SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO QUẢNG BÌNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 11 Năm học 2001 - 2002 ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn: TỐN THPT CHUN Thời gian 180 phút (không kể thời gian giao đề) Câu I (2,5 điểm) So sánh số 20012002 20022001 Câu II (2,5 điểm) x x Tìm nghiệm dương phương trình: 22 + 32 = 2x + 3x+1 + x + Câu III (2,5 điểm) Cho dãy số (uk ) với uk = k + + + + , ∀k ∈ N∗ Tính: 2! 3! 4! (k + 1)! lim n→∞ un + un + + un 2001 Câu IV (2,5 điểm) Cho lăng trụ tam giác ABC.A1 B1 C1 có cạnh a Xác định đường vng góc chung A1 B B1 C Từ đó, tính khoảng cách A1 B B1 C ——— Hết ——— ————— http://mathqb.eazy.vn SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO QUẢNG BÌNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 11 Năm học 2004 - 2005 ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn: TỐN THPT Thời gian 180 phút (khơng kể thời gian giao đề) Câu I (2,5 điểm) Tính giá trị của: cos 50 − cos 310 − cos 410 + cos 670 + cos 770 Câu II (2,0 điểm) Cho dãy số (an ) xác định a1 = 1, an+1 = an + an , n ≥ Chứng minh biểu thức √ a2 −2 n số nguyên với n > Câu III (2,5 điểm) Cho tứ diện ABCD, đường vng góc chung AC BD qua trung điểm BD SABD = SBCD = SABC Giả sử tồn điểm O tứ diện cho tổng khoảng cách từ O đến B D tổng khoảng cách từ O đến bốn mặt tứ diện Chứng minh: a) Đường vng góc chung AC BD qua trung điểm AC b) AC vuông góc với BD Câu IV (2,0 điểm) Gọi r, R bán kính đường trịn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác ABC r1 bán kính đường trịn nội tiếp tam giác có đỉnh tiếp điểm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Chứng √ minh r ≤ Rr1 Câu V (1,0 điểm) Giải phương trình: x3 − 3x = √ x + ——— Hết ——— ————— http://mathqb.eazy.vn SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO QUẢNG BÌNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 11 Năm học 2005 - 2006 ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn: TỐN THPT Thời gian 180 phút (khơng kể thời gian giao đề) Câu I (2,5 điểm) Giải phương trình: √ 2006 x − 2004 + √ 2006 2005 − x = Câu II (2,5 điểm) √ xtan2n πx + x Tìm lim n→+∞ tan2n πx + Câu III (2,5 điểm) Cho dãy số (un ) xác định sau: u1 = 0; u2 = 1; u3 = un = 7un−1 − 11un−2 + 5un−3 ; (n ≥ 4) Tìm số hạng tổng quát un Câu IV (2,5 điểm) Trong không gian cho đường thẳng d đoạn thẳng AB không thuộc mặt phẳng Tìm điểm M d cho M A + M B có giá trị nhỏ ——— Hết ——— ————— http://mathqb.eazy.vn SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO QUẢNG BÌNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 11 Năm học 2006 - 2007 ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn: TỐN THPT Thời gian 180 phút (khơng kể thời gian giao đề) Câu I (2,0 điểm) Tính giới hạn sau: − cos 3x a) L1 = lim x→0 x2 x3 + − x b) L2 = lim x→+∞ Câu II (2,0 điểm) Giải phương trình: √ 13 − x + √ 22 + x = Câu III (2,0 điểm) Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác p nửa chu vi tam giác Chứng minh bất đẳng thức: abc 36 p2 + a2 + b2 + c2 ≥ 35 p Câu IV (1,5 điểm) Cho số thực a thỏa mãn điều kiện < a < Ta định nghĩa dãy số (un ) sau: i) u1 = 0 [na] = [(n − 1)a ii) un = ; n ≥ [na] = [(n − 1)a] (Trong đó, ký hiệu [x] phần nguyên số thực x, có nghĩa: [x] số nguyên lớn không lớn x) u1 + u2 + + un Tìm L = lim n→+∞ n Câu V (2,5 điểm) Cho hình vng ABCD có độ dài cạnh a Một góc xAy = 450 chuyển động quay quanh đỉnh A Tia Ax cắt cạnh BC M , tia Ay cắt cạnh CD N Đặt BM = p, DN = q (với < p < a; < q < a) a) Chứng minh a(p + q) + pq = a2 b) Tìm p q để diện tích tứ giác AM CN đạt giá trị lớn ——— Hết ——— ————— http://mathqb.eazy.vn Sở GD & ĐT Quảng Bình KÌ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 11 THPT NĂM HỌC: 2009 - 2010 Mơn: TỐN Thời gian làm 180 phút (Khơng kể thời gian phát đề) ĐỀ CHÍNH THỨC SBD: Câu I (2,0 điểm) Giải phương trình: √ 2010 2010 (1 + x)2 − − x2 + Câu II (2,0 điểm) Cho dãy số (un ), u1 = un+1 = 2010 (1 − x)2 = n = 1, 2, xác định sau: un (un + 1)(un + 2)(un + 3) + ; n Đặt = i=1 ui + ; n = 1, 2, n = 1, 2, Tìm lim Câu III (2,5 điểm) Cho hình lập phương ABCD.A B C D có cạnh a điểm M, N thuộc cạnh AD, BB cho AM = BN = x, (0 ≤ x ≤ a) Gọi I, J theo thứ tự trung điểm AB C D a) Chứng minh điểm M, N, I, J đồng phẳng b) Tìm vị trí M N cạnh AD BB cho chu vi thiết diện mặt phẳng (MNIJ) cắt hình lập phương ABCD.A B C D có giá trị nhỏ Câu IV (2,0 điểm) Cho hàm số f (x) liên tục [0; 1] thỏa mãn điều kiện f (0) = f (1) Chứng minh phương trình: f (x) = f (x + Câu V (1,5 điểm) Chứng minh rằng, với số dương a, b, c ta có: a3 + a3 + (b + c)3 Ghi chú: ) có nghiệm x ∈ [0; 1] 2010 b3 + b3 + (c + a)3 c3 ≥ c3 + (a + b)3 + Thí sinh không sử dụng tài liệu trao đổi làm + Cán coi thi khơng giải thích thêm SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO QUẢNG BÌNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 11 Năm học 2010 - 2011 ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn: TỐN THPT Thời gian 180 phút (không kể thời gian giao đề) Câu I (3,0 điểm) √ a) Giải phương trình: sin 3x + cos 3x − 2 cos x + π + = 1 2x + x+y + x−y = 16 b) Giải hệ phương trình: 1 x2 + y + (x+y)2 + (x−y)2 = 100 Câu II (2,0 điểm) Cho dãy số (xn ) thỏa mãn xn+1 n→+∞ xn √ x1 = 30 xn+1 = 30x2 + 3xn + 2011; n ∈ N∗ n Tìm lim Câu III (3,0 điểm) Cho tứ diện ABCD cạnh a có I trọng tâm tam giác ABC, J trọng tâm tam giác BCD, vẽ mặt phẳng qua IJ cắt AB, AC, DC, DB điểm M, N, P, Q với AM = x, AN = y (0 < x, y < a) a) Chứng minh M N, P Q, BC đồng quy song song M N P Q hình thang cân b) Chứng minh a(x + y) = 3xy Từ suy 4a ≤ x + y ≤ 3a c) Tính diện tích tứ giác M N P Q theo a s = x + y Câu IV (1,0 điểm) Cho phương trình: ax2 + (2b + c)x + 2d + e = có nghiệm khơng nhỏ Chứng minh phương trình ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = có nghiệm Câu V (1,0 điểm) Cho x, y, z > Chứng minh rằng: P = 2xy 2yz 3zx + + ≥ (z + x)(z + y) (x + y)(x + z) (y + z)(y + x) ——— Hết ——— ————— http://mathqb.eazy.vn SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO QUẢNG BÌNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 11 Năm học 2011 - 2012 ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn: TỐN THPT Thời gian 180 phút (khơng kể thời gian giao đề) Câu I (3,0 điểm) √ a) Giải phương trình: 2cos3 x − π − cos x − sin x = x(x + 2)(2x + y) = b) Giải hệ phương trình: x2 + 4x + y = Câu II (2,0 điểm) Tính giới hạn: L = lim x→1 2011 2012 − 2011 1−x − x2012 Câu III (3,0 điểm) Cho tứ diện SABC có SA = SB = SC = 1, mặt phẳng (P ) qua trọng tâm M tứ diện, cắt cạnh SA, SB, SC D, E, F (khác S) −→ 1 − − → → → − − a) Chứng minh rằng: SM = SD SD + SE SE + SF SF b) Tìm giá trị lớn biểu thức: SD.SE + SE.SF + SF.SD Câu IV (1,0 điểm) Cho x, y, z > xyz = Chứng minh rằng: 1 + + ≥ (x + 2y) + 3z) 8y (3z + x) 27z x3 (2y Câu V (1,0 điểm) Trong hình vng có diện tích 2, ta dựng đa giác có diện tích Chứng minh đa giác có cặp đa giác có diện tích phần chung chúng không nhỏ ——— Hết ——— ————— http://mathqb.eazy.vn SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO QUẢNG BÌNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 11 Năm học 2003 - 2004 ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn: TỐN THPT CHUN - Vịng Thời gian 180 phút (khơng kể thời gian giao đề) Câu I (2,0 điểm) Với giá trị m giá trị lớn hàm số f (x) = 5x − x2 + |x − m| luôn nhỏ Câu II (2,0 điểm) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số: f (x) = x 2003 + √ Câu III (2,0 điểm) Giải phương trình: 1−x2 x2 −2 1−2x x2 = 1 − x Câu IV (2,0 điểm) sin πx2003 x→1 πx2004 Tính giới hạn: L = lim Câu V (2,0 điểm) Chứng minh với số tự nhiên n ≥ logn−1 n > logn (n + 1) ——— Hết ——— ————— http://mathqb.eazy.vn 2005 − x2 SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO QUẢNG BÌNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 11 Năm học 2003 - 2004 ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn: TỐN THPT CHUN - Vịng Thời gian 180 phút (không kể thời gian giao đề) Câu I (2,0 điểm) Tìm tất cặp số thực (x; y) thỏa mãn hệ thức: cos4 x + sin4 x + sin y + =8+ 4x cos sin x Câu II (2,5 điểm) Giải phương trình: 2x3 − x2 + √ 2x3 − 3x + = 3x + + √ x2 + Câu III (2,5 điểm) Cho dãy số (un ) xác định sau: √ u1 = √ Tìm lim un ? n→+∞ un = + un−1 , n ≥ Câu IV (3,0 điểm) Trong không gian cho ba tia Ox, Oy, Oz vuông góc với đơi M điểm cố định miền không gian giới hạn góc tam diện Oxyz, điểm M khơng trùng với điểm O Một mặt phẳng (P ) chuyển động luôn qua M cắt Ox, Oy, Oz A, B, C Xác định vị trí điểm A, B, C cho tổng độ dài OA + OB + OC có giá trị nhỏ ——— Hết ——— ————— http://mathqb.eazy.vn SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO QUẢNG BÌNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 11 Năm học 2003 - 2004 ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn: TỐN THPT - Vịng Thời gian 180 phút (khơng kể thời gian giao đề) Câu I (2,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Chứng minh rằng: tan2 A + tan2 B + tan2 C ≥ Câu II (2,0 điểm) Với giá trị m giá trị lớn hàm số f (x) = 4x − x2 + |x − m| ln nhỏ 5? Câu III (2,0 điểm) Tìm tất