Giải 13 câu ôn tập hàm số phan thức : x2 ; đồ thò (C) x2 1) Khảo sát vẽ đồ thò hàm số trên. Tìm điểm (C) có tọa độ nguyên TXD : D= R\{2} + Tiệm cận: x2 x2 lim = + ; lim = => x =2 tiệm cận đứng x (2) x  x (2) x  Cho hàm số y =   1 x2 x =1 = lim lim x  x  x  1 => y =1 tiệm cận ngang x 4 < ,  x D (x  2) Hàm số nghòch biến (∞;2) ; (2;+∞ ) + Bảng biến thiên : x ∞ y’   y +∞ ∞ + Đồ thò : Đồ thò cắt Ox A(2;0) Đồ thò cắt trục Oy M(0;1) y=1 Nhận I(2;1) làm tâm đối xứng + Viết lại : y= 1+ x2 Điểm M(x;y)  (C) có tọa độ nguyên => số nguyên x2 Các trường hợp xảy :  x2=1 => x=3 ; y= . Điểm M1(3;5)  x2=1 => x= ; y=3. Điểm M2(1;3)  x2=2 => x=4 ; y=3 . Điểm M3(4;3)  x2=2 => x=0 ; y=1 . Điểm M4(0;1)  x2=4 => x=6; y=2 . Điểm M5(6;2)  x2=4 => x=2; y=0 . Điểm M6(2;0) +∞ y 2 O 1 x= + Đạo hàm y’= x Có điểm thuộc đồ thò (C) có tọa nguyên 2) Viết phương trình tiếp tuyến (C), tiếp tuyến qua K(6;5) + Gọi k hệ số góc tiếp tuyến qua K. Phương trình : y= k(x+6)+5 (d) x   x   k(x  6)  (1) + Đường thẳng (d) tiếp tuyến (C)  4  k (2)  (x  2) x2 4 Thay (2) vào (1) ta có : = (x+6) +5 ( đk x≠ 2) x  (x  2) x24 =4(x+6)+5(x2)2 x2 4 = 4x 24+5x2 20x +20 4x224x=0 x =  x=6 Khi x=0 k = 1 x=6 k=  Có hai tiếp tuyến qua K :  y =(x+6)+5 y= x1 1  y= (x+6)+5 y=  x+ 4 3) Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y=4x+3 . Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng y=4x+3 => hệ số góc tiếp tuyến k= 4 + Giải pt : y’=4 4 =4 (x2)2 =1 x=1  x=3 (x  2) => hai điểm tương ứng : M1(1;3) ; M2(3;5) Suy có tiếp tuyến thỏa đk đề : y= 4(x1)3  y= 4(x3)+5 4) Cho  : y= x3m . Chứng minh  cắt (C) điểm A, B . Tìm m để AB ngắn + Phương trình hoành độ giao điểm : x2 =x3m (*) x2 Điều kiện : x≠ Pt (*) x+2 = (x3m)(x2) x2 (3m+3).x +6m2=0 (1) Ta có  = (3m+3)2 4(6m2) =9m2 +18m +924m+8=9m26m+17 =(3m1)2 +16 > , m Vậy phương trình (1) có nghiệm phân biệt  Giả sử hai nghiệm x1 ; x2 nghiệm pt(1) x  x  3m  đònh lý Viét :  A(x1; x13m) ; B(x2; x23m) x1.x  6m   AB= = (x  x1 )2  (x  3m  x1  3m) = 2(x  x1 )2  8x1x =   = 9m  6m  17 = ABmin = 2(x  x1 )2 2.  3m  3   6m    (3m  1)2  16   32 3m1 =0 m = 32 5) Chứng minh : 2y” +y.y’y’= + Đạo hàm cấp 1: y’= (x  2) (x  2)3 4 x2 Ta có VT =2. + ( )+ (x  2) x  (x  2) (x  2) 4(x  2)  4(x  2) 16 = + =0 (x  2) (x  2)3 Đạo hàm cấp hai : y”= VT = VP ( đpcm) 6) Tiếp tuyến điểm M(x0;y0)  (C) , cắt tiệm cận điểm P, Q . Chứng minh M trung điểm PQ. + Đạo hàm y’= (x  2)2 Tiếp tuyến điểm M(x0;y0)  (C) có dạng : x 2 y=  (xx0) + ( x0  2) (x  2) x0  + Tiếp tuyến cắt TCĐ : x=2 x 2 x  x0  4 => yP = (2x0) + = + = (x  2) x0  x0  x0  x0  x 6 điểm P(2; ) x0  +Tiếp tuyến cắt TCN : y=1 x 2 => 1= (xQx0) + (x  2) x0  4x x 2 x = + 1 Q (x  2) (x  2) x  4xQ = 4x0 + x 20 4 ( x 20 4x0 +4) xQ = 2x0 2 Vậy Q(2x0 2;1) Mà : xP  xQ =  2x  =x0 x0  1 y P  yQ x  2x  x  = = = 2 2(x  2) x  Suy M trung điểm PQ 7) Tìm hai điểm M, N thuộc hai nhánh đồ thò (C) cho MN ngắn . + Viết lại hàm số y= 1+ . x2 Hai nhánh đồ thò ngăn cách tiệm cận đứng x =2 + Gọi M thuộc nhánh phải M(2+a; 1+ ) , a N thuộc nhánh trái N(2b;1 ) với a, b > b 4 4 Độ dài MN= (2  b   a)2  (1    )2 = (b  a)  (  )2 b a b a 16 16 32 16 16 32 MN= a  b  2ab    = (a  )  (b2  )  (2ab  ) ab ab b a a b  a2. 