Cách giải phương trình bậc cao Phương trình f(x) = có bậc n 1)Nhẩm nghiệm,phân tích đa thức vế trái thành nhân tứ .Sau giải phương trình tích - Nếu x0 nghiệm vế trái phương trình chia hế cho (x – x0). Lúc phương rình f(x) = tương đương với phương trình : (x – x0).f1(x) = (Phương trình f1(x) = có bậc n-1) (x = x0 nghiệm phương trình f1(x) = nghiệm phương trình cho ) 2) Dùng phương pháp hệ số bất định để phân tích vế trái thành tích . Dựa vào định nghĩa đa thức : Hai đa thức tất hệ số tương ứng (Hệ số xk đa thức hệ số xk đa thức với k = 0,1,2,…,n .) Ví dụ 1: Giải phương trình x4 – x3 – 4x2 + 7x - = Cách giải : Nhẩm,thấy x = nghiệm phương trình (Vì thay x = vào phương trình thấy thỏa mãn) .Ta tìm cách phân tích vế trái phương trình thành tích có thừa số (x – 1) : + Chia đa thức bậc vế trái cho (x – 1) (Xem lại Đại số lớp phần chia đa thức cho đa thức) + Hoặc chia nhẩm (Thầy thường nhẩm sau) : - Viết phương trình thành : x3(x – 1) – 4x(x – 1) + 3(x – 1) = (x – 1)(x3 - 4x + 3) = - Giải phương trình x3 – 4x + = .Lại nhẩm thấy x = 1là nghiệm .Lại Chia đuổi lần trước . - Viết phương trình thành x2(x – 1) + x(x – 1) – 3(x – 1) = (x – 1)(x2 + x – 3) = Bây giờ,tiếp tục giải phương trình x2 + x – = xong.(Đơn giản thôi) Như ,ta có: x4 – x3 – 4x2 + 7x - = (x – 1)2(x2 + x – 3) = phương trình có nghiệm kép x0 = 1  13 Cách giải : Giả sử x – x – 4x2 + 7x - = hai nghiệm đơn : x1,2 = Ta có : (x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = Ta phải tìm a , b , c , d x4 – x3 – 4x2 + 7x - = (x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = (1) (*) x4 + (a + c)x3 + (b + d + ac)x2 + (ad + bc)x + bd = (2) phương trình (1) vế trái phương trình (2) phải hai đa thức .Do : tất hệ số tương ứng hai đa thức phải : Giải hệ phương trình ẩn a , b , c , d .Tìm a , b , c , d thay vào phương trình (*) Sau giải phương trình tích .Thế xong (Đơn giản thôi) . Ví dụ : Giải phương trình x5 + x4 – 12x3 – 13x2 + 17x + = Cách giải : x5 + x4 – 12x3 – 13x2 + 17x + = x4(x – 1) + 2x3(x – 1) – 10x2(x -1) – 23x(x -1) – 6(x – 1) = (x – 1)  x3 ( x  2)  10 x( x  2)  3( x  2)   (x -1)(x + 2)  x2 ( x  3)  3x( x  3)  ( x  3)   (x – 1)(x4 + 2x3 – 10x2 – 23x – 6) = (x – 1)(x + 2)(x3 – 10x – 3) = (x – 1)(x + 2)(x + 3)(x2 – 3x – 1) = Phương trình có nghiệm : - Ta tìm số thực a , b , c , d , e cho : x5 + x4 – 12x3 – 13x2 + 17x + = (x2 + ax + b)(x3 + cx2 + dx + e) = (Nhân đa thức VT) (1) (*) x5 + (a + c)x4 + (d + ac + b)x3 + (bc + ad + e)x2 + (ae + bd)x + be = (2) đa thức vế trái phương trình (1) phương trình (2) nên ta có : a  c 1   d  ac  b  12  bc  ad  e  13 (Dùng phương pháp để giải hệ phương trình này.Phải kiên trì .Phải học nhiều vấn đề)  ae  bd  17  be   Giải hệ phương trình ẩn : a , b , c , d , e .Tìm a , b , c , d , e thay vào phương trình (*) sau giải phương trình tích . Kết : a = b = - c = -1 d = -7 e = - .Do phương trình (*) trở thành : (x2 + 2x -3)(x3 – x2 – 7x – 2) = Lại giả sử x3 – x2 – 7x – = (x – m)(x2 + nx + p) = lại nhân đa thức … tìm số m , n , p. Tìm m = -2 n = - p = -1.Vậy : x3 – x2 – 7x – = Tóm lai : x5 + x4 – 12x3 – 13x2 + 17x + = (x + 2)(x2 – 3x – 1) = 0. )(x + 2)(x2 – 3x – 1) = 0. Pt có nghiệm Một số ý nhẩm nghiệm : 1/Nếu tổng tất hệ số không x = nghiệm 2/Nếu tổng hệ số lũy thừa bậc lẻ x tổng hệ số lũy thừa bậc chẵn x x = - nghiệm phương trình 3/phương trình với hệ số nguyên : a0xn + a1xn-1 + a2xn-2 + … + an-1x + an = có nghiệm hữu tỷ x = p ước số nguyên số hạng tự an q ước số nguyên a0 (hệ số lũy thừa bậc cao x) Một số tập : Giải phương trình 1/ x3 – 2x2 - 5x + = 2/ 3x5 + 4x4 – 3x3 + x2 – 7x – 10 = 3/ 2x – 3x - 6x + 6x – 20 = 4/ x5 – 3x3 + x2 – 9x + = 5/ x + 2x – 33 = 6/ 2x6 – 3x5 + 4x3 – 5x2 - 7x - = 7/ 2x4 + x3 – 8x2 – 25x + 42 = 8/ 2x4 + x3 – 6x2 + x + = 9/ 3x – 2x + 2x - 3x – 9x + = 10/ 5x3 – 3x2 – 4x + = THỊ TRẤN TÂN KỲ, 01/05/2011 TRẦN ĐỨC NGỌC . 1 Cách giải phương trình bậc cao Phương trình f(x) = 0 có bậc là n 1)Nhẩm nghiệm,phân tích đa thức vế trái thành nhân tứ .Sau đó giải phương trình tích - Nếu x 0 . Ví dụ 1: Giải phương trình x 4 – x 3 – 4x 2 + 7x - 3 = 0 Cách giải 1 : Nhẩm,thấy x = 1 là một nghiệm của phương trình (Vì thay x = 1 vào phương trình thấy thỏa mãn) .Ta tìm cách phân tích. c , d thay vào phương trình (*) Sau đó giải phương trình tích .Thế là xong (Đơn giản vậy thôi) . Ví dụ 2 : Giải phương trình x 5 + x 4 – 12x 3 – 13x 2 + 17x + 6 = 0 Cách giải 1 : x 5