Đang tải... (xem toàn văn)
Sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm của hSự tồn tại và tính duy nhất nghiệm của hệ grandient trong không gian vô hạn chiềuSự tồn tại và tính duy nhất nghiệm của hệ grandient trong không gian vô hạn chiềuSự tồn tại và tính duy nhất nghiệm của hệ grandient trong không gian vô hạn chiều Sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm của hệ grandient trong không gian vô hạn chiều Sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm của hệ grandient trong không gian vô hạn chiều Sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm của hệ grandient trong không gian vô hạn chiều Sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm của hệ grandient trong không gian vô hạn chiều Sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm của hệ grandient trong không gian vô hạn chiều Sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm của hệ grandient trong không gian vô hạn chiều Sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm của hệ grandient trong không gian vô hạn chiều Sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm của hệ grandient trong không gian vô hạn chiều Sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm của hệ grandient trong không gian vô hạn chiều Sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm của hệ grandient trong không gian vô hạn chiều Sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm của hệ grandient trong không gian vô hạn chiều Sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm của hệ grandient trong không gian vô hạn chiều Sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm của hệ grandient trong không gian vô hạn chiều Sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm của hệ grandient trong không gian vô hạn chiều Sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm của hệ grandient trong không gian vô hạn chiều Sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm của hệ grandient trong không gian vô hạn chiều Sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm của hệ grandient trong không gian vô hạn chiều Sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm của hệ grandient trong không gian vô hạn chiều Sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm của hệ grandient trong không gian vô hạn chiều Sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm của hệ grandient trong không gian vô hạn chiều Sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm của hệ grandient trong không gian vô hạn chiều Sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm của hệ grandient trong không gian vô hạn chiều Sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm của hệ grandient trong không gian vô hạn chiều Sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm của hệ grandient trong không gian vô hạn chiều Sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm của hệ grandient trong không gian vô hạn chiều Sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm của hệ grandient trong không gian vô hạn chiều Sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm của hệ grandient trong không gian vô hạn chiều Sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm của hệ grandient trong không gian vô hạn chiều Sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm của hệ grandient trong không gian vô hạn chiều Sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm của hệ grandient trong không gian vô hạn chiều ệ grandient trong không gian vô hạn chiều
