CHỦ ĐỀ TỰ CHỌN QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN I. TÓM TẮT VÀ BỔ SUNG KIẾN THỨC A. PHÉP TOÁN VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN: 1. Các quy tắc cần nhớ: a. Quy tắc ba điểm uuur uuur uuur uuur uuur uuur Với ba điểm A, B, C ta có AB + BC = AC AC = BC − BA b. Quy tắc hình bình hành uuur uuur uuur Với hình bình hành ABCD ta có: AC = AB + AD c. Quy tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ với AB, AD, AA’ ba cạnh có chung đỉnh A uuuur uuur uuur uuur AC’ đường chéo, ta có AC ' = AB + AD + AA ' D C b a A B a + b + c C' D' c B' A' Hình 6.1 2. Điều kiện đồng phẳng ba vectơ không gian • • • Ba vectơ gọi dồng phẳng giá chúng song song với mặt phẳng r r r r r Cho hai vectơ a, b không phương. Ba vectơ a, b, c đồng phẳng r r r có cặp số m, n cho c = ma + nb r r r r Cho a, b, c ba vectơ không đồng phẳng. Với vectơ x r r r r không gian ta tìm ba số m, n, p cho x = ma + mb + pc B. QUAN HỆ VUÔNG GÓC: 3.Góc hai đường thẳng. Hai đường thẳng vuông góc • • Góc hai đường thẳng a b không gian góc hai đường thẳng a’ b’ qua điểm O song song với a b. r α góc hai đường thẳng a b ta luôn có α ≤ 900. Nếu u vectơ r r phương đường thẳng a v vectơ phương đường thẳng b ( u http://kinhhoa.violet.vn VŨ NGỌC VINH CHỦ ĐỀ TỰ CHỌN r , v )=α góc hai đường thẳng a, b α α ≤ 900 1800 – α α > 900. • Hai đường thẳng gọi vuông góc với góc chúng 900. 4. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: • Nếu đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt thuộc mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ấy. • Nếu đường thẳng mặt phẳng không chứa đường thẳng vuông góc với đường thẳng khác chúng song song vớ nhau. • Định lý ba đường vuông góc. - Cho đường thẳng a nằm mặt phẳng (α). Gọi b đường thẳng không thuộc (α) đồng thời không vuông góc với (α) b’ hình chiếu vuông góc b (α). Khi a vuông góc với b a vuông góc với b’. - Cho đường thẳng d cắt mặt phẳng (α) O d không vuông góc với (α). Góc đường thẳng d mặt phẳng (α) góc tạo đường thẳng d hình chiếu d’ d (α). - Khi d vuông góc với mặt phẳng (α) ta nói góc d (α) bắng 900. 5. Hai mặt phẳng vuông góc: • Hai mặt phẳng gọi vuông góc với góc hai mặt phẳng 900. • Điều kiện cần đủ để hai mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng chứa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia. • Nếu hai mặt phẳng cắt vuông góc với mặt phẳng thứ ba giao tuyến chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba đó. 6. Khoảng cách Cho hai đường thẳng chéo a b. Đường vuông góc chung chúng cắt a A, cắt b B. Ta nói khoảng cách hai đường thẳng a b khoảng cách A B . http://kinhhoa.violet.vn VŨ NGỌC VINH CHỦ ĐỀ TỰ CHỌN II. RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TOÁN: 1. Chứng minh đẳng thức vectơ * Sử dụng quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành, quy tắc hình hộp để biến đổi vế thành