nghiệm nguyên dương (x; y) phương trình: 2(x + y) + xy = x2 + y Câu IV (2,0 điểm) Cho dãy số (un ) thỏa mãn điều kiện < un < un+1 (1 − un ) > Tìm lim un ? n→+∞ Câu V (2,0 điểm) Không sử dụng bảng số máy tính, chứng minh rằng: sin2 630 + ——— Hết ——— ————— http://mathqb.eazy.vn 15 − cos 890 < sin2 630 SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO QUẢNG BÌNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 11 Năm học 2003 - 2004 ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn: TỐN THPT - Vịng Thời gian 180 phút (không kể thời gian giao đề) Câu I (2,5 điểm) Giải phương trình: sin 2x + − sin2 2x = Câu II (2,5 điểm) cos π cos x x→0 sin (tan x) Tính giới hạn: L = lim Câu III (2,0 điểm) Cho hàm số f (x) liên tục đoạn [0; 1] thỏa mãn điều kiện f (0) = f (1) Chứng minh phương trình f (x) = f x + 2004 ln ln có nghiệm đoạn [0; 1] Câu IV (3,0 điểm) Cho tứ diện ABCD có AB vng góc với AC chân đường vng góc hạ từ A đến mặt phẳng (BCD) trực tâm tam giác BCD Chứng minh rằng: (BC + CD + DB)2 ≤ AB + AD2 + AC ——— Hết ——— ————— http://mathqb.eazy.vn SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO QUẢNG BÌNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 11 Năm học 2002 - 2003 ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn: TỐN THPT CHUN Thời gian 180 phút (khơng kể thời gian giao đề) Câu I (3,0 điểm) Giải phương trình sau: a) 2x−1 = log2 (2x) b) 4log(10x) − 6log x = 2.3log(100x ) Câu II (2,0 điểm) Cho dãy số (un ) xác định sau: u0 = uk = uk−1 + u2 ; k = 1, 2, , n; n ∈ N∗ k−1 Tìm L = lim un x→∞ Câu III (2,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: f (x, y) = x2 − 2xy + 6y − 12x + 2y + 45; x, y ∈ R Câu IV (3,0 điểm) √ Cho lăng trụ đứng OAB.O1 A1 B1 có đáy tam giác vng cân O, OA = OB = a, AA1 = a Gọi M trung điểm OA a) Xác định thiết diện lăng trụ mặt phẳng (P ) qua M , vng góc với A1 B b) Tính diện tích thiết diện vừa tìm theo a ——— Hết ——— ————— http://mathqb.eazy.vn SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO QUẢNG BÌNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 11 Năm học 2007 - 2008 ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn: TỐN THPT CHUN Thời gian 180 phút (khơng kể thời gian giao đề) Câu I (2,0 điểm) ) Giải phương trình: sin 2x sin 4x + sin x − 4sin3 x + = Câu II (2,0 điểm) Tìm tất tam giác ABC cho biểu thức P = sin A sin B 2 2008 sin C đạt giá trị lớn Câu III (2,0 điểm) Cho 10 thẻ đánh số theo thứ tự 1,2,3, ,10 (mỗi thẻ đánh số ) Có cách chọn số thẻ (ít một) cho tất số viết thẻ lớn số thẻ chọn ? Câu IV (2,0 điểm) Cho dãy số (un ) xác định công thức: u1 = 2008 un+1 = u2 − 4013un + 20072 ; n ≥ n a) Chứng minh un ≥ n + 2007, ∀n ∈ N∗ b) Dãy số (un ) xác định sau: xn = 1 + + + , ∀n ∈ N∗ u1 − 2006 u2 − 2006 un − 2006 Tìm lim xn n→+∞ Câu V (2,0 điểm) Cho tứ diện ABCD có độ dài cạnh AB, CD lớn độ dài cạnh lại nhỏ Gọi H hình chiếu A mặt phẳng (BCD); F, K hình chiếu A, B đường thẳng CD a) Chứng minh AF ≤ 1− CD2 b) Tính độ dài cạnh tứ diện ABCD tích P = AH.BK.CD đạt giá trị