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI HOÀNG THỊ HỒNG TUYẾT SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH DUY NHẤT NGHIỆM CỦA HỆ GRADIENT TRONG KHÔNG GIAN VÔ HẠN CHIỀU Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học TS. Trần Văn Bằng Hà Nội, 2014 Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới thầy cô giáo, đặc biệt TS. Trần Văn Bằng, người định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn để hoàn thành luận văn này. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến ban lãnh đạo, thầy cô giáo, cán bộ, nhân viên trường Đại học Sư phạm Hà Nội tạo điều kiện thuận lợi cho suốt trình học tập trường. Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè động viên, cổ vũ, tạo điều kiện thuận lợi cho trình học tập hoàn thành luận văn. Hà Nội, tháng năm 2014 Tác giả Hoàng Thị Hồng Tuyết Lời cam đoan Luận văn kết thân đạt trình học tập nghiên cứu, hướng dẫn TS. Trần Văn Bằng giúp đỡ Thầy, Cô khoa Toán Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Thầy, Cô trực tiếp giảng dạy chúng tôi. Trong nghiên cứu, hoàn thành Luận văn tham khảo số tài liệu ghi phần tài liệu tham khảo. Tôi xin khẳng định kết đề tài “Sự tồn tính nghiệm hệ Gradient không gian vô hạn chiều” trùng lặp với kết đề tài khác. Hà Nội, tháng năm 2014 Tác giả Hoàng Thị Hồng Tuyết Mục lục Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1. Hệ gradient không gian hữu hạn chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1. Gradient Euclidean hàm Rd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2. Hệ gradient Euclidean . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3. Liên hệ hệ phương trình đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.4. Hệ gradient tổng quát Rd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2. Không gian Bochner-Sobolev Bochner-Lebesgue . . . . . . . . . 21 1.2.1. Tích phân Bochner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.2.2. Không gian Bochner - Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.3. Không gian Bochner - Sobolev không gian chiều . . 27 Chương 2. Sự tồn nghiệm hệ gradient không gian vô hạn chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.1. Hệ Gradient không gian vô hạn chiều. . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.1.1. Khái niệm gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.1.2. Gradient dạng toàn phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.1.3. Không gian Sobolev Ω . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.1.4. Toán tử Dirichlet – Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.1.5. Toán tử Dirichlet - p - Laplace. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.2. Sự tồn nghiệm hệ gradient . . . . . . . . . 43 2.2.1. Hệ gradient không autonom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.2.2. Sự tồn nghiệm toàn cục hệ gradient với lượng lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.2.3. Sự tồn nghiệm toàn cục hệ gradient với lượng elliptic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 Mở đầu Phương trình đạo hàm riêng môn quan trọng ngành Toán. Cũng môn khoa học khác, xuất sở phát triển khoa học kĩ thuật yêu cầu thực tiễn. Nó đóng vai trò cầu nối toán học ứng dụng. Phương trình đạo hàm riêng nghiên cứu theo nhiều hướng khác gắn liền với tên tuổi nhiều nhà toán học tiếng như: Euler, Dalambert, Lagrange, Laplace, Riemann. . . . Các nhà toán học coi công cụ quan trọng để mô tả mô hình Vật lý. Trong chương trình đào tạo thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích giới thiệu lý thuyết phương trình đạo hàm riêng tuyến tính, số cách tiếp cận phương trình đạo hàm riêng phi tuyến không gian hữu hạn chiều, chưa có điều kiện nghiên cứu phương trình không gian vô hạn chiều. Với mong muốn tìm hiểu sâu lĩnh vực này, hướng dẫn, giúp đỡ tận tình TS. Trần Văn Bằng, chọn đề tài: “Sự tồn tính nghiệm hệ gradient không gian vô hạn chiều”. Luận văn tìm hiểu về: - Hệ gradient không gian hữu hạn chiều, không gian vô hạn chiều. - Khái niệm nghiệm suy rộng hệ gradient không gian vô hạn chiều. - Sự tồn tính nghiệm hệ gradient không gian vô hạn chiều. Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1. Hệ gradient không gian hữu hạn chiều 1.1.1. Gradient Euclidean hàm Rd Kí hiệu Rd = {u = (u1 , ., ud )|ui ∈ R, ≤ i ≤ d}. Phần tử Rd kí hiệu u (ui ) (ui )1≤i≤d (u1 , ., ud ). Tích vô hướng Euclidean Rd xác định d u, v = u, v euc = ui vi , u = (ui ), v = (vi ) ∈ Rd . i=1 Chuẩn sinh tích vô hướng ||u|| := u, u . Kí hiệu (Rd ) không gian đối ngẫu Rd , tức không gian tất phiếm hàm tuyến tính liên tục từ Rd → R. Với u ∈ (Rd ) , ta viết u (u) u u u , u hay u , u (Rd ) ,Rd giá trị u điểm u. Không gian đối ngẫu (Rd ) trang bị chuẩn ||u ||(Rd ) = sup | u , u |. ||u||Rd ≤1 Đôi ta sử dụng || · || cho chuẩn Rd (Rd ) . Tương tự ·, · vừa tích vô hướng Rd vừa cặp đối ngẫu phần tử (Rd ) phần tử Rd . Tính liên tục hàm từ Rd (Rd ) vào Rd (Rd ) hiểu theo tôpô sinh chuẩn. Bổ đề 1.1 (Bổ đề biểu diễn, xem [2], Định lí 2.13). Với phiếm hàm tuyến tính u ∈ (Rd ) có phần tử u ∈ Rd cho: u (v) = u, v euc , ∀v ∈ Rd . (1.1) Định nghĩa 1.2. Cho U ⊂ Rd tập mở, E : U → R hàm. Ta nói E khả vi với u ∈ U , tồn phiếm hàm tuyến tính u ∈ (Rd ) cho: E(u + h) − E(u) − u , h = 0. ||h|| ||h||→0 lim (1.2) Theo định nghĩa, E khả vi E(u + h) = E(u) + u , h + o( h ). Nói cách khác, hàm h → E(u + h) xấp xỉ hàm afine h → E(u) + u , h với sai số o( h ). Phiếm hàm u biểu diễn số hạng tuyến tính xác định cách nhất. Đạo hàm E hàm E : U → (Rd ) cho tương ứng u ∈ U với phiếm hàm tuyến tính u ∈ (Rd ) xác định (1.2). Ta kí hiệu đạo hàm E điểm u E (u). Ta nói E khả vi liên tục E khả vi đạo hàm E liên tục từ U vào (Rd ) . Tập tất hàm khả vi liên tục từ U → R không gian vectơ kí hiệu C (U ). Với u ∈ U, ta nói hàm E có đạo hàm theo hướng h ∈ Rd tồn giới hạn ∂E E(u + th) − E(u) (u) := lim . t→0 ∂h t ∂E ∂E Nếu h = ei vectơ sở tắc ta gọi (u) =: (u) gọi ∂ei ∂ui đạo hàm riêng E theo ui . Rõ ràng E khả vi E có đạo hàm theo hướng h ∈ Rd u và: ∂E (u) = E (u)h. ∂h Định nghĩa 1.3 (Gradient Euclidean). Cho U ⊂ Rd tập mở, E : U → R hàm khả vi. Gradient Euclidean E hàm ∇euc E cho tương ứng điểm u ∈ U với phần tử ∇euc E(u) ∈ Rd cho E (u)v = ∇euc E(u), v euc , ∀v ∈ Rd . (1.3) Theo Bổ đề biểu diễn (Bổ đề 1.1), gradient Euclidean ∇euc E xác định nhất. Nhớ gradient Euclidean E u phần tử Rd (một véc tơ) khác với đạo hàm E (u) phần tử không gian đối ngẫu (Rd ) . Các bổ đề sau kết quen thuộc Giải tích cổ điển. Bổ đề 1.4 (Gradient Euclidean đạo hàm riêng). Với u ∈ U, ∇euc E(u) = ∂E ∂E (u), · · · , (u) . ∂e1 ∂ed Bổ đề 1.5 (Gradient Euclidean hướng tăng mạnh nhất). Giả sử E khả vi u ∈ U E (u) = 0. Khi tồn hướng tăng mạnh nhất, tức tồn vectơ v ∈ Rd với v = 59 1,2 (I; H) ∩ L∞ u ∈ Wloc loc (I; V ) u, ˙ v g(u) + E (u)v = f, v g(u) với v ∈ V, h.k.n. I. (2.21) Chúng ta gọi (2.21) dạng biến phân hệ gradient (2.20). Chúng ta nói hàm E : V → R H-elliptic tồn ω ∈ R ω cho hàm Eω : V ∈ R, u → E(u) + ||u||2H lồi. Nếu không gian H xác định rõ ràng nói đơn giản E elliptic. Chú ý Eω (hoặc lồi) với số ω ∈ R, Eω (hoặc lồi) với ω ≥ ω. Định lý 2.12. Cho V không gian Banach phản xạ, tách nhúng compact vào H. Giả sử hàm E H-elliptic, khả vi liên tục cho E : V → V ánh xạ tập bị chặn thành tập bị chặn. Cho T ∈ (0, ∞). Ngoài ra, giả sử metric g liên tục