Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI • ••• NGUYỄN HOÀNG LAN ANH PHÉP BIÉN ĐỎI HILBERT VÀ ÁP DỤNG Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 • •• LUÂN VĂN THAC Sĩ TOÁN HOC Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN VĂN HÀO HÀ NỘI, 2014 Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Nguyễn Văn Hào, người định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn để hoàn thành luận văn này. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy cô phòng Sau đại học, thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội giúp đỡ suốt trình học tập. Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè động viên, cổ vũ, tạo điều kiện thuận lợi cho trình học tập hoàn thành luận văn. H N ộ i , t h n g n ă m l ị Tác giả Nguyễn Hoàng Lan Anh Lời cam đoan Tôi xin cam đoan, hướng dẫn TS. Nguyễn Văn Hào, luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Phép biến đổi Hilbert áp dụng” hoàn thành nhận thức thân tác giả. Trong trình nghiên cứu thực luận văn, tác giả kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn. H N ộ i , t h n g n ă m l ị Tác giả Nguyễn Hoàng Lan Anh Mục lục Chương 1. Mở đầu Một số kiến thức chuẩn bị 1. Tích phân suy rộng Tích phân suy rộng loại (Tích phân khoảng vô hạn) 1.1.1 Tích phân suy rộng loại hàm số không âm . Định lý Dirichlet định lý Abel 1.1.2 Tích phân hội tụ tuyệt đối . Tích phân suy rộng loại (Tích phân hàm không bị 1.1.3 chặn 1.2 Tích phân phụ thuộc tham số 1.2.1 Tích phân phụ thuộc tham số đoạn . Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số Tích 1.2.2phân phụ thuộc tham số hàm không bị chặn Biến đổi Fourier 1. 1.3.1 Định nghĩa . Các tính chất biến đổi Fourier Biến đổi Fourier đạo hàm đạo hàm biến đổi 1.3.2 Fourier Tích 1.3. chập biến đổi Fourier 5 1 1 Chương . Định 2. nghĩa ví dụ Định 2nghĩa .1. Phép biến đổi Hilbert 2 1. Một số ví dụ Biến 2. đổi Hilbert ngược 2. Một số tính chất Định2.3.1 lý 2.1 Định. lý 2.2 Định lý 2.3 2.3.2 Định lý 2.4. (Công thức Parseval) . Tích chập phép biến đổi Hilbert 2.3.3 ứng dụng biến đổi Hilbert Chương 3. 2 25 Bài 3.1 toán biên phương trình Laplace Bài3.toán phương trình sóng nội phi tuyến Trường 3.2.hợp (Lý thuyến Nước Sâu [!2Ị|, |2j) Trường 1. hợp (Lý thuyết Nước Nông |ỊT]) Trường hợp (Lý thuyết sóng nước sâu hữu hạn [5 3.2. Kết luận Phụ lục Tài liệu tham khảo 29 Mở đầu 1. Lý chọn đề tài. Biến đổi tích phân phép tính toán tử, hình thành từ năm cuối kỷ XIX. mặt lịch sử, khái niệm biến đổi tích phân bắt nguồn từ nghiên cứu tiếng lý thuyết khai triển hàm số thành chuỗi hàm lượng giác Fourier sau phát triển tới tích phân Fourier hay biến đổi Fourier. Ý nghĩa quan trọng phép biến đổi tích phân cung cấp phương pháp toán tử hiệu lực để giải toán phương trình vi phân, phương trình sai phân phương trình tích phân. Về lĩnh vực phải kể đến