Đồ án Toán TỔNG LIÊN ĐOÀN LAO ĐỘNG VIỆT NAM TRƢỜNG ĐẠI HỌC TÔN ĐỨC THẮNG KHOA TOÁN – THỐNG KÊ ĐỒ ÁN TOÁN TÊN ĐỀ TÀI: - GIẢI GẦN ĐÚNG NGHIỆM CỦA HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH VÀ CÁC PHƢƠNG PHÁP NỘI SUY HÀM SỐ BẰNG NGÔN NGỮ C++ Giảng viên hƣớng dẫn: ThS. LÊ TRUNG NGHĨA Sinh viên thực hiện: ĐẶNG NGỌC ĐỨC MS: C1201002 LỚP: 120C0101 PHẠM THANH TÂM MS: C1201104 LỚP: 120C0101 NIÊN KHÓA: 2012 - 2016 TP. Hồ Chí Minh, tháng 11 năm 2014 Đồ án Toán TỔNG LIÊN ĐOÀN LAO ĐỘNG VIỆT NAM TRƢỜNG ĐẠI HỌC TÔN ĐỨC THẮNG KHOA TOÁN – THỐNG KÊ ĐỒ ÁN TOÁN TÊN ĐỀ TÀI - GIẢI GẦN ĐÚNG NGHIỆM HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH VÀ CÁC PHƢƠNG PHÁP NỘI SUY HÀM SỐ BẰNG NGÔN NGỬ C++ Giảng viên hƣớngdẫn: ThS. LÊ TRUNG NGHĨA Sinh viên thực hiện: ĐẶNG NGỌC ĐỨC MS: C1201002 LỚP: 120C0101 PHẠM THANH TÂM MS: C1201104 LỚP: 120C0101 NIÊN KHÓA: 2012 - 2016 TP. Hồ Chí Minh, tháng 11 năm 2014 Đồ án Toán NHẬN XÉT CỦA GIẢNG VIÊN HƢỚNG DẪN Đồ án Toán LỜI CẢM ƠN Trong trình thực đề tài đồ án chúng em nhận đƣợc nhiều giúp đỡ từ thầy cô khoa Toán – Thống kê, Trƣờng Đại học Tôn Đức Thắng. Các thầy cô hƣớng dẫn tận tình bảo kinh nghiệm quý báu. Trong trình học tập chúng em không ngừng học tập, với giúp đỡ bạn bè mà chúng em hoàn thành đề tài đồ án nhƣ mong muốn này. Nay chúng em xin đƣợc gởi lời cảm ơn đến thầy cô đặc biệt thầy Lê Trung Nghĩa - ngƣời hƣớng dẫn tận tình, tạo điều kiện tốt cho chúng em để hoàn thành tốt báo cáo này. Nhóm chúng em xin đƣợc gởi lời cảm ơn đến gia đình bạn bè động viên khuyến khích lúc khó khăn nhất. Một lần chúng em xin chân thành cảm ơn! Chúc tất ngƣời sức khỏe thành công! Đồ án Toán LỜI NÓI ĐẦU Trong báo cáo này, chúng em xin trình bày hai phần: Phần 1: Đối với hệ phƣơng trình, có cách giải tìm nghiệm xác nó. Ngƣời ta xây dựng cách tính nghiệm xác thông qua công thức Cramer. Tuy nhiên gặp hệ phƣơng trình có số ẩn lớn việc áp dụng công thức Cramer không đơn giản. Để giải vấn đề ngƣời ta xây dựng công thức khác Gauss phƣơng pháp lặp Seidel. Phƣơng pháp làm giảm đƣợc số lƣợng phép tính đáng kể so với phƣơng pháp Cramer với độ xác theo mức độ từ thấp đến cao. Vì phần này, chúng em trình bày nội dung “GIẢI GẦN ĐÚNG HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH BẰNG CÁC PHƢƠNG PHÁP GAUSS, LẶP SEIDEL”. Phần 2: Trong toán học, ta thƣờng gặp toán liên quan đến khảo sát tính giá trị hàm f(x) đó. Tuy nhiên thực tế có trƣờng hợp