theo nghĩa 1,2 un u W (0, T ; H), yếu* ∞ T T un → u L (0, T ; V ), ⇒ , w g(un ) → v, ω 0 v L (0, T ; H), w ∈ L (0, T ; H) g(u) . (2.22) Cuối giả sử tồn hai số c1 , c2 > cho với u ∈ V v ∈ H, c1 ||v||H ≤ ||v||g(u) ≤ c2 ||v||H . Khi đó, với f ∈ L2 (0, T ; H) giá trị ban đầu u0 ∈ V , tồn 60 nghiệm u ∈ W 1,2 (0, T ; H) ∩ L∞ (0, T ; V ) toán u˙ + ∇g E(u) = f, (2.23) u(0) = u . Nếu, thêm giả thiết metric g số, nghĩa là, ·, · g(u) = ·, · H với u ∈ V , toán có nghiệm nhất. Với nghiệm này, ta có bất đẳng thức lượng t t ||u|| ˙ 2H + E(u(t)) ≤ E(u0 ) + f, u˙ H . (2.24) Chú ý rằng, Định lý 2.12 kết tính L2 - quy cực đại toán phi tuyến (2.23) theo nghĩa với f ∈ L2 (0, T ; H) u0 ∈ V , toán (2.23) có nghiệm u cho hai phần tử u˙ ∇g E(u) vế trái (2.23) thuộc vào L2 (0, T ; H). Sự tồn Trong chứng minh Định lý 2.12, cần sử dụng ba bổ đề sau. Bổ đề 2.13 (Gronwall, xem [3], Bổ đề 8.3). Cho ϕ : [0, T ] → R+ hàm liên tục không âm. Giả sử tồn hai số C, ω ≥ cho với t ∈ [0, T ] t ϕ(t) ≤ C + ω ϕ(s)ds. Khi đó, với t ∈ [0, T ], ϕ(t) ≤ Ceωt . Bổ đề 2.14 (Xem [3], Bổ đề 8.4). Ta có a) (Quy tắc đạo hàm hàm hợp). Cho X Y không gian Banach, 61 p ∈ [1, ∞), (a, b) ⊆ R khoảng bị chặn, F : X → Y hàm khả vi liên tục. Khi với u ∈ W 1,p (a, b; X), hàm hợp F ◦ u thuộc d ˙ với hầu khắp t. W 1,p (a, b; Y ) (F ◦ u)(t) = F (u(t))u(t) dt b) (Quy tắc đạo hàm tích). Cho H không gian Hilbert (a, b) ⊆ R khoảng. Khi đó, với u ∈ H (a, b; H) hàm ||u||2H ∈ W 1,1 (a, b) d ||u(t)||2H = u(t), u(t) ˙ H với hầu khắp t ∈ (a, b) . dt Bổ đề 2.15 (Aubin-Lions, xem [3], Bổ đề 8.5). Cho X Y hai không gian Banach cho Y → X compact. Khi đó, với p ∈ (1, ∞), phép nhúng W 1,p (0, T ; X) ∩ L∞ (0, T ; Y ) → C([0, T ]; X) compact. Chứng minh. (Chứng minh Định lý 2.12- Sự tồn tại) Quá trình chứng minh tương tự chứng minh Định lý 2.8. Đặc biệt, sử dụng phương pháp xấp xỉ Ritz/Ritz-Galerkin/Faedo-Galerkin. Phần (Xây dựng toán xấp xỉ không gian hữu hạn chiều) Cho dãy đầy đủ (ωn ) ⊆ V , ta xác định không gian hữu hạn m chiều Vm chọn um ∈ Vm cho u0 = lim u0 chứng minh m→∞ phần Định lý 2.8. 1,2 Với m ∈ N, ta xét toán biến phân tìm um ∈ Wloc ([0, T ]; Vm ) 62 cho u˙ m , v g(um ) + E (um )v = f, v g(um ) với v ∈ Vm , hầu khắp nơi (0,T) , um (0) = um . (2.25) 1,2 ([0, T ]; Vm ) Bài toán (2.25) tương đương với toán tìm nghiệm um ∈ Wloc hệ gradient không otonom Vm u˙ m + ∇gm Em (um ) = Pmum f (2.26) u (0) = um m Em gm hạn chế E g Vm , ∇gm Em gradient Em Vm gắn với metric gm , Pmum : H → H phép chiếu trực giao từ H lên Vm tích vô hướng ·, · g(um ) . Vì Vm hữu hạn chiều nên với u ∈ Vm , gradient ∇gm Em (u) tồn thuộc Vm . Để có tồn nghiệm cực đại ta kiểm tra hàm F : (0, T ) × Vm → Vm , (t, u) → ∇gm Em (u)−Pmu f (t) thỏa mãn điều kiện Carathéodry. Vì g : V → Inner(H) metric, nên ánh xạ dãy hội tụ theo chuẩn V thành dãy hội tụ mạnh Inner(H). Vì Inner(Vm ) hữu hạn chiều nên hội tụ theo chuẩn hội tụ mạnh trùng nhau. Do giới hạn gm : Vm → Inner(Vm ) metric Riemann. Theo Bổ đề 1.16, gradient ∇gm Em liên tục hạng tử định nghĩa F thỏa mãn điều kiện Carathéodry. Chúng ta kiểm tra hạng tử thứ hai định nghĩa F thỏa mãn điều kiện Carathéodry. Với u ∈ Vm gọi Qm (u) ∈ L(Vm ) toán tử cho Qm (u)v, w H = v, w gm (u) = v, w g(u) (v, w ∈ Vm ). 