http://trithuctoan.blogspot.com/ HNG TRONG HèNH HC PHNG 1. Nhu cu xõy dng mt lớ thuyt cht ch v hng m khụng s dng phng phỏp to . 1. Trong ton b cun c s hỡnh hc ca Hilbert, khụng cú thut ng hng. 2. Bng phng phỏp to , ngi ta cú th xõy dng lớ thuyt v hng. Tuy nhiờn cỏch xõy dng ny khụng hon chnh: gúc bt? 3. Cn phi xõy dng lớ thuyt cht ch v hng m khụng s dng phng phỏp to . 4. Hóy nhỡn li hng chng trỡnh toỏn ph thụng: + a b; b c a c. + nh lớ Thales dng hỡnh hc v nh lớ Thales dng i s. Khụng cú nh Thales dng i s, khụng th cú cỏc nh lớ Ceva, Menelaus + Gúc lng giỏc v h thc Chasles cho gúc lng giỏc (ngi ta ó chng minh c rng . Ngi ta l ai?). + Phộp quay v cỏch chng mnh cỏc nh lớ liờn quan ti phộp quay (tt c cỏc nh lớ liờn quan ti phộp quay u c chng minh bng phng phỏp mụ t). + Phộp i xng trc v cỏc nh lớ liờn quan ti phộp i xng trc. nh lớ L13. Tớch hai phộp i xng trc m hai trc i xng ct l mt phộp quay. Chng minh. Gi s R v R l hai phộp i xng trc cú cỏc trc i xng 1, ct nhau. Gi O l giao im ca v 2. Ly M bt kỡ thuc (P). Gi M l nh ca M qua R ; M l nh ca M qua R . D thy OM OM ' OM ''. (OM, OM '') (OM, OM ') (OM ', OM '')(mod ) 2(1 , OM ') 2(OM ', ) 2((1 , OM ') (OM ', )) 2(1 , )(mod ). , ) (M). Suy R .R (M) R (M ') M '' = Q 2( O , ) . Do ú R .R = Q 2( O 2. Núi qua v cỏch xõy dng lớ thuyt v hng m khụng s dng phng phỏp to . 1. on thng nh hng, s cựng hng, s ngc hng ca hai on thng nh hng. im, on thng, on thng-khụng, on thng nh hng, on thng nh hng-khụng, hỡnh thang, hỡnh thang-khụng, cỏc kớ hiu hỡnh thang, hai on thng nh hng cựng hng, hai on thng nh hng ngc hng. nh ngha 9. Hai on thng nh hng AB, CD c gi l cựng hng nu tn ti on thng-khỏc khụng XY cho cỏc t giỏc ABYX v CDYX l nhng hỡnh thang (cú th l hỡnh thang-khụng) (h.4a, h.4b, h.4c, h.4d, h.4e, h.4f). http://trithuctoan.blogspot.com/ B A C X A D D C X Y (h.4a) B Y (h.4b) B A A C=D X X Y (h.4c) Y (h.4d) A=B A=B=C=D C=D X B C=D X Y Y (h.4e) (h.4f) B ba hỡnh thang khng nh s hp lớ ca nh ngha trờn. biu th AB, CD cựng hng hoc ta vit AB CD hoc ta vit CD AB . Thay cho cỏch núi AB, CD cựng hng, ta cũn núi AB, CD cú hng trựng nhau. B ba hỡnh thang khng nh s hp lớ ca nh ngha trờn. biu th AB, CD cựng hng hoc ta vit AB CD hoc ta vit CD AB . Thay cho cỏch núi AB, CD cựng hng, ta cũn núi AB, CD cú hng trựng nhau. nh ngha 10. Hai on thng nh hng AB, CD c gi l ngc hng nu tn ti on thng-khỏc khụng XY cho cỏc t giỏc ABYX v CDXY l nhng hỡnh thang (cú th l hỡnh thang-khụng) (h.5a, h.5b, h.5c, h.5d, h.5e, h.5f). A B D X Y (h.5a) A C D C X B Y (h.5b) http://trithuctoan.blogspot.com/ B A A C=D X X Y (h.5c) Y (h.5d) A=B A=B=C=D C=D X B C=D X Y Y (h.5e) (h.5f) B ba hỡnh thang khng nh s hp lớ ca nh ngha trờn. biu th AB, CD ngc hng hoc ta vit AB CD hoc ta vit CD AB . Thay cho cỏch núi AB, CD ngc hng, ta cũn núi AB, CD cú hng ngc nhau. 2. Gúc nh hng, s cựng hng, s ngc hng ca hai gúc nh hng. Gúc gia hai tia, nh, cnh, trong, ngoi, gúc gia hai tia-khụng, nh, cnh, trong, ngoi, gúc gia hai tia-bt, nh, cnh, trong, ngoi. Gúc nh hng gia hai tia, nh, cnh, trong, ngoi, gúc nh hng gia hai tia-khụng, nh, cnh, trong, ngoi, gúc nh hng gia hai tia-bt, nh, cnh, trong, ngoi. Cỏt tuyn dng, cỏt tuyn õm. t' T' O X' Z' x X Z Y T Y' z t ' y http://trithuctoan.blogspot.com/ t' T' O X' Y' x X Z Y T Z' y t ' z Chỳ ý: S AMB S AMC MB . MC Gúc lng giỏc gia hai tia, nh, cnh, chu kỡ. Gúc gia hai vect, gúc nh hng gia hai vect, gúc lng giỏc gia hai vect. Cung, cung nh hng, cung lng giỏc. Gúc gia hai ng thng, gúc lng giỏc gia hai ng thng. Ba nh lớ c bn. nh lớ 69. Vi ba tia Ox, Oy, Oz v ba s nguyờn k, l, m, ta cú 1) (Ox, Oy)k (Ox, Oz)l + (Oz, Oy)m (mod ) 2) (h thc Chasles cho gúc lng giỏc gia hai tia). (Ox, Oy)k (Oz, Oy)m (Oz, Ox)l (mod ). Chng minh. Trong phộp chng minh ny cỏc nh lớ 50, 52 thng xuyờn c s dng. tia Ox, Oy trùng 1) B qua cỏc trng hp n gin: tia Ox, Oy đối nhau. Khụng mt tớnh tng quỏt gi s (Ox, Oy) cú hng dng. Cú bn trng hp cn xem xột. (h.34a). Trng hp 1. Tia Oz nm gúc xOy y x' O y' z x (h.34a) http://trithuctoan.blogspot.com/ Theo h thc Chasles dng mn cho gúc gia hai tia, ta cú xOz zOy (Ox,Oz) (Oz, Oy) . (Ox, Oy)0 xOy 0 Do ú (Ox, Oy)k (Ox, Oz)l + (Oz, Oy)m (mod ). '. Trng hp 2. Tia Oz nm gúc yOx z y x' y z=x' O O y' x y' x (h.34b) (h.34c) Cú hai kh nng xy ra. Kh nng 2.1. Tia Oz khụng trựng vi tia Ox (h.34b). Theo h thc Chasles dng thụ cho gúc gia hai tia, ta cú xOz zOy (Ox, Oz) (Oz, Oy) . (Ox, Oy)0 xOy 0 Do ú (Ox, Oy)k (Ox, Oz)l + (Oz, Oy)m (mod ). Kh nng 2.2. Tia Oz trựng vi tia Ox (h.34c). Cú hai tỡnh xy ra. Khi (Ox, Oz)0 , theo h thc Chasles dng tinh cho gúc gia hai tia, ta cú zOy (Ox, Oz) (Oz, Oy) . (Ox, Oy)0 xOy 0 Khi (Ox, Oz)0 , theo h thc Chasles dng tinh cho gúc gia hai tia, ta cú zOy zOy (Ox, Oz) (Oz, Oy) . (Ox, Oy)0 xOy 0 Do ú (Ox, Oy)k (Ox, Oz)l + (Oz, Oy)m (mod ). Trng hp 3. Tia Oz nm gúc x 'Oy '. y y x' x' z O O y' x (h.34d) z=y' x (h.34e) Cú hai kh nng xy ra. Kh nng 3.1. Tia Oz khụng trựng vi tia Oy (h.34d). Theo h thc Chasles dng thụ cho gúc gia hai tia, ta cú xOz zOy (Ox, Oz) (Oz,Oy) . (Ox, Oy)0 xOy 0 http://trithuctoan.blogspot.com/ Do ú (Ox, Oy)k (Ox, Oz)l + (Oz, Oy)m (mod ). Kh nng 3.2. Tia Oz trựng vi tia Oy (h.34e). Cú hai tỡnh xy ra. Khi (Oz, Oy)0 , theo h thc Chasles dng tinh cho gúc gia hai tia, ta cú xOz (Oz, Oy) (Ox, Oz) . (Ox, Oy)0 xOy 0 Do ú (Ox,Oy)k (Ox,Oz)l + (Oz,Oy)m (mod2 ). Khi (Oz, Oy)0 , theo h thc Chasles dng tinh cho gúc gia hai tia, ta cú xOz xOz (Oz, Oy) (Ox, Oz) . (Ox, Oy)0 xOy 0 Do ú (Ox, Oy)k (Ox, Oz)l + (Oz, Oy)m (mod ). Trng hp 4. Tia Oz nm gúc y ' Ox (h.34f). x' y O y' z x (h.34f) Theo h thc Chasles dng thụ cho gúc gia hai tia, ta cú xOz zOy (Ox,Oz) (Oz, Oy) . (Ox,Oy)0 xOy 0 Do ú (Ox, Oy)k (Ox, Oz)l + (Oz, Oy)m (mod ). 2) Theo nh lớ 60, (Ox, Oz)0 = (Oz, Ox)0. Suy (Ox, Oz)l = (Oz, Ox)l. T ú, theo phn 1, suy (Ox, Oy)k (Oz, Oy)m (Oz, Ox)l (mod ). Chỳ ý. Khi khụng quan tõm ti chu kỡ ca cỏc gúc lng giỏc gia hai tia, nh lớ 69 c vit n gin nh sau. 1) (Ox, Oy) (Ox, Oz) + (Oz, Oy) (mod ). 2) (Ox, Oy) (Oz, Oy) (Oz, Ox) (mod ). nh lớ 82. Vi ba vect-khỏc khụng a, b, c v ba s nguyờn k, l, m, ta cú 1) (a, b)k (a, c) l (c, b) m (mod 2). 2) (h thc Chasles cho gúc lng giỏc gia hai vect). (a, b)k (c, b) m (c, a) l (mod 2). nh lớ 82 l h qu trc tip ca nh lớ 69. Khi khụng quan tõm ti chu kỡ ca gúc lng giỏc gia hai vect, nh lớ 82 c vit n gin nh sau http://trithuctoan.blogspot.com/ 1) 2) (a, b) (a, c) (c, b) (mod 2). (a, b) (c, b) (c, a) (mod 2). nh lớ 99. Vi ba ng thng a, b, c v ba s nguyờn k, l, m, ta cú 1) (a, b)k (a, c)l + (c, b)m (mod ) (h thc Chasles cho gúc lng giỏc gia hai ng thng). 