ta không xác định đƣợc biểu thức hàm f(x) mà nhận đƣợc giá trị f(xi) rời rạc điểm nút xi tƣơng ứng. Vấn đề đặt ta tính đƣợc giá trị hàm f(x) điểm lại. Để giải vấn đề ngƣời ta xây dựng hàm φ(xi) = yi = f(xi) với ( i = 0,1,…,n ) φ(x) ≈ f(x) với x ϵ [a;b] x ≠ xi. ta xây dựng hàm φ(x) gọi toán nội suy. Ngoài phƣơng pháp bình phƣơng tối thiểu đƣợc dùng để lặp công thức thực nghiệm. Khi tìm mối liên hệ hai đại lƣợng x y phải tiến hành thí nghiệm quan sát, đo đạc. Rồi dựa vào liệu thu đƣợc, ta lập mối liên hệ hàm số y = f(x) cụ thể gọi lập công thức thực nghiệm. Nói chung việc tìm hàm f(x) gần đúng. Việc tìm hàm số xấp xỉ hàm số f(x) phƣơng pháp bình phƣơng nhỏ phức tạp ta đƣợc dạng hàm số xấp xỉ. Trong phần chúng em trình bày dung nội dung “NỘI SUY LAGRANGE, NEWTON VÀ PHƢƠNG PHÁP BÌNH PHƢƠNG NHỎ NHẤT”. Cách để tìm nghiệm xấp xỉ phƣơng trình hay hàm số có nhiều. Chúng em liệt kê số phƣơng pháp thông dụng có ứng dụng thực tế. Đồ án Toán MỤC LỤC Trang PHẦN 1: TÌM NGHIỆM CỦA HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 1. Giới thiệu chung 2. Phƣơng pháp Cramer 7 3. Phƣơng pháp Gauss 3.1. Nội dung phƣơng pháp 3.2. Thuật toán 3.3. Code chƣơng trình 10 4. Phƣơng pháp Lặp Seidel 12 4.1. Nội dung phƣơng pháp 12 4.2. Thuật toán 15 4.3. Code chƣơng trình 16 PHẦN 2: NỘI SUY VÀ LẤY XẤP XỈ HÀM SỐ 19 1. Giới thiệu chung phƣơng pháp 2. Nội suy Lagrange 19 20 2.1. Đa thức nội suy Lagrange 20 2.2. Thuật toán 22 2.3. Code chƣơng trình 23 3. Nội suy Newton 24 3.1. Đa thức nội suy Newton 24 3.2. Thuật toán 30 3.3. Code chƣơng trình 31 4. Phƣơng pháp bình phƣơng nhỏ – Lấy xấp xỉ hàm số 32 4.1. Nội dung phƣơng pháp dạng thƣơng gặp 32 4.2. Thuật toán 41 4.3. Code chƣơng trình 43 KẾT LUẬN 46 TÀI LIỆU THAM KHẢO 47 Đồ án Toán PHẦN 1: TÌM NGHIỆM CỦA HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 1. Giới thiệu chung. Cho hệ phƣơng trình tuyến tính: { (1) Hệ phƣơng trình đƣợc cho ma trận: ( ) (2) Vấn đề đặt tìm nghiệm ⃗ = ( x1 , x2, ., xn ) Phƣơng pháp (Cramer, Gauss, Khai căn): Đặc điểm phƣơng pháp sau số hữu hạn bƣớc tính. Ta nhận đƣợc nghiệm trình tính toán không làm tròn số. - Phƣơng pháp gần (Gauss Siedel, giảm dƣ): Thông thƣờng ta cho ẩn số giá trị ban đầu, từ giá trị tính giá trị nghiệm gần tốt theo quy tắc đó. Quá trình đƣợc lặp lại nhiều lần với số điều kiện định, ta nhận đƣợc nghiệm gần đúng. 2. Phƣơng pháp Cramer. - Sự tồn nghiệm hệ: ∆ = det(A)s Nếu ∆ = ma