hai phép biến đổi tích phân đánh giá quan trọng không Toán học mà nhiều ngành khoa học kỹ thuật khác, đặc biệt lĩnh vực Vật lý học, biến đổi Fourier biến đổi Laplace. Năm 1912, nhà Toán học David Hilbert (1862 - 1943) đăng báo tiếng Toán học việc giải lĩnh vực thuộc phương trình tích phân. Trong báo này, ông giới thiệu phép biến đổi tích phân, ngày gọi phép biến đổi Hilbert. Tuy nhiên, phép biến đổi tính chất hoàn thiện cách chi tiết hai nhà Toán học G. H. Hardy (năm 1924) E. c. Titchmarsh suốt năm 1925 - 1930. Phép biến đổi Hilbert xuất nhiều lĩnh vực Toán học ứng dụng, toán thuộc lĩnh vực Vật lý - Toán nhiều vấn đề thuộc lĩnh vực khoa học kỹ thuật khác. Trong thời điểm đương thời xuất phép biến đổi này, người ta biết đến vai trò số lĩnh vực học chất lỏng, khí động học, xử lý tín hiệu điện tử học mà chưa thấy đầy đủ ứng dụng ngày nay. Được định hướng người hướng dẫn, với mong muốn thêm việc tìm hiểu tính hiệu lực phép biến đổi số lĩnh vực khác, chọn đề tài ’’Phép biến đổi Hilbert áp dụng" để hoàn thành luận văn tốt nghiệp khóa đào tạo Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích. 2. Mục đích nghiên cứu nhiệm vụ nghiên cứu. Nghiên cứu phép biến đổi Hilbert số áp dụng nó. 3. Đối tượng phạm vi nghiên cứu. Nghiên cứu khái niệm số tính chất phép biến đổi Hilbert, phép biến đổi Hilbert ngược, mối quan hệ phép biến đổi Hilbert số phép biến đổi tích phân khác. Nghiên cứu ứng dụng phép biến đổi Hilbert việc giải Bài toán biên phương trình Laplace; Bài toán phương trình sóng nội phi tuyến. 4. Phương pháp nghiên cứu. Tra mạng tìm tài liệu, phân tích tổng hợp kiến thức, xin ý kiến định hướng người hướng dẫn. 5. Dự kiến đóng góp đề tài. Trình bày cách có hệ thống khái niệm tính chất phép biến đổi Hilbert. Trình bày số ứng dụng phép biến đổi Hilbert. Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1. Tích phân suy rộng 1.1.1. Tích phân suy rộng loại (Tích phân khoảng vô hạn) Định nghĩa 1.1. Cho hàm f ( x ) xác định [ a , +oo). Giả sử f ( x ) khả tích đoạn hữu hạn [ a , b ] với b > a . Nếu tồn lim / f ( x ) d x (*) giới hạn gọi tích phân suy rộng loại 6->+00 J a + 00 hàm f ( x ) đoạn [a, +oo) ký hiệu J f ( x ) d x . Như a + 00 B Trong định nghĩa cuối , tích phân tồn không phụ thuộc vào việc chọn số a . dx Ví du 1.1. Tính tích phân suy rông / — X + — — nên tích phân hôi tu ta có b . d x Bởi I ^ = ~ z X X »vì/ J X2 A - Ậ ) bToc \ b) = 1. Định lý 1.1. (Tiêu chuẩn Cauchy hội tụ). G i ả s f ( x ) l ầ h ằ m s ố x c định [a, +oo). Giả sử f ( x ) khả tích đoạn hữu hạn + 00 [a, 6] với b > a. Khi đó, tích phần J f ( x ) d x h ộ i t ụ k h i v ầ c h ỉ khi: với a £ > tồn b0 > a cho với b ,b > b0 ta có b" I f(x)d X < Định lý 1.2. G i ả s f ( x ) lầ hầm số xắc định [a, +00). Giả sử f ( x ) khả tích đoạn hữu hạn [a, 6] với b > a. Khi đó, tích phẵn + oo J f(x)d' a