2) (a, b)k (c, b)m (c, a)l (mod ). chng minh nh lớ 99, ta cn cú mt b quan trng. B gc Vi hai ng thng AB, CD v hai s nguyờn k, l, ta cú (AB, CD) k (AB, CD) l (mod ). B gc c chng minh nh sau. Khụng mt tớnh tng quỏt gi s cỏc on thng AB, CD cú im chung. Gi O l im chung ca AB, CD. Theo cỏc nh lớ 8, 9, OA AB v OC CD. Do ú, theo nh lớ 80, (OA, OC) (AB, CD)0 (1). Cú by trng hp cn xem xột. Trng hp 1. (OA, OC)0 . (h.36a). A D O B C (h.36a) Theo nh ngha 122, (AB, CD) (OA, OC)0 . Kt hp vi (1), suy (AB, CD)0 (AB, CD)0 . Trng hp 2. (OA, OC)0 (h.36b). A D O C B http://trithuctoan.blogspot.com/ (h.36b) (AB, CD) (OA, OC) 0 Theo nh ngha 122, (AB, CD) (OB, OC) . 0 T ú, chỳ ý rng (AB, CD)0 , suy Trng hp 3. (AB,CD)0 (AB, CD)0 (AB,CD)0 (AB, CD)0 . (OA, OC)0 (h.36c). D A O B C (h 36c) Theo nh ngha 122, (AB, CD)0 (OA, OD) (OA, OC)0 . Kt hp vi (1), suy (AB, CD)0 (AB, CD)0 . Trng hp 4. (OA, OC)0 (h.36d). C B A O D (h.36d) Theo nh ngha 122, (AB, CD) (OA, OC)0 . Kt hp vi (1), suy (AB, CD) (AB, CD) . Trng hp 5. (OA, OC)0 (h.36e). http://trithuctoan.blogspot.com/ A D O C B (h.36e) (AB,CD) (OA, OC)0 Theo nh ngha 122, (AB,CD) (OB,OC) . 0 T ú, chỳ ý rng (AB, CD)0 , suy (AB,CD)0 (AB, CD)0 (AB,CD)0 (AB,CD)0 . Trng hp 6. (OA, OC)0 (h.36f). B C O A D (h.36f) Theo nh ngha 122, (AB, CD)0 (OA, OD)0 (OA, OC)0 . Kt hp vi (1), suy (AB, CD)0 (AB, CD)0 . Trng hp 7. (OA, OC)0 . (h.36g). A D O B C (h 36g) Theo nh ngha 122, (AB, CD)0 0. (AB, CD) T ú, chỳ ý rng , suy (AB, CD) (AB, CD) (AB, CD) . (AB, CD) (AB, CD)0 http://trithuctoan.blogspot.com/ (AB, CD)0 (AB, CD)0 (AB, CD)0 . (AB, CD)0 (AB, CD)0 (mod ). (AB, CD) k (AB, CD) l (mod ). (AB,CD)0 Túm li ta luụn cú (AB,CD)0 (AB,CD)0 Do ú Suy Chỳ ý. Khi khụng quan tõm ti chu kỡ ca gúc lng giỏc gia hai ng thng v gúc lng giỏc gia hai vect, b gc thng c vit n gin nh sau (AB, CD) (AB, CD)(mod ). Tr li chng minh nh lớ 99. 1) Trờn a, b, c theo th t ly cỏc on thng-khỏc khụng AB, CD, EF. Theo b gc v theo nh lớ 82, ta cú (a, b)k (AB, CD)k (mod ) ( AB, CD )k (mod ) ( AB, EF )l + ( EF, CD )m (mod ) (AB, EF)l + (EF, CD)m (mod ) (a, c)l + (c, b)m (mod ). 2) Theo nh lớ 97, (a, c)0 = (c, a)0. Suy (a, c)l = (c, a)l. T ú, theo phn 1, suy (a, b)k (c, b)m (c, a)l (mod ). Chỳ ý. Khi khụng quan tõm ti chu kỡ ca gúc nh hng gia hai ng thng, nh lớ 99 c vit n gin nh sau 1) (a, b) (a, c) + (c, b) (mod ) . 2) (a, b) (c, b) (c, a) (mod ) . 3. di i s v ng dng ca nú vic gii cỏc bi toỏn hỡnh hc 3.1 Cỏc bi toỏn v nh lớ Ceva, nh lớ Menelaus Bi toỏn 1. Cho tam giỏc ABC v im M khụng thuc cỏc ng thng BC, CA, AB. AM, BM, CM theo th t ct BC, CA, AB ti A1, B1, C1. BC, CA, AB theo th t ct B1C1, C1A1, A1B1 ti A2, B2, C2. A3, B3, C3 theo th t l trung im ca A1 A2, B1B2, C1C2. Chng minh rng A3, B3, C3 thng hng. Li gii. 10 http://trithuctoan.blogspot.com/ A C2 C1 O B B1 H C A1 B B2 C A M A2 (h.e45) Do ú, theo nh lớ E2, M (AB C ). Núi cỏch khỏc M (O) (3). Ta thấy (MA , A ) (MA , AA ) (AA , A )(mod ) (theo định lí 99[1]) (MB , AB ) (AA , A )(mod ) (vì B (MA A) định lí E2) (AH, ) (, AA )(mod ) (vì (1); AA BC định lí C13) (AH, AA ) (mod ) (theo định lí 99[1]) 0(mod ) (vì AH AA định lí 107[1]). Li theo nh lớ 107 [1], chỳ ý rng A A , suy M A (4). T (2), (3) v (4) suy A, B, C ng quy ti mt im thuc (O) (im