B GIO DC V O TO TRNG I HC S PHM H NI NGUYN XUN HY TP HT TON CC CHO PHNG TRèNH VI PHN HM NA TUYN TNH VI TON T HILLE-YOSIDA LUN VN THC S TON HC H NI, 2014 B GIO DC V O TO TRNG I HC S PHM H NI NGUYN XUN HY TP HT TON CC CHO PHNG TRèNH VI PHN HM NA TUYN TNH VI TON T HILLE-YOSIDA LUN VN THC S TON HC Chuyờn ngnh: Toỏn gii tớch Mó s: 60 46 01 02 Ngi hng dn khoa hc TS. Trn ỡnh K H NI, 2014 Li cm n Tỏc gi xin c by t lũng bit n chõn thnh ti thy TS. Trn ỡnh K, ngi thy ó truyn th kin thc v hng dn tn tỡnh tỏc gi hon thnh lun ny. Tm gng nghiờn cu khoa hc nghiờm tỳc v s ch bo õn cn ca thy Trn ỡnh K sut quỏ trỡnh tỏc gi vit lun ó giỳp cho tỏc gi cú ý thc trỏch nhim v quyt tõm cao hon thnh lun ca mỡnh. Tỏc gi cng xin c gi li cm n chõn thnh v lũng bit n cỏc thy giỏo dy cao hc chuyờn ngnh Toỏn gii tớch, Ban giỏm hiu, Phũng Sau i hc Trng i hc s phm H Ni ó truyn th kin thc, úng gúp ý kin v giỳp tỏc gi sut quỏ trỡnh hc tp, nghiờn cu v hon thnh lun ny. H Ni, thỏng nm 2014 Tỏc gi Nguyn Xuõn Hựy Li cam oan Tụi xin cam oan lun l cụng trỡnh nghiờn cu ca riờng tụi di s hng dn ca TS. Trn ỡnh K. Trong nghiờn cu lun vn, tụi ó k tha thnh qu khoa hc ca cỏc nh khoa hc vi s trõn trng v bit n. Mt s kt qu ó t c lun l mi v cha tng c cụng b bt k cụng trỡnh khoa hc no ca khỏc. H Ni, thỏng nm 2014 Tỏc gi Nguyn Xuõn Hựy Mc lc Li núi u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Chng 1. Mt s kin thc chun b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1. Na nhúm tớch phõn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Tp hỳt ton cc cho na dũng a tr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Chng 2. Tp hỳt ton cc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.1. Tn ti nghim yu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2. Tn ti hỳt ton cc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Chng 3. p dng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.1. Bao hm thc b chn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.2. Bao hm thc khụng b chn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Kt lun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Ti liu tham kho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Li núi u 1. Lý chn ti Nghiờn cu lý thuyt n nh i vi phng trỡnh vi phõn l mt ch cú tớnh thi s, c xng t nhng nm u ca th k 20 v ó t c nhiu thnh tu quan trng. Trong vi thp k tr li, lý thuyt n nh c tip tc phỏt trin cho phng trỡnh o hm riờng vi cỏc khỏi nim mi. Mt nhng khỏi nim quan trng c xõy dng l khỏi nim hỳt ton cc cho h ng lc sinh bi cỏc phng trỡnh núi trờn. Nú cho phộp nghiờn cu dỏng iu nghim thi gian vụ cựng. Lun trung nghiờn cu s tn ti hỳt ton cc cho h ng lc sinh bi mt lp phng trỡnh vi phõn na tuyn tớnh cha tr vi toỏn t Hille-Yosida: u (t) Au(t) + F (u(t), ut ), t 0; u0 = C, vi C = C([h, 0]; X) l khụng gian cỏc hm liờn tc trờn on [h, 0] ly giỏ tr trờn khụng gian Banach X. Trong bi bỏo [33] kt qu v s tn ti hỳt ton cc c thit lp cho trng hp A sinh na nhúm tớch phõn S(ã) cho S (ã) l na nhúm compact, ng thi hm phi tuyn F tha iu kin Lipschitz. Trong lun ny tụi s trỡnh by mt kt qu m rng khụng cú tớnh compact ca na nhúm S (ã) cng nh khụng cú tớnh Lipschitz ca F . ti ca lun c chn l: "Tp hỳt ton cc cho phng trỡnh vi phõn hm na tuyn tớnh vi toỏn t Hille-Yosida". 