BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN BÁ TRUNG SỰ KẾT HỢP PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN VÀ NEWTON-KANTOROVICH GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 Người hướng dẫn khoa học PGS. TS. Khuất Văn Ninh HÀ NỘI, 2014 LỜI CẢM ƠN Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới PGS. TS Khuất Văn Ninh, người thầy truyền thụ kiến thức hướng dẫn tận tình tác giả hoàn thành luận văn này. Tấm gương nghiên cứu khoa học nghiêm túc bảo ân cần thầy Khuất Văn Ninh suốt trình tác giả viết luận văn giúp cho tác giả có ý thức trách nhiệm tâm cao hoàn thành luận văn mình. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy cô giáo dậy cao học chuyên ngành Toán giải tích, Ban giám hiệu, phòng Sau đại học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội truyền thụ kiến thức, đóng góp ý kiến giúp đỡ tác giả suốt trình học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn này. Đồng thời tác giả chân thành cảm ơn Sở GD-ĐT Hà Nội, Ban giám hiệu, Tổ Tự nhiên Trường THPT Xuân Giang tạo điều kiện thuận lợi để tác giả an tâm học tập hoàn thành tốt luận văn.Và qua cảm ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn bè động viên giúp đỡ để tác giả hoàn thành luận văn này. Hà Nội, tháng năm 2014 Tác giả Nguyễn Bá Trung LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn công trình nghiên cứu riêng hướng dẫn PGS. TS Khuất Văn Ninh. Trong nghiên cứu luận văn, kế thừa thành khoa học nhà khoa học với trân trọng biết ơn. Một số kết đạt luận văn chưa công bố công trình khoa học khác. Hà Nội, tháng 07 năm 2014 Tác giả Nguyễn Bá Trung Mục lục Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Chương 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ . . . . . . . . . . 1.1. Phương trình, hệ phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1. Một số khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2. Một số phương trình, hệ phương trình vi phân biết cách giải . . . . . . . . . . . . 1.1.3. Bài toán Cauchy phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.4. Đưa phương trình vi phân cấp n hệ n phương trình vi phân cấp . . . 11 1.2. Sai phân. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.1. Định nghĩa sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.2. Tính chất sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3. Đạo hàm Fréchet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.4. Phương pháp Newton-Raphson, phương pháp Newton-Kantorovich 16 1.4.1. Phương pháp Newton-Raphson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.4.2. Phương pháp Newton-Kantorovich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Chương 2. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.1. Phương pháp sai phân giải toán Cauchy hệ phương trình vi phân cấp một. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2. Phương pháp Newton-Kantorovich giải toán Cauchy hệ phương trình vi phân cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.3. Sự kết hợp phương pháp sai phân phương pháp NewtonKantorovich giải hệ phương trình vi phân cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.3.1. Áp dụng phương pháp Newton-Kantorovich giải hệ phương trình phi tuyến 29 2.3.2. Áp dụng phương pháp sai phân (phương pháp Euler) giải hệ phương trình vi phân cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.3.3. Phương pháp Newton-Kantorovich giải hệ phương trình vi phân cấp . . 