trận A suy biến hệ (1) suy biến. suy từ ∆: Bằng cách thay cột thứ i cột vế phải. Định lý Cramer : Nếu ∆ ≠ hệ (1) không suy biến có nghiệm tính công thức: (3) Nhận xét: Công thức thu gọn dể nhớ, đẹp. Tuy nhiên n đủ lớn phải thực số lƣợng lớn phép tính. Việc tính định thức gặp nhiều khó khăn. Nc(n) – số lƣợng phép tính cần làm hệ có n phƣơng trình. Nc(n) = (n +1)!n Với n = 15 ta có Nc(15) = 3.1014. Đồ án Toán 3. Phƣơng pháp Gauss. 3.1. Nội dung phƣơng pháp Nội dung khử dần ẩn hệ tƣơng đƣơng có dạng tam giác giải từ dƣới lên mà tính định thức. Ví dụ: Xét hệ phƣơng trình sau: (4) Khử ẩn → (5) Giải ngƣợc từ dƣới lên → tìm đƣợc ẩn. Quá trình (4) → (5): sử dụng phép biến đổi sơ cấp dòng ma trận. Quá trình (5): trình ngƣợc. Khối lƣợng phép tính Nc(n) = Với n = 15 ta có Nc(15) = 2570 nhỏ nhiều so với phƣơng pháp Cramer. Ví dụ: Giải hệ phƣơng trình { Giải: Ta đƣa hệ phƣơng trình ma trận: ( ) Ta dùng phép biến đổi sơ cấp dòng ma trận đƣa ma trận dạng bậc thang: ( )→ ( )→ Đồ án Toán ( )→ ( )→ ( ( )→ ) Vậy hệ phƣơng trình đả cho tƣơng đƣơng với hệ sau: { { Vậy hệ có nghiệm là: x* = ( ; ; ; -3) 3.2. Thuật toán: Bước 1: - Nhập số liệu. - Nhập vào số ẩn. - Nhập phần tử ma trận hệ số mở rộng. Bước 2: - Biến đổi ma trận dạng tam giác trên. - Kiểm tra phần tử aii + Nếu aii = hoán đỗi dòng i. + Nếu aii khác ta tìm đƣợc hệ số khử.  Thực vòng lặp cho i chạy từ đến n (số dòng).  Thực vòng lặp cho j chạy từ i+1 đến n+1(số cột). Đặt c = (hệ số khử) Lặp cho k chạy từ i đến n+1: aj,k=c*ai,k+aj,k Bước 3: - Tìm nghiệm theo quy trình ngƣợc. ∑ - s=0. Đồ án Toán - Vòng lặp j=i+1n. s=s+ aij*xj. (số nghiệm Lấy xấp xỉ phƣơng pháp bình phƣơng nhỏ nhất. Cho hàm số f(x) đa thức: Q(x) = C0φ0(x) + C1φ1(x) + C2φ2(x) +…+ Cmφm(x) (6) {φi(x); i = 0, 1, 2,…, m} - Hệ hàm số x; C0, C1, C2,…, Cm - Các hệ số; Ta cần xác định hệ số C0, C1, C2,…, Cm cho Q(x) tập cho X {x} sai khác với f(x) nhỏ có thể. Q(x) gọi đa thức xấp xỉ f(x). Khi: φ0(x) = 1; φ1(x) = x; φ2(x) = x2; … ; φm(x) = xm; Qm(x) = C0 + C1x + C2x2 + …+ Cmxm (7) Là đa thức đại số thông dụng. Phƣơng pháp thƣờng dùng lấy xấp xỉ (xác định hệ số (6) (7)) phƣơng pháp bình phƣơng nhỏ nhất. Nội dung phƣơng pháp bình phƣơng nhỏ tìm cực tiểu hàm: ∑ (8) f(xi), i = 1, 2, …, n giá trị biết f(x) tập điểm x0, x1,…,xn Coi hệ số Ck ẩn phải tìm, để M cực tiểu phải có: (9) Từ (9) ta tìm đƣợc hệ số Ck 33 Đồ án Toán f(xi) – Q(xi): Sai số xi thay f(x) Q(x). 