63 Khi với u, v ∈ Vm hầu khắp t ∈ [0, T ], Qm (u)Pmu f (t), v H = Pmu f (t), v g(u) = f (t), Pmu v g(u) = f (t), v g(u) . Vì g metric nên vế phải phụ thuộc liên tục vào u ∈ Vm . Vì Vm hữu hạn chiều nên hội tụ yếu hội tụ theo chuẩn trùng nhau. Vì vậy, với hầu khắp t ∈ [0, T ] hàm Vm → Vm , u → Qm (u)Pmu f (t) liên tục. Vì gm liên tục nên Qm liên tục (so sánh với Bổ đề 1.15). Mặt khác với u ∈ Vm , toán tử Qm (u) khả nghịch nên hạng tử thứ hai định nghĩa F liên tục theo biến thứ hai. Hơn nữa, ·, · g(u) tương đương với ·, · H nên với hầu khắp t ∈ [0, T ] u ∈ Vm , ||Pmu f (t)||H ≤ c2 1 ||Pmu f (t)||g(u) ≤ ||f (t)||g(u) ≤ ||f (t)||H . c1 c1 c1 Vì f ∈ L2 (0, T ; H), suy F thỏa mãn điều kiện Carathéodry. Theo Hệ Định lý Carathéodry (Hệ 1.21), toán (2.26) có nghiệm 1,2 cực đại um ∈ Wloc ([0, Tm ); Vm ). Cực đại có nghĩa Tm = T , Tm < T nghiệm um mở rộng lên khoảng lớn hơn. Với m ∈ N, gọi um nghiệm cực đại (2.26). Phần (Đánh giá nghiệm um toán xấp xỉ): Ta nghiệm cực đại um toàn cục, có nghĩa Tm = T dãy (um ) bị chặn không gian hàm thích hợp. Về chứng minh phần tương tự với chứng minh Định lý 1.16. Chúng ta nhân phương trình (2.26) với u˙ m theo tích vô hướng ·, · g(um ) (hoặc: ta lấy v = u˙ m (2.25)), lấy tích phân kết nhận [0, t](t ∈ (0, Tm )), áp dụng Bổ đề 2.14(a) bất đẳng thức Cauchy- 64 Schwarz ta có: t ||u˙ m (s)||2g(um (s)) ds + E(um (t)) − E(um ) = t = f (s), u˙ m (s) ≤ g(um (s)) ds t ||f (s)||2g(um (s)) ds + t ||u˙ m (s)||2g(um (s)) ds. m Vì lim um = u0 V E liên tục nên ta có lim E(u0 ) = E(u0 ). m→∞ m→∞ Đặc biệt, dãy (E(um )) bị chặn. Do đó, tồn số C1 ≥ không phụ thuộc vào m t ∈ [0, Tm ) cho t c1 ||u˙ m (s)||2H ds c2 + E(um (t)) ≤ C1 + T ||f (s)||2H ds. (2.27) Trong đánh giá sử dụng giả thiết tích vô hướng ·, · g(um ) tương đương với tích vô hướng ·, · H. Lấy ω ∈ R cho Em lồi bức. Khi bất đẳng thức trước viết lại sau c1 t ||u˙ m (s)||2H ds + ||um (t)||2H + Eω (um (t)) ≤ (2.28) T ω+2 c2 ≤ C1 + ||um (t)||2H + 2 ||f (s)||2H ds. Chúng ta đánh giá hạng tử ||um ||2H sau: 1 ||um (t)||2H = ||um (0)||2H + 2 = ||um (0)||2H + c1 ≤ C2 + 4(ω + 2) t 1d ||um (s)||2H ds ds t u˙ m (s), um (s) t ||u˙ m (s)||2H ds H ds ω+2 + c1 t ||um ||2H ds, C2 ≥ cận dãy ( ||um ||2 ). Vì Eω liên tục, lồi H nên Eω bị chặn dưới, nghĩa là, tồn số C3 ≥ cho 65 Eω (u) ≥ −C3 với u ∈ V . Sử dụng ước lượng ước lượng trước (2.28) ta có c1 t ||u˙ m (s)||2H ds + ||um (t)||2H ≤ (ω + 2)2 ≤ C1 + (ω + 2)C2 + C3 + c1 t (ω + 2) = C4 + ||um (s)||2H ds, c1 t ||um (s)||2H ds c2 + T ||f (s)||2H ds C4 ≥ không phụ thuộc vào m t ∈ [0, Tm ). Hạng tử vế trái dương. Do đó, áp dụng bất đẳng thức Gronwall cho hàm ϕ(t) = ||um (t)||2H , với m t ∈ [0, Tm ) ta có: ||um (t)||2H ≤ C4 e (ω+2)2 t c1 ≤ C4 e (ω+2)2 T c1 . Vế phải bất đẳng thức không phụ thuộc vào m t ∈ [0, Tm ), nên sup sup ||um (t)||2H < ∞. m∈N t∈[0,Tm ) Sử dụng ước lượng (2.28), ta có số C5 ≥ không phụ thuộc vào m t cho c1 t ||u˙ m (s)||2H ds + ||um (t)||2H + Eω (um (t)) ≤ C5 . (2.29) Vì hai hạng tử đầu vế trái dương, nên từ bất đẳng thức suy tập {um (t) : m ∈ N, t ∈ (0, Tm )} nằm tập mức KC5 Eω . Từ tính Eω ta có KC5 bị chặn V , sup sup ||um (t)||V < ∞. m∈N t∈[0,Tm ) Sử dụng giả thiết Eω bị chặn từ (2.29) suy sup ||um ||W 1,2 (0,Tm ;H) < ∞. m∈N 66 Vì Tm ≤ T hữu hạn nên từ suy với m ∈ N hàm u˙ m khả tích [0, Tm ). Do đó, um mở rộng thành hàm liên tục [0, Tm ]. Theo Định lý Carathéodry định nghĩa nghiệm cực đại suy Tm = T , nghĩa là, nghiệm um toàn cục. Từ hai bất đẳng thức trước phép nhúng liên tục V → H ta có (um ) bị chặn W 1,2 (0, T ; H) ∩ L∞ (0, T ; V ). (2.30) Theo giả thiết, đạo hàm E ánh xạ tập bị chặn thành tập bị chặn, nên từ tính bị chặn (um ) L∞ (0, T ; V ) suy (E (um )) bị chặn L∞ (0, T ; V ). Phần (Trích dãy hội tụ): Không gian W 1,2 (0, T ; H) không gian Hilbert không gian L∞ (0, T ; V ) ∼ = L1 (0, T ; V ) L∞ (0, T ; V ) ∼ = L1 (0, T ; V ) (do tính phản xạ V (và V ) theo Định lý 1.31). Hơn nữa, theo Định lý 1.30 không gian L1 (0, T ; V ) L1 (0, T ; V ) tách được. Vì vậy, theo Định lý 2.10 theo giả thiết, V nhúng compact vào H, theo Bổ đề 2.15, tồn u ∈ W 1,2 (0, T ; H), v ∈ L∞ (0, T ; V ), w ∈ C([0, T ]; H), χ ∈ L∞ (0, T ; V ) dãy (um ) (vẫn kí hiệu (um )) cho um u W 1,2 (0, T ; H), yếu* um → v L∞ (0, T ; V ), (2.31) um → w C([0, T ]; H), yếu* E (um ) → χ L∞ (0, T ; V ). Chúng ta coi tập u ∈ W 1,2 (0, T ; H) ∩ L∞ (0, T ; V ) u = v = w. Hơn nữa, toán tử tuyến tính liên tục 67 hai không gian Hilbert ánh xạ dãy hội tụ yếu thành dãy hội tụ yếu. Vì toán tử W 1,2 (0, T ; H) → L2 (0, T ; H), u → u˙ liên tục tuyến tính, theo (2.31), u˙ L2 (0, T ; H), u˙ m um (0) → u(0) H um (T ) → u(T ) H. Sự hội tụ yếu hội tụ yếu* không gian hàm có nghĩa T T v, um V ,V → v, u T V ,V với v ∈ L1 (0, T ; V ), T u˙ m , v H → u, ˙ v T H với v ∈ L2 (0, T ; H), (2.32) T E (um ), v V ,V → χ, v V ,V với v ∈ L1 (0, T ; V ). Phần (Chỉ giới hạn u nghiệm): Trước hết, ta thấy m um (0) → u(0) H. Mặt khác, theo (2.25)um (0) = um u0 → u0 V (cách chọn dãy (um )). Vì V nhúng liên tục vào H nên ta có u(0) = u0 , nghĩa là, u thỏa mãn điều kiện ban đầu (2.23). Phần lại ta u thỏa mãn phương trình vi phân. Lấy w ∈ Vm ϕ ∈ L2 (0, T ). Với n ≥ m, nhân phương trình (2.26) với ϕ(·)w theo tích vô hướng ·, · g(un ) tích phân (0, T ) ta có T T u˙ n (t), ϕ(t)w g(un (t)) dt E (un (t)), ϕ(t)w + V ,V dt T = f (t), ϕ(t)w g(un (t)) dt. 68 Cho n → ∞ bất đẳng thức trước sử dụng (2.32), tính liên tục g, ta có T T u˙ n (t), ϕ(t)w g(u(t)) dt+ χ(t), ϕ(t)w dt = V ,V Vm , ϕ ∈ L2 (0, T ) ϕ(·)w : w ∈ Do T f (t), ϕ(t)w g(u(t)) dt không gian sinh tập m trù mật L (0, T ; V ) (Định lý 1.30) nên với v ∈ L2 (0, T ; V ) ta có T T u, ˙ v g(u) + T χ, v = V ,V f, v g(u) . (2.33) Từ ta cần χ = E (u). Thật vậy, nhân phương trình (2.26) với um theo tích vô hướng ·, · g(um ) , lấy tích phân kết vừa nhận (0, T ), ta có T T E (un ), un V ,V T = f, un g(un ) − u˙ n , un g(un ) . (2.34) Theo (2.22) tính liên tục g ta có T T f, un g(un ) → f, u g(u) . Hơn nữa, theo tính liên tục g, hội tụ (un ) (xem (2.31)), bất đẳng thức Cauchy-Schwarz tương đương ·, · ·, · H g(u) suy T T u˙ n , un g(un ) = T u˙ n , u g(un ) u˙ n , un − u + g(un ) T → u, ˙ u g(u) . Do đó, cho n → ∞ phương trình (2.34) sử dụng đẳng thức (2.33) với v = u ta có T T E (un ), un V ,V dt → χ, u V ,V dt. 69 Do Eω (u) = E (u) + ωu, un → u C([0, T ]; H) (xem (2.31)) un , un V ,V = ||un ||2H , từ hội tụ trước suy T T Eω (un ), un V ,V dt → χ + ωu, u V ,V dt. (2.35) Cho v ∈ L∞ (0, T ; V ) λ ∈ R. Từ Bổ đề 2.9 (áp dụng cho hàm lồi Eω ) lấy tích phân (0, T ), T T Eω (um ), um − u − λv V ,V ≥ Eω (u + λv), um − u − λv yếu* V ,V . yếu* Cho m → ∞, ta sử dụng lại hội tụ yếu* um → u, Eω (um ) → χ + ωu (2.35) ta có T − T χ + ωu, λv V ,V ≥− Eω (u + λv), λv V ,V . Chúng ta chia cho λ > cho λ < cho λ → 0+ λ → 0−, sử dụng tính liên tục E ta nhận T T χ, v V ,V E (u), v = V ,V . Vì v ∈ L∞ (0, T ; V ) tùy ý nên E (u) = χ. Do đó, ta thay χ E (u) đẳng thức (2.33) ta kết luận u nghiệm dạng biến phân u˙ + ∇g E(u) = f [0, T ]. Đặc biệt, u nghiệm hệ gradent (2.23). Tính bất đẳng thức lượng Tính 70 Chứng minh. (Chứng minh Định lý 2.12- Tính nhất) Áp dụng Bổ ω đề 2.9 với g(u) = E(u) + u 2H , với ω > 0, ta có: E (u) − E (v), u − v V ,V ≥ −ω u − v H Giả sử u1 u2 hai nghiệm (2.23). Khi đó, với hầu hết t ∈ [0, T ], ta có: 1d ||u1 (t) − u2 (t)||2H = dt = u1 (t) − u2 (t), u˙1 (t) − u˙2 (t) H (Đạo hàm chuẩn bình phương) = − u1 (t) − u2 (t), ∇H E(u1 (t)) − ∇H E(u2 (t)) = − u1 (t) − u2 (t), E (u1 (t)) − E (u2 (t)) V,V H (Chuẩn hệ gradient) (Định nghĩa gradient) ≤ w u1 (t) − u2 (t) . Áp dụng Bổ đề 2.13 với ϕ(t) = u1 (t) − u2 (t) H ta có với hầu hết t ∈ [0, T ], ||u1 (t) − u2 (t)||2H ≤ ||u1 (0) − u2 (0)||2H .eωt = 0, u1 = u2 . Bất đẳng thức lượng Chứng minh. (Chứng minh Định lý 2.12 - Bất đẳng thức lượng) Ta sử dụng khái niệm phần chứng minh tồn nghiệm. Đặc biệt (um ) dãy nghiệm toán xấp xỉ (2.26) mà ta có sau trích dãy con, u nghiệm hệ gradient (2.23) mà ta có giới hạn yếu dãy (um ). 