2. Mc ớch nghiờn cu Nghiờn cu s tn ti hỳt ton cc cho mt lp phng trỡnh phi tuyn cú tr dng parabolic m phn tuyn tớnh sinh na nhúm tớch phõn. Chng minh chi tit cỏc kt qu bi bỏo [21]. 3. Nhim v nghiờn cu Tỡm hiu lý thuyt hỳt ton cc; p dng lý thuyt hỳt ton cc cho lp bi ton cp. 4. i tng v phm vi nghiờn cu i tng: Phng trỡnh vi phõn dng parabolic na tuyn tớnh cha tr vi toỏn t Hille-Yosida; Phm vi: dỏng iu tim cn nghim, hỳt ton cc ca h ng lc sinh bi lp phng trỡnh nờu trờn. 5. Phng phỏp nghiờn cu S dng cỏc phng phỏp ca h ng lc vụ hn chiu, lý thuyt im bt ng, o khụng compact. 6. úng gúp mi ca lun Chng minh v m rng cỏc kt qu bi bỏo [21]. t Gi s (X, ã ) l mt khụng gian Banach. Ta xột bi toỏn u (t) Au(t) + F (u(t), ut ), u(s) = (s), t 0, s [h, 0], (1) (2) õy u l hm nhn giỏ tr X, ut l hm tr, tc l ut (s) = u(t+s) vi s [h, 0], F l mt hm a tr xỏc nh trờn mt ca X ì C([h, 0], X). Trong mụ hỡnh ny ca chỳng ta, A : D(A) X X l mt toỏn t tuyn tớnh tha iu kin Hille-Yosida, tc l tn ti cỏc hng s M 1, R cho (, +) (A) (gii thc ca A) m (I A)n ú ã L(X) L(X) M , > , ( )n l chun ca toỏn t tuyn tớnh b chn trờn X. Nh ó cp [29], rt nhiu bi toỏn phng trỡnh vi phõn na tuyn tớnh, thnh phn tuyn tớnh cú th nhn giỏ tr nm ngoi D(A) v ta phi nghiờn cu bi toỏn ny mt khụng gian ln hn. iu ny dn ti vic ta phi xột cỏc mụ hỡnh m A xỏc nh khụng trự mt. Ta cú th tỡm thy [16] mt s mụ hỡnh m toỏn t xỏc nh khụng trự mt. Vi gi thit A tha iu kin Hille-Yosida, cú rt nhiu nghiờn cu cp ti tớnh gii c v n nh ca cỏc bi toỏn cú dng (1)-(2). Ngoi ra, cỏc kt qu cho trng hp hm F n tr cú th tỡm thy [1, 2, 4, 18, 29]. Trong trng hp bao hm thc, chỳng ta cú kt qu ca [12, 26]. Nh chỳng ta ó bit, lớ thuyt h ng lc khụng gian vụ hn chiu, hỳt ton cc l mt cụng c hu ớch nghiờn cu tớnh tim cn nghim rt nhiu h vi phõn. Trong ti liu chuyờn kho [13, 28] ó trỡnh by y cỏc liờn quan ti lớ thuyt hỳt. Vi bi toỏn (1)-(2), trng hp F l hm n tr, s tn ti hỳt ton cc ó c chng minh [33]. Ngoi ra, kt qu tng t cho trng hp tr vụ hn c chng minh [10]. Trong c hai nghiờn cu ny, cỏc tỏc gi u cn ti hai gi thit quan trng: 1. Na nhúm S (ã) (xem ti chng 2) l na nhúm compact; 2. F l mt ỏnh x Lipschitz. õy, ta c gng gim nh cỏc gi thit cho trng hp tr hu hn. c bit, nu S (ã) l khụng compact, ta gi thit F tha tớnh cht chớnh quy c biu din di dng o khụng compact (MNC). Trng hp c bit, nu F = F1 + F2 , ú F1 l hm Lipschitz n tr, F2 l hm a tr compact thỡ tớnh cht c cp trờn c tha (ta cú th xem vớ d chng cui). Cng cn nhn mnh rng, bi toỏn ny c xột di dng bao hm thc vi phõn, nú khụng ch l mt s m rng tng quỏt ca mụ hỡnh phng trỡnh, m ta cũn cú th coi nú nh mt bi toỏn iu khin m ú, hm iu khin c cho di dng phn hi. V cỏch tip cn, nh chỳng ta ó bit, nghiờn cu dỏng iu ca h ng lc a tr sinh bi phng trỡnh vi phõn khụng nht nghim hoc bao hm thc vi phõn, cú hai phng phỏp thng c s dng nht, ú l phng phỏp Na dũng tng quỏt (c a bi