4.1.2. Các trƣờng hợp thƣờng gặp - Đa thức xấp xỉ đƣợc chọn dƣới dạng hàm tuyến tính. i) Q(x) = a + bx x x1 xi … xn-1 xn y=f(x) y1 … yi … yn-1 yn Từ bảng ta suy → (8) ∑ ∑ Để M bé nhất: ∑ => { ∑ ∑ ∑ ∑ Thay số liệu bảng vào giải phƣơng trình => a, b. Để thuận tiện tính toán thƣờng lập bảng: ii) Q(x) = a + bx + cx2 Ví dụ: Tìm hàm bậc xấp xỉ bảng sau theo phƣơng pháp BPNN xi 10 yi 1,3 3,5 4,2 5,0 7,0 8,8 10,1 12,5 13 15,6 Giải: 34 Đồ án Toán Ta lập bảng sau: Cách sử dụng máy tính bỏ túi: Dạng 1: y = f(x) = a + bx Ví dụ: Cho quan hệ thực nghiệm bảng sau: xi yi 9,8 17,2 25,8 37,1 49,7 Hãy biểu diễn mối quan hệ hàm bậc 2: y = a + bx + cx2. Xác định hệ số a, b, c theo phƣơng pháp bình phƣơng nhỏ nhất. Giải: 35 Đồ án Toán Dạng 2: y = f(x) = a + bx + cx2 Dạng 3: y = f(x) = a + bcosx + csinx 36 Đồ án Toán ∑ { ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ Ví dụ: Cho bảng nội suy sau: x 0,78 1,56 2,34 3,21 3,81 y 2,50 1,20 1,12 2,25 4,28 Xấp xỉ đa thức nội suy dang y = f(x) = a + bcosx + csinx tính y(2,5)? Giải: Ta lập bảng sau: ∑ xi yi Sinxi Cosxi Sin2xi Cos2xi Cosxi.Sinxi 0,78 2,5 0,703279 0,710914 0,494602 0,505398 0,499971 1,56 1,2 0,999942 0,010796 0,999883 0,000117 0,010795 2,34 1,12 0,718465 -0,69556 0,516192 0,483808 -0,499738 3,21 2,25 -0,06835 -0,99766 0,004672 0,995328 0,068194 3,81 4,28 -0,61974 -0,78481 0,384074 0,615926 0,486375 11,7 11,35 1,733595 -1,75632 2,399423 2,600577 0,565598 Xét hệ: { ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ { { s Vậy y = f(x) = 3,480554 + 1,101343cosx – 2,375675sinx y(2,5) = 1,176444 - Đa thức xấp xỉ hàm phi tuyến. Trong nhiều trƣờng hợp tuyến tính hóa để việc tính toán thuận lợi. 37 Đồ án Toán Trƣờng hợp 1: . Trƣờng hợp 2: . Trƣờng hợp 3: → logy = loga + xbloge hay lny = lna + bx; Đặt lny = Y ; X = x ; A = lna; B = b → Y = A + BX Chuyển bảng số liệu thực nghiệm sang quan hệ Xi Yi để tìm A, B, sau thay a = 10A; b = B. Trƣờng hợp 4: y = axb (a > 0); → logy = loga + blogx hay lny = lna + blnx Đặt Y = lny; A = lna; X = lnx; B = b → Y = A + BX Chuyển bảng số liệu sang quan hệ Xi Yi để tìm A, B. Dạng 4: y = f(x) = aebx; a > 38 Đồ án Toán Ví dụ: Cho bảng nội suy sau: x 0,23 1,15 2,04 2,57 3,01 y 2,64 3,14 3,71 4,08 4,43 Xấp xỉ đa thức nội suy dạng y = f(x) = aebx (a > 0)? Giải: Lấy logarit số e hai vế, ta có: lny = lna + bx (*) Đặt Y = lny; A = lna; B = b; X = x Khi đó, (*) trở thành: Y = A + BX Bảng nội suy theo X, Y