tụ + oo X hội tụ tích phân Ị f(x)d, X v ó i O a hội c + 00 c +00 / ĩ(x)dx = Ị ỉ(x)dx + I f(x)dx. a a c + 00 +00 Định lý 1.3. Giả sử cấc tích phân J f ( x ) d x v ầ Ị g ( x ) d x h ộ i t ụ . K h i a a + 00 đó, tích phẫn J (a . f ( x ) ± ß . g ( x ) ) d x ; với a ß cấc số thực, а hội t ụ tã có Định lý 1.5. Cho f ( x ) vầ g ( x ) l ầ c ấ c h ầ m không âm [a, +00) vầ có lim = к e (0 , +00 ). x^+oo g[x) +00 +00 а а Khi cấc tích phẫn Ị f ( x ) d x v ầ Ị g ( x ) d x hội tụ phẫn kỳ. 1.1.2. Định lý Dirichlet định lý Abel Định lý 1.6. (Dấu hiệu Dirichlet). Cho f(x) g(x) lầ cấc hầm xắc định liên tục [a, +00). Giả sử Hầm số f(x) có nguyên hầm F(x) bị chặn [a, +00), tức ỉằ tồn số M > cho |f( +00. Khi đó, tích f(x).g(x)dx hội tụ. +00 phẵn Ị а Định lý 1.7. (Abel). Cho f ( x ) g ( x ) lầ cắc hàm xắc định liên tục [a, +00). Giả sử +00 (i) Tích phẳn J f ( x ) d x h ộ i tụ; ì TTV______ X _/_\ __________ а ' 1.* V ( ỉ ỉ ) H a m s ố g ( x ) có đạo hầm liên tục [a, +00) vầ đơn điệu bị chặn khoảng đó, tức lầ tồn số M > cho \д(х)I < M với X G (a, +00]. +00 Ị ỉ{x).g{x)di а Pha vận tốc nhóm sóng định nghĩa C P ( K ) = —C G ( N ) = VK6Ư, — — (3.12) K k véctơ đơn vị theo hướng véctơ sóng K . Trong trường hợp — - chiều, (3.11) - (3.12) quy gọn thành — — u = w(k),ct = ‘ị, ơ, = g (3.1 — Như vậy, sóng - chiều cho nghiệm (3.8) gọi phân tán — vận tốc nhóm Cg = U)'{k) không số (hay nói oj"(k) 7^ 0). mặt Vật lý , tăng biến thời gian, sóng khác phân tán môi trường với kết sóng đơn bị gãy vào chuỗi sóng. Bây giờ, ta xét mô hình đơn giản sóng đơn nội — lớp không nhầy xếp ổn định hệ thống hai tầng mặt phẳng cứng nằm ngang có phương trình z = h i z = h . Tầng có độ sâu h ị mật độ P i . Tầng nặng có độ sâu /ì mật độ p (sao cho P2 > Pi). Cả hai tầng mặt phẳng nằm ngang phụ thuộc vào trọng lực g , tác động áp lực lên bề coi bỏ qua. Với z = ĩ ì ( x , t ) theo trường chuyển dời sóng nội mối quan hệ phân tán tuyến tính cho hệ thống hai tầng biểu diễn qua công thức sau — — gk{p2 - pi) o;2 — (3.14) ( p i coth k h i + P coth k h ) ’ u i ( k ) k tần số số sóng với nhiễu loạn biên độ nhỏ có biên độ hình sine mặt phân cách hai tầng. Trong việc giải — toán này, người ta thường quan tâm tới vài trường hợp giới hạn quan trọng quan hệ phân tán (3.14) cần quan tâm — 3.2.1. Trường hợp (Lý thuyết nước sâu [!2j, [§Ị|) — Trong trường hợp này, ta giả sử độ sâu tầng vô hạn ( h —»• oo), sóng dài so với chiều sâu h ị tầng trên. Điều này, dẫn đến việc nghiên cứu giới hạn kép dạng — — — lim lim CƯ = c ị k — a c k ( s g n k + .), (3.15) k—»0 h-2—^oo k — > sử dụng với h i cố định, giới hạn h —»■ oo lấy với k h ị cố định 4= — {^) p?) — ghl ■ “ = (tì (316) Chúng ta xét sóng nội ngầm theo hướng giữ lại biễu diễn phân tán đầu. Khi đó, mối quan hệ phân tán trở thành UJ = c0k — ak \ k \ . — (3-17) — Điều cho định nghĩa không gian tương thích xấp xỉ tỷ lệ thời gian liên kết với trường hợp giới hạn sau — £ = p{x (3.18) c ữ t ), r = p t , — /?