thơng thường đại số.Khơng lâu sau đó, nhà tốn học người Pháp Évariste Golois hồn tất cơng trình lý thuyết phương trình đại số lồi người II ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH Cho hai hàm số n biến phức x1, x2, , xn f ( x1, x2, , xn ) g ( x1, x2 , , xn ) Ta gọi tập hợp n số phức x = (x1, x2, , xn ) thuộc Cn điểm khơng gian phức n chiều Cn Khi hàm số f ( x1, x2, , xn ) g ( x1, x2 , , xn ) gọi hàm biến f(x), g(x) Cn Trong tốn học, phương trình cách viết thể hai hàm số số giá trị (hoặc khơng có giá trị nào) biến số Viết cách tổng quát phương trình là: f ( x1 , x2 , , xi ) = g (x1 , x2 , , xi ) (1) h( x1 , x2 , , xi ) = (2) Các giá trị biến số hai giá trị hàm số gọi nghiệm số phương trình.Việc tìm nghiệm số phương trình gọi giải phương trình.Nghiệm số, tồn tại, tìm thấy biến đổi toán học biểu diễn hàm toán học tìm thấy dạng số phương pháp số, biểu diễn hàm toán học Cần ý phân biệt phương trình với đẳng thức, thể giá trị hai hàm số với biến số III PHÂN LOẠI PHƯƠNG TRÌNH Tùy theo f(x) g(x) biểu thức tốn học loại mà phương trình gọi tên theo loại Nếu hai biểu thức f(x) g(x) biểu thức đại số (1) phương trình đại số, trường hợp trái lại (1) phương trình siêu việt Nếu hai biểu thức f(x) g(x) biểu thức đại số hữu tỉ (đa thức phân thức hữu tỉ) (1) gọi phương trình đại số hữu tỉ Ðặc biệt, f(x) g(x) đa thức (biểu thức hữu tỉ nguyên) (1) gọi phương trình đa thức phương trình đại số ngun Nếu trái lại, hai biểu thức f(x) g(x) phân thức hữu tỉ thực biểu thức lại đa thức (1) gọi phương trình phân thức Nếu hai biểu thức f(x) g(x) đại số vô tỉ (tức có chứa số ẩn) biểu thức cịn lại hữu tỉ (1) gọi phương trình vơ tỉ Ví dụ: Phương trình đa thức: x2n + xn + = x2 + x + Phương trình phân thức: x-1 = 2x - x +x+1 Phương trình vơ tỉ: IV PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ Cho hàm số f(x), ngồi đối số cịn có chữ số a, b, c … việc khảo sát nghiên cứu, ta xem chữ a, b, c … biết chúng gọi tham số, hay thơng số, hay tham biến Giả sử a = α , b = β , c = γ tập hợp giá trị số chữ a, b, c … Nếu thay giá trị vào hàm số f ta f(x, α , β ,…, γ ) xác định hàm số đối số x α , β ,…, γ gọi hệ thống giá trị thừa nhận tham số Nếu f(x, α , β ,…, γ ) khơng có nghĩa với giá trị số x trường số cho số α , β ,…, γ hệ thống giá trị khơng thừa nhận tham Phương trình f(x, a, b, …,c) với ẩn số x tham số a, b, …, c gọi phương trình chứa tham số Khi có hệ thống giá trị thừa nhận tham số, phương trình trở thành phương trình cụ thể: f(x, α , β ,…, γ ) = với ẩn số x khơng chứa tham số tập nghiệm hồn tồn xác định Giải phương trình chứa tham số xác định tất nghiệm với hệ thống giá trị thừa nhận tham số Ví dụ 1: Các phương trình ax + b = ax2 + bx + c = phương trình chứa tham số a, b, c Các tham số lấy giá trị thực Với hệ thống giá trị (thực bất kỳ, thừa nhận được) tham số, ta phương trình cụ thể giải chúng để tìm tập nghiệm Ví dụ 2: Phương trình ax + x + = chứa tham số a Các giá trị thừa nhận tham số a xác định điều kiện a > Ví dụ 3: Phương trình Chứa tham số a, b Các giá trị thừa nhận tham số xác định cácđiều kiện: Chẳng hạn a = 2, b = giá trị không thừa nhận tham số V PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG Các định nghĩa Để