Ball [7, 8]) v phng phỏp Na dũng a tr (c a bi Melnik v Valero [25]). Nhng ỏnh giỏ, so sỏnh v hai phng phỏp ny c nờu [15]. Chỳng ta cng cp ti lớ thuyt hỳt qu o c phỏt trin bi Chepyzov v Vishik [14], õy cng l mt cụng c rt tt nghiờn cu dỏng iu nghim ca cỏc h o hm riờng m tớnh nht nghim khụng c bo ton. Trong tt c cỏc lc ny, cú mt bc rt quan trng vic chng minh tn ti hỳt ú l ch tớnh compact tim cn ca na dũng. Thụng thng, tớnh cht ny tha nu na dũng sinh bi thnh phn chớnh (vớ d, bi ny l S (ã)) l compact. Tuy nhiờn, vi cỏc h o hm riờng khụng b chn thỡ yờu cu nh trờn l khụng thc t. khc phc khú khn ny, ta s dng cỏch tip cn bng cỏc c lng cho o khụng compact. Gi G(t, ã) l na dũng a tr sinh bi (1)-(2), ngha l G(t, ) = {ut : u(ã, ) l mt nghim tớch phõn ca (1) (2)}, v GT = G(T, ã) vi T > h, l toỏn t dch chuyn. Ta s chng minh GT l nộn. Tớnh cht ny giỳp chỳng ta chng minh tớnh tim cn compact ca G. õy, na nhúm S (ã) c gi thit l liờn tc theo chun, khụng cn tớnh compact. Hn na, nh cỏc c lng da vo bt ng thc Halanay, ta cng thu c tớnh cht tỏn x b chn ca G di cỏc gi thit nh hn so vi cỏc gi thit a [33]. 27 tc ng bc Ch .Tc l, DT cng liờn tc ng bc. T õy ta suy C (DT ) = sup (D(T + )) = sup v(T + ) ã C (B), [h,0] [h,0] vi = N e (T h) . Cui cựng, chn T > h + ln N v nhn xột GT (B) = (B)T = DT , ta cú kt lun ca mnh . B 2.2.3. Gi s rng (A), (F) v (S) tha món. Khi ú, G cú mt hp th, vi iu kin > a + b. Chng minh. Vi t > v B Ch l mt b chn. Vi mi B, Ch C, ta xột u[] xỏc nh bi t S (t s)(I A)1 f (s)ds, u(t) = S (t)(0) + lim + vi f PF (u). S dng gi thit (F)(2) v (S), ta cú t u(t) e t e(ts) [a u(s) + b us (0) + Ch + c]ds. (2.9) c = d < a. u R tiờn, ta s chng minh nghim u[] tha tớnh cht: t0 > cho Do a > b, ta cú th chn R > cho b + ut0 Ch R. Gi s ngc li: vi mi t > 0, ut b us Ch + c = us Ch b+ c us Ch > R thỡ us Ch Ch b+ c = d us R Ch , s 0. Do ú, biu thc (2.9) cho ta t t u(t) e e(ts) [a u(s) + d us (0) + Ch ]ds, t 0. 28 t v(t) = et (0) + (t) , t (ts) [a e u(s) + d us Ch ]ds, t 0, t [h, 0]. T ú ta cú u(t) v(t), vi mi t h v ỏnh giỏ: v (t) ( a)v(t) + d sup v(s), t 0. s[th,t] p dng bt ng thc Halanay, thu c t Ch e u(t) ú Ce t vi mi t 0, l mt s dng. Vy, R < ut Ch u(t + ) Ce (t+) , = sup t h. [h,0] T ú, t l ln, ta cú iu mõu thun. Nh vy, ta va chng minh c: vi mi C thỡ tn ti t0 > cho ut0 Ch R. Bõy gi ta s chng minh ut Ch R, t t0 . Gi s ngc li rng tn ti t1 t0 cho ut1 Ch R nhng ut Ch > R vi mi t (t1 , t1 + ), vi > 0. Vi nghim u[] trờn [t1 , t1 + ), ta cú t S (t s)(I A)1 f (s)ds, u(t) = S (t t1 )u(t1 ) + lim t1 ú f PF (u). Do ú t u(t) e(tt1 ) u(t1 ) + e(ts) [a u(s) +d us Ch ]ds, t [t1 , t1 +). t1 S dng lớ lun tng t nh trờn, ta thu c, vi mi t [t1 , t1 + ), u(t) ut1 Ch e (tt1 ) ut1 Ch R. 29 Do ú, vi t (t1 , t1 + ), ta cú ut Ch = sup u(t + s) = sup s[h,0] sup u(r) r[th,t] u(r) r[t1 h,t] u(r) , sup = max{ sup r[t1 h,t1 ] = max{ ut1 Ch , u(r) } r[t1 ,t] sup u(r) } R. r[t1 ,t] Ta cú mõu thun. Vy, ta cú th ly mt hỡnh cu tõm vi bỏn kớnh R l mt hp th ca na dũng a tr G, ú R c chn tha c . R> ab B 2.2.4. Gi s (A), (F) v (S) tha món. Nu 4N (p + q) > 0, thỡ G l tim cn trờn na compact. Chng minh. Ly B Ch l mt b chn v B l h tt c cỏc dóy {k : k G(tk , B), tk }. Kớ hiu = sup{C () : B }. Ta s chng minh rng = 0. Gi s ngc li rng (0, (1 )à), tn ti = {k } B cho C ( ) > . õy, l s c ly B 2.2.2. C nh T > h, vi mi tk (T, ) tn ti mt s mk N cho tk = mk T + rk , rk [0, T ). Ly k = (mk 1)T + rk , thỡ k G(tk , B) = G(T + k , B) = GT (G(k , B)), cú th ly k G(k , B) cho k GT (k ). T ú suy C ( ) = C ({k }) C (GT ({k })) C ({k }) < . 30 Mõu thun vi gi s. Vy, nh lớ c chng minh. Kt hp cỏc B 2.1.8, 2.2.3 v 2.2.4, ta thu c kt qu chớnh mc ny. nh lớ 2.2.5. Gi s rng cỏc gi thit (A), (F) v (S) tha món. Thỡ na dũng a tr G sinh bi h (1)-(2) cú mt hỳt ton cc compact vi iu kin min{ (a + b), 4N (p + q)} > 0. Chng p dng 3.1. Bao hm thc b chn Gi s l mt b chn, m Rn vi biờn trn v O l mt m. Ta xột bi toỏn u (t, x) x u(t, x) + u(t, x) = f (x, u(t, x)) t m bi (x)vi (t), x , t > 0, + (3.1) i=1 vi (t) k1,i (y)u(t h, y)dy, O k2,i (y)u(t h, y)dy , i m, O (3.2) u(t, x) = 0, x , t 0, (3.3) u(s, x) = (s, x), x , s [h, 0], (3.4) ú x l toỏn t Laplace ca x, > 0, f : ì R R l mt hm liờn tc, bi C(), kj,i L1 (O) vi i {1, ., m}, j = 1, 2, v Ch = C([h, 0]; C()). Mụ hỡnh ny cú th coi nh mt bi toỏn iu khin vi iu khin v = (v1 , ., vm ), cho bi dng phn hi c biu din bi bao hm thc (3.2). õy, khong [z1 , z2 ] = { z1 + (1 )z2 : [0, 1]}. Trong vớ d ny, ta t u(t)(x) = u(t, x), ta xem hm cn tỡm u l 31 32 mt hm vộc t xỏc nh trờn R+ v nhn giỏ tr C(). t X = C(), X0 = C0 () = {v C() : v = trờn }, õy X v X0 c trang b chun sup v = supx |v(x)|. Ta nh ngha A1 v = v, v D(A1 ) = {v C0 () H01 () : v C0 ()}, ú l Laplace trờn . Hin nhiờn, D(A1 ) = X0 X. p dng kt qu [27, nh lớ 5] (cho trng hp m = ), ta cú tỡnh rng nu l chớnh quy a phng ca lp C 2,à , > (xem mụ t ti [27]), thỡ A1 sinh mt na nhúm gii tớch {etA1 }t0 trờn X0 . Hn na, ta thy rng phộp nhỳng D(A1 ) X0 l compact, õy D(A1 ) c xỏc nh vi chun v A1 = v X + v X. Thỡ A1 cú gii thc compact (xem [17, Mnh 4.25]) v ú na nhúm {etA1 }t0 l compact. Mt khỏc, chng minh [32, nh lý 4.1.4] ó ch rng na nhúm {etA1 }t0 l na nhúm co, tc l etA1 L(X) 1, t > 0. t A = A1 I. Ta thy rng, A sinh mt na nhúm compact v gii tớch {etA }t0 trờn X0 cho etA L(X) et , t > 0. 33 Bõy gi, ta t F1 : X0 X, F2 : C([h, 0]; X) P(X) cho F1 (v)(x) = f (x, v(x)), (3.5) m F2 (w)(x) = bi (x) i=1 k1,i (y)w(h, y)dy, k2,i (y)w(h, y)dy . O O (3.6) Khi ú, bi toỏn (3.1) (3.4) l mt trng hp c th ca bi toỏn tng quỏt (1)-(2) vi F (v, w) = F1 (v) + F2 (w). Ta gi thit thờm rng, tn ti cỏc hm a, b C() tha |f (x, r)| a(x)|r| + b(x), x , r R. Ta thu c F1 (v) a ã v + b , v C0 (). Vi F2 , ta cú m F2 (w) |k1,i (y)|dy; bi max{ O i=1 |k2,i (y)|dy} ã w Ch . O T nh lớ 2.2.5, na dũng sinh bi (3.1) (3.4) cú mụt hỳt ton cc compact C([h, 0]; C()) nu m a + |k1,i (y)|dy; bi max{ i=1 O |k2,i (y)|dy} < . O 34 3.2. Bao hm thc khụng b chn Ta chỳ ý rng, nu A sinh mt C0 -na nhúm {T (t)}t0 trờn X thỡ nú cng sinh mt na nhúm tớch phõn {S(t)}t0 , c xỏc nh bi t T (s)vds, v X. S(t)v = Do ú kt qu ca chỳng ta ng nhiờn cú th ỏp dng trng hp ny. Ta li