49 CÁCH GIẢI KHÁC NHAU CHO MỘT BÀI TOÁN CỔ Nguyễn Quang Hưởng 1 Tóm tắt: Tìm ra được một lời giải của bài toán đã thú vị, nhưng sẽ thú vị hơn nếu tìm ra được nhiều lời giải cho bài toán ấy. Mỗi lời giải là một “nghệ thuật” vận dụng những kiến thức đã có. Bài báo trình bày 49 cách giải khác nhau của bài toán cổ quen thuộc “Gà và Chó”. 1. MỞ ĐẦU Trong dạy học Toán, các bài toán có một vị trí hết sức quan trọng. Phần nhiều thời gian học toán của học sinh dành cho giải các bài toán. Kết quả học toán của học sinh cũng được đánh giá qua khả năng giải toán. Biết giải toán là một trong những tiêu chí quan trọng để đánh giá trình độ học toán của học sinh. Tìm ra được một lời giải của bài toán đã thú vị, nhưng sẽ thú vị hơn nếu tìm ra được nhiều lời giải cho bài toán ấy. Mỗi lời giải là một “nghệ thuật” vận dụng những kiến thức đã có [1]. Việc đi sâu tìm hiểu nhiều cách giải khác nhau cho một bài toán có vai trò to lớn trong dạy học toán [3]: - Giúp củng cố, vận dụng và hiểu sâu sắc nhiều kiến thức cơ bản. - Giải bài toán bằng cách khác giúp kiểm tra lại kết quả của lời giải ban đầu. - Giúp tìm ra được con đường ngắn nhất, hoặc độc đáo nhất để giải bài toán. - Giúp nhìn nhận vấn đề dưới nhiều khía cạnh khác nhau. - Rèn luyện trí thông minh, tính linh hoạt, độc lập, khả năng sáng tạo. Để tìm ra một lời giải mới cho bài toán, chúng ta cần nắm vững các phương pháp giải toán cơ bản (xem[1] - [3]) và rèn luyện kĩ năng khai thác dữ kiện của bài toán. 2. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU Có thể nói “Gà và Chó” là một bài toán có “rất nhiều” lời giải: “Vừa gà vừa chó, Bó lại cho tròn, Ba mươi sáu con, Một trăm chân chẵn. Tính số gà và số chó” [2]. Đây là một bài toán cổ rất quen thuộc với mỗi học sinh. Sau đây xin trình bày ít nhất 49 cách giải vắn tắt có thể có của bài toán trên. Một số cách giải được tác giả trích dẫn từ tài liệu 1 ThS, Trường ĐHSP Hà Nội 2 tham khảo, các cách còn lại được tác giả tìm ra bằng cách khai thác dữ kiện của đề bài và sử dụng các phương pháp giải cơ bản. Cũng có thể nó đã xuất hiện ở đâu đó mà tác giả chưa biết rõ. Nếu sử dụng phương pháp trực quan, ta có thể có ít nhất ba cách giải như sau: Cách 1: [4] Cho 36 con gà và chó đứng xếp hàng, các con chó làm xiếc bằng cách giơ 2 chân lên trời. Khi đó, số chân ở dưới đất là 36 x 2 = 72 (chân). Số chân giơ lên trời là 100 – 72 = 28 (chân). Số chân giơ lên trời này là của các con chó. Vậy số chó là 28 : 2 = 14 (con). Số gà là 36 – 14 = 22 (con). Cách 2: [3, tr.101] Lấy 100 viên sỏi và 36 cái giỏ. Thả lần lượt 100 viên sỏi này vào 36 giỏ, mỗi lần thả hai viên, cho đến khi hết số sỏi. Như vậy, 36 giỏ, mỗi giỏ 2 viên thì hết 72 viên. Còn 28 viên chỉ thả được 14 giỏ là hết số sỏi. Như vây có 14 giỏ, mỗi giỏ có 4 viên; có 22 giỏ, mỗi giỏ có 2 viên. Từ đó suy ra số chó là 14, số gà là 22. Cách 3: [3, tr.16] Nếu biểu thị là số gà thì là số chân gà. Nếu biểu thị số chó thì là số chân chó. Dựa vào sơ đồ ta có hai hình vuông ứng với 100 36 2 28   (con). Do đó một hình vuông ứng với 28 : 2 = 14 (con). Số chó là 14 con, số gà là 22 con. Nếu sử dụng phương