32 2.3.4. Sự kết hợp phương pháp sai phân phương pháp Newton-Kantorovich giải hệ phương trình vi phân cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Chương 3. ỨNG DỤNG MAPLE GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.1. Giải hệ phương trình vi phân cấp phương pháp sai phân (phương pháp Euler) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.2. Giải hệ phương trình vi phân cấp phương pháp NewtonKantorovich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.3. Giải hệ phương trình vi phân cấp kết hợp hai phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 MỞ ĐẦU 1. Lí chọn đề tài Bài toán giải hệ phương trình vi phân nhiều nhà toán học quan tâm, có nhiều phương pháp giải đưa ra, chẳng hạn, phương pháp giải tích phương pháp giải xấp xỉ liên tiếp; phương pháp số phương pháp Euler, phương pháp Runge-Kutta, Mặt khác, phương pháp Newton-Kantorovich phương pháp giải tích cho ta tốc độ hội tụ cao. Vì luận văn này, với mong muốn tìm hiểu thêm ứng dụng phương pháp Newton-Kantorovich việc giải hệ phương trình vi phân cấp một, nên chọn đề tài Sự kết hợp phương pháp sai phân Newton-Kantorovich giải hệ phương trình vi phân cấp làm luận văn cao học mình. 2. Mục đích Đề tài nhằm nghiên cứu số phương pháp giải hệ phương trình vi phân cấp một, phương pháp sai phân (phương pháp Euler), phương pháp Newton-Kantorovich giải hệ phương trình vi phân cấp một. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu cách giải hệ phương trình vi phân dựa hai phương pháp sai phân (phương pháp Euler) phương pháp Newton-Kantorovich. 4. Đối tượng nghiên cứu Luận văn tập trung chủ yếu vào nghiên cứu phương pháp sai phân, phương pháp Newton-Kantorovich kết hợp hai phương pháp để giải hệ phương trình vi phân cấp một. 5. Phương pháp nghiên cứu Sưu tầm, nghiên cứu tài liệu liên quan. Áp dụng số phương pháp Giải tích cổ điển, Giải tích hàm, Giải tích số, Phương trình vi phân. 6. Đóng góp luận văn Hệ thống hóa vấn đề nghiên cứu. Áp dụng giải số hệ phương trình vi phân cụ thể phương pháp sai phân, phương pháp NewtonKantorovich kết hợp hai phương pháp đó. Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Phương trình, hệ phương trình vi phân 1.1.1. Một số khái niệm a. Phương trình vi phân Phương trình vi phân phương trình liên hệ biến độc lập, hàm phải tìm đạo hàm hay vi phân hàm phải tìm. Phương trình vi phân cấp n hệ thức có dạng: F x, y, y , y , ., y (n) = 0. (1.1) Trong x biến độc lập, y hàm số cần tìm, y , y , ., y (n) đạo hàm hàm số y = y(x). Ta gọi cấp phương trình vi phân cấp cao đạo hàm có mặt phương trình. Nghiệm phương trình vi phân hàm số y = ϕ(x), thay vào phương trình ta đồng thức. b. Hệ phương trình vi phân Hệ phương trình vi phân hệ có dạng dy1 dm1 y1 dyn dmn yn φ x, y1 , , ., , ., yn , , ., dx dx1 dx dxmn x biến độc lập y1 , y2 , . . . , yn hàm số phải tìm. (1.2) Giải hệ (1.2) tìm hàm số: y1 = y1 (x) , ., yn = yn (x) cho thỏa mãn (1.2). 