M). Chỳ ý. M c gi l im Anti-Steiner ca i vi ABC. Bi toỏn 26. Cho tam giỏc ABC. ng thng theo th t ct cỏc ng thng BC, CA, AB ti A0, B0, C0. Cỏc ng thng A , B , C theo th t i qua A0, B0, C0 v vuụng gúc vi BC, CA, AB. A1 B C ; B1 C A ;C1 A B . H, H1 theo th t l trc tõm ca cỏc tam giỏc ABC, A1B1C1. Chng minh rng H thuc v ch H1 thuc . Li gii. Trc ht ta cn cú hai b . B 1. Cho tam giỏc ABC, trc tõm H. ng thng bt kỡ. A , B , C theo th t l nh ca qua RBC, RCA, RAB. Nu A , B , C ng quy thỡ i qua H. Chng minh b 1. Trong phộp chng minh ny, kớ hiu d(X, ) ch khong cỏch t im X ti ng thng ; kớ hiu d(, ') ch khong cỏch gia hai ng thng song song , '. Gi s khụng i qua H. Gi ' l ng thng i qua H v song song vi ; 'A , 'B , 'C theo th t l nh ca ' qua RBC, RCA, RAB. Theo gi thit, A , B , C ng quy ti mt im, kớ hiu l M. Theo bi toỏn E30, 'A , 'B , 'C ng quy ti mt im, kớ hiu l M. 43 http://trithuctoan.blogspot.com/ Vỡ ' // nờn 'A , 'B , 'C theo th t song song vi A , B , C v d('A , A ) d( 'B , B ) d( 'C , C ) d( ', ). Kt hp vi M ' 'A 'B 'C , suy d(M ', A ) d( M ', B ) d(M ', C ) d( ', ). Kt hp vi M A B C , suy ng trũn (M ', d( ', )) cú ba tip tuyn cựng i qua M, mõu thun. Vy i qua H. B 2. Nu cỏc ng thng , , tho cỏc iu kin v thỡ R ( ) R ( ). Chng minh b 2. Ta thấy (R ( ), R ( )) (R ( ), ) ( , ) ( , R ( )) (mod ) (theo định lí 99[1]) (1 , ) (1 , ) (3 , )(mod ) (theo định lí C13) (1 , ) (1 , )(mod ) (theo định lí 99[1]) (mod ) (vì định lí 108[1]) 2 0(mod ). T ú, chỳ ý rng R ( ), R ( ) cựng i qua , theo nh lớ 107 [1], suy R ( ) R ( ). Tr li gii bi toỏn E31 (h.e46). B1 C0 A C A A1 H1 B0 C1 B H B A0 C (h.e46) Cỏc iu kin sau tng ng. 1. H . 2. R BC (), R CA ( ), R AB () ng quy. 44 http://trithuctoan.blogspot.com/ 3. R B1C1 (), R C1A1 (), R A1B1 () ng quy. 4. H1 . Chỳ ý, theo bi toỏn 30, 2; theo b 1, 1; theo b 2, 3; theo b 1, 4; theo bi toỏn 30, 3. Chỳ ý. Tỏc gi ca li gii trờn l u Hi ng, hc sinh Trng THPT chuyờn HSP H Ni. Bi toỏn 27. Cho hai tam giỏc ABC, A1B1C1 cựng ni tip ng trũn (O) v cựng cú trc tõm l H. ng thng quay quanh H. S, S1 theo th t l im anti-staine ca khụng i. i vi cỏc tam giỏc ABC, A1B1C1. Chng minh rng SOS A C1 S B1 H O C S1 B A1 Li gii. Gi d, d1 theo th t l ng thng simson ca S, S1 i vi tam giỏc ABC, A1B1C1. ng nhiờn d // // d1 . Ly M bt kỡ (nhng ó xỏc nh) trờn (O). Gi , theo th t l ng thng simson ca M i vi cỏc tam giỏc ABC, A1B1C1. (OS, OS1 )0 (OS, OS1 ) (OS, OM) (OM, OS1 ) 2(, d) 2(d1 , )(mod 2) 2(, ) 2(, ) 2((, ) (, )) 2(, ) 2(, )0 (mod 2). 4.5 Bi toỏn 1, VN IMO 2005 - 2006 Bi toỏn 28. Cho t giỏc ABCD. im M chy trờn ng thng AB v khỏc A, B. Cỏc ng trũn (ACM), (BDM) ct ti im th hai N. Chng minh rng 1) N luụn chy trờn mt ng trũn c nh. 2) MN luụn i qua mt im c nh. Li gii. (h.e9). 1) t O = AC BD. 45 http://trithuctoan.blogspot.com/ A B M K D O C N (h.e9) Ta thấy (NC, ND) (NC, NM) (NM, ND) (mod ) (theo định lí 99[1]) (AC, AM) (BM, BD)(mod ) (vì A (NCM); B (NMD) định lí E2) (AC, BD)(mod ) (vì AM BM định lí 99[1]) (OC, OD)(mod ) (vì AC OC BD OD). Do ú, theo nh lớ E2, N thuc ng trũn (OCD). Chỳ ý rng (OCD) c nh, ta cú iu phi chng minh. 2) Gi K l giao im th hai ca MN vi (OCD) (1). Ta thấy (OK, AC) (OK, OC)(mod ) (vì AC OC) (NK, NC) (mod ) (vì N (OKC) định lí E2) (NM, NC)(mod ) (vì NK NM) (AM, AC)(mod ) (vì A (NMC) định lí E2) (AB, AC)(mod ) (vì AM AB). T ú, theo nh lớ 110 [1], suy OK // AB (2). T (1) v (2) suy K c nh. Chỳ ý rng K MN, ta cú iu phi chng minh. Chỳ ý. Nam Ngha v Kiờn. 4.6 Bi toỏn 4, VN IMO 1989 - 1990 Bi toỏn 29. Cho tam giỏc ABC. Tỡm hp cỏc im M cho MA.MA = MB.MB = MC.MC, õy A, B, C theo th t l hỡnh chiu vuụng gúc ca M trờn BC, CA, AB. Li gii. B qua trng hp n gin: ABC vuụng. Trng hp 1. M A, B, C . D thy MA.MA = MB.MB = MC.MC (cựng bng 0). Do ú M | MA.MA ' MB.MB ' MC.MC ' A, B, C . Trng hp 2. M BC CA AB \ A, B, C . D thy ba s MA.MA, MB.MB, MC.MCcú mt s bng khụng v hai s khỏc khụng. Do ú M | MA.MA ' MB.MB ' MC.MC ' . 46 http://trithuctoan.blogspot.com/ Trng hp 3. M BC CA AB. Gi (O) l ng trũn ngoi tip ca ABC; (Oa), (Ob), (Oc) theo th t l nh ca (O) qua RBC, RCA, RAB; H l trc tõm ca ABC. D thy H (Oa ) (O b ) (O c ). Thun. Gi s MA.MA = MB.MB = MC.MC (h.e26, h.e27). MA MB Vỡ MA.MA = MB.MB nờn . MB' MA ' 'A MA 'B, suy cỏc tam giỏc MBA, MAB ng T ú, chỳ ý rng MB dng. (MA, B'A) (MB, A 'B) (mod ) Do ú, theo cỏc nh lớ D1, D5, (MA, B'A) (MB, A 'B) (mod ). Kt hp vi B' A CA; A ' B CB, suy (MA, CA) (MB, CB) (mod ) (MA, CA) (MB, CB) (mod ). M (O) \ A, B, C Do ú, theo nh lớ E2, (MA, CA) (MB, CB) (mod ). T ng thc MB.MB = MC.MC, tng t, suy M (O) \ A, B, C (MB, AB) (MC, AC) (mod ). T ng thc MC.MC = MB.MB, tng t, suy M (O) \ A, B, C (MC, BC) (MA, BA) (mod ). A A C'' C' O O C' B B' M=H B'' A' C B C A' B' A'' M (h.e26) (h.e27) Vy, nu MA.MA = MB.MB = MC.MCM thỡ 47 http://trithuctoan.blogspot.com/ M (O) \ A, B, C (MA, CA) (MB, CB) (mod ) (1) (MB, AB) (MC, AC) (mod ) (2) (MC, BC) (MA, BA) (mod ) (3). T (1) v (2), suy (MA, CA) (MC, AC) (MB, CB) (MB, AB) (mod ). Theo nh lớ 99 [1], (MA, MC) (BA, BC) (mod ). Chỳ ý rng HA BC; HC BA, theo cỏc nh lớ 105, 108 [1], ta cú (HA, HC) (HC, HA) (BA, BC) (mod ). Vy (MA, MC) (HA, HC) (mod ). Kt hp vi H (O b ), suy M (O b ) \ C, A . T (2) v (3), tng t, suy M (O c ) \ A, B . Vy, t (1), (2) v (3) suy M (O b ) (O c ) \ A, B, C H. M (O) \ A, B, C Túm li M H. M (O) \ A, B, C (h.e26) o. Gi s M H (h.e27). Cú hai kh nng xy ra. Kh nng 1. M (O) \ A, B, C Ta thấy (AM, AB ') (AM, AC)(mod ) (vì AB ' AM) (BM, BC)(mod ) (vì M (O) định lí E2). (BM, BA ')(mod ) (vì BC BA '). Kt hp vi MB ' A MA ' B, theo nh lớ D4, suy cỏc tam giỏc MBA, MAB ng dng (cựng hng). MA MB . Do ú MB' MA ' Suy MA.MA = MB.MB. Tng t MB.MB = MC.MC. Vy MA.MA = MB.MB = MC.MC. Kh nng 2. M H. Gi A, B, C theo th t l giao im th hai ca AH, BH, CH vi (O). Theo nh lớ B5 (dng hỡnh hc), MA.MA '' MB.MB '' MC.MC ''. Theo b bi toỏn B14 (dng hỡnh hc), 1 MA ' MA ''; MB ' MB ''; MC ' MC ''. 2 Vy MA.MA = MB.MB = MC.MC. Kt lun cho trng hp 3. M | MA.MA ' MB.MB ' MC.MC ' (O) H \ A, B, C . Kt lun chung cho ba trng hp. M | MA.MA ' MB.MB ' MC.MC ' (O) H . 48 http://trithuctoan.blogspot.com/ 4.6 Bi toỏn 1, VN TST 2012 Bi toỏn 30. Cho tam giỏc ABC ni tip ng trũn (O). B, C c nh v A thay i. ng trũn (D) i qua B, C v theo th t ct AC, AB ti E, F. M, N thuc BE, CF cho DM // AC, DN // AC. Tip tuyn ti M, N ca ng trũn (DMN) ct ti T. Chng minh rng T c nh. Chỳ ý. 1). Khi (D) l ng trũn ng kớnh BC, bi toỏn 30 tr thnh bi toỏn thi chn i tuyn quc gia nm 2012. 