B GIO DC V O TO TRNG I HC S PHM H NI NGUYN TH NHUNG NGUYấN Lí BT BIN GAUGE M RNG V C CH KHI LNG Chuyờn ngnh : Vt lớ lớ thuyt v Vt lớ toỏn Mó s : 60 44 01 03 LUN VN THC S KHOA HC VT CHT Ngi hng dn khoa hc: GS. TSKH. O VNG C H NI, 2014 LI CM N Lun ny c thc hin v hon thnh ti Trng HSP H Ni 2. Tỏc gi lun xin by t lũng bit n chõn thnh v sõu sc nht ti GS-TSKH o Vng c. Thy ó hng dn tn tỡnh, y hiu qu, thng xuyờn dnh cho chỳng em s ch bo, giỳp v ng viờn c v vt cht v tinh thn sut quỏ trỡnh nghiờn cu v thc hin ti. Em xin chõn thnh cm n Ban giỏm hiu Trng HSP H Ni 2, Khoa Vt lý, Phũng Sau i Hc ó to mi iu kin thun li cho em hon thnh chng trỡnh cao hc v lun tt nghip. Cui cựng em xin by t lũng bit n chõn thnh ti cỏc anh, ch hc viờn lp K16-Vt lý lý thuyt v vt lý toỏn- Trng i Hc S Phm H Ni 2, cỏc anh em, bn bố gn xa v ngi thõn gia ỡnh ó ng viờn, to mi iu kin lun c hon thnh. H Ni, thỏng 06 nm 2014 Tỏc gi Nguyn Th Nhung LI CAM OAN Tụi xin cam oan õy l cụng trỡnh nghiờn cu ca riờng tụi di s hng dn ca GS-TSKH o Vng c. Lun khụng h trựng lp vi nhng ti khỏc. H Ni, thỏng 06 nm 2014 Nguyn Th Nhung MC LC Trang Li cm n Li cam oan Mc lc M U 1. Lý chn ti . 2. Mc ớch nghiờn cu . 3. Nhim v nghiờn cu 4. i tng v phm vi nghiờn cu . 5. Gi thuyt khoa hc . 6. Phng phỏp nghiờn cu NI DUNG . CHNG 1: NGUYấN Lí BT BIN GAUGE 1.1. Bt bin gauge U(1) v phi Abel 1.2. Cỏc trng Gauge . 1.3. Lagrangian tng tỏc Gauge 1.4. Toỏn t ti nilpotent BRST . 12 CHNG 2: BIN I GAUGE PHIM HM TRNG DY . 17 2.1. Cỏc trng thỏi kớch thớch Dõy . 17 2.2. Phim hm trng Dõy . 20 2.3. Cỏc trng vong Dõy 23 2.4. Bin i gauge phim hm trng Dõy . 26 CHNG 3: KHI LNG CC TRNG GAUGE . 29 3.1. Bin i gauge khỏi quỏt . 29 3.2. Hng s liờn kt . 33 3.3. Khi lng cỏc meson vector . 36 KT LUN . 38 TI LIU THAM KHO . 39 A. M U 1. Lý chn ti Nguyờn lý bt bin gauge l mt nhng nguyờn lý nn tng ca ng lc hc cỏc tng tỏc c bn v cú ý ngha c bit vic xõy dng cỏc mụ hỡnh lý thuyt i thng nht cỏc tng tỏc. Mc ớch ca lun l tỡm hiu- nghiờn cu v mt cỏch m rng lý thuyt bt bin gauge v c ch lng ca trng gauge. í tng ch o l a mt hm ph thuc khụng- thi gian vo phộp bin i gauge, v theo mt ngha no ú cú th gi l phộp bin i gauge bin dng hoc bin i gauge khỏi quỏt. Lun c bit quan tõm n c ch sinh lng cỏc ht, ngoi c ch Higgs. Khi lng l mt c trng quan trng ca cỏc ht c bn, cú ý ngha c bit vic phõn loi theo cỏc mụ hỡnh i xng v vic tỡm hiu- nghiờn cu ng lc hc ca cỏc tng tỏc. 2. Mc ớch nghiờn cu Tỡm hiu- nghiờn cu v mt cỏch m rng lý thuyt bt bin gauge v c ch lng ca trng gauge. 3. Nhim v nghiờn cu Tỡm hiu v mt phng ỏn m rng lý thuyt bt bin gauge v c ch lng ca trng gauge. 4. i tng v phm vi nghiờn cu Nghiờn cu nguyờn lý bt bin gauge m rng v c ch lng cỏc trng gauge. 5. Gi thuyt khoa hc - Trin khai mt s tớnh toỏn chi tit v bt bin BRST lý thuyt Siờu Dõy. - Rỳt biu thc lng cỏc trng gauge v hng s tng tỏc gauge. . Phng phỏp nghiờn cu Lun s dng cỏc phng phỏp: - Lý thuyt trng lng t v ht c bn - Lý thuyt i xng - Lý thuyt Dõy B. NI DUNG CHNG 1: NGUYấN Lí BT BIN GAUGE 1.1. Bt bin Gauge U(1) v phi Abel Cú nhiu c s lý thuyt v thc nghim cú th khng nh rng cỏc th loi tng tỏc gia cỏc ht c bn- mnh, yu, in t (v cú th c hp dn) u cú cựng mt bn cht bt ngun t nguyờn lý bt bin gauge. Trong mc ny trỡnh by v phộp bin i gauge n gin nht- tng ng