1.1.2. Một số phương trình, hệ phương trình vi phân biết cách giải a. Phương trình tách biến dy = f1 (x) · f2 (y) dx ⇔ (1.3) dy = f1 (x) dx f2 (y) dy ⇔ = f1 (x) dx + c, f2 (y) c số tùy ý. b. Phương trình dy y =f ∀ x = 0. dx x Đặt u = x ta có y x du = f (u) − u. dx Giả sử f (u) = u ta có (1.4) tương đương với du = f (u) − u với c số tùy ý. dx + c, x (1.4) Giả sử f (u) = u ta có (1.4) (c số tùy ý). c. Phương trình tuyến tính cấp dy + p(x)y = q(x) dx (1.5) q(x) = (1.5) gọi phương trình tuyến tính không cấp một. q(x) = (1.5) gọi phương trình tuyến tính cấp một. Công thức nghiệm tổng quát y = e− p(x)dx q(x).e p(x)dx dx + c . d. Phương trình Bernoulli Dạng tổng quát dy + p(x)y = q(x)y α . dx (1.6) • Nếu α = (1.6) phương trình tuyến tính. • Nếu α = (1.6) phương trình tuyến tính nhất. • Nếu α = α = (1.6) chia hai vế cho y α , đặt phương trình (1.6) trở thành phương trình tuyến tính mà biết cách giải. e. Phương trình vi phân toàn phần Dạng tổng quát p(x, y)dx + q(x, y)dy = 0. (1.7) 52 t x0(t) x3(t) y0(t) y3(t) ∆x ∆y 0. 2. 2.01 −1.500000000 −1.490000000 0.01 0.010000000 0.05 2.051271096 2.061434735 −1.474364452 −1.463577803 0.010163639 0.010786649 0.10 2.105170918 2.115488630 −1.447414541 −1.435762698 0.010317712 0.011651843 0.15 2.161834243 2.172293277 −1.419082878 −1.406478749 0.010459034 0.012604129 0.20 2.221402758 2.231986530 −1.389298621 −1.375645609 0.010583772 0.013653012 0.25 2.284025417 2.294712797 −1.357987292 −1.343178233 0.010687380 0.014809059 0.30 2.349858808 2.360623302 −1.325070596 −1.308986618 0.010764494 0.016083978 0.35 2.419067549 2.429876414 −1.290466226 −1.272975511 0.010808865 0.017490715 0.40 2.491824698 2.502637956 −1.254087651 −1.235044109 0.010813258 0.019043542 0.45 2.568312185 2.579081564 −1.215843908 −1.195085762 0.010769379 0.020758146 0.50 2.648721271 2.659389054 −1.175639364 −1.152987642 0.010667783 0.022651722 0.55 2.733253018 2.743750807 −1.133373491 −1.108630430 0.010497789 0.024743061 0.60 2.822118800 2.832366199 −1.088940600 −1.061887961 0.010247399 0.027052639 0.65 2.915540829 2.925444039 −1.042229586 −1.012626876 0.009903210 0.029602710 0.70 3.013752707 3.023203036 −0.993123646 −0.9607062486 0.009450329 0.0324173974 0.75 3.117000017 3.125872302 −0.941499992 −0.9059772142 0.008872285 0.0355227778 0.80 3.225540928 3.233691880 −0.887229536 −0.8482825582 0.008150952 0.0389469778 0.85 3.339646852 3.346913307 −0.830176574 −0.7874563132 0.007266455 0.0427202608 0.90 3.459603111 3.465800200 −0.770198444 −0.7233233255 0.006197089 0.0468751185 0.95 3.585709659 3.590628893 −0.707145170 −0.6556988099 0.004919234 0.0514463601 1.00 3.718281828 3.721689096 −0.640859086 −0.5843878828 0.003407268 0.0564712032 [> with(plots) : [> with(plottools) : [> plot([exp(t) + 1, exp(t) + 1.01 + (67/20000) ∗ t − (5511/4000000) ∗ t2 − (7620311/2400000000) ∗ t3 − (4490780111/1440000000000) ∗ t4 −(72680145293/32000000000000) ∗ t5 ], t = 1, color = [red, blue]); 53 Hình 3.3: Đồ thị nghiệm x(t). [> plot([(1/2) ∗ exp(t) − 2, (1/2) ∗ exp(t) − 1.99 + (3/200) ∗ t + (1133/80000)∗t2 +(232111/24000000)∗t3 +(33488237/6400000000)∗ t4 +(34630193411/14400000000000)∗t5 ], t = 1, color = [red, blue]); Hình 3.4: Đồ thị nghiệm y(t). 