nhƣ sau: X 0,23 Y 1,15 2,04 2,57 3,01 0,970779 1,144223 1,311032 1,406097 1,488400 Với A, B thỏa mãn hệ phƣơng trình: ∑ { ∑ ∑ ∑ ∑ { { { Vậy y = 2,532690.e0,186013 39 Đồ án Toán Dạng 5: y = f(x) = axb, a > Ví dụ: Cho bảng nội suy sau: x 10 y 1,06 20 30 40 50 1,33 1,52 1,68 1,81 60 70 80 1,91 2,01 2,11 Xấp xỉ đa thức nội suy dạng y = f(x) = axb, a > tính y(2,5)? Giải: Lấy logarit số e hai vế, ta có: lny = lna + blnx (*) Đặt Y = lny; A = lna; B = b; X = lnx Khi đó, (*) trở thành: Y = A + BX Ta có bảng nội suy theo X, Y nhƣ sau: X 2,302585 2,995732 3,401197 3,688879 3,912023 4,094345 4,248495 4,382027 Y 0,058269 0,285179 0,418710 0,518794 0,593327 0,647103 0,698135 0,746688 Với A, B thỏa mãn hệ phƣơng trình: ∑ { ∑ ∑ ∑ ∑ { 40 Đồ án Toán { { Vậy y = 04494773.x0,330589 4.2. Thuật toán Từ sở lý thuyết phần phƣơng pháp bình phƣơng nhỏ nhất, ta làm đơn giản hóa trình tính toán máy tính, nhƣ phần lập trình.Việc nhận đƣợc kết tính toán quy việc giải hệ phƣơng trình nhiều ẩn.Và sau thuật toán lý giải nhận định cách áp dụng vào dạng cụ thể. Dạng tuyến tính: y = ax + b Từ sở lý thuyết yêu cầu việc tìm hệ số “a, b” cách giải hệ phƣơng trình sau: ∑ { ∑ ∑ ∑ ∑ Nhận xét: n = const, ∑xi = const, ∑yi = const, ∑x2i = const, ∑xi.yi = const Đặt p = ∑xi, o = ∑yi, h = ∑x2i, c = ∑xi.yi Vậy ta có ma trận hệ số mở rộng nhƣ sau: nn n n o p h c Dạng tuyến tính: y = ax2 + bx + c Từ sở lý thuyết yêu cầu việc tìm hệ số “a, b, c” cách giải hệ phƣơng trình sau: ∑ { ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ Ta đặt: h = ∑xi; a = ∑x2i; v = ∑yi; l = ∑x3i; c = ∑xiyi; o = ∑x4i; m = ∑xi2yi 41 Đồ án Toán Vậy ta có ma trận hệ số mở rộng nhƣ sau: n h a v h a l c a l o m Cuối ta cần dùng số liệu ma trận sử dụng phƣơng pháp khử gauss nhƣ trình bày phần trƣớc việc tìm hệ số “a, b” đơn giản với độ sai số định, thuật toán bên dƣới trình bày hàm để tìm phần tử cho ma trận hệ số mở rộng.Và dạng tuyến tính lại tƣơng tự, khác biệt số ẩn nhiều chút. Thuật toán nội suy giải phương pháp bình phương nhỏ dạng tuyến tính: Dạng tuyến tính: y = ax + b Hàm tính ∑ tƣơng tự ta xây dựng đƣợc hàm tính ∑  p = 0;  Dùng vòng lặp for i = 1→ n  p = p + xi Hàm tính ∑  h = 0;  Dùng vòng lặp for i = → n  h = h + xi*xi Hàm tính ∑  c = 0;  Dùng vòng lặp for i = 1→ n  c = c + xi*yi Dạng tuyến tính: y = ax2 + bx + c Hàm tính ∑ ∑xi, tƣơng tự ta xây dựng đƣợc hàm tính ∑  h = 0;  Dùng vòng lập for i = 1n  h = h + xi Hàm