DƯƠNG THỊ HƯƠNG BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI PHÂN TÍCH ĐA PHÂN GIẢI KHUNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC DƯƠNG THỊ HƯƠNG PHÂN TÍCH ĐA PHÂN GIẢI KHUNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 Người hướng dẫn khoa học TS. Nguyễn Quỳnh Nga Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành hướng dẫn TS. Nguyễn Quỳnh Nga. Tôi xin bày tỏ kính trọng lòng biết ơn sâu sắc cô, người giao đề tài tận tình hướng dẫn hoàn thành luận văn này. Đồng thời xin gửi lời cảm ơn tới Thầy, Cô trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Viện Toán học Hà Nội, trang bị kiến thức phương pháp nghiên cứu để hoàn thành khóa học. Tôi xin cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sao Đỏ, toàn thể cán giảng viên khoa Khoa học trường Đại học Sao Đỏ tạo điều kiện giúp hoàn thành chương trình cao học. Và cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, tập thể lớp Toán giải tích K16 (đợt 2)-trường Đại học Sư phạm Hà Nội động viên, cổ vũ, tạo điều kiện thuận lợi cho trình học tập hoàn thành luận văn. Hà Nội, tháng năm 201Ậ Tác giả Dương Thị Hương Lời cam đoan Tôi xin cam đoan, luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài "Phân tích đa phân giải khung" hoàn thành hướng dẫn TS. Nguyễn Quỳnh Nga thân tác giả. Trong trình nghiên cứu thực luận văn, tác giả kế thừa thành tựu nhà khoa học với lòng biết ơn trân trọng nhất. Hà Nội, tháng năm 2014 Tác giả Dương Thị Hương Mục lục Kiến thức chuẩn bị Một số không gian hàm Mở Phép đầu .biến đổi Fourier 1. Chương biến đổi Fourier không gian L (]R) 1. Phép 2. 1.1 1. Phép biến đổi Fourier không gian L2 (R) 1. Khung không gian Hilbert tổng quát 3. Sóng nhỏ trực chuẩn phân tích đa phân giải cổ điển 1. Sóng nhỏ trực chuẩn 4. Phân tích đa phân giải cổ điển 1. Xây dựng sóng nhỏ từ phân tích đa phân giải Phân tích đa phân giải khung Chương 4 7 5 Phân tích đa phân giải khung . 2.1. 2. Các điều kiện đủ Làm nhẹ điều kiện Xây dựng khung 2. 2. Tài liệu tham khảo Mở đầu . Lý chọn đề tài Phân tích đa phân giải “cổ điển” Mallat Meyer đưa vào năm 1986. Ý tưởng đóng góp vào việc xây dựng sở sóng nhỏ trực chuẩn L (M), tức sở trực chuẩn có dạng ý jĩk (x) = (2 j x — k) , j,k € z. Về mặt toán học, ý tưởng phân tích đa phân giải biểu diễn hàm (một tín hiệu) / giới hạn trình xấp xỉ liên tiếp, bước ta mô hình gần với /. Các trình xấp xỉ liên tiếp tương ứng với độ phân giải khác nhau. Khung không gian Hilbert Duffin Schaeffer [7] đưa vào năm 1952 phải đến năm 1986, sau báo Daubechies, Grossmann Meyer [6 ] khung nhận quan tâm rộng rãi. Khung thường sử dụng