vi nhúm bin i gauge mt thụng s U(1), chng hn phộp bin i in tớch. Di tỏc dng ca phộp bin i in tớch trng j ( x) ng vi ht mang in tớch q bin i theo quy tc: j ( x) đ j '( x) = eiwQj ( x)e -iwQ = e -iqwj ( x) (1.1) vi w - thụng s ca phộp bin i. Lagrangian ca cỏc trng t bt bin i vi bin i (1.1) w khụng ph thuc vo x. Trong trng hp w = w ( x) , ta cú phộp bin i: j ( x ) đ j ' ( x ) = e- iqw ( x )j ( x ) (1.2) c gi l U(1) gauge. Lỳc ny, cỏc s hng lng Lagrangian (dng j + ( x ) j ( x ) ) bt bin, nhng cỏc s hng ng nng (cha o hm theo x) khụng cũn bt bin na. khụi phc li tớnh bt bin ca Lagrangian ngi ta tin hnh nh sau. a vo trng vector A m ( x ) gi l trng gauge, lp o hm hip bin theo cụng thc: D m j ( x ) ( ả m - iq A m ) j ( x ) , (1.3) v buc A m ( x ) bin i theo quy lut: A 'm ( x ) = A m ( x ) - ả m w ( x ) (1.4) cho Dmj ( x ) bin i ging nh j ( x ) : ( D j ( x ) ) ' = ả j ' ( x ) - iqA ' ( x ) j ' ( x ) = e m m m - iqw ( x ) .Dmj ( x ) (1.5) Cho n nay, cỏc lý thuyt tng tỏc mnh, yu, in t da trờn bt bin Gauge. Gi s cú nhúm i xng G bt k vi i s gm n vi t Ta , a=1,2,,n, tuõn theo h thc giao hoỏn: [ Ta , Tb ] = if abc Tc (1.6) ú: f abc l hng s cu trỳc ca nhúm . Gi s mt a tuyn r cỏc trng i(x), i=1,2,,r, thc hin biu din ca nhúm G, bin i theo quy lut: j ỡ - ig wa ( x )M a ỹ ù ù y i ( x ) đy 'i ( x ) = ớe a=1 ý y j ( x) , ùợ ùỵi n (1.7) ú: Ma l cỏc ma trn r ì r tuõn theo h thc giao hoỏn ging nh (1.6): [ M a , M b ] = if abc M c wa : l thc g: l thc Nu ch xột biu din unita ta cú M +a = M a hermitic. Unita: y +y = y '+ y ' S = e- igwa M a ị SS + = đ S + = S -1 ị M +a = M a + Nhúm G mt thụng s G= U(1) a ch nhn giỏ tr M a y ' = e - igwy + G=SU(n), i thc hin biu din c s (r=n) lỳc ú M a = la ( la : cỏc ma trn Gell-Mann khỏi quỏt) + G=SU(m), i thc hin biu din chớnh quy ( r = m - 1) . M a l ma trn (m - 1) ( m - 1) ( M a )bc = -if abc Ma tha (1.6) bng cỏch lu ý ng nht thc Jacobi ca f abc y a đ y 'a = ( e- igwbMby ) ( = e - igwb M b a )y a a Nu w w ( x) : phộp bin i global w = w ( x) : phộp bin i local L0 (f ) : l Lagrangian t ca mt trng no ú. Trong ú nú cú cha s hng ng nng cha o hm theo khụng gian v thi gian ca trng ả mf . Nu w = w ( x) Lagrangian ca cỏc trng t khụng bt bin. khụi phc li tớnh bt bin ta a vo n trng gauge Aàa(x), a=1,2,,n, lp o hm hip bin theo cụng thc: n Dmy i = ả my i - ig A m a ( M a )i y j j (1.8) a =1 ũi hi cỏc trng Gauge bin i th no Dmy bin i tng t y di tỏc dng ca nhúm bin i G: j ỡ - ig ồwa ( x )M a ỹ ù ( Dmy i ) ' = ùớe a=1 ý . Dmy j ùợ ùỵi n (1.9) Nu A m a bin i theo quy lut: A 'm a = i S ( x ) ả m S -1 ( x ) + S ( x ) A m ( x ) S -1 ( x ) g ả m SS -1 = - S ả m S -1 Am = Ama ( x ) M a S ( x) e - igwa ( x ) M a Thỡ s hng ng nng s bt bin: G U (1), M a Am Am ( x ) Lỳc ú: A 'm ( x ) = A m ( x ) - ả m w ( x ) 1.2. Cỏc trng Gauge Thay th Lagrangian t ả mj ( x ) bng Dmj ( x ) . Kt qu cho ta Lagrangian t cho trng j ( x ) cựng vi Lagrangian tng tỏc gia trng j ( x ) v trng gauge. Chng hn, vi trng vụ hng tớch in f ( x ) , xut phỏt t Lagrangian t do: L0 = ả mf + ( x ) .ả mf ( x ) - m 2f + ( x ) f ( x ) , ta cú: L = Dmf + ( x ) .D mf ( x ) - m 2f + ( x ) f ( x ) = ( ả mf + ( x ) + iq A mf + ( x ) ) . ( ả mf ( x ) - iq A mf ( x ) ) - m 2f + ( x ) f ( x ) = ả mf + ( x ) .ả mf ( x ) - iqả mf + ( x ) A mf ( x ) + iq A mf + ( x ) .