16 16 32  2. b .  2. 2ab. =   16 = 32 ab a b  16 a  a  16  MNmin = 32 b2   a=b=2. b   32 2ab  ab  Vậy M(4;3) N(0 ;1) 8) Tìm điểm đồ thò (C) cách hai trục tọa độ . + điểm M(x;y)  (C) cách hai trục tọa độ tức : d(M;Ox) = d(M;Oy) y M = x M x  x   x   x   x  x    17 x   .   17 x   Hai điểm : M1(  x   x  2x   x    x  2x x2 =x x2  x  3x     x  x   0(VN)  17  17  17  17 ; ); M2( ; ) 2 2 9) Chứng minh tích số khoảng cách từ điểm M(x0;y0)  (C) đến hai tiệm cận số không đổi . ; x≠1 x2 + Tiệm cận đứng : x=2 ; Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng : d1= d(M;TCĐ)= x  M(x;y)  (C) y= 1+ + Tiệm cận ngang : y=1 ; Khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang : 4 d2= d(M;TCN)= y  =  1 = x 2 x2 + Tích hai khoảng cách : d1.d2 = x  . =4 ( số ) x2 10) Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết tiếp tuyến cắt Ox, Oy hai điểm A, B cho  OAB cân O. => tiếp tuyến song song với đường thẳng y=  x => hệ số góc k=  TH1: k=1 . 4 Phương trình : y’= k =1 (x2)2 =4 ( vô nghiệm) (x  2) TH2: k=1 4 Phương trình:y’= k =1 (x2)2 =4 x=0  x=4 (x  2)  Tại điểm M1(0;1) . Phương trình tiếp tuyến : y=x1  Tại điểm M2(4;3) . Phương trình tiếp tuyến : y=(x4)+ 3 y= x+ 11) Tính diện tích hình phẳng (H) giới hạn (C) hai trục tọa độ x2  y  x  x2 + Hình phẳng :  y  . Pt : =0 x=2 x2 x    + Diện tích hình phẳng cần tìm : S=  2 =  (1  2 ).dx =(x4ln x  ) x2 x2 x2 .dx =  .dx x2 x  2 2 =04ln2 +(2+4ln4)=4ln2 2 12) Cho hình (H) quay quanh trục Ox tính thể tích khối tròn xoay tạo thành . x2  y  x  +Hình phẳng :  y  quay quanh Ox x    0   16   x2  + V=   .dx =    .dx =      .dx   x 2  x2 x  (x  2)2  2  2  2  16 ) =(0+8ln2+8) (2+8ln4+4) x  2 =(68ln2) (đvtt) 13) Cho hình (H) quay quanh trục Oy tính thể tích khối tròn xoay tạo thành : 2y  x2 y => yx2y =x+2 x= x2 y 1 = (x +8ln x   2y   x  y  +Hình phẳng :  y  quay quanh Oy x    Pt : 2y  =0 y=1 y 1 2 0   2y     16 16   + V=   .dx =  .dx =        y 1    y   y  12  .dx y    1  1 1  16 ) =(0+16ln1+16) (4+16ln2+8) y  1 =(1216ln2) ( đvtt)  = (4x +16ln y   .  1 4 x+ 7 2 3) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y=4x+3 . Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng y=4x+3 => hệ số góc của tiếp tuyến k= 4. tiếp tuyến cắt Ox, Oy lần lượt tại hai điểm A, B sao cho  OAB cân tại O. => tiếp tuyến song song với đường thẳng y=  x => hệ số góc k=  1 TH1: k=1 . Phương trình : y’= k <=>. Giải 13 câu ôn tập hàm số phan thức : Cho hàm số y = x 2 x 2   ; đồ thò (C) 1) Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số trên. Tìm