xột bi toỏn (3.1) (3.4) nhng = Rn v O l b chn Rn . Ta cú th vit li nh sau u (t, x) x u(t, x) + u(t, x) = f (x, u(t, x)) t m bi (x)vi (t), x Rn , t > 0, + (3.7) i=1 vi (t) k1,i (y)u(t h, y)dy, O k2,i (y)u(t h, y)dy , i m, O (3.8) u(s, x) = (s, x), x Rn , s [h, 0]. (3.9) Trong mụ hỡnh ny, ta gi s 1. bi L2 (Rn ), kj,i L2 (O), j = 1, 2; i m v C([h, 0]; L2 (Rn )); 2. f : Rn ì R R cho f (ã, z) l o c vi mi z R v tn ti L2 (Rn ) m |f (x, z1 ) f (x, z2 )| (x)|z1 z2 |, x Rn , z1 , z2 R. t A1 v = v, v D(A1 ) = H m (Rn ), X = L2 (Rn ). (3.10) 35 Ta ó bit rng A1 sinh mt na nhúm gii tớch T1 (ã) trờn X (xem chng minh ti [17, nh lớ 5.15]). Hn na, T1 (ã) l mt na nhúm co. Do ú, A = A1 I sinh mt na nhúm gii tớch T (ã) xỏc nh bi T (t) = et T1 (t) v ta cú T (t) et , t > 0. Suy T (ã) l na nhúm n nh m v -gim vi s m . Xột F1 , F2 cho bi (3.5) (3.6). T (3.10) ta thu c F1 (v1 ) F1 (v2 ) ã v1 v2 , v1 , v2 X. T bt ng thc ny suy (F1 (B)) ã (B), B Pb (X). Mt khỏc, vi b chn C C([h, 0]; X) ta thy rng F2 (C) l b chn ca mt khụng gian vụ hn chiu sinh bi {bi }m i=1 . Do ú (F2 (C)) = 0. t F (v, w) = F1 (v) + F2 (w), thỡ (F (B, C)) (F1 (B)) + (F2 (C)) ã (B), vi mi B Pb (X), C Pb (C([h, 0]; X)). Do ú, F tha (F)(3) vi p = , q = 0. Bõy gi, ta kim tra iu kin (F)(2). D thy rng F1 (v) ã v + f (ã, 0) , m F2 (w) bi max{ k1,i i=1 L2 (O) , k2,i L2 (O) } ã w C([h,0];X) . 36 Võy, iu kin (F)(2) c tha vi m a = ,b = bi max{ k1,i L2 (O) , k2,i L2 (O) }. i=1 T ú, chỳng ta thu c kt qu sau nh nh lớ 2.2.5. nh lớ 3.2.1. Na dũng a tr sinh bi h (3.7)-(3.9) cú hỳt ton cc compact C([h, 0]; L2 (Rn )) vi iu kin m max{4 , + bi max{ k1,i i=1 L2 (O) , k2,i L2 (O) } < . Kt lun Lun trung nghiờn cu s tn ti hỳt ton cc i vi mt lp phng trỡnh phi tuyn cú tr dng parabolic m phn tuyn tớnh sinh na nhúm tớch phõn. Cỏc kt qu chớnh t c lun gm: Chng minh tớnh gii c ton cc ca bi toỏn (1)-(2); Chng minh na dũng a tr sinh bi h (1)-(2) cú mt hỳt ton cc compact; p dng cỏc kt qu thu c cho mt h iu khin xỏc nh bi phng trỡnh o hm riờng na tuyn tớnh hai trng hp b chn v khụng b chn. 37 Ti liu tham kho [1] M. Adimy, H. Bouzahir, K. Ezzinbi, Local existence and stability for some partial functional differential equations with infinite delay, Nonlinear Anal. 48 (2002), 323-348. [2] M. Adimy, M. Laklach, K. Ezzinbi, Non-linear semigroup of a class of abstract semilinear functional differential equations with a nondense domain, Acta Math. Sinica, Engl. Ser. Mar. (Engl. Ser.) 20 (5) (2004), 933-942. [3] R.R. Akhmerov, M.I. Kamenskii, A.S. Potapov, A.E. Rodkina, B.N. Sadovskii, Measures of Noncompactness and Condensing Operators, Birkhăauser, Boston-Basel-Berlin, 1992. [4] M. Alia, K. Ezzinbi, Strong solutions for some nonlinear partial functional differential equations with infinite delay, Electron. J. Differential Equations 91 (2008), 1-19. [5] C.T. Anh, N.M. Chuong, T.D. Ke, Global attractors for the msemiflow generated by a quasilinear degenerate parabolic equation, J. Math. Ana. Appl, 363 (2010) 444-453. [6] C.T. Anh, T.D. Ke, On quasilinear parabolic equations involving weighted p-Laplacian operators, Nonlinear Differ. Equa. Appl. 17 (2010), 195-212. [7] J.M. Ball, Continuity properties and global attractor of generalized semiflows and the Navier-Stokes equations, J. Nonlinear Sci. (1997), 475-502. 