( ( t + a)-1, —i(x + — Im a < 0, — oo < — t < ( a t + &)-1, — —(ax + b) — 0< i < o o a , b > — — t — , Rea > ( t + a2) — (x2 + — ________________ a + ( t + b ) _______ — a( x + a2) aa — ßx (x2 + a2) — — (t2 + , Rea > , Rea > — 01 + a ) exp(iai), a > — >0 cos(ai), a i exp( i a x ) — — -l sin(ai), a > 0a — ----------a > y, sin(aa;) — :z) cos(a a ,ax^— (b + x) a + ( b + x)2 — 0, — 00 < t < — a — — — 13 — — — 14 H(t — a) — H(t — b), b > a > 1X — b -log — — 15 — H ( t — a), a > , r^lo — (t — a ) — oo < t < —a X Ф 0; X Ф X — — — — — 16 t ' 0, — 00 < X < — a 0, — a < t < a > * 1. (a — X ) , — a < X < a ( t — a ) кa 4< t < 00 — sin a t 17 a >0 0, — 00 < t < < sin(a\/i), < t < oo,a > — ъ4 — ——, — — — 18 — — — — — — (cos аж — ) X 1' ' exp(—a \ / \ x \ , — 00 1. cos(a-\/ |x|) + ex — — ỵ [...]... đương LXXIX Chương 2 Phép biến đổi Hilbert 2.1 Định nghĩa và ví dụ 2.1.1 Định nghĩa LXXX Đ ị n h n g h ĩ a 2 1 Nếu f ( t ) là một hàm xác định trên trục thực — oo < t < o o Biến đổi Hilbert của hàm f ( t ) là phép ánh xạ hàm f ( t ) thành hàm H được cho bởi công thức 00 LXXXII L X X X I (2.1) Hàm Ĩ h { x ) được gọi là biến đổi Hilbert của hàm f ( t ) , trong đó X là số thực và tích phân trên được... XXXII Fourier của hàm đã cho là hàm F (k ) = XXXIII V 2a \ 1.3.2 Như vậy, biến đổi _exp (- 4 Các tính chất của biến đổi Fourier XXXIV M ệ n h đ ề 1 1 N ế u f lầ hàm ỉiên tục, khả tích tuyệt đối trên toàn trục số và có đạo hàm từng phía tại mỗi điểm, thì XXXV XXXVI F-1[F[f]} = F[F-1[fíị=f M ệ n h đ ề 1 2 Phép biến đổi Fourier và ngược của nó có tính chất tuyến tính, nghĩa lầ XXXVII XXXVIII 2 vã XXXIX... phân thứ hai và thứ ba coi như là các giá trị chính Cauchy bị triệt tiêu và do CXX Cđó X I có tích phân đầu là khác không Vì vậy, ta được X chỉ 11 a CXXII Ỉ H (x) = -(Tra) (2.6) 2 K 7r(a + x ) ' (a + CXXIII 00 00 00 00 2 ễt 2 2 CXXIV X ) CXXV CVí X V 2.3 Tìm biến đổi Hilbert của các hàm ( ỉ ) X dụ I C X X V I(I) = cos Lút (ii) f(t) = sincưí f t CXXVIII C X i) I X định nghĩa (2.1) của biến đổi Hilbert, ... 1.3 Biến đổi Fourier 1.3.1 Định nghĩa a c Đ ị n h n g h ĩ a 1.8 (Định nghĩa tích phân Fourier) Tích phân Fourier của hàm / khả tích tuyệt đối trên toàn trục thực là + oo I — II thì dạng nói trên của công thức tích phân Fourier trở thành I I I 00 IV f(x) = J ® ( y ) e ix y d v — 00 V Người ta gọi phép ứng với mỗi hàm / với hàm số VI VII V I I I ị { y ) = $(y) = v p (1 IX X XI là phép biến đổi Fourier và. .. 