ả mf ( x ) + q 2f +f .A m A m - m 2f + ( x ) f ( x ) = ( ả mf + ( x ) .ả mf ( x ) - m 2f + ( x ) f ( x ) ) + iq (f + ( x ) .ả mf ( x ) - ả mf + ( x ) .f ( x ) ) A m + q 2f +f .A m A m L = L0 (f ) + Lint (f , A m ) , vi: (1.10) 24 h ab bab = 0. bab = bba , (2.23) Chỳng tha phng trỡnh Klein- Gordon khụng lng trờn lỏ th: ả l ả l ca (t , s ) = (2.24) ả l ả l b ab (t , s ) = v cú biu thc khai trin nh sau: c (t , s ) = cn eint cos ns , nẻz c (t , s ) = i cn eint sin ns , n b00 (t , s ) = bn eint cos ns , (2.25) n b01 (t , s ) = i bn eint sin ns . n Cỏc h s khai trin cn v bn c gi l cỏc dao ng t vong v phn vong. iu kin hermitian ca ca (t , s ) v bab (t , s ) l: + ca + (t , s ) = ca (t , s ) , bab (t , s ) = bab (t ,s ) , buc cỏc dao ng t cn v bn tha h thc: cn+ = c- n , bn+ = b- n (2.26) Cỏc dao ng t vong tuõn theo h thc giao hoỏn sau: {cn , bm } = d n +m,0 {bn , bm } = 0, {cn , cm } = 0. (2.27) Cng nh vi dao ng t qu o, ta hóy xem cn v bn vi n>0 nh l cỏc toỏn t hy, cn+ v bn+ nh cỏc toỏn t sinh v lp cỏc toỏn t: L(n ) - ( n - k ) : c- K bn + K : c (2.28) K ẻZ S dng cỏc h thc giao hoỏn (2.27) cú th chng t rng cỏc toỏn t L(nc ) to thnh i s Virasoro dng: ộ L(nc ) , L(mc ) ự = ( n - m ) L(nc+)m + n ( -13n + 1) .d n + m ,0 ỷ (2.29) 25 Trờn õy núi v trng vong cho dõy m. Trong trng hp dõy úng ta cn thờm cỏc trng vong c%a (t , s ) v b%ab (t , s ) , v cỏc dao ng t vong c%n , b%n phõn bit cỏc mode chuyn ng phi v trỏi. Cỏc dao ng t c%n , b%n cng tuõn theo h thc giao hoỏn nh (2.27), ngoi ra: {cn , c%m } = 0, {c , b% } = 0, n m {bn , c%m } = 0, {b , b% } = 0. n m Cỏc toỏn t: c L%(n ) - ( n - k ) : c%- K b%n + K : K ẻZ to thnh i s Virasoro dng nh (2.29). Nu t cỏc vi t Ln cụng thc: Ơ : a -mka m , n + k : k =-Ơ Ơ L%n - : a% -mka% m , n + k : k =-Ơ Ln - (2.30) m õy ta s ký hiu l L(nX ) , v cỏc vi t L(nC ) (2.28) lp cỏc vi t mi theo cụng thc: Ln L(nX ) + L(nC ) - a 0d n (2.31) v xem trng hp no thỡ cỏc vi t mi Ln to thnh i s khụng cú s hng d thng. Giỏ tr a0 (2.31) ỏp ng iu ny tng ng vi thụng s c gi l on ct Regge. T cụng thc: [ Ln , Lm ] = ( n - m ) Ln + m ộở L%n , L%m ựỷ = ( n - m ) L%n + m D n ( n - 1) d n + m ,0 12 D + n ( n - 1) d n + m ,0 12 + (2.32) 26 i s gm cỏc h thc giao hoỏn ny c gi l i s Virasoro d thng. S hng khụng cha vi t: A ( n ) D n ( n - 1) gi l s hng d thng. 12 T (2.32) v (2.29) ta cú ngay: [ Ln , Lm ] = ( n - m ) Ln+ m + A(n)d n+ m,0 (2.33) 1 Dn ( n - 1) + n ( -13n + 1) + 2na0 = 12 (2.34) ú: A(n) = D=26, a0=1. Chớnh cú kh nng to i s Virasoro khụng d thng (2.33) vi cỏc giỏ tr thụng s a0=1 v s chiu khụng-thi gian D=26 m ta cú th xõy dng ti Q nilpotent, c th l: Q= L( nẻZ X) n -n c + C : L(n ) c- n : -c0 nẻZ (2.35) Vi toỏn t Q thỡ cỏc phng trỡnh: ( L0 - 1) F = 0, Ln F = 0, n > (2.36) (phim hm trng dõy trng hp dõy m) c vit gp li di dng n gin l: Q = (2.37) Rừ rng rng phng trỡnh ny bt bin i vi phộp bin i BRST nh sau: F ộở C (t , s ) ựỷ đ F ộở C (t , s ) ựỷ + QL ộở C (t , s ) ựỷ . (2.38) 2.4. Bin i gauge phim hm trng Dõy Cỏc phộp bin i gauge phim hm trng dõy c nh ngha l cỏc phộp bin i nh sau: 27 - Vi dõy m: Ơ dF ộở C (t , s ) ựỷ = L- n L ( n ) ộở C (t , s ) ựỷ , (2.39) n =1 ú L ( n ) l cỏc phim hm thụng s vi biu thc tng t nh: F ộở C (t , s ) ựỷ = Ơ r =0 ( -i ) f n n .n r ( x ) .a nm +a nm + .a nm + (2.40) lmn11mn22 nmrr ( x ) .a nm11 +a nm22 + .a nmrr + (2.41) r m1m2 . mr r! r r c th l: L ộở C (t , s ) ựỷ = Ơ r =0 ( -i ) r r! ú lmn mn nm ( x ) l cỏc thụng s bin i (khụng phi l cỏc trng ) r r ph thuc x. - Vi dõy úng: Ơ Ơ n =1 n =1 dF ộở C (t , s ) ựỷ = L- n L ( n ) ộở C (t , s ) ựỷ + L%- n L% ( n ) ộở C (t , s ) ựỷ (2.42) ú L% ( n ) cng cú dng tng nh (2.41): % ộ C (t , s ) ự = L ỷ Ơ r =0 ( -i ) r! r l%mn11mn22 nmrr ( x ) .a% nm11 +a% nm22 + .a% nmrr + (2.43) T quy lut bin i trờn õy ca phim hm trng dõy suy quy lut bin i ca cỏc trng thnh phn. Ta hóy minh qua cỏc vớ d trng hp dõy m. Chng hn, tỡm quy lut bin i ca cỏc trng f ( x ) v A m ( x ) biu thc khai trin: ỡ ỹ F ộở X (t , s ) ựỷ = ớf ( x ) - iAm ( x ) a -m1 - ivm ( x ) a -m2 + . - lmu ( x ) a -m1a -u1 + .ý ợ ỵ (2.44) Vi biu thc khai trin phim hm thụng s: { L ( ) ộở C (t , s ) ựỷ = l ( n ta cú: n) ( x ) - ix m( n ) ( x ) a -m1 + .} (2.45) 28 L-1L (1) ổ Ơ u 1 = ỗ - a - nau ,-1+ n ữ l ( ) ( x ) - ix m( )a -m1 + . ố n =-Ơ ứ { { = - { -i ả l ( ) ( x ) a } } + .} , = - pu l ( )a -u1 - ix m( )a -u2au ,1a -m1 + . u u -1 + ixu( )a -u2 ổ L-2 L ( ) = ỗ - a -unau ,-2+ n ữ l ( 2) - ix m( 2)a -m1 + . ố n ứ ổ = ỗ -a -u2 pu - a -u1au ,-1 + . ữ l ( 2) - ix m( 2)a -m1 + . ố ứ { } { } ỡ ỹ = ớiảu l ( ) .a -u2 - l ( )a -u1au ,-1 + .ý . ợ ỵ (2.46) Thay (2.46) vo (2.39), ta cú: { ( ) } dF ộở C (t , s ) ựỷ = iả m l (1) ( x ) .a -m1 + ả m l ( 2) ( x ) - x m(1) ( x ) a -m2 + . (2.47) Mt khỏc, t (2.44) ta cú: dF ộở C (t , s ) ựỷ = {df ( x ) - idA m ( x ) a -m1 + .} (2.48) So sỏnh (2.47) v (2.48), ta suy ra: d ( x ) = 0, dA m ( x ) = -ả m l (1) ( x ) . (2.49) Nh vy trng f ( x ) bt bin gauge, trng A m ( x ) bin i theo quy lut ca trng U(1)- gauge. A m ( x ) đ A 'm ( x ) - ả m l ( x ) . 29 CHNG 3: KHI LNG CC TRNG GAUGE 3.1. Bin i gauge khỏi quỏt Nh ó trỡnh by chng v nguyờn lý bt bin gauge. Khi thay th Lagrange t ả mj ( x ) bng Dmj ( x ) . Kt qu dn n Lagrangian tng tỏc ca U(1) gauge sau õy: Vi trng vụ hng tớch in f ( x ) : Lint (f , A m ) = iq (f + ( x ) .ả mf ( x ) - ả mf + ( x ) .f ( x ) ) A m + q 2f +f .A m A m . Vi trng spinor tớch in y ( x ) : Lint (y , A m ) = qyg my .A m Nh vy, nguyờn lý bt bin gauge cho phộp xỏc nh mt cỏch n tr Lagrangian mụ t tng tỏc gia trng vt cht mang in v trng gauge A m . Bõy gi, chỳng ta nghiờn cu v mt cỏch m rng lý thuyt bt bin gauge. í tng ch o l a mt hm ph thuc khụng- thi gian vo phộp bin i gauge, v theo mt ngha no ú cú th gi l phộp bin i gauge bin dng hoc bin i gauge khỏi quỏt. C th, bt bin gauge U(1) bin dng. Di tỏc dng ca phộp bin i in tớch trng j ( x ) ng vi ht mang in tớch q mt thụng s U(1) v bin i theo quy lut: j ( x ) đ j ' ( x ) = e -iqw ( x )j ( x ) (3.1) vi w ( x ) l thụng s ca phộp bin i gauge. Lỳc ny, cỏc s hng lng Lagrangian (dng j + ( x ) j ( x ) ) bt bin, nhng cỏc s hng ng nng (cha o hm theo x) khụng cũn 30 bt bin na. khụi phc li tớnh bt bin ca Lagrangian ngi ta tin hnh nh sau. a vo trng vector A m ( x ) gi l trng gauge, lp o hm hip bin theo cụng thc: Dmj ( x ) = ả mj ( x ) - iqe g( x) Am ( x )j ( x ) (3.2) ú A m ( x ) ca trng gauge bin i theo quy lut: A 'm ( x ) = A m ( x ) - e - g( x) ả mw ( x ) (3.3) g ( x ) l mt hm thụng s vụ hng vi mt s rng buc c xỏc nh sau. Chỳ ý rng g ( x ) = thỡ ta tr v bin i gauge thụng thng. Thay th Lagrangian t ả mj ( x ) bng Dmj ( x ) . Kt qu cho ta Lagrangian t cho trng j ( x ) cựng vi Lagrangian tng tỏc gia trng j ( x ) v trng gauge. Vi trng vụ hng tớch in f ( x ) , xut phỏt t Lagrangian t do: L0 = ả mf + ( x ) .