Đang tải... (xem toàn văn)
Tóm tắt luận án tiến sĩ ứng dụng phương pháp biến phân để nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của các bài toán biên đối với phương trình và hệ phương trình elliptic không tuyến tính Tóm tắt luận án tiến sĩ ứng dụng phương pháp biến phân để nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của các bài toán biên đối với phương trình và hệ phương trình elliptic không tuyến tính Tóm tắt luận án tiến sĩ ứng dụng phương pháp biến phân để nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của các bài toán biên đối với phương trình và hệ phương trình elliptic không tuyến tính Tóm tắt luận án tiến sĩ ứng dụng phương pháp biến phân để nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của các bài toán biên đối với phương trình và hệ phương trình elliptic không tuyến tính Tóm tắt luận án tiến sĩ ứng dụng phương pháp biến phân để nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của các bài toán biên đối với phương trình và hệ phương trình elliptic không tuyến tính
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Trịnh Thị Minh Hằng ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN PHÂN ĐỂ NGHIÊN CỨU SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA CÁC BÀI TOÁN BIÊN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC KHÔNG TUYẾN TÍNH Chuyên ngành: Phương trình vi phân tích phân Mã số: 62460103 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội -2014 Công trình hoàn thành tại: Bộ môn Toán Giải tích – Khoa Toán - Cơ Tin học Trường Đại học Khoa học Tự nhiên – Đại học Quốc gia Hà Nội Người hướng dẫn khoa học : PGS. TS. Hoàng Quốc Toàn, ĐHKHTN, ĐHQGHN Phản biện :GS.TSKH Đinh Nho Hào - Viện toán học Phản biện : PGS.TS Cung Thế Anh- Đại học Sư phạm HN. Phản biện : PGS.TS Nguyễn Thiệu Huy- ĐHBK HN Luận án bảo vệ trước Hội đồng cấp Đại học Quốc gia chấm luận án tiến sĩ họp tại: Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, vào hồi .14h ngày .08 .tháng .10 . năm 2014. Có thể tìm hiểu Luận án : - Thư viện Quốc gia Việt Nam. - Trung tâm Thông tin - Thư viện ĐHQGHN. DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ CÓ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN 1. Trinh Thi Minh Hang, Hoang Quoc Toan, (2009) Non-existence of and multiplicity of positive solution for quasilinear elliptic problems in bounded domain, Acta Mathematica Vietnamica, 34(2) , pp.173-182. 2. Trinh Thi Minh Hang, Hoang Quoc Toan, (2011) On existence of weak solutions of Neumann problem for quasilinear elliptic equations involving Laplacian in a.n unbounded domain, Bull. Korean. Math.Soc., 48(6), pp. 11691182,(Tạp chí ISI). 3. Trinh Thi Minh Hang, Hoang Quoc Toan, (2012) On existence of weak solutions of Neumann problem for a system of semilinear elliptic equation in an unbounded domain, Acta Mathematica Vietnamica, 37(1), pp.137-147. 4. Trinh Thi Minh Hang, Hoang Quoc Toan, (2012) Existence of weak nonnegative solution for a class of nonuniformly boundary value problem, Bull. Korean. Math.Soc., 49(4), pp. 737-748,(Tạp chí ISI). 5. Trinh Thi Minh Hang, Hoang Quoc Toan, (2014) On some semilinear nonuniformly elliptic problems with subcritical nonlinearity without the Ambrosetti and Rabinowitz condition, Vietnam Journal of Mathematics, 42(1), pp.1-15. MỞ ĐẦU Phương trình đạo hàm riêng phương tiện nghiên cứu nhiều ngành khoa học khác nhau, cầu nối khoa học ứng dụng. Nhiều toán học vật lí mô hình hoá toán học thông qua phương trình đạo hàm riêng. Vấn đề chủ yếu xuyên suốt trình nghiên cứu lí thuyết ứng dụng ngành phương trình đạo hàm riêng toán tồn nghiệm. Cho đến đầu kỉ 20, nghiệm phương trình đạo hàm riêng hiểu theo cách chung nghiệm cổ điển, tức nghiệm khả vi đến cấp cao đạo hàm ẩn hàm có mặt phương trình. Tuy nhiên, để phản ánh tương đối xác trình vật lí hay học mô tả mà quan