54 Ví dụ 3.5. Dùng phương pháp Newton-Kantorovich tìm nghiệm xấp xỉ hệ phương trình sau     dx = 3x2 (t) − 2x(t)y(t) + dt    dy = 3x(t) − 2y(t) + dt với điều kiện ban đầu x(0) = 1, y(0) = 1.5 với t ∈ [0, 1]. Giải [> restart; [> x(0) := ∗ t + 0.9 : [> y(0) := ∗ t + 1.4 : [> f := proc (n) option remember; dif f (x(n − 1), t) − ∗ x(n − 1)2 + ∗ x(n − 1) ∗ y(n − 1) − 2; end : [> g := proc (n) option remember; dif f (y(n − 1), t) − ∗ x(n − 1) + ∗ y(n − 1) − 3; end : [> dsolve({dif f (z1(t), t) = (6 ∗ x(0) − 2) ∗ z1(t) − ∗ x(0) ∗ z2(t) + f (1), dif f (z2(t), t) = ∗ z1(t) − ∗ z2(t) + g(1), z1(0) = 0, z2(0) = 0}, {z1(t), z2(t)}, type = series); {z1(t) = (9/100)∗t+(163/1000)∗t2 +(244/625)∗t3 +(72299/100000)∗ t4 + (9274439/7500000) ∗ t5 + O(t6 ), z2(t) = (1/10) ∗ t + (7/200) ∗ t2 + (419/3000) ∗ t3 + (6689/30000) ∗ t4 + (516911/1500000) ∗ t5 + O(t6 )} [> z10 := (9/100)∗t+(163/1000)∗t2 +(244/625)∗t3 +(72299/100000)∗ t4 +(9274439/7500000) ∗ t5 : 55 [> z20 := (1/10) ∗ t + (7/200) ∗ t2 + (419/3000) ∗ t3 + (6689/30000) ∗ t4 + (516911/1500000) ∗ t5 : [> x(1) := x(0) − z10; x(1) := 163 244 72299 9274439 191 t + 0.9 − t − t − t − t 100 1000 625 100000 7500000 [> y(1) := y(0) − z20; y(1) := 29 419 6689 516911 t + 1.4 − t − t − t − t 10 200 3000 30000 1500000 [> dsolve({dif f (z1(t), t) = (6 ∗ x(1) − 2) ∗ z1(t) − ∗ x(0) ∗ z2(t) + f (2), dif f (z2(t), t) = ∗ z1(t) − ∗ z2(t) + g(2), z1(0) = 0, z2(0) = 0}, {z1(t), z2(t)}, type = series); {z1(t) = −(9/250) ∗ t2 − (7991/30000) ∗ t3 − (388927/600000) ∗ t4 − (23540291/15000000) ∗ t5 + O(t6 ), z2(t) = −(9/250) ∗ t3 − (7271/40000) ∗ t4 − (316217/1000000) ∗ t5 + O(t6 )} [> z11 := −(9/250) ∗ t2 − (7991/30000) ∗ t3 − (388927/600000) ∗ t4 − (23540291/15000000) ∗ t5 : [> z21 := −(9/250) ∗ t3 − (7271/40000) ∗ t4 − (316217/1000000) ∗ t5 : [> x(2) := x(1) − z11; x(2) := 127 3721 44867 4991413 191 t + 0.9 − t − t − t + t 100 1000 30000 600000 15000000 [> y(2) := y(1) − z21; y(2) := 29 311 4943 85171 t + 1.4 − t − t − t − t 10 200 3000 120000 3000000 [> dsolve({dif f (z1(t), t) = (6 ∗ x(2) − 2) ∗ z1(t) − ∗ x(0) ∗ z2(t) + f (3), dif f (z2(t), t) = ∗ z1(t) − ∗ z2(t) + g(3), z1(0) = 0, z2(0) = 56 0}, {z1(t), z2(t)}, type = series); {z1(t) = (6/625) ∗ t3 + (3409/30000) ∗ t4 + (1900513/3750000) ∗ t5 + O(t6 ), z2(t) = (9/1250) ∗ t4 + (653/10000) ∗ t5 + O(t6 )} [> z12 := (6/625) ∗ t3 + (3409/30000) ∗ t4 + (1900513/3750000) ∗ t5 : [> z22 := (9/1250) ∗ t4 + (653/10000) ∗ t5 : [> x(3) := x(2) − z12; x(3) := 191 127 4009 113047 870213 t + 0.9 − t − t − t − t 100 1000 30000 600000 5000000 [> y(3) := y(2) − z22; y(3) := 29 311 5807 281071 t + 1.4 − t − t − t − t 10 200 3000 120000 3000000 [> dsolve({dif f (z1(t), t) = (6 ∗ x(3) − 2) ∗ z1(t) − ∗ x(0) ∗ z2(t) + f (4), dif f (z2(t), t) = ∗ z1(t) − ∗ z2(t) + g(4), z1(0) = 0, z2(0) = 0}, {z1(t), z2(t)}, type = series); {z1(t) = −(6/3125) ∗ t4 − (28709/937500) ∗ t5 + O(t6 ), z2(t) = −(18/15625) ∗ t5 + O(t6 )} [> z13 := −(6/3125) ∗ t4 − (28709/937500) ∗ t5 : [> z23 := −(18/15625) ∗ t5 : [> x(4) := x(3) − z13; x(4) := 191 127 4009 22379 430259 t + 0.9 − t − t − t − t 100 1000 30000 120000 3000000 [> y(4) := y(3) − z23; y(4) := 29 311 5807 55523 t + 1.4 − t − t − t − t 10 200 3000 120000 600000 57 [> dsolve({dif f (z1(t), t) = (6 ∗ x(4) − 2) ∗ z1(t) − ∗ x(0) ∗ z2(t) + f (5), dif f (z2(t), t) = ∗ z1(t) − ∗ z2(t) + g(5), z1(0) = 0, z2(0) = 0}, {z1(t), z2(t)}, type = series); {z1(t) = (24/78125) ∗ t5 + O(t6 ), z2(t) = O(t6 )} [> z14 := (24/78125) ∗ t5 : [> z24 := : [> x(5) := x(4) − z14; x(5) := 127 4009 22379 2155903 191 t + 0.9 − t − t − t − t 100 1000 30000 120000 15000000 [> y(5) := y(4) − z24; y(5) := 