ả mf ( x ) - m 2f + ( x ) f ( x ) , ta cú: L = Dmf + ( x ) .D mf ( x ) - m2f + ( x ) f ( x ) ( = ả mf + ( x ) + iqe g( x) )( A mf + ( x ) . ả mf ( x ) - iqe = ả mf + ( x ) .ả mf ( x ) - iqe + q 2e g ( x) ) A mf ( x ) - m 2f + ( x ) f ( x ) f + ( x ) ả m .A mf ( x ) + iqe g ( x ) A mf + ( x ) .ả mf ( x ) g( x) f +f .A m A m - m 2f + ( x ) f ( x ) g ( x) = ( ả mf + ( x ) .ả mf ( x ) - m 2f + ( x ) f ( x ) ) + qe + q 2e f + ( x ) ả mf ( x ) .A m ( x ) g ( x) g( x) f +f .A m A m L = L0 (f ) + Lint (f , A m ) , (3.4) 31 ú: Lint (f , A m ) = qe g ( x )f + ( x ) ả mf ( x ) .A m ( x ) + q e2 g ( x )f +f .A m A m (3.5) Vi trng spinor tớch in y ( x ) , xut phỏt t Lagrangian t do: L0 ( x ) = i yg m ả my - ả my .g my ) - myy ( ta cú: i yg m D my - D my .g my ) - myy ( i = ộyg m ả my - iqe g ( x ) A my - ả my + iqe g ( x )yA m .g my ự - myy ỷ 2ở i = yg m ả my - ả my .g my - 2iqe g ( x )yg my .A m - myy i = (yg m ả my - ả my .g my ) - myy + qe g ( x )yg my .A m L= ( ) ( ( ) ) L = L0 (y ) + Lint (y , A m ) , (3.6) ú: Lint (y , A m ) = qe g ( x )y ( x ) g my ( x ) .A m ( x ) (3.7) Nh vy, bin i gauge khỏi quỏt cng cho phộp xỏc nh mt cỏch n tr Lagrangian mụ t tng tỏc gia trng vt cht mang in v trng gauge A m mt cỏch m rng hn. Kt qu thu c trờn cú th c khỏi quỏt thng i vi trng hp gauge phi Abel. Gi s ji ( x ) l mt a tuyn trng bin i theo quy lut: ji ' ( x ) = {S ( x )}i j j ( x ) j S ( x) = e hay: - ig wa ( x ) M a a 32 ỡ - ig ồwa ( x )M a ỹ ji ( x ) đ j 'i ( x ) = ớe a ý y j ( x) , ợ ỵi j (3.8) ú Ma l cỏc ma trn biu din. L0 (f ) : l Lagrangian t ca mt trng no ú. Trong ú nú cú cha s hng ng nng cha o hm theo khụng gian v thi gian ca trng ả mf . Nu w = w ( x) Lagrangian ca cỏc trng t khụng bt bin. khụi phc li tớnh bt bin ta a vo n trng gauge Aàa(x), lp o hm hip bin theo cụng thc: Dmji ( x ) = ả mji ( x ) - iqe g ( x ) ( A m ) j j j i Am Ama M a a hay: Dmji ( x ) = ả mji ( x ) - iqe g ( x ) A m a ( M a )i j j j (3.9) a vi nh lut bin i: i -g x A m ' ( x ) = S A m S -1 + e ( ) S ả m S -1 q (3.10) ú Aà, S l cỏc ma trn r ì r nh ngha bi cỏc biu thc: Am ( x ) Ama ( x ) M a , (3.11) a S ( x) e - ig wa ( x ) M a (3.12) a Cng trng bin dng c xỏc nh theo phng trỡnh sau: Fmu( ga) = ả m Au a - ảu A m a + qe g ( x ) f abc A mb Au c + ả m g.Au a - ảu g.A m a b ,c ú: f abc l hng s cu trỳc nhúm gauge. (3.13) 33 Fmu( a) bin i theo cụng thc: g Fmu( a) = SFmu( a) S -1 g g Fmu( ) Fmu( a) M a g g (3.14) a Do ú, Lagrange bt bin i vi trng gauge l: L( g ) A - TrFmu( g ) F ( g ) mu (g) = L0 ( A ) + L(intg ) ( A ) (3.15) ú: 1 L(0g ) ( A ) - Fmu( 0a) Fa( ) mu - ( ả m g .ả m g )( Au a Aua ) 2 + ( ả m g .A am ) - Fmu( ) .