tâm đến nghiệm cổ điển phương trình đạo hàm riêng chưa đủ. Vì vậy, để nghiên cứu phương trình đạo hàm riêng có ý nghĩa đối tượng mà phản ánh, việc mở rộng khái niệm nghiệm chúng cần thiết. Do khái niệm nghiệm yếu phương trình đạo hàm riêng đời. Người ta đưa định nghĩa khác nghiệm yếu phải đảm bảo cho vừa chặt chẽ mặt toán học, lại vừa có ý nghĩa vật lý. Hướng nghiên cứu luận án sử dụng phương pháp biến phân nghiên cứu tồn nghiệm yếu toán biên phương trình hệ phương trình elliptic không tuyến tính. So với nhiều phương pháp giải tích phi tuyến áp dụng vào phương trình đạo hàm riêng phương pháp biến phân tỏ có hiệu quả. Ý tưởng phương pháp biến phân áp dụng vào phương trình đạo hàm riêng dựa sở lý thuyết điểm tới hạn, mà nội dung đưa toán biên xét việc nghiên cứu phiếm hàm J khả vi liên tục theo nghĩa không gian Banach X thích hợp (gọi phiếm hàm Euler-Lagrange phiếm hàm lượng liên kết) cho điểm tới hạn phiếm hàm J nghiệm yếu toán biên ban đầu. Để tìm điểm tới hạn phiếm hàm J người ta thường nghĩ đến việc tìm điểm cực tiểu hoá phiếm hàm đó. Tuy nhiên việc cực tiểu hoá phiếm hàm không đơn giản. Hơn lớp phiếm hàm cực tiểu hoá tương đối hẹp. Vì nhiều trường hợp người ta quan tâm đến điểm yên ngựa (không phải điểm cực tiểu) phiếm hàm lượng. Cơ sở để nghiên cứu tồn điểm yên ngựa phiếm hàm bổ đề biến dạng nguyên lí biến phân điều kiện compact. Nguyên lí biến phân tiếng biết đến khẳng định tồn điểm tới hạn phiếm hàm không gian Banach Định lí qua núi (Mountain pass Theorem). Lần Định lí qua núi R.Courant chứng minh vào năm 1950 cho phiếm hàm xác định không gian hữu hạn chiều. Năm 1973, A.Ambrossetti P.Rabinowitz chứng minh Định lí qua núi cho phiếm hàm khả vi liên tục Fréchet không gian Banach. Định lí 0.0.1 (Định lí qua núi ). Giả sử (X, ||.||) không gian Banach, J : X −→ R phiếm hàm khả vi Fréchet liên tục X, thoả mãn điều kiện Palais-Smale, tức với dãy {um } ⊂ X thoả mãn |J(um )| ≤ c, ∀m DJ(um ) → m → +∞, trích dãy hội tụ X. Hơn nữa, phiếm hàm J thoả mãn điều kiện sau: (i) J(0) = 0; (ii) Tồn số dương α, r cho J(v) ≥ α với v ∈ X, ||v|| = r; (iii) Tồn v0 ∈ X với ||v0 || > r cho J(v0 ) < 0. Đặt c = inf{maxJ(ϕ(t)) : ϕ ∈ C([0, 1], X), ϕ(0) = 0, ϕ(1) = v0 }. Khi đó, c giá trị tới hạn J, tức tồn u ∈ X cho c = J(u) ≥ α > DJ(u) = 0. Lí thuyết điểm tới hạn với Định lí qua núi góp phần quan trọng việc nghiên cứu tồn nghiệm yếu cho lớp rộng toán biên phương trình hệ phương trình đạo hàm riêng không tuyến tính. Những cải tiến Định lí qua núi với điều kiện Palais-Smale nhiều nhà toán học lớn quan tâm nghiên cứu. Năm 1989, Dương Minh Đức thiết lập lại Bổ đề biến dạng chứng minh Định lí qua núi cho lớp phiếm hàm khả vi liên tục yếu không gian Banach (xem Định nghĩa 0.0.1). Kết đặc biệt hữu ích áp dụng để nghiên cứu toán biên với phương trình elliptic với hệ số không trơn. Thực chất Định lí qua núi dạng yếu mà Dương Minh Đức đưa thay giả thiết tính khả vi Fréchet phiếm hàm J tính khả vi liên tục yếu. Định nghĩa 0.0.1. Cho J phiếm hàm từ không gian Banach Y vào R. Ta nói J khả vi liên tục yếu (weakly continuously differentiable) Y ba điều kiện sau thoả mãn: i) J liên tục Y . ii) Với u ∈ Y tồn ánh xạ tuyến tính DJ(u) từ Y vào R cho J(u + tϕ) − J(u) = DJ(u), ϕ , ∀ϕ ∈ Y. t→0 t lim iii) Với ϕ ∈ Y , ánh xạ u → DJ(u), ϕ liên tục Y . Ta kí hiệu Cw1 (Y ) tập phiếm hàm khả vi liên tục yếu Y . Rõ ràng C (Y ) ⊂ Cw1 (Y ), với C (Y ) tập phiếm hàm khả vi liên tục Fréchet Y . Định lí 0.0.2 (Định lí qua núi dạng yếu). Giả sử (X, ||.