38 39 [8] J.M. Ball, Global attractor for damped semilinear wave equations, Discrete Contin. Dyn. Syst. 10 (2004), 31-52. [9] D. Bothe, Multivalued Perturbations of m-Accretive Differential Inclusions, Israel J. Math 108 (1998), 109-138. [10] H. Bouzahir, H. You, R. Yuan, Global attractor for some partial functional differential equations with infinite delays, Funkcialaj Ekvacioj 54(2011), 139-156. [11] T. Caraballo, P. E. Kloeden, Non-autonomous attractor for integrodifferential evolution equations, Discrete Contin. Dyn. Syst. Ser. S (2009), 17-36. [12] N.M. Chuong, T.D. Ke, Generalized Cauchy problem involving nonlocal and impulsive conditions, J. Evol. Equations 12 (2012), 367392. [13] V.V. Chepyzhov, M.I. Vishik, Attractors for Equations of Mathematics Physics, American Mathematical Society Colloquium Publications, Vol. 49, American Mathematical Society, Providence 2002. [14] V.V. Chepyzhov, M.I. Vishik, Evolution equations and their trajectory attractors, J. Math. Pures Appl. 76 (1997), 913-964. [15] T. Caraballo, P. Marin-Rubio, J.C. Robinson, A comparision between to theories for multi-valued semiflows and their asymptotic behaviour. Set Valued Anal. 11 (2003), 297-322. [16] G. Da Prato and E. Sinestrari, Differential Operators with NonDense Domain, Ann. Sc. Norm. Pisa, 14 (1987), 285-344. 40 [17] K.-J. Engel, R. Nagel, One-parameter semigroups for linear evolution equations. With contributions by S. Brendle, M. Campiti, T. Hahn, G. Metafune, G. Nickel, D. Pallara, C. Perazzoli, A. Rhandi, S. Romanelli and R. Schnaubelt. Graduate Texts in Mathematics, 194. Springer-Verlag, New York, 2000. [18] K. Ezzinbi, S. Lalaoui Rhali, Positivity and stability for some partial functional differential equations, NoDEA Nonlinear Differential Equations Appl. 10 (2003), 15-32. [19] L. Gúrniewicz, M. Lassonde, Approximation and fixed points for compositions of R -maps. Topology Appl. 55 (3) (1994), 239-250. [20] A. Halanay, Differential Equations, Stability, Oscillations, Time Lags, Academic Press, New York and London 1996. [21] T.D. Ke, D. Lan, Global attractor for a class of functional differential inclusions with Hille-Yosida operators, Nonlinear Anal. 103 (2014), 72-86. [22] M. Kamenskii, V. Obukhovskii, P. Zecca, Condensing Multivalued Maps and Semilinear Differential Inclusions in Banach Spaces, in: de Gruyter Series in Nonlinear Analysis and Applications, vol. 7, Walter de Gruyter, Berlin, New York, 2001. [23] T.D. Ke, N.C. Wong, Long time behavior for a model of porousmedium equations with variable coefficients, Optimization 60:6 (2011), 709-724. 41 [24] H. Kellerman, M. Hieber, Integrated semigroup , J. Funct. Anal. 84(1989), 160-180. [25] V.S. Melnik, J. Valero, On attractors of Multivalued Semi-Flows and Differential Inclusions, Set-Valued Analysis (1998), 83-111. [26] V. Obukhovskii, J.