ả m g .Aua (3.16) l Lagrangian t ca trng gauge, Fmu( a) ả m Au a - ảu A m a L(int) ( A ) l Lagrange tng tỏc gia trng gauge, t l vi qe g ( x ) v g ( qe ( ) ) . g x 3.2. Hng s liờn kt T (3.7) ta thy rng i vi tng tỏc in t ca electron thay th cỏc hng s cu trỳc tinh t a ta s dng: a% ( x ) a .e g ( x ) (3.17) Cng trng thụng thng nh ngha bi: Fmu ( ) ả m Au - ảu A m (3.18) khụng bt bin theo phộp bin i (3.3), nhng biu thc bin dng nh ngha bi: Fmu ( ) Fmu ( ) + ả m g .Au - ảu g .A m g (3.19) 34 bt bin. Qu vy, ta cú: Fmu ( ) ' = Fmu ( ) '+ ả m g .A 'u - ảu g .A 'm g = ả m A 'u ( x ) - ảu A 'm ( x ) + ả m g .A 'u ( x ) - ảu g .A 'm ( x ) -g x -g x = ả m ộở Au ( x ) - e ( ) ảuw ( x ) ựỷ - ảu ộở A m ( x ) - e ( ) ả m w ( x ) ựỷ + ả m g . ộở Au ( x ) - e - g( x) -g x ảuw ( x ) ựỷ - ảu g . ộở A m ( x ) - e ( ) ả m w ( x ) ựỷ = ả m Au ( x ) - ảu A m ( x ) + ả m g .Au ( x ) - ảu g .A m ( x ) - e +e - g( x) ảu ả m w ( x ) - e - g( x) ả m g .ảu w ( x ) + e - g ( x) - g ( x) ả m ảu w ( x ) ảu g .ả m w ( x ) = ả m Au ( x ) - ảu A m ( x ) + ả m g .Au ( x ) - ảu g .A m ( x ) Fmu ( ) ' = Fmu ( g ị Fmu ( g) g) bt bin Do ú, Lagrange t tng ng bt bin cho trng gauge c s dng l : L0( g ) ( A ) = - Fmu ( g ) F ( g ) mu 1 = - Fmu ( ) F ( ) mu - ( ả m g.ả m g ) . ( Au Au ) 2 + ( ả m g.A m ) - Fmu ( 0) .ả m g.Au (3.20) Phng trỡnh Euler-Lagrange: d L0 ( g ) d L0( g ) m -ả =0 d ( Au ) d ( ả m Au ) p dng phng trỡnh Euler-Lagrange ny cho phng trỡnh (3.20) ta cú: ỡù( W-ảu g.ảu g +W g ) A m + ả m g.ảu g.Au ỹù u ý=0 m m u m u m u ợù-ả Au .ả g - ả ả Au + ảu g.ả A - ả ả g.Au ỵù (3.21) 35 Bõy gi chỳng ta t iu kin Lorentz gauge bin dng i vi cỏc trng gauge A m l: ả m A m = ả m g .A m (3.22) iu kin (3.22) trựng hp vi iu kin Lorentz gauge thụng thng, ả m A m = , g l hng s. Vi iu kin (3.22) phng trỡnh (3.21) tr thnh: (W-ả u g .ảu g +W g ) A m - 2ả m ảu g .Au = (3.23) Bõy gi chỳng ta xột mt vớ d dng c th ca g (x): g ( x ) = g x + pm x m (3.24) ú g l mt s tham s hng s, pm l mt tham s vector. Vi biu thc (3.24) phng trỡnh (3.17) tr thnh: a% ( x ) a .e hay: ổ1 ỗ g x + pm x m ữ ố2 ứ a% ( x ) = a .eg x + px (3.25) T ú suy a% cú th cú giỏ tr khỏc ti ta khụng -thi gian khỏc nhau. Trong trng hp c bit g = ta cú: a% ( x ) = a .e p. x (3.26) Ngoi ra, trng hp c bit pm = thay vỡ phng trỡnh (3.26) ta cú: a% ( x ) = a .eg x (3.27) Trong trng hp ny hng s cu trỳc tinh t khụng i ch trờn nún ỏnh sỏng x = . 36 Nh vy: ta ó xỏc nh c biu thc hng s tng tỏc gauge. 3.3. Khi lng cỏc meson vector Nh ó trỡnh by chng v nguyờn lý bt bin gauge thụng thng ta thy s hng lng dng m A m A m m2 A 'm A 'm khụng bt bin. Do ú, cú bt bin thỡ m=0. Bõy gi, chỳng ta xột n c ch sinh lng cỏc ht, ngoi c ch Higgs. Khi lng l mt c trng quan trng ca cỏc ht c bn, cú ý ngha c bit vic phõn loi theo cỏc mụ hỡnh i xng v vic tỡm hiu- nghiờn cu ng lc hc ca cỏc tng tỏc. Tht vy, vi biu thc (3.24) phng trỡnh (3.23) tr thnh: {W+2g - (g x } + 2g px + p ) A m = (3.28) Phng trỡnh (3.28) tng ng vi biu thc: mA = 2g - ( g x + 2g px + p ) (3.29) cho lng boson gauge. T ú suy mA núi chung cú th cú giỏ tr khỏc ti ta khụng -thi gian khỏc nhau. Trong trng hp c bit g = ta cú: mA = - p (3.30) r c bit h thc ny cho mA = ch p0 = p . Ngoi ra, trng hp c bit pm = thay th phng trỡnh (3.30) ta cú: mA = ( - x ) g (3.31) 37 Trong trng hp ny A m l khụng cú lng ch trờn 4- qu cu x2 = . Mt khỏc, phng trỡnh Euler-Lagrangian ỏp dng cho Lagrangian (3.15) cho: {W-ả g.ả u u g +W g} A m a = ( ả m + ả m g ) ( ảu Au a - ảu g .Au a ) + 2ả m ảu g .Aua + qe g ( x ) { .} (3.32) Vi iu kin (3.24) i vi cỏc hm tham s (3.24) v iu kin Lorentz gauge b bin dng: ả m A m a = ả m g .A m a (3.33) Phng trỡnh (3.32) tr thnh: ( W+ m ) A A ma = qe g ( x ) { .