||X ) không gian Banach, J ∈ Cw1 (X), J thoả mãn điều kiện Palais-Smale. Hơn nữa, phiếm hàm J thoả mãn điều kiện sau: (i) J(0) = 0; (ii) Tồn số dương α, r cho J(v) ≥ α với v ∈ X, ||v|| = r; (iii) Tồn v0 ∈ X với ||v0 || > r cho J(v0 ) < 0. Đặt c = inf{maxJ(ϕ(t)) : ϕ ∈ C([0, 1], X), ϕ(0) = 0, ϕ(1) = v0 }. Khi đó, c giá trị tới hạn J, tức tồn u ∈ X cho c = J(u) ≥ α > DJ(u) = 0. Có thể nói trước năm 2005, chưa có nghiên cứu liên quan đến việc áp dụng định lí qua núi phiếm hàm khả vi liên tục yếu, ý tưởng mở hướng nghiên cứu điều kiện tồn nghiệm yếu cho lớp rộng lớn toán biên phương trình hệ phương trình elliptic không tuyến tính, mà phiếm hàm lượng liên kết với không khả vi Fréchet. Các toán nghiên cứu luận án này. Đối tượng mà đề cập đến luận án tồn nghiệm yếu phương trình (và hệ phương trình) elliptic dạng: −div(a(x, ∇u)) = f (x, u), x ∈ Ω, (0.1) Ω tập mở RN . Một số dạng thường gặp phương trình dạng (0.1) phương trình: −div(|∇u|p−2 ∇u) = f (x, u), x∈Ω (0.2) −div(h(x)|∇u|p−2 ∇u) = f (x, u), x∈Ω (0.3) h : Ω −→ R thoả mãn số giả thiết định, ≤ p < +∞. Toán tử divergent −div(a(x, ∇u)) xuất toán khuyếch tán không tuyến tính, cổ điển mô hình toán học tượng truyền nhiệt vật thể, tượng truyền sóng không gian, mô hình toán học dòng chất lỏng không Newton Phương trình dạng (0.1) với f (x, u) hàm phi tuyến u bao gồm nhiều mô hình toán học lượng tử, học môi trường liên tục, lí thuyết trường, Những kết đạt từ nghiên cứu vừa có ý nghĩa lí thuyết, vừa có ý nghĩa ứng dụng. Năm 2003, P.De Nápoli M.C.Mariani nghiên cứu tồn nghiệm toán Dirichlet cho lớp phương trình elliptic tổng quát dạng (0.1) miền bị chặn Ω ⊂ RN có biên trơn, hàm a : Ω × RN −→ RN , a(x, ψ) giả thiết đạo hàm liên tục theo biến ψ hàm khả vi liên tục A : Ω × RN −→ R, tức ∂A(x, ψ) a(x, ψ) = thoả mãn điều kiện tăng dạng: ∂ψ |a(x, ψ)| ≤ C(1 + |ψ|p−1 ), với x ∈ Ω, p ∈ (1, +∞). (0.4) Hàm f : Ω × R −→ R hàm Carathéodory thoả mãn điều kiện loại Ambrossetti-Rabinowitz (điều kiện A-R), tức tồn số z µ > p cho với F (x, z) = f (x, t)dt < µF (x, z) ≤ zf (x, z), với x ∈ Ω, |z| ≥ z0 > 0. (0.5) Khi nghiệm toán Dirichlet phương trình (0.1) tồn điểm tới hạn phiếm hàm lượng liên kết xác định công thức : A(x, ∇u)dx − J(u) = Ω F (x, u)dx, Ω u ∈ W01,p (Ω). Tiếp tục nghiên cứu P.De Nápoli M.C.Mariani, nhiều tác giả khác mở rộng kết cách đặt giả thiết khác lên vế phải, Ω miền vô hạn RN . Chú ý rằng, điều kiện (A-R) (0.5) có vai trò quan trọng không đảm bảo cho phiếm hàm J có điểm yên ngựa mà khẳng định rằng, dãy PalaisSmale phiếm hàm J bị chặn. Tuy nhiên điều kiện ấn định lên hàm phi tuyến f (x, s) nhiều phương trình đòi hỏi chặt chẽ làm hạn chế lớp phương trình cần quan tâm nghiên cứu.Vì nhiều nhà toán học cố gắng thay điều kiện (0.5) điều kiện yếu nghiên cứu mình. Đây mục tiêu đặt mà xét chương luận án này. Năm 2005, Dương Minh Đức Nguyễn Thanh Vũ nghiên cứu trường hợp kì dị phương trình elliptic tổng quát dạng (0.1), giả thiết (0.4) P.De Nápoli M.C Mariani thay giả thiết yếu sau |a(x, ψ)| ≤ c(h0 (x) + h1 (x)|ψ|p−1 ) với x ∈ Ω, ψ ∈ RN , (0.6) p h0 ∈ L p−1 (Ω), h1 ∈ L1loc (Ω), h0 (x) ≥ 0, h1 (x) ≥ 1với x ∈ Ω. Với giả thiết h1 ∈ L1loc (Ω), phiếm hàm lượng liên kết với toán Dirichlet phương trình (0.1) không xác định hàm u không gian W01,p (Ω), nghiệm toán nói chung tồn không gian W01,p (Ω). Vì lí toán (0.1) trường hợp gọi "bài toán biên không đều" phương trình elliptic. Để vượt qua tình trạng "không đều" toán (0.1) ta đưa vào không gian loại Sobolev có trọng xác định sau: H = {u ∈ W01,p (Ω) : h1 (x)|∇u|p dx < +∞}. Ω Khi H không gian Banach với chuẩn p1 h1 (x)|∇u|p dx ||u||H = Ω phiếm hàm J : H −→ R khả vi liên tục yếu H. Giả thiết (0.5) đảm bảo dãy Palais- Smale phiếm hàm J bị chặn H thoả mãn điều kiện Palais-Smale. Do nghiệm yếu toán Dirichlet tồn H điểm tới hạn phiếm hàm J nhờ định lí qua núi cho phiếm hàm J khả vi liên tục yếu. Tiếp sau đó, từ năm 2007-2008, cách áp dụng nguyên lí biến phân I.Ekeland, nguyên lí ba điểm tới hạn, Định lí qua núi, nguyên lí cực tiểu phiếm hàm, nhóm nghiên cứu Hoàng Quốc Toàn, Ngô Quốc Anh Nguyễn Thành Chung nghiên cứu tồn nghiệm yếu, tính đa nghiệm yếu toán Dirichlet phương trình hệ phương trình elliptic