tính ∑  a = 0;  Dùng vòng lập for i =  n  a = a + xi*xi Hàm tính ∑  l = 0; 42 Đồ án Toán  Dùng vòng lập for i =  n  l = l + xi*xi*xi Hàm tính ∑  c = 0;  Dùng vòng lập for i =  n  c = c + xi*yi Hàm tính ∑  o = 0;  Dùng vòng lập for i =  n  o = o + xi*xi*xi*xi Hàm tính ∑  m = 0;  Dùng vòng lập for i =  n  m = m + xi*yi Dạng phi tuyến: y = axb Cũng từ sở lý thuyết mà ta đƣa dạng phi tuyến trở dạng tuyến tính nhƣ việc tìm a, b không phức tạp nữa. 4.3. Code chƣơng trình Code chương trình cho dạng tuyến tính y = ax + b 43 Đồ án Toán Code chương trình cho dạng tuyến tính y = ax2 + bx + c 44 Đồ án Toán 45 Đồ án Toán KẾT LUẬN Với phƣơng pháp tính toán trên, chúng em có nhận xét sau: Ở phần thứ nhất, ta áp dụng phƣơng pháp Cramer để giải hệ phƣơng trình tuyến tính có phần đơn giản. Tuy nhiên gặp hệ phƣơng trình có số ẩn lớn tính toán dài tốn thời gian. Chúng em nhận thấy hai phƣơng pháp Gauss lặp Seidel đƣa đƣợc nghiệm xác gần xác với sai số chấp nhận đƣợc. Mặt khác, việc tính toán đơn giản, thời gian chạy nhanh tiết kiệm nhớ nhiều so với phƣơng pháp Cramer. Đối với hệ phƣơng trình có số ẩn thấp ta không nên sữ dụng phƣơng pháp lặp Seidel thời gian chạy lâu. Trong phần thứ hai, phƣơng pháp nội suy đƣa đƣợc giá trị gần hàm f(x) điểm nút xi khác. Tuy nhiên thực tế giá trị yi suy từ điểm nút xi xấp xỉ: yi ≈ f(xi) từ giá trị đo đạc, thực nghiệm không hoàn toàn xác. Nên trƣờng hợp này, ta suy đƣợc đa thức nội suy buộc cho giá trị yi = f(xi) không hợp l . số chênh lệch từ mức thấp đến cao nhiên chấp nhận đƣợc. Trƣờng hợp có nhiều điểm nút đa thức nội suy có bậc lớn dẫn đến việc tính toán không thuận tiện. Mặt khác f(x) hàm tuần hoàn phƣơng pháp nội suy thật không phù hợp. Cũng để tìm giá trị xấp xỉ với độ xác cao hơn, ta sử dụng phƣơng pháp bình phƣơng nhỏ nhất. Ý tƣởng ta xây dựng đa thức Q(x) = C0φ0(x) + C1φ1(x) + C2φ2(x)+…+ Cmφm(x), tức xác định hệ số C0, C1, C2,…, Cm cho tổng bình phƣơng sai số bé nhất. Nói chung phƣơng pháp nội suy minh họa đồ thị sau: Phƣơng pháp bình phƣơng tối thi u làm giảm khoảng cách tổng bình phƣơng đoạn e1, e2, …en đồ thị. Phƣơng pháp đƣợc gọi phƣơng pháp cực ti u. 46 Đồ án Toán TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Đặng Văn Liệt, 2004, Giải tích số, NXB ĐH Quốc Gia TP Hồ Chí Minh [2] Lê Minh Lƣu, 2009, Giải tích số (bài giảng tóm tắt ), ĐH Đà Lạt, 2009 [3] Trịnh Anh Ngọc, 2009, Giải tích số I, Trƣờng Đại học KHTN, ĐHQG Tp.HCM [4] Lê Văn Luyện, 2010, Bài giảng Đại số tuyến tính, Trƣờng Đại học KHTN, ĐHQG Tp.HCM [5] Một số nguồn tài liệu, tóm tắt giảng, internet khác. Tiếng Anh [6] David Kincaid and Ward Cheney, Numerical Analysis Mathematics of Scientific Computing, The University of Texas at Austin, 1991. 