Dao động tự màng 1) toán tổng quát: dao động màng hình vuông cạnh b toán trở thành tìm nghiệm phương trình '' utt − a (u xx'' + u ''yy ) = (1) thỏa mãn điều kiện đầu u t =0 = f ( x, y ) (2) u' t =0 = F ( x, y ) (3) điều kiện biên u x =0 = u x =b = (4) u y =0 =u y =b = (5) sử dụng phương pháp tách biến furie u " tt = X ( x ) .Y( y ) .T "(t ) u " xx = X "( x ) .Y( y ) .T( t ) u " yy = X ( x ) .Y "( y ) .T(t ) thay vào phương trình (1) ta T "(t ) X ( x ).Y( y ) − a . X "( x ). Y( y )T( t ) − a . X ( x ).Y "( y ) T( t ) = chia hai vế cho a 2T(t ) X ( x ).Y( y ) T "(t ) X "( x ) Y "( y ) = + =λ a 2T( t ) X (x) Y( y ) T "( t ) = λ a 2T(t )   X "( x ) Y "( y )  X + Y =λ ( y)  ( x) (6) (7)  X "( x ) Y" = λ − ( y) Từ (7) ta có  Y( y )  X ( x )  X "( x ) = β X(x)  Y "( y ) ⇔ λ−  Y( y ) = β { X "( x ) − β X ( x ) = Y "( y ) − ( λ − β )Y( y ) = X "( x )   X( x ) =β  Y "( y ) λ− =β  Y ( y )   X "( x ) = β X( x)  Y "( y ) ⇔  λ − Y( y ) = β { X "( x ) − β X ( x ) = Y "( y ) − ( λ − β )Y( y ) = X "( x ) X (x) =λ− Y "( y ) Y( y ) =β Giải phương trình X "( x ) − β X ( x ) = Ngiệm phương trình có dạn: X(x)=Acoscx + Bsincx từ điều kiện biên A cos c.0 + Bsinc.0 = A cos c.0 + Bsinc.0 =0 u x =0 = u x =b = ta có A cos c .b + B sin c.b = A cos c .b + B sin c .b = { {   A =0  A=0 →  sin ↔  c = kπ c .b =  b   Xk(x)=Bsinlπx/b Y "( y ) − ( λ − β )Y( y ) = Giải phương trình Y "( y ) − ( λ − β )Y( y ) = với β= -c2 Đặt λ-β=γ với γ=-δ2 nghiệm phương trình có dạng Y(y)=A1cosδy + A2sinδy Với điều kiện ban đầu u yl(y)=A2sinlπy/b y =0 =u y =b = ta tính δ=lπ/b ta có Giải phương trình T "(t ) = λ a T(t )  l 2π k 2π  T "+ a  + ÷T = b   b Phương trình có nghiệm Tk ,l (t ) = A3cos l + k πa πa t + A4 sin l + k t b b πa π a  kπ x kπ y  uk ,l ( x , y ,t ) = xk ( x ) yl ( y )t =  ak ,l cos l + k t + bk ,l sin l + k t  sin sin b b  b b  u k ,l ( x , y ,t ) = ∞ ∑ k = 0,l =0 kπ x kπ y  2 πa 2 πa   ak ,l cos l + k b t + bk ,l sin l + k b t  sin b sin b từ điều kiện ban đầu ta có u ( x,y,t ) ∞ t =0 ∞ = f ( x, y ) ⇔ f ( x, y ) = ∑∑ ak ,l sin k =0 l =0 kπ x kπ y sin b b Trong ak,l hệ số khai triển chuỗi furie 22 kπ x kπ y = f ( x, y ) sin sin dxdy ∫ ∫ bb00 b b b b ak ,l u'( x,y,t ) ∞ t =0 ∞ = F ( x, y ) ⇔ F ( x, y ) = ∑∑ bk ,l sin k = l =0 kπ x kπ y sin b b 2 kπ x kπ y bk ,l = f ( x , y )sin sin dxdy ∫ ∫ lπ b kπ b 0 b b b b Ví dụ: Tìm nghiệm utt'' − a (u xx'' + u ''yy ) = (1) thỏa mãn điều kiện đầu u t = = f ( x, y ) = Ax t =0 = F ( x, y ) = By (3) điều kiện biên u x =0 =u x =b y =0 =u y =b =0 u' u (2) = (4) (5) sử dụng phương pháp tách biến furie u " tt = X ( x ) .Y( y ) .T "(t ) u " xx = X "( x ) .Y( y ) .T( t ) u " yy = X ( x ) .Y "( y ) .T(t ) thay vào phương trình (1) ta T "(t ) X ( x ).Y( y ) − a . X "( x ). Y( y )T( t ) − a . X ( x ).Y "( y ) T( t ) = chia hai vế cho a 2T(t ) X ( x ).Y( y ) T "(t ) X "( x ) Y "( y ) = + =λ a 2T( t ) X (x) Y( y ) T "( t ) = λ a 2T(t )   X "( x ) Y "( y )  X + Y =λ ( y)  ( x) (6) (7)  X "( x ) Y "( y ) =λ− Từ (7) ta có  Y( y )  X ( x ) X "( x ) X (x) =λ− Y "( y ) Y( y ) =β X "( x )  X ( x ) = β  Y "( y ) ⇔  λ − Y( y ) = β { X "( x ) − β X ( x ) = Y "( y ) − ( λ − β )Y( y ) = X "( x )   X( x ) =β  Y "( y ) λ− =β  Y ( y )   X "( x ) = β X( x)  Y "( y ) ⇔  λ − Y( y ) = β { X "( x ) − β X ( x ) = Y "( y ) − ( λ − β )Y( y ) = Giải phương trình X " − β X = Ngiệm phương trình có dạn: X(x)=Acoscx + Bsincx từ điều kiện biên ( x) u x =0 =u x =b = ta có { ( x) A cos c.0 + Bsinc.0 = A cos c .b + B sin c .b = { A cos c.0 + Bsinc.0 = A cos c .b + B sin c .b =  A=0  A= →  sin c.b =0 ↔  kπ   c= b xk(x)=Bsinlπx/b Giải phương trình Y "( y ) − ( λ − β )Y( y ) = Y "( y ) − ( λ − β )Y( y ) = với β= -c2 Đặt λ-β=γ với γ=-δ2 nghiệm phương trình có dạng Y(y)=A1cosδy + A2sinδy Với điều kiện ban đầu u yl(y)=A2sinlπy/b y =0 =u y =b = ta tính δ=lπ/b ta có Giải phương trình T "(t ) = λ a T(t )  l 2π k 2π  T "+ a  + ÷T = b   b Phương trình có nghiệm Tk ,l (t ) = A3cos l + k πa πa t + A4 sin l + k t b b πa π a  kπ x kπ y  uk ,l ( x , y ,t ) = xk ( x ) yl ( y )t =  ak ,l cos l + k t + bk ,l sin l + k t  sin sin b b  b b  u k ,l ( x , y ,t ) = kπ x kπ y  2 πa 2 πa   ak ,l cos l + k b t + bk ,l sin l + k b t  sin b sin b ∞ ∑ k = 0,l =0 từ điều kiện ban đầu ta có ∞ u ( x,y,t ) t =0 ∞ = f ( x, y ) ⇔ f ( x, y ) = ∑∑ ak ,l sin k =0 l =0 kπ x kπ y sin b b Trong ak,l, hệ số khai triển chuỗi furie 22 kπ x kπ y = f ( x, y ) sin sin dxdy ∫ ∫ bb00 b b b b ak ,l 22 kπ x kπ y 22 kπ x kπ y Ax sin sin dxdy ak ,l = Ax sin sin dxdy tính ∫ ∫ ∫ ∫ bb00 b b bb00 b b b b ak ,l = b I1 = ∫ sin b b kπ y dy b b −b lπ y −b (−1)l − 1 I1 = cos = lπ b lπ  b I = ∫ x sin kπ x dx b b − xb kπ x b kπ x −b I2 = cos + c os dx = (−1) k ∫ kπ b kπ b kπ b 4AI1I Ab = (−1) k [(−1)l − 1] 2 b klπ a k,l = u'( x,y,t ) ∞ t =0 ∞ = F ( x, y ) ⇔ F ( x, y ) = ∑∑ bk ,l sin k = l =0 kπ x kπ y sin b b Trong bk,llà hệ số khai triển chuỗi 2 kπ x kπ y F ( x, y )sin sin dxdy ∫ ∫ lπ b kπ b 0 b b b b bk ,l = b I = ∫ sin kπ x dx b b −b lπ x −b  (−1) k − 1 I3 = cos = kπ b kπ b I = ∫ y sin lπ y dy b b I4 = − yb lπ y b lπ x −b cos + ∫ cos dx = (−1)l lπ b lπ b lπ bk ,l = b 4B Bb I I = 2 (−1)l [( −1) k − 1] 2 klπ b k lπ ∞ ∞  Ab( −1) k l + k π at Bb l + k π at  kπ x lπ y l l k u( x, y ,t ) = ∑∑  [( − 1) − 1] c os + ( − 1) [( − 1) − 1]sin sin  sin 2 b k lπ b b b k = l =0    lkπ Bài toán mở rộng Dao động tự màng hình chữ nhật Dao động cưỡng màng hình chữ nhật utt'' − a (u xx'' + u ''yy ) = g ( x , y ,t ) Bổ sung tần số ωl ,k = l2 + k2 π a gọi tần số riêng màng hình chữ nhật b2 Dao động uk ,l ( x , y ,t ) = (ak ,l cos l2 + k2 l2 + k2 kπ x kπ y π at + b sin π at ) sin sin gọi k ,l 2 b b b b dao động riêng màng điểm màng thực dao đông điều hòa với tần số ωl,k màng dao động ta có hình ảnh màng + đường thẳng song song với trục tọa độ gọi đường nút (l-1;k-1 đường nút) + điểm mà màng lệch cực đại so với trạng thái đứng yên điểm bụng(l.k>=1) có l.k điểm bụng +tần suất âm màng (l,k=1) tần số riêng thấp tần số lại gọi họa âm Hình ảnh đường nút tương ứng với họa âm thấp dao động màng hình vuông có tất đường nút qua tâm màng . Dao động tự do của màng 1) bài toán tổng quát: dao động của màng hình vuông cạnh b bài toán trở thành tìm nghiệm của phương trình '' 2 ''. π ∞ ∞ = =   − + + = − − + − − −       ∑∑ Bài toán mở rộng Dao động tự do của màng hình chữ nhật Dao động cưỡng bức của màng hình chữ nhật '' 2 '' '' ( , ,. riêng của màng hình chữ nhật Dao động 2 2 2 2 , ( , , ) , , 2 2 ( os sin )sin sin k l x y t k l k l l k l k k x k y u a c at b at b b b b π π π π + + = + còn được gọi là dao động riêng của màng