} (3.34) Vi mA l lng c xỏc nh theo cụng thc tng t (3.29). 38 KT LUN Trong lun ny chỳng tụi ó tỡm hiu nghiờn cu v mt c ch sinh lng ca cỏc ht meson gauge truyn tng tỏc da trờn nguyờn lý bt bin gauge m rng ( hoc cũn gi l bin dng) bng cỏch a thờm mt hm thụng s ph thuc ta khụng - thi gian vo phộp bin i gauge. Cỏc kt qu ch yu ca lun cú th túm lc nh sau: - Trỡnh by mt cỏch tng quan cỏc nguyờn lý c bn ca lý thuyt gauge lý thuyt tng tỏc cỏc trng v lý thuyt Dõy. - Trin khai mt s tớnh toỏn chi tit v bt bin BRST lý thuyt Siờu Dõy. - Tỡm hiu v trin khai cỏc tớnh toỏn chi tit v lý thuyt bt bin gauge m rng, trờn c s ú rỳt biu thc lng cỏc trng gauge v hng s tng tỏc gauge. Cỏc kt qu trờn õy cú th s dng cỏc mụ hỡnh lý thuyt thng nht tng tỏc da trờn bt bin gauge, c bit cỏc liờn quan n lng cỏc ht meson gauge. 39 TI LIU THAM KHO 1. o Vng c, cỏc nguyờn lý c bn ca lý thuyt siờu dõy lng t, NXB Khoa hc v Cụng ngh, 2007. 2. o Vng c, Phự Chớ Hũa, lý thuyt ht c bn, NXB Khoa hc v K thut, 2011. 3. o Vng c, Nguyen Mong Giao, Vector meson Mass Spectrum from Extradimensions, Journal of Modern Physics 2013, 4, 991-993. 4. G. Furlan et al, Superstrings, Supergravity and Unified Theories, World Scientific, 1986. 5. L. ORaifeartaigh, N.Straumann, Early History of Gauge Theories and Kaluza-Klein Theories arXiv-hepth/ 98105,1999. 6. M.B.Green, J.H.Schwarz, E.Witten (1987), Superstring Theory, Cambridge University Press. 7. S.M.Carroll (1997), Lecture Notes on General Relativity, University of California. 8. L.Randall, M.D.Schwarz (2001), Quantum Field Theory and Unification, JHEP 0111.003 9. Dao Vong Duc, Nguyen Mong Giao (2014), Space-time Dependence of Fine Structure Constant in Deformed Gauge Invariance, US Open Advanced Physics Journal, Vol.1, N.1,pp1-5. [...]... A m ) = qyg my A m Nh vy, nguyờn lý bt bin gauge cho phộp xỏc nh mt cỏch n tr Lagrangian mụ t tng tỏc gia trng vt cht mang in v trng gauge A m Bõy gi, chỳng ta nghiờn cu v mt cỏch m rng lý thuyt bt bin gauge í tng ch o l a mt hm ph thuc khụng- thi gian vo phộp bin i gauge, v theo mt ngha no ú cú th gi l phộp bin i gauge bin dng hoc bin i gauge khỏi quỏt C th, bt bin gauge U(1) bin dng Di tỏc dng ca... m l (1) ( x ) (2.49) Nh vy trng f ( x ) bt bin gauge, trng A m ( x ) bin i theo quy lut ca trng U(1)- gauge A m ( x ) đ A 'm ( x ) - ả m l ( x ) 29 CHNG 3: KHI LNG CC TRNG GAUGE 3.1 Bin i gauge khỏi quỏt Nh ó trỡnh by trong chng 1 v nguyờn lý bt bin gauge Khi thay th trong Lagrange t do ả mj ( x ) bng Dmj ( x ) Kt qu dn n Lagrangian tng tỏc ca U(1) gauge sau õy: Vi trng vụ hng tớch in f ( x ) : Lint... A ma 2 a (1.25) 1.4 Toỏn t ti nilpotent BRST Lý thuyt trng dõy lng t cú th trỡnh by mt cỏch sỏng sa v bao quỏt hn trờn ngụn ng hỡnh thc lun BRST ( Becchi- Rouet- StoraTyutin) Trong hỡnh thc lun ny cỏc trng vong Fadeev- Popov úng vai trũ ch yu Trc ht ta hóy nhc li vi iu c bn v hỡnh thc lun BRST trong lý thuyt i xng gauge thụng thng Gi s ta cú nhúm i xng gauge vi cỏc vi t Tn tha món cỏc h thc giao hoỏn:... myy 2 i = (yg m ả my - ả my g my ) - myy + qyg m yA m 2 L= L = L0 (y ) + Lint (y , A m ) , (1.12) vi: Lint (y , A m ) = qyg my A m (1.13) Nh vy, nguyờn lý bt bin gauge cho phộp xỏc nh mt cỏch n tr