pháp giả thiết tạm, ta có thể có ít nhất 40 cách giải như sau: Cách 4: [2, tr.32] Giả sử gà và chó đều có 4 chân. Khi đó tổng số chân là 36  4 = 144 (chân). Số chân thêm cho mỗi con gà là 2, tất cả số chân thêm là 144 - 100 = 44 (chân). Vậy số gà là 44 : 2 = 22 (con), số chó là 36 – 22 = 14 (con). Cách 5: [2, tr.33] Giả sử gà và chó đều có 2 chân. Khi đó tổng số chân là 36  2 = 72 (chân). Số chân bớt ở mỗi con chó là 2, tất cả số chân bớt là 100 - 72 = 28 (chân). Vậy số chó là 28 : 2 = 14 (con), số gà là 36 – 14 = 22 (con). Cách 6: Giả sử số gà bằng số chó đều bằng 18 con. Khi đó tổng số chân là: Có sơ đồ: 36 36 100 2  18 + 4  18 =108 (chân), hơn số chân thực tế là 108 – 100 = 8 (chân). Nếu thêm 1 con gà, bớt 1 con chó thì số chân giảm là 4 – 2 = 2 (chân). Số chân cần giảm là 8. Do đó số gà cần thêm là 8 : 2 = 4 (con). Vậy số gà là: 18 + 4 = 22 (con), số chó là: 18 – 4 = 14 (con). Ở cách 4, ta giả sử gà và chó đều có 4 chân, hay tương tự ta giả sử cả 36 con đều là chó (0 con gà và 36 con chó). Ở cách 5, ta giả sử gà và chó đều có 2 chân, hay tương tự ta giả sử cả 36 con đều là gà (36 con gà và 0 con chó). Ở cách 6, ta giả sử số gà bằng số chó đều bằng 18 con (18 con gà và 18 con chó). Vậy tương tự như 3 cách này, ta có thể giả sử số gà là một số bất kì từ 0 đến 36. Từ đó ta có thể có 37 cách giải tương tự nhau như sau: Cách 7: Giả sử có 1 con gà và 35 con chó. Khi đó tổng số chân là: 2  1 + 4  35 =142 (chân), hơn số chân thực tế là 142 – 100 = 42 (chân). Nếu thêm 1 con gà, bớt 1 con chó thì số chân giảm là 4 – 2 = 2 (chân). Số chân cần giảm là 42. Do đó số gà cần thêm là 42 : 2 = 21 (con). Vậy số gà là: 1 + 21 = 22 (con), số chó là: 35 – 21 = 14 (con). Cách 8: Giả sử có 2 con gà và 34 con chó. Tương tự như cách 7, ta sẽ tìm được số gà là 2 + 20 = 22, số chó là 34 – 20 = 14. Khai thác phương pháp giả thiết tạm bằng cách giả sử số gà lần lượt là 3, 4, 5, , 35 con (trừ trường hợp 18 con gà và 18 con chó đã trình bày ở cách 6), ta có thêm các cách giải từ 9 đến 40. Cách 41: Giả sử gà và chó đều có 3 chân. Khi đó có tất cả là 36  3 = 108 (chân). Mỗi con gà thêm 1 chân, mỗi con chó bớt 1 chân. Số chân tăng là: 108 – 100 = 8. Tức: số chân gà thêm – số chân chó bị bớt = 8. Hay: số gà - số chó = 8. Bài toán được đưa về dạng tìm hai số khi biết tổng là 36 và hiệu là 8. Nên số gà là (8 + 36) : 2 = 22 (con), số chó là 36 – 22 = 14 con. Cách 42: [2, tr.33] Giả sử số chân của mỗi con giảm đi một nửa. Như vậy, mỗi con gà chỉ có một chân và mỗi con chó chỉ có 2 chân. Tổng số chân lúc này chỉ còn 50. Bây giờ ta cho mỗi con chó “co” một chân lên, như vậy mỗi con vật đều chỉ còn 1 chân, 36 con có 36 chân. Vậy số chân chó phải “co” lên là 50 – 36 = 14 (chân). Từ đó suy ra số chó là 14, số gà là 22. Cách 43: [4] Giả sử, mỗi con vật được “mọc” thêm một cái đầu nữa. Khi đó, mỗi con có hai đầu và tổng số đầu là 2 x 36 = 72 (đầu). Lúc này, mỗi con gà có hai đầu và hai chân , mỗi con chó có hai đầu bốn chân. Vậy số chân nhiều hơn số đầu là 100 - 72 = 28 (cái). Đối với gà thì số chân bằng số đầu, còn đối với chó có số chân nhiều hơn số đầu là 4 - 2 = 2 (cái). Suy ra số chó là 28:2 = 14 (chó). Số gà là 36 - 14 = 22 (gà). Nếu sử dụng phương pháp đại số, bài toán này có thể có ít nhất 6 cách giải: Cách 44: Nếu gọi số gà là x (x > 0), thì số chó là 36 – x, khi đó ta có: 2 4 (3 6 ) 100.xx´ + ´ - = Từ đó tìm được số gà là 22, số chó là 14. Cách 45: Nếu gọi số chó là x (x > 0), thì số gà là 36 – x, khi đó ta có: 4 2 (36 ) 100.xx´ + ´ - = Từ đó tìm được số chó là 14, số gà là 22. Cách 46: Nếu gọi số gà là x (x > 0), số chó là y (y > 0), khi đó ta có: 36 2 4 100 xy xy ì += ï ï í ï ´ + ´ = ï î Từ đó tìm được số gà là 22, số chó là 14. Cách 47: Nếu gọi số chân gà là x (x > 0), thì số chân chó là 100 – x, khi đó ta có: 100 36 24 xx- += Từ đó tìm được số gà là 22, số chó là 14. Cách 48: Nếu gọi số chân chó là x (x > 0), thì số chân gà là 100 – x, khi đó ta có: 100 36 42 xx- += Từ đó tìm được số chó là 14, số gà là 22. Cách 49: Nếu gọi số chân gà là x (x > 0), số chân chó là y (y > 0), khi đó ta có: 100 36 24 xy xy ì += ï ï ï í ï += ï ï î Từ đó tìm được số gà là 22, số chó là 14. 3. KẾT LUẬN Để có thể dạy tốt môn toán cho học sinh và để dạy học sinh biết tìm ra nhiều cách giải cho một bài toán, đòi hỏi mỗi giáo viên toán cần có ý thức tự rèn luyện khả năng tìm nhiều cách giải cho bài toán. Việc tự rèn luyện này sẽ giúp nâng cao tiềm lực của mỗi giáo viên, giúp giáo viên vững vàng và tự tin hơn khi đứng trên bục giảng. Trong những cách giải này, chủ yếu là những cách giải có thể sử dụng cho đối tượng học sinh tiểu học. Tuy nhiên có những cách giải có thể dùng cho đối tượng học sinh ở bậc trung học cơ sở. Tìm ra được nhiều cách giải là một việc, song sử dụng cách giải nào phù hợp với đối tượng học sinh mà mình trực tiếp giảng dạy lại là một câu hỏi nữa cần đặt ra với mỗi giáo viên. TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Trần Thị Kim Cương, Giải bằng nhiều cách các bài toán số học, Nxb Đại học Sư phạm, H., 2006. 2. Đỗ Trung Hiệu, Vũ Dương Thụy, Các phương pháp giải toán ở tiểu học, Tập 1, Nxb Giáo dục, H., 1999. 3. Phạm Đình Thực, Giải bài toán ở tiểu học như thế nào, Nxb Giáo dục, H., 2003. 4. http://olm.vn/tin-tuc/Phuong-phap-Gia-thiet-tam.html 49 SOLUTIONS TO AN ANCIENT PROBLEM Nguyen Quang Huong Abstract: Finding out one solution to a problem is interesting, and it is more interesting if we can find out many solutions to that problem. Each solution is an “art” to apply the existing nowledge into the problem. This paper presents 49 different solutions to the ancient but familiar problem “Chickens and Dogs”. . 49 CÁCH GIẢI KHÁC NHAU CHO MỘT BÀI TOÁN CỔ Nguyễn Quang Hưởng 1 Tóm tắt: Tìm ra được một lời giải của bài toán đã thú vị, nhưng sẽ thú vị hơn nếu tìm ra được nhiều lời giải cho bài toán. giải là một “nghệ thuật” vận dụng những kiến thức đã có. Bài báo trình bày 49 cách giải khác nhau của bài toán cổ quen thuộc “Gà và Chó”. 1. MỞ ĐẦU Trong dạy học Toán, các bài toán có một. hiểu nhiều cách giải khác nhau cho một bài toán có vai trò to lớn trong dạy học toán [3]: - Giúp củng cố, vận dụng và hiểu sâu sắc nhiều kiến thức cơ bản. - Giải bài toán bằng cách khác giúp