cho gọn, ta viết P1 (x ) , P2 (x ) để hai phương trình hay hai hệ phương trình, tuyển phương trình ẩn hay n ẩn Định nghĩa 1: P2 (x ) gọi hệ P1 (x ) S tập nghiệm M P ( x ) tập tập nghiệm M P2 (x ) M1 ⊆ M Ta kí hiệu P1 (x ) ⇒ P2 (x ) (trên S) Ví dụ P1 ( x ) : − x = x −1; P2 (x ) : x − x − = Ta có M = {2} , M = {− 1, 2}, M ⊂ M , P1 (x ) ⇒ P2 (x ) Định nghĩa 2: Giả sử P1 ( x ), P2 ( x ) hai phương trình ẩn hay n ẩn P1 ( x) P2 ( x) gọi tương đương M = M Nói khác đi, P1 ( x) P2 ( x) tương đương S P1 ( x) P2 ( x) hệ Ta kí hiệu bởi: P1 ( x) ⇔ P2 ( x) P1 ( x) ~ P2 ( x) Ví dụ 1: Các phương trình x2 + = x4 +1 = x n + = (n>3) Trên Q R tương đương ( vơ nghiệm, M = M = M = ∅ ) Nhưng C chúng khơng tương đương M = {± i} ;   (1 ± i ); M = ±     π kπ    π kπ  M = cos +  + i sin + , k = 0,1, ,2n − 1  2n n    2n n   VI CÁC ĐỊNH LÍ VỀ PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG Qúa trình giải phương q trình biến đổi phương trình để đến phương trình đơn giản mà ta dã biết cách giải Nếu phép biến đổi không làm thay đổi tập nghiệm phương trình phương trình cho biến đổi tương đương, làm thay đổi miền xác định phương trình tập hợp nghiệm phương trình cho bị thay đổi Để hiểu rõ ta dựa vào định lí sau Định lí: Cho phương trình f(x) = g(x) Nếu h(x) có nghĩa miền xác định phương trình cho : f(x) = g(x) ⇔ f(x) + h(x) = g(x) + h(x) (1) Chứng minh: Trong (1) cho x giá trị a thuộc miền xác định phương trình f(x) = g(x), ta có : f(a)= g(a) ⇔ f(a)+ h(a) = g(a)+ h(a) mệnh đề ln ln đúng, tính chất đẳng thức.Vậy (1) Hệ 1: Có thể chuyển hạng tử từ vế sang vế phương trình, phải đổi dấu Thật vậy, ta cộng vào hai vế phương trình f(x) + h(x) = g(x) biểu thức –h(x) ta phương trình tương đương f(x) = g(x) – h(x) Phương trình sau biến đổi tương đương từ phương trình trước, cách chuyển h(x) sang vế phải đổi dấu Hệ 2: Mọi phương trình đưa dạng mà vế phải khơng Vì thế, ta ln kí hiệu phương trình F(x) = Định lí Cho phương trình f(x) = g(x) Nếu biểu thức h(x) có nghĩa khác khơng miền xác định phương trình cho f(x) = g(x) ⇔ f(x).h(x) = g(x).h(x) Chứng minh: Tương tự chứng minh định lí Định lí Nếu nâng hai vế phương trình lên lũy thừa bậc lẻ ta phương trình tương đương với phương trình cho ( trường số thực ) Chứng minh: Thật vậy, a nghiệm phương trình f(x) = g(x) (1) tức f(a) = g(a) ta có: [ f (a )]2 k +1 = [g (a )]2 k +1 (2) Nghĩa a nghiệm phương trình: [ f (a )]2k +1 = [g (a )]2 k +1 (3) Đảo lại, a nghiệm phương trình (3), tức đẳng thức (2) ta có f(a) = g(a), a nghiệm phương trình (1) Ví dụ: Phương trình x – = có tập nghiệm M = {5} ; Phương trình (x – 3)2 = 22 có tập nghiệm M = {5,1} KẾT LUẬN CHƯƠNG I Ở chương làm rõ cho ta biết lịch sử hình thành hồn thiện phương trình đồng thời giúp ta biết phương trình , để từ ta phân loại phương trình đưa phương pháp giải phù hợp CHƯƠNG II PHÂN LOẠI MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG GẶP Ở BẬC TRUNG HỌC PHỔ THÔNG VÀ VẬN DỤNG CÁC PHƯƠNG PHÁP VÀO GIẢI TỐN I PHÂN LOẠI MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG GẶP Ở BẬC THPT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 1.1 Định nghĩa: Phương trình bậc tất phương trình có dạng đưa dạng ax + b = ⇔ ax = -b (a ≠ 0) Trong x ẩn số