2) Bi toỏn 30 c phỏt biu vi s cng tỏc ca ThS Trn Quang Hựng giỏo viờn Trng THPT chuyờn HKHTN HQG H Ni. Li gii. Trc ht ta cn cú mt b . B . Cho tam giỏc ABC cõn ti A. ng trũn (D) i qua B, C v theo th t ct AC, AB ti E, F. Cỏc im M, N theo th t thuc BE, CF cho DM // AC v DN // AB. Tam giỏc TPQ cõn ti T v nhn (DMN) l ng trũn ni tip. Khi ú P, Q theo th t l tõm ca cỏc ng trũn (PDM), (QCN). Chng minh b . A F E T M P B N Q D C 49 http://trithuctoan.blogspot.com/ PM PD. 2(BD, BM) 2(BD, BE) (BD, DE) (DB, DE) 2(CB, CE)(mod 2) 2(DP, DM) (DP, PM) (PD, PM)(mod 2). Vy P l tõm ca (BDM). Tng t Q l tõm ca (CDN). Tr li gii bi toỏn 30. cha A ca (O), E1, F1 theo th t l giao im th Gi A1 l trung im cung BC hai ca A1C, A1B v (D), M1, N1 theo th t thuc BE1, CF1 cho DM1 // A1C, DN1 // A1B, T1 l giao im ca cỏc tip tuyn vi ng trũn (DM1N1) ti M1, N1, I, I1, P, Q theo th t l tõm cỏc ng trũn (DMN), (DM1N1), (BDM1), (CDN1). A1 A F F1 O E1 T=T1 N N1 M1 E I1 I M B C P D Q 50 http://trithuctoan.blogspot.com/ Ta thấy (PM, PM1 ) 2(BM, BM1 ) 2(BE, BE1 ) 2(CE, CE1 ) 2(CA, CA1 ) 2(BA, BA1 ) 2(BF, BF1 )(mod 2) 2(CF, CF1 ) 2(CN, CN1 ) (QN, QN1 )(mod 2). Kt hp vi ng trũn (P, PB) v (Q, QC) bng nhau, suy cỏc tam giỏc PMM1 , QNN1 bng cựng hng (1). Vỡ cỏc tam giỏc T1PQ v T1M1N1 cựng cõn ti T1 nờn PQ // M1N1. TM TN Do ú 1 1 (2). T1P T1Q T (1) v (2) suy cỏc tam giỏc T1 MM1 , T1 NN bng cựng hng. Do ú cỏc tam giỏc T1 MN, T1 M1 N1 ng dng cựng hng (3). ng nhiờn cỏc tam giỏc TMN, T1 M1 N1 theo th t cõn ti T, T1 (4). Chỳ ý rng TM, T1M1 theo th t tip xỳc vi cỏc ng trũn (I), (I1) v DM // CA, DM // BA, DM1 // CA1, DM1 // BA1, ta cú (MN, MT) (DN, DM) (BA, BC) (BA1 , CA1 )(mod ) (DN1 , DM1 ) (M1N1 , M1T1 )(mod ) (5). T (4) v (5) suy cỏc tam giỏc TMN, T1 M1 N1 ng dng cựng hng (6). T (3) v (6) suy cỏc tam giỏc T1 MN, TMN bng cựng hng. Suy T T1 . iu ú cú ngha l T c nh. Chỳ ý. Bi toỏn trờn c phỏt biu cựng vi s cng tỏc ca ThS Trn Quang Hựng giỏo viờn trng THPT chuyờn HKHTN. 4.7 Bi toỏn 6, IMO 2011 Bi toỏn 31. Cho tam giỏc ABC v im P khụng thuc cỏc ng thng BC, CA, AB. ng thng qua P v theo th t ct cỏc ng trũn (PBC), (PCA), (PAB) ln th hai ti X, Y, Z. X, Y, Z theo th t tip xỳc vi cỏc ng trũn (PBC), (PCA), (PAB) ti X, Y, Z. D, E, F theo th t l giao im ca cỏc cp ng thng Y, Z; Z, X; X, Y. Chng minh rng cỏc ng trũn (ABC), (DEF) tip xỳc vi nhau. Chỳ ý. 1) Khi P l trc tõm ca tam giỏc ABC thỡ bi toỏn 31 tr thnh bi toỏn 6, IMO 2011. Bi toỏn 31. Cho tam giỏc ABC. ng thng d tip xỳc vi ng trũn (ABC). X, Y, Z theo th t l nh ca d qua RBC, RCA, RAB. D, E, F theo th t l giao im ca cỏc cp ng thng Y, Z; Z, X; X, Y. Chng minh rng cỏc ng trũn (ABC), (DEF) tip xỳc vi . 51 http://trithuctoan.blogspot.com/ A Z C' X Y X O B' Z H Y C B T A' d 2) Tỏc gi ca bi toỏn 31 l ThS Trn Quang Hựng giỏo viờn Trng THPT chuyờn HKHTN HQG H Ni. Li gii. Gi T l im Miquel ca tam giỏc DEF v ng thng . Ta có(AY, AZ) (AY, AC) (AC, AB) (AB, AZ)(mod) (YY, YC) (AC, AB) (ZB, ZZ)(mod) (YD, YC) (AC, AP) (AP, AB) (ZB, ZD) (mod) (YD, ZD) (YC, YP) (ZP, ZB) (ZB, YC)(mod) (YD, ZD)(mod). Suy A (DYZT). Tng t B (EZXT);C (FXYT). Ta có(TB, TC) (TB, TX) (TX, TC)(mod) (ZB, ZX) (YX, YC)(mod) (ZB, YC)(mod) (ZB, AB) (AB, AC) (AC, YC)(mod) (ZZ, AZ) (AB, AC) (AY, YY) (mod) (DZ, AZ) (AB, AC) (AY, DY) (mod) (DY, AY) (AB, AC) (AY, DY)(mod) (AB, AC)(mod). Suy T (ABC). 