-C. Yao, On impulsive functional differential inclusions with Hille-Yosida operators in Banach spaces, Nonlinear Analysis, 73 (2010), 1715-1728. [27] H.B. Stewart, Generation of analytic semigroups by strongly elliptic operators, Trans. Amer. Math. Soc. 199 (1974), 141-162. [28] R. Temam, Infinite Dimensional Dynamical Systems in Mechanics and Physics, 2nd edition, Springer-Verlag, 1997. [29] H.R. Thieme, Semiflows generated by Lipschitz perturbations of nondensely defined operators, Differential Integral Equations 3(6), 1990, 1035-1066. [30] J. Valero, Finite and Infinite-Dimensional Attractor of Multivalued Reaction-Diffusion Equations, Acta Math. Hungar., 88:3 (2000), 239-258. [31] J. Valero, Attractors of parabolic equations without uniqueness, J. Dynam. Differential Equations 13 (2001), 711-744. [32] I.I. Vrabie, C0 -semigroups and applications, North-Holland Mathematics Studies, 191. North-Holland Publishing Co., Amsterdam, 2003. 42 [33] H. You, R. Yuan, Global attractor for some partial functional differential equations with finite delay, Nonlinear Anal. 72 (2010), 35663574. [34] W. Wang, Generalized Hanalay Inequality for Stability of Nonlinear Neutral Functional Differential Equations, J. Ineq. Appl., Vol. 2010, ArtID 475019, 16 pages. [...]... 1.2.5 Một tập bị chặn B1 ⊂ E được gọi là một tập hấp thụ của nửa dòng đa trị G nếu với mỗi tập bị chặn B ⊂ E, tồn tại + τ = τ (B) ≥ 0 sao cho γτ (B) (B) ⊂ B1 Định nghĩa 1.2.6 Tập con A ⊂ E được gọi là tập hút toàn cục của nửa dòng đa trị G nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau: 1 A hút mọi tập B ∈ B(E), nghĩa là dist(G(t, B), A) → 0 khi t → ∞, với mọi tập bị chặn B ⊂ E, trong đó dist(·, ·) kí hiệu nửa khoảng... chuẩn bị 1.1 Nửa nhóm tích phân Định nghĩa 1.1.1 Một nửa nhóm tích phân là một họ {S(t)}t≥0 các toán tử tuyến tính bị chặn trên X thỏa mãn các tính chất: (i) S(0) = 0; (ii) t → S(t)v liên tục với mỗi v ∈ X; (iii) S(s)S(t)v = s 0 (S(t + r) − S(r))vdr, với mọi t, s ≥ 0, v ∈ X Nửa nhóm tích phân được gọi là không suy biến nếu S(t)v = 0 với mọi t ≥ 0 kéo theo v = 0 Định nghĩa 1.1.2 Nửa nhóm tích phân {S(t)}t≥0... địa phương, nếu với mọi τ > 0, tồn tại hằng số L(τ ) > 0 sao cho S(t) − S(s) L(X) ≤ L|t − s|, với mọi t, s ∈ [0, τ ] Định nghĩa 1.1.3 Toán tử A được gọi là toán tử sinh của nửa nhóm tích phân {S(t)}t≥0 trên X nếu tồn tại ω ∈ R sao cho (ω; +∞) ⊂ ρ(A) và +∞ −1 e−λt S(t)vdt R(λ, A)v = (λI − A) v = λ 0 với mọi λ > ω và mọi v ∈ X Bổ đề 1.1.4 [24] Các Mệnh đề sau tương đương: (i) A là toán tử sinh của một nửa. .. hai tập con trong E; 2 A là nửa bất biến âm, tức là A ⊂ G(t, A), ∀t ∈ Γ+ Định lí sau đây cho chúng ta một điều kiện đủ để tồn tại tập hút toàn cục của một nửa dòng đa trị G Định lí 1.2.7 [25] Giả sử nửa dòng đa trị G thỏa mãn các tính chất: 1 G(t, ·) là nửa liên tục trên và có giá trị đóng với mỗi t ∈ Γ+ ; 12 2 G tán xạ điểm, tức là tồn tại K > 0 sao cho với w ∈ E, u(t) ∈ G(t, w), thì u(t) E ≤ K với. .. nếu B là một tập đóng trong E + sao cho với T (B) > 0, γT (B) (B) bị chặn, thì