phải tìm, a b biết a, b phụ thuộc tham số hay nhiều tham số 1.2 Phương pháp giải Phương trình có dạng : Nếu , phương trình có nghiệm x = Nếu , phương trình có vơ số nghiệm Nếu , phương trình vơ nghiệm 1.3 Một số ví dụ Ví dụ Giải phương trình: 3x − = Giải 3x − = ⇔ 3x = ⇔ x =3 Vậy nghiệm phương trình Ví dụ Giải phương trình: x =3 −b a ÐK: Xét hàm số: , hàm số đồng biến Xét hàm số: • Miền xác định • Ðạo hàm: Do phương trình (2) có nghiệm nghiệm Thấy x = thỏa mãn phương trình Vậy phương trình có nghiệm x = Bài tập vận dụng Bài Giải phương trình: ( x −1)( x + 1)( x + 3) ( x + 5) = Giải ( x −1)( x +1)( x + 3) ( x + 5) = ⇔ x2 + x − x2 + x + = ( )( ) Đặt t = x2 + x + , ta phương trình t = −1 ( t − 8) t = ⇔ t − 8t − = ⇔  t = - Với t = -1, ta có x + x + = − ⇔ x + x + = ⇔ x = − - Với t = 9, ta có x + x + = ⇔ x2 + x − = ⇔ x2,3 = −2 ± 10 Vậy nghiệm phương trình: x1= -2, x2,3= −2 ± 10 Dạng tổng quát toán là: ( x + a) (a + b) ( x + c) ( x + d ) = m Trong đó: a + b = c + d a + c = b + d a + d = b + c Phương trình dạng: ( x + a ) ( x + d ) ( x + c ) ( x + b ) = mx    Cách giải: ( x + a ) ( x + d )  ( x + c ) ( x + b )  = mx    2 ⇔  x2 + ( a + d ) x + ad   x + ( b + c ) x + bc  = mx    Do x ≠ nên chia hai vế phương trình cho x ta được: ad  bc    x + a + d + x  x + b + c + x  = m     ⇔x+  ad bc   + a + d  x + +b + c = m x x   Đặt ẩn phụ y = x + ad a + d + b + c + x Chuyển phương trình dạng: ( y + α ) ( y − β ) = m Đây dạng phương trình giới thiệu Bài Giải phương trình: x − 3x + = x 3x − (1) Giải Điều kiện: x ≥ (*) Đặt u = x, u ≥ ; v = 3x − , v ≥ Phương trình tương đương: 2u − v2 = u.v Hay 2u − v2 − u.v = (**) Do v = khơng phải nghiệm phương trình nên ta chia hai u u vế phương trình (**) cho v2 ta được:   − −1 =   v v Đặt t = u , t >0 ta phương trình tương đương với: 2t − t −1 = v Giải ta được: t = − (loại); t = Với t = ta có u = , suy u = v hay x = 3x − , bình phương hai vế ta được: v x = x − ⇔ x − 3x + = Giải ta được: x = 1, x = Vậy phương trình (1) có hai nghiệm: x = 1, x = Phương pháp dùng hệ số bất định Giả sử phương trình bậc 4: x4 + ax3 + bx2 + cx + d = có phân tích thành (x2 + a1x + b1)(x2 + a2x + b2) = lúc ta có : a1 + a = a a a + b + b = b  2  a1b + a b1 = c b1b = d  Tiếp theo tiến hành nhẩm nghiệm hệ số a1; b1; a2; b2 Bắt đầu từ b1b2 = d thử với giá trị nghiệm nguyên * Bài tốn: Giải phương trình x4 - 4x3 - 10x2 + 37x - 14 = (1) Giả sử phương trình phân tích thành dạng (x2 + a1x + b1)(x2 + a2x + b2) = a1 + a = − a a + b + b = − 10  2 Ta có:  b1 = -2; b2 = -7; a1 = -5; a2 = a1b + a b1 = 37  b1b = − 14  Phương trình (1) có dạng (x2 - 5x + 2)(x2 + x - 7) = Tiếp tục giải phương trình bậc hai: x2 - 5x + = x2 + x - = ta có nghiệm phương trình (1) là: x1 = + 17 ; x2 = − 17 ; x3 = − 1+ 29 ; x4 = − 1− 29 * Chú ý: Với phương pháp giải với phương trình khơng có nghiệm hữu tỷ Phương pháp dùng bất đẳng thức * Cách giải:Dùng tính chất đơn điệu hàm số khoảng * Bài tốn Giải phương trình: (1) x − + x − =1 Giải: Viết phương trình dạng (1) x − + − x =1 Dễ thấy x = 8; x = nghiệm (1) Xét giá trị lại x + Với x < − x > 1⇒ − x > x −8 >0 Nên vế trái (1) > 1, (1) vô nghiệm + Với x > x − >1⇒ x − >1 9−x >0 Nên giá trị (1) > 1, (1) vô nghiệm + Với < x < < x - < => x − < x − = x − < - x < => − x < − x = − x Nên vế trái (1) nhỏ : x - + - x = 1; (1) Vơ nghiệm Vậy (1) có hai nghiệm: x = 8; x = Bài toán Giải phương trình: Giải: Ta có: • • • Vậy hai vế thì: Kết luận: Nghiệm phương trình Phương pháp đưa hai lũy thừa bậc * Cách giải: Ta thêm bớt hạng tử để xuất đẳng thức thích hợp từ đưa hai vế phương trình lũy thừa bậc Sau vận dụng đẳng thức để giải phương trình * Chú ý: A2n = B2n A = + B A2n - = B2n - A = B * Một số tốn: Bài Giải phương trình: x4 = 24 x + 32 Giải Thêm 4x2 + vào vế (1) (1) x4 + 4x2 + = 4x2 + 24x + 36 (x2 + 2)2 = (2x + 6)2 x + = 2x +   x + = − ( x + 6)  ( 2) (3) Giải (2): x2 + = 2x + x2 - 2x - = ∆’ = + = > phương trình có hai nghiệm x1 = -1 + ; x2 = -1 - Giải (3): x2 + = - 2x - x2 + 2x + = ∆’ = - = -7 < phương trình vơ nghiệm Vậy phương trình (1) có nghiệm : x1 = -1 + Bài Giải phương trình x3 + 3x2 - 3x +1 = Giải x3 = -3x2 + 3x -1 ⇔2x3 = x3 - 3x2 + 3x -1 ⇔ ( x3 ) = ( x −1) (1) ; x2 = -1 - ⇔ x= 1− Vậy phương trình có nghiệm x = 1− Bài Giải phương trình x4 + 8x2 - 8x + 17 = (1) Giải (1) x4 - 8x2+ 16 + 16x2 - 8x + = (x2 - 4)2 + (4x - 1)2 = (2) Vì: ( x − 4) ≥   (4 x −1 ) ≥  x − = Nên (2)  4 x − = x = ±   x =  Vậy phương trình (1) vơ nghiệm Bài Giải phương trình x3 - x2 - x = 1/3 Giải: (1) Nhân hai vế (1) với 3x3 - 3x2 - 3x = 4x3 = x3 + 3x2 + 3x + ( x )3 = (x + 1)3 x = x + ( − ).x = (1) => x = −1 Vậy nghiệm phương trình (1) : x = −1 Phương pháp dùng điều kiện dấu “=” bất đẳng thức khơng chặt * Bài tốn Giải phương trình x − x +1 + x − x − = (1) Giải Ta có: x2 - x + 1=(x-1/2)2 +3/4 > nên (1) x2 - x + + − x + x = − x + x = − x + x Áp dụng bất đẳng thức A ≥ A xảy dấu “=” A ≥ ta có: - x2 + x ≥ (x + 1)(x - 2) ≤ - ≤ x ≤ Vậy nghiệm phương trình giá trị x thỏa mãn: - ≤ x ≤ KẾT LUẬN CHƯƠNG II Ở chương giúp làm rõ dạng phương trình phương pháp giải thường sử dụng giải Toán bậc phổ thông đồng thời cho biết cách phân loại dạng, cách nhìn nhận tốn Hơn phương pháp đưa khơng chương trình mà bao gồm toán nâng cao tập vận dụng để củng cố lại phương pháp đưa KẾT LUẬN Phương pháp dạy học người thầy để học sinh nắm bắt nội dung cần thiết trình nghệ thuật Để giúp học sinh nắm bài, hiểu bài, yêu mơn học, có hứng thú học, say mê với tập khó Thì q trình tích lũy phương pháp giảng người thầy, khơng phải sớm chiều mà có mà phải trình rèn luyện, tìm tịi, đúc kết kinh nghiệm, nghiên cứu đối tượng làm cho học sinh u q mơn học khao khát học tập Trong đề tài em nêu số dạng phương trình thường gặp bậc trung học phổ thông đồng thời phân dạng phương pháp giải, dạng phương pháp có ví dụ minh họa cụ thể Do kinh nghiệm cịn hạn chế nên q trình viết khó tránh khỏi đơn điệu, thiếu sót Nhưng em hi vọng phần đề tài giúp ta tìm hiểu kĩ hơn, sâu hệ thống cho người đọc dạng phương trình phương pháp giải phương trình Bản thân em lần nghiên cứu đề tài này, thông qua nghiên cứu đề tài thân em thực rút nhiều kiến thức q báu, giúp cho em hồn thành tốt cho cơng việc giảng dạy sau Em mong nhận đóng góp ý kiến, bổ sung quý báu thầy cô bạn để vốn kiến thức em ngày hoàn thiện phong phú TÀI LIỆU THAM KHẢO Hàn Liên Hải – Phan Huy Khải – Ðào Ngọc Nam – Nguyễn Ðạo Phương – Lê Tất Tố - Ðặng Quang Viên (2002) Ðại số tốn