52 http://trithuctoan.blogspot.com/ A T F Z X E P Y B C D (h.1) Ta có (TB,TE) (XB,XE)(mod) (XB,XP) (YP,FE)(mod) (CB,CP) (YP,FE)(mod) (CB,FE) (YP,CP)(mod) (CB,FE) (YY,CY)(mod) (CB,FE) (YF,CY)(mod) (CB,FE) (TF,CT)(mod) (CB,CT) (FT,FE)(mod). Suy đường tròn (ABC) (DEF) tiếp xúc với (tại T). 4.8 Bi toỏn 2, IMO 1996 Bi toỏn 33. Cho tam giỏc ABC v im M nm tam giỏc. Chng minh rng MB AB C AMC B. AMB MC AC Chỳ ý. Bi toỏn 33 l s m rng ca bi toỏn 2, IMO 1996. 53 http://trithuctoan.blogspot.com/ Bi toỏn 33. Cho tam giỏc ABC v im M nm tam giỏc cho AMC B. I, I theo th t l tõm ng trũn ni tip cỏc tam giỏc ABM, AMB C ACM. Chng minh rng AM, BI, CI ng quy. A K=K' I M I' C B Bi toỏn 34. Cho tam giỏc ABC khụng cõn ti A. im M khụng thuc ng trũn ngoi tip ca tam giỏc. Chng minh rng MB AB (MA, MB) (MA, MC) (CA, CB) (BA, BC)(mod180). MC AC Chng minh b . Khụng mt tớnh tng quỏt gi s AB > AC. Cú bn trng hp xy ra. Trng hp 1. M thuc ng thng BC (h.e88). A O B E C F (h.e88) Cỏc iu kin sau tng ng. 1. M (EF). M E 2. M F. MA EA 3. MA FA. 4. (MA, CA) (MA, BA) (mod 180). 5. (MA, CB) (CB,CA) (MA, BC) (BC, BA) (mod 180). 6. (MA, MB) (CB, CA) (MA, MC) (BC, BA) (mod 180). 7. (MA, MB) (MA, MC) (CA, CB) (BA, BC)(mod180). 54 http://trithuctoan.blogspot.com/ Chỳ ý, vỡ M BC nờn 2; hin nhiờn 3; theo nh lớ C13, 4; hin nhiờn 3; theo nh lớ 99 [1], 5; vỡ CB MB v BC MC nờn 6; hin nhiờn 7. Trng hp2. M thuc ng thng CA (h.e89). Gi M1 l giao im th hai ca AC v (EF). A O B E C F M1 (h.e89) Cỏc iu kin sau tng ng. 1. M (EF). 2. M M1 . 3. M1B AB . M1C AC 4. BC l phõn giỏc ca ca gúc M 1BA. 5. (CB, M1B) (AB, CB)(mod 180). 6. (CB, M1B) (BA, BC)(mod 180). 7. (CB, CA) + (CA, M1B) (BA, BC)(mod180). 8. (CA, M1 B) (CA, CB) (BA, BC)(mod180). 9. (M1 A, M1B) (CA, CB) (BA, BC)(mod 180). 10. (MA, MB) (MA, MC) (CA, CB) (BA, BC)(mod 180). Chỳ ý, vỡ M AC nờn 2; hin nhiờn 1; vỡ M (E) nờn, theo b 1, 3; theo b li gii ca bi toỏn A5, 5; hin nhiờn 6; theo nh lớ 99 [1], 7; theo nh lớ 107 [1], 8; vỡ CA M1 A nờn 9; vỡ M M1 v M1 A M1C nờn 10. Trng hp 3. M thuc ng thng AB (h.e90). Gi K l trung im ca EF. CBA, ACB l A, B, C. Kớ hiu s o ca cỏc gúc BAC, Chỳ ý rng KA = KE, B > C, ta cú BAE EAK BAE AEC A A B A B 90. BAK 2 Suy AB khụng tip xỳc vi (EF). Gi M2 l giao im th hai ca AB v (EF). Tng t trng hp 2, ta cú M (EF) v ch (MA, MB) (MA, MC) (CA, CB) (BA, BC)(mod180). 55 http://trithuctoan.blogspot.com/ A M2 O E B C K F (h.e90) Trng hp 4. M khụng thuc cỏc ng thng BC, CA, AB (h.e91). Gi X, Y, Z theo th t l giao im th hai ca MA, MB, MC vi (O). Theo nh lớ B5 (dng hỡnh hc), MX.MA MY.MB; MX.MA MZ.MC. MX MY MX MZ Do ú ; . MB MA MC MA BMA;XMZ CMA, suy cỏc cp tam giỏc MXY, T ú, chỳ ý rng XMY MBA; MXZ, MCA ng dng. MX MX Do ú XY AB. ; XZ AC. (1). MB MC Vỡ B C nờn MB MC. Do ú Y Z (2). A Z O E B X C F Y M (h.e91) Vy cỏc iu kin sau tng ng. MB AB 1. . MC AC AB AC 2. . MB MC 3. XY XZ. sđXZ. 4. sđXY 56 http://trithuctoan.blogspot.com/ sđXZ. 5. sđXY 6. sđXY sđAB sđAB sđXZ sđAC sđAC . 