29 311 5807 55523 t + 1.4 − t − t − t − t 10 200 3000 120000 600000 [> dsolve({dif f (z1(t), t) = (6 ∗ x(5) − 2) ∗ z1(t) − ∗ x(0) ∗ z2(t) + f (6), dif f (z2(t), t) = ∗ z1(t) − ∗ z2(t) + g(6), z1(0) = 0, z2(0) = 0}, {z1(t), z2(t)}, type = series); z1(t) = O(t6 ), z2(t) = O(t6 ) [> z15 := O(t6 ) : [> z25 := O(t6 ) : [> x(6) := x(5) − z15; x(6) := 191 127 4009 22379 2155903 t+0.9− t− t− t− t −O(t6 ) 100 1000 30000 120000 15000000 [> y(6) := y(5) − z25; y(6) := 29 311 5807 55523 t + 1.4 − t − t − t − t − O(t6 ) 10 200 3000 120000 600000 [> x6(t) := 191/100t+0.9−127/1000t2 −4009/30000t3 −22379/120000 58 ·t4 − 2155903/15000000t5 : [> y6(t) := 29/10t + 1.4 − 7/200t2 − 311/3000t3 − 5807/120000t4 − 55523/600000t5 : [> h := 0.05 : [> t := n → n ∗ h : [> x0(t) := 2t + : y0(t) := 3t + 3/2 : [> array([seq([t(i), x0(t(i)), evalf (subs(t = t(i), x6(t(i)))), y0(t(i)), evalf (subs(t = t(i), y6(t(i)))), abs(x0(t(i)) − evalf (subs(t = t(i), x6(t(i))))), abs(y0(t(i))−evalf (subs(t = t(i), y6(t(i)))))], i = 20)]); 59 t x0(t) x6(t) y0(t) y6(t) ∆x ∆y 0.0 1.0 0.9 1.500000000 1.4 0.1 0.100000000 0.05 1.10 0.9951645853 1.650000000 1.544899211 0.1048354147 0.105100789 0.10 1.20 1.089576281 1.800000000 1.689540569 0.110423719 0.110459431 0.15 1.30 1.183086163 1.950000000 1.833831100 0.116913837 0.116168900 0.20 1.40 1.275506553 2.100000000 1.977663628 0.124493447 0.122336372 0.25 1.50 1.366605638 2.250000000 2.120913309 0.133394362 0.129086691 0.30 1.60 1.456102062 2.400000000 2.263434160 0.143897938 0.136565840 0.35 1.70 1.543659550 2.550000000 2.405055586 0.156340450 0.144944414 0.40 1.80 1.628881517 2.700000000 2.545578913 0.171118483 0.154421087 0.45 1.90 1.711305673 2.850000000 2.684773921 0.188694327 0.165226079 0.50 2.0 1.790398639 2.822375365 0.209601361 0.177624635 0.55 2.10 1.865550552 3.150000000 2.958079508 0.234449448 0.191920492 0.60 2.20 1.936069679 3.300000000 3.091540659 0.263930321 0.208459341 0.65 2.30 2.001177024 3.450000000 3.222367691 0.298822976 0.227632309 0.70 2.40 2.060000944 3.600000000 3.350120576 0.339999056 0.249879424 0.75 2.50 2.111571750 3.750000000 3.474306919 0.388428250 0.275693081 0.80 2.60 2.154816326 3.900000000 3.594378479 0.445183674 0.305621521 0.85 2.70 2.188552739 4.050000000 3.709727706 0.511447261 0.340272294 0.90 2.80 2.211484840 4.200000000 3.819684268 0.588515160 0.380315732 0.95 2.90 2.222196883 4.350000000 3.923511579 0.677803117 0.426488421 1.0 3.0 2.219148133 4.500000000 4.020403333 0.780851867 0.479596667 3.0 [> with(plots) : [> with(plottools) : [> plot([2∗t+1, (191/100)∗t+.9−(127/1000)∗t2 −(4009/30000)∗t3 − (22379/120000) ∗ t4 −(2155903/15000000) ∗ t5 ], t = 1/2, color = [red, blue]); 60 Hình 3.5: Đồ thị nghiệm x(t). [> plot([3 ∗ t + 3/2, (29/10) ∗ t + 1.4 − (7/200) ∗ t2 − (311/3000) ∗ t3 − (5807/120000) ∗ t4 −(55523/600000) ∗ t5 ], t = 1/2, color = [red, blue]); Hình 3.6: Đồ thị nghiệm y(t). 