47 [...]... trị của hàm số tại một số điểm trung gian khác 1.1.2 Bài toán nội suy: Xây dựng một hàm φ(x) có biểu thức đơn giản, có giá trị trùng với giá trị của hàm f(x) tại các điểm x0, x1,…, xn, còn tại các điểm khác trên đoạn [a ; b] thì hàm φ(x) khá gần f(x) (phản ảnh đúng quy luật f(x)) → có thể suy ra giá trị gần đúng của hàm f(x) tại các điểm bất kì thỏa mãn x0 < x < xn Hàm φ(x) – đƣợc gọi là hàm nội suy của. .. một hàm số là tìm một hàm số khác hoặc một tổ hợp các hàm số khác mà sai khác với hàm số đã cho đủ bé theo một nghĩa nào đó - Lấy xấp xỉ bằng các đa thức nội suy có những nhƣợc điểm: Nếu nhiều nút → Bậc của các đa thức nội suy sẽ rất lớn 32 Đồ án Toán 1 → Tính toán không thuận tiện - Việc buộc Pn(xi) = yi không hợp lý (các số liệu đo đạc, thực nghiệm có thể không chính xác → sai số lớn khi nội suy) ... Phƣơng pháp Lặp Seidel 4.1 Nội dung phƣơng pháp - Cho hệ phƣơng trình: Ax = f (6) Biến đổi về dạng tƣơng đƣơng: x = Bx + g B ( (7) ) suy ra từ A và g suy ra từ f (8) - Chọn x(0) nào đó làm nghiệm gần đúng đầu tiên của phƣơng trình và tính các nghiệm gần đúng tiếp theo: x(1), x(2),…, x(m) theo phƣơng pháp lặp đơn: x(m) = Bx(m-1) + g ; (m>=1) Với x(0) cho trƣớc (9) (10) Trong đó: (Bx)i = ∑ (11) Phƣơng pháp. .. thì nghiệm không đạt độ chính xác sau số lần lặp cho trƣớc Bước 3: Xuất nghiệm 4.3 Code chƣơng trình 16 Đồ án Toán 1 17 Đồ án Toán 1 18 Đồ án Toán 1 PHẦN 2: NỘI SUY VÀ LẤY XẤP XỈ HÀM SỐ 1 Giới thiệu chung về phƣơng pháp 1.1 Nội suy 1.1.1 Đặt vấn đề: Cho hàm số y = f(x) mà không biết biểu thức của giải tích hàm, chỉ biết giá trị của hàm tại một số hữu hạn điểm trên đoạn [a ; b] (bằng đo đạc hoặc thực nghiệm) ... tại các nút xi → 19 Đồ án Toán 1 1.3 Sự duy nhất của đa thức nội suy Đa thức nội suy Pn(x) của hàm f(x) định nghĩa ở trên nếu có thì chỉ có một mà thôi → Đa thức nội suy có thể có nhiều cách xây dựng nhƣng do tính duy nhất nên các dạng của nó đều có thể quay về nhau 2 Nội suy Lagrange 2.1 Đa thức nội suy Lagrange ∑ (2) Trong đó li(x) - đa thức bậc n → Pn(x) – đa thức bậc n { → → (2): Đa thức nội suy. .. thể suy ra 27 Đồ án Toán 1 - Ƣu điểm của