1 thì tích phân phân kỳ và nếu a < 1 thì tích phân hội tụ Liên hệ giữa hai loại tích phân suy rộng Xét tích phân suy rộng 6 6 J f ( x ) d x = lim J f ( x ) d x a a+e Thực hiện phép đổi biến số X = a + ta được y 11 b £ £ Ị f{x)dx = Ị f[a+^ )Ệ= J v(yìdy a+ e 1 b — a 1 b— a trong đó i p ( y ) = -T-/ Ị a + — ) Cho £ —> 0 ta đươc r V yj + 6 1 00 1 a b — a Vậy bằng những phép biến đổi đơn giản ta luôn đưa... vậy người ta định nghĩa biến đổi Fourier của hàm ngược là phép ứng mỗi hàm số / với hàm số X I I 00 V XIII V ( y ) = -V^Ỹ J 00 — 00 X I V và thường được ký hiệu bởi F Như vậy F [/] = — XV C h ú ý Tích phân Fourier có thêm một dạng nữa XVI XVII f(x) = 00 00 J dy Ị f(t)eiy[t~x]dt = 0 — XVIII 00 —00 hay là XIX XX f{x) =/ Ẳ / 00 00 me "‘dt — 00 L —00 X X I V í d ụ 1 5 Tìm biến đổi Fourier của exp( —... trên — a < t < a Do đó, ta có XCIX C CI — a ỉ h { x ) = ị í J ^ — = \ [log|í-x|]|“ a = ị l o g l ĩ J t — X l ĩ 7 Ĩ a— a X CII C I I I Như thế, biến đối Hilbert của hàm f ( t ) đã cho trong (2.3) là hàm a— Ỉ H (X ) = CIV a + X log C V V í d ụ 2 2 Tìm biến đổi Hilbert của hàm CVI CVII C V I I I /(*) = a > (2 (2.4 CIX (■t2 + a2) CX 00 CXI tdt (X) H (t 2 4- a 2 ) ( t — CXII = — 00 ỈJ x X CXIII a d 7r(a2... hàm f ( x , t ) xác định trên tập hợp R = (a, 0] X [с, d \ và hàm X I—^ f { x , t ) không bị chặn tại a Nếu tồn tại giới hạn b 1.2.3 Tích phân phụ thuộc tham số của các hàm không bị chặn I ( t ) = lim / f ( x , t ) d x , (1 a+õ thì giới hạn đó là một hàm số theo biến t £ [c, đ ị và gọi là tích phân phụ thuộc tham số của hàm không bị chặn và ký hiệu là 6 I{t) = Ị f{x,t)dx a b Tích phân I ( t ) = J... Fourier và ngược của nó có tính chất tuyến tính, nghĩa lầ XXXVII XXXVIII 2 vã XXXIX [/1] XL F [^i/i + ^2/2] = Ai-F [/1] + A F [/2] F 1 [^1/1 + ^2/2] — + A2.F1 [/2] M ệ n h đ ề 1 3 Phép biến đổi Fourier cũng như ngược của nó là phép tương ứng 1 — 1 Theo định nghĩa ta có X L I M e n h d e 1 4 Phep bien doi Fourier cua mot ham kha tich tuyet doi (tren toan true thiic) la mot ham bi chan (tren toan true... X V I Do đó, tích chập của hai hàm này cũng là một hàm khả tích tuyệt đối trên toàn trục số Như vậy, phép tích chập biến hai hàm trong lớp hàm liên tục, bị chặn và khả tích tuyệt đối trên toàn trục số thành một hàm trong chính lớp này LXVII V í d ụ 1 6 Tìm tích chập của LXVIII f ( x ) = c o s a ; và g ( x ) = exp ( — a |a;|); a > 0 Theo định nghĩa ta có LXIX LXX 00 00 (/ * 9 ) { x ) = J f { x - £ . đổi Hilbert, phép biến đổi Hilbert ngược, mối quan hệ giữa phép biến đổi Hilbert và một số phép biến đổi tích phân khác. Nghiên cứu ứng dụng của phép biến đổi Hilbert trong việc giải Bài toán. hiệu lực của phép biến đổi trong một số lĩnh vực khác, tôi chọn đề tài ’ Phép biến đổi Hilbert và áp dụng& quot; để hoàn thành luận văn tốt nghiệp khóa đào tạo Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích. 2 cứu và nhiệm vụ nghiên cứu. Nghiên cứu về phép biến đổi Hilbert và một số áp dụng của nó. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu. Nghiên cứu về khái niệm và một số tính chất cơ bản của phép biến đổi