xử lý tín hiệu, xử lý ảnh, nén liệu lý thuyết mật mã. Trong nghiên cứu không gian véctơ khái niệm quan trọng sở, cho phép phần tử không gian viết tổ hợp tuyến tính thành phần sở. Tuy nhiên, điều kiện sở hạn chế - không cho phép phụ thuộc tuyến tính thành phần yêu cầu thành phần trực giao tương ứng với tích vô hướng. Điều làm cho khó tìm chí tìm thấy sở đáp ứng điều kiện bổ sung lý mà người ta mong muốn tìm công cụ linh hoạt hơn. Khung công cụ vậy. Một khung cho không gian véctơ trang bị tích vô hướng cho phép phần tử không gian viết tổ hợp tuyến tính phần tử khung tính độc lập tuyến tính phần tử khung không cần thiết. Phân tích đa phân giải khung đưa Benedetto Li [2] năm 1994. Mục đích lý thuyết xây dựng khung sóng nhỏ L (M), tức khung có dạng iỊjj k (:c) = 2 - ị2 j x — k) ,j,k e z, đổ E L (M). Ý tưởng dùng độ phân giải khác giúp cho việc xây dựng trở nên hiệu mặt tính toán. Với mong muốn hiểu biết sâu sắc lý thuyết phân tích đa phân giải khung, đồng ý hướng dẫn TS. Nguyễn Quỳnh Nga, chọn nghiên cứu đề tài: “Phăn tích đa phân giải khung” để thực luận văn tốt nghiệp chương trình đào tạo thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích. Luận văn chia làm hai chương với phần mở đầu, kết luận chung danh mục tài liệu tham khảo. Trong chương nhắc lại kết lý thuyết không gian (fỉ), phép biến đổi Fourier. Bên cạnh trình bày khái niệm khung không gian Hilbert tổng quát khái niệm phân tích đa phân giải cổ điển. Chương luận văn trình bày phân tích đa phân giải khung. Cụ thể, trình bày khái niệm phân tích đa phân giải khung, sau tìm hiểu điều kiện để hàm ộ sinh phân tích đa phân giải khung. Phần cuối chương trình bày ứng dụng phân tích đa phân giải khung vào việc xây dựng khung. . Mục đích nghiên cứu Đề tài nhằm nghiên cứu, trình bày phân tích đa phân giải khung việc xây dựng khung. . Nhiệm vụ nghiên cứu - Tìm hiểu phân tích đa phân giải khung; - Nghiên cứu điều kiện đủ, việc làm nhẹ điều kiện việc xây dựng khung. . Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu: Các kiến thức sở cần thiết, số khái niệm kết lý thuyết khung, phân tích đa phân giải khung; - Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu, báo nước liên quan đến phân tích đa phân giải khung. . Phương pháp nghiên cứu - Tìm hiểu tài liệu: Các báo đăng sách in có liên quan đến phân tích đa phân giải khung; - Sử dụng kiến thức giải tích Fourier giải tích hàm vào nghiên cứu phân tích đa phân giải khung. . Đóng góp luận văn Trình bày cách tổng quan lý thuyết phân tích đa phân giải khung. Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1. Một số không gian hàm Trong mục nhắc lại số không gian hàm sử dụng phần sau, tham khảo tài liệu [1], [4]. Để thuận tiện cho việc trình bày luận văn sử dụng kí hiệu viết tắt: h.k.n = hầu khắp nơi. Định nghĩa 1.1.1. (Không gian L p (íĩ), < p < oo) Cho p € M, < p < oo íỉ tập mở M. Ta định nghĩa ư{ỹí) := {/ : —> C| / đo j I/ (x)\pdx < oo}. ũ Ta định nghĩa không gian L°° (ri) sau: L°° (ri) := {/ : Q —>■ C| / đo 3C, I/ (x)\ < c h.k.n rỉ} . Kí hiệu \\f\\p := |y\f{x)\PdxỴ ũ ll/lloo:= inf{C| \f{x)\ < c h.k.n . Khi Ư (íĩ) (1 < p < oo) không gian Banach với chuẩn ||.|| . Đặc biệt, không gian L (ri) không gian Hilbert với tích vô hướng ư,g) = Ị ỉ {x)g{x)dx. ũ Chúng ta đồng khoảng (—, -) với hình xuyến T kí hiệu zz L (T) lớp hàm tuần hoàn chu kỳ Ш mà hạn chế (-ị, ị) thuộc vào L (-ị, \). Tương tự, L°° (T) bao gồm tất hàm bị chặn tuần hoàn chu kỳ R. Ta ý L (T) L°° (T) thực bao gồm lớp tương đương hàm mà hầu khắp nơi, ta nói mối quan hệ điểm hàm, ta phải hiểu chúng thực xảy hầu khắp nơi. Bất kỳ hàm L (T) biểu diễn dưới dạng chuỗi Fourier C ỵ = Ị f (X) e~2lĩikxdx. Sự hội tụ (1 .1 ) hội tụ L (—-, -), tức 2' ị N = (1-1) 2ir / f(x)~ CnẼ dx = . n=-M Sau vài kết không gian hàm này. lim Định lí 1.1.2. (Bất đẳng thức Holder) 11 Cho f e L p (ri) g e (ri) với - + — = 1; < p,p' < oo. Khi đó, f.g € L (íỉ) pp (1.2) Đặc biệt, p = p' = ta có bất đẳng thức Schwarz - Buniakowski \f-9\ < W f WA d h - (1-3) í L Ngoài ra, với p £ R, < p < oo ta có bất đẳng thức Minkowski II/ + g \ \ p < \ \ f \ \ p + llôilp- (1-4) Định lí 1.1.3. (Hội tụ bị chặn Lebesgue) Cho {f n} dẫy hàm (thực phức) khả tích tập mở íỉ Mn. Giả sử: (i) (ỉỉ) fn (X) —> f (X) h.k.n íì; Tồn hàm g khả tích cho vớimỗi n, Ifn (a;)| < g (x) h.k.n íỉ. Khi f khả tích Ị f ( x ) d x = lim [ fn ( x ) dx. (1.5) Định lí 1.1.4. (Bỗ đề Fatou ) Nếu {f n} dãy hàm đo không ăm f limĩ n < lim [ ỉ n JR n—>oo n—>oo Giả sử ÍỈ1 ẽ Mni; ÍỈ2 € Kn hai tập mở / : íìị X íỉ2 —ì M (hoặc C) hàm đo được. Định lí 1.1.5. (Tonelli) Giả sử fQ IF (X, y ) \ d y < oo h.k.n X £ íĩi J íĩi dx IF { x , y ) \ d y < oo. J rì2 Khỉ F khả tích ÍỈ1 X íỉ2. Định lí 1.1.6. ( Fubini ) Cho F khả tích ÍỈ1 X íỉ2. Khi với h.k.n X G F (x,.) = y F ( x , y ) k h ả t í c h t r ê n ÍỈ2 v X !-»■ f n F ( x , y ) d y k h ả t í c h t r ê n íĩi. K ế t T i ộ # o | $ ) ) £ _ ! • Theo (2.37) $ > A,Ti$ > A T2, N • ------2 — —---------------- — — | A | > A (|ff„|2 + 7\|tf„|2) >^>0. Do đó, hệ phương trình (2.13) (2.14) có nghiệm nhất. Theo Crammer, ta có — quy tắc — $ — F() Ti (F$) G $Ti (F$) — — — — Bởi vậy: T D I I 7 I I — p — ~B — Do đó, G bị chặn. Làm tương tự ta có Gi bị chặn. — Bây giờ, cho € T3. Khi (2.14) thỏa mãn. Đế giải (2.12) — (2.13) chứng minh H (7) Ỷ — — Với 7ỄĨ3 có $ í7 ^—j = 0. Vì vậy, từ (2.4) ta suy — — Bởi vậy, (7) Ỷ với £ T3. — $(27) = |ÍÍO(7)|2$ (7).