không dạng (0.1), (0.3) miền Ω ⊂ RN bị chặn không bị chặn công bố nhiều kết quan trọng. Các tác giả nghiên cứu toán biên Dirichlet, luận án này, chương 1, nghiên cứu tồn nghiệm yếu toán Neumann phương trình hệ phương trình elliptic không dạng (0.3). Các kết trình bày hai chương luận án. Chương nghiên cứu toán biên Neumann cho lớp phương trình hệ phương trình eliptic không tuyến tính bao gồm: Mục 1.1 xét toán Neumann cho phương trình elliptic không tựa tuyến tính loại p-Laplacian miền không bị chặn −div(h(x)|∇u|p−2 ∇u) + b(x)|u|p−2 u = f (x, u) Ω, ∂u = ∂Ω, u(x) −→ |x| −→ +∞ ∂n (0.7) với p ≥ 2, Ω ⊂ RN (N ≥ 3), miền không bị chặn với biên đủ trơn, bị chặn ∂Ω, Ω = Ω∪∂Ω, n véc tơ pháp tuyến đơn vị ∂Ω. f : Ω×R −→ R với Ω miền bị chặn biên trơn RN (N 2), p, q < ∞, λ tham số dương. Chương nghiên cứu tồn nghiệm yếu toán Dirichlet lớp phương trình elliptic không miền bị chặn mà không đòi hỏi thoả mãn điều kiện (A-R): Mục 2.1 Giới thiệu toán. Mục 2.2 xét tồn nghiệm yếu không âm toán Dirichlet cho phương trình elliptic nửa tuyến tính không đều: −div(h(x)∇u) = f (x, u) Ω u(x) = ∂Ω (0.10) Giả thiết rằng: h ∈ L1loc (Ω), h(x) ≥ với h.k. x ∈ Ω. Mục 2.3 xét toán −div(h(x)∇u) + a(x)u = λf (x, u) u = Ω (0.11) ∂Ω Giả thiết rằng: h ∈ L1loc (Ω), h(x) ≥ với h.k. x ∈ Ω, a ∈ L∞ loc (Ω), a(x) ≥ với h.k. x ∈ Ω, với λ tham số dương, Ω miền bị chặn RN (N ≥ 3) biên trơn ∂Ω. Nội dung luận án viết dựa báo thức công bố tạp chí: Bulletin Korean of Mathematic Society (Tạp chí ISI), Acta Mathematica Vietnamica Vietnam Journal of Mathematics. Các kết báo cáo Hội nghị khoa học Khoa Toán-Cơ-Tin học năm 2008, 2010 Semina Bộ môn Giải tích Khoa Toán- Cơ -Tin học Trường Đại học Khoa học Tự nhiên- Đại học Quốc gia Hà nội Chương BÀI TOÁN NEUMANN CHO LỚP PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC KHÔNG TUYẾN TÍNH Chương dành để trình bày kết nghiên cứu tồn nghiệm yếu toán biên Neumann cho lớp phương trình hệ phương trình elliptic không tuyến tính. Việc chứng minh tồn nghiệm yếu đưa việc chứng minh tồn điểm tới hạn phiếm hàm Euler-Lagrange liên kết nhờ định lí qua núi. Các kết trình bày chương công bố báo [1],[2],[3] (xem danh mục công trình liên quan đến luận án). 1.1 Bài toán Neumann cho phương trình elliptic tựa tuyến tính với toán tử p-laplacian miền không bị chặn Giả sử Ω ⊂ RN (N ≥ 3) miền không bị chặn với biên ∂Ω đủ trơn, đóng bị chặn, ta xét toán sau: −div(h(x)|∇u|p−2 ∇u) + b(x)|u|p−2 u = f (x, u) Ω, (1.1) ∂u = ∂Ω, u(x) −→ |x| −→ +∞ ∂n với p ≥ 2, Ω = Ω∪∂Ω, n véc tơ pháp tuyến đơn vị ∂Ω, f : Ω×R −→ R, hàm h b thoả mãn điều kiện sau đây: H) h ∈ L1loc (Ω), h(x) ≥ với h.k. x ∈ Ω. 10 B) b ∈ L∞ loc (Ω), b(x) ≥ b0 > với h.k. x ∈ Ω. F1) f (x, t) ∈ C (Ω × R, R), f (x, 0) = 0, x ∈ Ω. F2) Tồn hàm số không âm τ : Ω −→ R số r ∈ (p−1, N +p ) N −p cho |fz (x, z)| ≤ τ (x)|z|r−1 với h.k. x ∈ Ω. Np τ (x) ∈ L∞ (Ω) ∩ Lr0 (Ω), r0 = . N p − (r + 1)(N − p) F3) Tồn µ > p cho z f (x, t)dt ≤ zf (x, z), với x ∈ Ω, z = 0. < µF (x, z) = µ H không gian của không gian W 1,p (Ω), xác định H = {u ∈ W 1,p (Ω) : (h(x)|∇u|p + b(x)|u|p )dx < +∞} Ω h(x)|∇u|p + b(x)|u|p dx p . H không gian Banach, có chuẩn ||u||H = Ω Phép nhúng H → W 1,p (Ω) liên tục. Hàm u ∈ H nghiệm yếu toán (1.1) h(x)|∇u|p−2 ∇u∇ϕdx + Ω b(x)|u|p−2 uϕdx − Ω f (x, u)ϕdx = Ω với ϕ ∈ C0∞ (Ω). Ta ý u0 ∈ C0∞ (Ω) thoả mãn điều kiện u0 nghiệm cổ điển toán (1.1). Phiếm hàm lượng J : H −→ R liên kết với toán (1.1) công thức: J(u) = p h(x)|∇u|p dx + Ω p b(x)|u|p dx − Ω 11 F (x, u)dx Ω Khi h ∈ L1loc (Ω), nói chung phiếm hàm J không thuộc C (H). Ta chứng minh J khả vi yếu đạo hàm Gâteaux xác định h(x)|∇u|p−2 ∇u∇v + b(x)|u|p−2 uv dx DJ(u), v = (1.2) Ω f (x, u)vdx ∀u, v ∈ H. − Ω Do điểm tới hạn phiếm hàm J nghiệm yếu toán. Kết qủa phần định lí sau Định lí 1.1.1. Với giả thiết F1)-F3) toán (1.1) có nghiệm yếu không tầm thường H. 1.2 