71 Theo t ||u˙ m (s)||2H ds + E(um (t)) − E(um ) = t = f (s), u˙ m (s) H ds. với m ta có đẳng thức lượng t t ||u˙ m (s)||2H ds + E(um (t)) = E(um )+ f (s), u˙ m (s) H ds. (2.36) Vì lim um = u0 V E liên tục nên ta có: m→∞ lim E(um ) = E(u0 ). m→∞ u˙ L2 (0, T ; H) suy với t ∈ [0, T ], Sự hội tụ yếu u˙ m t t f (s), u˙ m (s) lim m→∞ H ds = f (s), u(s) ˙ H ds. t ||v||2H , hội tụ Áp dụng Bổ đề 2.11 với X = L (0, T ; H) F(v) = yếu, ta suy với t ∈ [0, T ], F(u) ≤ lim inf F(um ) m→∞ hay t t ||u(s)|| ˙ H ds ≤ lim inf ||u˙ m (s)||2H ds. m→∞ Sự hội tụ yếu um có um (t) u W 1,2 (0, T ; H) suy với t ∈ [0, T ] ta u(t) H. Mặt khác, (um ) bị chặn L∞ (0, T ; V ), nên với hầu hết t ∈ [0, T ] ta có um (t) u(t) V. Theo Bổ đề 2.11 chọn X = V F = E, từ suy ∀t ∈ [0, T ], E(u(t)) ≤ lim inf E(um (t)). m→∞ 72 Lấy lim inf (khi m → ∞) hai vế (2.36) ta có: t t ||u(s)|| ˙ H ds + E(u(t)) ≤ lim inf ||u˙ m (s)||2H ds + lim inf E(um (t)) m→∞ m→∞ t ||u(s)|| ˙ H ds + E(u(t)) ≤ t ≤ E(u0 ) + f (s), u(s) ˙ ds. Suy bất đẳng thức lượng (2.24). Định lí 2.12 hoàn toàn chứng minh. Kết luận Luận văn tập trung nghiên cứu cách hệ thống hệ gradient không gian vô hạn chiều, bao gồm khái niệm tính chất hệ gradient, gradient dạng toàn phương, không gian Sobolev Ω, toán tử Dirichlet - Laplace toán tử Dirichlet - p- Laplace. Đặc biệt, luận văn trình bày số kết định tính liên quan tồn tính nghiệm hệ gradient lượng lồi lượng elliptic. Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tiếng Việt [1] Trần Đức Vân (2005), Lý thuyết phương trình vi phân đạo hàm riêng, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội. [2] Nguyễn Mạnh Hùng (2008), Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính, NXB Đại học sư phạm Hà Nội. [B] Tài liệu tiếng Anh [3] Ralph C., Eva F. (2010), Gradient systems, -13th International internet Seminar. [4] Brezis H. (2010), Sobolev space, functional analysis and partial differential equations, Springer. [5] Gilbarg D., Trudinger N. S. (1998), Elliptic Partial Differential Equations of Second Order, Berlin-Heidelberg-New York. [...]... tồn tại và nghiệm của hệ gradient trong không gian vô hạn chiều 2.1 Hệ Gradient trong không gian vô hạn chiều Trong phần này, ta nghiên cứu các hàm thực xác định trên không gian Banach vô hạn chiều, gradient của chúng và hệ gradient tương ứng Nhiều khái niệm về hệ gradient trong không gian hữu hạn chiều sẽ lại xuất hiện ở đây như: đạo hàm, tích vô hướng, và metric trên không gian nền, gradient, hệ gradient,... [t0 , t0 + β] với β > α Sự tồn tại của nghiệm địa phương luôn suy ra sự tồn tại của nghiệm cực đại Chứng minh điều này dựa trên Bổ đề Zorn Hệ quả 1.21 Với các giả thiết của Định lý 1.19, với mỗi (t0 , u0 ) ∈ D tồn tại một nghiệm cực đại của bài toán (1.13) Chứng minh Xem [3], Hệ quả 2.8 Từ Định lý 1.19 ta có hệ quả sau: Hệ quả 1.22 (Sự tồn tại nghiệm địa phương của hệ gradient không autonom) Cho U ⊆... gian Bochner - Sobolev trên không gian một chiều Định nghĩa 1.32 Cho X là không gian Banach thực, −∞ ≤ a < b ≤ ∞ và p ∈ [1, ∞] Không gian Bochner-Sobolev trên (a, b) là không gian: W 1,p (a, b; X) :={u ∈ Lp (a, b; X), ∃v ∈ Lp (a, b; X) b 1 sao cho với mọi ϕ ∈ Cc (a, b) ta có b uϕ = − a vϕ} a Rõ ràng, hàm v được xác định duy nhất nếu nó tồn tại Ta viết u := v và ta gọi u là đạo hàm yếu của u Không gian. .. hàm, tích vô hướng, và metric trên không gian nền, gradient, hệ gradient, hàm năng lượng và sự tiêu tán Tuy nhiên việc phân tích hệ gradient trong không gian vô hạn chiều như sự tồn tại nghiệm địa phương hay nghiệm toàn cục sẽ phức tạp hơn Kí hiệu, V là một không gian Banach với chuẩn ||.