(2.4 $ (7) > A T3. Theo Định1.3.1 lí — — — Vậy thông qua (2.40) — — IH Mi = 9( - rì < B — №(7)l ^)-A- chứng minh vế phải bất đẳng thức (2.39). Bởi vậy: (2.40) — — € T3 H (7) 7^ (27) Ỷ 0- D° đó: A < $ (27) = I(7)|2Ỉ> (7) < B\H (7)|2. — Bây quay lại phương trình (Ị 2.12D, (|2.13|)■ Với € T3 ta suy H~ữF = 0, HữGo + FGị = 1. — — Trong trường hợp H (7) = phương trình thỏa mãn, phương trình thứ hai trở thành F (7) G (7) = 1. Ta có điều cách định nghĩa — — F (7) = G l (7) = 1. Trong trường hợp HQ (7) Ỷ phương trình phải định nghĩa F (7) = 0. Do phương trình thứ hai trở thành — HQ (7) GQ (7) = mà thu với hàm bị chặn G (|2.39|). Điều kết thúc chứng minh với € T3. — Chúng ta ý lựa chọn cho hàm F G T3 H (7) = 0 € T3 H (7) Ỷ Chứng minh G T4 tương tự. — Trong trường hợp (Ị2.13D thỏa mãn. (Ị 2.12Ị) (Ị2.14Ị) trở — thành T ị ỢTữF) = ũ, (TịH0) G0 + (TịF) Gl = 0. — (2.42) —----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Vì G T4, biết € T3 (hoặc mở rộng tuần hoàn nó). — Nếu HQ (7 — I) ^ phương trình (2.42) — buộcchúng ta định nghĩa F (7 — I) = tương thích với (Ị2.41Ị). — Phương trình thứ hai (2.42) trở thành ỊTiH 0^ (7) G ữ (7) = 0, mà — thỏa mãn cho G (7) = 0. Nếu H (7 — I) = 0, phương trình (2.42) — thỏa mãn. Phương trình thứ hai đưa T i F (7) G ị (7) = 0. Điều thu — việc cho G (7) = 0. Điều hoàn thành phân tích trường hợp 7ỄT4. Chú ý đặc biệt ta không đòi hỏi điều kiện F (7) cho e T4, ngoại — trừ muốn F hàm bị chặn. Đặc biệt, định nghĩa: — F(7) = 0, 0. Vì |r| = nên giả sử $ (27) > 0. Vậy: — — — $ (27) = $ (7) = T_ 1$ (7) = 1. Do đó, phương trình (2.4) — — — |tfo(7)|2 + — Ho (7 + ỉ = Theo (2.44), ta có: — — *(27) = |f (7)|2 + ^(7 + =ĩ||i/0(7)| + |H 0(7)| = l. — — Bây giờ, xét € T3. Trong trường hợp — — Nếu e T4 Ỹ (27) = \F (7 + I) |2$ (7 + I) H— e T3 (hoặc mở rộng tuần — — hoàn nó). Do đó, (2.51Ị) ^ (27) nhận giá trị 1. Cuối cùng, với ẽ Ti có Ỹ (27) = 0. Chúng ta chứng minh ^ nhận giá trị 1, {ĩfe'0}feeZ — — dãy khung chặt. Theo Mệnh đề 2.4.3 lựa chọn hàm F đảm bảo khung w . — — □ Như trường hợp đặc biệt thu kết cổ điển nói đến (2.35) cho xây dựng sở trực chuẩn dựa phân tích đa phân giải. Hệ 2.4.7. Giả sử ậ e L (M) sinh phân tích đa phân giải với — biểu trưng hai bậc H ữ . Cho F := (TIHQ^ E-I định nghĩa hàm ĩp e Vị lị) (27) := F (7) ộ (7). — Khi đó, tj) sinh sở trực chuẩn {DiTkiỊ)}. — Chứng minh. L (M). Trong trường hợp phân tích đa phân giải có T2 = T chứng — — kz minh Hệ 2.4.6 Ỹ = 1. Do đó, theo Định lí 1.3. chuẩn w . hàm {Tkip} k€li thiết lập sở trực — Sử dụng tính tự việc chọn F chứng minh nếu□ộ sinh phân tích đa phân giải khung |r| = xây dựng khung chặt {ĩfe'0}jfceZ w mà không giả thiết — — thân {Tkộ} k€lẩ chặt. Chúng ta sử dụng lại việc chia T = u Tị từ i= chứng minh Định lí |2.4.5 — Định lí 2.4.8. Giả sứ ậ G L (M) sinh phân tích đa phân giải — —_____________ khung |r| = 0. Cho K G L°° (T) hàm - - tuần hoàn mà bị chặn dưới, định nghĩa F € L°° (T) — — — Ti (H ữ $) (7) E_ị (7) K (7) e T2 Xy— e T3, H (7) = v$ (7) — trường hợp lại . — (2. 52) — Khi đó, với Ip EVi, định nghĩa 'ộ (27) = F (7) ộ (7), điều sau (ii) Giả sử K lựa chọn cho T2 có \K\ ($Ti$ (Ti (|#o|2$) + |tfo|2$)) = 1. (2.53) — Khi đó, — — — khung chặt w {DiTký}. kz khung chặt L (M); Cả hai khung có cận khung 1. Chứng minh. So sánh với (2.44) thay đối F — T2 u {7 G T3 : HQ (7) — 0} . — Nghĩa là, để chứng minh (i) cần phương trình — Mệnh đề 2.4.3 giải tập với lựa chọn F. — — Việc lựa chọn F T3 đưa (2.52) chấp nhận bị chặn T3. Để chứng minh (ii), ý với lựa chọn — ^ (27) = IF (7)|2[...]... cỏc cn khung Chỳng l khụng duy nht Cn khung trờn ti u l cn di ỳng ca tt c cỏc cn trờn ca khung, v cn khung di ti u l cn trờn ỳng ca tt c cỏc cn di ca khung Chỳ ý rng cỏc cn ti u thc s l cỏc cn ca khung Nu dóy {/jfc}^! tha món bt ng thc v phi ca (1.18) thỡ nú c gi l dóy Bessel Khi ú s c gi l mt cn Bessel ca dóy = 1 nh ngha 1.3.2 () Mt khung l cht nu ta cú th chn = l cỏc cn ca khung; (i) Nu mt khung. .. mt d y khung vi cỏc cn A,B v : Tớ H l toỏn t Unita thỡ { u l mt dy khung vi cỏc cn khung , Mnh 1.3.10 Gi s { f k } k L i l mt d ó y khung trong khụng gian Hilbert % v p kớ hiu phộp chiu trc giao ca Tớ lờn mt khụng gian con úng V Khi ú ta cú cỏc khng nh sau: (%) Nu l mt khung ca % vi cỏc cn khung A,B thỡ { p f k } = i l mt khung ca V vi cỏc cn khung l A , B ; () Nu { f k } k L i l mt khung ca... nhng kt qu quan trng nht v khung Nú ch ra rng nu {/jfc}^! l mt khung ca n thỡ mi phn t trong % cú mt biu din nh mt t hp tuyn tớnh vụ hn ca cỏc phn tkhung Do ú ta cú th xem khung nh l mt "c s suy rng" nh lớ 1.3.8 G i s { f k } k = i l mt khung vi toỏn t khung s Khi ú 00 / = XX/.S7ằ>A,V/eH k= 1 Chui hi t vụ iu kin V/ & % Chng minh Gi s f EH S dng cỏc tớnh cht ca toỏn t khung trong Mnh 33I B 1.3.9... mt khung khụng cũn l khung khi mt phn t tựy ý b loi b thỡ nú gi l khung thc s Khi ta núi v cn ca khung cht, ta mun núi giỏ tr chớnh xỏc A cựng lỳc l cn trờn v cn di ca khung Chỳ ý rng iu ny hi khỏc vi thut ng ca khung tng quỏt, ú vớ d mt cn khung trờn ch l mt s no ú m bt ng thc v phi ca (1.18) c tha món Mnh 1.3.3 Trong trng hp khụng gian Hilbert ớ hu hn chiu thỡ dóy {fk}=i l mt khung khi v ch khi span{f}=l... { f k y k L i l mt dóy trong T-L Ta núi rng { f k } f r = 1 l mt dóy khung nu nú l mt khung ca span { f k } k L i Vớ d 2 Gi s {efe}^=1 l mt c s trc chun ca T ớ Nu I ỗ N l mt tp con thc s thỡ { e k } k l khụng y trong T ớ v khụng th l mt khung ca % Tuy nhiờn, { e k } k l l mt khung ca span {} 1 , tc l, nú l mt dóy khung Do khung { f k } k L i l dóy Bessel, toỏn t T:I2(N)->ô, T { A, nhng iu ny l mõu thun Vỡ vy, { s - ' f k } cú cn trờn ti u l Lp lun tng t cho cn di ti u Khung {s-1/*}?-! c gi l i ngu chớnh tc ca { f k } k L i bi vỡ nú úng cựng vai trũ trong lý thuyt khung nh i ngu ca mt c s Thng thng ta s b qua t "chớnh tc" v ch núi n khung i ngu nh lớ... f k } k L ca % l mt khung ca % v cỏc cn ca c s Riesz trựng vi cỏc cn ca khung C s i ngu Riesz l {5-1/*}= nh lớ 1.3.15 Mt dóy { f k } k L i trong n l khung ca H khi v ch khi 00 T ' =1 y c k f k k=l l ỏnh x hon ton xỏc nh t l 2 (N) lờn n Chng minh u tiờn, gi s { f k } k L i l mt khung Theo nh lớ 1.3.4, T l toỏn t hon ton xỏc nh, b chn t l 2 (N) vo % Theo Mnh |l.3.7|(%) toỏn t khung s = T T * l ton... c bit: (1.17) 1.3 Khung trong khụng gian Hilbert tng quỏt Trong sut lun vn ny, chỳng tụi s s dng n ký hiu khụng gian Hilbert Trong mc ny chỳng tụi trỡnh by khỏi nim khung, dóy khung, c s Riesz v mt s tớnh cht ca chỳng Ni dung ca mc ny c tham kho trong [4], [5], [6 ], [7] 00 2 c 2 Ký hiu: l (N) = {{c;}^! G I X) \ i\ < 00} i= 1 nh ngha 1.3.1 Mt dóy {/fc}^! ca cỏc phn t trong H l mt khung ca Tớ nu tn... ll/ll2 Êk/,a>i2 = E (4./*) k=l k= 1 ' Vi vay {/fc}^=1 la mot khung cua T i Vi du 1 Gia stjC {e*.}^ la mot cO sci trtfc chuan cua T-L (i) Bang cach lap mQi phan tut trong day {ek} =1 ta thu dildc { f k } k Li = {eii ei> e 2 , e2, } , la khung chat vdi can khung A = 2 Neu chi e \ dildc lap lai ta thu duoc { f k } k L i = {ei, ei, e2, e3, } , la mot khung vdi can A = 1, B = 2 Gia sue {/*KLi := {ei> , ^e2, . DƯƠNG THỊ HƯƠNG PHÂN TÍCH ĐA PHÂN GIẢI KHUNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC DƯƠNG THỊ HƯƠNG PHÂN TÍCH ĐA PHÂN GIẢI KHUNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01. liên quan đến phân tích đa phân giải khung; - Sử dụng các kiến thức của giải tích Fourier và giải tích hàm vào nghiên cứu phân tích đa phân giải khung. 6 . Đóng góp mới của luận văn Trình bày. niệm phân tích đa phân giải khung, sau đó chúng tôi tìm hiểu điều kiện để hàm ộ sinh ra phân tích đa phân giải khung. Phần cuối của chương này chúng tôi trình bày ứng dụng của phân tích đa phân