Bài toán Neumann cho hệ phương trình elliptic nửa tuyến tính miền không bị chặn Giả sử Ω ⊂ RN (N ≥ 3) miền không bị chặn với biên trơn bị chặn ∂Ω, ta xét toán sau: −div(h1 (x)∇u) + a(x)u = f (x, u, v) Ω, −div(h2 (x)∇v) + b(x)v = g(x, u, v) Ω ∂u ∂v = 0, = ∂Ω, ∂n ∂n u(x) −→ 0, v(x) −→ |x| → +∞ (1.3) Ω = Ω ∪ ∂Ω, n vec tơ pháp tuyến đơn vị ∂Ω, f, g : Ω × R2 −→ R, hàm hi , i = 1, a, b thoả mãn điều kiện sau: h) hi ∈ L1loc (Ω), i = 1, 2, hi (x) ≥ với h.k. x ∈ Ω. a-b) a, b ∈ C(Ω), a(x) ≥ a0 > 0, b(x) ≥ b0 > với h.k. x ∈ Ω. 12 G1) Giả sử hàm F, f, g : Ω × R2 −→ R thuộc lớp C cho ∂F ∂F ∂F ∂F = f (x, u, v), = g(x, u, v), ∇F (x, w) = ( , ) với ∂u ∂v ∂u ∂v x ∈ Ω w = (u, v) ∈ R2 . Thêm vào đó, giả thiết sau thoả mãn: f (x, 0, 0) = g(x, 0, 0) = với x ∈ Ω. G2) Tồn hàm không âm τ1 , τ2 : Ω −→ R số N +2 r, s ∈ (1, ) cho N −2 |∇f (x, w)| + |∇g(x, w)| ≤ τ1 (x)|w|r−1 + τ2 (x)|w|s−1 với h.k.n. x ∈ Ω, w = (u, v) ∈ R2 . τ1 (x) ∈ L∞ (Ω) ∩ Lr0 (Ω), τ2 (x) ∈ L∞ ∩ Ls0 (Ω)), 2N 2N , s0 = . r0 = 2N − (r + 1)(N − 2) 2N − (s + 1)(N − 2) G3) Tồn µ > cho < µF (x, w) ≤ w.∇F (x, w), x ∈ Ω, w = (0, 0). Kí hiệu C0∞ (Ω) = {ϕ ∈ C ∞ (Ω) : supp ϕ compac ⊂ Ω} H (Ω) không gian Sobolev thông thường xác định bổ sung đủ không gian C0∞ (Ω) với chuẩn 1 2 ||ϕ|| = (|∇ϕ| + |ϕ| )dx . Ω E G hai không gian H (Ω, R2 ) = H (Ω) × H (Ω), E = {w = (u, v) ∈ H (Ω, R2 ) : (|∇u|2 +|∇v|2 +a(x)|u|2 +b(x)|v|2 )dx < ∞} Ω (h1 (x)|∇u|2 + h2 (x)|∇v|2 )dx < +∞}. G = {w = (u, v) ∈ E : Ω 13 E G không gian Hilbert với tích vô hướng tương ứng sau: w1 , w2 E (∇u1 ∇u2 + ∇v1 ∇v2 + a(x)u1 u2 + b(x)v1 v2 )dx = Ω w1 = (u1 , v1 ), w2 = (u2 , v2 ) ∈ E w1 , w2 G (h1 (x)∇u1 ∇u2 + h2 (x)∇v1 ∇v2 + a(x)u1 u2 + b(x)v1 v2 )dx = Ω với w1 , w2 ∈ G. Hơn nữa, từ điều kiện h), a-b) Lq (Ω, R2 ) = Lq (Ω) × 2N Lq (Ω), phép nhúng G → E → Lq (Ω, R2 ), ≤ q ≤ 2* = , N −2 liên tục. Ta nói w = (u, v) ∈ G nghiệm yếu toán (1.3) (h1 (x)∇u∇ϕ1 + h2 (x)∇v∇ϕ2 + a(x)uϕ1 + b(x)vϕ2 )dx Ω − (f (x, u, v)ϕ1 + g(x, u, v)ϕ2 ) = 0dx Ω với ϕ = (ϕ1 , ϕ2 ) ∈ C0∞ (Ω, R2 ). Chú ý w0 = (u0 , v0 ) ∈ C0∞ (Ω, R2 ) thoả mãn điều kiện w0 nghiệm cổ điển toán (1.3). Phiếm hàm lượng J : G −→ R liên kết với toán (1.3) sau J(w) = [h1 (x)|∇u|2 +h2 (x)|∇v|2 +a(x)|u|2 +b(x)|v |]dx− Ω F (x, w)dx Ω Kết mục định lí sau Định lí 1.2.1. Giả sử giả thiết h), a-b), G1)-G3) thoả mãn. Bài toán (1.3) có nghiệm yếu không tầm thường G. 14 1.3 Sự không tồn tồn đa nghiệm dương hệ (p, q)-Laplacian với điều kiện biên không tuyến tính phụ thuộc tham số Trong mục này, mở rộng kết [?] cho hệ elliptic tựa tuyến tính với điều kiện biên không tuyến tính sau −∆p u + |u|p−2 u = Ω, −∆q v + |v|q−2 v = Ω, ∂u |∇u|p−2 = λGu (x, u, v) ∂Ω, ∂n |∇v|q−2 ∂v = λGv (x, u, v) ∂Ω, ∂n với Ω miền bị chặn biên trơn RN , N 2, (1.4) p, q < ∞, λ tham số dương.Giả thiết rằng: N1) G(x, u, v) hàm Carathéodory Ω × [0, ∞) × [0, ∞) cho G(x, ·, ·) hàm thuộc lớp C với h.k. x ∈ Ω Gu (x, u, v) = f (x, u, v), Gv (x, u, v) = g(x, u, v) hàm Carathéodory ∂Ω × [0, ∞) × [0, ∞). N2) G(x, 0, 0) = f (x, 0, 0) = g(x, 0, 0) = 0, |uf (x, u, v) + vg(x, u, v)| |G(x, u, v)| C(|u|p + |v|q ), C(|u|p + |v|q ), với số C > 0. Đặt G(x, u, v) = u < v < 0, f (x, u, v) = g(x, u, v) = u < v < 0. N3) Tồn số dương δ, to , so cho với x ∈ ∂Ω G(x, u, v) |u|p + |v|q 15 δ, G(x, to , so ) > 0. G(x, u, v) p q |(u,v)|−→∞ |u| + |v| với điều kiện x ∈ ∂Ω. N4) lim sup Cặp (u, v) ∈ W 1,p (Ω) × W 1,q (Ω) gọi nghiệm yếu toán (1.4) (u, v) thoả mãn: (|∇u|p−2 ∇u∇ϕ + |∇v|q−2 ∇v∇ψ + |u|p−2 uϕ + |v|q−2 vψ)dx Ω −λ [ϕf (x, u, v) + ψg(x, u, v)]dσ = ∂Ω ∀ϕ, ψ ∈ C ∞ (Ω) Kết mục định lí sau: Định lí 1.3.1. Giả sử giả thiết N 1) − N 2) thoả mãn, tồn số dương λ cho với λ < λ toán (1.4) nghiệm dương. Định lí 1.3.2. Với giả thiết N 1) − N 4), tồn số dương λ cho toán (1.4) có hai nghiệm dương phân biệt (u1 , v1 ), (u2 , v2 ) W 1,p (Ω) × W 1,q (Ω) với λ λ. 16 Chương BÀI TOÁN