Lagrangian mụ t tng tỏc gia trng vt cht mang in v trng gauge A m ( õy c ng nht vi trng in t) Tensor cng trng in t: Fmu ả m Au - ảu A m ta cú: F 'mu = ả m A 'u ( x ) - ảu A 'm ( x ) = ả m ộ Au ( x ) - ảuw... m 2 A m A m ), iu ú cú ngha rng trng gauge phi l khụng khi lng Cú th chng t rng tha món (1.9) cỏc trng gauge phi bin i nh sau: A 'm ( x ) = i S ( x ) ả m S -1 ( x ) + S ( x ) A m ( x ) S -1 ( x ) g (1.14) trong ú Aà, S l cỏc ma trn r ì r nh ngha bi cỏc biu thc: n Am ( x ) ồ Ama ( x ) M a , (1.15) a =1 S ( x) e - ig n ồ wa ( x ) M a (1.16) a =1 Tensor cng trng gauge c nh ngha l: Fmu a ả m Au a -... fi v trng gauge A m ( x ) cú dng: L (f , A m ) = L0 (f ) + L0 ( A m ) + Lint (f , A m ) , (1.21) trong ú: 1 L0 ( A m ) = - Fmu ( x ) F mu ( x ) 4 (1.22) Lint (f , A m ) mụ t tng tỏc gia trng vt cht fi v trng gauge A m , suy ra theo cỏch ó trỡnh by trờn - Trng y i Spinor (vt cht) Lagrangian ca trng Spinor khụng tng tỏc: i L0 (y ) = yg m ả my - myy 2 L0 (y ) khụng bt bin i vi phộp bin i Gauge khụi... thụng s ca phộp bin i gauge Lỳc ny, cỏc s hng khi lng trong Lagrangian (dng j + ( x ) j ( x ) ) vn bt bin, nhng cỏc s hng ng nng (cha o hm theo x) khụng cũn 30 bt bin na khụi phc li tớnh bt bin ca Lagrangian ngi ta tin hnh nh sau a vo trng vector A m ( x ) gi l trng gauge, lp o hm hip bin theo cụng thc: Dmj ( x ) = ả mj ( x ) - iqe g( x) Am ( x )j ( x ) (3.2) trong ú A m ( x ) ca trng gauge bin i theo... Lint (y , A m ) , (3.6) trong ú: Lint (y , A m ) = qe g ( x )y ( x ) g my ( x ) A m ( x ) (3.7) Nh vy, bin i gauge khỏi quỏt cng cho phộp xỏc nh mt cỏch n tr Lagrangian mụ t tng tỏc gia trng vt cht mang in v trng gauge A m mt cỏch m rng hn Kt qu thu c trờn cú th c khỏi quỏt thng i vi trng hp gauge phi Abel Gi s ji ( x ) l mt a tuyn trng bin i theo quy lut: ji ' ( x ) = {S ( x )}i j j ( x ) j S ( x)... F ộ C (t , s ) ự ở ỷ 2.3 Cỏc trng vong Dõy xõy dng lý thuyt trng dõy lng t mt cỏch thun tin v hu hiu, ngi ta dựng hỡnh thc lun tng t nh hỡnh thc lun BRST ( Becchi- Rouet- Stora- Tyutin) trong lý thuyt i xng gauge thụng thng, vi s a vo cỏc trng vong dõy, s dng ti nilpotent Q, Q2 = 0, xõy dng t cỏc trng vong ú Cỏc trng vong dõy bao gm: trng vector trờn lỏ th ca (t , s ) v trng tensor hng 2 trờn lỏ th,... gp li di dng n gin l: Q = 0 (2.37) Rừ rng rng phng trỡnh ny bt bin i vi phộp bin i BRST nh sau: F ộ C (t , s ) ự đ F ộ C (t , s ) ự + QL ộ C (t , s ) ự ở ỷ ở ỷ ở ỷ (2.38) 2.4 Bin i gauge phim hm trng Dõy Cỏc phộp bin i gauge phim hm trng dõy c nh ngha l cỏc phộp bin i nh sau: 27 - Vi dõy m: Ơ dF ộ C (t , s ) ự = ồ L- n L ( n ) ộ C (t , s ) ự , ở ỷ ở ỷ (2.39) n =1 trong ú L ( n ) l cỏc phim hm thụng . một cách mở rộng lý thuyết bất biến gauge và cơ chế khối lượng của trường gauge. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu về một phương án mở rộng lý thuyết bất biến gauge và cơ chế khối lượng của. nghiên cứu về một cách mở rộng lý thuyết bất biến gauge và cơ chế khối lượng của trường gauge. Ý tưởng chủ đạo là đưa một hàm phụ thuộc không- thời gian vào phép biến đổi gauge, và theo một nghĩa. gauge và cơ chế khối lượng của trường gauge. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu nguyên lý bất biến gauge mở rộng và cơ chế khối lượng các trường gauge. 5. Giả thuyết khoa học - Triển