61 3.3. Giải hệ phương trình vi phân cấp kết hợp hai phương pháp Ví dụ 3.6. Kết hợp phương pháp Newton-Kantorovich phương pháp sai phân giải hệ phương trình     dx = x2 (t) − et y(t) − dt 6    dy = − x(t) − 2y(t) + dt với điều kiện ban đầu x(0) = 0, y(0) = 0. Giải [> restart; [> x0(t) := exp(t) + 1.01; y0(t) := 1/(2) exp(t) − 1.99; x0 := t → exp(t) + 1.01 y0 := t → (1/2) ∗ exp(t) − 1.99 [> f := f ; g := g ; t := t ; x := x ; y := y ; h := h : [> f := dif f (x0(t), t)−(1/6)∗x∗(02 )(t)+(1/3)∗exp(t)∗y0(t)+1/6; f := exp(t) + 1/6 + (1/3) ∗ exp(t) ∗ ((1/2) ∗ exp(t) − 1.99) [> g1 := dif f (y0(t), t) + (1/2) ∗ x0(t) − ∗ y0(t) − 9/2; g1 := −0.15000000 62 [> dsolve({dif f (z1(t), t) = (1/3 ∗ (exp(t) + 1.1)) ∗ z1(t) − (1/3) ∗ exp(t) ∗ z2(t) + exp(t) + 1/6 + (1/3) ∗ exp(t) ∗ ((1/2) ∗ exp(t) − 1.99), dif f (z2(t), t) = −(1/2) ∗ z1(t) + ∗ z2(t) − 0.150000000e − 1, z1(0) = 0, z2(0) = 0}, {z1(t), z2(t)}, type = series); {z1(t) = (67/100) ∗ t + (143/250) ∗ t2 + (35737/90000) ∗ t3 +(894859/3600000) ∗ t4 + (25932563/180000000) ∗ t5 + O(t6 ), z2(t) = −(3/200)∗t−(73/400)∗t2 −(217/1000)∗t3 −(113857/720000)∗ t4 − (1057333/12000000) ∗ t5 + O(t6 )} [> f := (x, y, t) → ((1/3) ∗ exp(t) + (1/3) ∗ 1.1) ∗ x − (1/3) ∗ exp(t) ∗ y + exp(t) + 1/6 + (1/3) ∗ exp(t) ∗ ((1/2) ∗ exp(t) − 1.99); f := (x, y, t) → ((1/3) ∗ exp(t) + .3666666667) ∗ x − (1/3) ∗ exp(t) ∗ y + exp(t) + 1/6 + (1/3) ∗ exp(t) ∗ ((1/2) ∗ exp(t) − 1.99) [> g := (x, y, t) → −(1/2) ∗ x + ∗ y − 0.150000000; g := (x, y, t) → −(1/2) ∗ x + ∗ y − 0.150000000 [> h := 0.05; h := 0.05 [> t := n → n ∗ h; t := n → n ∗ h [> x := proc(n)optionremember; x(n − 1) + h ∗ f (x(n − 1), y(n − 1), t(n − 1))end; 63 x := proc (n) option remember; x(n − 1) + h ∗ f (x(n − 1), y(n − 1), t(n − 1))end proc [> x(0) := : [> y := proc (n) option remember; y(n−1)+h∗g(x(n−1), y(n− 1), t(n − 1)); end; y := proc (n) option remember; y(n − 1) + h ∗ g(x(n − 1), y(n − 1), t(n − 1)) end proc [> y(0) := : [> X := X ; Y := Y ; T := T : [> X(T ) := exp(T ) + 1; X := T → exp(T ) + [> Y (T ) := (1)/(2)(e)( T ) − 2; Y := T → (1/2) ∗ exp(T ) − [> array([seq([t(i), x(i), evalf (subs(t = t(i), X(t))), y(i), evalf (subs (t = t(i), Y (t))), abs(x(i) − evalf (subs(t = t(i), X(t)))), abs(y(i) − evalf (subs (t = t(i), Y (t))))], i = 20)]); 64 t x(t) X(t) y(t) Y (t) ∆x ∆y 0.0 2.0 −1.500000000 2.0 1.500000000 0.05 0.03350000002 2.051271096 −0.000750000000 −1.474364452 2.017771096 1.473614452 0.10 0.06995375506 2.105170918 −0.002412500000 −1.447414541 2.035217163 1.445002041 0.15 0.1096845920 2.161834243 −0.005152593876 −1.419082878 2.052149651 1.413930284 0.20 0.1530588723 2.221402758 −0.009159968064 −1.389298621 2.068343886 1.380138653 0.25 0.2004926795 2.284025417 −0.01465243668 −1.357987292 2.083532738 1.343334855 0.30 0.2524596804 2.349858808 −0.02187999734 −1.325070596 2.097399128 1.303190599 0.35 0.3095003850 2.419067549 −0.03112948908 −1.290466226 2.109567164 1.259336737 0.40 0.3722330818 2.491824698 −0.04272994762 −1.254087651 2.119591616 1.211357703 0.45 0.4413667801 2.568312185 −0.05705876942 −1.215843908 2.126945405 1.158785139 0.50 0.5177165665 2.648721271 −0.07454881586 −1.175639364 2.131004704 1.101090548 0.55 0.6022218691 2.733253018 −0.09569661160 −1.133373491 2.131031149 1.037676879 0.60 0.6959682346 2.822118800 −0.1210718195 −1.088940600 2.126150565 0.9678687805 0.65 0.8002133604 2.915540829 −0.1513282073 −1.042229586 2.115327469 0.8909013787 0.70 0.9164182936 3.013752707 −0.1872163620 −0.993123646 2.097334413 0.8059072840 0.75 1.046284921 3.117000017 −0.2295984555 −0.941499992 2.070715096 0.7119015365 0.80 1.191801139 3.225540928 −0.2794654241 −0.887229536 2.033739789 0.6077641119 0.85 1.355295435 