BIÊN DIRICHLET CHO PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC KHÔNG TUYẾN TÍNH KHÔNG ĐỀU, KHÔNG THOẢ MÃN ĐIỀU KIỆN AMBROSSETTI-RABINOWITZ 2.1 Giới thiệu toán Trong chương xét tồn nghiệm yếu toán Dirichlet lớp phương trình elliptic không miền bị chặn cách nghiên cứu tồn điểm tới hạn phiếm hàm Euler-Lagrange liên kết với nó. Như ý phần mở đầu, dáng điệu phần phi tuyến phương trình quan trọng việc khẳng định tồn nghiệm yếu toán biên. Năm 1973, Ambrosetti Rabinowitz [?] thiết lập tồn nghiệm không tầm thường cho toán: −∆u = λf (x, u) Ω u = ∂Ω (2.1) với điều kiện sau: f (x, s) = với s−→0 s a1) f (x, s) liên tục Ω × R f (x, 0) = 0, lim h.k. x ∈ Ω. a2) Tồn số dương c1 , c2 cho N +2 |f (x, s)| ≤ c1 + c2 |s|p , ≤ p < , ∀s ∈ R, x ∈ Ω. N −2 17 a3) Tồn số θ > s0 > cho s < θF (x, s) ≤ sf (x, s), |s| ≥ s0 , x ∈ Ω với F (x, s) = f (x, t)dt. Giả thiết a3) (điều kiện A-R) tự nhiên quan trọng không khẳng định phiếm hàm Euler-Lagrange liên kết với toán (2.1) có điểm yên ngựa mà đảm bảo dãy Palais-Smale phiếm hàm Euler-Lagrange bị chặn. Nhưng rõ ràng giả thiết a3) hạn chế nhiều tính phi tuyến phương trình. Vì nhiều nhà toán học nghiên cứu toán cố gắng thay giả thiết a3) số giả thiết yếu hơn. Hơn ta để ý giả thiết a3) kéo theo điều kiện yếu F (x, s) ≥ c|s|θ − d, c, d > 0, x ∈ Ω. (2.2) Điều kiện (2.2) kéo theo điều kiện yếu nữa, F (x, s) = +∞ h.k.x ∈ Ω. s2 |s|−→+∞ lim (2.3) Costa Magalhães nghiên cứu toán (2.1) cách thay điều kiện a3) điều kiện khác sf (x, s) − 2F (x, s) ≥ k > với h.k.n. x ∈ Ω với µ ≥ µ0 > 0. |s|µ |s|−→+∞ (2.4) lim inf Gần đây, Miyagaki Souto nghiên cứu toán (2.1) với giả thiết [a1)], [a2)], (2.3) thêm giả thiết sau: f (x, s) tăng s ≥ s0 > giảm s ≤ −s0 , ∀x ∈ Ω. s (2.5) Các tác giả chứng minh toán (2.1) có nghiệm yếu không tầm thường với λ > 0. Mục đích chương đưa điều kiện yếu thay cho điều kiện (A-R). Chương viết dựa vào báo [4],[5] phần danh mục công trình liên quan đến luận án. 18 2.2 Sự tồn nghiệm yếu không âm toán Dirichlet cho phương trình elliptic nửa tuyến tính không Cho Ω miền bị chặn RN (N ≥ 3) với biên trơn ∂Ω. Chúng nghiên cứu tồn nghiệm không âm toán Dirichlet sau: −div(h(x)∇u) = f (x, u) Ω (2.6) u(x) = ∂Ω với h ∈ L1loc (Ω), h(x) ≥ với h.k. x ∈ Ω. (2.7) Giả thiết rằng: E1) f : Ω × R −→ R hàm Carathéodory thoả mãn f (x, s) = với s ≤ 0, với h.k. x ∈ Ω. f (x, s) | ≤ C với h.k. x ∈ Ω, ∀s ∈ s (0, +∞) f tiệm cận tuyến tính theo nghĩa tồn β ∈ C(Ω) f (x, s) cho β(x) = lim với h.k. x ∈ Ω. s−→+∞ s E2) Tồn số C > cho | Chú ý 2.2.1. Từ giả thiết E2) ta suy điều kiện a3) không thoả mãn hàm f (x, s). K không gian H01 (Ω) K = {u ∈ H01 (Ω) : h(x)|∇u|2 dx < +∞}. Ω K không gian Hilbert với chuẩn ||u||2K = h(x)|∇u|2 dx tích vô Ω hướng u, v K h(x)∇u∇vdx, = u, v ∈ K. Ω 2N liên tục. N −2 Phép nhúng K → L2 (Ω) compac. Ta nói u ∈ K nghiệm yếu Phép nhúng K → H01 (Ω) → Lq (Ω) với ≤ q ≤ 2* = 19 toán (2.6) h(x)∇u∇ϕdx − Ω f (x, u)ϕdx = (2.8) Ω với ϕ ∈ K. Ta xây dựng phiếm hàm lượng J : K −→ R liên kết với toán (2.6) sau J(u) = h(x)|∇u|2 dx − Ω F (x, u)dx, ∀u ∈ K (2.9) Ω Kết mục định lí sau Định lí 2.2.1. Giả sử giả thiết E1)-E4) thoả mãn. Khi toán (2.6) có nghiệm yếu không âm không tầm thường không gian K. 2.3 Sự tồn nghiệm yếu toán biên Dirichlet phương trình elliptic nửa tuyến tính tham số Chúng nghiên cứu nghiệm yếu toán sau −div(h(x)∇u) + a(x)u = λf (x, u) Ω u = ∂Ω (2.10) với Ω miền bị chặn, biên ∂Ω trơn, bị chặn RN (N ≥ 3), λ tham số dương hàm h, a thoả mãn H) h ∈ L1loc (Ω), h(x) ≥ với h.k. x ∈ Ω, A) a ∈ L∞ loc (Ω), a(x) ≥ với h.k. x ∈ Ω. H01 (Ω) không gian Sobolev thông thường với chuẩn 21 ||u|| = (|∇u|2 + |u|2 )dx . Ω 20 (2.11) Ta xét không gian M H01 (Ω) sau đây: M = {u ∈ H01 (Ω) : (h(x)|∇u|2 + a(x)|u|2 )dx < +∞}. Ω M không gian Hilbert với chuẩn sau (h(x)|∇u|2 + a(x)|u|2 )dx ||u||2M = Ω tích vô hướng u, v M = (h(x)∇u∇v + a(x)uv)dx, u, v ∈ M. Ω Theo giả thiết (2.11) ta có ||u||H01 (Ω) ≤ ||u||M , u∈M phép nhúng M → H01 (Ω) → Lq (Ω) với ≤ q ≤ 2* = liên tục. Hơn nữa, phép nhúng M → L2 (Ω) compact. (2.12) 2N N −2 Định nghĩa 2.3.1. Hàm u ∈ M gọi nghiệm yếu toán (2.10) (h(x)∇u∇v + a(x)uv)dx − λ Ω f (x, u)vdx = (2.13) Ω với v ∈ M. Để đến kết quả, đưa vào giả thiết sau: I1) f (x, s) ∈ C(Ω × R, R) tồn r hàm không âm τj , j = 1, r N ), j = 1, r với h.k. x ∈ Ω, τj (x) ∈ Lpj0 (Ω) với pj ∈ (1, N −2 2N pj0 = cho N − pj (N − 2) r τj (x)|s|pj , với h.k. x ∈ Ω, s ∈ R. |f (x, s)| ≤ j=1 21 s I2) Đặt F (x, s) = f (x, t)dt. Khi tồn số dương α, β, q với < q < 2* cho lim sup |s|→+∞ F (x, s) ≤ α < +∞ với h.k. x ∈ Ω |s|q F (x, s) ≥ β với h.k. x ∈ Ω |s|2 |s|−→+∞ lim inf I3) sf (x, s) − 2F (x, s) ≥b>0 |s|µ |s|→+∞ lim inf với h.k. x ∈ Ω với max{1, N (q − 2) } < µ < q. Chú ý 2.3.1. Từ giả thiết I1), I2) ta có 1−δ δ = + * , (0 < δ < 1) qδ < 2. q µ N (q − 2) < µ < 2* . Khi Chú ý 2.3.2. Ta lấy ví dụ sau F (s) = s2 ln(1 + |s|)ln|s| f (s) = F ’ (s) = 2sln(1 + |s|)ln|s| + s|s| ln|s| + sln(1 + |s|). + |s| Khi ta có F (s) = với q > 2. |s|−→+∞ |s|q lim F (s) = +∞. |s|−→+∞ s2 lim sf (s) − 2F (s) = +∞. |s|2 |s|−→+∞ lim Ở đây, điều kiện I2) thoả mãn với α > β > 0, điều kiện I3) thoả mãn với b > µ = 2. Tuy nhiên điều kiện AmbrossettiRabinowitz a3) không thoả mãn. Kết phần thể định lí sau 22 Định lí 2.3.1. Giả sử giả thiết I1)-I3) thoả mãn. Khi toán (2.10) có nghiệm yếu không tầm thường M với λ1 λ> với 2β (h(x)|∇u|2 + a(x)|u|2 )dx . λ1 = inf Ω 0=u∈M |u|2 dx Ω Nếu điều kiện (2.3) thoả mãn điều kiện I2) thoả mãn với β > 0, từ Định lí 2.3.1 ta kết luận toán (2.10) có nghiệm yếu với λ > 0. 23 KẾT LUẬN Các kết luận án: Sử dụng phương pháp biến phân Định lí qua núi, luận án chứng minh được: 1) Bài toán Neumann cho phương trình elliptic tựa tuyến tính với toán tử p-Laplacian miền không bị chặn có nghiệm yếu không tầm thường không gian H xây dựng thích hợp không gian W 1,p (Ω), sử dụng phương pháp biến phân định lí qua núi trong. 2) Tồn nghiệm yếu không tầm thường toán Neumann cho hệ phương trình elliptic nửa tuyến tính miền không bị chặn với cách xây dựng không gian nghiệm G không gian không gian H (Ω) × H (Ω), mở rộng kết 1. 3) Bài toán biên hệ phương trình tựa tuyến tính toán tử p-Laplacian với điều kiện biên không tuyến tính, mà xem cách suy rộng điều kiện biên Neumann có bội nghiệm dương nghiệm dương điều kiện thích hợp tham số λ. 4) Tồn nghiệm yếu toán Dirichlet lớp phương trình elliptic không miền bị chặn mà không thoả mãn điều kiện (A-R). Các kết phương pháp nghiên cứu luận án mở rộng cho lớp phương trình có số mũ biến thiên loại p(x)− Laplacian, phương trình có hệ số kì dị miền bị chặn không bị chặn. Đó hướng nghiên cứu sau luận án này. 24 [...]... hợp của không gian W 1,p (Ω), sử dụng phương pháp biến phân và định lí qua núi trong 2) Tồn tại ít nhất một nghiệm yếu không tầm thường của bài toán Neumann cho hệ phương trình elliptic nửa tuyến tính trong miền không bị chặn với cách xây dựng không gian nghiệm G là không gian con của không gian H 1 (Ω) × H 1 (Ω), là mở rộng của kết quả 1 3) Bài toán biên đối với hệ phương trình tựa tuyến tính của toán. .. tại nghiệm yếu của bài toán biên Neumann cho lớp các phương trình và hệ phương trình elliptic không tuyến tính Việc chứng minh sự tồn tại nghiệm yếu đưa về việc chứng minh sự tồn tại điểm tới hạn của phiếm hàm Euler-Lagrange liên kết nhờ định lí qua núi Các kết quả trình bày trong chương này đã được công bố trong các bài báo [1],[2],[3] (xem danh mục công trình liên quan đến luận án) 1.1 Bài toán Neumann... mãn với mỗi β > 0, vì thế từ Định lí 2.3.1 ta có thể kết luận rằng bài toán (2.10) có ít nhất một nghiệm yếu với mỗi λ > 0 23 KẾT LUẬN Các kết quả chính của luận án: Sử dụng phương pháp biến phân và Định lí qua núi, luận án chứng minh được: 