công thức nôi suy Newton: Thêm nút chỉ cần thêm số hạng, không cần phải tính lại - Để thuận tiện tính toán thƣờng ta lập bảng sai phân đƣờng chéo * Bảng sai phân đường chéo của công thức nội suy tiến: * Bảng sai phân đường chéo của công thức nội suy lùi: 28 Đồ án Toán 1 3.1.6 Sai số của phép nội suy Newton Vẫn dùng công thức sai số đã biết trong phần nội suy. .. khác có thể dùng đa thức nội suy Newton dạng lùi và hoàn toàn tƣơng tự chỉ lấy giá trị trong bảng tỉ hiệu có thể bằng cách xây dựng lại bảng tỉ hiệu dạng lùi rồi tính Ln(x) Bƣớc 3: Kết thúc xuất ra trị giá của hàm f(x) cần tìm 30 Đồ án Toán 1 3.3 Code chƣơng trình (Nội suy Newton) 31 Đồ án Toán 1 4 Phƣơng pháp bình phƣơng nhỏ nhất – lấy xấp xỉ hàm số 4.1 Nội dung phƣơng pháp và các dạng thƣơng gặp 4.1.1... nhất Nội dung của phƣơng pháp bình phƣơng nhỏ nhất là tìm cực tiểu của hàm: ∑ (8) f(xi), i = 1, 2, …, n là những giá trị đã biết của f(x) trên tập điểm x0, x1,…,xn Coi các hệ số Ck là các ẩn phải tìm, để M cực tiểu phải có: (9) Từ (9) ta tìm đƣợc các hệ số Ck 33 Đồ án Toán 1 f(xi) – Q(xi): Sai số tại xi khi thay f(x) bằng Q(x) 4.1.2 Các trƣờng hợp thƣờng gặp - Đa thức xấp xỉ đƣợc chọn dƣới dạng các hàm. .. là hàm tuần hoàn - Thƣờng có nhu cầu “làm trơn” các đƣờng cong thực nghiệm, hoặc biểu diễn các quan hệ thực nghiệm dƣới dạng một hàm số đã biết nào đó Ví dụ: y = a + bx y = a + bx + cx2 y = a + bcosx + csinx y= aebx y = axb … > Lấy xấp xỉ bằng phƣơng pháp bình phƣơng nhỏ nhất Cho hàm số f(x) và đa thức: Q(x) = C0φ0(x) + C1φ1(x) + C2φ2(x) +…+ Cmφm(x) (6) {φi(x); i = 0, 1, 2,…, m} - Hệ các hàm số. .. bảng nội suy sau: x -1 2 3 5 6 y 0 1 -2 1 3 a) Hảy lập bảng tính các tỉ hiệu b) Viết đa thức nội suy y = P(x) và tính y(4) Giải: Ta lập bảng sau: ▲Ghi chú: Ở đây ta kí hiệu THi là tỉ hiệu tiến cấp i vàTHi* là tỉ hiệu lùi cấp i 25 Đồ án Toán 1 Đa thức nội suy Newton là:  Dạng tiến: = > y(4) = P4(x) = -  Dạng lùi: = > y(4) = P4(x) = 3.1.3 Nội suy Newton với mốc cách đều - Sai phân (Hiệu) hữu hạn: Hàm .  pháp 12 4.2. Thut toán 15 4.3. Code  trình 16 PHN 2: NI SUY VÀ LY XP X HÀM S 19 1. Gii thiu chung v  19 2. Ni suy Lagrange 20 2.1. c ni suy Lagrange. NI SUY VÀ LY XP X HÀM S 1. Gii thiu chung v . 1.1. Ni suy 1.1.1. t v: Cho hàm s y = f(x) mà không bit biu thc ca gii tích hàm, ch bit giá tr ca hàm.  ÁN TOÁN 1  TÀI - GII G NGHIM H N TÍNH VÀ CÁC I SUY HÀM S BNG NGÔN NG C ++ Gingdn: ThS.  Sinh viên thc