vế Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Chứng minh rằng: uur uuur uur uuur a. SA + SC = SB + SD uur2 uuur2 uur2 uuur2 b. SA + SC = SB + SD Giải uur uuur uuur a. Gọi O tâm hình chữ nhật. Vì OA – OC nên: SA + SC = SO uur uuur uuur Vì OB = OD nên SB + SD = 2SO uur uuur uur uuur So sánh (1) (2) ta suy SA + SC = SB + SD b. Ta có: uur uuur uuur uuur2 uuur2 uuur uuur SA = ( SO + OA) = SO + OA + 2SO.OA uuur uuur r Mà OA + OC = nên uur2 uuur2 uuur2 uuur2 uuur2 SA + SC = SO + OA + OC uur2 uuur2 uuur2 uuur2 uuur2 Tương tự ta có: SB + SD = 2SO + OB + OD Vì ABCD hình chữ nhật nên ta có uuur uuur uuur uuur OA = OB = OC = OD (1) (2) S B C O A D Hình 6.2 uur2 uuur2 uur2 uuur2 Từ suy SA + SC = SB + SD Bài 2: Cho tứ diện ABCD. Gọi M N trung điểm AB CD, G trung điểm đoạn MN. Chứng minh rằng: uuur uuur uuur uuur uuuur a. AD + BC = AC + BD = 2MN uuur uuur uuur uuur r b. GA + GB + GC + GD = A uuur uuur uuur uuur uuur c. PA + PB + PC + PD = PG với P điểm bất kì. Giải: uuuur uuur uuur uuur a. Ta có: MN = MA + AD + DN uuuur uuur uuur uuur MN = MB + BC + CN uuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur Suy ra: MN = ( MA + MB ) + AD + BC + ( DN + CN ) uuur uuur uuur uuur r uuuur uuur uuur Vì MA + MB = DN + CN = nên 2MN = AD + BC http://kinhhoa.violet.vn M G B D N C Hình 6.3 VŨ NGỌC VINH CHỦ ĐỀ TỰ CHỌN uuur uuur uuur uuur uuuur Ta suy ra: AD + BC = AC + BD = 2MN uuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuuur uuur r uuur uuur uuur r b. Vì GA + GB = 2GM , GC + GD = 2GN , GM + GN = nên GA + GB + GC = c. Với điểm P bất kì, từ kết ta có: uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur r ( PA − PG ) + ( PB − PG ) + ( PC − PG ) + ( PD − PG ) = uuur uuur uuur uuur uuur Do đó: PA + PB + PC + PD = PG rrr 2. Chứng minh ba vectơ a, b, c đồng phẳng rrr * Chứng minh vectơ a, b, c có giá song với mặt phẳng. r r r r r Chứng minh có cặp số m, n cho c = ma + nb với a b không phương Bài 3: Cho hình tứ diện ABCD. Gọi P Q trung điểm cạnh AB CD. Trên cạnh AC BD ta lấy điểm M,N cho uuur uuuur uuur AM BN = = k ( k > 0) . Chứng minh ba vectơ PQ, PM , PN đồng phẳng. AC BD Giải: A Vì Q trung điểm cạnh DC nên ta có: uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur PQ = ( PC + PD ) = [( AC − AP ) + ( BD − BP ) P 2 uuur uuur uuur uuur = [( AC + BD) − ( AP + BP )] G B uuur uuur uuur r uuur uuur r Vì AP + BP = nên PQ = ( AC + BD ) − M uuur uuuur uuur uuur C Theo giả thiết ta có AC = AM BD = BN Hình 6.4 k k uuur uuuur uuur ( AM + BN ) Do PQ = 2k uuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuuur ( AP + PM + BP + PN ) Vì: AM = AP + PM BN = BP + PN nên PQ = 2k uuur uuuur uuur PM + PN Vậy: PQ = 2k 2k uuur uuuur uuur Từ hệ thức ta suy ba vectơ PQ, PM , PN đồng phẳng. Bài 4: Trong không gian cho tam giác ABC. a. Chứng minh điểm M thuộc mặt phẳng (ABC) với điểm O x + y + z = b. Ngược lại có điểm O không gian cho x + y + z = điểm M thuộc mặt phẳng (ABC). Giải http://kinhhoa.violet.vn N Q uuuur uuur uuur uuur OM = xOA + yOB + zOC uuuur uuur uuur uuur OM = xOA + yOB + zOC VŨ NGỌC VINH D CHỦ ĐỀ TỰ CHỌN uuur uuur a. Vì AB, AC hai vectơ không phương nên điểm M thuộc mặt phẳng (ABC) khi: uuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuur AM = m AB + n AC hay OM − OA = m(OB − OA) + n(OC − OA) uuuur uuur uuur uuur với điểm O tuỳ ý, tức OM = (1 − m − n)OA + mOB + nOC uuuur uuur uuur uuur Đặt – m – n = x, m = y, n = z thì: OM = xOA + yOB + zOC với x + y + z = uuuur uuur uuur uuur b. Ngược lại có điểm O cho OM = xOA + yOB + zOC với x + y + z = uuuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuur OM = (1 − y − z )OA + yOB + zOC hay OM − OA = y AB + z AC uuuur uuur uuur Từ suy : AM = y AB + z AC . Do điểm M thuộc mặt phẳng (ABC) 3. Ứng dụng tích vô hướng: Bài 5:Cho tứ diện ABCD có hai cặp cạnh đối diện AB CD, AC DB vuông góc với nhau. Chứng minh cặp cạnh đối diện lại AD BC vuông góc với nhau. Giải: Trước hết tà cần chứng minh hệ thức sau đây: uuur uuur uuur uuur uuur uuur AB.CD + AC.DB + AD.BC = Ta có: uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur AB.CD = AB.( AD − AC ) = AB. AD − AB.AC (1) uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur AC.DB = AC.( AB − AD ) = AC. AB − AC. AD (2) uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur AD.BC = AD.( AC − AB ) = AD. AC − AD. AB (3) uuur uuur uuur uuur uuur uuur Từ (1), (2), (3) ta suy AB.CD + AC.DB + AD.BC = uuur uuur uuur uuur Do đó, AB⊥CD nghĩa AB.CD = AC ⊥ DB nghĩa AC.DB = từ hệ thức uuur uuur (4) ta suy AD.BC = nghĩa AD ⊥ BC. A A D B B A C C Hình 6.5 Cách khác: Hình 6.6 Gọi H hình chiếu vuông góc đỉnh A mặt phẳng (BCD), ta có AH ⊥(BCD). Do CD ⊥ AH. Theo giả thiết CD ⊥ AB, ta suy CD ⊥(AHB). Vậy CD ⊥ BH. Tương tự, theo giả thiết BD⊥AC, ta suy BD⊥(ACH), BD⊥ CH. Vậy H trực tâm tam giác BCD tức DH⊥BC. Do BC ⊥ (ADH) nên ta suy BC⊥AD. 4. Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: http://kinhhoa.violet.vn D H D B H I C Hình 6.7 VŨ NGỌC VINH CHỦ ĐỀ TỰ CHỌN * Muốn chứng minh đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (α) ta chứng minh : - d vuông góc với hai đường thẳng cắt nằm (α) - d song song với đường thẳng d’ mà d’ vuông góc với (α) - d vuông góc với (β) mà (β) // (α) Bài 6: Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC DBC hai tam giác cân có chung đáy BC. a. Chứng minh BC ⊥ AD. b. Xác định hình chiếu vuông góc điểm A lên mặt phẳng (BCD). Giải: a. Gọi I trung điểm BC, ta có BC ⊥ AI BC ⊥ DI Do BC ⊥ (ADI) suy BC ⊥ AD. b. Mặt phẳng (BCD) chứa đường thẳng BC⊥(ADI) nên (BCD) ⊥ (ADI). Ta có DI giao tuyến hai mặt phẳng (BCD) (ADI) vuông góc với C nên hình chiếu vuông góc H đỉnh A phải nằm giao tuyến DI hai mặt phẳng đó. Trong mặt phẳng (ADI), ta vẽ AH ⊥ DI H hình chiếu vuông góc đỉnh A lên mặt phẳng (BCD). B Bài 7: Cho tam giác