1) Bài toán Neumann cho phương trình elliptic tựa tuyến tính với toán tử p-Laplacian trong miền không bị chặn có ít nhất một nghiệm yếu không tầm thường trong không. .. RN (N 2), 2 p, q < ∞, λ là tham số dương Chương 2 nghiên cứu sự tồn tại nghiệm yếu của bài toán Dirichlet đối với lớp các phương trình elliptic không đều trong miền bị chặn mà không đòi hỏi thoả mãn điều kiện (A-R): Mục 2.1 Giới thiệu bài toán Mục 2.2 xét sự tồn tại nghiệm yếu không âm của bài toán Dirichlet cho phương trình elliptic nửa tuyến tính không đều: −div(h(x) u) = f (x, u) trong Ω u(x)... p-Laplacian với điều kiện biên không tuyến tính, mà có thể xem như một cách suy rộng của điều kiện biên Neumann có bội nghiệm dương hoặc không có nghiệm dương trong điều kiện thích hợp của tham số λ 4) Tồn tại ít nhất một nghiệm yếu của bài toán Dirichlet đối với lớp các phương trình elliptic không đều trong miền bị chặn mà không thoả mãn điều kiện (A-R) Các kết quả và phương pháp nghiên cứu trong luận án có... PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC KHÔNG TUYẾN TÍNH KHÔNG ĐỀU, KHÔNG THOẢ MÃN ĐIỀU KIỆN AMBROSSETTI-RABINOWITZ 2.1 Giới thiệu bài toán Trong chương này chúng tôi xét sự tồn tại nghiệm yếu của bài toán Dirichlet đối với một lớp phương trình elliptic không đều trong miền bị chặn bằng cách nghiên cứu sự tồn tại điểm tới hạn của phiếm hàm Euler-Lagrange liên kết với nó Như đã chú ý trong phần mở đầu, dáng điệu của phần... đó điểm tới hạn của phiếm hàm J là nghiệm yếu của bài toán Kết qủa chính của phần này là định lí sau Định lí 1.1.1 Với các giả thiết F1)-F3) thì bài toán (1.1) có ít nhất một nghiệm yếu không tầm thường trong H 1.2 Bài toán Neumann cho hệ phương trình elliptic nửa tuyến tính trong miền không bị chặn Giả sử Ω ⊂ RN (N ≥ 3) là miền không bị chặn với biên trơn và bị chặn ∂Ω, ta xét bài toán sau: −div(h... đích của chúng tôi trong chương này là đưa ra những điều kiện yếu hơn thay thế cho điều kiện (A-R) Chương 2 được viết dựa vào 2 bài báo [4],[5] trong phần danh mục công trình liên quan đến luận án 18 2.2 Sự tồn tại nghiệm yếu không âm của bài toán Dirichlet cho phương trình elliptic nửa tuyến tính không đều Cho Ω là miền bị chặn trong RN (N ≥ 3) với biên trơn ∂Ω Chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại nghiệm không. .. và Vietnam Journal of Mathematics Các kết quả này đã được báo cáo ở Hội nghị khoa học Khoa Toán- Cơ-Tin học các năm 2008, 2010 và ở Semina Bộ môn Giải tích Khoa Toán- Cơ -Tin học Trường Đại học Khoa học Tự nhiên- Đại học Quốc gia Hà nội 9 Chương 1 BÀI TOÁN NEUMANN CHO LỚP PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC KHÔNG TUYẾN TÍNH Chương 1 chúng tôi dành để trình bày các kết quả nghiên cứu về sự tồn tại. .. Giả sử các giả thiết h), a-b), G1)-G3) thoả mãn Bài toán (1.3) có ít nhất một nghiệm yếu không tầm thường trong G 14 1.3 Sự không tồn tại và tồn tại đa nghiệm dương của hệ (p, q)-Laplacian với điều kiện biên không tuyến tính phụ thuộc tham số Trong mục này, chúng tôi mở rộng kết quả trong [?] cho hệ elliptic tựa tuyến tính với điều kiện biên không tuyến tính như sau −∆ u + |u|p−2 u = 0 trong Ω, . Hằng ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN PHÂN ĐỂ NGHIÊN CỨU SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA CÁC BÀI TOÁN BIÊN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC KHÔNG TUYẾN TÍNH Chuyên ngành: Phương trình vi phân và. nghiên cứu của chúng tôi trong luận án này là sử dụng phương pháp biến phân nghiên cứu sự tồn tại của nghiệm yếu của các bài toán biên đối với phương trình và hệ phương trình elliptic không tuyến. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC KHÔNG TUYẾN TÍNH Chương 1 chúng tôi dành để trình bày các kết quả nghiên cứu về sự tồn tại nghiệm yếu của bài toán biên Neumann cho lớp các phương trình và hệ phương trình elliptic