mỗi dãy ξn ∈ G(tn , B) với tn → ∞ là tiền compact trong E Nếu G là bị chặn chung cuộc, thì nó có một tập hút toàn cục compact A trong E Hơn nữa, nếu G là một nửa dòng ngặt, thì A là bất biến, tức là A = G(t, A) với mỗi t ∈ Γ+ Chương 2 Tập hút toàn cục 2.1 Tồn tại nghiệm yếu Ta kí hiệu Pc (X) = {D ∈ P(X) : D là tập đóng},... nửa nhóm tích phân không suy biến, liên tục Lipschitz địa phương; 6 7 (ii) A thỏa mãn điều kiện Hille- Yosida, tức là, tồn tại M ≥ 1 và ω ∈ R sao cho (ω; +∞) ⊂ ρ(A) và sup{(λ − ω)n (λI − A)−n L(X) : n ∈ N, λ > ω} ≤ M Ta đã biết rằng (xem trong [24]) nếu {S(t)}t≥0 là một nửa nhóm tích phân sinh bởi một toán tử Hille- Yosida A, thì t → S(t)v là khả vi với mỗi v ∈ D(A) và {S (t)}t≥0 là một C0 -nửa nhóm trên... trị compact yếu, lồi Thì G là nửa liên tục trên yếu nếu và chỉ nếu {xn } ⊂ Ω với xn → x0 ∈ Ω và yn ∈ G(xn ) kéo theo yn y0 ∈ G(x0 ) Bây giờ, ta nhắc lại các khái niệm về nửa dòng đa trị và tập hút toàn 11 cục (xem [25]) Giả sử Γ là một nửa nhóm không tầm thường của nửa nhóm cộng tính các số thực R và Γ+ = Γ ∩ [0, ∞) Định nghĩa 1.2.4 Ánh xạ G : Γ+ × E → P(E) được gọi là một nửa dòng đa trị nếu các điều... tập bị chặn B ⊂ X} (1.3) Ta biết rằng χ-chuẩn của T được tính bởi công thức T χ = χ(T (B1 )) = χ(T (S1 )), trong đó B1 và S1 tương ứng là hình cầu đơn vị và mặt cầu đơn vị trong X Ta cũng có kết quả T mà T L(X) χ ≤ T L(X) , được hiểu là chuẩn toán tử trong L(X) Hiển nhiên, T là toán tử compact nếu và chỉ nếu T χ = 0 10 1.2 Tập hút toàn cục cho nửa dòng đa trị Ta nhắc lại một số khái niệm của giải tích... metric, và P(E) là họ tất cả các tập con khác rỗng của E Định nghĩa 1.2.1 Một ánh xạ đa trị F : Y → P(E) được gọi là: (i) nửa liên tục trên (u.s.c) nếu F −1 (V ) = {y ∈ Y : F(y) ∩ V = ∅} là một tập đóng trong Y với mỗi tập đóng V ⊂ E; (ii) nửa liên tục trên yếu nếu F −1 (V ) là tập đóng trong Y với mọi tập đóng yếu V ⊂ E; (iii) đóng nếu đồ thị ΓF = {(y, z) : z ∈ F(y)} là môt tập đóng trong Y × E; (iv) compact... X), v(0) = ϕ(0)} Với v ∈ Cϕ , ta kí hiệu v[ϕ] ∈ C([−h, T ], X) như sau   v(t) nếu t ∈ [0, T ] v[ϕ](t) =  ϕ(t) nếu t ∈ [−h, 0] Trong mục này, ta cần các giả thiết sau (A) Toán tử A thỏa mãn điều kiện Hille- Yosida và C0 -nửa nhóm {S (t)}t≥0 liên tục theo chuẩn, tức là t → S (t) liên tục với t > 0 (theo tô pô mạnh của L(X)) Đối với thành phần phi tuyến của hệ (1)-(2), ta giả thiết (F) Hàm đa trị F : . SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 NGUYỄN XUÂN HÙY TẬP HÚT TOÀN CỤC CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM NỬA TUYẾN TÍNH VỚI TOÁN TỬ HILLE-YOSIDA LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 Người. compact của nửa nhóm S  (·) cũng như không có tính Lipschitz của F . Đề tài của luận văn được chọn là: " ;Tập hút toàn cục cho phương trình vi phân hàm nửa tuyến tính với toán tử Hille-Yosida& quot;. 1 2 2 thuyết tập hút toàn cục; • Áp dụng lý thuyết tập hút toàn cục cho lớp bài toàn đề cập. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu • Đối tượng: Phương trình vi phân dạng parabolic nửa tuyến tính chứa trễ với