lớn ——— Hết ——— ————— http://mathqb.eazy.vn SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO QUẢNG BÌNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 11 Năm học 2007 - 2008 ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn: TỐN THPT Thời gian 180 phút (không kể thời gian giao đề) Câu I (2,0 điểm) ) Giải phương trình: cos x − sin 2x = √ cos 2x + √ sin x Câu II (2,0 điểm) Tìm tất tam giác ABC cho biểu thức P = cos A cos B √ 2008 cos C đạt giá trị lớn Câu III (2,0 điểm) Từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, ta thiết lập số tự nhiên gồm hai chữ số khác viết số vào phiếu giống (mỗi phiếu ghi số ), bỏ tất phiếu vào hộp Lấy ngẫu nhiên hai phiếu từ hộp Tính xác suất để hai phiếu lấy có phiếu mà số ghi phiếu chia hết cho Câu IV (2,0 điểm) Cho dãy số (un ) xác định công thức: u1 = 2008 un+1 = 2008 2007un + 2008 u2007 n ; n≥1 Tìm lim un n→+∞ Câu V (2,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Một mặt phẳng (P ) cắt cạnh bên SA, SB, SC, SD điểm phân biệt K, L, M, N SC SD SA a) Chứng minh SK + SM = SB + SN SL b) Chứng minh tứ giác KLM N hình bình hành mặt phẳng (P ) song song trùng với mặt phẳng (ABCD) ——— Hết ——— ————— http://mathqb.eazy.vn SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO QUẢNG BÌNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 11 Năm học 2002 - 2003 ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn: TỐN THPT Thời gian 180 phút (không kể thời gian giao đề) Câu I (2,5 điểm) n Tính tổng: S = k=1 k 2k Câu II (2,0 điểm) Tính giới hạn: L = lim π x→ sin 3x − cos x Câu III (2,0 điểm) Chứng minh rằng, góc A, B, C tam giác ABC thỏa mãn điều kiện: cos 2A+cos 2B + √ cos 2C ≥ −1 sin A + sin B + sin C ≤ + Câu IV (3,5 điểm) Cho tam giác AN C cạnh a Qua A kẻ đường thẳng d vng góc với mặt phẳng (ABC) M điểm di động d H lag trực tâm tam giác M BC a) Chứng minh đường thẳng Hy vng gióc với mặt phẳng (M BC) ln ln qua điểm cố định M chạy d b) Gọi giao điểm Hy d N Chứng minh tích AM.AN đại lượng không đổi (khi M di chuyển d khơng trùng với A) c) Với vị trí M d mặt cầu ngoại tiếp tứ diện M N BC có bán kính nhỏ ? ——— Hết ——— ————— http://mathqb.eazy.vn ... (a + b)3 + Thí sinh khơng sử dụng tài liệu trao đổi làm + Cán coi thi khơng giải thích thêm SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO QUẢNG BÌNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 11 Năm học 2010 - 2 011 ĐỀ CHÍNH THỨC... http://mathqb.eazy.vn SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO QUẢNG BÌNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 11 Năm học 2 011 - 2012 ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn: TỐN THPT Thời gian 180 phút (không kể thời gian giao đề) Câu I (3,0 điểm) √ a) Giải... SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO QUẢNG BÌNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 11 Năm học 2003 - 2004 ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn: TỐN THPT CHUN - Vịng Thời gian 180 phút (không kể thời gian giao đề) Câu I (2,0 điểm) Với