3.339646852 −0.3379569950 −0.830176574 1.984351417 0.4922195790 0.90 1.539503014 3.459603111 −0.4063850804 −0.770198444 1.920100097 0.3638133636 0.95 1.747646157 3.585709659 −0.4862611638 −0.707145170 1.838063502 0.2208840062 1.0 1.983532165 3.718281828 −0.5793284341 −0.640859086 1.734749663 0.0615306519 Kết luận Luận văn giải số vấn đề sau đây: • Trình bày sở phương pháp Newton-Kantorovich; • Áp dụng phương pháp sai phân giải hệ phương trình vi phân cấp một; • Ứng dụng phương pháp Newton-Kantorovich giải hệ phương trình vi phân cấp một; • Trình bày kết hợp hai phương pháp sai phân phương pháp Newton-Kantorovich giải hệ phương trình vi phân cấp một; • Áp dụng giải số hệ phương trình vi phân cấp cụ thể giải số máy tính phần mềm Maple 17. Trong trình thực nghiên cứu luận văn, tận tình bảo thầy hướng dẫn, giúp đỡ nhiệt tình bạn bè, đồng nghiệp lực thân hạn chế, luận văn khó tránh khởi thiết sót, tác giả mong nhận góp ý để xây dựng luận văn hoàn thiện hơn. 65 Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu Tiếng Việt [1] Phạm Kỳ Anh (2005), Giải tích số , NXB Đại học Quốc gia Hà Nội. [2] Nguyễn Minh Chương, Ya.D.Mamedov, Khuất Văn Ninh (1992), Giải xấp xỉ phương trình toán tử, NXB Khoa học kỹ thuật Hà Nội. [3] Phạm Huy Điển (chính biên) (2002), Tính toán, lập trình giảng dạy toán học Maple, NXB Khoa học kỹ thuật Hà Nội. [4] Nguyễn Thế Hoàn, Phạm Phu (2007), Phương trình vi phân lý thuyết ổn định, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội. [5] Lê Đình Thịnh (chủ biên) (2001), Phương trình sai phân số ứng dụng, NXB Giáo dục. [6] Hoàng Tụy (2005), Hàm thực giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội. [B] Tài liệu Tiếng Anh [7] Kung Ching Chang (2005), Methods in Nonlinear Analysis, Springer-Verlag-Berlin Heidelberg. 66 67 [8] James M. Ortega and Werner C. Rheinboldt (1970), Iterative solution of nonlinear equations several variables, Academic Press, New York and London. [...]... max ||ui || 1≤i≤m 29 2.3 Sự kết hợp giữa phương pháp sai phân và phương pháp Newton- Kantorovich giải hệ phương trình vi phân cấp một 2.3.1 Áp dụng phương pháp Newton- Kantorovich giải hệ phương trình phi tuyến Cho hệ phương trình phi tuyến   f (x , x , , x ) = 0  1 1 2 n       f2 (x1 , x2 , , xn ) = 0   ······       f (x , x , , x ) = 0 n 1 2 n Hệ này được vi t dưới dạng F (x) = 0 (2.10)... xn ≤ (h < 1/2) x∗ − yn (1.32) (1.33) Chương 2 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT 2.1 Phương pháp sai phân giải bài toán Cauchy đối với hệ phương trình vi phân cấp một Xét phương trình vi phân y = f (x, y), y(x0 ) = y0 (2.1) Giả sử hàm f xác định trong hình chữ nhật D, trong đó D = (x, y) ∈ R2 : |x − x0 | ≤ a, |y − y 0 | ≤ b (2.2) và thỏa mãn điều kiện |f (x, y1 ) − f (x, y2 )|... = , , tk = , , tm = = 1 m m m m Vậy nghiệm của hệ phương trình được cho dưới dạng bảng (2.13) 32 2.3.3 Phương pháp Newton- Kantorovich giải hệ phương trình vi phân cấp một Xét bài toán tìm nghiệm của hệ phương trình vi phân cấp một sau   dx  = f1 (t, x, y) dt (2.14)  dy = f (t, x, y)  2 dt với điều kiện ban đầu: x (0) = x0 , y (0) = y0 Hệ (2.14) tương đương với   dx  − f1 (t, x, y) = 0... khi bước lặp thỏa mãn bất đẳng thức xm+1 − xm ≤ ε Để chọn bước lặp đầu tiên ta chọn bằng đồ thị (hoặc ghép thử) 2.3.2 Áp dụng phương