||V , V là không gian đối ngẫu của V Nếu u ∈ V thì ta viết: u (u) hoặc u u hoặc u , u hoặc u , u V ,V ... sao cho F (u) = 0 1.2 Không gian Bochner-Sobolev và Bochner-Lebesgue Mục này giới thiệu ngắn gọn về tích phân Bochner của các hàm giá trị Banach và về các không gian Bochner - Lebesgue, không gian Bochner - Sobolev Đó là những khái niệm cần thiết để nghiên cứu các phương trình vi phân trừu tượng trong không gian Banach, đặc biệt là hệ gradient trong không gian Banach; nghiệm của các phương trình vi... gradient theo một tích vô hướng bất kỳ trong Rd 11 1.1.4 Hệ gradient tổng quát trong Rd Ta nhắc lại rằng, tích vô hướng trên Rd là một dạng song tuyến tính, đối xứng, xác định dương bất kì trên Rd Kí hiệu: L2 (Rd ; R) là không gian tất cả các dạng song tuyến tính a : Rd × Rd → R Không gian này là không gian vecto với phép cộng và phép nhân với vô hướng thông thường và nó là không gian Banach với chuẩn... (1.13) Theo Hệ quả 1.21, hệ gradient (1.15) luôn có một nghiệm cực đại Đối với phương trình (1.13) cũng như hệ gradient chúng ta cần: xác định khoảng tồn tại nghiệm cực đại hoặc chứng minh nghiệm cực đại là nghiệm toàn cục Ví dụ 1.20 (a) cho thấy không phải phương trình (1.13) hay hệ gradient nào cũng có nghiệm toàn cục Nhưng dưới giả thiết tự nhiên về năng lượng, sự tồn tại nghiệm toàn cục của hệ gradient... có nghiệm cực đại trên [0, T ] Hơn nữa, {u(t) : t ∈ [0, T ]} ⊆ Kc , C trong đó c = E(u0 ) + 2 số nhúng C T f 2 euc chỉ phụ thuộc vào dữ liệu u0 , f và hằng 0 Chứng minh Cho u : [0, Tmax ) → Rd (Tmax ≤ T ) là nghiệm cực đại bất kì của hệ gradient không autonom (1.16); sự tồn tại của nghiệm cực đại g E(u) được bảo đảm bởi Hệ quả 1.22 và 1.21 Do và f là các hàm liên tục, nên nghiệm (cực đại) bất kì của. .. mọi điểm giới hạn của nghiệm toàn cục bất kì của hệ gradient Euclidean (1.7) có tập giá trị compact tương đối trong U đều là nghiệm của phương trình đại số F (¯) = 0 Nói cách khác, u bài toán tìm nghiệm của phương trình đại số có thể chuyển thành bài toán tìm nghiệm toàn cục của hệ gradient có tập giá trị compact tương đối Vì thế chúng ta sẽ nghiên cứu bài toán tìm nghiệm toàn cục của hệ gradient Euclidean... lớn hơn bằng cách giải hệ gradient u + ˙ g E(u) = f với thời điểm ban đầu Tmax và giá trị ban đầu u(Tmax ) Điều này mâu thuẫn với giả thiết u là nghiệm cực đại Vậy Tmax < T là không thể xảy ra hay Tmax = T và u là nghiệm toàn cục Ta có thể sử dụng kết quả về sự tồn tại nghiệm của hệ gradient trong việc nghiên cứu tìm nghiệm của phương trình đại số như sau Cho U ⊆ R là tập mở, và cho F : U → Rd là hàm . chiều, trong không gian vô hạn 2 chiều. - Khái niệm nghiệm suy rộng của hệ gradient trong không gian vô hạn chiều. - Sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm của hệ gradient trong không gian vô hạn chiều. Chương. tình của TS. Trần Văn Bằng, tôi chọn đề tài: Sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm của hệ gradient trong không gian vô hạn chiều . Luận văn tìm hiểu về: - Hệ gradient trong không gian hữu hạn chiều, . ghi trong phần tài liệu tham khảo. Tôi xin khẳng định kết quả của đề tài Sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm của hệ Gradient trong không gian vô hạn chiều không có sự trùng lặp với kết quả của