2 2 2 7. (MA, MB) (CA, CB) (MA, MC) (BA, BC) (mod ) 8. (MA, MB) (MA, MC) (CA, CB) (BA, BC)(mod ). Chỳ ý, hin nhiờn 2, vỡ (1) nờn 3, hin nhiờn 4, vỡ (2) nờn 5, hin nhiờn 6, theo h qu ca nh lớ F1 v nh lớ E3, 7; hin nhiờn, 8. Chỳ ý. Bi toỏn 34 cho ta mt cỏch mụ t p cỏc ng trũn Apollonius ca tam giỏc. Bi toỏn 35. Cho tam giỏc ABC khụng cõn ti A v (AB, AC) 30 (mod 180). CZ, CT theo th t BX, BY theo th t l phõn giỏc trong, phõn giỏc ngoi ca gúc ABC; Chng minh rng cỏc ng trũn ng l phõn giỏc trong, phõn giỏc ngoi ca gúc ACB. kớnh BC, XY, ZT cựng i qua mt im. Li gii. Tr li gii bi toỏn 36 (h.e92, h.e93). Kớ hiu (BC), (XY), (ZT) theo th t l ng trũn ng kớnh BC, XY, ZT. Gi s M (XY) (ZT). Suy M (XY);M (ZT). MC BC MB CB Do ú ; . MA BA MA CA (MB, MC) (MB, MA) (AB, AC) (CB, CA)(mod180) Theo bi toỏn 34, (MC, MB) (MC, MA) (AC, AB) (BC, BA)(mod180). Do (MB, MC) (MB, MA) (MC, MB) (MC, MA) (AB, AC) (CB, CA) (AC, AB) (BC, BA)(mod180) Theo nh lớ 99 [1], 3(MB, MC) 3(AB, AC)(mod180). Suy (MB, MC) (AB, AC)(mod 60). (MB, MC) (AB, AC)(mod180) iu ú cú ngha l (MB, MC) (AB, AC) 60 (mod 180) (MB, MC) (AB, AC) 120 (mod 180). Chỳ ý rng M khụng thuc ng trũn (ABC), theo nh lớ E2, ta cú (MB, MC) (AB, AC) 60 (mod 180) (MB, MC) (AB, AC) 120 (mod 180). Kt hp vi (AB, AC) 30 (mod 180), suy (MB, MC) 90 (mod 180) (MB, MC) 150 (mod180). Vy, hai giao im ca (XY), (ZT), mt im thuc (BC) (kớ hiu l M), mt im khụng thuc (BC) (kớ hiu l M). 57 http://trithuctoan.blogspot.com/ A Z M Y M X Z B C B A T X C Y M' T M' (h.e92) (h.e93) 58 [...]... O O KO KO (theo định lí 26[1]) KO NO KO NO1 NO2 O2 O1 NO1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2O2 O1 NK (theo định lí 26[1]) 2O1O 2 KN (theo định lí 23) 2O1O 2 HM (vì HK // MN; HM // KN và bổ đề hình bình hành[1]) Tr li gii bi toỏn 14 Gi R, R1, R2 theo th t l bỏn kớnh ca (O), (O1), (O2); H l hỡnh chiu vuụng gúc ca O trờn CD t K = O1O2 EF (h.b35, h.b36) R2 R Qua H M , ng trũn (O) bin thnh ng... Chng minh rng cỏc ng trũn (MPR), (NQR), (MQS), (NPS) cựng i qua mt im Chng minh b 2 (h.e15) Vỡ MN, PQ cú cựng trung im nờn hoc PM NQ Vỡ MN, PQ cú cựng trung im nờn PM NQ PM NQ (theo bổ đề hình bình hành[1]) PM NP Suy ra (1) PM // NP 34 http://trithuctoan.blogspot.com/ P K S N R M Q (h.e15) Gi K l giao im th hai ca (MPR), (NQR) (h.e15) Ta thấy (KM, KQ) (KM, KR) (KR, KQ)(mod ) (theo... BB2 CA; C3 = CC2 AB (h.a38) Vỡ A 2 S O (A1 ) nờn, theo b 1 trong bi toỏn A7, OA 2 OA1 (1) T (1), (2) v (3) suy ra A A2 C1 B2 O B A3 B1 C C2 A1 (h.a38) Vậy A 3 B A 1 B A 2 C 1 A1 C 1 : : (theo bổ đề trên) A 3 C A1 C A 2 B 1 A 1 B 1 Do ú A 3B A 3C OC1 OA 2 A1C1 : (theo định lí 26[1]) OB1 OA 2 A1 B1 OC1 OA1 A1C1 : (vì (1)) OB1 OA1 A1 B1 OA1 OC1 A1B1 A1 B OA1 OB1 A1C1 A1C OB1 OA1 B1C1... R 2 ) (IC 2 R 2 ) BA.BN CA.CM (theo định lí B4) BC.BF CB.CE (theo định lí B5) CB(FB CE) (theo định lí 23[1]) (OB OC)(OB OF OE OC) (theo định lí 26[1]) (OB OC)(OB OC) (vì OE OF và bổ đề1 trong bài toán A7) OB 2 OC 2 A I B F C O E M N (h.b21) Bi toỏn 9 Cho tam giỏc ABC O l tõm ng trũn ngoi tip cỏc im P, Q theo th t thuc AC, AB Cỏc im X, Y, Z theo th t l trung im ca BP, CQ, PQ ng trũn . hình thang-không) (h.4a, h.4b, h.4c, h.4d, h.4e, h.4f). http://trithuctoan .blogspot. com/ http://trithuctoan .blogspot. com/ 2 B X Y YX A A C D BC D (h.4a) (h.4b) B X Y YX A A C=D B C=D . h.5e, h.5f). B X Y YX A A D B C D C (h.5a) (h.5b) http://trithuctoan .blogspot. com/ http://trithuctoan .blogspot. com/ 3 B X Y YX A A C=D B C=D (h.5c) (h.5d) C=D A=B X Y YX A=B=C=D . x z y t t' ' Y T Z X Y' Z' X' T' O http://trithuctoan .blogspot. com/ http://trithuctoan .blogspot. com/ 4 x y z t t' ' Z T Y X Z' Y' X' T' O