pháp sai phân (phương pháp Euler) giải hệ phương trình vi phân cấp một Cho hệ phương trình vi                    phân cấp một dx1 = f1 (t, x1 , x2 , , xn ) dt dx2 = f2 (t, x1 , x2 , , xn ) dt dxn = fn (t, x1 , x2 , , xn ) dt (2.12) Với điều... (có đạo hàm đến cấp cần thiết trong tính toán) Khi ấy theo định lý Picard-Lindel¨f hệ (1.13)-(1.14) có nghiệm duy nhất x(t) trên o đoạn [0; 1] , (nghiệm có thể kéo dài được trên toàn bộ khoảng xác định, hay tồn tại nghiệm toàn cục) 11 1.1.4 Đưa phương trình vi phân cấp n về hệ n phương trình vi phân cấp một Giả sử phương trình vi phân cấp n y (n) = f (x, y, y , , y (n−1) ) (1.16) Phương trình (1.16)... trình (1.16) có thể đưa về hệ phương trình vi phân cấp một bằng cách đặt y = y1 , y = y2 , y = y3 , , yn = y (n−1) khi đó ta có hệ phương trình vi phân cấp một sau   dy1    dx = y2   dy  2   = y3 dx       dy  n   = f (x, y1 , y2 , , yn ) dx (1.17) Nếu y = y(x) là nghiệm của phương trình (1.16) thì y 1 = y(x), y2 = y (x), , yn = y (n−1) (x) là nghiệm của phương trình (1.17) Ngược lại,... (x)(h) 16 1.4 Phương pháp Newton- Raphson, phương pháp Newton- Kantorovich 1.4.1 Phương pháp Newton- Raphson Giả sử Rn là không gian Euclide n chiều f :Rn −→ Rn x −→ f (x), trong đó x = (x1 , x2 , , xn ) ∈ Rn , f (x1 , x2 , , xn ) ∈ Rn , và f (x) = (f1 (x), f2 (x), , fn (x)) ∈ Rn , ||f || = q < 1 Giải phương trình f (x) = 0 (1.18) trong Rn , giả sử f ∈ C 2 (Rn ) và ξ là nghiệm của phương trình f (x) =...8 f Phương trình Clero Dạng tổng quát là y=x dy +f dx dy dx (1.8) g Phương trình Lagrange Dạng tổng quát là dy dx y = xg +f dy dx (1.9) 1.1.3 Bài toán Cauchy đối với phương trình vi phân a Bài toán Cauchy đối với phương trình vi phân cấp một • Bài toán Cauchy Tìm nghiệm y = y(x) của phương trình y = f (x, y) sao cho khi x = x0 thì y (x0 ) = y0 trong đó x0 , y0 là các giá trị tùy ý cho trước và ta... và ký hiệu là y(x0 ) = y0 • Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm Cho phương trình vi phân y = f (x, y) và các giá trị ban đầu x0 , y0 Giả sử f (x, y) và các đạo hàm riêng fy xác định và liên tục trên miền D của không gian R2 Giả sử (x0 , y0 ) ∈ D khi đó trong một lân cận nào đó của điểm x0 tồn tại duy nhất một nghiệm y = y(x) của bài toán Cauchy b Bài toán Cauchy với phương trình vi phân cấp n 9 Phương. .. xác định và liên tục trong miền D (D là miền xác định của phương trình (n−1) (1.11)) Giả sử x0 , y0 , y 0 , , y0 ∈ D (là một điểm thuộc D) khi đó 10 trong một lân cận nào đó của điểm x0 : |x − x0 | < δ tồn tại duy nhất một nghiệm y = y(x) của phương trình (1.12) và thỏa mãn các điều kiện ban đầu (1.12) c Bài toán Cauchy với hệ phương trình vi phân Xét bài toán Cauchy tìm nghiệm của hệ phương trình x . 31 2.3.3. Phương pháp Newton- Kantorovich giải hệ phương trình vi phân cấp một 32 2.3.4. Sự kết hợp phương pháp sai phân và phương pháp Newton- Kantorovich giải hệ phương trình vi phân cấp một . của phương pháp Newton- Kantorovich trong vi c giải hệ phương trình vi phân cấp một, nên tôi chọn đề tài Sự kết hợp phương pháp sai phân và Newton- Kantorovich giải hệ phương trình vi phân cấp một. nghiên cứu một số phương pháp giải hệ phương trình vi phân cấp một, đó là phương pháp sai phân (phương pháp Euler), phương pháp Newton- Kantorovich giải hệ phương trình vi phân cấp một. 3 4 3.