bồi dưỡng học sinh phổ thơng trung học, nhà xuất Hà Nội Nguyễn Vãn Quý – Nguyễn Tiến Dũng – Nguyễn Việt Hà (1986), phương pháp giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, nhà xuất Ðà Nẵng Vũ Hữu Bình - Nâng cao phát triển toán tập – Nhà xuất giáo dục Việt Nam Giáo trình đại số sơ cấp thực hành giải toán Sách giáo khoa mơn tốn lớp 6, 7, 8, Http//: www.violet.com Http//: www.tailieu.vn MỤC LỤC PHẦN I: MỞ ĐẦU 1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU PHẦN II: NỘI DUNG CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN I NGUỒN GỐC SỰ RA ĐỜI CỦA PHƯƠNG TRÌNH II ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH III PHÂN LOẠI PHƯƠNG TRÌNH IV PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ V PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG VI CÁC ĐỊNH LÍ VỀ PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG Kết luận chương I CHƯƠNG II 10 PHÂN LOẠI MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG GẶP Ở BẬC TRUNG HỌC PHỔ THÔNG VÀ VẬN DỤNG CÁC PHƯƠNG PHÁP VÀO GIẢI TOÁN 10 I PHÂN LOẠI MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG GẶP Ở BẬC THPT 10 PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 10 1.1 Định nghĩa: 10 1.2 Phương pháp giải 10 1.3 Một số ví dụ 10 1.4 Một số tập vận dụng 11 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 12 2.1 Định nghĩa: 12 2.2 Phương pháp giải 14 2.3 Một số ví dụ 14 PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU 22 3.1 Phương pháp giải 22 3.2 Ví dụ 22 PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ 25 4.1 Định nghĩa: 25 4.2 Phương pháp chung 25 4.3 Các định lí tương đương bản: 25 4.4 Các dạng phương trình vô tỉ 25 PHƯƠNG TRÌNH CĨ DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ÐỐI 30 5.1 Phương trình dạng 30 5.2 Phương trình dạng 30 5.3 Phương trình dạng 31 5.4 Phương trình dạng 31 5 Phương trình dạng 32 PHƯƠNG TRÌNH TRÙNG PHƯƠNG 32 6.1 Định nghĩa 32 6.2 Phương pháp giải 32 6.3 Các tập vận dụng 33 PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA, BẬC BỐN 34 7.1 Phương trình bậc ba 34 7.2 Phương trình bậc bốn 335 II Một số phương pháp giải 36 Phương pháp đưa phương trình tích 36 Phương pháp đặt ẩn phụ 38 Phương pháp đồ thị 42 Phương pháp dùng hệ số bất định 46 Phương pháp dùng bất đẳng thức 47 Phương pháp đưa hai lũy thừa bậc 48 Phương pháp dùng điều kiện dấu “=” bất đẳng thức không chặt 51 KẾT LUẬN CHƯƠNG II 52 KẾT LUẬN 53 TÀI LIỆU THAM KHẢO 54 ... PHÂN LOẠI MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG GẶP Ở BẬC TRUNG HỌC PHỔ THÔNG VÀ VẬN DỤNG CÁC PHƯƠNG PHÁP VÀO GIẢI TỐN I PHÂN LOẠI MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG GẶP Ở BẬC THPT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 1.1... thường gặp bậc trung học phổ thông cách giải để từ tổng quát lên dạng đưa phương pháp giải PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU -Phương pháp nghiên cứu lý luận -Phương pháp phân tích, tổng hợp -Phương pháp thống... Các loại phương trình thường gặp bậc trung học phổ thông số phương pháp Thể nhiều học sinh khác nhau: học sinh khá, giỏi học sinh trung bình mơn tốn NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU Đưa số phương trình thường