ABC. Gọi (α) mặt phẳng vuông góc A với đường thẳng CA A (β) mặt phẳng vuông góc với d β đường thẳng CB B. α a. Chứng minh hai mặt phẳng (α) (β) cắt nhau. b. Gọi d giao tuyến (α) (β). Chứng minh d ⊥ Hình 6.8 (ABC). Giải: a. Theo giả thiết CA ⊥ (α) CB ⊥ (β) nên góc hai mặt phẳng (α) (β) góc ·ACB tam giác ABC cho góc 1800 - ·ACB . Do ta suy hai mặt phẳng (α) (β) phải cắt nhau. b. Vậy (α) (β) phải cắt theo giao tuyến d. Ta cần chứng minh d ⊥ (ABC). Vì CA ⊥(α) d thuộc (α) nên CA ⊥ d. Tương tự, CB ⊥ (β) d thuộc (β) nên CB⊥d. Do đó, d ⊥ CA d ⊥ CB nên ta suy d ⊥ (ABC). S 5. Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc Bài 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a có cạnh bên SA = SB = SC = a. Chứng minh: a. Mặt phẳng (SBD) vuông góc với mặt phẳng (ABCD). b. Tam giác SBD vuông S Giải a. ABCD hình thoi nên có AC ⊥ BD O. Mặt khác SA = SC nên có AC ⊥ SO. Vậy AC ⊥ (SBD). Mặt phẳng (ABCD) chứa AC ⊥ (SBD) nên (ABCD) ⊥ (SBD). http://kinhhoa.violet.vn a a B C A O Hình 6.9 D a VŨ NGỌC VINH CHỦ ĐỀ TỰ CHỌN b. Ta có: ∆SAC = ∆BAC (c – c – c) mà OA = OC nên SO = BO. Mặt khác BO = DO nên SO=OB=OD. Ta suy tam giác SBD vuông S. Bài 9: Hình chóp S.ABC có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H K trực tâm tam giác ABC SBC. a. Chứng minh rằNG (SAC) ⊥ (BHK) (SBC) ⊥ (BHK) S b. Tính diện tích tam giác ABC biết tam giác SBC có SB = 15cm, SC = 14cm, BC = 13cm có góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) 300. Giải: K a. Gọi A’ giao điểm AH BC. Ta có BC⊥AA’ BC⊥SA A suy BC⊥(SAA’). Do BC⊥SA’. H A' Vậy SA’ qua K K trực tâm tam giác SBC. Hình 6.10 C Vì BH ⊥ AC BH ⊥ SA suy BH ⊥ (SAC) BH ⊥ SC  Do  ⇒ SC ⊥ ( BHK ) BK ⊥ SC  B (SAC) ⊥ (BHK) BC ⊥ (SAA’) BC ⊥ HK; SC ⊥ (BHK) SC ⊥ HK. Từ suy HK ⊥ (SBC) (BHK) ⊥ (SBC) b. Gọi SSBC diện tích tam giác SBC. Theo công thức Hê – rông, ta có: S SBC = p ( p − a )( p − b)( p − c ) p = ½ (13+14+15) = 21 Vậy: Do S SBC = 21(21 − 13)(21 − 14)(21 − 15) = 84(cm ) Ta có tam giác ABC hình chiếu vuông góc tam giác SBC mặt phẳng (ABC). Áp dụng công thức S’ = S cosϕ ϕ = 300 góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) ta có: SABC = S’ = 84.cos300 = 42 (cm2) 6. Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng đến mặt phẳng B O Bài 10: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. a. Chứng minh khoảng cách từ điểm B, C, D, A’, B’, A D D’ đến đường chéo AC’ nhau. Hãy tính khoảng cách đó. I b. Tính khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng (A’BD) hình lập phương. B' Giải: a. ABC’ tam giác vuông B, khoảng cách từ B đến A' D' Hình 6.11 AC’ độ dài đường cao BI kẻ từ B xuống AC’. Vì ∆ABC’ vuông B nên ta có: 1 1 2a a = + = + ⇒ BI = ⇒ BI = 2 2 BI AB BC a 2a 3 http://kinhhoa.violet.vn VŨ NGỌC VINH C C' CHỦ ĐỀ TỰ CHỌN Lập luận tương tự điểm lại ta chứng minh khoảng cách từ điểm đến đường chéo AC’ nhau. b. Điểm A cách ba đỉnh tam giác A’BD ta có AB = AD = AA’ = a. Điểm C’ cách ba đỉnh tam giác A’BD ta có C’B=C’D=C’A=a . Vậy AC’ trục đường tròn ngoại tiếp tam giác A’BD, AC’ ⊥ (A’BD) trọng tâm I ∆A’BD. Ta cần tính AI. Vì A’I = BI = DI = A’O với O tâm hình vuông ABCD. Ta có: 3 a a A’I = A ' O = =a = 2 3 Xét tam giác vuông AA’I, ta có: A ' O = BD A a 6 a ⇒ AI = AI2 AA’2 – A’I2 = a2 -  ÷ ÷   H E a F O Vậy AI = K I 7. Tính khoảng cách hai đường thẳng chéo a B Hình 6.12 b * Tính khoảng cách a mặt phẳng (α) chứa b (α) // a Tính khoảng cách hai mặt phẳng song song chứa a b Bài 11: Cho hình tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi vuông góc với OA=OB=OC=a. Gọi I trung điểm cạnh BC. Tìm khoảng cách AI OC đồng thời xác định đường vuông góc chung hai đường thẳng đó. Giải: Ta có OC ⊥ (AOB). Gọi K trung điểm OB, ta có hình chiếu AI lên (AOB) AK (vì IK ⊥ (AOB)). Vẽ OH ⊥ AK. Dựng HE// OC c8át AI E. Dựng EF // OH c8át OC F. Khi EF đường vuông góc chung AI OC. Độ dài đoạn EF khoảng cách AI OC. Xét tam giác vuông AOK ta có: 1 1 = + = 2+ = 2 2 OH OA OK a a a . Do đó: OH2 = a ⇒ OH = a 5  ÷ 2 Vì OH = EF, ta suy khoảng cáhc EF = OH = a 5 III. BÀI TẬP: 1. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ uuur uuuur uuuur uuuur a. Chứng minh AA ' + AC ' = AB ' + AD ' uuur uuur uuuur uuuuur r b. Chứng minh: AB + BC + CD ' + D ' A ' = http://kinhhoa.violet.vn VŨ NGỌC VINH C CHỦ ĐỀ TỰ CHỌN 2. Cho tứ diện ABCD. Gọi M N trung điểm cạnh AB CD. Trên uuur uuur uuur uuur cạnh AD BC ta lấy điểm P Q cho PA = −3PD, QB = −3QC . uuuur uuur uuuur Chứng minh ba vectơ MN , MP, MQ đồng phẳng. 3. Hai tam giác ABC ABD có chung cạnh AB nằm hai mặt phẳng khác nhau. Gọi M, N, P, Q trung điểm cạnh AC, BC, BD, DA. Chứng minh tứ giác MNPQ hình chữ nhật. 4. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Chứng minh đường thẳng AC’ vuông góc với đường thẳng BD, DA’. 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD); gọi H K hình chiếu vuông góc điểm A lên SB SD. Chứng minh SC ⊥ (AHK) HK ⊥ (SAC) 6. Hình chóp S. ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Chứng minh (SCD) ⊥ (SAD) (SBC) ⊥ (SAB). 7. Cho tứ diện ABCD có AB = 7cm, AC = 8cm, BC = 5cm. Cạnh AD = cm AD vuông góc với mặt phẳng (ABC). Tính khoảng cách hai đường thẳng a. SB AD b. BD SC http://kinhhoa.violet.vn VŨ NGỌC VINH . không vuông góc với (α) và b’ là hình chiếu vuông góc của b trên (α). Khi đó a vuông góc với b khi và chỉ khi a vuông góc với b’. - Cho đường thẳng d cắt mặt phẳng (α) tại O và d không vuông góc. vectơ x r nào trong không gian ta đều tìm được một bộ ba số m, n, p sao cho x ma mb pc= + + r r r r B. QUAN HỆ VUÔNG GÓC: 3 .Góc giữa hai đường thẳng. Hai đường thẳng vuông góc • Góc giữa hai. CHỦ ĐỀ TỰ CHỌN 6 QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN I. TÓM TẮT VÀ BỔ SUNG KIẾN THỨC A. PHÉP TOÁN VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN: 1. Các quy tắc cần nhớ: a. Quy tắc ba